高三数学模拟试卷精编(含答案及解析)

陕西省2025届高三第一次模拟联考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，干脆运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和精确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.2.复数i（1+2i）的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意,依据复数的运算可得，所以复数的模为，故选D.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题。

3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简洁的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】依据三视图画出几何体的直观图，推断几何体的形态以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中推断几何体的形态与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题。

高三数学模拟考试卷（附答案解析）一、单选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知p:sinx=siny，q:x=y，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为()A. y=±3xB. y=±2xC. y=±2xD. y=±x3.函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且对于任意的x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<1成立．如果f(m)>m，则实数m的取值集合是()A. {0}B. {m|m>0}C. {m|m<0}D. R4.已知数列{an}满足a1+a2+⋯+an=n(n+3)，n∈N*，则an=()A. 2nB. 2n+2C. n+3D. 3n+1二、填空题（本大题共12小题，共54分）5.不等式|2x+1|+|x−1|<2的解集为______．6.函数f(x)=x+9x(x>0)的值域为______．7.函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)的最小正周期为______．8.若an为(1+x)n的二项展开式中x2项的系数，则n→+∞lim ann2=______．9.在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为______．10.若实数x，y满足x+y≤4y≤3xy≥0，则2x+3y的取值范围是______．11.已知向量a,b满足|a|=2，|b|=1，|a+b|=3，则|a−b|=______．12.已知椭圆C：x29+y2b2=1(b>0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点．若△F1AB是等边三角形，则b的值等于______．13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>1，且a2+1为a1与a3的等差中项，S3=14.若数列{bn}满足bn=log2an，其前n项和为Tn，则Tn=______．14.已知A，B，C是△ABC的内角，若(sinA+i⋅cosA)(sinB+i⋅cosB)=12+32i，其中i为虚数单位，则C 等于______．15.设a∈R，k∈R，三条直线l1：ax−y−2a+5=0，l2：x+ay−3a−4=0，l3：y=kx，则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为．16.设函数f(x)=x2−1,x≥a|x−a−1|+a,x<a，若函数f(x)存在最小值，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76分。

高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。

如需改动，先擦干净再涂其他答案。

不得在试卷上作答。

2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。

如需改动，先划掉原答案再写新答案。

不得用铅笔或涂改液。

不按要求作答无效。

3.答题卡需整洁无误。

考试结束后，交回试卷和答题卡。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。

3B。

4C。

7D。

82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。

iB。

-iC。

2iD。

-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。

80B。

85C。

90D。

954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。

已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。

如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。

4/5B。

3/4C。

2/3D。

3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。

120B。

160C。

200D。

2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。

3.119B。

2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

高三数学模拟试卷（满分150 分）一、选择题（每题 5 分，共 40 分）1．已知全集 U={1,2,3,4,5} ，会集 M ＝{1,2,3} ， N ＝ {3,4,5} ，则 M ∩ ( e U N)＝（）A. {1,2}B.｛ 4,5｝C.｛ 3｝D.｛ 1,2,3,4,5｝ 2. 复数 z=i 2(1+i) 的虚部为（）A. 1B. iC.- 1D. -i3．正项数列 { a } 成等比， a +a =3， a +a =12,则 a +a 的值是（）n1 23445A. - 24B. 21C.24D. 484．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为 2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（）A.2 34B.3C.2 3 4 54 3 4 3+D.2735．双曲线以一正方形两极点为焦点，另两极点在双曲线上，则其离心率为（ ）A. 2 2B.2 +1C.2D. 1uuur uuur6． 在四边形 ABCD 中，“ AB =2 DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（）A. 充足不用要条件B. 必要不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要条件7．设 P 在 [0,5] 上随机地取值，求方程x 2+px+1=0 有实根的概率为（ ）A. 0.2B. 0.4C.0.5D.0.6y8． 已知函数 f(x)=Asin( ωx +φ)(x ∈ R, A>0, ω>0, |φ|<)5f(x)的解析式是（2的图象（部分）以下列图，则）A ．f(x)=5sin( x+)Ｂ． f(x)=5sin(6 x-)O256 66xＣ． f(x)=5sin(x+)Ｄ． f(x)=5sin(3x- )366－ 5二、填空题：（每题 5 分，共30 分）9. 直线 y=kx+1 与 A （ 1,0）， B （ 1,1）对应线段有公共点，则 k 的取值范围是 _______. 10．记 (2x1)n 的张开式中第 m 项的系数为 b m ，若 b 32b 4 ，则 n =__________.x311 ． 设 函 数 f ( x) xx 1x 1、 x 2、 x 3、 x 41 2的 四 个 零 点 分 别 为 ， 则f ( x 1 +x 2 +x 3 +x 4 )；12、设向量 a(1，2)， b (2，3) ，若向量a b 与向量 c (4， 7)共线，则x 111. lim______ .x 1x 23x 414. 对任意实数 x 、 y ，定义运算 x* y=ax+by+cxy ，其中a、 b、c 常数，等号右的运算是平时意的加、乘运算 .已知 2*1=3 ， 2*3=4 ，且有一个非零数m，使得任意数x，都有 x* m=2x， m=.三、解答：r r15．（本 10分）已知向量 a =(sin(+x), 3 cosx)，b =(sin x,cosx),f(x)=⑴求 f( x)的最小正周期和增区；2⑵若是三角形 ABC 中，足 f(A)=3，求角 A 的．216．（本 10 分）如：直三棱柱（棱⊥底面）ABC — A 1B1C1中，∠ ACB =90°， AA 1=AC=1 ， BC= 2，CD ⊥ AB, 垂足 D.C1⑴求： BC∥平面 AB 1C1;A1⑵求点 B 1到面 A 1CD 的距离 .PCA D r r a ·b .B 1B17．（本 10 分）旅游公司 4 个旅游供应 5 条旅游路，每个旅游任其中一条.（ 1）求 4 个旅游互不一样样的路共有多少种方法;（2）求恰有 2 条路被中的概率 ;（3）求甲路旅游数的数学希望.18.（本 10 分）数列 { a n} 足 a1+2a2 +22a3+⋯+2n-1a n=4 n.⑴求通a n；⑵求数列 { a n} 的前 n 和S n.19．（本 12 分）已知函数f(x)=alnx+bx,且 f(1)= - 1， f′(1)=0 ，⑴求 f(x)；⑵求 f(x)的最大；⑶若 x>0,y>0, 明： ln x+lny≤xy x y 3.220．（本 14 分） F 1, F 2 分 C :x2y 21(a b 0) 的左、右两个焦点，若 Ca 2b 2上的点 A(1,3124.)到 F ， F 两点的距离之和等于2⑴写出 C 的方程和焦点坐 ；⑵ 点 P （ 1，1）的直 与 交于两点 D 、 E ，若 DP=PE ，求直 DE 的方程 ;4⑶ 点 Q （ 1，0）的直 与 交于两点 M 、N ，若△ OMN 面 获取最大，求直 MN 的方程 .21. （本 14 分） 任意正 数 a 1、 a 2、 ⋯ 、an ；求1/a 1+2/(a 1 +a 2)+⋯ +n/(a 1+a 2+⋯ +a n )<2 (1/a 1+1/a 2+⋯ +1/a n )9 高三数学模 答案一、 :. ACCD BAD A二、填空 ：本 主要考 基 知 和基本运算．每小 4 分，共 16 分 .9.[-1,0] 10.5 11.19 12. 2 13.1 14. 35三、解答 ：15．本 考 向量、二倍角和合成的三角函数的公式及三角函数性 ，要修业生能运用所学知 解决 ．解：⑴ f(x)= sin xcosx+3 + 3 cos2x = sin(2x+ )+ 3⋯⋯⋯2 23 2 T=π， 2 k π - ≤ 2x+≤ 2 k π +， k ∈ Z,232最小正周期 π， 增区[ k π -5, k π + ], k ∈ Z.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1212⑵由 sin(2A+ )=0 , <2A+ <7 ,⋯⋯⋯⋯⋯33 或533∴ 2A+ =π或 2π，∴ A=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯33616．、本 主要考 空 、 面的地址关系，考 空 距离角的 算，考 空 想象能力和推理、 能力， 同 也可考 学生灵便利用 形， 建立空 直角坐 系， 借助向量工具解决 的能力． ⑴ 明：直三棱柱ABC — A 1B 1C 1 中， BC ∥ B 1C 1,又 BC 平面 A B 1C 1，B 1C 1 平面 A B 1C 1，∴ B 1C 1∥平面 A B 1C 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑵（解法一）∵ CD ⊥ AB 且平面 ABB 1A 1⊥平面 AB C,C 11 1 1∴ CD ⊥平面 ABBA ，∴ CD ⊥AD 且 CD ⊥A D ,∴∠ A DA 是二面角 A 1— CD —A 的平面角，1A 1B 1在 Rt △ ABC,AC=1,BC= 2 ,PC∴ AB= 3 , 又 CD ⊥ AB ，∴ AC 2=AD × ABADB∴ AD=3， AA1131=1，∴∠ DA 1B 1=∠ A DA=60 °，∠ A 1 B 1A=30°，∴ A B 1 ⊥A D又 CD ⊥ A 1D ，∴ AB 1⊥平面 A 1CD ， A 1D ∩ AB 1=P, ∴ B 1P 所求点 B 1 到面 A 1CD 的距离 . B P=A 1 B 1cos ∠ A 1 B 1A= 33cos30 =° .12即点 B 1 到面 A 1 CD 的距离 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21 × 3 1 z （ 2）（解法二） 由 V B 1- A 1CD =V C - A 1B 1D =C 132×6 = 2，而 cos ∠ A 1 CD= 2 × 6 = 3 ,AB13 6 2 3 31△A 1CD1 ×2 ×6 ×6 =2,B 1 到平面CS=3 332A ByA 1CD 距离 h, 1×22, 得 h= 3所求 .Dx h=33 6 2⑶（解法三）分 以CA 、CB 、CC 1 所在直 x 、y 、z 建立空 直角坐 系（如 ）A （ 1，0， 0）， A 1（ 1， 0， 1），C （0， 0， 0）， C 1（ 0， 0， 1），B （0，2 ， 0）， B 1（ 0， 2 ， 1），uuurr∴ D （ 2 ， 2， 0） CB =（ 0， 2 ， 1）， 平面 A 1CD 的法向量 n =（ x ， y ， z ），3 31r uuur3n CD2x2y 0rruuur，取 n=（ 1， -2 ， - 1）n CA 1 x z 0r uuur点 B 1 到面 A 1CD 的距离d= n CB 13r⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n217．本 主要考 排列，典型的失散型随机 量的概率 算和失散型随机 量分布列及希望等基 知 和基本运算能力．解：（ 1） 4 个旅游 互不一样样的 路共有：A 54=120 种方法； ⋯（2）恰有两条 路被 中的概率 ：P 2 C 52 (2 42) 28=54⋯125（3） 甲 路旅游 数ξ， ξ～ B(4, 1)14⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5∴希望 E ξ=np=4×=5 5答 : （ 1） 路共有120 种，（2）恰有两条 路被 中的概率 0.224, （ 3）所求希望 0.8 个数 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18．本 主要考 数列的基 知 ，考 分 的数学思想，考 考生 合 用所学知 造性解决 的能力．解：（ 1） a 1+2 a 2+22a 3+⋯ +2n - 1a n =4n ，∴ a 1+2 a 2+22a 3+⋯ +2n a n+1=4n+1，相减得 2n a n+1=3× 4n , ∴ a n+1=3× 2n ,4(n1) 又 n=1 a 1=4，∴ 上 a n =2n 1所求；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3(n 2)⑵ n ≥2 ， S n=4+3(2 n- 2), 又 n=1 S 1=4 也建立， ∴ S n =3× 2 n - 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19．本 主要考 函数、 数的基本知 、函数性 的 理以及不等式的 合 ，同 考 考生用函数放 的方法 明不等式的能力．解：⑴由 b= f(1)= - 1, f ′(1)= a+b=0, ∴ a=1, ∴f(x)=ln x- x 所求； ⋯⋯⋯⋯⋯⑵∵ x>0,f ′(x)=1- 1=1x ,xxx 0<x<1x=1 x>1 f (′x) +0 - f(x)↗极大↘∴ f (x)在 x=1 获取极大 - 1，即所求最大 - 1； ⋯⋯⋯⋯⋯⑶由⑵得 lnx ≤x- 1 恒建立， ∴ln x+ln y=ln xy+ ln x ln y ≤ xy 1 + x 1 y 1 = xy x y 3建立⋯⋯⋯22 22220．本 考 解析几何的基本思想和方法，求曲 方程及曲 性 理的方法要求考生能正确分析 ， 找 好的解 方向， 同 兼 考 算理和 推理的能力， 要求 代数式合理演 ，正确解析最 ．解：⑴ C 的焦点在 x 上，由 上的点A 到 F 1、F 2 两点的距离之和是 4，得 2a= 4，即 a=2 .；3134 1.得 b 2=1，于是 c 2=3 ；又点 A(1,) 在 上，因此222b 2因此 C 的方程x 2y 2 1,焦点 F 1 ( 3,0), F 2 ( 3,0). ，⋯⋯⋯4⑵∵ P 在 内，∴直DE 与 订交，∴ D( x 1,y 1),E(x 2,y 2)，代入 C 的方程得x 12+4y 12- 4=0, x 22+4y 22- 4=0,相减得 2(x 1- x 2 )+4× 2× 1 (y 1- y 2)=0 , ∴斜率 k=-11 4∴ DE 方程 y- 1= - 1(x-), 即 4x+4y=5; ⋯⋯⋯4(Ⅲ )直 MN 不与 y 垂直，∴MN 方程 my=x- 1，代入 C 的方程得（ m 2+4) y 2+2my- 3=0,M( x 1,y 1 ),N( x 2 ,y 2), y 1+y 2=-2m 3 ,且△ >0 建立 .m 2 4, y 1y 2=-m 2 4又 S △ OMN = 1|y 1- y 2|= 1 ×4m212(m 24) = 2 m23， t=m 2 3 ≥ 3 ,2 2m 2 4m 24S△OMN =2,(t+1t1tt ) ′=1 - t-2>0t≥ 3 恒建立，∴t=3t+1获取最小， S△OMN最大，t此 m=0, ∴ MN 方程 x=1⋯⋯⋯⋯⋯。

高三数学模拟试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知双曲线的左焦点是，离心率为，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆在轴右侧交于点，若在抛物线上，则 A ．B ．C ．D ．2.已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)＝－f(－x)，且当1<x<2时，恒有f(x)>0，则f(－1.5)一定不等于( )A ．－1.5B ．－2C ．－1D ．13.某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p（单位：毫克/升）不断减少，已知p 与时间t （单位：小时）满足关系：，其中为t=0时的污染物数量，又测得当t=30时，污染物数量的变化率是，则p(60)=A ．150毫克/升B ．300毫克/升C ．150ln2 毫克/升D ．300ln2毫克/升 4.的值为（ ） A ． B ．C ．D ．5.已知函数，则（ ）A ．4B ．C ．－4D ．－6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的（ ）A．15 B．29 C．31 D．637.如图，在中，，延长到，使，若，则的值是（）A． B． C． D．8.若集合是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9.设，则a，b，c的大小关系是A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b> c>a10.正方体的棱长为1，点分别是棱的中点，过作一平面，使得平面平面，则平面截正方体的表面所得平面图形为（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形11.已知F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且PF2⊥F1F2，PF1与y轴交于点Q，点M满足．若MQ⊥PF1，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．12.设，则的值为( )A． B． C． D．13.命题“x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．x∈Z，使x2+2x+m>0B．不存在x∈Z，使x2+2x+m>0C．对x∈Z使x2+2x+m≤0D．对x∈Z使x2+2x+m>014.设复数（为虚数单位），则对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15.设为虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（）A． B．1 C． D．216.复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且，则（）A． B． C． D．17.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()．A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β18.已知为虚数单位，若复数（）的虚部为-3，则（）A． B． C． D．519.已知函数，则满足条件的整数对（a，b）共有A．2个 B．5个 C．6个 D．无数个20.的展开式中？x5的系数为_____二、填空题21.甲、乙两同学决定利用“剪刀、石头、布” 的划拳方式来确定由谁去参观科技展览活动，规则如下：“剪刀”赢“布”，“布”赢“石头” “石头”赢“剪刀”；只划拳一次. 若分出胜负, 胜者参加；若没有分出胜负, 即划的拳一样, 则两人一起参加, 那么甲去参观科技展览活动的概率为．22.若直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离为.23.已知﹛﹜等差数列为其前n项和.若=，=，则= ；Sn=24.已知,坐标原点在上的射影为点，则 .25.二项式的展开式中，含的项的系数是，若满足，则的取值范围是__________．26.不等式的解集为。

高三数学模拟试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.函数的单调递增区间是（ ）A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 2.复数（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则的大小关系正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．4.设m , n 为非零向量，则“存在负数，使得m =λn ”是“m ·n <0”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5. “”是“函数在定义域内是增函数”的( )A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.设集合A={(x,y)|=1},B={(x,y)|y=3x},则A∩B 的子集的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是A．B．C．D．8.已知集合，,则下列结论中不正确的是A．B．C．D．9.已知，是圆心在坐标原点的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且点的纵坐标为，点的横坐标为，则（）A． B． C． D．10.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f（x）＝Asin（ωx＋）＋b （A＞0，ω＞0，｜｜＜）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为A．f（x）＝2sin（x－）＋7 （1≤x≤12，x∈N＋）B．f（x）＝9sin（x－）（1≤x≤12，x∈N＋）C．f（x）＝2sin x＋7 （1≤x≤12，x∈N＋）D．f（x）＝2sin（x＋）＋7 （1≤x≤2，x∈N＋）11.已知函数f（x）＝+m+1对x∈（0，）的图象恒在x轴上方，则m的取值范围是（）A．2－2＜m＜2+2B．m＜2C．m＜2+2D．m≥2+212.的展开式中的系数是（）A．20 B．40 C．80 D．16013.把函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位，这是对应于这个图象的解析式为（ ） A ．B ．C ．D ．14.已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1,2)，则( )．A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值15.已知－9，a 1，a 2，a 3，－1，成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1成等比数列，则＝( )A ．±B ．±C ．－D ．16.已知函数等于 （ ）A ．B ．C ．D ．17.已知向量，，则（ ）A ．B ．C ．2D ．418.如果角的终边过点，则的值等于 （ ）A ．B ．C ．D ．19.设展开式的各项系数的和为，各二项式系数的和为则( )A ．B ．C ．-1D ．020.某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每只定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只羽毛球；②按总价的92%付款。

高三数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．设全集{1, 2, 3, 4, 5}U =，集合{1, 2}A =，{2, 3}B =，则 U A B = ð ▲ ． 2．若复数312a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．已知数列{}n a 是等差数列，若31124a a +=，43a =，则数列{}n a 的公差等于 ▲ ． 4．直线240x y -+=与两坐标轴交点为A 、B ，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ▲ ． 5．如图1，已知一个班的语文成绩的茎叶图，则优秀率（不小于85分）是 ▲ ． 6．若一个正三棱柱的三视图如图2所示，则这个正三棱柱的体积是 ▲ ．图1 图27．一只蚂蚁在边长为3的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为 ▲ ．8．已知实数a 满足3log 182a =+，则函数3ax y =()[0,1]x ∈的值域是 ▲ ． 9．已知关于某设备的使用年限与所支出的维修费用y (万元),有如下统计资料:设y 对x 具有线性相关关系,且线性回归方程为^0.08y bx =+,则回归系数b =__▲ _________ 10．甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着．．．排在乙的前面值班的概率是▲ ．11．设函数()sin()1(0)6f x x πωω=+->的导函数()f x '的最大值为3，则图象()y f x =的对称轴的方程是 ▲ ．12．如图3所示的流程图，输出的结果为4，则输入的实数x 的取值范围是 ▲ ．主视图俯视图左视图5 1586 0344678897 35556798 023346679 01113．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图所标边长，由勾股定理有：.222b ac +=设想正方形换成正方体，把截线换成如图的 截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O —LMN ，如果用321,,s s s 表示三个侧面面积，4s 表示截面面积，那么你类比得到的结论是 ▲ ．14．已知函数()f x 的定义域为(2,)-+∞，部分对应值如下表，'()f x 为()f x 的导函数，函数'()y f x =的图象如图5所示，若两正数,a b 满足(2)1f a b +<，则22b a ++的取值范围是 ▲ ．图3二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、)sin ,(cos ααC ，若1-=⋅BC AC ，求αααtan 12sin sin 22++的值．如图6，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1D 在棱A 1C 1上． （1）若11A D DC =，求证：直线BC 1∥平面AB 1D ；（2）是否存在点D ，使平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1？若存在，请确定点D 的位置；若不存在，请说明理由．图617．(本小题满分14分) ，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，411=a ，且*),2(122211N n n a S S n n n ∈≥++=--.数列{}nb 满足431=b , 且*),2(31N n n n b b n n ∈≥=--.(1)求证：数列{}n a 为等差数列； (2)求证：数列{}n n a b -为等比数列； (3)求数列}{n b 的通项公式以及前n 项和n T .C 1B 1DA 1CBA某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与()a x -和2x 的乘积成正比；②当2ax =时，3y a =，且技术改造投入比率：(0,]2()xt a x ∈-，其中t 为常数，且(0,2]t ∈．（1）求()y f x =的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值．19．（本小题满分16分，第一小问满分3分，第二小问满分6分，第三小问满分7分）在图7所示的平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，平面上任一点P 关于该斜坐标系的坐标00(,)x y 是这样定义的：过P 作两坐标轴的平行线分别交坐标轴Ox 于A 、Oy 于B ，则A 在Ox 轴上表示的数为0x ，B 在Oy 轴上表示的数为0y ．（1）若点P 在斜坐标系xOy 中的坐标为(2,3)-，求P 到O 的距离； （2）求以O 为圆心、1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程，并求直线12x =截该圆所得的弦长；（3）在斜坐标系xOy 中，直线 (01)x t t =<<交（2）中的圆于M 、N 两点，问：当t 为何值时，△MON 的面积取得最大值？并求此最大值．图720．（本小题满分16分，第一小问满分5分，第二小问满分3分，第三小问满分8分）设函数()f x 的定义域为R ，若()f x x ≤对一切实数x 均成立，则称函数()f x 为Ω函数．（1）试判断函数1()sin f x x x =、()2e e 1x x f x -=+和()2321x f x x =+中哪些是Ω函数，并说明理由；（2）若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1、x 2，均有()()1212f x f x x x --≤，求证：函数()f x 一定是Ω函数；（3） 求证：若1a >，则函数2()ln()ln f x x a a =+-是Ω函数.参考答案1．{1} 2．6- 3．3 4． 22(2)(1)5x y ++-=（或22420x y x y ++-=） 5．20％ 6． 7．19π-8．[1,2] 9．1.23 10．1311．39k x ππ=+()k Z ∈12． 9[,3)413．24232221S S S S =++14． 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭图5图3二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．15． 解：由1-=⋅，得1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-αααα………3分32cos sin =+∴αα…………………………………………………………………5分 95cos sin 2-=⋅∴αα ……………………………………………………………7分又αααtan 12sin sin 22++==++αααααcos sin 1cos sin 2sin 2295cos sin 2-=⋅αα 。

江苏省高三数学模拟考试试卷（含答案）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设全集U=R，A={x|-3＜x≤1，x∈Z}，B={x|x2-x-2≥0，x∈R}，则A∩∁U B=______．2.已知复数z=（m2-2）+（m-1）i对应的点位于第二象限，则实数m的范围为______．3.高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为______．4.根据如图的算法，输出的结果是______．5.已知函数f（x）=log2x，x∈[，2]，在区间[，2]上随机取一点x0，使得f（x0）≥0的概率为______．6.已知双曲线的一条渐近线为y=2x，且经过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的标准方程为______．7.给出下列等式：，，，…请从中归纳出第n 个等式：=______．8.已知角的终边过点P（-1，-2），则sinα=______．9.若函数y=log2x的图象上存在点（x，y ），满足约束条件，则实数m的最大值为______．10.正四面体ABCD的一个顶点A是圆柱OA的上底面的圆心，另外三个顶点BCD在圆柱下底面的圆周上，记正四面体ABCD的体积为V1，圆柱OA的体积为V2，则的值是______11.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且满足S n=a n+1，则数列{S n}的前10项的和为______．12.有以下四个命题：（1）在△ABC中，A＞B的充要条件是sin A＞sin B（2）函数y=f（x）在区间（1，2）上存在零点的充要条件是f（1）•f（2）＜0；（3）对于函数y=f（x），若f（2）=f（-2），则f（x）必不是奇函数；（4）函数y=f（1-x）与y=f（1+x）的图象关于直线x=1对称；其中正确命题的序号为______．13.已知直角坐标系中起点为坐标原点的量向量，满足||=||=1，且=，=（m，1-m ），=（n，1-n ），存在，，对于任意的实数m，n，不等式|-|+|-|≥T，则实数T的取值范围是______．14.已知a＞0，b＞0，c＞2且a+b=1，则的最小值是______二、解答题（本大题共6小题，共74.0分）15.在△ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，记△ABC的面积为S，且．（1）求角A的大小；（2）若c=7，，求a的值．16.在边长为6cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；（2）求多面体E-AFMN的体积．17.某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，A，B两点为喷泉，圆心O为AB的中点，其中OA=OB=a米，半径OC=10米，市民可位于水池边缘任意一点C处观赏．（1）若当∠OBC =时，sin∠BCO =，求此时a的值；第2页，共8页（2）设y=CA2+CB2，且CA2+CB2≤232．（i）试将y表示为a的函数，并求出a的取值范围；（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点C处观赏喷泉时，观赏角度∠ACB的最大值不小于，试求A，B两处喷泉间距离的最小值．18.在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（4m，0）（M＞0，m为常数），离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若θ=90°时，+=，求实数m；（3）试问+的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．19.已知数列{a n}，其前n项和为S n，若对于任意m，n∈N*，且m≠n ，都有．（1）求证：数列{a n}是等差数列（2）若数列{c n}满足，且等差数列{a n}的公差为，存在正整数p，q，使得a p+c q，求|a1|的最小值．20.已知函数f（x）=，直线y =x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x -}（x＞0），若函数h（x）=g（x）-cx2为增函数，求实数c的取值范围．第4页，共8页-------- 答案与解析 --------1.答案：{0，1}2.答案：3.答案：204.答案：225.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：110.答案：11.答案：51212.答案：（1）【解答】解：（1）在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔2R sin A＞2R sin B⇔sin A＞sin B，故（1）正确；（2）函数y=f（x）在区间（1，2）上存在零点，比如f（x）=（x -）2在（1，2）存在零点，但是f（1）•f（2）＞0，故（2）错误；（3）对于函数y=f（x），若f（2）=f（-2）=0，满足f（-2）=-f（2），则f（x）可能为奇函数，故（3）错误；（4）函数y=f（1-x）与y=f（1+x）的图象，可令1-x=t，即x=1-t，即有y=f（t）和y=f（2-t）的图象关于直线t=1对称，即x=0对称，故（4）错误．故答案为（1）．13.答案：（-∞，]14.答案：2415.答案：解：（1）由，得bc sin A=bc cos A，因为A∈（0，π），所以tan A=1，可得：A =．……（6分）（2）△ABC中，cos B =，所以sin B =，所以：sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B =，..（10分）由正弦定理，得=，解得a=5，…（14分）（评分细则：第一问解答中不交代“A∈（0，π）”而直接得到“A =”的，扣（1分）；第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣（1分）．）16.答案：证明：（1）因翻折后B、C、D重合（如图），所以MN应是△ABF的一条中位线，则．（2）解：因为⇒AB⊥面BEF且AB=6，BE=BF=3，∴V A-BEF=9，又，∴．17.答案：解：（1）在△OBC 中，由正弦定理得，，易得．（2）（i）易知AC2=100+a2-20a cos∠AOC，BC2=100+a2-20a cos∠BOC，故CA2+CB2=200+2a2，又因为CA2+CB2≤232，即200+2a2≤232，解得0＜a≤4，即y=200+2a2，a∈（0，4]；（ii）当观赏角度∠ACB的最大时，cos∠ACB 取得最小值，由余弦定理可得，即由题意可知，解此不等式得，经验证，，即．18.答案：解：（1）由题意，c=4m ，=0.8，∴a=5m，b=3m，∴椭圆C 的标准方程为；（2）θ=90°时，N（4m ，），NF=MF =∵+=，∴=，∴m =；（3）+=，证明如下：由（2）知，当斜率不存在时，+=当斜率存在时，设1：y=k（x-4m）代入椭圆方程得（9+25k2）x2-200mk2x+25m2（16k2-9）第6页，共8页=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则MF=e （）=5m -，NF=5m -，∴+==与θ无关．19.答案：解：令m=2，n=1，则，即，∴a1+a3=2a2，∴a1，a2，a3成等差数列，下面用数学归纳法证明数列{a n}是等差数列，假设a1，a2，…，a k成等差数列，其中k≥3，公差为d，令m=k，n=1，，∴2S k+1=（k+1）（a k+a1+d）=k（a k+a1）+a k+（k+1）d=2S k+a1+a k+（k+1）d，∴2S k+1=a1+a k+（k+1）d=2（a1+kd），即a k+1=a1+kd，∴a1，a2，…，a k，a k+1成等差数列，∴数列{a n}是等差数列；（2），=，若存在正整数p，q，使得a p+c q是整数，则=，设，∴18a1=3（3m-p-q+1）+1是一个整数，∴|18a1|≥1，从而，又当时，有a1+c3=1∈Z，综上，|a1|的最小值为．20.答案：解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，设切点为（m，n），即有n =，n =m，可得ame=e m，①由直线y =x为曲线y=f（x）的切线，可得=，②由①②解得m=1，a=1；（2）函数g（x）=min{f（x），x -}（x＞0），由f（x）=的导数为f′（x）=，当0＜x＜2时，f（x）递增，x＞2时，f（x）递减．对x -在x＞0递增，设y=f（x）和y=x -的交点为（x0，y0），由f（1）-（1-1）=＞0，f（2）-（2-）=-＜0，即有1＜x0＜2，当0＜x＜x0时，g（x）=x -，h（x）=g（x）-cx2=x --cx2，h′（x）=1+-2cx，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，即有2c ≤+，由y =+在（0，x0）递减，可得2c ≤+①当x≥x0时，g（x）=，h（x）=g（x）-cx2=-cx2，h′（x）=-2cx，由题意可得h′（x）≥0在x≥x0时恒成立，即有2c ≤，由y =，可得y′=，可得函数y在（3，+∞）递增；在（x0，3）递减，即有x=3处取得极小值，且为最小值-．可得2c≤-②，由①②可得2c≤-，解得c≤-．第8页，共8页。

2023~2024学年第二学期浙江省9+1高中联盟3月高考模拟卷数 学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上；3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效；4．选择题一律使用2B 铅笔填涂答案，非选择题一律用0.5毫米黑色字迹中性笔写在答题纸上相应区域内；一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知全集{}(){}(){}(){}1,2,3,4,5,1,2,4,3U U U U M N M N M N ==== ððð，则M N ⋂=（ ）A. ∅B. {}4C. {}5D. {}1,2 2. 若复数z 的实部大于0，且()2013i z z +=+，则z =（ ） A. 12i - B. 12i -- C. 12i -+ D. 12i +3. 已知向量12,e e 是平面上两个不共线单位向量，且1212122,32,36AB e e BC e e DA e e =+=-+=- ，则（ ）A. 、、A B C 三点共线B. A B D 、、三点共线C. A C D 、、三点共线D. B C D 、、三点共线 4. 已知数列{}n a 满足：1940a a ==，且数列}n 为等差数列，则100a =（ ） A. 10 B. 40 C. 100 D. 103 5. 如图，已知长方体1111ABCD A B C D -体积为,V E 是棱11C D 的中点，平面1AB E 将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）的的A. 724VB. 717C. 7V 15D. 12V 6. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线:l y x =-E 交于A B 、两点，且()()2,0OA OB λλλ+=-≠ ．则椭圆E 的离心率是（ ） A. 12B.C.D. 7. 某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ）A. 2025种B. 4050种C. 8100种D. 16200种8.设函数()sin 1f x x x =+．若实数,,a b ϕ使得()()1af x bf x ϕ+-=对任意x ∈R 恒成立，则cos a b ϕ-=（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 1±二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 为了得到函数2cos2y x =的图象，只要把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ） A 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移2π3个单位长度 D. 向右平移2π3个单位长度 10. 高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项.正确的概率是12，记X 为小明随机选择1个选项的得分，记Y 为小明随机选择2个选项的得分．则A. ()()00P X P Y =>=B. ()()22P X P Y =>= C ()()E X E Y > D. ()()D X Y D > 11. 对于[]0,1x ∈，()f x 满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤，恒有()()12f x f x ≤．则（ ） A. 10011011002i i f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ B. 112624f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D. 1113216016f ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）12. 已知232345012345(1)(21)ax x a a x a x a x a x a x --=+++++．若0123450a a a a a a +++++=，则3a =________．13. 应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜1PO Q 弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜2MO N 弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知12,F F 是双曲线的两个焦点，其中2F 同时又是抛物线的焦点，且，211212145,tan ,4NF F NF F NF F ∠=︒∠=△的面积为10，128O F =，则抛物线方程为________．14. 函数()33e 3ln 1(0)x x x f x x x--=>最小值是________． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）.的15. 如图，已知正三棱柱1111,,,ABC A B C AB D E -=分别为棱11,A B BC 的中点．（1）求证：1A B ⊥平面1AC D ；（2）求二面角1A C D E --的正弦值．16. 今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈．节目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮．节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜．如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．（1）将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为X ，求X 的分布列及数学期望．17. 如图，由部分椭圆22221(0,0)x y a b y a b+=>>≤和部分双曲线()222210x y y a b -=≥，组成的曲线C 称为“盆开线”．曲线C 与x 轴有()()2,02,0A B -、．（1）设过点()1,0的直线l 与C 相切于点M ，求点M 的坐标及直线l 的方程；（2）过A 的直线m 与C 相交于点、、P A Q 三点，求证：PBA QBA ∠=∠．18. 已知函数()32f x x ax bx c =+++． （1）如果1和1-是()f x 的两个极值点，且()f x 的极大值为3，求()f x 的极小值；（2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0c =时，且函数()f x 在区间[]22-,上最大值为2，最小值为2-．求()3f 的值．19. 已知实数0q ≠，定义数列{}n a 如下：如果{}2012222,0,1k k i n x x x x x =++++∈ ，0,1,2,,i k = ，则2012k n k a x x q x q x q =++++ ．（1）求7a 和8a （用q 表示）；（2）令12n n b a -=，证明：211n n ii b a -==∑；（3）若12q <<，证明：对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m n a a a <≤+．参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知全集{}(){}(){}(){}1,2,3,4,5,1,2,4,3U U U U M N M N M N ==== ððð，则M N ⋂=（ ）A. ∅B. {}4C. {}5D. {}1,2 【答案】C【解析】【分析】根据Venn 图，即可求解.【详解】如图，画出Venn 图，并将条件中的集合标在图中，如图，集合{}{}{}1,2,54,55M N ⋂=⋂=．故选：C2. 若复数z 的实部大于0，且()2013i z z +=+，则z =（ ） A. 12i -B. 12i --C. 12i -+D. 12i +【答案】D【解析】 【分析】设i,0,R z a b a b =+>∈，再根据复数的乘法和除法运算结合复数相等的定义求出,a b 即可得解.【详解】设i,0,R z a b a b =+>∈， 代入()2013iz z +=+，得22i 62i a b a b ++-=-， 解得：1,2a b ==，所以12z i =+.故选：D.3. 已知向量12,e e 是平面上两个不共线的单位向量，且1212122,32,36AB e e BC e e DA e e =+=-+=- ，则（ ）A. 、、A B C 三点共线B. A B D 、、三点共线C. A C D 、、三点共线D. B C D 、、三点共线【答案】C【解析】【分析】由平面向量共线定理求解即可. 【详解】对于A ，因为12122,32AB e e BC e e =+=-+ ，若、、A B C 三点共线，设AB BC λ= ，则1322λλ=-⎧⎨=⎩，无解，所以、、A B C 三点不共线，故A 错误； 对于B ，若A B D 、、三点共线，设AB DA μ= ，则1326μμ=⎧⎨=-⎩，无解，所以A B D 、、三点不共线，故B 错误； 对于C ，因为()()1212122232243AC AB BC e e e e e e AD =+=++-+=-+= ， 因为,AC AD 有公共点A ，所以A C D 、、三点共线，故C 正确.对于D ，因为()()12121236244DB DA AB e e e e e e =+=-++=- ，1232BC e e =-+ ，设DB k BC = ，则4342k k=-⎧⎨-=⎩，无解，所以B C D 、、三点不共线，故D 错误； 故选：C .4. 已知数列{}n a 满足：1940a a ==，且数列}n 为等差数列，则100a =（ ） A. 10B. 40C. 100D. 103 【答案】D【解析】【分析】设数列}n 的公差为d ，借助等差数列的性质可计算出d ，即可得10010a ，即可得解.【详解】设数列}n 的公差为d ，则9138010918a a d -===-， 故100110991030a a d =+=，所以100103a =．故选：D. 5. 如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为,V E 是棱11C D 的中点，平面1AB E 将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）A. 724VB. 717C. 7V 15D. 12V 【答案】A【解析】【分析】根据题意，先求平面1AB E 与1DD 交点F 的位置，再设长方体的长、宽、高分别为a b c 、、，最后利用三棱锥的体积公式即可求解.【详解】取1DD 的中点F ，连接EF ， 易知11////EF DC AB ，所以平面1AB E 与1DD 交点为F .设长方体的长、宽、高分别为a b c 、、，则V abc =.平面1AB EF 将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为 1111111111111773232222424F AB A F A B ED V V b a c c a a b abc V --⎛⎫+⋅⋅⋅⋅+⨯⋅⋅⋅+⋅=⎝⎭== ⎪. 故选：A. 6. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线:l y x =-E 交于A B 、两点，且()()2,0OA OB λλλ+=-≠ ．则椭圆E 的离心率是（ ） A. 12B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知AB 中点M 是直线l 与直线12y x =-的交点，所以求得21,33M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立椭圆与直线l 的方程可得21222243a c x x c ab +==+，解方程即可求出答案. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y，记c =，设AB 中点M ，所以2OA OB OM += ，由题意可知，AB 中点M 是直线l 与直线12y x =-的交点，为联立12y x x c y x ⎧==-⎪⎨=-⎪⎩，解得21,33M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 另一方面，联立22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2222222220a b x a cx a c a b +-+-=．易知0∆>，由韦达定理得21222243a c x x c ab +==+，解得222a b =， 所以()2222a ac =-，故离心率c e a ==．故选：B .7. 某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ）A. 2025种B. 4050种C. 8100种D. 16200种【答案】B【解析】【分析】首先考虑两对混双的组合，再考虑余下4名男选手和4名女选手组成两对男双组合，两对女双组合，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】先考虑两对混双的组合有22662C C ⋅种不同的方法，余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，故共有22662C C 334050⋅⨯⨯=．故选：B8.设函数()sin 1f x x x =+．若实数,,a b ϕ使得()()1af x bf x ϕ+-=对任意x ∈R 恒成立，则cos a b ϕ-=（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 1± 【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用差角的正弦公式变形等式，借助恒成立建立关系，并分析计算即得. 【详解】函数π()2sin()13f x x =++， 依题意，ππ2sin(2sin()133a xb x a b ϕ+++-++=对任意的x ∈R 恒成立， 即πππ2sin()2sin(2cos(10333a xb x b x a b ϕϕ+++-+++-=对x ∈R 恒成立， 因此ππ2(cos )sin(2sin cos()1033a b x b x a b ϕϕ++-+++-=对x ∈R 恒成立， 于是cos 0sin 010a b b a b ϕϕ+=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩，显然0b ≠，否则0a =且1a =，矛盾，则sin 0ϕ=，显然cos 1ϕ≠，否则0a b +=且1a b +=，矛盾，从而cos 1ϕ=-，解得1,(21)π2a b c k ===+， 所以cos 1a b ϕ-=.故选：C 【点睛】关键点睛：把给定的等式利用差角的正弦公式按角π3x +展开，借助恒等式建立方程组是解决本问题的关键. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 为了得到函数2cos2y x =的图象，只要把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ）A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C 向左平移2π3个单位长度 D. 向右平移2π3个单位长度【答案】AD 【解析】【分析】根据函数图象平移结论逐项检验可得结论. 【详解】把函数π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移π3个单位长度， 可得函数2πππ2sin 22sin 22cos 2362y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，A 正确； 把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移π3个单位长度，可得函数2πππππ2sin 22sin 22cos 236323y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，B 错误； 把函数π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移2π3个单位长度， 可得函数4πππ3ππ2sin 22sin 22cos 236323y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，C 错误； 把函数π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移2π3个单位长度， 可得函数4ππ3π2sin 22sin 22cos 2362y x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，D 正确； 故选：AD .10. 高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是12，记X 为小明随机选择1个选项的得分，记Y 为小明随机选择2个选项的得分．则 A. ()()00P X P Y =>= B. ()()22P X P Y =>= C. ()()E X E Y > D. ()()D X Y D >【答案】BC.【解析】【分析】先求出,X Y 的分布列，可判断A ，B ；再由数学期望和方差公式求出()(),E X E Y ，()(),D X D Y 可判断C ，D .【详解】X 为小明随机选择1个选项的得分，所以0,2X =，()11113022428P X ==⨯+⨯=，()11315222428P X ==⨯+⨯=， 则X 的分布列为：X 02P3858由此可得()()22555355152,028*******E X D X ⎛⎫⎛⎫=⨯==-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，Y 为小明随机选择2个选项的得分，所以0,2,6Y =，()51112062223P Y ==⨯+⨯=,()1112224P Y ==⨯=,()11166212P Y ==⨯=,则Y 的分布列Y 02 6P2314 112由此可得()11261,412E Y =⨯+⨯= ()2222112125(01)(21)(61)334123412D Y =-⨯+-⨯+-⨯=++=．所以()()00P X P Y =<=,()()22P X P Y =>=，()()E X E Y >，()()D X D Y <. 故选：BC ．11. 对于[]0,1x ∈，()f x 满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-==⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤，恒有()()12f x f x ≤．则（ ）A.10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑ B. 112624f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C. 118080f ⎛⎫=⎪⎝⎭D.1113216016f ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【解析】【分析】赋值法求得()()11100,11,232f f f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()11f x f x +-=，求1001100i i f=⎛⎫⎪⎝⎭∑的值判断选项A ，由()23x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得111111111111,,,6941827854811616224332f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合1201x x ≤≤≤恒有()()12f x f x ≤，对BCD 中的函数值进行判断.【详解】令0x =代入()()11f x f x +-=及()23x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得()()()()011,020f f f f +==，所以()()00,11f f ==，10010010100100i i i i f f ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑10001101121001002i i i f f =⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑，A 选项正确； 令12x =代入()()11f x f x +-=，得1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；令1x =代入()23x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭由，得()1111322f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11111116229234f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111111182627298f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1111111542188122716f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111111116225424328132f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 对于1201x x ≤≤≤．恒有()()12f x f x ≤，11111824278f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112624f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项正确； 111154808116f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项错误；11116216081<<，则有11116216081f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1113216016f ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ABD 【点睛】方法点睛：抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论，常用的方法有：(1)令,2,1,0,1,2,x =-- 等特殊值求抽象函数的函数值； (2)令12,x x y x ==或11y x =，且12x x <，判断抽象函数的单调性； (3)令y x =-，判断抽象函数的奇偶性； (4)换x 为x T +，确定抽象函数的周期； (5)用22x x x =+，或1x换为x 等来解答抽象函数的其它一些问题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）12. 已知232345012345(1)(21)ax x a a x a x a x a x a x --=+++++．若0123450a a a a a a +++++=，则3a =________．【答案】38 【解析】【分析】借助赋值法可得a ，结合二项式定理计算即可得解.【详解】令1x =，则有2012345(01)a a a a a a a -=++++=+，即1a =， 即有23(1)(21)x x --，则()()02121332323C 2C 1C 2C 11238a =⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅-+⋅=.故答案为：38.13. 应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜1PO Q 弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜2MO N 弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知12,F F 是双曲线的两个焦点，其中2F 同时又是抛物线的焦点，且，211212145,tan ,4NF F NF F NF F ∠=︒∠=△的面积为10，128O F =，则抛物线方程为________．【答案】()2323y x =+【解析】【分析】设()()()()120000,0,,0,,0,0F c F c N x y x y ->>，由122112145,tan ,104NF F NF F NF F S ∠=︒∠==△，解出c 得1O 点坐标，结合128O F =得抛物线方程.【详解】以12F F 的中点O 为原点，12F F 为x 轴，建立平面直角坐标系， 不妨设()()()()120000,0,,0,,0,0F c F c N x y x y ->>．由12211tan ,454NF F NF F ∠=∠=︒，则有000014y x c y c x⎧=⎪+⎨⎪=-⎩，解得0032,55x c y c ==，又122120121025NF F S F F y c === ，解得5c =， 128O F =，则有()13,0O -，故抛物线方程为()2323y x =+．故答案为：()2323y x =+14. 函数()33e 3ln 1(0)x x x f x x x--=>的最小值是________．【答案】3 【解析】【分析】求函数()f x 的导函数()f x '，再利用导数研究()f x '的零点及零点两侧函数值的正负，由此确定函数()f x 的单调性，再求其最值可得.【详解】()433323e 2e 3ln 2x x x x x f x x++-='，令()43333e 2e 3ln 2x xg x x x x =++-，则()24333339e16e 8e xx x g x x x xx +'=++， 当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增,()433333ln 33ln 3e 2e 3ln 23e2e 3ln 2x x x xx x g x x x x x x ++=++-=++-， 设()3ln 3h x x x =+，因为()3ln 3h x x x =+在()0,∞+上单调递增， 因为()130h =>，()33e93e0h --=-+<存在()30e ,1x -∈，使003ln 30x x +=，且()00000323ln 23ln 30g x x x x x =++-=+=，故当()00,x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在区间()00,x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x ¢>，所以()f x 在区间()0,x +∞单调增， 所以()()000333ln 300000min 000e 3ln 1e 3ln 13ln 3x x x x x x xf x f x x x x +----⎡⎤====-=⎣⎦．故答案为：3.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.如图，已知正三棱柱1111,,,ABC A B C AB D E -=分别为棱11,A B BC 的中点．（1）求证：1A B ⊥平面1AC D ； （2）求二面角1A C D E --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正弦值； 【小问1详解】取AB 中点F ，由正三棱柱性质得，111,,A B DC EF 互相垂直，以D 为原点，分别以11,DB DC ，DF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设12AA =，则11A B =，则()())()11,2,2,,2A A BC E ⎫⎪⎪⎭．证明：()()()112,2,,2A B DA DC DE ⎫====⎪⎪⎭，由()()1224040A B DA ⋅=⋅=-++=，得1A B AD ⊥，由()()1120000A B DC ⋅=⋅=++=，得11A B DC ⊥，因为1,AD DC ⊂平面11,AC D AD DC D = ，所以1A B ⊥平面1AC D ． 【小问2详解】由（1）可知()12A B = 为平面1AC D 的一个法向量，设(),,n x y z =平面1C DE 的法向量，则1·0·0n DE n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ,故()()(),,20,0,0,,0.x y z x y x y z ⎧⎫⋅=⎪⎪⎧+=⎪⎪⎪⎭⎨⎨=⎪⎩⎪⋅=⎪⎩，令1z =，得面1C DE的一个法向量为()n =-， 设二面角1A C D E --的值为θ，则11cos A B n A B n θ⋅==1A C D E --． 16. 今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈．节目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮．节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜．如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．（1）将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为X ，求X 的分布列及数学期望． 【答案】（1）23（2）分布列见解析，数学期望为1 【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式求解；（2）先确定随机变量X 的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再利用期望公式求其期望. 【小问1详解】设翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的事件设为A ， 由已知将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张 的方法数为2244C C ，翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的方法数为211422C C C ，则()1122242244C C 2C C 3C P A ==． 所以翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率为23． 【小问2详解】由已知随机变量X 的可能取值有0,1,2,3,4，()443330A 8P X ⨯===，()444211A 3P X ⨯===， ()2444C 12A 4P X ===，()44114A 24P X ===， 所以X 的分布列X 01 2 4P3813 14 124所以()31110124183424E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17. 如图，由部分椭圆22221(0,0)x y a b y a b+=>>≤和部分双曲线()222210x y y a b -=≥，组成的曲线C 称为“盆开线”．曲线C 与x 轴有()()2,02,0A B -、．（1）设过点()1,0的直线l 与C 相切于点M ，求点M 的坐标及直线l 的方程； （2）过A 的直线m 与C 相交于点、、P A Q 三点，求证：PBA QBA ∠=∠． 【答案】（1）()4,3M ，10x y --=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据离心率乘积以及()()2,0,2,0A B -，可求得,a b ，可得椭圆方程和双曲线方程，设切点为()00,M x y ，可得切线方程，由过点()1,0，即可求解M 和直线方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合的,BP BQ 斜率之和为零，即可求证.【小问1详解】=,2,a b ==， 故椭圆方程为：()221043x y y +=≤，双曲线方程为()221043x y y -=≥．由图可知，切点M 在双曲线()221043x y y -=≥上．设()00,M x y ，则0034x k y =，则切线l 的方程为：00143x x y y-=， 因为直线l 过点()1,0，所以，04x =，将04x =代入()221043x y y -=≥，得03y =，所以，()4,3M ，直线l 的方程为：10x y --=．【小问2详解】由题意可得PQ 的斜率存在且不为零，故设方程为：()2y k x =-， 联立()()2210432x y y y k x ⎧-=≥⎪⎨⎪=-⎩整理得：()2222341616120k x k x k -+--=， ()()422225643416120340k k k k ⎧∆=---->⎪⎨-≠⎪⎩,即k ≠且k ≠, 解得：2x =或228643k x k +=-，即2228612,4343k k Q k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭． 联立()()2210432x y y y k x ⎧+=≤⎪⎨⎪=-⎩整理得：()2222341616120k x k x k +-+-=， 解得：2x =或228643k x k -=+，即2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 所以2222221212434308686224343BP BQ k k k k k k k k k k -+-+=+=-++++-， 所以=-BP BQ k k ，所以PBA QBA ∠=∠．18. 已知函数()32f x x ax bx c =+++． （1）如果1和1-是()f x 的两个极值点，且()f x 的极大值为3，求()f x 的极小值；（2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0c =时，且函数()f x 在区间[]22-,上最大值为2，最小值为2-．求()3f 的值．【答案】（1）1-（2）答案见解析（3）18 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得1和1-是方程2320x ax b ++=的两根，利用韦达定理求出a 、b 的值，再求出函数的单调区间，即可求出函数的极大值，从而求出c 的值，最后求出极小值； （2）求出函数的导函数，再分0a >、0a =、0a <三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（3）依题意()222f -≤≤，()222f -≤-≤即可求出a 、b 的范围，再求出导函数，结合特殊值可得()0f x '=有两个实数根12,x x ，且12202x x -<<<<，即可得到1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点，则()12f x ≤，()22f x ≥-，结合韦达定理得到2293a b ⎫-≤⎪⎭，再由2293a b ⎫-≥⎪⎭，即可求出a 、b 的值，从而得解. 【小问1详解】因为()32f x x ax bx c =+++，所以()232f x x ax b '=++，因为1和1-是()f x 的两个极值点，所以1和1-是方程2320x ax b ++=的两根， 故2113113a b⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得03a b =⎧⎨=-⎩，即()33f x x x c =-+， 所以()()()233311f x x x x ==+'--， 因()(),11,x ∈-∞-∞ 时，()0f x ¢>，当()1,1x ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()(),1,1,-∞-∞上单调增，在区间()1,1-上单调减，所以()()1133f x f c =-=-++=极大值，解得1c =，所以()()11311f x f ==-+=-极小值．【小问2详解】当0b =时()32f x x ax c =++定义域为R ， 又()232f x x ax '=+，令()0f x '=，解得0x =或23a x =-， 若0a <，则当()()2,0,3a x ∈-∞⋃-+∞时，()0f x ¢>；当20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<． 故()f x 在区间()2,0,,3a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 若0a =，则()0f x '≥恒成立，所以()f x 在区间(),-∞+∞单调递增；为若0a >，则当()()2,0,3a x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x ¢>；当2,03a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<． 故()f x 在区间()2,,0,3a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． 综上可得：当0a <时()f x 在区间()2,0,,3a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 当0a =时()f x 在区间(),-∞+∞单调递增；当0a >时()f x 在区间()2,,0,3a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． 【小问3详解】当0c =时，()32f x x ax bx =++， 由题意得：()228422f a b -≤=++≤，即523a b -≤+≤-，①()228422f a b -≤-=-+-≤，即325a b ≤-≤，②由①、②可知，1144a -≤≤，53b -≤≤-．③ 因()232f x x ax b '=++，()2124121560f a b -=-+≥--=>'，()00f b '=<，()2124121560f a b =++≥--=>'，所以()0f x '=有两个实数根12,x x ，且12202x x -<<<<，当()()122,,2x x x ∈- 时，()0f x ¢>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，故1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点．由题意得()3211112f x x ax bx =++≤，()3222222f x x ax bx =++≥-， 即()()3222222f x x ax bx -=-++≤， 两式同向相加得：()()()2121212124x x x x x x a x x b ⎡⎤-+-+++≤⎣⎦，④ 注意到1223a x x +=-，123b x x =，12x x -= 为代入④2293a b ⎫-≤⎪⎭， 由③可知1144a -≤≤，53b -≤≤-，则2136412604a b ≤-≤，2511933916a b ≤-≤+⨯，2≥，2193a b ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，2293a b ⎫-≥⎪⎭，2293a b ⎫-=⎪⎭，当且仅当22193a b =⎪-=⎪⎩， 即239a b -=，又53b -≤≤-，所以0,3a b ==-时成立，所以()33f x x x =-，从而()318f =．【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先得到a 、b 的取值范围，再结合零点存在性定理得到()0f x '=有两个实数根12,x x ，且12202x x -<<<<2293a b ⎫-=⎪⎭. 19 已知实数0q ≠，定义数列{}n a 如下：如果{}2012222,0,1k k i n x x x x x =++++∈ ，0,1,2,,i k = ，则2012k n k a x x q x q x q =++++ ．（1）求7a 和8a （用q 表示）；（2）令12n n b a -=，证明：211n n ii b a -==∑；（3）若12q <<，证明：对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m n a a a <≤+．【答案】（1）23781,a q q a q =++=（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】【分析】（1）观察题目条件等式中的系数可得答案； .（2）112n n n b a q --==，分别计算1ni i b =∑和21n a -可证明结论；（3）先根据112n n a q --=无上界说明存在正整数m ，使得n m a a <，分1m -是偶数和1m -是奇数分别说明.【小问1详解】因为27122=++，所以271a q q =++；因为382=，所以38a q =；【小问2详解】由数列{}n a 定义得：112n n n b a q--==；所以2111n n i i b q q q -==++++∑ ． 而21211222n n --=++++ ，所以121211n nn i i a q q q b --==++++=∑ ；【小问3详解】当12q <<，由（2）可知，112n n a q --=无上界，故对任意n a ，存在m a ，使得m n a a >．设m 是满足m n a a >的最小正整数．下面证明1m n a a ≤+．①若1m -是偶数，设{}2121222,0,1,1,2,,k k i m x x x x i k -=+++∈= ，则2121222k k m x x x =++++ ，于是212111k m k m a x q x q x q a -=++++=+ ． 因为1n m a a -≥，所以111m m n a a a -=+≤+．②若1m -是奇数，设2221122222l l k l k m x x ++-=+++++++ ， 则()()()()12221111111l l l l m m a a q q q q q q q q q q q +--=-++++=-++++-+++++< ． 所以111m m n a a a -<+≤+．综上所述，对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m n a a a <≤+．。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + 1，若f(x)的图像关于x = a对称，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定2. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = x^3B. y = x^2C. y = -x^2D. y = x^3 + 3x^23. 若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则第n项an等于（）A. a1 + (n - 1)dB. a1 - (n - 1)dC. a1 + ndD. a1 - nd4. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinA的值为（）A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/55. 若log2x + log2y = 1，则x和y的取值范围是（）A. x > 0, y > 0B. x > 0, y ≤ 0C. x ≤ 0, y > 0D. x ≤ 0, y ≤ 06. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间(-∞, +∞)上单调递增，则a 的取值范围是（）A. a < 0B. a > 0C. a = 0D. a ≠ 07. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-3, -2)D. (-2, -3)8. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是（）A. 实轴B. 虚轴C. 圆心在原点，半径为1的圆D. 直线y = x9. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则第n项an等于（）A. 2 3^(n-1)B. 2 3^nC. 2^n 3D. 2^n / 310. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则a，b，c之间的关系是（）A. a > 0, b = 0, c < 0B. a > 0, b ≠ 0, c < 0C. a < 0, b = 0, c >0 D. a < 0, b ≠ 0, c > 0二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 25，S9 = 45，则S13 = _______。

江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()1,2a = ，(),3b x x =+ ．若a b，则x =（）A ．6-B ．2-C ．3D ．62．“02r <<”是“过点(1,0)有两条直线与圆222:(0)C x y r r +=>相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数sin 2y x =图象上所有的点（）A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{}n P （10P =，21P =，212n n n P P P ++=+，*n ∈N ）中的奇数换成0，偶数换成1，得到01-数列{}n a ．记{}n a 的前n 项和为n S ，则20S =（）A ．16B ．12C ．10D ．85．已知3()5P A =，()15P AB =，1(|)2P A B =，则()P B =（）A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆台12O O 中，圆2O 的半径是圆1O 半径的2倍，且2O 恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）A ．3:4B ．1:2C ．3:8D ．3:107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，直线1AF 交C 于另一点B ，2ABF △的内切圆与2BF 相切于点P ．若12BP F F =，则C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜ABC 中，若sin cos A B =，则3tan tan B C +的最小值为（）AB C D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

安徽省滁州市定远县民族中学2023届高三下学期第一次模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}210A x x x =-->，2121x x B y y x x ⎧⎫--==>⎨⎬-⎩⎭，，则A B = （）A ．()1+∞，B ．()2+∞，C ．12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭2．已知复数1i z =+（i 是虚数单位），设2zzω=，则ω=（）A B ．2C ．D ．43．某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表：i x 0.041 4.8410.24iy 1.12.12.33.34.2若依据表中数据画出散点图，则样本点(,)(1,2,3,4,5)i i x y i =都在曲线1y =附近波动.但由于某种原因表中一个x 值被污损，将方程1y +作为回归方程，则根据回归方程1y =和表中数据可求得被污损数据为（）A ． 4.32-B ．1.69C ．1.96D ．4.324．已知向量)a =，()01b =- ，，(c k =，若()2//a b c - ，则实数k 的值为（）A ．1B ．1-CD ．5．设12log 3a =，0.323b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a b c<<6．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则平面CBF 与平面DBF 夹角的正切值为（）A ．6BC D 7．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线右支上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F PF F PA π∠=∠=，5PA =，则该双曲线的离心率为（）A B ．2C ．3D 8．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为P ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还万元（）A ．10M B ．()()1010111MP P P ++-C ．()10110M P +D ．()()99111MP P P ++-二、多选题9．已知函数()π24f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x的图象可以由2y x =的图象向右平移3π8个长度单位得到B ．()()122f x f x =-，则12minπx x -=C ．5π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．()f x 在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增10．如图，AE ⊥平面ABCD ，CF //AE ，AD //BC ，AD ⊥AB ，AE =BC =2，AB =AD =1，87CF =，则（）A ．BD ⊥ECB ．BF //平面ADEC ．二面角E -BD -F 的余弦值为13D ．直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为5911．过平面内一点P 作曲线|ln |y x =两条互相垂直的切线12,l l ，切点为P 1、P 2(P 1、P 2不重合），设直线12,l l 分别与y 轴交于点A ，B ，则下列结论正确的是（）A ．P 1、P 2两点的横坐标之积为定值B ．直线P 1P 2的斜率为定值C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(0，1]12．某省2021年美术联考约有5000名学生参加，现从考试的科目素描(满分100分)中随机抽取了500名考生的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成7组：[)[)20303040，，，，⋯，[]8090，，并整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法不正确的是（）A ．由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于90分B ．用样本估计总体，全省该项科目分数小于70分的考生约为2000人C ．若样本中分数小于40的考生有30人，则可估计总体中分数在区间[)4050，内约200人D ．用样本估计总体，全省考生该项科目分数的中位数为75分三、填空题13．若62baxx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x项的系数为-160，则22a b+的最小值为_______14．梵净山是云贵高原向湘西丘陵过渡斜坡上的第一高峰，是乌江与沅江的分水岭，也是横亘于贵州、重庆，湖南，湖北四省（市）的武陵山脉的最高主峰．某测量小组为测量该山最高的金顶P的海拔，选取了一块海拔为400米的平地，在平地上选取相距885米的两个观测点A与B，如图，在点A处测得P的仰角为60︒，在点B处测得P的仰角为45︒，则金顶P的海拔为________米．1.732 =）15．2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩难求甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，丙购买到冰墩墩的概率为15，则甲，乙，丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为_________．16．若2022220220122022(12)x a a x a x a x-=++++，则20221222022222aa a+++的值___________________.四、解答题17．在ABC中，222.b c a+-=（1）求cos A的值；（2）若2B A=，b，求a的值.18．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn，满足an+1＝Sn+1（n∈N*）．（1）求Sn；（2）记bn＝11n nn nS SS S++-，求数列{bn}的前n项和Tn．19．旨在全面提高国民体质和健康水平，1995年国务院颁布了《全民健身计划纲要》，并在2009年将每年8月8日设置为“全民健身日”，倡导全民做到每天参加--次以上的体育健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．某小区为了调查居民的体育运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：(1)求a 的值，并求这100位居民锻炼时间的中位数；(2)若规定[]0,10为第一组，依次往下，现采用分层抽样的方法从第三组和第五组随机抽取6名成年人进行体质测定，再从这6人中随机抽取2人进行跟踪调查，求这2人中，两组各有1人的概率．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝4，E 为PB 的中点，F 为线段BC 上的点，且BF ＝14BC .（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ；（2）求点F 到平面PCD 的距离.21．已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）过A （2，0），B （0，1）两点.（1）求椭圆C 的方程和离心率的大小；（2）设M ，N 是y 轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线AM 与椭圆C 的另一个交点为P ，直线AN 与椭圆C 的另一个交点为Q ，判断直线PQ 与x 轴的位置关系，并证明你的结论.22．已知函数()ln ,af x x a x=+∈R ．(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当1x ≥时，若关于x 的不等式()2f x x a ≤-恒成立，试求a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】解集合A 中的不等式，求集合B 中函数的值域，得到两个集合，再求交集.【详解】由210x x -->，解得A ⎛⎫=-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，又211211x x y x x x x --==->--，函数单调递增，则1y >，()1B ∴=+∞，，得A B ⎫=+∞⎪⎪⎝⎭故选：C 2．B【分析】根据共轭复数的定义及复数的除法运算求出ω，再根据复数的模的计算公式即可得解.【详解】解：由已知222(1i)2(1i)2i 1i (1i)(1i)z z ω--====-++-，所以2ω=.故选：B.3．C【解析】令i m =，根据线性回归中心点在回归直线上，求出y ，得出m ，即可求解.【详解】设缺失的数据为),1,2,3,4,5i x m i ==，则样本(),i i m y 数据如下表所示：im 0.21 2.23.2iy 1.12.12.33.34.2其回归直线方程为ˆ1ym =+，由表中数据可得，11.12.1 2.33.34.2 2.65y =++++=（），由线性回归方程ˆ1ym =+得， 1.6m =，即10.21 2.2 3.2 1.65+++=（），解得 1.96x =.故选:C .【点睛】本题考查线性回归方程的应用，换元是解题的关键，掌握回归中心点在线性回归直线上，考查计算求解能力，属于中档题.4．A【分析】由向量线性运算的坐标表示，向量共线的坐标公式，计算即可.【详解】根据题意，向量)a =，()01b =- ，，则)2a b -= ；若()2//a b c -，且(c k = ，则有3k =，解可得1k =；故选：A ．5．D【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出,,a b c 的范围，即可解出．【详解】因为1122log 3log 10a =<=，0.3231203b ⎛⎫<= ⎛⎫<= ⎪⎪⎭⎝⎝⎭，103221c =>=，所以a b c <<．故选：D ．6．D【分析】设AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，即可得出结果.【详解】设AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD 11(0,0,),(0,,0),(22∴B F C D 1(00 )2OC ∴= ，，∴且OC为平面BDF 的一个法向量.由1(,0)22=-uu u r BC ，1()22=-uu r FB ，可得平面BCF 的一个法向量为n =cos ,,sin ,7∴<>=<>=r uuu rr uuu r n OC n OCtan ,3∴<>=r uuu r n OC .故选：D 7．B【分析】首先设11PF r =，22PF r =，利用双曲线的定义和余弦定理得到212443c r r -=，根据1212F PF F PA APF S S S =+△△△得到()1212r r r r PA =+⋅，化简整理即可得到2c =，再求离心率即可.【详解】设11PF r =，22PF r =，则1222r r a -==，如图所示：由余弦定理得22212121222cos 3F F PF PF PF PF π=+-，即()222212121212124343c r r r r r r r r r r =++=-+=+，所以212443c r r -=，从而12r r +=因为1212F PF F PA APF S S S =+△△△，所以1212111sin sin s 2in 223233r r r PA r PA πππ⋅⋅+⋅⋅=，整理得：()1212r r r r PA =+⋅，即2443c -=，整理得4252280c c -+=，解得24c =或225c =（舍去），所以2c =，1a =，2c e a==.故选：B【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于难题.8．B【分析】设出每年应还款的数额，分别求出10年还款的现金与利息和以及银行贷款10年后的本利和，列等式后求得每年应还款数．【详解】设每年应还x 万元，则有()()()()291011...11x x P x P x P M P +++++++=+，得()()()101011111x P M P P ⎡⎤-+⎣⎦=+-+，解得()()1010111MP P x P +=+-．故选：B ．9．AD【分析】根据函数平移可判断A,根据最值点的与周期的关系可判断B,根据偶函数的特征可判断C,整体代入验证法可判断D.【详解】对于A,2y x =的图象向右平移38π个长度单位得到3ππ2244y x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确，对于B ，因为()()max min f x f x ==()()122f x f x =-可知()()12f x f x ，为最值，又π,T =故12min π2x x -=,故B 错误，对于C,()5ππ2π2π25844x x x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫+-=+=- ⎪⎝⎭为奇函数，故错误，对于D,ππππππ0,,2,,444422x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∴-∈-⊆- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 在区间π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，正确，故选：AD 10．BC【分析】建立空间直角坐标系，逐项验证，即可求解.【详解】以A 为原点，分别以,,AB AD AE的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，可得A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，2，0），D （0，1，0），E （0，0，2），F （1，2，87），BD =（-1，1，0），EC =（1，2，-2），10BD EC ⋅=≠ ，则BD ，EC 不垂直，则A 错误；AB =uu u r （1，0，0）是平面ADE 的法向量，又BF =（0，2，87），可得BF AB ⋅ =0，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF //平面ADE ，则B 正确；设m a b c =u r （，，）为平面BDF 的一个法向量，则0,0,m BD m BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即0,820,7a b b c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令b =1，可得7(1,1,)4m =- ，.依题意，BD = =（-1，1，0），BE =（-1，0，2），CE =（-1.-2.2）.设n x y z = （，，）为平面BDE 的法向量，则0,0,n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令z =1，可得(221)n = ，，.所以||1||||3m n cos m n m n ⋅== ，，.则C 正确；4cos ,9||||CE n CE n CE n ⋅〈〉==-，则D 错误.故选BC.11．ABC【分析】A.由条件可知两条直线的斜率存在时，斜率之积为-1，讨论12,P P 的位置，即可判断；B.由两点12,P P 的坐标，表示直线12PP 的斜率，即可判断；C.分别求切线方程，并表示点,A B 的坐标，即可求线段AB 的长度；D.根据切线方程，求交点P 的横坐标，因为AB 为定值，即转化为求点P 的横坐标的取值范围.【详解】因为ln ,01ln ln ,1x x y x x x -<<⎧==⎨≥⎩，所以，当01x <<时，1y x '=-；当1x ≥时，1y x'=，不妨设点1P ，2P 的横坐标分别为12,x x ，且12x x <，若1201x x <<≤时，直线1l ，2l 的斜率分别为111k x =-，221k x =-，此时121210k k x x =>，不合题意；若211x x >≥时，则直线1l ，2l 的斜率分别为111k x =，221k x =，此时121210k k x x =>，不合题意.所以1201x x <≤<或1201x x <<≤，则111k x =-，221k x =，由题意可得121211k k x x =-=-，可得121=x x ，若11x =，则21x =；若21x =，则11x =，不合题意，所以1201x x <<<，选项A 对；对于选项B ，易知点()111,ln P x x -，()222,ln P x x ，所以，直线12PP 的斜率为()1212212121ln ln ln 0P P x x x x k x x x x +===--，选项B 对；对于选项C ，直线1l 的方程为()1111ln y x x x x +=--，令0x =可得11ln y x =-，即点()10,1ln A x -，直线2l 的方程为()2221ln y x x x x -=-，令0x =可得21ln 1ln 1y x x =-=--，即点()10,ln 1B x --，所以，()()111ln 1ln 2AB x x =----=，选项C 对；对于选项D ，联立112211ln {1ln 1y x x x y x x x =-+-=+-可得1212121221P x x xx x x x ==++，令()221x f x x =+，其中()0,1∈x ，则()()()2222101x f x x -'=>+，所以，函数()f x 在()0,1上单调递增，则当()0,1∈x 时，()()0,1f x ∈，所以，()121210,121ABP P x S AB x x =⋅=∈+△，选项D 错.故选：ABC.12．AD【分析】由样本和总体的关系判断选项A ；利用样本频率计算总体中的频数判断选项BC ；利用频率分布直方图中位数的算法计算中位数判断选项D.【详解】由题意可知，在500个样本中，该项科目分数是均不高于90分，样本可以用来估计总体，但不能代替总体，在其余4500名考生中，该项科目分数中可能有高于90分的，故选项A 不正确；在样本中，分数不低于70分的频率为()0.040.02100.6+⨯=，则样本中分数小于70分的频率为10.60.4-=，若用样本估计总体，则全省该项科目分数小于70分的考生约为50000.42000⨯=人，故选项B 正确；在样本中，成绩低于50分的频率为()10.0420.020.01100.1-+⨯+⨯=，当分数小于40的考生有30人时，其频率为300.06500=，则分数在区间[)4050，内的频率为0.04，用样本估计总体，则全省考生中分数在区间[)4050，内约50000.04200⨯=人，故选项C 正确；用样本估计总体，通过频率分布直方图可知中位数即为将左右两边矩形面积等分所在位置，则该位置在区间[)7080，内，且等于1701072.54+⨯=分，故选项D 不正确．故选：AD ．13．16【分析】求出62b ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式，得到()3336C 160a b -=-，求出8ab =，再利用重要不等式，求出最小值.【详解】62b ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()()6216123166C C r r r r r rr r T ax bx a b x ----+=-=-，令1233r -=，解得：3r =，故()333346C T a b x =-，所以()3336C 160a b -=-，解得：8ab =，所以22216a b ab +≥=，当且仅当a b ==故22a b +的最小值为16.故答案为：1614．2494【分析】先求出PD ，然后加上400米即可【详解】设AD x =米，依题意可得60,45PAD PBD ∠=︒∠=︒，则885PD BD x ==+．因为tan PDPADAD=∠=885x +=，则88512090.732x =≈，所以12098852094PD ≈+=米，故金顶P 的海拔为20944002494+=米．故答案为：249415．35##0.6【分析】先算出甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案.【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率111=1=22P -.同理，丙购买不到冰墩墩的概率214=1=55P -.所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率312142==×=255P P P ⋅，于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率33=1=5P P -.故答案为：35.16．1-【分析】根据赋值法分别令0x =、12x =，然后可得.【详解】令0x =，得01a =，令12x =，得2022120220220222a a a a ++++= ，所以202212220221222a a a +++=-故答案为：1-17．（1）cos 4A =；（2）2.【分析】（1）利用余弦定理可求得cos A 的值；（2）利用二倍角的正弦公式求出sin B 的值，然后利用正弦定理可求得a 的值.【详解】（1）因为在ABC中，222b c a +=+，所以，2224c 222os b c c a b A c b c =+=-=；（2）由（1）知，02A π<<，所以sin 4A ==因为2B A =，所以sin sin 22sin cos 2444B A A A ===⨯⨯=又因为B =，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin 2.sin b A a B ==18．（1）21n n S =-；（2）11121n n T +=--.【分析】（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；（2）求得1112121n n n b +=---，由数列的裂项相消求和，化简即可得到答案.【详解】（1）当2n ≥时，11n n a S -=+，又11n n a S +=+，所以11n n n n n a a S S a +--=-=，即12(2)n n a a n +=≥，在11n n a S +=+中，令1n =，可得211a a =+因为11a =，所以2122a a ==故{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为12n n a -=，所以1121nn n S a +=-=-.（2）因为11n n n n n S S b S S ++-==1111112121n n n n S S ++-=---所以111111(1)()()3372121n nn T +=-+-++---11121n +=--故n T 11121n +=--19．(1)0.030a =，中位数为30.87(2)815【分析】（1）根据频率和为1计算得到a 的值，再根据中位数定义解得答案.（2）根据分层抽样的比例关系得到第三组的人数为4，第五组的人数为2，再计算概率得到答案.【详解】（1）根据频率分布直方图，()0.0050.0120.0350.0150.003101a +++++⨯=，解得0.030a =.设中位数为x ，则()0.005100.012100.0310300.0350.5x ⨯+⨯+⨯+-⨯=，解得30.87x ≈.（2）第三组的人数为：2643⨯=，第五组的人数为：1623⨯=，故114226815C C p C ⨯==.20．（1）证明见解析；（2）2.【分析】（1）根据题意可得AE ⊥平面PBC ，进而可证明平面AEF ⊥平面PBC ；（2）利用等体积法求点到面的距离.【详解】（1）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又因为AB ⊂平面PBC ，PA ⊂平面PBC ，且PA BA A = ，所以BC ⊥底面PAB ，又因为AE ⊂平面PBA ，所以BC AE ⊥，因为PA ＝AB ，E 为PB 的中点，所以PB AE ⊥，又因为PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ；（2）解：因为AD BC ∥，=AD BC ，所以B PCD A PCD V V --=，又=A PCD P ACD V V --，所以1132444323B PCD P ACD V V --==⨯⨯⨯=，因为142PCD S =⨯= ，设点B 到平面PCD 的距离为h ，所以3B PCDPCDV h S -==由BF ＝14BC ，知点F 到平面PCD的距离为34=.21．（1）2214x y +=；离心率e =2）直线PQ 与x 轴平行；证明见解析【解析】（1）依题意得a ＝2，b ＝1，写出椭圆C 的方程，求解离心率的大小即可.（2）设M ，N 坐标为（0，m ），（0，n ），则1n m=，m ≠0，n ≠0，由A （2，0），M （0，m ）得直线AM 的方程为2m y x m =+-，联立22142x y m y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪-⎩，求出P 的纵坐标，Q 纵坐标，然后推出结果.解法二：设直线AM 的方程为x ＝ty +2（t ≠0），直线AN 的方程为x ＝sy +2（s ≠0）令x ＝0得tyM ＝﹣2，M 坐标为20t -⎛⎫ ⎪⎝⎭，，同理N 坐标为20s -⎛⎫⎪⎝⎭，，推出yP ＝yQ ≠0，直线PQ 与x 轴平行.解法三：设直线AM 的方程为y ＝k 1（x ﹣2），k 1≠0，直线AN 的方程为y ＝k 2（x ﹣2），k 2≠0，令x ＝0得M 坐标为（0，﹣2k 1），同理N 坐标为（0，﹣2k 2），得到4k 1k 2＝1，代入椭圆方程求出P 的纵坐标，Q 的纵坐标，即可得到结果.【详解】（1）依题意得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，c ==离心率的大小2c e a ==.（2）解法一、因为M ，N 是y 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，设M ，N 坐标为（0，m ），（0，n ），则1n m=，m ≠0，n ≠0由A （2，0），M （0，m ）得直线AM 的方程为2m y x m =+-，22142x y m y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪-⎩，整理得（m 2+1）y 2﹣2my ＝0或（m 2+1）x 2﹣4m 2x +4m 2﹣4＝0，得交点P 的纵坐标为221P my m =+，同理交点Q 的纵坐标为22212221111Q n m m y n m m ⋅===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以yP ＝yQ ≠0，直线PQ 与x 轴平行.解法二：设直线AM 的方程为x ＝ty +2（t ≠0），直线AN 的方程为x ＝sy +2（s ≠0），令x ＝0得tyM ＝﹣2，M 坐标为20t -⎛⎫ ⎪⎝⎭，，同理N 坐标为20s -⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因为M ，N 是y 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以st ＝4，22142x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得（t 2+4）y 2+4ty ＝0或（t 2+4）x 2﹣16x +16﹣4t 2＝0，得交点P 的纵坐标为244P ty t -=+，同理得22244444444Q s tty s t t -⋅--===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以yP ＝yQ ≠0，直线PQ 与x 轴平行.解法三：设直线AM 的方程为y ＝k 1（x ﹣2），k 1≠0，直线AN 的方程为y ＝k 2（x ﹣2），k 2≠0令x ＝0得M 坐标为（0，﹣2k 1），同理N 坐标为（0，﹣2k 2），因为M ，N 是y 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以4k 1k 2＝1，代入椭圆方程得()221142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，()222211141161640k x k x k +-+-=，或()222111211644140241P k k y k y x k -++==+所以21218241P k x k -=+，得交点P 的纵坐标为2111221182424141P k ky k k k ⎛⎫--=⋅-= ⎪++⎝⎭，同理得21122221114444141414()14Q k k k y k k k ---===+++，所以yP ＝yQ ≠0，直线PQ 与x 轴平行.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程以及简单性质的应用，还考查分析问题解决问题运算求解的能力，属于中档题.22．(1)()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞(2)1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间.（2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()()1ln 0f x x x x=+>，()'22111x f x x x x-=-=，所以()f x 在区间()()()'0,1,0,f x f x <递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增.所以()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞.（2）1,()2,ln 2a x f x x a x x a x ≥≤-+≤-，2ln 12x x xa x-≤+恒成立.构造函数()()2ln 112x g x x xx x -≥+=，()113g =，()()()2''22ln 11,1912x x g x g x --==+，构造函数()()22ln 11h x x x x =--≥，()()()2'212114140x x x h x x x x x+--=-==>，所以()h x 在[)1,+∞上递增，()110h =>，所以()'0g x >在[)1,+∞上成立，所以()()113g x g ≥=，所以13a ≤，即a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。

2024年高考仿真模拟数试题（二） 试卷+答案注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．1B ．3C ．6D ．1或33．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3510a a +=−，642S =−，则10S =（ ） A ．12B ．10C ．16D ．20A ．32种B ．128种C ．64种D ．256种5．在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D −−为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4A ．[]3,3−B ．[]3,5C ．[]1,9D ．[]3,7二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．为 ；此时棱柱的高为 .14．已知正实数,,,a b c d 满足210a ab −+=，221c d +=，则当22()()a c b d −+−取得最小值时，ab = ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2024年高考仿真模拟数试题（二）试卷+答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A．1 B．3 C．6 D．1或3A．12B．10C．16D．20A．32种B．128种C．64种D．256种答案 C解析若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有52种去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有52种去法．故一共有55+=种去法．故选C.22645．在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC折起，使得二面角A BC D −−为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4A ．[]3,3−B ．[]3,5C ．[]1,9D ．[]3,7二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．答案 AD解析 对A ：令1x =，0y =，则()()()21210f f f =， 因为()11f =−，所以()01f =，故A 正确；对B ：令0x =得：()()()()20f y f y f f y +−=，结合()01f =可得()()f y f y =−， 所以()f x 为偶函数，故B 错误；对C ：令1y =可得：()()()()1121f x f x f x f ++−=，因为()11f =−，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．≤.……………17分综上，不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有n a M。

某某省某某市X家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（12）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分41分）1．设集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=x2，﹣1≤x≤2}，则M∩N=__________．2．函数的定义域是__________．3．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则=__________．4．已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b=__________．5．若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值X围是__________．6．设函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数为__________．7．若函数y=的定义域为R，则实数m的取值X围是__________．8．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（x+1）．若f（a）=﹣2，则实数a=__________．9．定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f（x）=min{2x+4，x2+1，5﹣3x}，则f （x）的最大值是__________．10．=__________．11．已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[﹣1，0]上的最小值为__________．12．已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值X围是__________．13．若实数a，b，c满足lg（10a+10b）=a+b，lg（10a+10b+10c）=a+b+c，则c的最大值是__________．14．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值X围是__________．二、解答题（共3小题，满分20分）15．已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，y=lg的定义域为集合B．（1）若A=B，某某数a；（2）是否存在实数a使得A∩B=φ，若存在，则求出实数a的值，若不存在，说明理由．16．已知函数f（x）=，其中b∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设b＞0．若∃x∈[，]，使f（x）≥1，求b的取值X围．17．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．某某省某某市X家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（12）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分41分）1．设集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=x2，﹣1≤x≤2}，则M∩N=[0，2]．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求出x2﹣x﹣2≤0的解集M，由二次函数的性质求出集合N，再由交集的运算求出M∩N．解答：解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则集合M=[﹣1，2]，因为y=x2，﹣1≤x≤2，所以0≤y≤4，则N=[0，4]，所以M∩N=[0，2]，故答案为[0，2]．点评：本题考查交集及其运算，以及一元二次不等式、一元二次函数的性质，属于基础题．2．函数的定义域是{x|x＞﹣1且x≠1}．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：欲求此函数的定义域，可由x+1＞0，且1﹣x≠0，解出x的取值X围，最终得出答案．解答：解：∵x+1＞0，且1﹣x≠0，∴x＞﹣1且x≠1，故答案为：{x|x＞﹣1且x≠1}．点评：本题考查的是求定义域时要注意对数函数的真数大于0，并且分母不能是0的问题．3．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则=2．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：：设幂函数y=f（x）的解析式为 f（x）=xα，根据幂函数y=f（x）的图象过点求出α的值，可得函数的解析式，从而求得的值．解答：解：设幂函数y=f（x）的解析式为 f（x）=xα，由幂函数y=f（x）的图象过点可得=3α，∴α=﹣，∴f（x）=，∴==2，故答案为 2．点评：本题主要考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．4．已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b=2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），由此即可求出a，b．解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a﹣3+4﹣a=0，解得a=﹣1．由f（x）为偶函数，得f（﹣x）=f（x），即ax2﹣（b﹣3）x+3=ax2+（b﹣3）x+3，2（b﹣3）x=0，所以b=3．所以a+b=3﹣1=2．故答案为：2．点评：偶函数的定义域关于原点对称，f（﹣x）=f（x）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．5．若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值X围是（﹣∞，5）．考点：特称命题．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数f（x）=2x2﹣ax+2，若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0，进而可得实数a的取值X围解答：解：令f（x）=2x2﹣ax+2若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0即4﹣a＞0，或10﹣2a＞0，即a＜4，或a＜5故a＜5即实数a的取值X围是（﹣∞，5）故答案为：（﹣∞，5）点评：本题考查的知识点是特称命题，其中构造函数，将存在性问题（特称命题），转化为不等式问题是解答的关键．6．设函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数为2．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数即函数y=f（x）的图象与直线y=x的交点个数，数形结合可得答案．解答：解：函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数即函数y=f（x）的图象与直线y=x的交点个数，如图所示：由于函数y=f（x）的图象与直线y=x只有2个交点，故答案为 2．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，抽象函数的应用，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．7．若函数y=的定义域为R，则实数m的取值X围是[0，12）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可求出结论．解答：解：∵y=的定义域为R，∴不等式mx2+mx+3≠0，若m=0，则3≠0成立，若m≠0，则等价为判别式△=m2﹣12m＜0，解得0＜m＜12，综上0≤m＜12，故答案为：[0，12）点评：本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件以及一元二次不等式的求解．8．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（x+1）．若f（a）=﹣2，则实数a=﹣1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由题设知，当x≥0时，f（x）不可能为负，故应求出x＜0时的解析式，代入f（a）=﹣2，求a的值．解答：解：令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）=﹣x（1﹣x），又f（x）为奇函数，所以当x＜0时有f（x）=x（1﹣x），令f（a）=a（1﹣a）=﹣2，得a2﹣a﹣2=0，解得a=﹣1或a=2（舍去）．故应埴﹣1点评：本题考点是函数奇偶性的运用，用奇偶性这一性质求对称区间上的解析式，这是函数奇偶性的一个重要应用．9．定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f（x）=min{2x+4，x2+1，5﹣3x}，则f （x）的最大值是2．考点：函数的值域．专题：新定义．分析：根据min{a，b，c}的意义，画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，可得答案．解答：解：画出y=2x+4，y=x2+1，y=5﹣3x的图象，观察图象可知，当x≤﹣1时，f（x）=2x+4，当﹣1≤x≤1时，f（x）=x2+1，当x＞1时，f（x）=5﹣3x，f（x）的最大值在x=±1时取得为2，故答案为：2点评：本题考查函数的图象函数的图象、函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值．10．=．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的运算性质，直接化简表达式，求出它的值．解答：解：==﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查函数值的求法，以及对数的运算，11．已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[﹣1，0]上的最小值为﹣．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：由a，b为正实数，知函数f（x）=ax3+bx+2x是增函数，故f（x）在[0，1]上的最大值f（1）=a+b+2=4，所以a+b=2．由此能求出f（x）在[﹣1，0]上的最小值．解答：解：∵a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x，∴f（x）在R上是增函数，∴f（x）在[0，1]上的最大值f（1）=a+b+2=4，∴a+b=2．∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值f（﹣1）=﹣（a+b）+2﹣1=﹣2+=﹣．∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值是﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．12．已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值X围是（﹣2，1）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：先得到函数在定义域上是增函数，再由函数单调性定义求解．解答：解：易知函数在定义域上是增函数∴f（2﹣a2）＞f（a），可转化为：2﹣a2＞a解得：﹣2＜a＜1∴实数a的取值X围是（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）点评：本题主要考查函数的单调性定义在解不等式中的应用，一般来讲，抽象函数不等式，多数用单调性定义或数形结合法求解．13．若实数a，b，c满足lg（10a+10b）=a+b，lg（10a+10b+10c）=a+b+c，则c的最大值是lg．考点：其他不等式的解法；对数的运算性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：运用对数和指数的关系，及基本不等式，可得10a+b≥2，即10a+b≥4，当且仅当a=b，取等号．对第二个等式，求出10c，再化简代入，分子常数化，即可得到c的最大值．解答：解：lg（10a+10b）=a+b，即为10a+b=10a+10b，而10a+10b≥2=2，即有10a+b≥2，即10a+b≥4，当且仅当a=b，取等号．lg（10a+10b+10c）=a+b+c，即为10a+b+c=10a+10b+10c，即10c===1+≤1+=．则c≤lg．当且仅当a=b，c取得最大值lg．故答案为：．点评：本题考查对数与指数的互化，考查指数的运算性质，以及基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．14．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值X围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：通过t的X围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的X围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的X围即可．解答：解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，又函数，所以f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，所以解得：，又t∈[0，1]，所以实数t的取值X围．故答案为：．点评：本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．二、解答题（共3小题，满分20分）15．已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，y=lg的定义域为集合B．（1）若A=B，某某数a；（2）是否存在实数a使得A∩B=φ，若存在，则求出实数a的值，若不存在，说明理由．考点：函数的定义域及其求法；交集及其运算．专题：函数的性质及应用；集合．分析：（1）由集合B非空得出a≠1，对3a+1与2的大小比较，可分①当时，②当时，③当时3种情况，利用A=B求得a的值；（2）仍分第（1）问的三种情况，化简集合A，再由条件A∩B=φ求得a的X围．解答：解：（1）由于函数的定义域是非空数集，故a≠1．①当时，A=（2，3a+1），B=（2a，a2+1），由A=B可得：，方程组无解；②当时，A=φ，A=B不可能；③当时，A=（3a+1，2），B=（2a，a2+1），由A=B可得：，∴a=﹣1．（2）①当时，A=（2，3a+1），B=（2a，a2+1），由A∩B=φ可得3a+1≤2a或a2+1≤2，又，则；②当时，A=φ，则A∩B=φ，符合题意；③当时，A=（3a+1，2），B=（2a，a2+1），由A∩B=φ可得2≤2a或a2+1≤3a+1，又，则．∴当a∈[0，1）时，A∩B=φ．．点评：本题主要考查函数的定义域的求法，同时考查集合与集合之间的关系，对于含有字母的函数定义域的求法，通常要讨论．16．已知函数f（x）=，其中b∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设b＞0．若∃x∈[，]，使f（x）≥1，求b的取值X围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）分情况讨论：①当b=0时，②当b＞0时，③当b＜0时，然后利用导数即可求得单调区间；（Ⅱ）f（x）≥1等价于b≤﹣x2+x，g（x）=﹣x2+x，则“∃x∈[，]，使得b≤﹣x2+x”等价于b小于等于g（x）在区间[，]上的最大值．解答：解：（Ⅰ）①当b=0时，f（x）=．故f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）；无单调增区间．②当b＞0时，f′（x）=．令f′（x）=0，得x1=，x2=﹣．f（x）和f′（x）的情况如下：x （﹣∞，﹣）﹣（﹣，）（，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘↗↘故f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；单调增区间为（﹣，）．③当b＜0时，f（x）的定义域为D={x∈R|x≠±}．因为f′（x）=＜0在D上恒成立，故f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）；无单调增区间．（Ⅱ）解：因为b＞0，x∈[，]，所以f（x）≥1等价于b≤﹣x2+x，其中x∈[，]．设g（x）=﹣x2+x，g（x）在区间[，]上的最大值为g（）=．则“∃x∈[，]，使得b≤﹣x2+x”等价于b≤．所以b的取值X围是（0，]．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立及函数在区间上的最值问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力．17．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6＜x＜500），从而运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．解答：解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，∵2a+6=y，∴，∴，其定义域是（6，500）．（2），当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，则$f(x)$的对称中心为（）A. $(0, 1)$B. $(1, 2)$C. $(1, 1)$D. $(1, 0)$2. 若$a, b, c$是等差数列，且$a + b + c = 9$，$ab + bc + ca = 15$，则$abc$的值为（）A. 9B. 12C. 18D. 243. 已知圆的方程为$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$，则该圆的半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$的图像与直线$y = x$的交点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在直角坐标系中，若点$A(2, 3)$关于直线$y = x$的对称点为$B$，则点$B$的坐标为（）A. $(3, 2)$B. $(2, 3)$C. $(3, 3)$D. $(2, 2)$6. 已知函数$f(x) = \log_2(x + 1)$，若$f(3) = f(x)$，则$x$的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 若$\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}$，则$\sin\alpha\cos\alpha$的值为（）A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$D. 08. 在三角形ABC中，$AB = 3$，$AC = 4$，$BC = 5$，则$\cos B$的值为（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{5}{4}$9. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3 = 18$，$S_6 = 54$，则数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 510. 若函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$在区间$[1, 3]$上单调递增，则$f(2)$的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$的图像的对称轴为______。