徐州、连云港、宿迁三市2015届高三第三次模拟数学试题及答案

江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、（泰州市2015届高三上期末）若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．2、（无锡市2015届高三上期末）三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =二、解答题1、（常州市2015届高三）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD ， PB =PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC的中点，连结OM ．求证： （1）OM ∥平面PAD ； （2）OM ⊥平面PCD ．D（第16题）2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ．(1) 若AB ⊥BC ，且CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ；(2) 若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．3、（南京市、盐城市2015届高三）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点. （1）求证：//OE 平面11BCC B ； （2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE .4、（南通市2015届高三）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,4,AC BC CC M ⊥=是棱1CC 上的一点.()1求证：BC AM ⊥；()2若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M .A PB （第16题）BACDB 1A 1 C 1 D 1 E第16题图O5、（南通市2015届高三）如图，在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为平行四边形，平面ABE ⊥平面BCDE ，AB ＝AE ，DB ＝DE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90º。

2015年江苏省连云港市东海高中高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．函数的最小正周期是．2．已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m= ．3．抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为．4．lg22+lg2lg5+lg5= ．5．已知复数z满足（1+2i）z=5（i为虚数单位），则z= ．6．已知，则值为．7．已△知△ABC三边长分别为a，b，c且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=8．已知x，y满足，则x2+y2最大值为．9．设等差数列{a n}的公差d不为零，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k= ．10．与曲线共焦点并且与曲线共渐近线的双曲线方程为．11．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为．12．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．13．π为圆周率，e=2.71828为自然对数的底数．则3π，πe，3e，π3，e3，eπ这6个数中的最大值是．14．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数，（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的最大值与最小值及此时x的值；（2）若，且，求f（x）的值．16．（14分）已知圆C：x2+y2=9，点A（﹣5，0），直线l：x﹣2y=0．（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．17．（14分）某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm（h≥1）时达到距水面最大高度4m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．18．（16分）在直角坐标系xoy上取两个定点A1（﹣2，0），A2（2，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn=3．（1）求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；（2）已知点A（1，t）（t＞0）是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率k AE与直线AF的斜率k AF满足k AE+k AF=0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．19．（16分）设f k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n．对于任意的正整数n，a n+S n=f k（n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{a n}是等比数列；（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a n}能成等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），AB的中点为C（x0，0），求证：g（x）在x0处的导数g′（x0）≠0．三、附加题21．（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．22．（10分）已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．23．（10分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱BC的中点，Q在棱CD上．且DQ=λDC，若二面角P﹣C1Q﹣C的余弦值为，求实数λ的值．24．（10分）已知抛物线L的方程为x2=2py（p＞0），直线y=x截抛物线L所得弦．（1）求p的值；（2）抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．2015年江苏省连云港市东海高中高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．函数的最小正周期是 2 ．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期．解答：解：函数，∵ω=π，∴T= =2．故答案为：2点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．2．已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m= ﹣2 ．考点：偶函数．专题：计算题．分析：根据偶函数的定义可得f（x）=f（﹣x）然后整理即可得解．解答：解：∵函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数∴f（x）=f（﹣x）∴（﹣x）2+（m+2）（﹣x）+3=x2+（m+2）x+3∴2（m+2）x=0①即①对任意x∈R均成立∴m+2=0∴m=﹣2故答案为﹣2点评：本题主要考查了利用偶函数的定义求参数的值．事实上通过本题我们可得出一个常用的结论：对于关于x的多项式的代数和所构成的函数若是偶函数则x的奇次项不存在即奇次项的系数为0，若为奇函数则无偶次项且无常数项即偶次项和常数项均为0！3．抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1）．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：确定抛物线的焦点位置，根据方程即可求得焦点坐标．解答：解：抛物线的焦点在y轴上，且2p=4∴=1∴抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1）故答案为：（0，﹣1）点评：本题考查抛物线的几何性质，先定型，再定位是关键．4． lg22+lg2lg5+lg5= 1 ．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用lg2+lg5=1即可求得答案．解答：解：∵lg2+lg5=lg10=1，∴lg22+lg2lg5+lg5=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=lg10=1．故答案为：1．点评：本题考查对数的运算性质，注意lg2+lg5=1的应用，属于基础题．5．已知复数z满足（1+2i）z=5（i为虚数单位），则z= 1﹣2i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：根据（1+2i）z=5，可得 z=== =1﹣2i．解答：解：∵（1+2i）z=5，∴z= == =1﹣2i，故答案为 1﹣2i．点评：本题考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．6．已知，则值为7 ．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：先根据α∈（0，）和sinα的值，利用同角三角函数的基本关系求出cosα及tan α，然后把所求的式子利用两角和的正切函数的公式化简，代入即可求得值．解答：解：因为α∈（0，）和sinα=，根据sin2α+cos2α=1得到：cosα===，所以tanα==；而tan（α+）====7故答案为7点评：考查学生会利用两角和与差的正切函数函数公式进行化简求值，以及灵活运用同角三角函数间的基本关系解决数学问题．7．已△知△ABC三边长分别为a，b，c且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=60°考点：余弦定理．专题：计算题．分析：利用a2+b2﹣c2=ab，代入到余弦定理中求得cosC的值，进而求得C解答：解：∵a2+b2﹣c2=ab，∴cosC= =∴C=60°故答案为60°点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．8．已知x，y满足，则x2+y2最大值为25 ．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2表示动点到原点的距离的平方，只需求出可行域内的动点到原点的距离最大值即可．解答：解：注意到目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方，作出可行域．如图．易知当为A点时取得目标函数的最大值，可知A点的坐标为（﹣3，﹣4），代入目标函数中，可得zmax=32+42=25．故答案为：25．点评：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点之间的距离问题9．设等差数列{a n}的公差d不为零，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k= 4 ．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；综合题．分析：由ak是a1与a2k的等比中项，知ak2=a1a2k，由此可知k2﹣2k﹣8=0，从而得到k=4或k=﹣2（舍）．解答：解：因为ak是a1与a2k的等比中项，则ak2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属基础题．10．与曲线共焦点并且与曲线共渐近线的双曲线方程为．考点：双曲线的标准方程．分析：先求出椭圆的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，然后设双曲线的标准方程为，则根据此时双曲线的渐近线方程为y=± x，且有c2=a2+b2，可解得a、b，故双曲线方程得之．解答：解：由题意知椭圆焦点在y轴上，且c==5，双曲线的渐近线方程为y=±x，设欲求双曲线方程为，则，解得a=4，b=3，所以欲求双曲线方程为．故答案为．点评：本题主要考查焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程与性质，同时考查椭圆的标准方程及简单性质．11．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为3 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a，b，k 的方程，再求出在点（1，3）处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得．从而问题解决．解答：解：∵直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），∴…①又∵y=x3+ax+b，∴y'=3x2+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…②∴由①②得：b=3．故答案为：3．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．12．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．13．π为圆周率，e=2.71828为自然对数的底数．则3π，πe，3e，π3，e3，eπ这6个数中的最大值是3π．考点：指数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数f（x）=，由导数性质得函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．由e＜3＜π，得ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．从而3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，由函数f（x）=的单调性质，得f（π）＜f（3）＜f（e），由此能求出3π，πe，3e，π3，e3，eπ这6个数中的最大值．解答：解：函数f（x）= 的定义域为（0，+∞），∵f（x）= ，∴f′（x）= ，当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=lnx，y=ex，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，由e＜3＜π及函数f（x）=的单调性质，得f（π）＜f（3）＜f（e），即＜＜，由＜，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3，3π，πe，3e，π3，e3，eπ这6个数中的最大值是3π．故答案为：3π．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．14．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤ =5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数，（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的最大值与最小值及此时x的值；（2）若，且，求f（x）的值．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）通过诱导公式、两角差的正弦函数，通过x∈[0，π]，直接求函数f（x）的最大值与最小值及此时x的值；（2）通过，判断正弦函数与余弦函数的大小，利用，求f（x）的平方的值，即可求出所求数值．解答：解：（1），…（2分）∵x∈[0，π]，，f（x）min=﹣1∴…（6分）分别在时取得．…（8分）（2），∴sinx＜cosx，f（x）＜0，…（10分）又∵∴，…（13分）∴．…（14分）点评：本题是中档题，考查三角函数诱导公式的应用，两角差的三角函数的最值，考查计算能力，转化思想．16．（14分）已知圆C：x2+y2=9，点A（﹣5，0），直线l：x﹣2y=0．（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．考点：圆的切线方程；直线和圆的方程的应用．分析：（1）先求与直线l垂直的直线的斜率，可得其方程，利用相切求出结果．（2）先设存在，利用都有为一常数这一条件，以及P在圆上，列出关系，利用恒成立，可以求得结果．解答：解：（1）设所求直线方程为y=﹣2x+b，即2x+y﹣b=0，∵直线与圆相切，∴，得，∴所求直线方程为，（2）方法1：假设存在这样的点B（t，0），当P为圆C与x轴左交点（﹣3，0）时，；当P为圆C与x轴右交点（3，0）时，，依题意，，解得，t=﹣5（舍去），或．下面证明点对于圆C上任一点P，都有为一常数．设P（x，y），则y2=9﹣x2，∴，从而为常数．方法2：假设存在这样的点B（t，0），使得为常数λ，则PB2=λ2PA2，∴（x﹣t）2+y2=λ2[（x+5）2+y2]，将y2=9﹣x2代入得，x2﹣2xt+t2+9﹣x2=λ2（x2+10x+25+9﹣x2），即2（5λ2+t）x+34λ2﹣t2﹣9=0对x∈[﹣3，3]恒成立，∴，解得或（舍去），所以存在点对于圆C上任一点P，都有为常数．点评：本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，又是存在性和探究性问题，恒成立问题，考查计算能力．是难题．17．（14分）某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm（h≥1）时达到距水面最大高度4m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．考点：根据实际问题选择函数类型．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意知最高点为（2+h，4），h≥1．设抛物线方程为y=a[x﹣（2+h）]2+4，当h=1时，最高点为（3，4），方程为y=a（x﹣3）2+4，由此能求出结果．（2）将点A（2，3）代入y=a[x﹣（2+h）]2+4，得ah2=﹣1，由题意，方程a[x﹣（2+h）]2+4=0在区间[5，6]内有一解，由此入手能求出达到较好的训练效果时h的取值范围．解答：解：（1）由题意知最高点为（2+h，4），h≥1．设抛物线方程为y=a[x﹣（2+h）]2+4，当h=1时，最高点为（3，4），方程为y=a（x﹣3）2+4，将A（2，3）代入，得3=a（2﹣3）2+4，解得a=﹣1，∴当h=1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y=﹣（x﹣3）2+4．（2）将点A（2，3）代入y=a[x﹣（2+h）]2+4，得ah2=﹣1，①由题意，方程a[x﹣（2+h）]2+4=0在区间[5，6]内有一解，令f（x）=a[x﹣（2+h）]2+4=﹣[x﹣（2+h）]2+4，则f（5）=﹣（3﹣h）2+4≥0，且f（6）=﹣（4﹣h）2+4≤0．解得1≤h≤．故达到较好的训练效果时h的取值范围是[1，]．故达到较好的训练效果时h的取值范围是[1， ]．点评：本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．18．（16分）在直角坐标系xoy上取两个定点A1（﹣2，0），A2（2，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn=3．（1）求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；（2）已知点A（1，t）（t＞0）是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率k AE与直线AF的斜率k AF满足k AE+k AF=0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（1）先分别求直线A1N1与A2N2的方程，进而可得，利用mn=3，可以得，又点A1（﹣2，0），A2（2，0）不在轨迹M上，故可求轨迹方程；（2）先求点A的坐标，将直线AE的方程代入并整理，利用kAE+kAF=0得kAF=﹣k，从而可表示直线EF的斜率，进而可判断直线EF的斜率为定值．解答：解：（1）依题意知直线A1N1的方程为：①﹣﹣﹣（1分）直线A2N2的方程为：②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①×②得由mn=3整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵N1，N2不与原点重合∴点A1（﹣2，0），A2（2，0）不在轨迹M上﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴轨迹M的方程为（x≠±2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）∵点A（1，t）（t＞0）在轨迹M上∴解得，即点A的坐标为﹣﹣（8分）设k AE=k，则直线AE方程为：，代入并整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）设E（x E，y E），F（x F，y F），∵点在轨迹M上，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣③，④﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）又k AE+k AF=0得k AF=﹣k，将③、④式中的k代换成﹣k，可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴直线EF的斜率∵∴即直线EF的斜率为定值，其值为﹣﹣﹣（14分）点评：本题主要考查交轨法求轨迹方程，应注意纯粹性，（2）的关键是求出直线EF的斜率的表示，通过化简确定其伟定值，考查了学生的计算能力，有一定的综合性．19．（16分）设f k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n．对于任意的正整数n，a n+S n=f k（n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{a n}是等比数列；（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a n}能成等差数列．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）若k=0，不妨设f0（n）=c（c为常数）．即an+Sn=c，结合数列中an与 Sn关系求出数列{an}的通项公式后再证明．（Ⅱ）由特殊到一般，实质上是由已知an+Sn=fk（n）考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定．解答：（Ⅰ）证明：若k=0，则fk（n）即f0（n）为常数，不妨设f0（n）=c（c为常数）．因为an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．而且当n≥2时，an+Sn=2，①an﹣1+Sn﹣1=2，②①﹣②得 2an﹣an﹣1=0（n∈N，n≥2）．若an=0，则an﹣1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以an≠0（n∈N*）．故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．（2）若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），当n≥2时，an+Sn=bn+c，③an﹣1+Sn﹣1=b（n﹣1）+c，④③﹣④得 2an﹣an﹣1=b（n∈N，n≥2）．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=b﹣d（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1（n∈N*），故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1（n∈N*），此时f1（n）=n+1．（3）若k=2，设f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常数），当n≥2时，an+Sn=pn2+qn+t，⑤an﹣1+Sn﹣1=p（n﹣1）2+q（n﹣1）+t，⑥⑤﹣⑥得 2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，考虑到a1=1，所以an=1+（n﹣1）•2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=2pn﹣2p+1（n∈N*），此时f2（n）=an2+（a+1）n+1﹣2a（a为非零常数）．（4）当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数，则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．点评：本题考查数列通项公式的求解，等差数列的判定，考查阅读理解、计算论证等能力．20．（16分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），AB的中点为C（x0，0），求证：g（x）在x0处的导数g′（x0）≠0．考点：函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（Ⅰ）只需要利用导数的几何意义即可获得两个方程解得两个未知数；（Ⅱ）先要利用导数研究好函数h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，的单调性，结合单调性及在内有两个不等实根通过数形结合易知m满足的关系从而问题获得解答；（Ⅲ）用反证法现将问题转化为有关方程根的形式，在通过研究函数的单调性进而通过最值性找到矛盾即可获得解答．解答：解：（Ⅰ）f′（x）= =﹣2bx，，f（2）=aln2﹣4b．∴，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2．解得a=2，b=1．（Ⅱ）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则，令h′（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当时，h′（x）＞0，∴h（x）是增函数；当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，∴h（x）是减函数，则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是：即1＜m．（Ⅲ）g（x）=2lnx﹣x2﹣kx，．假设结论不成立，则有：①﹣②，得．∴．由④得，∴即，即．⑤令，（0＜t＜1），则＞0．∴u（t）在0＜t＜1上增函数，∴u（t）＜u（1）=0，∴⑤式不成立，与假设矛盾．∴g'（x0）≠0．点评：本题考查的是函数与方程以及导数知识的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想、问题转化的思想以及反证法．值得同学们体会反思．三、附加题21．（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：矩阵和变换．分析：设矩阵A﹣1= ，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．解答：解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．点评：本题考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力，属于基础题．22．（10分）已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程．分析：（Ⅰ）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；（Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．解答：解：（Ⅰ）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1，，即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），得⊙C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（Ⅱ）圆心C到直线l的距离，所以直线l和⊙C相交．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及直线的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．23．（10分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱BC的中点，Q在棱CD上．且DQ=λDC，若二面角P﹣C1Q﹣C的余弦值为，求实数λ的值．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：以A点为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，分别求出平面C1PQ法向量和面C1PQ的一个法向量，然后求出两法向量的夹角，建立等量关系，即可求出参数λ的值．解答：解：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0）；A1（0，0，4），B1（4，0，4），C1（4，4，4），D1（0，4，4），P（4，2，0），Q（4λ，4，0）．（2分）设平面C1PQ法向量为，而，，所以，可得一个法向量=（1，﹣2（λ﹣1），（λ﹣1）），（6分）设面C1PQ的一个法向量为，则，（8分）即：，又因为点Q在棱CD上，所以．（10分）点评：本题主要考查了二面角的度量，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键．24．（10分）已知抛物线L的方程为x2=2py（p＞0），直线y=x截抛物线L所得弦．（1）求p的值；（2）抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题．分析：（1）把直线方程与抛物线方程联立，求出A与B的坐标，再代入弦长即可求p的值；（2）设出点C的坐标以及圆的圆心N，利用A、B、C三点在圆上，得出圆心坐标N和点C的坐标之间的关系式；再利用抛物线L在点C处的切线与NC垂直，代入即可求点C的坐标．解答：解：（1）由解得A（0，0），B（2p，2p）∴，∴p=2（2）由（1）得x2=4y，A（0，0），B（4，4）假设抛物线L上存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线令圆的圆心为N（a，b），则由得得⇒∵抛物线L在点C处的切线斜率又该切线与NC垂直，∴∴∵t≠0，t≠4，∴t=﹣2故存在点C且坐标为（﹣2，1）．点评：本题主要考查直线上两点的斜率公式、直线与圆相切、垂径定理、抛物线与圆的几何性质等知识，考查学生的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．。

连云港、徐州、宿迁三市2015届高三第三次调研考试物 理 试 题注意：满分120分，考试时间100分钟。

请将答案填写在答题卡上，写在试卷上不得分。

一、单选题：本题共5小题，每小题3分，满分15分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意。

1．如图所示，某跳伞运动员正减速下落，下列说法正确的是 A ．运动员处于失重状态 B ．运动员处于超重状态C ．伞绳对运动员的作用力小于运动员的重力D ．伞绳对运动员的作用力大于运动员对伞绳的作用力2. “北斗”导航系统是我国自行研发的全球导航系统，它由5颗静止轨道卫星（同步卫星）与30颗非静止轨道卫星组成。

已知月球公转周期约为27天，则静止轨道卫星与月球 A ．角速度之比约为27∶1 B ．线速度之比约为27∶1 C ．半径之比约为1∶27 D ．向心加速度之比约为1∶273．如图甲所示，理想变压器的原、副线圈的匝数比为10∶1，灯泡L 的额定功率为6W ，电表均为理想电表。

若原线圈接入如图乙所示的正弦交变电压，开关S 闭合后灯泡L 恰正常发光。

下列说法正确的是 A ．副线圈交变电流的频率为5Hz B ．电压表的示数为4.24 VC ．电流表的示数为0.2 AD ．灯泡正常发光时的电阻为1.5Ω4．一汽车在平直公路上以20kW 的功率行驶，t 1时刻驶入另一段阻力恒定的平直公路，其v ~t 图象如图所示，已知汽车的质量为2×103kg 。

下列说法正确的是 A ．t 1前汽车受到的阻力大小为1×103NB ．t 1后汽车受到的阻力大小为2×103NC ．t 1时刻汽车加速度突然变为1m/s 2D ．t 1～t 2时间内汽车的平均速度为7.5m/s5．如图甲所示，一个条形磁铁P 固定在水平桌面上，以P 的右端点为原点，中轴线为x 轴建立一维坐标系。

一个灵敏的小磁针Q 放置在x 轴上不同位置，设Q 与x 轴之间的夹角为。

实验测得sin 与x 之间的关系如图乙所示。

徐州、连云港、宿迁三市2015届高三第三次模拟数学Ⅰ参考公式：棱柱的体积公式：,Sh V =其中S 是棱柱的底面积，h 是高.一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1.已知复数i i i z )(43(+=是虚数单位），则z 的模为 ▲ . 2.已知集合},4,2{],3,1(=-=B A 则=B A ▲ .3.如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图. 根据国家标准，污染指数在区间)51,0[内，空气质量为优；在区间)101,51[内，空气质量为良；在区间)151,101[内，空气质量为轻微污染；. 由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有 ▲ 天.4.执行如图所示的算法流程图，则输出k 的值是 ▲ .5.已知集合},4,3,2{},1,0{==B A 若从B A ,中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为 ▲ .6.设等差数列}{n a 的前n 项为,28,26,453==+S a a S n 则10a 的值为 ▲ .7.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,4,0,log )(2x x x x f x ，则))1((-f f 的值为 ▲ .8.已知双曲线C 的离心率为2，它的一个焦点是抛物线y x 82=的焦点，则双曲线C 的标准方程为 ▲ .9.已知函数),20)(6sin()(<<+=ωπωx x f 若,1)32(=πf 则函数)(x f y =的最小正周期为 ▲ .注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。

2015年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州四市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B中元素的个数为．2．（5分）设复数z满足i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为．3．（5分）如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为．4．（5分）某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为．6．（5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为．7．（5分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝log2（2﹣x），则f（0）+f（2）＝．8．（5分）在等差数列{a n}中，已知a2+a8＝11，则3a3+a11的值为．9．（5分）若实数x，y满足x+y﹣4≥0，则z＝x2+y2+6x﹣2y+10的最小值为．10．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0），点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为．11．（5分）将函数y＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为．12．（5分）已知a，b均为正数，且直线ax+by﹣6＝0与直线2x+（b﹣3）y+5＝0互相平行，则2a+3b的最小值是．13．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（f（x））≤3的解集为．14．（5分）在△ABC中，已知AC＝3，∠A＝45°，点D满足＝2，且AD ＝，则BC的长为．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量＝（1，2sinθ），＝（sin（θ+），1），θ∈R．（1）若⊥，求tanθ的值；（2）若∥，且θ∈（0，），求θ的值．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥P A：（2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），B（9，0），C，D 分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD（1）若AC＝4，求直线CD的方程；（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点．18．（16分）如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km．，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点P到边AD的距离为t（单位：km），△BEF的面积为S（单位：km2）．（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2？并说明理由．19．（16分）在数列{a n}中，已知a1＝a2＝1，a n+a n+2＝λ+2a n+1，n∈N*，λ为常数．（1）证明：a1，a4，a5成等差数列；（2）设c n＝，求数列的前n项和S n；（3）当λ≠0时，数列{a n﹣1}中是否存在三项a s+1﹣1，a t+1﹣1，a p+1﹣1成等比数列，且s，t，p也成等比数列？若存在，求出s，t，p的值；若不存在，说明理由．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x．（1）若f（1）＝0，求函数f（x）的单调减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a＝﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2＝0，证明：x1+x2≥．四、附加题部分本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）.本卷满分为40分，考试时间为30分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回..【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-1：几何证明选讲21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使得CD＝AC，连结AD交⊙O于点E．求证：BE平分∠ABC选修4-2：矩阵与变换22．已知a，b∈R，矩阵所对应的变换T A将直线x﹣y﹣1＝0变换为自身，求a，b的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为．（a＞0．θ为参数），点P是圆C上的任意一点，若点P到直线l 的距离的最大值为，求a的值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+＝，求a3+b3的最小值．八、【必做题】第22题、第23题.每题10分.共计20分.请在答题卡指定区毕内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．（1）求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；（2）已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是，自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立．用ξ表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l 过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．2015年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州四市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B中元素的个数为5．【解答】解：集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B＝{0，1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5．2．（5分）设复数z满足i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为﹣3．【解答】解：∵i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），∴z＝+4＝+4＝6﹣3i，其虚部为﹣3．故答案为：﹣3．3．（5分）如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为．【解答】解：由已知可得甲的平均成绩为＝92，方差为[（92﹣88）2+（92﹣92）2+（96﹣92）2]＝；乙的平均成绩为＝92，方差为[（92﹣90）2+（92﹣91）2+（95﹣92）2]＝，所以方差较小的那组同学成绩的方差为．故答案为：4．（5分）某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为．【解答】解：某单位从4名应聘者甲、乙、丙、丁中招聘2人，∵这4名应聘者被录用的机会均等，∴甲、乙两人都不被录用的概率为＝＝，∴甲、乙两人中至少有1人被录用的概率P＝1﹣＝；故答案为：5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为7．【解答】解：执行一次循环，y＝3，x＝2，不满足|y﹣x|≥4，故继续执行循环；执行第二次循环，y＝7，x＝3，满足|y﹣x|≥4，退出循环故输出的y值为7，故答案为：76．（5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为．【解答】解：∵圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于2∴圆锥的高AO＝×2＝，底面半径r＝×2＝1因此，该圆锥的体积V＝πr2•AO＝π×12×＝故答案为：；7．（5分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝log2（2﹣x），则f（0）+f（2）＝﹣2．【解答】解：f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即有f（0）＝0，f（﹣2）＝﹣f（2），当x＜0时，f（x）＝log2（2﹣x），f（﹣2）＝log2（2+2）＝2，则f（0）+f（2）＝0﹣2＝﹣2．故答案为：﹣2．8．（5分）在等差数列{a n}中，已知a2+a8＝11，则3a3+a11的值为22．【解答】解：设等差数列的公差为d，a2+a8＝11，则a1+d+a1+7d＝11，即有a1+4d＝，3a3+a11＝3（a1+2d）+a1+10d＝4（a1+4d）＝4×＝22．故答案为：22．9．（5分）若实数x，y满足x+y﹣4≥0，则z＝x2+y2+6x﹣2y+10的最小值为18．【解答】解：z＝x2+y2+6x﹣2y+10＝（x+3）2+（y﹣1）2，则z的几何意义为区域内的点到点D（﹣3，1）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当BD垂直直线x+y﹣4＝0时，此时BD的距离最小，最小值为点D到直线x+y﹣4＝0的距离d＝＝，则z＝（）2＝18，故答案为：1810．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0），点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为．【解答】解：作简图如下，则＝，＝；即CD＝＝（a+），即＝1+；即（）2﹣﹣2＝0；即（﹣2）（+1）＝0；故＝2；故离心率e＝；故答案为：．11．（5分）将函数y＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为2．【解答】解：把函数y＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y＝2sin[ω（x+）﹣]＝2sin（ωx+），向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y＝2sin[ω（x﹣）﹣]＝2sin（ωx﹣）．∵所得的两个图象对称轴重合，∴ωx+＝ωx﹣①，或ωx+＝ωx﹣+kπ，k∈Z②．解①得ω＝0，不合题意；解②得ω＝2k，k∈Z．∴ω的最小值为2．故答案为：2．12．（5分）已知a，b均为正数，且直线ax+by﹣6＝0与直线2x+（b﹣3）y+5＝0互相平行，则2a+3b的最小值是25．【解答】解：∵直线ax+by﹣6＝0与直线2x+（b﹣3）y+5＝0互相平行，∴a（b﹣3）﹣2b＝0且5a+12≠0，∴3a+2b＝ab，即，又a，b均为正数，则2a+3b＝（2a+3b）（）＝4+9+．当且仅当a＝b＝5时上式等号成立．故答案为：25．13．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（f（x））≤3的解集为（﹣∞，]．【解答】解：当x≥0时，f（f（x））＝f（﹣x2）＝（﹣x2）2﹣2x2≤3，即（x2﹣3）（x2+1）≤0，解得0≤x≤，当﹣2＜x＜0时，f（f（x））＝f（x2+2x）＝（x2+2x）2+2（x2+2x）≤3，即（x2+2x ﹣1）（x2+2x+3）≤0，解得﹣2＜x＜0，当x≤﹣2时，f（f（x））＝f（x2+2x）＝﹣（x2+2x）2≤3，解得x≤﹣2，综上所述不等式的解集为（﹣∞，]故答案为：（﹣∞，]14．（5分）在△ABC中，已知AC＝3，∠A＝45°，点D满足＝2，且AD ＝，则BC的长为3．【解答】解：根据题意，以A为坐标原点，点C在x轴上建立平面直角坐标系，如图所示；则C（3，0），∵∠A＝45°，∴设B（t，t），其中t＞0，D（x，y）；根据＝2，得（x﹣3，y）＝2（t﹣x，t﹣y），即，解得x＝，y＝，∴D（，）；又∵AD＝，∴+＝13，解得t＝3或t＝﹣（舍去）；∴B（3，3），即BC＝3．故答案为：3．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量＝（1，2sinθ），＝（sin（θ+），1），θ∈R．（1）若⊥，求tanθ的值；（2）若∥，且θ∈（0，），求θ的值．【解答】解；（1）若⊥，则＝sin（θ+）+2sinθ＝0，所以5sinθ+cosθ＝0，所以tanθ＝﹣；（2）若∥，且θ∈（0，），则2sinθsin（θ+）＝1，整理得sin2θ+sinθcosθ＝1，所以，所以，即sin（2θ﹣）＝，θ∈（0，），2θ﹣∈（﹣，），所以2θ﹣＝，所以θ＝．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥P A：（2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC．【解答】（1）证明：因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC．因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB．又因为CP⊥PB，且PB∩AB＝B，AB，PB⊂平面P AB，所以CP⊥平面P AB，又因为P A⊂平面P AB，所以CP⊥P A．（2）证明：在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC＝BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC．又l⊥平面ABC，所以l∥PD．又l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，所以l∥平面PBC．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），B（9，0），C，D 分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD（1）若AC＝4，求直线CD的方程；（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点．【解答】解：（1）若AC＝4，则BD＝4，∵B（9，0），∴D（5，0），∵A（﹣3，4），∴|OA|＝，则|OC|＝1，直线OA的方程为y＝x，设C（3a，﹣4a），﹣1＜a＜0，则|OC|＝＝5|a|＝﹣5a＝1，解得a＝，则C（，），则CD的方程为，整理得x+7y﹣5＝0，即直线CD的方程为x+7y﹣5＝0；（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点．设C（3a，﹣4a），﹣1＜a＜0，则|AC|＝＝＝5|a+1|＝5（a+1），则|BD|＝|AC|＝5（a+1），则D（4﹣5a，0），设△OCD的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，∵O（0，0），C（3a，﹣4a），﹣1＜a＜0，D（4﹣5a，0），∴圆的方程满足，即，则，解得E＝10a﹣3，F＝0，D＝5a﹣4，则圆的一般方程为x2+y2+（5a﹣4）x+（10a﹣3）y＝0，即x2+y2﹣4x﹣3y+5a（x+2y）＝0，由，解得或，即：△OCD的外接圆恒过定点（0，0）和（2，﹣1）．18．（16分）如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km．，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点P到边AD的距离为t（单位：km），△BEF的面积为S（单位：km2）．（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2？并说明理由．【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为（2，4）．设边缘线AC所在抛物线的方程为y＝ax2，把（2，4）代入，得4＝a×22，解得a＝1，∴抛物线的方程为y＝x2．∵y'＝2x，∴过P（t，t2）的切线EF方程为y＝2tx﹣t2．令y＝0，得；令x＝2，得F（2，4t﹣t2），∴，∴，定义域为（0，2]．（2），由S'（t）＞0，得，∴S（t）在上是增函数，在上是减函数，∴S在（0，2]上有最大值．又∵，∴不存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2．19．（16分）在数列{a n}中，已知a1＝a2＝1，a n+a n+2＝λ+2a n+1，n∈N*，λ为常数．（1）证明：a1，a4，a5成等差数列；（2）设c n＝，求数列的前n项和S n；（3）当λ≠0时，数列{a n﹣1}中是否存在三项a s+1﹣1，a t+1﹣1，a p+1﹣1成等比数列，且s，t，p也成等比数列？若存在，求出s，t，p的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵a n+a n+2＝λ+2a n+1，a1＝a2＝1，∴a3＝2a2﹣a1+λ＝λ+1，同理，a4＝2a3﹣a2+λ＝3λ+1，a5＝2a4﹣a3+λ＝6λ+1，又∵a4﹣a1＝3λ，a5﹣a4＝3λ，∴a4﹣a1＝a5﹣a4，故a1，a4，a5成等差数列．（2）由a n+a n+2＝λ+2a n+1，得a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n+λ，令b n＝a n+1﹣a n，则b n+1﹣b n＝λ，b1＝a2﹣a1＝0，∴{b n}是以0为首项，公差为λ的等差数列，∴b n＝b1+（n﹣1）λ＝（n﹣1）λ，即a n+1﹣a n＝（n﹣1）λ，∴a n+2﹣a n＝2（a n+1﹣a n）+λ＝（2n﹣1）λ，∴．当λ＝0时，S n＝n，当．（3）由（2）知a n+1﹣a n＝（n﹣1）λ，用累加法可求得，当n＝1时也适合，∴，假设存在三项a s+1﹣1，a t+1﹣1，a p+1﹣1成等比数列，且s，t，p也成等比数列，则，即，∵s，t，p成等比数列，∴t2＝sp，∴（t﹣1）2＝（s﹣1）（p﹣1），化简得s+p＝2t，联立t2＝sp，得s＝t＝p．这与题设矛盾．故不存在三项a s+1﹣1，a t+1﹣1，a p+1﹣1成等比数列，且s，t，p也成等比数列．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x．（1）若f（1）＝0，求函数f（x）的单调减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a＝﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2＝0，证明：x1+x2≥．【解答】解：（1）∵f（x）＝lnx﹣ax2+x，f（1）＝0，∴a＝2，且x＞0．∴f（x）＝lnx﹣x2+x，∴＝，当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（2）令F（x）＝f（x）﹣ax+1＝lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则F′（x）＝﹣ax+1﹣a＝﹣＝﹣a，当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）＝2﹣＞0，不符合题意，当a＞0时，函数F（x）在x＝时取最大值，F（）＝ln+，令h（a）＝ln+＝，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，又∵h（1）＝＞0，h（2）＝＜0，∴符合题意的整数a的最小值为2．（3）∵a＝﹣2，∴f（x）＝lnx+x2+x，∴f（x1）+f（x2）+x1x2＝lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2＝（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2令g（x）＝lnx﹣x，则g′（x）＝，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（1）＝﹣1，∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，又∵x1，x2是正实数，∴x1+x2≥．四、附加题部分本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）.本卷满分为40分，考试时间为30分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回..【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-1：几何证明选讲21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使得CD＝AC，连结AD交⊙O于点E．求证：BE平分∠ABC【解答】证明：因为CD＝AC，所以∠D＝∠CAD．…（2分）因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB．…（4分）因为∠EBC＝∠CAD，所以∠EBC＝∠D．…（6分）因为∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝2∠EBC，…（8分）所以∠ABE＝∠EBC，即BE平分∠ABC．…（10分）选修4-2：矩阵与变换22．已知a，b∈R，矩阵所对应的变换T A将直线x﹣y﹣1＝0变换为自身，求a，b的值．【解答】解：设直线x﹣y﹣1＝0上任意一点P（x，y）在变换T A的作用下变成点P'（x'，y'），∵，∴，∵P'（x'，y'）在直线x﹣y﹣1＝0上，∴x'﹣y'﹣1＝0，即（﹣1﹣b）x+（a﹣3）y﹣1＝0，又∵P（x，y）在直线x﹣y﹣1＝0上，∴x﹣y﹣1＝0．∴，∴a＝2，b＝﹣2．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为．（a＞0．θ为参数），点P是圆C上的任意一点，若点P到直线l的距离的最大值为，求a的值．【解答】解：∵直线l的参数方程为，消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x+1．又∵圆C的参数方程为（a＞0，θ为参数），∴圆C的普通方程为x2+y2＝a2．∵圆C的圆心到直线l的距离，故依题意，得，解得a＝1．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+＝，求a3+b3的最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴＝+≥，∴ab≥2．当且仅当时取等号．∴a3+b3≥，∴a3+b3的最小值为．八、【必做题】第22题、第23题.每题10分.共计20分.请在答题卡指定区毕内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．（1）求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；（2）已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是，自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立．用ξ表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：（1）记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，则，…（2分）所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为．…（3分）（2）随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3．…（4分）因为，，，，…（8分）所以ξ的分布列为所以．…（10分）26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l 过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【解答】解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2＝x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0＝﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y＝kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4＝0，所以．由，得．所以，故的为定值2．。

2025届江苏省徐州、连云港、宿迁三市高考仿真卷数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 2．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．433．已知集合{}2(,)|1A x y y x ==-，{}(,)|2B x y y x ==，则AB 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．04．已知集合{}15{|},|2M x x N x x =-≤<=<，则MN =（ ）A ．{|12}x x -≤<B ．{}|25x x -<<C ．{|15}x x -≤<D ．{}|02x x <<5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．66．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>7．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．3D ．-38．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+9．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( ) A ．34B ．43C ．-43D ．-3410．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=11．已知全集为R ，集合122(1),{|20}A x y x B x x x -⎧⎫⎪⎪==-=-<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则()A B =R （ ）A ．(0,2)B ．(1,2]C ．[0,1]D ．(0,1]12．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．己知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，则 AB 中元素的个数为_______．2．设复数z 满足 (4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______． 3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩， 则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为_______． 5．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值为_____． 6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ______. 7. 已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x <时，2()log (2)f x x =-， 则(0)(2)f f +的值为_____.8. 在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______. 9. 若实数,x y 满足40x y +-≥，则226210z x y x y =++-+的最小值为_____.10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______. 11．将函数2sin()(0)4y x πωω=->的图象分别向左、向右各平移4π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为______．12．己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a +3b 的最小值为________.13．已知函数 22,0,()2,0x x f x x x x +⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则不等式 (())3f f x ≤的解集为______.14．在△ABC 中，己知 3,45AC A =∠=，点D 满足 2CD BD =，且 AD =则BC 的长为_______ ．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 己知向量(1,2sin ),(sin(),1)3a b πθθ==+，R θ∈．(1)若a b ⊥，求tan θ的值： (2)若//a b ，且(0,)2πθ∈，求θ的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CD ⊥PB ，求证：CP ⊥P A ：(2)若过点A 作直线l 上平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，己知点(3,4),(9,0)A B -，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC =BD .（1）若AC =4，求直线CD 的方程;（2）证明：∆OCD 的外接圈恒过定点(异于原点O ).18.(本小题满分16分)如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ，AD 为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t (单位:km)，△BEF 的面积为S (单位: 2km ).(I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域;(2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过32km ?并说明理由.19.(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知12211,2,n n n a a a a a n N λ*++==+=+∈，λ为常数.(1)证明: 14,5,a a a 成等差数列; (2)设22n na a n c +-=，求数列 的前n 项和 n S ；（3）当0λ≠时，数列 {}1n a -中是否存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列?若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由.20.(本小题满分16分)己知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈ (1)若(1)0f =，求函数 ()f x 的单调递减区间;(2)若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:(3)若 2a =-，正实数 12,x x 满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明: 12x x +≥附加题部分21.【选做题】本题包括A, B, C, D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)如图，O 是△ABC 的外接圆，AB = AC ，延长BC 到点D ，使得CD = AC ，连结AD 交O 于点E .求证:BE 平分∠ABC .B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知,a b R ∈，矩阵 1 3a A b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换A T 将直线 10x y --=变换为自身，求a ,b 的值。

甲组乙组8 90 1 58 2 6 （第3题） 连云港、徐州、淮安、宿迁四市高三年级第一次模拟考试数 学（定稿）参考公式：1．样本数据12,,,n x x x 的方差221()i i s x x n ==-∑，其中1i i x x n ==∑.2．锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．） 1．已知集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4,5}B =，则A B U中元素的个数为 ▲ 个． 2．设复数z 满足()i 432i z -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ▲ ．3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为 ▲ ．4．某用人单位从甲、乙、丙、丁共4名应聘者中招聘2人，若每个 应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被录用的概率为 ▲ ．5．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2， 则输出y 的值为 ▲ ． 6．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ▲ ． 7．若)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0<x 时，2()log (2)=-f x x ，则(0)(2)f f +的值为 ▲ ．8．在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +9．若实数x ，y 满足40x y +-≥，则226210z x y x y =++-+的最小值为 ▲ ．10．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，点A ，1B ，2B ，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点．若（第5题）直线2AB 与直线1B F 的交点恰在该椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为 ▲ ． 11．将函数π2sin()(0)4y x ωω=->的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为 ▲ ．12．已知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线()2350x b y +-+=互相平行，则23a b +的最小值为 ▲ ．13．已知函数()22,0,2,0≥x x f x x x x ⎧-=⎨+<⎩，则不等式(())3f f x ≤的解集为 ▲ ．14．在△ABC 中，已知3AC =，45A ∠=，点D 满足2CD DB =，且13=AD ，则BC 的长为 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定．．．．．的区域内作答．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量(1,2sin )θ=a ，π(sin(),1)3θ=+b ，R θ∈． (1) 若⊥a b ，求tan θ的值； (2) 若a ∥b ，且π(0,)2θ∈，求θ的值． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1) 若AB ⊥BC ，且CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ；(2) 若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,4)A -，(9,0)B ，若C ,D 分别为线段OA ,OB 上的动点，且满足AC BD =．(1) 若4AC =，求直线CD 的方程；(2)证明：△OCD 的外接圆恒过定点（异于原点O ）．A PB （第16题）18．（本小题满分16分）如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ，AD 为4km ．地块的一角是草坪（图中阴影部分），其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上（隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计），将隔离出的△BEF 作为健身场所．设点P 到边AD 的距离为t （单位：km ），△BEF 的面积为S （单位：2km ）．(1)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过32km ？并说明理由． 19．（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知121a a ==，且满足212n n n a a a λ+++=+，*n N ∈，λ为常数．(1)证明：1a ，4a ，5a 成等差数列； (2)设22n na a n c +-=，求数列{}n c 的前n 项和n S ；(3)当0λ≠时，数列{}1n a -中是否存在三项11s a +-，11t a +-，11p a +-成等比数列，且s ，t ，p 也成等比数列？若存在，求出s ，t ，p 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数x ax x x f +-=221ln )(，a R ∈． (1)若2a =，求函数()f x 的单调递减区间；(2)若关于x 的不等式()1f x ax -≤恒成立，求整数a 的最小值；(3)若2a =-，1x ，2x 是两个不相等的正数，且1212()()0f x f x x x ++=，（第17题）D (第21A 题)求证：1212x x +≥．苏北四市高三年级摸底考试数 学（定稿）数学Ⅱ 附加题部分注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（常州市2015届高三）已知双曲线2241ax y -=a 的值为 ▲2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，点A ，1B ，2B ，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点．若直线2AB 与直线1B F 的交点恰在该椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为 ▲3、（南京市、盐城市2015届高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a =▲ .4、（南通市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是5、（苏州市2015届高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为6、（泰州市2015届高三上期末）双曲线12222=-by a x 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲7、（无锡市2015届高三上期末）已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x = ，则该双曲线的离心率为8、（扬州市2015届高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：x ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为2，则C 的标准方程为＿＿＿＿二、解答题1、（常州市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，直线:10()l x my m --=∈R 恒谦网过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点5(,0)2D ，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线1l ，设直线1l 与直线BD 交于点P ，试探索当m变化时，是否存在一条定直线2l ，使得点P 恒在直线2l 上？若存在，请求出直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程为14x =-，过点(0,2)M -作抛物线的切线MA ，切点为A (异于点O )，直线l 过点M 与抛物线交于两点B ,C ，与直线OA 交于点N ．（1）求抛物线的方程；（2）试问：MN MNMB MC+3、（南京市、盐城市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的右准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.4、（南通市2015届高三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为()0,b ，且∆12BF F 是边长为2的等边三角形.()1求椭圆的方程；()2过右焦点2F 的直线l 与椭圆交于,A C 两点，记∆2ABF ，∆2BCF 的面积分别为12,S S .若122S S =，求直线l 的斜率.5、（苏州市2015届高三上期末）如图，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上.（1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于A 、B 的动点，且直线AP ,BP 分别交直线y x =于点M 、N ，证明：OM ON 为定6、（泰州市2015届高三上期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N两点．若直线PQ时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．7、（无锡市2015届高三上期末）已知椭圆22:142x y C +=的上顶点为A ，直线:l y kx m =+交椭圆于,P Q 两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k .(1)若0m =时，求12k k ×的值； (2)若121k k ?-时，证明直线:l y kx m =+过定点.8、（扬州市2015届高三上期末）如图，A ，B ，C 是椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M 的中心，且满足AC ⊥BC ，BC ＝2AC 。

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.已知{}{}1,0,2,1,1,A B =-=-则A B = ▲ .【答案】{-1,0,1,2} 【解析】 试题分析：{}{}{}1,0,21,1=1,10,2AB =---， 考点：集合并集 2.已知复数21iz i=+，(i 为虚数单位)则复数z 的实部为 ▲ . 【答案】1 【解析】 试题分析：22(1)=112i i i z i i -==++，所以实部为1 考点：复数概念3.写出命题:“若=3x ，则223=0x x --”的否命题: ▲ ． 【答案】“若3x ≠则2230x x --≠” 【解析】试题分析：“若P ，则Q ”的否命题为“若⌝P ，则⌝Q ”，所以“若=3x ，则223=0x x --”的否命题为“若3x ≠则2230x x --≠” 考点：否命题4.一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的“茎叶图”如图，则他在这5场比赛中得分的方差为 ▲ . 0891012【答案】2 【解析】试题分析：5场比赛中得分的平均值为10，所以方差为222221[21012] 2.5++++= 考点：方差5.如图所示的流程图，输出的n = ▲ .【答案】4考点：循环结构流程图6.已知抛物线28y x =的焦点是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .【答案】y = 【解析】试题分析：抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以2232,1a a +==，因此双曲线的渐近线方程为y = 考点：双曲线的渐近线7.若实数,x y 满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ ．【答案】6 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,0),(0,1),(2,2)A B C ,所以直线2z x y =+过点(2,2)C 时取最大值6.考点：线性规划求最值8.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 ▲ . 【答案】6π 【解析】试题分析：由题意得22,2r h ==，所以圆柱的表面积为22+26.r rh πππ= 考点：圆柱的表面积9.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，若338,20,a S ==则5S = ▲ . 【答案】40 【解析】试题分析：5355840.S a ==⨯= 考点：等差数列性质10.将x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位（0>ϕ），使得平移后的图像过点),23,3(π则ϕ的最小值为 ▲ ． 【答案】6π 【解析】试题分析：x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位得sin 2()y x ϕ=-，所以sin 2()32πϕ-=，因此2()233k ππϕπ-=+或22()2()33k k Z ππϕπ-=+∈，，即6k πϕπ=-或k ϕπ=-()k Z ∈，所以ϕ的最小值为6π考点：三角函数求角11.若直线l ： y x a =+被圆()2221x y -+=截得的弦长为2，则a = ▲ .【答案】-2 【解析】试题分析：由题意得直线过圆心，即02, 2.a a =+=- 考点：直线与圆位置关系12.已知函数22,0(),3,0x ax x f x bx x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩为奇函数，则不等式()4f x <的解集为 ▲【答案】-4∞（，） 【解析】试题分析：由函数22,0(),3,0x ax x f x bx x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩为奇函数，得()(),f x f x -=-而22,0(),3,0x ax x f x bx x x ⎧-<⎪-=⎨+≥⎪⎩因此3,1a b =-=-，223,0(),3,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩当0x ≥时，234x x -<，解得04x ≤<；当0x <时，234x x --<，解得0x <；所以不等式()4f x <的解集为-4∞（，）考点：奇函数性质，解不等式13.在三角形ABC 中，已知AB=3，A=0120,ABC ∆的面积为4，则BC BA 的值= ▲ . 【答案】332【解析】试题分析：1sin 1542bc A bc =⇒=，又AB=3，所以3,5c b ==，由余弦定理得2222cos 2591549a b c bc A =+-=++=，所以22233cos 22a cb BC BA ac B +-=== 考点：余弦定理，向量数量积14.设点P,M,N 分别在函数22,3y x y y x =+==+的图象上，且2MN PN =,则点P 横坐标的取值范围为 ▲ .【答案】53[,]22-考点：利用导数求函数值域二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）已知()sin cos f x x a x =+，（1）若a =()f x 的最大值及对应的x 的值. （2）若04f π⎛⎫=⎪⎝⎭， ()1(0)5f x x π=<<，求tanx 的值. 【答案】（1）2()6x k k z ππ=+∈时()f x 取最大值2（2）43【解析】试题分析：（1）先根据配角公式将函数化为基本三角函数()sin 2sin()3f x x x x π==+，再根据三角函数性质求其最值：当2()32x k k z πππ+=+∈即2()6x k k z ππ=+∈时()f x 有最大值2（2）由04f π⎛⎫=⎪⎝⎭确定1a =-，从而得到1sin cos 5x x -=，再根据同角三角函数关系求出34cos sin 55x x ==，，即得4tan 3x =试题解析：（1）()sin 2sin()3f x x x x π=+=+………………………………（2分）当sin()12()332x x k k z ππππ+=⇒+=+∈2()6x k k z ππ⇒=+∈时()f x 有最大值2; ……………………………………………（6分）(2) 014f a π⎛⎫=⇒=-⎪⎝⎭………………………………………………………………(8分） 1sin cos 5x x -=21(in cos )25s x x ∴-=12sin cos 25x x ∴= 2112(cos )cos 25cos 5cos 120525x x x x ∴+=⇒+-=3cos 54sin 5x x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩或4cos 53sin 5x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(0,)x π∈3cos 54sin 5x x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴4tan 3x =…………………………………………………（14分）考点：配角公式，同角三角函数关系16.（本小题满分14分）已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC , AB BC ⊥，D 为PB 中点，E 为PC 的中点，（1）求证：BC 平面ADE ； （2）求证:平面AED ⊥平面PAB .【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，这由中位线性质可得到：//DE BC ，再结合线面平行判定定理条件即可论证，（2）证明面面垂直，一般利用其判定定理，即需证线面垂直：因为AB BC ⊥，又由PA ⊥平面ABC 可得PA BC ⊥，因此BC PAB ⊥平面，最后结合面面垂直判定定理即可论证.试题解析：（1）证明： ////PE EC DE BC PD DB DE ADE BC ADE BC ADE=⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面………………………(7分）（2）PA ABC PA BC BC ABC BC ABPA AB A BC PA ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⊂⎭⎪⎪⊥⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⎪⎪⊂⎪⎪⎭平面平面平面PAB 平面PABAB 平面PAB………………………(12分）//DE BC DE ∴⊥平面PAB ,又DE ADE ⊂平面ADE ∴⊥平面平面PAB (14分)考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理17.（本小题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6 万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）． （1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润．．．．．最大？（利润=累计收入+销售收入-总支 出） 【答案】（1）3（2）5 【解析】试题分析：（1）先分别列运输累计收入为25x ，总支出为1[6(1)2]502x x x +-⋅+，再列不等式，解一元二次不等式即可（2）先列利润：25x 1[6(1)2]502x x x -+-⋅+(25)x +-，平均利润为125[6(1)2]50(25)2x x x x x x-+-⋅++-，再利用基本不等式求最值即可 试题解析：（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则25[6(1)]50,(0<10)y x x x x x x =-+--∈≤，N ，由-x2+20x-50＞0，可得10-5＜x ＜10+5∵2＜10-5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入-总支出， ∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19-（x+）≤19-10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当再第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 考点：函数实际应用，基本不等式求最值 18.（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程;（2）若点B 在椭圆上，点D 在y 轴上，且2BD DA =，求直线AB 方程.【答案】（1）22143x y +=（2）112y x =+【解析】试题分析：（1）求椭圆方程，一般利用待定系数法，列两个独立条件即可：12c e a ==，221314a b +=，解得12,c a b ===，2）从点的坐标揭示等量关系：设00(,)B x y =(0,)D m =,则由2BD DA =得002,33x y m =-=-，又点B 在椭圆上，所以24(33)143m -+=，解得1m =(0,1),(2,0)D B ∴-因而直线AB 方程为112y x =+.试题解析：（1）122c e a c a ==∴=…………………………………………………（2分） 22223b a c c ∴=-=设椭圆方程为：2222143x y c c+=，22131144c c c ∴+=∴=设椭圆方程为：22143x y +=…………………………………………………………(7分）（2）设00(,)B x y =(0,)D m =,则00(,)BD x m y =--，3(1,)2DA m =-002,32x m y m ∴-=-=-，即002,33x y m =-=-代入椭圆方程得1m =(0,1)D ∴…(14分） 1:12AB l y x ∴=+………………………………………………………………………(16分） 考点：直线与椭圆位置关系19.已知数列{}n a 满足121,0a a a ==>，数列{}n b 满足1n n n b a a += （1）若{}n a 为等比数列，求{}n b 的前n 项的和n S ； （2）若3n n b =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若2n b n =+，求证：121113na a a +++> 【答案】（1）当=1a 时n S n =，当1a ≠时，22(1)1n n a a S a -=-（2）12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪=⎨⎪=⎩（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）先确定{}n a 通项公式，从而得{}n b 通项公式，再根据通项公式特点，进行分类讨论：当=1a 时1n b =，则n s n =；当1a ≠时，{}n b 为公比不为1的等比数列，其和为22(1)1n n a a s a -=-（2）由3n n b =得13nn n a a +=，因此113(2,)n n a n n N a +-=≥∈，即{}n a 隔项成等比数列12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪∴=⎨⎪=⎩（3）由12,n n a a n +=+得11111)1(2)n n n n n n a a a a a n a +-+--=∴-=≥（，从而利用裂项相消法得1231111na a a a ++++=112111+3n n n n a a a aa a a +++--=+-再由基本不等式122n n a a n ++>=+得证，本题也可利用数学归纳法证明 试题解析：（1）1121,n n n n n n a a b a a a ---=∴==…………………… (2分）当=1a 时1n b =，则n s n =………………………………………… (3分）当1a ≠时，22(1)1n n a a s a-=-………………………………………… (5分） （2）13n n n a a +=113(2,)n n n a a n n N --∴=≥∈113(2,)n n a n n N a +-∴=≥∈………………………………………………………………(7分） 当*21,()n k k N =+∈时，*11222223()3=a3k k k k ka k N a a a --+∴=∈∴= 当*2,()n k k N =∈时， *121212-13()3k k k k a k N a a -+-∴=∈∴= 12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪∴=⎨⎪=⎩………………………………………………………………(11分）（3）12,n n a a n +=+①，121,3a a =∴=11n n a a n -∴=+(2)n ≥②①－②得11111)1(2)n n n n n na a a a a n a +-+--=∴-=≥（ 23111na a a ∴+++314211()()()n n a a a a a a +-=-+-++-=112n n a a a a ++--1231111n a a a a ∴++++=112111+3n n n n a a a a a a a +++--=+- 11222n n n n a a a a n +++>=+1231111na a a a ∴++++＞3．…….(16分) 考点：等比数列求和，裂项相消法证不等式 20.已知函数(),()ln xf x eg x x ==， （1）求证：()1f x x ≥+ ;（2）设01x >,求证：存在唯一的0x 使得g(x)图象在点A(00,()x g x )处的切线l 与y=f(x)图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得()1|1|f x a x--<成立. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析【解析】 试题分析：（1）构造函数()1,xF x e x =--转化为证明其最小值等于零，利用导数求函数最小值即可（2）先列出0x 所满足的等量关系，这从公切线出发即可：0001ln 01x x x +-=-再证函数()()1ln 11x G x x x x +=->-有且仅有一解，这可利用导数研究其单调性，并结合零点存在定理证明（3）先将命题等价转化为：当0a >时不等式1x e x ax --<即10x e ax x ---<在()0,+∞上有解. 令()1x H x e ax x =---，即证()min 0H x <，利用二次求导可证 试题解析：（1）令()1,xF x e x =--x R ∈， ()'10x F x e =-=得0x =,∴当0x >时()()'0,;F x F x >当0x <时()()'0,;F x F x <()()min 00F x F ∴==，由最小值定义得()()min 0F x F x ≥=即1x e x ≥+…………………………………（4分）（2）()g x 在0x x =处切线方程为001ln 1y x x x =+- ① 设直线l 与x y e =图像相切于点()11,x x e ，则:l ()1111x x y e x e x =+- ②……(6分) ③ 由①②得 ④0001ln 01x x x +∴-=- ⑤ 下证0x 在()1,+∞上存在且唯一.令()()1ln 11x G x x x x +=->-，()()221'01x G x x x +=>- ()110011ln 1x x e x x e x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩()G x ∴在()1,+∞上.又()()222230,0,11e G e G e e e --=<=>--()G x 图像连续，∴存在唯一0x ∈ ()1,+∞使⑤式成立，从而由③④可确立1x .故得证……………………………………………………（10分） 由（1）知()110f x x-->即证当0a >时不等式1x e x ax --<即10x e ax x ---<在()0,+∞上有解.令()1xH x e ax x =---，即证()min 0H x <………………………………………（12分） 由()'10xH x e a =--=得()ln 10x a =+>. 当()0ln 1x a <<+时，()()'0,H x H x <，当()ln 1x a >+时，()()'0,H x H x >. ()()()min ln 1H x H a ∴=+()()1ln 1ln 11a a a a =+-+-+-.令()ln 1V x x x x =--，其中11x a =+>则()()'11ln ln 0V x x x =-+=-<，()V x ∴()()10V x V ∴<=.综上得证…………………………………………………………………………………(16分) 考点：构造函数证不等式，利用导数求函数单调性，利用导数求函数性质。

宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n ii x x n ==∑.棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 是高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{1,1,2}A =-，{0,1,2,7}B =，则集合A B 中元素的个数为▲ ．2．设a b ∈R ，，1ii 1ia b +=+-（i 为虚数单位），则b 注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22143x y -=的离心率是 ▲ ．4．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字． 将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 ▲ ． 5．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．6．已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 ▲ ．7．已知实数x ，y 满足1,3,2,y x x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≤≤≥ 则y x 的取值范围是 ▲ ．8．若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是 ▲ ．9．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且522S S =+，则q 的值为 ▲ ．10．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知13AB AA ==，点P 在棱1CC 上，则三棱锥1P ABA -11．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B和C 分别在函数13log a y x =，22log a y x =和3log a y x =(1a >)的图象上，则实数a 的值为 ▲ ． 12．已知对于任意的(,1)(5,)x ∈-∞+∞，都有22(2)0x a x a --+>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(2)()3C x y m ++-=．若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知ABC △三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且π3C =，2c =．当AC AB ⋅取得最大值时，ba的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =． （1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB EF∥；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF EF⊥．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22143x y C :+=的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．（1）若2QF FP =，求直线l 的方程；（2）设直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ．是否存在常数λ，使得12k k λ=若存在，求出λ18．（本小题满分16分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ． （1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域； （2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值 越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．19．（本小题满分16分）已知两个无穷数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，11a =，24S =，对任意的*n N ∈，都有1232n n n n S S S a ++=++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，对任意的*n N ∈，都有n n S T >．证明：n n a b >； （3）若{}n b 为等比数列，11b a =，22b a =，求满足*2()2n nk n na T a kb S N +=∈+的n 值．θ20．（本小题满分16分）已知函数()ln (0)m f x x x m x=+>，()ln 2g x x =-．（1）当1m =时，求函数()f x 的单调增区间； （2）设函数()()()h x f x xg x =-0x >．若函数(())y h h x =的最小求m 的值；（3）若函数()f x ，()g x 的定义域都是[1,e]，对于函数()f x 的图象上的任意一点A ，在函数()g x 的图象上都存在一点B ，使得OA OB ⊥，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点．求m 的取值范围．宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 的弦AB ，MN 交于点C ，且A 为弧MN 的中点，点D 在弧BM 上．若3ACN ADB ∠=∠，求ADB ∠的度数．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。

2015年江苏省大联考高考数学三模试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．设集合 M={x|x 2+x ﹣6＜0}，N={x|1≤x ≤3}，则M ∩N= ．2．已知数列{a n }为等差数列，其前9项和为S 9=54，则a 5= ．3．用12米的绳子围成一个矩形，则这个矩形的面积最大值为 ．4．在等比数列{a n }中，a 1=2，若a 1，2a 2，a 3+6成等差数列，则a n = ．5．若tan θ=1，则cos2θ= ．6．已知在等比数列{a n }中，a 3+a 6=4，a 6+a 9=，则a 10+a 13= ．7．若a ＞0，b ＞0，ab=4，当a+4b 取得最小值时， = ．8．已知平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，则与的夹角为 ．9．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+3y 的最小值与最大值的和为 ．10．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 11．已知在各项为正的等比数列{a n }中，a 2与a 8的等比中项为8，则4a 3+a 7取最小值时首项a 1= ．12．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第16个图形中小正方形的个数是 ．13．在数列{a n }中，若存在一个确定的正整数T ，对任意n ∈N *满足a n+T =a n ，则称{a n }是周期数列，T 叫做它的周期．已知数列{x n }满足x 1=1，x 2=a （a ≤1），x n+2=|x n+1﹣x n |，若数列{x n }的周期为3，则{x n }的前100项的和为 ．14．当x ，y 满足条件|x ﹣1|+|y+1|＜1时，变量u=的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=x2+ax+6．（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．16．已知等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．已知向量=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），函数f（x）=•．①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．18．某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元．若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么每周这两种机器各生产多少台，才能使周利润达到最大，最大利润是多少？19．已知函数f（x）=（ax2﹣1）•e x，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．20．已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：第1次从数列{a n}中取a1，第2次从数列{b n}中取b1，b2，第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，…第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，…由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．2015年江苏省大联考高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=[1，2）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出M与N解集的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合M中不等式x2+x﹣6＜0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，∴M=（﹣3，2），又N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2）．故答案为：[1，2）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知数列{a n}为等差数列，其前9项和为S9=54，则a5=6．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得S9=9a5=54，解方程可得．【解答】解：由题意和等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得前9项和S9===9a5=54，∴a5=6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．3．用12米的绳子围成一个矩形，则这个矩形的面积最大值为9．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设矩形的一边长为x，则临边长为6﹣x，其中0＜x＜6，矩形面积S=x（6﹣x），由基本不等式求最值可得．【解答】解：设矩形的一边长为x，则临边长为6﹣x，其中0＜x＜6，则矩形面积S=x（6﹣x）≤=9，当且仅当x=6﹣x即x=3时取等号．故答案为：9【点评】本题考查基本不等式简单实际应用，属基础题．4．在等比数列{a n}中，a1=2，若a1，2a2，a3+6成等差数列，则a n=2n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1，2a2，a3+6成等差数列，可得4a2=a1+a3+6，运用等比数列的通项公式，计算即可得到．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1，2a2，a3+6成等差数列，可得4a2=a1+a3+6，即有8q﹣8﹣2q2=0，解得q=2，则a n=2×2n﹣1=2n．故答案为：2n．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．若tanθ=1，则cos2θ=0．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】cos2θ==，代入计算可得结论．【解答】解：∵tanθ=1，∴cos2θ===0．故答案为：0【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查同角三角函数关系的运用，比较基础．6．已知在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，则a10+a13=．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，∴==q3=，解得q=，∴a10+a13=（a6+a9）q4==．故答案为：．【点评】本题考查等比数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用．7．若a＞0，b＞0，ab=4，当a+4b取得最小值时，=4．【考点】基本不等式．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由于a＞0，b＞0，ab=4，则a=，a+4b=+4b，运用基本不等式，即可得到最小值，求出等号成立的条件，即可得到．【解答】解：由于a＞0，b＞0，ab=4，则a=，a+4b=+4b ≥2=8，当且仅当b=1，a=4，即=4时，取得最小值8．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．8．已知平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，则与的夹角为 ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】首先利用向量垂直得到两个向量的关系，然后利用平面向量的数量积的个公式求向量的夹角．【解答】解：因为平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，所以（）•=0，所以，所以cos ＜＞====，所以＜＞=．故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量垂直的性质运用以及平面向量数量积的应用求向量的夹角．9．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+3y 的最小值与最大值的和为 30 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出可行域，如图所示：由z=2x+3y ，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过x+y=3与2x﹣y=3的交点（2，1）时，有最小值2×2+3=7，经过x﹣y+1=0与2x﹣y=3的交点（4，5）时，有最大值2×4+3×5=23，则最小值与最大值的和为7+23=30．故答案为：30．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为[，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由x＞0，=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0，=≤=，当且仅当x=2时，取得最大值．所以要使不等式≤a恒成立，则a≥，即实数a的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．11．已知在各项为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为8，则4a3+a7取最小值时首项a1=2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a5=8，可得4a3+a7=+8q2，由基本不等式和等比数列的通项公式可得．【解答】解：由题意知a2a8=82=，∴a5=8，设公比为q（q＞0），则4a3+a7=+a5q2=+8q2≥2=32，当且仅当=8q2，即q2=2时取等号，此时a1==2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及基本不等式求最值，属基础题．12．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第16个图形中小正方形的个数是136．【考点】归纳推理．【专题】计算题；推理和证明．=n，以上式子累加，结合等差数列的求【分析】由a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，可推测a n﹣a n﹣1和公式可得答案．=n，等【解答】解：a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1式两边同时累加得a n﹣a1=2+3+…+n，即a n=1+2+…+n=，所以第16个图形中小正方形的个数是136．故答案为：136．=n是解决问题的关键，属基础题．【点评】本题考查归纳推理，由数列的前几项得出a n﹣a n﹣113．在数列{a n}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N*满足a n+T=a n，则称{a n}是周期数列，T叫做它的周期．已知数列{x n}满足x1=1，x2=a（a≤1），x n+2=|x n+1﹣x n|，若数列{x n}的周期为3，则{x n}的前100项的和为67．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出x3=1﹣a，x4=|1﹣2a|，且x4=x1，从而得a=0或a=1．由此能求出{x n}的前100项的和．【解答】解：由x n+2=|x n+1﹣x n|，得x3=|x2﹣x1|=|a﹣1|=1﹣a，x4=|x3﹣x2|=|1﹣2a|，∵数列{x n}的周期为3，∴x4=x1，即|1﹣2a|=1，解得a=0或a=1．当a=0时，数列为1，0，1，1，0，1，…，∴S100=2×33+1=67．当a=1时，数列为1，1，0，1，1，0，…，∴S100=2×33+1=67．综上：{x n}的前100项的和为67．故答案为：67．【点评】本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性和分类讨论思想的合理运用．14．当x，y满足条件|x﹣1|+|y+1|＜1时，变量u=的取值范围是（﹣，）．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据分式的性质，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式|x﹣1|+|y+1|＜1对应的区域如图：u==，则u的几何意义表示点M（1，2）与点P（x，y）两点连线的斜率的倒数．画出可行域如图，当点P为区域内的点（0，﹣1）时，u max=，当点P为区域内的点（2，﹣1）时，u min=，故u的取值范围是（﹣，），故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查线性规划好斜率的几何意义的应用，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=x2+ax+6．（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）首先把一元二次不等式变为x2+5x+6＜0，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；（2）要使一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，只需△＜0，求出实数a的取值范围即可．【解答】解：（1）∵当a=5时，不等式f（x）＜0即x2+5x+6＜0，∴（x+2）（x+3）＜0，∴﹣3＜x＜﹣2．∴不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}（2）不等式f（x）＞0的解集为R，∴x的一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，∴△=a2﹣4×6＜0⇒﹣2＜a＜2∴实数a的取值范围是（﹣2，2）【点评】本题主要考查一元二次不等式，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想，属于基础题．16．已知等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出{a n}的通项公式．（2）由已知条件推导出数列{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列，由此能求出数列{b n}的前n 项和．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，∵等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．∴由题意得，解得a1=1，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，即{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（1）知b n=22n﹣2，b1=1，∴=4，∴数列{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴数列{b n}的前n项和T n==．【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．17．已知向量=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），函数f（x）=•．①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】①利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=•=，由，即可解得函数图象的对称轴方程．②由余弦定理可得：，再利用基本不等式可得，可得，∈.．即可得出函数f（B）的值域．【解答】解：①函数f（x）=•===，由，解得，即（k∈Z）．∴函数图象的对称轴方程为（k∈Z）．②由余弦定理可得：=，当且仅当a=c时取等号．∴．∴∈．∴．∴f（B）=+1∈[2，3]．【点评】本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质、基本不等式的性质、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元．若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么每周这两种机器各生产多少台，才能使周利润达到最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先由题意设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，列出可行域以及目标函数，求目标函数的最值．【解答】解：设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，则目标函数为z=6x+8y．作出不等式组表示的平面区域，且作直线l：6x+8y=0，即3x+4y=0，如图：把直线l：3x+4y=0向右上方平移至l3的位置时，直线l3过可行域上的点M时直线的截距最大，即z取最大值，解方程组（x≥0，y≥0，x，y∈Z）得，所以点M坐标为（4，9），将x=4，y=9代入目标函数z=6x+8y得最大值z=6×4+8×9=96（万元）．所以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时，公司可获得最大利润为96万元．【点评】本题考查了线性规划问题的应用；关键是由题意抽象数学模型，正确建立约束条件和目标函数，画出可行域，求最优解．19．已知函数f（x）=（ax2﹣1）•e x，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（I）对函数f（x）进行求导，令导函数在x=1处的值为0，列出方程，求出a，（II）求出导函数，设g（x）=ax2+2ax﹣1，对a的值进行分类讨论结合二次函数的性质研究f′（x）；最后令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0求出递减区间．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x．x∈R…依题意得f'（1）=（3a﹣1）•e=0，解得．经检验符合题意．…（Ⅱ）f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x，设g（x）=ax2+2ax﹣1，（1）当a=0时，f（x）=﹣e x，f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…（2）当a＜0时，方程g（x）=ax2+2ax﹣1=0的判别式为△=4a2+4a，令△=0，解得a=0（舍去）或a=﹣1．1°当a=﹣1时，g（x）=﹣x2﹣2x﹣1=﹣（x+1）2≤0，即f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x≤0，且f'（x）在x=﹣1两侧同号，仅在x=﹣1时等于0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…2°当﹣1＜a＜0时，△＜0，则g（x）=ax2+2ax﹣1＜0恒成立，即f'（x）＜0恒成立，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…3°a＜﹣1时，△=4a2+4a＞0，令g（x）=0，方程ax2+2ax﹣1=0有两个不相等的实数根，，作差可知，则当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在上为单调减函数；当时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）在上为单调增函数；当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在上为单调减函数．…综上所述，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，+∞）；当a＜﹣1时，函数f（x）的单调减区间为，，函数f（x）的单调增区间为．…【点评】本题考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查函数在某点取得极值的条件、考查等价转化的数学思想方法．20．已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：第1次从数列{a n}中取a1，第2次从数列{b n}中取b1，b2，第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，…第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，…由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．【考点】数列的应用；等比数列的性质．【专题】综合题；等差数列与等比数列；不等式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，根据题意，求出a1与d以及b1与q的值，即可得出{a n}与{b n}的通项公式；（2）分析数列{c n}项的特征：第n组中，有2n﹣1项选取于数列{a n}，有2n项选取于数列{b n}，前n组共有n2项选取于数列{a n}，有n2+n项选取于数列{b n}，它们的总和P n=+﹣2；求出符合不等式S n＜22014的最大n值即可．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，依题意，得；解得a1=d=1，b1=q=2；故a n=n，b n=2n；（2）将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，…；以此类推，则第n组中，有2n﹣1项选取于数列{a n}，有2n项选取于数列{b n}，前n组共有n2项选取于数列{a n}，有n2+n项选取于数列{b n}，记它们的总和为P n，并且有P n=+﹣2；则P45﹣22014=+22071﹣22014﹣2＞0，P44﹣22014=﹣21981（233﹣1）﹣2＜0；当S n=+（2+22+…+22012）时，S n﹣22014=﹣22013﹣2+＜0；当S n=+（2+22+…+22013）时，S n﹣22014=﹣2+＞0；可得到符合S n＜22014的最大的n=452+2012=4037．【点评】本题考查了等差与等比数列的综合应用问题，也考查了不等式的性质与应用问题，考查了阅读理解与分析、综合能力的应用问题，是较难的题目．。

我国的基本经济制度练习题【基础达标】1．统计数据显示,新中国成立60多年来,我国国有经济产值平均增长速度高于10%,控制着国民经济命脉。

这表明,我国国有经济()①在国民经济中处于主体地位②资产在社会总资产中占优势③在国民经济中起主导作用④对增强我国的经济实力具有关键作用A.①②B.①③C.②④D.③④▼【答案】D【解析】此题考查国有经济的地位和作用。

在国民经济中,公有制占主体,公有资产在社会总资产中占优势,排除①和②。

通过国有经济的实力和发展速度,可知国有经济的作用,故选③④。

2.分析某公司经济成分示意图,可知该公司()①是国有控股企业②是混合所有制企业③是公有制企业④具有非公有制性质A.①②B.③④C.①④D.②③▼【答案】A【解析】此题考查公有制实现形式。

该公司经济成分中,国有经济所占比重超过50%,可知①正确。

该公司由公有制经济成分和非公有制经济成分组成,属于混合所有制企业,故②正确,排除③。

该公司公有制经济占主体,可见具有公有制性质,排除④。

3.《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》，对民营经济地位作用的肯定，体现了党和国家发展民营经济政策的连续性和坚定性。

《决定》提出，对于民营企业转型升级，尤其是帮助中小微企业获得技术、资金、用地等方面的支持。

这是因为()A．从作用看，非公有制经济是社会主义经济的重要组成部分B．巩固发展非公有制经济有利于进一步解放和发展社会主义生产力C．非公有制经济与公有制经济都是社会主义市场经济的重要组成部分D．非公有制经济与公有制经济在国民经济中的地位应该是平等的▼【答案】C【解析】之所以帮助中小微企业获得技术、资金、用地等方面的支持。

这是因为非公有制经济与公有制经济都是社会主义市场经济的重要组成部分，选C。

A、B、D说法错误，非公有制经济是社会主义市场经济的重要组成部分，巩固发展非公有制经济有利于进一步解放和发展生产力，非公有制经济与公有制经济在国民经济中的地位是不平等的，公有制是主体，国有经济是主导作用。

I ← 1 While I < 7S ← 2 I + 1 I ← I + 2 End While Print S（第4题）连云港市2015届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ▲ ”．【答案】x ∀∈R ，20x ≤2． 设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ．【答案】03． 设集合{}11 0 3 2A =-，，，，{}2 1B x x =≥，则AB = ▲ ．【答案】{}1 3-，4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．【答案】115． 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ．【答案】0.026． 若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为 ▲ ．【答案】π27． 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线 30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】e -8． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD - 的体积为 ▲ cm 3．【答案】19． 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ． 若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．【答案】7AA 1BCB 1C 1D 1D（第8题）BDC（第12题）AA B CDMNQ（第15题）10．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ．【答案】611．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，则线段AC 的长为 ▲ ．【答案】312．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D 在边BC 上，BAD ∠=45°，则tan CAD ∠的值为 ▲ ．【答案】8157+13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 ▲ ． 【答案】9814．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =， 则半径r 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]5 55，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以//MQ CD ， …… 2分又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，故//CD 平面MNQ ． …… 6分 （2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ，又90BAD ∠=°，故MN AD ⊥． …… 8分 因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD平面CAD AD =， 且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面ACD ． …… 11分又MN ⊂平面MNQ ，平面MNQ ⊥平面CAD ． …… 14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）16．（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率； （2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中 任选2人参加学校的某项体育比赛． ① 写出所有等可能的基本事件； ② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A ，“测试成绩为良”为事件1A ，“测试成绩为中” 为事件2A ，事件1A ，2A 是互斥的. …… 2分 由已知，有121923()()5050P A P A ==，． …… 4分因为当事件1A ，2A 之一发生时，事件A 发生， 所以由互斥事件的概率公式，得1212192321()()()()505025P A P A A P A P A =+=+=+=． …… 6分（2）① 有10个基本事件：12()a a ，，13()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，23()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，12()b b ，． …… 9分 ② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B ．在上述等可能的10个基本事件中，事件B 包含了11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，．等级 优 良 中 不及格 人数519233故所求的概率为63()105P B ==．答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为2125；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为35． ……14分（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ， k =-y a 1sin θ+b ，其中0πθ<<.（1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值；（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值.解：（1）（方法1）当4k =，π6θ=时，()123=-，x ，=y (44-，)， (2)分则⋅=x y ()1(4)234443⨯-+-⨯=-． …… 6分（方法2）依题意，0⋅=a b ， …… 2分则⋅=x y ()()()223314242122⎡⎤+-⋅-+=-+⨯-⎢⎥⎣⎦a b a b a b()342144432=-+⨯-⨯=- ． …… 6分（2）依题意，()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ， 因为x //y ，所以2(22cos )sin k θθ=--，整理得，()1sin cos 1kθθ=-， …… 9分令()()sin cos 1f θθθ=-，则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+-22c o s c o s 1θθ=--()()2cos 1cos 1θθ=+-. …… 11分令()0f θ'=，得1cos 2θ=-或cos 1θ=，又0πθ<<，故2π3θ=.列表：故当2π3θ=时，min ()f θ=334-，此时实数k 取最大值439-. …… 14分（注：第（2）小问中，得到()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，及k 与θ的等式，各1分．）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为 (0)F c ，.00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥.（1）若3a =，5b =，求0x 的值； （2）若00x =，求椭圆的离心率；（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线2a x c=相切. 解：（1）因为3a =，5b =，所以2224c a b =-=，即2c =， 由PA PF ⊥得，0000132y y x x ⋅=-+-，即22006y x x =--+, …… 3分 又2200195x y +=，所以204990x x +-=，解得034x =或03x =-(舍去) ． …… 5分 （2）当00x =时,220y b =， 由PA PF ⊥得，001y y a c⋅=--，即2b ac =，故22a c ac -=， …… 8分 xyO PAF （第18题）θ ()2π0 3， 2π3()2π π3，()f θ' -0 +()f θ↘极小值334-↗所以210e e +-=，解得512e -=（负值已舍）． (10)分（3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b+=，① 由PA PF ⊥得，00001y y x a x c⋅=-+-,即2200()y x c a x ca =-+-+, ② 由①②得，()2002()0a b ac x a x c ⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎣⎦， 解得()2202a a ac c x c --=-或0x a =-(舍去). …… 13分所以()2200PF x c y =-+()22000()x c x c a x ca =--+-+0c a x a=-()222a a ac c c a a c --=+⋅2a c c =-，所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2a x c=相切. …… 16分（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c-，得1分；直接使用焦半径公式扣1分．）19．（本小题满分16分）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--． （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．解：（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =，所以0a =，此时()f x x x =为奇函数． …… 4分（2）因为对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥． 当0a ≤时，对任意的[2 3]x ∈，，()0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤； …… 6分当0a >时，易得22 () x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+-<⎪=⎨--⎪⎩，，，≥在(2a ⎤-∞⎥⎦，上是单调增函数，在 2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，在[) a +∞，上是单调增函数，当02a <<时，min ()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得43a ≤，所以43a ≤； 当23a ≤≤时，min ()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以a 不存在；当3a >时，{}{}min ()min (2)(3)min 2(2)3(3)0f x f f a a a a =----，=，≥，解得92a ≥， 所以92a ≥；综上得，43a ≤或92a ≥． …… 10分（3）设[]()()F x f f x a =+， 令()t f x a x x a =+=-则()y f t ==t t a a --，4a >， 第一步，令()0f t =t t a a ⇔-=，所以，当t a <时，20t at a -+=，判别式(4)0a a ∆=->，解得2142a a a t --=，2242a a a t +-=；当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=，解得2342a a a t ++=； 第二步，易得12302a t t a t <<<<<，且24a a <，① 若1x x a t -=，其中2104a t <<， 当x a <时，210x ax t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2a x a =<，1()0p a t =>，且21140a t ∆=->，所以方程210t at t -+=有2个不同的实根； 当x a ≥时，210x ax t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，1()0q a t =-<，且22140a t ∆=+>，所以方程210x ax t --=有1个实根， 从而方程1x x a t -=有3个不同的实根；② 若2x x a t -=，其中2204a t <<， 由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根；③ 若3x x a t -=，当x a >时，230x ax t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0r a t =-<，且23340a t ∆=+>，所以方程230x ax t --=有1个实根； 当x a ≤时，230x ax t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0s a t =>，且2334a t ∆=-，2340a t ->⇔324160a a --<， …… 14分记32()416m a a a =--，则()(38)0m a a a '=->，故()m a 为(4 )+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>， 所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a ∈，， 若04a a <<，即30∆<，方程230x ax t -+=有0个实根； 若0a a =，即30∆=，方程230x ax t -+=有1个实根； 若0a a >，即30∆>，方程230x ax t -+=有2个实根，所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根； 当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根； 当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7； 当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8；当0a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9． …… 16分 （注：第（1）小问中，求得0a =后不验证()f x 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）20．（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记n n n c a b =+． （1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34． ① 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；② 是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得数列 1n c ，2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论． 解：（1）证明：依题意，()()111n n n n n n c c d a b a b d +++--=+-+- ()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠， …… 3分 从而2111(1)(1)n n n n n n c c d b q q c c d b q ++++---==---，又211(1)0c c d b q --=-≠，所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． …… 5分（2）① 法1：由（1）得，等比数列{}1n n c c d +--的前3项为6d -，9d -，15d -， 则()29d -=()()615d d --，解得3d =，从而2q =， …… 7分 且11114 3210 a b a b +=⎧⎨++=⎩，，解得11a =，13b =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分法2：依题意，得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，， …… 7分 消去1a ，得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，，，消去d ，得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分 ② 假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<，且l c ，m c ， p c ，r c 成等差数列， 则2m p l c c c =+，因为0l c >，所以2m p c c >， ① 若1p m >+，则2p m +≥，结合①得，112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥，化简得，8203m m -<-<， ②因为2m ≥，m *∈N ，不难知20m m ->，这与②矛盾， 所以只能1p m =+， 同理，1r p =+，所以m c ，p c ，r c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+， 即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m b b b ++=+，只能1q =，这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A ． …… 16分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）连云港市2015届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点． 求证：AP BC AC CP ⋅=⋅． 证明：因为PC 为圆O 的切线，所以PCA CBP ∠=∠， …… 3分 又CPA CPB ∠=∠，故△CAP ∽△BCP ， …… 7分 所以AC AP BC PC=，即AP BC AC CP ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征向量，求实数a 的值． 解：设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦， …… 5分 故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1. a λ⎧⎨=⎩=，…… 10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．B ACPO（第21 - A 题）解：（方法1）将直线π3θ=化为普通方程得，3y x =，将曲线210cos 40ρρθ-+=化为普通方程得，221040x y x +-+=, …… 4分联立2231040y x x y x ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，并消去y 得，22520x x -+=，解得112x =，22x =，所以AB 中点的横坐标为12524x x +=，纵坐标为532， …… 8分化为极坐标为()5π 23，．…… 10分 （方法2）联立直线l 与曲线C 的方程组2π310cos 40θρρθ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，，…… 2分 消去θ，得2540ρρ-+=，解得11ρ=，24ρ=， …… 6分所以线段AB 中点的极坐标为()12π23ρρ+，，即()5π 23，． …… 10分（注：将线段AB 中点的极坐标写成()5π 2π ()23k k +∈Z ，的不扣分．）D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设实数a ，b ，c 满足234a b c ++=，求证：22287a b c ++≥．证明：由柯西不等式，得()()222222123a b c ++++≥()223a b c ++， …… 6分 因为234a b c ++=，故22287a b c ++≥， …… 8分当且仅当123a b c ==，即27a =，47b =，67c =时取“=”． (10)分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(84)A -，，(2)P t ，(0)t <在抛物线22y px =(0)p >上． （1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线 AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1232k k k +=，求点C 的坐标． 解：（1）将点(84)A -，代入22y px =，得1p =， …… 2分 将点(2)P t ，代入22y x =，得2t =±，因为0t <，所以2t =-． …… 4分（2）依题意，M 的坐标为(20)，， 直线AM 的方程为2433y x =-+， 联立224332y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，并解得B ()112，， …… 6分所以113k =-，22k =-，代入1232k k k +=得，376k =-， …… 8分从而直线PC 的方程为7163y x =-+，联立24337163y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，并解得C ()823-，． …… 10分23．（本小题满分10分）设A ，B 均为非空集合，且AB =∅，AB ={ 123，，，…，}n (n ≥3，n *∈N )．记A ，B 中元素的个数分别为a ，b ，所有满足“a ∈B ，且b A ∈”的集合对(A ，B )的个数为n a ． （1）求a 3，a 4的值； （2）求n a ．解：（1）当n =3时，AB ={1，2，3}，且AB =∅，若a =1，b =2，则1B ∈，2A ∈，共01C 种；B（第22题）y xOACPM若a =2，b =1，则2B ∈，1A ∈，共11C 种，所以a 3=01C 11+ C 2=；…… 2分 当n =4时，A B ={1，2，3，4}，且A B =∅，若a =1，b =3，则1B ∈，3A ∈，共02C 种； 若a =2，b =2，则2B ∈，2A ∈，这与AB =∅矛盾；若a =3，b =1，则3B ∈，1A ∈，共22C 种，所以a 4=02C 22+ C 2=．…… 4分 （2）当n 为偶数时，A B ={1，2，3，…，n }，且A B =∅，若a =1，b 1n =-，则1B ∈，1n -A ∈，共02C n -（考虑A ）种； 若a =2，b 2n =-，则2B ∈，2n -A ∈，共12C n -（考虑A ）种； ……若a =12n -，b 12n =+，则12n -B ∈，12n +A ∈，共222C nn --（考虑A ）种； 若a =2n ，b 2n =，则2n B ∈，2n A ∈，这与AB =∅矛盾；若a 12n =+，b 12n =-，则12n +B ∈，12n -A ∈，共22C nn -（考虑A ）种； ……若a =1n -，b 1=，则1n -B ∈，1A ∈，共（考虑A ）22C n n --种，所以a n =02Cn -+12Cn -+…+222C n n --+22Cn n -+…+122222C2Cn n n n n -----=-； …… 8分当n 为奇数时，同理得，a n =02C n -+12C n -+…+222C 2n n n ---=， 综上得，122222C 2 .n n n n n n a n ----⎧⎪-=⎨⎪⎩，为偶数，，为奇数 …… 10分。

苏北四市高三年级第一次模拟考试数学参考答案与评分标准（定稿）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．）1．6； 2．3-； 3．143； 4．56； 5．7； 6； 7．2-；8．22； 9．18； 10．12； 11．2； 12．25 ； 13．(-∞； 14．3．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．． 15．(1)因为⊥a b ，所以=0a b ， …………………………………………………………2分所以π2sin sin 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即5sin cos 022θθ+=． …………………4分因为cos 0θ≠，所以tan 5θ=-． …………………………………………6分 (2)由a ∥b ，得π2sin sin 13θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ………………………………………………8分即2ππ2sin cos2sin cos sin 133θθθ+=，即()11cos 2212θθ-+=， 整理得，π1sin 262θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ……………………………………………………11分 又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,666θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以ππ266θ-=，即π6θ=． …………………………………………………14分 16．（1）因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC平面ABC BC =，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC ． …………………………………………………2分因为CP ⊂平面PBC ，所以CP ⊥AB . ………………………………………………4分 又因为CP ⊥PB ，且PBAB B =，,AB PB ⊂平面PAB ,所以CP ⊥平面PAB ，…………………………………………………………………6分 又因为PA ⊂平面PAB ，所以CP ⊥PA ．……………………………………………7分（2）在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ．…………………………………8分因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PD ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………10分又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ．……………………………………………………12分 又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ，l //平面PBC ．……………………………14分17．(1) 因为(3,4)A -，所以5OA ==，…………………………………1分又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -，…………………………………3分 由4BD =，得(5,0)D ，…………………………………………………………… 4分所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ………………………………………………5分所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--，即750x y +-=．…………………………6分 （2)设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =．…………………………………………7分则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=，所以D 点的坐标为 (5+4,0)m ………………………………………………………8分 又设OCD ∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=，则有()()2220,916340,54540.F m m mD mE F m m D F ⎧=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩……………………………………………10分APBD解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=，…………12分 整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，令2243=0,+2=0x y x y x y ⎧+--⎨⎩，所以0,0.x y =⎧⎨=⎩（舍）或2,1.x y =⎧⎨=-⎩ 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．…………………………………………14分 18．(1)如图，以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,4)．……………………………………………………………………………1分设边缘线AC 所在抛物线的方程为2y ax =， 把(2,4)代入，得242a = ，解得1a =，所以抛物线的方程为2y x =．…………………………………………………………3分 因为2y x ¢=，……………………………………………………………………………4分 所以过2(,)P t t 的切线EF 方程为22y tx t =-．………………………………………5分令0y =，得(,0)2tE ；令2x =，得2(2,4)F t t -，…………………………………7分所以21(2)(4)22t S t t =--，…………………………………………………………8分所以321(816)4S t t t =-+，定义域为(0,2]．………………………………………9分(2)2134(31616)(4)()443S t t t t '=-+=--，……………………………………………12分由()0S t '>，得403t <<，所以()S t '在4(0,)3上是增函数，在4(,2]3上是减函数，…………………………14分所以S 在(0,2]上有最大值464()327S =．又因为6417332727=-<，所以不存在点P ，使隔离出的△面积S 超过32．…………………………16分19．（1）因为211221n n n a a a a a λ+++=+==，，所以32121a a a λλ==+-+，同理，432231a a a λλ==+-+，543261a a a λλ==+-+， ……………………2分 又因为413a a λ-=，543a a λ-=，…………………………………………………3分 所以4154a a a a -=-，故1a ，4a ，5a 成等差数列．…………………………………………………………4分 （2） 由212n n n a a a λ+++=+，得211+n n n n a a a a λ+++-=-，…………………………5分令1n n n b a a +=-，则1n n b b λ+-=，1210b a a =-=， 所以{}n b 是以0为首项，公差为λ的等差数列，所以1(1)(1)n b b n n λλ=+-=-，…………………………………………………6分 即1(1)n n a a n λ+-=-，所以212()(21)n n n n a a a a n λλ++-=-+=-， 所以2(21)22n na a n n c λ+--==． ………………………………………………………8分35(21)122222n n n S c c c λλλλ-=+++=++++L L（第18题）当0n S n λ==时，， ……………………………………………………………9分 当235(21)22(12)0222212n n n S λλλλλλλλ--≠=++++=-L 时，．………………10分（3）由（2）知1(1)n n a a n λ+-=-，用累加法可求得()(1)(2)1+22n n n a n λ--=≥，当1n =时也适合，所以()(1)(2)1+2n n n a n N λ*--=∈ ……………………12分 假设存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列，则2111(1)(1)(1)t s p a a a +++-=--，即22(1)(1)(1)44t t s s p p ---=， ………14分 因为,,s t p 成等比数列，所以2t sp =， 所以2(1)(1)(1)t s p -=--，化简得2s p t +=，联立 2t sp =，得s t p ==． 这与题设矛盾．故不存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列．…16分 20．（1）因为(1)102af =-=，所以2a =，………………………………………1分 此时2()ln ,0f x x x x x =-+>，2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> ……………………………………… 2分由()0f x '<，得2210x x -->， 又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞． ………………………………………… 4分（2）方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(，所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax -≤不能恒成立．……………………………………6分当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当1(0,)x a∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-． ……………………………………………………………………8分 令1()ln 2h a a a=-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2．…………………………………………………………10分 方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立，问题等价于2ln 112x x a x x +++≥在(0,)+∞上恒成立． 令2ln 1()2x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥．………………………………………… 6分 因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ． 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max 020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++．………………………8分 因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-<所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈．所以2a ≥，即整数a 的最小值为2．……………………………………………… 10分 （3）当2a =-时，2()ln ,0f x x x x x =++>由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅ ………………………………… 13分 令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'=可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)1t ϕϕ=≥， ………………………………………………………15分 所以21212()()1x x x x +++≥，因此12x x +成立．………………………………………………………… 16分 苏北四市高三年级第一次模拟考试数学试题参考答案与评分标准数学Ⅱ 附加题部分（定稿）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．．若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(选修4—1：几何证明选讲)因为=CD AC ，所以∠=∠D CAD ．………………………………………………2分 因为=AB AC ，所以∠=∠ABC ACB ．……………………………………………4分 因为∠=∠EBC CAD ，所以∠=∠EBC D ．………………………………………6分 因为2∠=∠+∠=∠ACB CAD ADC EBC ， ………………………………………8分 所以∠=∠ABE EBC ，即BE 平分∠ABC ．………………………………………10分 B ．选修4-2：矩阵与变换解: 设直线01=--y x 上任意一点( )P x y ，在变换T A 的作用下变成点( )P x y '''，， 由13a x x b y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得,3.x x ay y bx y '=-+⎧⎨'=+⎩，……………………………………………4分 因为( )P x y '''，在直线01=--y x 上， 所以10x y ⅱ--=，即01)3()1=--+--y a x b （， ……………………6分 又因为( )P x y ，在直线01=--y x 上，所以01=--y x ． ……………………8分 因此11,3 1.b a ì--=ïïíï-=-ïî解得2,2-==b a . ………………………………………10分C ．选修4-4：坐标系与参数方程解: 因为直线l 的参数方程为,21x t y t ì=ïïíï=+ïî, 消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y ．……………………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos a y a x （,0>a θ为参数），所以圆C 的普通方程为222a y x =+．………………………………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离55=d ，……………………………………………8分 故依题意，得15555+=+a ， 解得1=a . ……………………………………………………………………………10分D ．选修4－5：不等式选讲 解：因为0,0a b >>，所以11a b +3分又因为11a b+=，所以2ab ≥，且当a b ==时取等号．………………6分 所以33a b+≥a b ==时取等号．……………………9分 所以33a b +的最小值为10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (1) 记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A ，则3438113(A)=111414-=-=C P C ，………………………………………………………2分所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为1314.……………………………3分 (2)随机变量ξ的所有可能取值有0,1,2,3．……………………………………………4分因为2111(=0)==5480P ξ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，212411131(=1)=+545448P C ξ⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2124131333(=2)=+=5445480P C ξ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，2439(=3)=5420P ζ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭，……………………………………………………………8分 所以ξ的分布列为所以()=0123 2.380808080E ξ⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………………10分23．（1）由题设知，124p -=-，即12p = 所以抛物线的方程为2y x =…………………………………………………………2分（2）因为函数y =-y ¢=-，设00(,)A x y ，则直线MA 的方程为00)y y x x -=--，………………………………4分 因为点(0,2)M -在直线MA 上，所以0012)2y x --=-?． 联立0200122.y y x ìïï=-- ïíïï=ïî 解得(16,4)A -．……………………………………5分所以直线OA 的方程为14y x =-． ……………………………………………… 6分 设直线BC 方程为2y kx =-，高三数学试卷 第 11 页 共 11 页 由2,2y x y kx ìï=ïíï=-ïî，得22(41)40k x k x -++=， 所以22414,B C B C k x x x x k k++==．…………………………………………… 7分 由1,42y x y kx ìïï=-ïíïï=-ïî，得841N x k =+．………………………………………………… 8分 所以224188412441414N N B C N B C B Ck x x x x MN MN k k x MB MC x x x x k k k ++++=+=???++, 故MN MN MB MC为定值2．……………………………………………………………10分。

徐州、连云港、宿迁三市2015届高三第三次模拟英语第一部分听力（共两节，满分20分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小題；每小1分，满分5分）听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What are the two speakers talking about?A. Boating.B. Tom’s plan.C. The weather.2. When did the film begin?A. At 7:30.B. At 8:00.C. At 8:30.3. What program does the man like most?A. History.B. News.C. Sports.4. Why is the man leaving early?A. He isn’t interested in the movie.B. He wants to avoid a traffic jam.C. He doesn’t know the way to the theatre.5. How does the man feel about the news?A. Excited.B. Indifferent.C. Disappointed.第二节（共15小題：每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白，毎段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题给出5秒钟的做题时问。

每段对话或独白读两遍。

听下面一段对话，回答第6至7两个小题。

6. What party does the woman want to have?A. A dinner party.B. A dancing party.C. A music party.7. What can we learn from the conversation?A. Frank and his wife don’t like to talk.B. The Browns were invited in the last party.C. The woman doesn’t want to invite the Browns.听下面一段对话，回答第8至9两个小题。

江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编函数一、填空题1、（常州市2015届高三）函数()22()log 6f x x =-的定义域为 ▲2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）若)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0<x 时， 2()log (2)=-f x x ，则(0)(2)f f +的值为 ▲3、（南京市、盐城市2015届高三）．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+. 如果对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围是 ▲ .4、（南通市2015届高三）函数2()lg(23)f x x x =-++的定义域为5、（苏州市2015届高三上期末）已知函数()lg(1)2x a f x =-的定义域是1(,)2+∞， 则实数a 的值为6、（泰州市2015届高三上期末）函数()f x =的定义域为 ▲7、（无锡市2015届高三上期末）已知函数()y f x =是定义域为¡的偶函数，当0x ³时，()21-,024,13,224x x x f x x ìïï＃ïïï=íï骣ï÷ç-->÷ïç÷ïç桫ïî若关于x 的方程()27()0,16a f x af x a 轾++= 犏臌¡有且仅有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是8、（扬州市2015届高三上期末）设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f （x ）的值域为R ，是实数a 的取值范围是＿＿＿9、（常州市2015届高三）已知函数()22x f x =-()()1,2x ∈-，则函数(1)y f x =-的值域为 ▲10、（南通市2015届高三）已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且1|23|,12(),11(),222 x x f x f x x --≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩则函数2()3y xf x =-在区间 ()12015，上的零点个数为 11、（苏州市2015届高三上期末）已知函数24,()43,f x x x ⎧=⎨+-⎩,.x m x m ≥<若函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是二、解答题1、（常州市2015届高三）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （m ），三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数关系式；（2）求S 的最大值．参考答案一、填空题1、((),6,-∞+∞2、-23、[5,2]--4、（－1,3）5、[2,)+∞ 7、8、(][)12-∞-+∞，， 9、[)0,2 10、11 11(]1,2二、解答题 1、解：（1）由题设，得()9007200822916S x x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭，()8,450x ∈． ………………………6分（2）因为8450x <<，所以72002240x x +≥， ……………………8分 当且仅当60x =时等号成立． ………………………10分从而676S ≤． ………………………12分答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m 2 ． ………………………14分。