第8讲 矩阵的直积及其应用内容：1. 矩阵直积的定义与性质2. 矩阵直积在解矩阵方程中的应用矩阵直积（Kronecker 积）在矩阵论及系统控制等工程研究领域有十分重要的应用．运用矩阵直积运算，能够将线性矩阵方程转化为线性代数方程组．§1 矩阵直积的定义与性质 1.1 矩阵直积定义1.1 设n m ij C a A ⨯∈=)(，q p ij C b B ⨯∈=)(，称如下的分块矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n212222111211为A 与B 的直积（Krionecker积，张量积），记为B A ⊗．B A ⊗是一个n m ⨯个块的分块矩阵，简写为nq m p ij C B a B A ⨯∈=⊗)(．显然B A ⊗与A B ⊗为同阶矩阵，但一般A B B A ⊗≠⊗，即矩阵的直积不满足交换律. 对单位矩阵，有m n n m mn E E E E E ⊗=⊗=.例1.1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，)1,1(-=B ，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⊗11000011B A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⊗10100101A B . 定义 1.2 若nT n T n C y y y y x x x x ∈==),,,(,),,,(2121 ，则T T y x xy ⊗=，称T xy 为向量x 与y 的外积.1.2 矩阵直积的性质定理1.1 矩阵的直积具有如下基本性质：（1）)()()(kB A B kA B A k ⊗=⊗=⊗； （2）)()(C B A C B A ⊗⊗=⊗⊗；（3）C A B A C B A ⊗+⊗=+⊗)(，A C A B A C B ⊗+⊗=⊗+)(； （4）T T T B A B A ⊗=⊗)(； （5）H H H B A B A ⊗=⊗)(；（6）若,,,,t q s n q p n m C D C C C B C A ⨯⨯⨯⨯∈∈∈∈则)()())((BD AC D C B A ⊗=⊗⊗，若g E B =，n E C =，则D A D E E A n g ⊗=⊗⊗))((； （7）若A ，B 均可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A ； （8）若A 和B 都是对角矩阵、上（下）三角矩阵、实对称矩阵、Hermite 矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则B A ⊗也分别是这种类型的矩阵.定义 1.3二元复系数多项式为∑==lj i j i ij y x c y x f 0,),(，若矩阵mm CA ⨯∈，nn C B ⨯∈，则mn 阶矩阵∑=⊗=lj i j i ij B A c B A f 0,),(，其中m E A =0，n E B =0.定理1.2 设∑==l j i jiij y x c y x f 0,),(，∑=⊗=lj i j i ij B A c B A f 0,),(，m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则),(B A f 的全体特征值为),(j i f μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．证明 由Schur 定理知存在酉矩阵Q P ,使得121*A AP P m H =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ，121*B AQ Q n H=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=μμμ， 其中1A ，1B 为上三角矩阵，由定理1.1知，Q P ⊗ 为酉矩阵，j i B A 11⊗为上三角矩阵，则))(,()(1Q P B A f Q P ⊗⊗-)())((0,Q P B A Q Pc lj i j i H Hij ⊗⊗⊗=∑=),()()(110,11,B A f BA c QB Q P A Pc lj i j iij lj i jHiHij=⊗=⊗=∑∑==也是上三角矩阵. 且),(B A f 与)(11，B A f 有相同的特征值. 则)(11，B A f 的对角元即为),(B A f 的全部特征值. 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⊗j i m ji j i j i B B B B A 1121111*λλλ ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j n i k ji k j i k ji k B μλμλμλλ 211*． 因此，),(11B A f 的对角元为),(j i f μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．推论1.1 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则（1）B A ⊗的特征值为j i μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==； （2）B E E A m n ⊗+⊗的mn 个特征值为j i μλ+，m i ,,2,1 =，n j ,,2,1 =；（3）m n B A B A ))(det())(det )det(⋅=⊗； （4）))(()(trB trA B A tr =⊗.定理1.3 设q p n m C B C A ⨯⨯∈∈,，则)()()(B rank A rank B A rank ⋅=⊗． 证明 记A r A rank =)(，B r B rank =)(，有相应阶数的可逆矩阵T S Q P ,,,使得11000,000B E SBT A E PAQ BA r r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=， 则 )()(111111----⊗=⊗T B S Q A P B A ))()((111111----⊗⊗⊗=T Q B A S P ，由11--⊗S P ，11--⊗T Q 可逆，则)()()()(11B rank A rank r r B A rank B A rank B A ⋅==⊗=⊗．§2 矩阵直积在解矩阵方程中的应用 2.1 矩阵的拉直定义2.1 设n m ij C a A ⨯∈=)(，T ni i i i a a a ),,,(21 =α，),,2,1(n i =， 令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A ααα 21)(vec ，称)(vec A 为矩阵A 的列拉直．矩阵A 也可以按行拉直为行向量，记作)(rvec A ，有T T A A ))(vec ()(rvec =, T T A r A ))(vec ()(vec =．定理2.1 设q p p n n m C C C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,，则)(vec )()(vec B A C ABC T ⊗=．证明 记),,,(),,,,(2121q p c c c C b b b B ==，则),,,()(vec 21q ABc ABc ABc ABC =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=q ABc ABc ABc 21，而 p pi i i i Ab c Ab c Ab c ABc ++=2211)(vec ),,,(21B A c A c A c pi i i =故 )(vec )()(vec )(vec 212221212111B A C B A c A c A c A c A c A c A c A c A c ABC Tpq q qp p ⊗=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ．推论2.1 设n m n n m m C X C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,，则 （1）)(vec )()(vec X A E AX n ⊗=； （2）)(vec )()(vec X E B XB m T ⊗=； （3）).(vec )()(vec X E B A E XB AX m T n ⊗+⊗=+ 2.2 线性矩阵方程在系统控制等工程领域，经常遇到矩阵方程（Lyapunov 型方程）F XB AX=+的求解问题，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，n m C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未知矩阵. 利用矩阵的直积和拉直，可以给出线性矩阵方程的可解性及解法.一般的线性矩阵方程可表示为C XB A XB A XB A p p =+++ 2211， 其中n m n n i m m i C C p i C B C A ⨯⨯⨯∈=∈∈),,,2,1(, 为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈未知矩阵.定理2.2 线性矩阵方程C XB A XB A XB A p p =+++ 2211有解的充分必要条件是)()(b A rank A rank =，其中∑=⊗=pi i T i A B A 1，)(vec C b =，n m n n i m m i C C p i C B C A ⨯⨯⨯∈=∈∈),,,2,1(, 为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈未知矩阵.证明 ∑==pi i i C XB A 1有解，)()(1∑==⇔pi i i C vec XB A vec 有解)()(1∑==⇔p i i i C vec XB A vec 有解，)()()(1∑==⊗⇔pi i T i C vec X vec A B 有解)()(b A rank A rank =⇔定理 2.3 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则矩阵方程FXB AX =+有唯一解的充要条件是0≠+j i μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，nm C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未矩阵．证明 F XB AX=+有唯一解，)(vec )(vec F XB AX =+⇔有唯一解)()()(F vec X vec E B A E m T n =⊗+⊗⇔有唯一解 m T n E B A E ⊗+⊗⇔的特征值不为零),,2,1,,,2,1(0n j m i u j i ==≠+⇔λ推论2.1 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则矩阵方程0=+XB AX 有非零解的充分必要条件是存在i 与j ，使0=+j i u λ，)1,1(n j m i ≤≤≤≤．推论 2.2 设n n C A ⨯∈，则矩阵方程F XA AX H =+有唯一解的充分必要条件是)(A λλ∈时必有)(A λλ∉-，其中)(A λ为A 的谱，λ为λ的共轭复数.定理2.4 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则矩阵方程∑==li i i F XB A 1有唯一解的充分必要条件是 0)(1≠+++l j i j i μλμλ ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．其中F为已知常数矩阵，X 为未知矩阵．定理2.5 若矩阵方程F XB AX=+中矩阵B A ,的所有特征值具有负实部（称这类矩阵为稳定矩阵），则该矩阵方程有唯一解 ⎰+∞-=0dt Fe e X Bt At ，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，n m C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未知矩阵．证明 设A 的特征值为m λλλ,,,21 ，存在可逆矩阵m m C P ⨯∈，使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---m m m AP P λδλδλ11111 ，其中，i δ取0或1． 则11-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P T e e P e A t t At m λλ ，这里，A T 为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为),0(,R a m k at k ∈≤≤.设B 的特征值为n μμμ,,,21 ，类似可得出，存在可逆矩阵Q ，11-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Q T e e Q e B t t Bt n μμ ，其中，BT 为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为),0(,R b n k bt k ∈≤≤．因1111--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Q T e e FQ P T e e P Fe e Bt t A t t Bt At n m μμλλ 的右端乘积矩阵的元素都是因子t jie )(μλ+的关于t 的多项式倍数的组合，且积分⎰+∞dt Fe e Bt At 存在．令Bt At Fe e t Y =)(，则B t Y t AY dtt dY )()()(+= ，F t Y t ==0|)(．两边求积分，可得 0()|()(())Y t A Y t dt Y t dt B ∞+∞+∞=+⎰⎰，即 FB dt t Y dt t Y A =-+-⎰⎰+∞+∞))(())((0．也就是FXB AX=+的解，因积分⎰+∞)(dt t Y 存在，且B A ,的所有特征值实部为负，则0lim =+∞→At t e ，0lim =+∞→Bt t e ．唯一性可由定理2.3得出.推论 2.3 设m m C A ⨯∈的特征值满足),,2,1(,0)Re(m i i =<λ，则方程FXA X A H-=+的唯一解为⎰+∞=0dtFe eX At tA H ．如果F 为Hermite 正定矩阵，则解矩阵X 也是Hermite 正定矩阵． 证明 只需证明后一结论即可. 当F F H=时，有XX H =．且对m C x ∈≠0，由于At e 可逆，则0≠x e At ，于是当F 正定时，有0)()(>x e F x e AtHAt，从而有0)()(0>=⎰+∞dt x e F x e Xx x At H At H，故X为正定矩阵．。
