线性代数课件：2-4分块矩阵
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x2_4分块矩阵
A 11 A 21
A 12 就是分成两行两列四 A 22 块的分块矩阵。
a 11 其 中 ， A11 a 21
a 12 a 13 , A12 a 22 a 23 A 21 a 31
a 14 , a 24 a 34 .
A,B都是2×2分块矩阵,而且对应子块的行数与列 数都相等.因此两个分块矩阵可以相加,得
A B 2 0 2 1 0 1 3 3 2 3 5 0 0 2 2 0
例4 设
A 1， 2， 3， ， B 1， 2， 3，
0 1 ,I 0 0
0 0 ,B 1 0
3 . 1
一个矩阵可以有多种分块的方法,究竟怎么分 比较好,要看具体需要而定.
例2
A
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 2 2 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 1
1 0 B 1 0 2
0 1 1 1 0
2 0 3 1 1
现在的分 法已满足 乘法要求
B 11 , B B 21 B 31
B 12 B 22 B 32
AB=C 作为分块矩阵应该是2×2的分块矩阵,其第(i, j)块为
i=1,2; j=1,2
0 2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 0
1 0 A 0 1
0 1 0 0
2 1 3 2
Байду номын сангаас
1 2 1 0
0 1 ， 0 1
《线性代数》分块矩阵
A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2
2 4 1
0 0 1
A11 A21
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0
sCh2-4矩阵分块法
A
1
A111 O
A11 A12 A22 1 A22
1
1
1 / 2 1 / 4 5 / 8 5 / 16 1/ 2 1/ 4 5/ 8 0 0 0 1/ 2 1/ 4 0 0 0 1/ 2
A1r B 1r A 2 r B 2 r 矩阵和其相应 子块都同型 A sr B sr B 1r B 11 B 12 B 21 B 22 B 2r 将矩阵的子块视为元素 B mn B B B s 1 s 2 sr kA (kAij ) 对应子块数乘
1 X 11 A11 1 1 X 12 A11 A12 A22
可按 “左行右列”法则作为公式记忆!
2 补例3 0 求A 0 0
1 2 0 0
3 1 2 0
4 将矩阵分块 解 1 1 3 A11 A12 A 1 2 4 A 1 , 的 逆 阵 A 22 , 11 1 1 A O 22 0 2 2
A1 B 1 AB
| A| | A1| | A2 |
kA1 ; ; kA kA As B s s m T A A 1 1 ; ; AT ; Am m T As B s A s A s 对角线子块做相应运算
T 1 T T 则 A A 2 (1 , 2 ,
T T 1T n 1 1 2 1 T T 2T 2 2 n 2 1 , n ) O, T T T T n 1 n 2 n n n iT j 0 对任意的 i , j 成立, 故当 i = j 时有 T j j 0, a1 j a2 j a 2 a 2 a 2 0 , 而 T a a a ( ) 1 j 2 j mj 1j 2j mj j j amj aij 0 , ( i 1, 2, , m) , j O，( j 1, 2, , n) A O .
线性代数2_4分块矩阵
(1). 列分块矩阵
称之为列分块矩阵， 称之为列分块矩阵，其中 β j = (a1 j , a2 j , L, amj )T 列分块矩阵 如果按行分块
a11 a12 L a1n α1 a21 a22 L a2 n α 2 A= M = M M M M am1 am 2 L amn α m
第4节 分块矩阵
1. 分块矩阵
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块， 用若干条横线和纵线把矩阵 分成若干小块，每一个小 分成若干小块 块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 的每一个子 块作为一个矩阵，称为 的子块 或子矩阵 把A的每一个子 块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵 例如
A11 A21 A= M Ar1 A12 L A1s A22 L A2s M M M Ar2 L Ars
B11 B21 B= M Br1
B12 L B1s B22 L B2 s M M M Br 2 L Brs
此时把A看作只有一块的矩阵， 有意义, 此时把 看作只有一块的矩阵，则 Aβj (j=1,2,..,n)有意义,从而有 看作只有一块的矩阵 有意义
AB = A( β1 , β 2 , L , β s ) = ( Aβ1 , Aβ 2 , L , Aβ s ) .
(验证，见下例.) 验证，见下例.
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《线性代数》
1 2 3 A2 = 0 − 1 1 1 0 0
返回 下页
A3 = (2)
结束
设有两个分块对角矩阵
工程数学2-4 分块矩阵
0 1 0 a 0 0 a = ( A1 A2 A3 A4 ),其中 2 = A1 ⋯4 ⋯ 3 1 0 1 b 1 b 0 b
二、分块矩阵的运算规则
(1 ) 设矩阵 A 与 B 的行数相同 , 列数相同 , 采用
相同的分块法 , 有 A11 ⋯ A1 r B11 ⋮ , B = ⋮ A= ⋮ A B ⋯ A sr s1 s1
1 , a 1 ; b 0 , a 0 ; b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 0 1 , 其中 = 0 0 B2 b B2 = b 1
A1 A+ B = 0
例1
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
1 0 4 2
0 1 B E = 11 1 B21B22 0
E 则 AB = A1
O B11 E B21
E B22 . A1 + B22 E
(5 ) 设 A为 n阶矩阵 , 若 A的分块矩阵只有在主对 角线
上有非零子块 , 其余子块都为零矩阵 , 且非零子块都 是方阵 .即
A1 O A2 A= , ⋱ O As
A1 O A2 A= , ⋱ O As
0 B1 A2 0
0
0 A1 B2 0
0 A2
A1 B1 A1 = 0
, A2 B2 A2
a3 + a 2a2 + 1 , A1B1 A1 = 2 a 3 a +a b3 + 2b 2b2 + 1 A2B2 A2 = 3b2 b3 + 2b,
线性代数2.4分块矩阵
M
a24
M a34
A (1,2,3,4 )
特殊的分块方法
1.按行分块：将矩阵的每一行，作为一个子块，记为
a11 a12 L
Amn
a21 M
a22 L M
am1
am2
L
a1n
1
a2n
M
2
M
amn
mn
m
i ai1, ai2,L , ain (i 1, 2,L , m)
2.3逆矩阵及其基本求法
一 分块矩阵的概念
二 分块矩阵的运算
一、分块矩阵的概念
A ( A1, A2 )
将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多 小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，
以子块为元素形式上的矩阵称为分块矩阵。
a11
a21
a12 M a13 a22 M a23
a14
a24
L L M L L
…（I）
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
Ax b … （II）
x1 b1
A
(aij
)mn
,
x
x2
M
,
b
b2
M
xn
bm
向量方程（II）的 解就称为线性方程 组（I）的解向量
方程组（I）的 系数矩阵
未知数向量
常数项向量
《线性代数》精品课程
Ax b
a31
a32
M a33
a
34
a11 a12 M a13 a14
a21
a22
M a23
a24
a31 a32 M a33 a34
A
A11 A21
A12
PPT 第四节：分块矩阵
− 1 1 9
于是
C
=
1
−3 5
0 4 −2
−863.
完
例 7 设 A是一个m × n的矩阵, B是一个n × l的矩
阵, 同样, 可对A作行分块, 即将A的每一行作为
一块, 则
α1
A
=
α
2
,
αm
其中 α i
=
(α
i1
,
α
i
2
,,
α
im
)
(i
=
1,2,, m)
是
A的
第 i 行. 这时也将 B 看成是 1× 1 分块矩阵, 则有
即 A = O. 证毕.
完
α1B
AB
=
α
2
B
.
α nB
完
分块矩阵的其它运算规则
A11 A12 A1t
A1T1 A2T1 AsT1
1. 设
A
=
A21
A22
A2t ,
则
AT
=
A1T2
A2T2
AsT2 ;
As1
As 2
Ast
A1Tt
A2Tt
AsTt
2. 设A为n阶矩阵, 若A的分块矩阵只有在主对角线上有
A = = 0 1 0
0 0
0 0
1 0
− 1
0 1
b c
.
d
完
1 3 − 1 0
例1 设 A = 2 5 0 − 2. 则 A 就是一个分块矩阵.
3 1 − 1 3
若记
A11
=
1 2
3 5
−01,
A21 = (3,1,−1),
2-4 矩阵分块法
§4 矩阵分块法本节我们将介绍矩阵运算的一种有用的技巧——矩阵的分块，这种技巧在处理某些较高阶的矩阵时常常被用到。
一、分块矩阵的概念设A 是一个矩阵，我们在它的行或列之间加上一些直线，把这个矩阵分成若干个小块，例如，设A 是一个43⨯矩阵111213212223313233414243a a a a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 我们可以把它分成如下的四块111213212223313233414243a a a a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭用这种方法被分成若干个小块的矩阵称为分块矩阵，每一个小块称为A 的一个子块。
在一个分块矩阵中，每一个小块也可以看成是一个矩阵。
例如，上面的分块矩阵A 是由以下四个矩阵组成的111121a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1213122223a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 312141a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 3233224243a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭我们可以把A 简单地写成11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭对一个矩阵来讲，可以有各种不同的分法。
二、分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明如下：（1）分块矩阵的加法设()ij m n A a ⨯=，()ij m n B b ⨯=，采用同样的分块方法得1111r s sr A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1111r s sr B B B B B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中ij A 与ij B 的行数与列数都相同，则11111111r r s s sr sr A B A B A B A B A B ++⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪++⎝⎭（2）数乘分块矩阵设1111r s sr A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，λ为实数，则1111r s sr A A A A A λλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）分块矩阵的乘法设()ij m l A a ⨯=，()ij l n B b ⨯=，分别分块成1111t s st A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1111r t tr B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,i i it A A A （1,2,,i s = ）的列数分别等于12,,,j j t j B B B （1,2,,j r = ）的行数，则1111r s sr C C AB C A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中1tij ik kj k C A B ==∑（1,2,,i s = ，1,2,,j r = ）例1 设1000010012101101A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭， 1010120110411120B ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭求乘积AB解 为了求乘积AB ，我们可以对A 、B 进行如下的分块1000010012101101A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭1E O A E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1010120110411120B ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭112122B E B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭按分块矩阵的乘法可得11111212211121122E O B E B EAB A E B B A B B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 11121121010111211A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2411-⎛⎫= ⎪-⎝⎭122124133112031A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 1010120124331131AB ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭（4）分块矩阵的转置设1111r s sr A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 则1111T T s T T T r srA A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（5）分块对角阵在n 阶方阵A 的分块矩阵中，如果只有在主对角线上有非零的小方阵，而其余子块均为零矩阵，即12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则A 称为分块对角阵。
[理学]2-4矩阵分块法
A1
r
.
As1 Asr
例
2,
1 A3
2 2
3 1
4 5 6
1 2 2 2 3 2 2A3 2 2 2 1 2
4 2 5 2 6 2
4 4 6 6 4 2 .
8 10 12
3 设 A 为 m l矩 ,B 为 阵 l n 矩 ,分 阵 块
A A 11 A 1t , A s1 A st
AB A A 1 0 B 1 0 A 1 0 0 A 20 B 20 A 2
A1B1A1 0 , 0 A2B2A2
A1B1A1a3a2a 2aa32a1, A2B2A2b33 b22b b23 b2 21 b,
AB A 1 A0 B 1 0 A 1 0 0 A 20 B 20 A 2
o
. As 1
A1
7 0
0
A2
0B1 0 0
0
B2
0 0
0 0 As 0 0 Bs
A1B1
0
0
A2B2
0
0
.
0
0 AsBs
例1 (P49) 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
0 0
,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
于是
A B B 11
E
A 1B 11 B 21 A 1B 22
1 0 1 0
1 2
4 4
0 3
1 3
.
1 1 3 1
a 1 0 0
例2
设
A
0 0
a 0
线性代数PPT课件：矩阵 第4节 分块矩阵
(2)
(3)
x1a1 + x2a2 + … + xnan = b .
（ 4）
A11 A1t B11 B1r A ,B , A A B B st tr s1 t1
其中 Ai1 , Ai2 , …, Ait 的列数分别等于 B1j , B2j ,
…, Btj 的行数,那么
其中 A 称为系数矩阵，x 称为未知向量，b 称为常
数项向量，B 称为增广矩阵. 按分块矩阵的记法，
可记
B=(A b),
或 B = ( A , b ) = ( a1 , a2 , … , an , b ) .
利用矩阵的乘法，此方程组可记作 Ax = b . (1) 的解向量. (2) 方程（2）以向量 x 为未知量，它的解称为方程组
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34
分成子块的分法很多, 下面举出三种分块形式:
a11 a12 a13 a14 (1) a21 a22 a23 a24 , a a a a 31 32 33 34
即 A11, A12, A21, A22 为 A 的子块,而 A 形式上成为
以这些子块为元素的分块矩阵. 分法 (2) 及 (3) 的
分块矩阵可类似写出, 这里略.
2.4.2 分块矩阵的运算
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似, 分别说明如下:
1.加法运算
设矩阵 A 与 B 的行数相同、列数相同, 采用 相同的分块法, 有
如果把系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方
程组 Ax = b 可记作
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其中子块和Bi(i=1,2,…,s)为同阶方阵,则 有下述性质：
（1）
A1 B1
A
B
（2）
A1 B1
AB
A2 B2
; As Bs
A2 B2
; As Bs
（3） |A|=|A1||A2|…|As|;
（4） 若|Ai|0(i =1,2,…,s),则
A1
1
A1 1
A2
As
2. 分块矩阵的乘法
设矩阵A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,用分块矩 阵计算A,B的乘积AB时, 一定要使A的列 的分法与B的行的分法一致,这样不仅可以
， 保证A,B作为分块矩阵可乘,而且它们相 应的各子块间的乘法也有意义,即
，
s1
s2
s
p
n1
n2 nq
A11
A
A21
A12
， 矩阵的每一子块.
设分块矩阵
，
A11
A
A21
A12
A22
A1q
A2q
,
Ap1 Ap2 Apq
则
，
AT 11
AT
AT 12
AT 1q
AT 21
AT p1
AT 22
AT p2
,
AT 1q
AT pq
， 即对分块矩阵做转置时,要将其行、列位 置互换,而且还要将每一子块进行转置.
，
k 1
j=1,2,…,q).
这说明,如果把分块矩阵的子块象数 一样看待,它们的乘法与通常的矩阵乘法 规则在形式上是完全相同的.
例2.4.1 设
1 0 0 0
A
0 1 1
1 2 1
0 1 0
0 0 1
,
1 0 1 0
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
1 1 0
,
， 用分块矩阵计算AB.
解 将矩阵A,B作如下分块
，
1 0 1 2
A
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1 0 1
E1 O
A1 E2
则
，
1 0 1B11 1源自2 0 10 4 2
0
1 1 0
B11 B21
E B22 ,
AB
E1 O
A1 E2
B11 B21
E B22
B11
A1 B21 B21
E1
A1 B22 B22
.
因 ，
1 0 1 2 1 0 B11 A1 B21 1 2 0 1 1 1
1 1
0 2
3 1
2 1
2 2
2 1
,
1 0 1 2 4 1 E1 A1B22 0 1 0 1 2 0
，
故
，
1 2
11,
2 2 1 1
AB
E1 O
A1 E2
B11 B21
E B22
2 1 1
A 1 2
;
As 1
A2
As
A1 1
A 1 1
A 1 s
A 1 2
.
例2.4.2 设
0 0
a1 0
0 a2
0 0
0 0
A
0
0
0 an2
0
，
0 0 an 0
0 0
0 0
an1 0
，
其中ai≠0(i=1,2,…,n),试用分块矩阵 求A-1.
解设
其中
A12 B12
A22 B22
A1q B1q
A2q
B2q
,
Ap1 Bq1 Ap2 Bq2 Apq B pq
，
设k是一个常数，容易证明
kA11
kA
kA21
kA12
kA22
kA1q
kA2q
,
kAp1 kAp2 kApq
即用数k乘一个分块矩阵,只需用数k去乘
D
A C
OB ,
其中 A, B分别为 s 阶、t 阶可逆矩
阵 ,O 为 s ×t 零矩阵, C 为 t ×s 矩阵,
O A A2
A1 O
,
a1
A1
a2
, an1
因为
A2 (an ).
A 1
O A 1
1
A 1 2
O
,
且
a 1 1
A1 1
a 1 2
,
a 1 n1
故
0 0 0
a 1 1
0
0
A 1
0
a 1 2
0
0
0
a 1 n 1
A 1 2
a
1 n
.
a 1 n
0
0 .
0
例2.4.3 设
A22
A1p m1
A2 p
m2
,
B
B11 B21
B12
B22
B1q B2q
s1 s2
Ar1 Ar 2 Arp mr
B p1 B p2 B pq s p
，
， 其中矩阵A的子块Aik为mi×sk(i=1,2,…,r,
k = 1,2,…,p ) 矩阵,矩阵 B 的子块 Bkj 为
，
，
A11
A
A21
A12
A22
A1q
A2q
,
Ap1 Ap2 Apq
B11
B
B21
B12
B22
B1q B2q
Bp1 Bp2 Bpq
其中子块Aij与Bij(i=1,2,…,p;j=1,2,…,q) 是同型矩阵,容易证明
，
A11 B11
A
B
A21
B21
6 3
5 0
1
9 3
7
124,
，
若记
，
3 A11 5
0 2
41,
5 A12 0
93,
A13
12,
A21 8 6 3, A22 1 7, A23 4,
则矩阵A就化成了2×3矩阵
A
A11 A21
A12 A22
A13 A23
.
对于矩阵A,我们还可按行或按列进
， 行分块,即
3 0 1 5 9 2
，
A
5
2
4 0 3
1 ,
8 6 3 1 7 4
A
3 5
8
0 1 24
6 3
5 0
1
9 3
7
124.
2.4.2 分块矩阵的运算
，
对于分块矩阵,我们把它的子块当作
矩阵中的数一样看待,就可以象通常的矩
阵一样，对于它们进行加法、数乘与乘法
，
运算.
1. 分块矩阵的加法、数乘与转置
设A,B为m×n矩阵,将A,B采用同样的 方法进行分块,得到
sk×nj (k=1,2,…,p; j=1,2,…,q ) 矩阵,且
r
p
q
mi m, si s, ni n.
i 1
i 1
i 1
容易证明
C11 C12 C1q
AB
C 21
C 22
C2
q
,
，
C r1
Cr2
Crq
p
其中 Cij Aik Bkj 为mi×nj矩阵(i=1,2,…,r;
12 04 1 2
1 1 0
.
2.4.3 准对角形矩阵 定义2.5.2 设A为n阶方阵,如果它的 分块矩阵具有如下形式
A1
A
A2
, As
其中Ai (i =1,2,…,s)为ni
阶方阵,
s
ni n,
i 1
则称A为准对角形矩阵.
设n阶准对角形矩阵
A1
A
A2
, As
B1
B
B2
Bs
§2.4 分块矩阵 2.4.1 分块矩阵的概念
定义2.4.1 设A是一个矩阵,用贯穿于 的纵线和横线按某种需要将其划分成若干 个阶数较低的矩阵,这种矩阵称为A的子块 或子矩阵,以这些子块为元素构成的矩阵 称为A的分块矩阵.
例如,用一条横线两条纵线把下面的 3×6矩阵A分成6个子块
A 853
0 1 24