正交矩阵与正交化方法 ppt课件

Chapter 4(1) 正交矩阵与正交变换
教学要求：
1. 了解正交变换与正交矩阵的概念以及它们的 性质.
一. 正交矩阵的定义与性质 二. 正交变换
一. 正交矩阵的定义与性质 1. 定义 若n阶方阵 A满足 AA E,则称 A为正交矩阵. 2. 性质 (1) A 1; ( AA E, AA 1, A 2 1.) (2) A, B为正交矩阵,则AB也是正交矩阵;
an1
a12 a22
an2
a1n
a2n
(1,2 ,
,n)
ann
a11
则
A
a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
1 2
n
1
AA E 2 1,2, ,n E
n
(11,11 )1(2 1,2 ) 1n (1,n )
(22,11 )2(2 2,2
ex3. 求以1 (1,1,1,1),2 (1,1,1,1)
为前两列的正交矩阵.
Method1.取3 (1,0,0,0),4 (0,0,0,1)
显然1,2,3 ,4线性无关.
正交化, 取1 1 (1,1,1,1),
则2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
(1,1,1,1),
3
3
(3 , (1,
1 ) 1 )
1
(3 , (2,
2) 2)
2
(1 2
,
1 ,0,0), 2
4
(04,0,((1241,,,12)11.))
1
(4 , 2 ) (2, 2 )
2
(4 , 3 ) (3, 3 )

则 1,2, ,r两两正交，且与 1,2, ,r等价.
《线性代数》课题组
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
2）单位化
令 1 1 11 ,2 1 22 , ,r 1 rr,
则可得到与1,2, ,r等价的单位正交组 1,2, ,r.
这个过程称为单位正交化过程，上述两个步骤次序 不可交换.
例2
用正交矩阵将 A


1 1
2 1
1 2

对角化.
解 矩阵 A 的特征值为
121,34
对应的特征向量为
1 1
1
1


1

,

2


0

,
0
1

3


1

1
如何求A的 特征值与 特征向量
《线性代数》课题组

1
6





1 6

,
2
6
《线性代数》课题组
以单位正交向量 1, 2, 3 为列得正交矩阵



1 2
1 6
1
3

Q



1 2
1 6
1
3


0
2 1
6
3
特征值与特征向 量应对应
使得
1

Q 1AQ



1

5
11 1
11
3
0
1 1T
2 2 2

11
15
3

，b2，b3
且b 1
，b2，b3与a1
,
a2，a3等价.
令 3 3 k11 k22 , 为使
1, 3 2, 3 0 , 则 可推出
k1
3 , 1,
1 1
,
k2
3 , 2 ,
2 2
,
于是
3
3
3 , 1,
1 1
1
3 , 2 ,
2 2
2
,
1, 2 , 3 是与1, 2 , 3 等价的正交向量组 .
１ 正交的概念 当 ( x, y) 0 时 , 称向量 x 与 y 正交. (orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 α1,α2 , ,αr 是一组两两正交的 非零向量 , 则 α1,α2 , ,αr 线性无关.
1 1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
1. 定义 若实矩阵 A 满足 AAT=ATA=I ,则称 A 为正交矩阵 .
2. 性质 1 A1 AT,
2 A 1 ,
3 AT , A1, AB也是正交方阵
4 A 为正交矩阵 A的行列向量组
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0,
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
如：a1 1，0，0，a2 0，1，0，a3 0，0，1
b1 1，0，0，b2 1，1，0，b3 1，1，1

即，Axn = cxn, 这样我们就找到了第n个线性无关的特征向
量。矛盾。
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例 对下列实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，
使
为对角阵.
PTAP
æ ç
4
0
0
ö ÷
P
A=ç 0 3 1 ÷
ç è
0
1
3
÷ ø
4 0 0
A E 0 3 1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
(A的-解l空sE间)。x = 0 k
ådim Vs = n -1.
s=1
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为什么实对称矩阵可以对角化呢？
证 长明 度： 为(1续的)n不个妨向设量h11,。其, h1d中ihmsVt (11, h£12
, t
£
,
hk dim
Vk
,
xn
dim Vs )
是两两垂直的、 是从l属s 于 的
P
使
为对角阵.
PTAP
æ ç
2
-2
0
ö ÷
A = ç -2 1 -2 ÷,
èç 0 -2 0 ø÷
解 第一步 求 的特A征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
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第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
定义 若n阶方阵的列向量组为 的一组规范正R交n 基，则称之为正交矩阵。
定理 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
Û称A为正交矩阵 .Û AAT = E.
证明 设 A = (a1，, 则, an )
ATA = E

得特征值
1 2 1, 3 10
14
（２）求特征向量 对于 1 2 1,
1 由 I A 2 2 得一个基础解系
解方程组 I A X 0
2 1 2 2 4 4 0 0 0 0 0 0 4 4 T T 1 2,1, 0 , 2 2, 0,1 2
对于
3 8
得到特征向量
3 （2， 1， 2）
1 1，
取 3
1 1 0.5 [2，1 ] 1 2 2 1 2 0 2 [ 1，1 ] 0 2 1 0.5
I A x 0
4 2 4 x1 0 2 1 2 x2 0 4 2 4 x 0 3
，2 （， 1 0， 1 ） （， 1 2， 0） 得到两个线性无关的特征向量 1
2 问A能否对角化？请说明理由。
解
因 是矩阵A的特征向量，故存在数，使得A ，
2 1 2 1 1 即 5 a 3 1 1 , 1 b 2 1 1 1 得 2 a , 1 b
0 0 1 0 0 1
定义4.6 如果一个方阵P满足 则称矩阵P为正交矩阵。
PT P I （或 PPT I ），
2
例1 证明
6 2 3 1 是正交矩阵。 验证矩阵 A 3 6 2 7 2 3 6 因为 6 2 3 6 3 2 1 1 T AA 3 6 2 2 6 3 7 7 2 3 6 3 2 6 49 0 0 1 0 49 0 I 49 0 0 49