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传输矩阵在物理学中的前沿应用2013261021 李霄强传输矩阵在物理学中的前沿应用2013261021 李霄强传输矩阵法(TMM) 就是将麦克斯韦方程组转换为传输矩阵的形式, 应用传输矩阵进行分析的方法。
为了了解传输矩阵的前沿应用，我查找并阅读了几篇关于传输矩阵应用的文献，这些都是使用传输矩阵解决问题。
列如《传输矩阵法在行波管内部反射引起的增益波动计算中的应用》、《光纤光栅法布里-珀罗腔的V-I传输矩阵法研究》及《用传输矩阵法研究微波波段准一维同轴光子晶体能隙结构》。
在《传输矩阵法在行波管内部反射引起的增益波动计算中的应用》一文中，研究者分析了由于行波管慢波结构制造误差引入的多个不连续点对小信号增益的影响. 行波管内部反射对增益波动的影响, 须采用考虑反射波的四阶模型进行分析, 用传输矩阵法对节点处的自左至右入射和自右至左入射两种散射类型建立传输矩阵, 研究在不同空间电荷参量下, 慢波电路的单个反射节点以及慢波电路的皮尔斯速度参量b 和增益参量C 的多个随机分布不连续性对行波管小信号增益的影响。
即通过传输矩阵可以将一个层面上的电磁波幅值与紧邻的另一个层面的电磁波幅值联系起来,如果知道了第一段入射波分布, 就可以利用传输矩阵法计算最后一段电磁波分布，将第一段电磁波幅值与最后一段电磁波幅值联系起来, 通过求解边界条件, 就可以求任一段电磁波幅值，也可以求出行波管的增益。
在《光纤光栅法布里-珀罗腔的V-I传输矩阵法研究》中，研究者要进行光纤光栅法布里-珀罗腔反射光谱特性的分析，由于目前对于结构简单的光栅构成的法布里-珀罗腔的特性分析多采用偶合模理论。
但对于复杂结构的光栅，由于难以得到解析解，一般采用四阶的龙格-库塔方法进行数值求解或采用多层膜法进行分析计算。
这两种方法都可以保证分析精度，但求解速度较慢。
要快速实时获得光器件、光通信系统以及光传感系统的特性，由于庞大的运算量而引起耗费时间过长成为突出问题。
传输矩阵法一、 传输矩阵法概述 1. 传输矩阵在介绍传输矩阵的模型之前，首先引入一个简单的电路模型。
如图1(a)所示， 在(a)中若已知A 点电压及电路电流，则我们只需要知道电阻R ，便可求出B 点电压。
传输矩阵具有和电阻相同的模型特性。
(a)(b)图1 传输矩阵模型及电路模拟模型如图1(b)所示，有这样的关系式存在：E 0=M(z)E 1。
M(z)即为传输矩阵，它将介质前后空间的电磁场联系起来，这和电阻将A 、B 两点的电势联系起来的实质是相似的。
图2 多层周期性交替排列介质传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质（如图2所示）， M(z)反映的介质前后空间电磁场之间的关系，而其实质是每层薄膜特征矩阵的乘积，若用j M 表示第j 层的特征矩阵，则有：1 2 3 4 …… j …… N（1）其中， （2）j δ为相位厚度，有 （3）如公式（2）所示，j M 的表示为一个2×2的矩阵形式，其中每个矩阵元都没有任何实际物理意义，它只是一个计算结果，其推导过程将在第二部分给出。
2. 传输矩阵法在了解了传输矩阵的基础上，下面将介绍传输矩阵法的定义：传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式，变成本征值求解问题。
从其定义可以看出，传输矩阵法的实质就是将麦克斯韦方程转化为传输矩阵，也就是传输矩阵法的建模过程，具体如下：利用麦克斯韦方程组求解两个紧邻层面上的电场和磁场，从而可以得到传输矩阵，然后将单层结论推广到整个介质空间，由此即可计算出整个多层介质的透射系数和反射系数。
传输矩阵法的特点：矩阵元少（4个），运算量小，速度快；关键：求解矩阵元；适用介质：多层周期性交替排列介质。
二、 传输矩阵的基础理论——薄膜光学理论 1.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组由四个场量：D 、E 、B 、H ，两个源量：J 、ρ以及反映它们之间关系的方程组成。
而且由媒质方程中的参数ε、μ、σ反映介质对电磁场的影响。
光线传输矩阵推导过程光线传输矩阵（Ray Transfer Matrix）是描述光线在光学系统中传输的数学工具，也被称为 ABCD 矩阵。
在光学系统中，常常需要知道光线从一个位置传输到另一个位置，因此需要将光线传输过程用数学描述出来。
光线传输矩阵是一种简便的描述光线传输过程的方法，可以用于计算光学系统的成像性能、衍射现象等。
1. 光线传输是沿直线传播的；2. 光线的传播满足亥姆霍兹方程；3. 光学系统是轴对称的，即沿光路方向上的所有点都是轴对称的。
在这些假设的基础上，可以推导出光线传输矩阵的一般形式。
假设一束光线在一个点 P 处（位置矢量为 [x, y, z]）的方向余弦分别为 l, m, n，那么在向前传播一段距离 d 之后，在点 Q（位置矢量为[x′, y′, z′]）处的方向余弦分别为l′, m′, n′。
下面推导光线传输矩阵。
首先，根据第一条假设，可以得到：x′ = x + dly′ = y + dmz′ = z + dn然后，根据亥姆霍兹方程，可以得到：$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} + k^2\psi = 0$$其中，$\psi$ 表示复振幅，$k$ 表示波数，$k = 2\pi/\lambda$。
假设在点 P 处的复振幅为 $\psi_0$，则在点 Q 处的复振幅为：$$\psi = \psi_0e^{ikn′d}$$其中，$n′d$ 表示传输距离。
忽略高阶小量，可以进一步简化为：$$\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x^2}dl^2 +\frac{\partial^2\psi_0}{\partial y^2}dm^2 + \frac{\partial^2\psi_0}{\partialz^2}dn^2 + 2\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x\partial y}dldm +2\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x\partial z}dldn +2\frac{\partial^2\psi_0}{\partial y\partial z}dmdn + k^2\psi_0 = 0$$接下来，定义一个 2x2 的矩阵 A 和一个 2x2 的矩阵 B，它们分别表示在点 P 和点Q 处的光线倾斜角（slopes）和射线高度（heights）：然后，将光线传输方程改写为矩阵形式：$$\begin{bmatrix} l′ \\ m′ \end{bmatrix} = M\begin{bmatrix} l \\ m\end{bmatrix}$$其中，$M$ 表示光线传输矩阵，它可以通过将以上方程变形得到：根据矩阵乘法的定义，可以将 $M$ 表示为：其中，$$\begin{aligned} A_{11} &= 1 + \frac{\partial l}{\partial z}d +\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x\partial z}d\frac{\partial l}{\partial z}d \\ A_{12} &= d + l\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x\partial z}d \\ A_{21} &=\frac{\partial m}{\partial z}d + m\frac{\partial^2\psi_0}{\partial y\partial z}d \\ A_{22} &= 1 + \frac{\partial m}{\partial z}d + \frac{\partial^2\psi_0}{\partial y\partial z}d\frac{\partial m}{\partial z}d \\ B_1 &= x +l\frac{\partial\psi_0}{\partial z}d +\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x^2}l^2 +\frac{\partial^2\psi_0}{\partial y\partial x}lm +\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x\partial z}ldx\right)d \\ B_2 &= y +m\frac{\partial\psi_0}{\partial z}d +\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2\psi_0}{\partial y\partial x}lm +\frac{\partial^2\psi_0}{\partial y^2}m^2 + \frac{\partial^2\psi_0}{\partialy\partial z}mdy\right)d \\ C_1 &= -\frac{1}{2}\frac{\partial^2\psi_0}{\partial x\partial y}d^2lm \\ C_2 &= -\frac{1}{2}\frac{\partial^2\psi_0}{\partialy\partial x}d^2lm \end{aligned}$$可以看到，光线传输矩阵 $M$ 的每一项都可以用初始光线的方向余弦和位置来表示。
传输矩阵法一、 传输矩阵法概述 1. 传输矩阵在介绍传输矩阵的模型之前，首先引入一个简单的电路模型。
如图1(a)所示， 在(a)中若已知A 点电压及电路电流，则我们只需要知道电阻R ，便可求出B 点电压。
传输矩阵具有和电阻相同的模型特性。
(a)(b)图1 传输矩阵模型及电路模拟模型如图1(b)所示，有这样的关系式存在：E 0=M(z)E 1。
M(z)即为传输矩阵，它将介质前后空间的电磁场联系起来，这和电阻将A 、B 两点的电势联系起来的实质是相似的。
图2 多层周期性交替排列介质传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质（如图2所示）， M(z)反映的介质前后空间电磁场之间的关系，而其实质是每层薄膜特征矩阵的乘积，若用j M 表示第j 层的特征矩阵，则有：1 2 3 4 …… j …… N（1）其中， （2）j δ为相位厚度，有 （3）如公式（2）所示，j M 的表示为一个2×2的矩阵形式，其中每个矩阵元都没有任何实际物理意义，它只是一个计算结果，其推导过程将在第二部分给出。
2. 传输矩阵法在了解了传输矩阵的基础上，下面将介绍传输矩阵法的定义：传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式，变成本征值求解问题。
从其定义可以看出，传输矩阵法的实质就是将麦克斯韦方程转化为传输矩阵，也就是传输矩阵法的建模过程，具体如下：利用麦克斯韦方程组求解两个紧邻层面上的电场和磁场，从而可以得到传输矩阵，然后将单层结论推广到整个介质空间，由此即可计算出整个多层介质的透射系数和反射系数。
传输矩阵法的特点：矩阵元少（4个），运算量小，速度快；关键：求解矩阵元；适用介质：多层周期性交替排列介质。
二、 传输矩阵的基础理论——薄膜光学理论 1.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组由四个场量：D 、E 、B 、H ，两个源量：J 、ρ以及反映它们之间关系的方程组成。
而且由媒质方程中的参数ε、μ、σ反映介质对电磁场的影响。
方程组的实质是描述电磁场的传播，即：一个变化的磁场引起邻近区域的电场变化，而此电场的变化又引起邻近磁场的变化，如此进行下去，便可抽象出电磁场的传播。
如图3 所示。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∏=D C B A M z M Nj j 1)(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=j j j j jjj i i M δδηδηδcos sin sin cos j j j j d N θλπδcos 2=ε图3 电磁场传播的模拟图将媒质方程带入麦克斯韦方程组，并对方程组求解可得以下两个重要结论：1) (4)式（4）中，N 即为介质的光学导纳，单位为西门子。
特别说明：光波段时，μ约等于1，N 数值上等于折射率。
自由空间导纳 。
2) (5)(6)式（5）为电场的波动方程，与经典波导方程（6）相比可得 ，通常把光速c 和电磁波在介质中速度之比定义为折射率，即得折射率公式：(7) 2.边界条件及反射折射电磁波在介质交界处满足切向分量连续的边界条件。
垂直入射时，电场和磁场均与入射面垂直，则它们的切向分量既是本身。
根据边界条件可得： (8)式（8）中，上标为+的代表入射波，-表示反射波。
又由导纳定义式（4）可得： (9）(10)将式（9）、（10）代入（8）中，整理可得反射系数定义式：(11)r 为反射系数，R 为反射率。
透射系数原理相同，在此不再推导。
E H H E E H H Ejk n vcE k H N -==⨯=00265.037710==ηt v 22221∂∂=∇ϕϕεμcv =tEc E 2222∂∂=∇μεμε=n ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=-+-+001001H H H E E E ⎪⎭⎪⎬⎫⨯-=⨯=--++)()(000000E k N H E k N H )(111E k N H ⨯=101000N N N N E E r +-==+-2r R =上面讨论的是垂直入射的情况，斜入射时情况类似，只是用修正导纳0η、1η代替（11）中的0N 、1N 。
其实，无论电磁波入射情况如何，电磁波只有两种情况：一种是电场E 平行入射面即TM 波（P 分量），此时电场的切向分量θcos E E tg =（θ为入射角），而磁场的切向分量是其本身，因此由（4）式可得：)(cos )cos ()(E k NE k N E k N H H tg tg ⨯=⨯=⨯==θθ (12) 将（12）式与（4）式对比可得到P 分量的修正导纳，同理可得TE 波（S 分量）的修正导纳：(13)可得一般情况下的反射、透射系数表达式：(14) 介质的传光特性可以由反射、透射系数所表征，而由以上讨论可知，这两个参数与导纳紧紧联系。
因此，求解介质的传光特性就可以转换为求解导纳问题， 这也是传输矩阵法所解决的核心问题之一。
其实，传输矩阵法就是通过求得介质的导纳，从而得到介质的反射透射系数。
3. 传输矩阵这一部分将应用薄膜光学理论详细推导介质的传输矩阵，以及如何求得介质导纳，根据第一部分传输矩阵的介绍可以知道，它其实是每层特征矩阵的乘积，所以，这一部分的推导就从单层薄膜的特殊矩阵入手，进而推广到整个介质空间推导出介质的传输矩阵。
下面就详细介绍单层薄膜的特殊矩阵。
电磁波通过厚度为d 1的单层薄膜过程如图4所示。
⎪⎭⎪⎬⎫==θηθηcos cos N N s p 1010ηηηη+-=r 1002ηηη+=t图4 电磁波通过单层薄膜图5 单层薄膜等效为介质面的示意图薄膜是存在一定厚度的，电磁波从0E 透过薄膜变为2E 的过程，与简单的穿过介质面相比多了个1E 的中间变换，如果可以将0E 和2E 通过导纳直接联系起来，那么薄膜就可以等效为一个介质面（如图5所示），前面所介绍的反射透射公式便可用。
因此，我们第一步完成从薄膜到介质面的等效推导。
令薄膜导纳（介质面1和介质面2的组合导纳）为Y ，则可得到薄膜的透射反射系数：(15)由式（15）可知，求得Y 便可求得r 、t 。
由导纳定义并对薄膜的第一介质面应用边界连续条件可得：(16)+0E -0E 2E 2N +0E -0E 2E 2N 0N YYr +-=00ηηYt +=002ηη)(00E k Y H ⨯=(17)图4中的+11E 、-11E 表示刚刚穿过介质面一的瞬时状态。
+12E 、-12E 表示即将穿过介质面二的瞬时状态。
这两个瞬时状态的唯一不同只是因为薄膜厚度引入的相位因子，即有：(18)将式（18）代入式（17）中可得式（19），并将其转为矩阵形式（20）：(19)(20)同理，薄膜的第二介质面有如下关系式：(21)(22)⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⨯-⨯=+=+=⨯+⨯=⨯+=+=-+-+-+-+-+-+)(1111101111000111101111000E k E k H H H H H H E k E k E k E E E E E η⎪⎭⎪⎬⎫==---++1111121112δδi i e E E e E E 1111cos 2θλπδd N =⎪⎭⎪⎬⎫⨯-⨯=⨯+⨯=⨯--+--+1111112112012120)()()()(δδδδηηi i i i e E k e E k H e E k e E k E k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+--121211001111E k E k e ee e H E k i i i i δδδδηη⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⨯-⨯=+=⨯+⨯=⨯+=-+-+-+-+)(121212121221212212122E k E k H H H H E k E k E k E E E η⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-⨯=⨯+⨯=⨯-+212122121221)(2121)(21H E k E k H E k E k ηη精品文档(23)式（20）、（23）分别表示介质面一、二两侧空间电磁场之间的联系，若将式（23）代入式（20）中相乘，则所得到的结果就表示整个薄膜两侧空间电磁场之间的联系，即：(24)从式（24）中得到了第一层的特征矩阵：(25)(26)考虑到导纳定义有如式（26）的关系，则可对式（24）进一步化简：(27)令 为为膜系的特征方程，则有关系式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯-+2211121221212121H E k E k E k ηη⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=22111111cos sin sin cos H Ek i i δδηδηδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--22111100212121211111H E k e e ee H E k i i i i ηηηηδδδδ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1111111cos sin sin cos δδηδηδi i M ⎪⎭⎪⎬⎫⨯=⨯=)()(22200E k H E k Y H η)(1cos sin sin cos 1)(221111110E k i i Y E k ⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯ηδδηδηδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡C B(28)对比式（24）等号左边的形式，由导纳定义可得整个单层薄膜的组合导纳：BCY = (29)从而由式（15）可求得单层薄膜的反射、透射系数。
至此完成了第一步，即从薄膜到介质面的等效推导。
将将单层得到的结论推广到整个介质空间可得：(30)(31)(32)(33)(34)(35)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21111111cos sin sin cos ηδδηδηδi i C B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∏=D C B A M z M Nj j 1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+11)(N z M C B ηBC Y =Yt +=002ηηYY r +-=00ηη⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=j j j j jj j i iM δδηδηδcos sin sin cos jj j j d N θλπδcos 2=式（30）为介质第j 层的特征矩阵，需要注意的是特征矩阵的行列式值为1。
由式（32）即可得到整个介质的传输矩阵。
至此，完成了多层介质传输矩阵的建模过程。
值得一提的是，在讨论单层薄膜时，得到单层薄膜的反射率后，若对薄膜的光学厚度H(H=nd ，n 为薄膜折射率，d 为薄膜实际厚度)求导，可得如图6的结果。
从结果中我们可以看出，在厚度为4时，反射率根据折射率的不同可达到最大或最小值。
图6 反射率与光学厚度的关系三、 传输矩阵法的应用举例传输矩阵法的典型应用是对多层周期性交替排列介质的分析，具有这样结构的器件实例有：光子晶体、光栅、量子阱结构、DBR 结构器件等。
具体应用过程请参见文献《传输矩阵法分析一维光子晶体的传光特性》。
