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第 九 章 矩阵和行列式初步格致中学第一课时 9.1 矩阵的概念（1）[教学目标]1、了解矩阵的产生背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题；2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念；3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念；4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。
[教学重点]1、与矩阵有关的概念；2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。
[教学难点]学习矩阵的目的。
[教学过程]一、情境设置、引入：引例1：已知向量()1,3OP =，如果把的坐标排成一列，可简记为13⎛⎫⎪⎝⎭；引例2：2008我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；引例3：将方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭。
二、概念讲解：1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。
2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。
有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。
3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j（j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭第3行第2个数为3221a =。
第 九 章 矩阵和行列式初步格致中学 王国伟9.1 矩阵的概念（2）[教学目标]1、 掌握矩阵的三种基本变换；2、掌握运用矩阵基本变换求线性方程组的解。
[教学重点]运用矩阵基本变换求线性方程组的解。
[教学难点]如何利用系数矩阵判断线性方程组是否有解。
[教学过程] 一、复习引入：根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？（1）213322-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）322213-⎛⎫ ⎪-⎝⎭（3）1312222133⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭（4）131********⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （5）108113066⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （6）1080113⎛⎫ ⎪⎝⎭ 解：这些方程组为23322x y x y -=⎧⎨-+=⎩；32223x y x y -+=⎧⎨-=⎩；13222233x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩；132211366x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；811366x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；813x y =⎧⎨=⎩。
这些增广矩阵所对应的线性方程组的解都是相同的。
二、新课讲解：通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换： （1）互换矩阵的两行；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数； （3）某一行乘以一个数加到另一行。
显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。
三、应用举例：例1、已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值165元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题”）解：设一元硬币有x 个，五角硬币有y 个，则根据题意可得：4620.52165132x y x y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 则该方程组的增广矩阵为11462112165264A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设①、②分别表示矩阵A 的第1、2行，对矩阵A 进行下列变换：11462112165264⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 11462116658⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ 1146231320405⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1146201352⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1011001352⎛⎫⎪⎝⎭由最后一个矩阵可知：110352x y =⎧⎨=⎩答：一元硬币有110个，五角硬币有352个。
矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中的重要概念，它们在数学和各个科学领域中具有广泛的应用。
本文将对矩阵和行列式的定义、性质以及它们之间的关系进行介绍。
1. 矩阵的定义和性质矩阵是一个由数值组成的矩形数组。
通常用大写字母表示一个矩阵，如A。
矩阵有两个维度，行和列。
一个m行n列的矩阵有m个行向量和n个列向量。
矩阵可以进行加法和数乘运算。
矩阵的加法是对应元素相加，数乘是将矩阵的每个元素与一个标量相乘。
矩阵加法和数乘满足交换律和结合律。
矩阵的乘法是一个重要的运算，需要满足两个矩阵的乘法条件。
设A为m行n列的矩阵，B为n行p列的矩阵，那么它们的乘积AB为一个m行p列的矩阵。
矩阵乘法满足结合律，但一般不满足交换律。
2. 行列式的定义和性质行列式是一个用于表示方阵性质的数值。
一个n阶方阵的行列式可以用记号det(A)表示。
行列式的计算涉及到对角线之差的乘积。
对于一个2阶方阵A，其行列式可以表示为ad-bc，其中a、b、c和d是方阵A的元素。
行列式具有一些重要的性质。
若A为一个n阶方阵，那么以下性质成立：- 若A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 若A的某一行（列）乘以k，则det(A)乘以k。
- 若A的两行（列）交换，则det(A)取相反数。
行列式还有一些特殊性质，如一个方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式，以及方阵可逆（存在逆矩阵）当且仅当其行列式不为0。
3. 矩阵和行列式的关系矩阵和行列式之间有一些重要的关系。
对于一个n阶方阵A，其行列式可以表示为det(A) = |A|。
行列式在计算矩阵的逆、求解线性方程组和特征值等问题中起着重要的作用。
矩阵的秩和行列式也有关系。
对于一个m行n列的矩阵A，其秩r 小于等于m和n中较小的值。
若r等于n，说明矩阵的每一列都是线性无关的。
此外，矩阵的特征值与行列式密切相关。
方阵A的特征值是满足方程det(A-λI)=0的λ值，其中I是单位矩阵。
特征值和特征向量在矩阵的对角化、稀疏矩阵和网络图等领域有广泛应用。
高中数学中的行列式与矩阵详尽讲解在高中数学中，行列式与矩阵是两个重要的概念。
它们既有着理论上的意义，也有着实际应用的价值。
本文将详细讲解行列式与矩阵的相关知识。
一、行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来判断矩阵是否可逆。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)。
行列式的计算方法有很多种，其中最常用的是按照拉普拉斯展开定理进行计算。
拉普拉斯展开定理是指将一个n阶方阵的行列式展开成n个n-1阶方阵的行列式之和。
具体来说，对于一个n阶方阵A，可以选择其中的某一行或某一列，将其元素与对应的代数余子式相乘，再按照正负交错的方式相加，即可得到该行列式的值。
行列式的计算过程需要注意一些规则。
首先，行列式的值与矩阵的行列互换无关，即|A|=|A^T|。
其次，如果矩阵A的某两行（或某两列）互换位置，那么行列式的值将变为原值的相反数，即|A|=-|A'|，其中A'是A互换了两行（或两列）位置后的矩阵。
行列式在线性代数中有着广泛的应用。
例如，行列式可以用来求解线性方程组的解的个数。
当一个n阶方阵的行列式不等于0时，该方阵可逆，对应的线性方程组有唯一解；当行列式等于0时，该方阵不可逆，对应的线性方程组无解或有无穷多解。
二、矩阵矩阵是由一组数按照矩形排列而成的矩形阵列。
矩阵可以表示为m行n列的形式，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的元素可以是实数或复数。
矩阵的加法和数乘是两个基本的运算。
对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A+B，定义为将对应位置的元素相加得到的新矩阵。
对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘记作kA，定义为将矩阵A的每个元素乘以k得到的新矩阵。
矩阵的乘法是另一个重要的运算。
对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，定义为将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列对应元素相乘，并将结果相加得到的新矩阵。
需要注意的是，两个矩阵相乘的前提是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
