线性代数矩阵

线性代数的矩阵运算矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，矩阵运算是线性代数的核心内容之一。

通过矩阵运算，我们可以解决各种线性方程组，研究向量空间的性质，以及进行线性变换等。

本文将介绍线性代数中的矩阵运算，包括矩阵的加法、减法、乘法、转置以及求逆运算等。

1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是相似的运算。

对于两个具有相同维度的矩阵A 和B，它们的加法运算定义为将相同位置的元素相加得到一个新的矩阵C，即C = A + B。

而矩阵的减法运算定义为将相同位置的元素相减得到一个新的矩阵D，即D = A - B。

例如，对于如下两个矩阵：A = [1 2 3]B = [4 5 6][7 8 9] [10 11 12]它们的加法运算结果为：C = A + B = [1+4 2+5 3+6] = [5 7 9][7+10 8+11 9+12] [17 19 21]而减法运算结果为：D = A - B = [1-4 2-5 3-6] = [-3 -3 -3][7-10 8-11 9-12] [-3 -3 -3]这样，我们可以通过矩阵的加法和减法运算来对矩阵进行融合、分解和控制等操作。

2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的关键操作，它可以将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

对于两个矩阵A和B，若A的列数等于B的行数，则它们可以进行乘法运算。

设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，它们的乘法运算定义为两个矩阵对应元素的乘积之和。

新的矩阵C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。

记作C = A × B。

例如，对于如下两个矩阵：A = [1 2 3]B = [4 5][6 7 8] [9 10][11 12]它们的乘法运算结果为：C = A × B = [1×4+2×9+3×11 1×5+2×10+3×12][6×4+7×9+8×11 6×5+7×10+8×12]= [59 64][149 163]矩阵的乘法可以应用于很多实际的问题中，比如线性方程组的求解、向量空间的转换等。

线性代数中的矩阵：概念与基本性质矩阵是线性代数中最基本、也是最常用的概念之一。

它是由若干个按照规定大小和次序排列的数构成的矩形阵列，常用大写字母表示。

下面将介绍矩阵的概念与基本性质。

一、矩阵的定义设有m行n列的数a_ij排成一个m×n的矩形阵列，则称这个m×n的阵列为一个矩阵，记作A=(a_ij)，其中1≤i≤m，1≤j≤n。

在矩阵A中，a_ij称为矩阵A的第i行第j列的元素，第i行的元素排列在一起，构成了矩阵A的第i行，第j列的元素排列在一起，构成了矩阵A的第j列。

二、矩阵的基本性质1、矩阵的加法设矩阵A=(a_ij)与B=(b_ij)的大小及相对应的元素都相同，则A 与B的和C=A+B的元素c_ij=a_ij+b_ij，1≤i≤m，1≤j≤n。

矩阵加法具有结合律、交换律和分配律。

2、矩阵的数乘设k是一个数，矩阵A=(a_ij)，则kA的元素为(k·a_ij)，1≤i≤m，1≤j≤n。

矩阵数乘同样具有分配律和结合律。

3、矩阵的乘法设矩阵A=(a_ij)的大小为m×p，矩阵B=(b_ij)的大小为p×n，矩阵C=(c_ij)的大小为m×n，则称C=AB，如果c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ipb_pj，1≤i≤m，1≤j≤n。

在矩阵C中，第i行第j列的元素c_ij是矩阵A的第i行的元素和矩阵B的第j列的元素的乘积和。

矩阵乘法不具有交换律。

4、矩阵的转置设矩阵A=(a_ij)的大小为m×n，则称A的转置矩阵为A^T=(b_ij)，大小为n×m，其中b_ij=a_ji。

矩阵的转置具有分配律和结合律。

5、矩阵的逆设方阵A的大小为n×n，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=E，其中E是n阶单位矩阵，那么称矩阵A是可逆的。

矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。

如果矩阵A是可逆的，则其逆矩阵唯一。

线性代数中的矩阵分解方法矩阵分解方法是线性代数中的关键概念之一，它通过将一个矩阵分解为多个简化的矩阵形式，从而简化计算和分析。

在本文中，我们将介绍线性代数中常见的矩阵分解方法，并讨论它们的应用和优势。

一、LU分解LU分解是将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。

通过LU分解，我们可以方便地求解线性方程组，计算逆矩阵等操作。

LU分解的过程可以通过高斯消元法来实现，如下所示：[ A ] = [ L ] [ U ]其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ L ]是下三角矩阵，[ U ]是上三角矩阵。

二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的过程。

QR分解广泛应用于最小二乘拟合、信号处理和图像处理等领域。

QR分解的过程可以通过Gram-Schmidt正交化方法来实现，如下所示：[ A ] = [ Q ] [ R ]其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ Q ]是正交矩阵，[ R ]是上三角矩阵。

三、奇异值分解（SVD）奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和一个正交矩阵V的过程。

SVD广泛应用于图像压缩、降噪和数据降维等领域。

奇异值分解的过程可以通过特征值分解和奇异值分解算法来实现，如下所示：[ A ] = [ U ] [ Σ ] [ V ]^T其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ U ]是正交矩阵，[ Σ ]是对角矩阵，[ V ]是正交矩阵。

四、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个特征向量矩阵P和一个特征值对角矩阵D的过程。

特征值分解广泛应用于谱分析、动力系统和量子力学等领域。

特征值分解的过程可以通过求解特征值和特征向量来实现，如下所示：[ A ] = [ P ] [ D ] [ P ]^(-1)其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ P ]是特征向量矩阵，[ D ]是特征值对角矩阵。

五、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积的过程。

线性代数中的矩阵的特殊类型与性质矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

在线性代数中，矩阵可以分为多种特殊类型，每种类型都有其独特的性质和特点。

本文将介绍几种常见的矩阵特殊类型以及它们的性质。

一、对角矩阵对角矩阵是一种具有特殊形式的矩阵，其除了主对角线上的元素外，其余元素均为零。

对角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值，也可以是相同的值。

对角矩阵的性质如下：1. 对角矩阵的乘法：两个对角矩阵相乘仍然得到一个对角矩阵，且新矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的乘积。

2. 对角矩阵的逆矩阵：对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素均不为零。

逆矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的倒数。

3. 对角矩阵的转置：对角矩阵的转置等于其本身。

二、上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线及其以上的元素均不为零，而主对角线以下的元素均为零。

下三角矩阵与上三角矩阵相反，其主对角线及其以下的元素均不为零，而主对角线以上的元素均为零。

上三角矩阵和下三角矩阵的性质如下：1. 上三角矩阵和下三角矩阵的乘法：两个上三角矩阵或两个下三角矩阵相乘仍然得到一个上三角矩阵或下三角矩阵。

2. 上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵：上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵存在当且仅当其主对角线上的元素均不为零。

3. 上三角矩阵和下三角矩阵的转置：一个上三角矩阵的转置是一个下三角矩阵，一个下三角矩阵的转置是一个上三角矩阵。

三、对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置等于其本身。

也就是说，如果矩阵A是一个对称矩阵，那么A的转置矩阵等于A本身。

对称矩阵的性质如下：1. 对称矩阵的特征值：对称矩阵的特征值均为实数。

2. 对称矩阵的特征向量：对称矩阵的特征向量相互正交。

3. 对称矩阵的对角化：对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，即可以找到一个正交矩阵P，使得P的逆矩阵乘以对称矩阵A再乘以P等于一个对角矩阵。

四、单位矩阵单位矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线上的元素均为1，其余元素均为零。

线性代数之矩阵总汇⼀. 矩阵介绍1. 矩阵的定义由m × n个数a ij (i=1，2，...，m；j=1，2，...，m)排成的m⾏n列的数表成为m⾏列矩阵，简称m × n矩阵，为了表⽰是⼀个整体通常写法总是加⼀个括弧，并使⽤⼤写⿊体字符表⽰它，记作：A =a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a m 1a m 2⋯a mn这m × n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数a y 位于矩阵A的第i⾏第j列，简称为矩阵A的(i，j)元。

⽽元素是实数的矩阵成为实矩阵，元素是复数的矩阵成为复矩阵2. 矩阵的分类n 阶⽅阵(n 阶矩阵)⾏数和列数都等于n 的矩阵称为n 阶矩阵或n 阶⽅阵，n 阶矩阵A 记作A n ⾏矩阵(⾏向量)只有⼀⾏的矩阵，称为⾏矩阵，⼜称⾏向量，⾏矩阵记作：A =(a 1,a 2,⋯,a n )列矩阵(列向量)只有⼀列的矩阵，称为列矩阵，⼜称列向量，列矩阵记作:B =b 1b 2⋅⋅⋅b n 同型矩阵%两个矩阵的⾏数和列数都相等，就称它们是同型矩阵零矩阵元素全部都为零的矩阵称为零矩阵，记作O,注意不同型的零矩阵是不同的对⾓矩阵除主对⾓线的元素之外其余位置元素都为0的矩阵叫对⾓矩阵，如：A =10000200003004数量矩阵主对⾓线的元素都相等，其余位置元素都为0的矩阵叫数量矩阵，如：E =20000200002002单位矩阵主对⾓线的元素为1，其余位置的元素为0的矩阵叫做单位矩阵,通常单位矩阵使⽤E 来表⽰，如:E =10000100001001数量矩阵和单位矩阵都是对⾓矩阵的⼀种特例，因此数量矩阵和单位矩阵也叫对⾓矩阵。

单位矩阵⼜是数量矩阵的⼀种特例，所以单位矩阵⼜可以叫做数量矩阵对称矩阵设矩阵A 为n 阶⽅阵，满⾜A T =A ，即a ij =a ji (i ,j =1,2,⋯,n )那么A 成为对称矩阵，简称为对称阵，对称矩阵的特点是它的元素以主对⾓线为对称轴对应相等3. 矩阵的应⽤1. ⽰例⼀：求解多元⼀次⽅程组()()()()()a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2⋯⋯⋯a m1x1+a m2x2+⋯+a mn x n=b m 可以提取出如下⼏个矩阵:A=x1x2⋮x nB=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮a m1a m2⋯a mnC=b1b2⋮b nD=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮a m1a m2⋯a mn其中A称为未知数矩阵，B为系数项矩阵，C为常数项矩阵，D为增⼴矩阵2.实例⼆：航线问题四个城市间的单向航线如图所⽰，若1表⽰冲i市到j市有1条单向航线,0表⽰从i市到j市没有单项航线。

大一线性代数矩阵知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，它是一种方便表示和处理线性变换的数学工具。

在大一线性代数课程中，我们将学习矩阵的相关知识，本文将对一些重要的矩阵知识点进行总结。

1. 矩阵的定义和表示方式- 矩阵是由m行n列元素排列成的矩形阵列，用大写字母表示，如A、B等。

- 矩阵可以用方括号表示，如A=[a_ij]，其中a_ij代表矩阵A 的第i行第j列的元素。

2. 矩阵的运算- 矩阵的加法：对应元素相加。

- 矩阵的数乘：矩阵中的每个元素乘以相同的数。

- 矩阵的乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行乘法运算，结果的行数等于A的行数，列数等于B的列数。

3. 矩阵的特殊类型- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。

- 方阵：行数等于列数的矩阵。

- 单位矩阵：主对角线元素为1，其它元素为0的方阵，用I 表示。

4. 矩阵的转置- 矩阵的转置就是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵，用A^T表示。

5. 矩阵的行列式- 行列式是一个标量，表示一个方阵所围成的平行四边形的有向面积。

- 行列式常用符号为|A|或det(A)，其中A为方阵。

6. 逆矩阵- 对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。

- A的逆矩阵记为A^{-1}。

7. 矩阵的特征值和特征向量- 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和标量λ，使得Ax=λx，其中λ为标量，则称λ为A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。

8. 矩阵的特征分解- 对于一个可对角化的矩阵A，存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得A=PDP^{-1}，其中D为对角矩阵，P为特征向量矩阵。

9. 矩阵的秩- 矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，用rank(A)表示。

10. 线性方程组与矩阵- 线性方程组可以用矩阵的形式表示，例如AX=B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。

以上是大一线性代数矩阵知识点的简单总结。

矩阵在线性代数中起着重要的作用，它不仅可以用于表示线性变换，还可以用于解决线性方程组和求解特征值等问题。

线性代数中的矩阵运算矩阵运算，在线性代数中是一个十分重要的概念，我们通常用矩阵来表示线性映射，这些矩阵之间的加、减、乘等运算，是我们学习矩阵的基础。

本文将从矩阵的定义、矩阵的加减、矩阵的乘法、矩阵的转置和逆等方面详细介绍矩阵运算。

一、矩阵的定义矩阵是一个由m行、n列元素排列成的矩形表格，其中每个元素都是一个数字(标量)，通常用 A = [aij]表示。

其中，i表示行号，j表示列号， aij表示第i行、第j列的元素，矩阵的大小写成m×n表示，其中m表示行数，n表示列数。

二、矩阵的加减对于两个具有相同大小的矩阵A和B，它们的和C可以通过将每个对应的元素相加得到，即Ci,j = ai,j + bi,j，也可以用向量的形式表示C = A+B。

矩阵的差同理，Ci,j = ai,j - bi,j，用向量的形式表示C = A - B。

加减运算的性质：1.交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A；2.结合律：(A + B) + C = A + (B + C)， (A - B) - C ≠ A - (B - C);3.分配律：a(A + B) = aA + aB，(a + b)A= aA + bA。

三、矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，只有满足A的列数等于B的行数时，A和B才能相乘。

设A为m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，它们相乘得到的结果C是一个m行p列的矩阵。

在矩阵乘法中，相乘的行列数相等的两个矩阵必须一一对应进行相乘，并将所有乘积相加。

矩阵乘法的表达式：Cij = ∑ akj ᠖ bj i，其中k=1,2,,....,nC = AB，A的第i行乘以B的第j列，它们的乘积之和就是C的第i行第j列元素。

用向量的形式表示C = A×B。

在矩阵乘法中，乘法不具备交换律，即AB ≠ BA。

(只有在A、B中至少有一个为单位矩阵时，AB=BA)矩阵乘法的性质：1.结合律：A(BC) = (AB)C；2.分配律：A(B+C) = AB + AC；3.结合律：(aA)B = A(aB) = a(AB)；4.单位矩阵： AI = IA = A；5.逆矩阵：存在矩阵B满足AB=I，则称矩阵A可逆，矩阵B 就是矩阵A的逆矩阵(A的行列式必须不等于零)。

§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。

线性代数矩阵运算矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。

矩阵运算作为线性代数中的基础操作，对于理解和应用矩阵具有重要意义。

本文将介绍线性代数中常见的矩阵运算方法，包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法、转置和逆等。

1. 矩阵的加法矩阵的加法是指同维数的两个矩阵相加。

设有两个m行n列的矩阵A和B，它们的和记为A+B，即每个对应位置的元素相加。

例如：```A = [a11, a12, a13][a21, a22, a23]B = [b11, b12, b13][b21, b22, b23]A +B = [a11+b11, a12+b12, a13+b13][a21+b21, a22+b22, a23+b23]```2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，也是同维数的两个矩阵相减。

设有两个m行n列的矩阵A和B，它们的差记为A-B，即每个对应位置的元素相减。

例如：```A = [a11, a12, a13][a21, a22, a23]B = [b11, b12, b13][b21, b22, b23]A -B = [a11-b11, a12-b12, a13-b13][a21-b21, a22-b22, a23-b23]```3. 数乘数乘是指一个数与矩阵的每个元素相乘。

设有一个m行n列的矩阵A和一个实数k，它们的数乘记为kA，即将A的每个元素都乘以k。

例如：```A = [a11, a12, a13][a21, a22, a23]k = 2kA = [2a11, 2a12, 2a13][2a21, 2a22, 2a23]```4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

设有一个m行n 列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记为AB，即对A的每一行与B的每一列进行内积运算。

例如：```A = [a11, a12][a21, a22]B = [b11, b12, b13][b21, b22, b23]AB = [a11*b11 + a12*b21, a11*b12 + a12*b22, a11*b13 + a12*b23] [a21*b11 + a22*b21, a21*b12 + a22*b22, a21*b13 + a22*b23]AB = [c11, c12, c13][c21, c22, c23]```需要注意的是，两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。