高考调研数学2-1

课时作业(二十一)1．到两定点A(0，0)，B(3，4)距离之和为5的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．AB 所在的直线 C ．线段AB D ．无轨迹答案 C解析 ∵|AB|＝5，∴到A ，B 两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB.2．若点P 到点F(0，2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y 答案 C解析 由题意知P 到F(0，2)的距离比它到y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F(0，2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹方程为x 2＝8y.3．在△ABC 中，已知A(－1，0)，C(1，0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3) C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析 ∵|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，∴|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.∴点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆，又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1，且x ≠±2.4．已知点F(1，0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线答案 D解析 连接MF ，由中垂线性质知|MB|＝|MF|，即M 到定点F 的距离与它到直线x ＝－1距离相等． ∴点M 的轨迹是抛物线． ∴D 正确．5．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一个圆 C ．两个圆 D ．两条抛物线答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，得|PF 1|＝3|PF 2|或|PF 2|＝3|PF 1|，所以是两个圆．6．经过抛物线y 2＝2px 焦点弦的中点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．直线答案 A解析 点差法，k AB ＝2p y 1＋y 2＝2p 2y ＝k MF ＝yx －p 2，化简得抛物线．7．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C(x ，y)满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程________． 答案 x 2＋14y 2＝1解析 设A(a ，0)，B(0，b)，则a 2＋b 2＝9.又C(x ，y)，则由AC →＝2CB →，得(x －a ，y)＝2(－x ，b －y)．即⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2＋14y 2＝1.8．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4(x －2)解析 设直线方程为y ＝k(x －1)，点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x ，y)，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)，得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，y ＝y 1＋y 2＝4kk 2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)． 9．已知△ABC 的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB 边上的中线长|CD|＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)解析 方法一(直译法)：设A(x ，y)，y ≠0，则D(x 2，y2)．∴|CD|＝（x 2－5）2＋y 24＝3. 化简，得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形，所以A 不能落在x 轴上，即y ≠0. 方法二(定义法)：如右图，设A(x ，y)，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E.∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，则E(10，0)，∴A 到E 的距离为常数6.∴A 的轨迹为以E 为圆心，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36，又A ，B ，C 不共线，故A 点纵坐标y ≠0，故A 点轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)． 10．已知抛物线y 2＝nx(n<0)与双曲线x 28－y 2m＝1有一个相同的焦点，则动点(m ，n)的轨迹方程是________． 答案 n 2＝16(m ＋8)(n<0)解析 抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n4)2，n<0，即n 2＝16(m ＋8)(n<0)．11.如图，直角三角形ABC 的顶点A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点． (1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程． 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ， ∴k CB ＝22.∴BC ：y ＝22x －2 2. (2)在上式中，令y ＝0，得C(4，0)．∴圆心M(1，0)．又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P(－1，0)，M(1，0)，且圆N 过点P(－1，0)，∴PN 是该圆的半径．又∵动圆N 与圆M 内切，∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆．∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54＝52. ∴轨迹方程为49x 2＋45y 2＝1.12．已知动点P(x ，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)讨论轨迹C 的形状．解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ.整理，得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)． (2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1，0)，(1，0)； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． 13．(2016·课标全国Ⅰ，理)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B(1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解析 (1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB ∥AC ，所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ， 所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义，可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|MN|＝1＋k 2|x1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 过点B(1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到直线m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ|＝242－（2k 2＋1）2＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN||PQ|＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83)．1．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.解析 由已知得圆M 的圆心为M(－1，0)，半径r 1＝1， 圆N 的圆心为N(1，0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R. (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QM|＝R r 1，可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)，由l 与圆M 相切，得|3k|1＋k2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，y ＝24x ＋2，代入方程x 24＋y 23＝1，并整理，得7x 2＋8x －8＝0， 解得x 1＝－4－627，x 2＝62－47.所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187. 综上，|AB|＝23或|AB|＝187. 2．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在实数m ，使曲线C 上总有不同的两点关于直线y ＝x ＋m 对称？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析 (1)设P(x ，y)是曲线C 上任意一点，那么点P(x ，y)满足：（x －1）2＋y 2－x ＝1(x>0)． 化简得y 2＝4x(x>0)．(2)假设抛物线y 2＝4x(x>0)上存在不同的两点A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，则可设AB 的方程为y ＝－x ＋b 代入y 2＝4x 并整理得x 2－(2b ＋4)x ＋b 2＝0， 则Δ＝(2b ＋4)2－4b 2>0且x ≠0，即b ＋1>0，且b ≠0.设AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝b＋2，y0＝－x0＋b＝－2，又M(b＋2，－2)在y＝x＋m上，∴－2＝b＋2＋m，即b＝－4－m，∴－3－m>0且－4－m≠0，m<－3且m≠－4.∴存在m使曲线C上总有不同的两点关于直线y＝x＋m对称，m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3)．。

课时作业(十一)1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交答案 C2．过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆相交于A ，B 两点，则|AB|等于( ) A ．4 B ．2 3 C ．1 D ．4 3 答案 C3．椭圆4x 2＋9y 2＝144内一点P(3，2)，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在的直线方程为( ) A ．3x ＋2y －12＝0 B ．2x ＋3y －12＝0 C ．4x ＋9y －144＝0 D ．9x ＋4y －144＝0 答案 B解析 设弦的两端点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，又弦AB 中点为P(3，2)，所以x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4.又因为4x 12＋9y 12＝144，① 4x 22＋9y 22＝144，②①－②整理可得y 1－y 2x 1－x 2＝－23，即k AB ＝－23，所以弦AB 所在直线方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0.故选B.4．直线y ＝x 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB|等于( )A ．2 B.455 C.4510 D.8510 答案 C解析 应用弦长公式，得|AB|＝1＋k 2·|x A －x B |.5．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别是( )A ．8，6B ．4，3C ．2， 3D ．4，2 3答案 B解析 最长为2a ，弦垂直于x 轴时最短(即通径最短)．6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( ) A ．－3 B ．－13C ．－13或－3D ．±13答案 B7．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中心的弦，F 2(c ，0)是其右焦点，则△ABF 2的面积的最大值是( ) A ．bc B ．ab C ．ac D ．b 2 答案 A解析 S △ABF 2＝12|OF 2|·|y A －y B |＝12c·|y A －y B |，当AB 与x 轴垂直时|y A －y B |＝2b.∴S △ABF 2的最大值为bc.8．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为33，若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k 的值为( ) A ．±1 B ．± 2 C ．±33D ．±3 答案 C解析 因为椭圆的离心率为33，所以有c a ＝33，即c ＝33a ，c 2＝13a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝23a 2.当x ＝b 时，交点的纵坐标为y ＝kb ，即交点为(b ，kb)，代入椭圆方程b 2a 2＋k 2b 2b 2＝1，即23＋k 2＝1，k 2＝13，所以k ＝±33.选C.9．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM|＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________． 答案 410．F 1，F 2是椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点，过右焦点F 2作倾斜角为π4的弦AB ，则△F 1AB 的面积等于_____________________________________________________________________． 答案 43解析 S △ABF 1＝12|F 1F 2|·|y A －y B |＝c·|y A －y B |.11．若P 满足x 24＋y 2＝1(y ≥0)，则y －2x －4的最小值是________．答案4－76解析 设k ＝y －2x －4，则y －2＝k(x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x －4），x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋16k(1－2k)x ＋16(1－2k)2－4＝0. 由Δ＝0得12k 2－16k ＋3＝0，∴k ＝4±76.又∵y ≥0，∴k ＝4－76(k ＝4＋76舍)．故y －2x －4的最小值为4－76.12．过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 答案22解析 利用点差法，设而不求，建立方程组求解． 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12.∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.13．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且|MN|＝423，则k ＝________．答案 ±1解析 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2，x 1x 2＝0.由|MN|＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329，即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329.化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.14．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1，0)和(1，0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 解析 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m)2－28(4m 2－12)>0，即m2<7，解得－7<m<7.15．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为3，若椭圆被直线x＋y＋1＝0截得的弦的中点的横坐标是－23，求椭圆的方程．解析设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(0<m<n)，弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意得x1＋x22＝－23，y1＋y22＝－13.由⎩⎪⎨⎪⎧y＝－x－1，mx2＋ny2＝1，可得(m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0.∴x1＋x2＝－2nm＋n＝－43，即n＝2m.①∵2c＝3，∴c＝32，即1m－1n＝32.②由①②解得m＝23，n＝43.所以椭圆的方程为23x2＋43y2＝1，即x232＋y234＝1.1．若椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32 B.233C.932 D.2327答案 A2．椭圆x212＋y23＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则点M的纵坐标是()A．±34B．±22C．±32D．±34答案 D解析OM为△PF1F2的中位线，P点横坐标为c或－c.3．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( ) A ．4a B ．2(a －c)C ．2(a ＋c)D ．以上答案均有可能答案 D4．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1有两个公共点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－54，54) B ．[－54，54] C ．(－∞，－54)∪(54，＋∞) D ．(－∞，－54)∪(－54，54) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y 24＝1，得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0.当Δ＝16(16k 2－5)>0，即k>54或k<－54时，直线与椭圆有两个公共点．故选C.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点是M(－4，1)，则椭圆的离心率是( ) A.12 B.22 C.32D.55答案 C解析 设直线x －y ＋5＝0与椭圆相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2，直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.由⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2＝1，∴b 2a 2＝14.故椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选C.6．已知椭圆x 22＋y 2＝1.(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(2)过A(2，1)的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程； (3)过点P(12，12)且被P 点平分的弦所在直线的方程．解析 (1)设斜率为2的直线的方程为y ＝2x ＋b.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，x 22＋y 2＝1，得9x 2＋8bx ＋2b 2－2＝0.由Δ＝(8b)2－4×9×(2b 2－2)＞0，得－3＜b ＜3.设平行弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 22＝－8b 2×9＝－4b 9，－43＜－4b 9＜43.设弦的中点坐标为(x ，y)，则x ＝x 1＋x 22＝－4b9.代入y ＝2x ＋b ，得x ＋4y ＝0(－43＜x ＜43)为所求轨迹方程．(2)设l 与椭圆的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，弦的中点为(x ，y)，则x 122＋y 12＝1，x 222＋y 22＝1.两式相减并整理，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.又∵x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，∴2x(x 1－x 2)＋4y(y 1－y 2)＝0. ∴x ＋2y·y 1－y 2x 1－x 2＝0.①由题意知y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，代入①，得x ＋2y·y －1x －2＝0.化简，得x 2＋2y 2－2x －2y ＝0.∴所求轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(夹在椭圆内的部分)．(3)将x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1代入(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，得y 2－y 1x 2－x 1＝－12.故所求的直线方程为2x ＋4y －3＝0.7．(1)设P 是椭圆x 2a2＋y 2＝1(a>1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ|最大值．(2)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→·PF 2→取值范围．解析 (1)依题意可设P(0，1)，Q(x ，y)，则|PQ|＝x 2＋（y －1）2.又因为Q 在椭圆上，所以x 2＝a 2(1－y 2)．|PQ|2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2＝(1－a 2)(y －11－a 2)2－11－a2＋1＋a 2. 因为|y|≤1，a>1，若a ≥2，则|11－a 2|≤1. 当y ＝11－a 2时，|PQ|取最大值a 2a 2－1a 2－1.若1<a<2，则当y ＝－1时，|PQ|取最大值2.(2)易知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)． 设P(x ，y)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y)·(3－x ，－y) ＝x 2＋y 2－3＝x 2＋1－x 24－3＝14(3x 2－8)． 因为x ∈[－2，2]，故当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→·PF 2→有最小值－2； 当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1. 所以PF 1→·PF 2→的取值范围为[－2，1]．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作安徽省阜阳三中2014级第一次调研考试理科数学命题人：赵艺川一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1不等式0121≤+-x x 的解集为 （ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 B ⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 2．若命题:,p x A B p ∈⋃⌝则是（ ） A ．x A B ∈⋂ B ．x A x B ∉∉或C ．x A B ∉⋂D ． x A x B ∉∉且 3若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．84. 下列命题中的假命题的是（ ）A ．1,20x x R -∀∈>B ．()2*,10x N x ∀∈->C ．,lg 1x R x ∃∈<D ．,tan 2x R x ∃∈=5．命题“若A B A =⋃，则B B A =⋂”的否命题是（ ）（A ）若A B A ≠⋃，则B B A ≠⋂ （B ） 若A B A =⋃，则B B A ≠⋂（C ）若B B A ≠⋂，则A B A ≠⋃ （D ）若A B A ≠⋃，则B B A =⋂6．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8下列选项中，使不等式21x x x ＜＜成立的x 的取值范围是( )A ．1-∞-（，）B ．10-（，）C ．01 （，）D ．1+∞（，） 9．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0－1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x －1＞0”C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题D ．若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题10．已知0,0>>b a ，若不等式ba mb a +≥+212恒成立，则m 的最大值等于 （ ） A ．10 B ．9 C ．8D ．711．设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题： p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2，p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分,把答案填在答题卡的相应横线上. 13已知命题p 、q ，如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，那么q 是p 的_______14若实数,x y 满足40x y +-≥，则226210z x y x y =++-+的最小值为_______15．若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．16.在ABC ∆中，有下列命题：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④若sin sin A B >，则A B >；⑤若A B >，则sin sin A B >. 其中恒成立的命题序号为______________三、解答题：本大题共6个小题，共70, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,解答应写在答题卡指定的区域内．17．（本小题满分12分） 已知集合}044{≤+-=x x x A ，}034{2≤-+-=x x x B ，求B A B A , 18、（本小题满分12分）甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x 10≤≤），每小时可获得利润是3100(5x 1)x+-元. （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围（6分）；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润（6分）.19（本小题满分12分） 已知4:223x p --≤≤ , 22:210(0)q x x m m -+-≤>, 若q p ⌝⌝是的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.20（本小题满分12分）(1)解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax (2)设常数a 0>，若2a 9x a 1x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 21、 （本小题满分12分）(1) 已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。

课时作业(十三)1．已知M(－2，0)，N(2，0)，||PM|－|PN||＝3，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．射线 D ．双曲线答案 D2．(2018·浙江)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2，0)，(2，0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0，2) 答案 B解析 ∵双曲线的方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上，∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．故选B.3．若P 是双曲线x 2－y 2＝16左支上一点，F 1，F 2分别是左、右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝( ) A ．±4 B ．4 C ．－8 D ．±8答案 C4．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0，3)，则k 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－653D.653 答案 A5．设F 1，F 2是双曲线x 216－y 220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离是( ) A ．1 B ．17 C ．1或17 D ．不存在答案 B解析 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8. 所以|9－|PF 2||＝8，所以|PF 2|＝1或17.因为|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时，|PF 1|＋|PF 2|＝10<|F 1F 2|， 不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去．所以|PF 2|＝17.6．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是( )A ．4B ．2 2C ．8D ．与m 有关答案 C 解析 |F 1F 2|＝2a 2＋b 2＝2（m 2＋12）＋（4－m 2）＝8.7．与两圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．一条直线上 C ．双曲线的一支上 D ．一个圆上答案 C解析 设动圆圆心为P ，半径为r ，圆x 2＋y 2＝1的圆心为O(0，0)，r 1＝1， 圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为M(4，0)，r 2＝2. 由题意知，|PM|＝r ＋r 2，|PO|＝r ＋r 1， 因为|PM|－|PO|＝r 2－r 1＝1<|OM|＝4，所以由双曲线定义知，动圆圆心为双曲线的一支．故选C.8．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1答案 D解析 依题意知⎩⎨⎧a>0，0<a 2<4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.9．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2，当点P 的纵坐标是12时，则P 点到坐标原点的距离是( ) A.62B.32C. 3 D ．2答案 A解析 根据题意可知动点P 轨迹方程为x 2－y 2＝1(x>0)．把y ＝12代入上式，得x 2＝54.∴P 点到原点距离为d ＝x 2＋y 2＝54＋14＝62. 10．(2016·全国乙卷，理)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－1，3) C ．(0，3) D ．(0，3)答案 A解析 由题意得(m 2＋n)(3m 2－n)>0，解得－m 2<n<3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n<3.11．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的________条件．答案 充分不必要解析 当k ＞9时，9－k ＜0，k －4＞0，方程表示双曲线． 当k ＜4时，9－k ＞0，k －4＜0，方程也表示双曲线．所以k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充分不必要条件．12．已知双曲线x 29－y 216＝1上的一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为________． 答案 9解析 设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，则||PF 1|－|PF 2||＝6. 设|PF 2|＝3，由3＜5知P 在右支上． ∴|PF 1|＝6＋3＝9.13．设点P 在双曲线x 29－y 216＝1上，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，则△F 1PF 2的周长等于________． 答案 22解析 由题意知|F 1F 2|＝29＋16＝10，||PF 2|－|PF 1||＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，∴|PF 1|＝3，|PF 2|＝9.∴△F 1PF 2的周长为3＋9＋10＝22.14．在△MNG 中，已知|NG|＝4.当动点M 满足条件sinG －sinN ＝12sinM 时，求动点M 的轨迹方程．解析 以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．∵sinG －sinN ＝12sinM ，∴由正弦定理，得|MN|－|MG|＝12×4.∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N ，G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． ∴2c ＝4，2a ＝2，即c ＝2，a ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝3， ∴动点M 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞0，且y ≠0)． 15．焦点在x 轴上的双曲线过点P(42，－3)，且点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．解析 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．因为双曲线过点P(42，－3)，所以32a 2－9b 2＝1.①又因为点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 解得c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 16．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解析 (1)椭圆的方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝ 5.故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2.故双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 在双曲线的右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝2 3. 又|MF 1|＋|MF 2|＝63，解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3. 又|F 1F 2|＝2c ＝25，所以在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长， 由余弦定理可得cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|＝（23）2＋（25）2－（43）22×23×25＝－215<0.所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2是钝角三角形．1．动点P 到点M(1，0)，N(－1，0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线答案 C解析 由|MN|＝2知P 点的轨迹是两条射线． 2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3答案 D解析 ∵a 2＝10，b 2＝2，∴c 2＝a 2＋b 2＝12. ∴c ＝23，故2c ＝4 3.3．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 答案 C解析 由a 2＝25，c 2＝49，b 2＝24.故选C.4．双曲线x 2n－y 2＝1(n ＞1)的两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4答案 B解析 设P 为双曲线右支上一点，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n.∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4(n ＋1)＝|F 1F 2|2. ∴∠F 1PF 2＝π2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝1.5．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左支上的一点，F 1，F 2为左、右焦点，焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标为( ) A ．－a B ．a C ．－c D ．c答案 A解析 如图，设圆与x 轴相切于M ，由平面几何知识，可得|F 2M|－|F 1M|＝|PF 2|－|PF 1|＝2a.∴M 点是双曲线的左顶点，其横坐标为－a.又圆心和M 点的横坐标相同，∴圆心的横坐标为－a.故选A.6．已知方程ax 2－ay 2＝b ，ab<0，则它表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的双曲线 B ．圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．椭圆答案 C7．若双曲线x 2－y 2＝1的左支上一点P(a ，b)到直线y ＝x 的距离为2，则a ＋b 的值为( ) A ．－12B.12 C ．－2 D ．2 答案 A解析 P 点在双曲线上，有a 2－b 2＝1. 即(a ＋b)(a －b)＝1，且到y ＝x 的距离为 2. 则|a －b|12＋（－1）2＝2，且a ＜0，b ＞0.所以a －b ＝－2，a ＋b ＝－12.8．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________． 答案 x 2－4y 2＝1解析 应用代入法，设M(x ，y)，则P(2x ，2y)，而P 点在双曲线x 24－y 2＝1上．代入整理，得x 2－4y 2＝1.9．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．答案 2110．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：①当1<t<4时，曲线C 表示椭圆；②当t>4或t<1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t<52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t>4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)． 答案 ②③④解析 ①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t)(t －1)<0，所以t<1或t>4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t>t －1>0，所以1<t<52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t<0，t －1>0，所以t>4.11．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A(1，4)，点P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值是________． 答案 9解析 设右焦点为F′，依题意，|PF|＝|PF′|＋4， 所以|PF|＋|PA|＝|PF′|＋4＋|PA|≥|AF ′|＋4＝5＋4＝9.12．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝25，经过点A(2，－5)，焦点在y 轴上； (2)过点A(3，2)和B(17，12)．解析 (1)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a>0，b>0)．由题设知，a ＝25，且点A(2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b 2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.(2)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m －4n ＝1，289m －144n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.所以双曲线的标准方程为x 2－y 212＝1. 13．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？ 解析 (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°＜α＜90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°＜α＜45°时，0＜1cosα＜1sinα，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°，它表示圆x 2＋y 2＝ 2. ③当45°＜α＜90°时，1cosα＞1sinα＞0，它表示焦点在x 轴上的椭圆． (3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1.(4)当90°＜α＜180°时，方程为y 21sin α－x 21－cosα＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程x 2＝－1，它不表示任何曲线．14．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同取值范围的k 值，分别指出方程所表示的曲线类型：(1)k ＝0，(2)k ＝1，(3)k<0，(4)0<k<1，(5)k>1.解析 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线．(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆． (3)当k<0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线．(4)当0<k<1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆．(5)当k>1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．15．如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求△F 1PF 2的面积． 解析 (1)双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6.又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x|＝6，解得x ＝10或x ＝22. 故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0.∴∠F 1PF 2＝90°.∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.。

课时作业(十)1．椭圆x 2＋8y 2＝1的短轴的端点坐标是( ) A ．(0，－24)，(0，24) B ．(－1，0)，(1，0) C ．(22，0)，(－22，0) D ．(0，22)，(0，－22)答案 A2．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5，3，0.8 B ．10，6，0.8 C ．5，3，0.6 D ．10，6，0.6答案 B解析 把椭圆的方程写成标准方程x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以2a ＝10，2b ＝6，ca ＝0.8.3．椭圆25x 2＋9y 2＝1的范围为( ) A ．|x|≤5，|y|≤3 B ．|x|≤15，|y|≤13C ．|x|≤3，|y|≤5D ．|x|≤13，|y|≤15答案 B解析 椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上，所以|x|≤15，|y|≤13.故选B.4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( ) A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D ．以上都不对答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝18，2c ＝6，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝5，b ＝4.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.故选C.5．若椭圆的一个焦点和短轴的两个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32C.33D ．以上都不正确答案 B解析 如图，c a ＝cos30°＝32.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k(k ＞0)具有( )A ．相同的长轴长B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的顶点答案 C解析 a 2k －b 2k a 2k＝a 2－b 2a 2＝c 2a 2.故选C.7．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22B.2－12C ．2－ 2 D.2－1答案 D解析 数形结合：令|F 1F 2|＝1，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝ 2. ∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝12＋1＝2－1.8．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.22B.33C.12D.13答案 B解析 由题意知P 点坐标为(－c ，b 2a )或(－c ，－b 2a2)．∵∠F 1PF 2＝60°，∴2c b 2a ＝3，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)，∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝33或e ＝－3(舍去)．9．已知椭圆2x 2＋y 2＝2的两个焦点为F 1，F 2，且B 为短轴的一个端点，则△F 1BF 2的外接圆方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝4 D ．x 2＋(y －1)2＝4答案 A解析 数形结合，△F 1BF 2为等腰直角三角形，原点为斜边中点．10．(2016·全国乙卷，文)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34答案 B解析 利用椭圆的几何性质列方程求离心率．不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc|b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B. 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 利用椭圆的定义及性质列式求解． 由e ＝33，得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，即a ＝3，代入①得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.12．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8答案 C解析 由椭圆x 24＋y 23＝1，可得点F(－1，0)，点O(0，0)．设P(x ，y)，－2≤x ≤2，则OP →·FP→＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3(1－x 24)＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.13．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215，0)，则椭圆的标准方程是________． 答案 x 280＋y 220＝1解析 由题知，焦点在x 轴上，设方程为x 24a 2＋y 2a 2＝1，∴4a 2－a 2＝(215)2，∴a 2＝20.∴方程为x 280＋y 220＝1. 14．若椭圆x 2k ＋4＋y 24＝1的离心率为12，则k ＝________．答案 43或－1解析 当焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋4，b 2＝4，所以c 2＝k. 因为e ＝12，所以c 2a 2＝14，即k k ＋4＝14，所以k ＝43.当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝k ＋4，所以c 2＝－k. 因为e ＝12，所以c 2a 2＝14，所以－k 4＝14，所以k ＝－1.综上可知，k ＝43或k ＝－1.15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍，且过(3，－1)； (2)椭圆过点(3，0)，离心率e ＝63. 解析 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)．由已知得a ＝3b ，且椭圆过点(3，－1)， ∴32（3b ）2＋1b 2＝1或1（3b ）2＋32b2＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18，b 2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝82.b 2＝829.故所求方程为x 218＋y 22＝1或y 282＋x 2829＝1.(2)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a ＝3，c a ＝63，∴c ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. ∴椭圆的方程为x 29＋y 227＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.16．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解析 椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m>0)可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1. 因为m 2<4m 2，所以1m 2>14m2.所以椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .所以椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为(－32m ，0)，(32m，0)，顶点坐标为(1m，0)，(－1m，0)，(0，－12m)，(0，12m)．离心率e＝ca＝32m1m＝32.1．已知P是椭圆x24＋y23＝1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若PF1→·PF2→|PF1→|·|PF2→|＝12，则△F1PF2的面积为()A.33 B. 3C．2 3 D．3 3答案 B解析设∠F1PF2＝θ，则cosθ＝12.∴S△F1PF2＝b2·tanθ2＝ 3.2.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，过F2的直线与圆x2＋y2＝b2相切于点A，并与椭圆C交于不同的两点P，Q，如图，若A，F2为线段PQ的三等分点，则椭圆的离心率为()A.23 B.33C.53 D.73答案 C解析连接PF1，由题意知OA＝b，所以|PF1|＝2b，所以|PF2|＝2a－2b，所以|AF2|＝a－b.在Rt△OAF2中，有b2＋(a－b)2＝c2，①将b2＝a2－c2代入①整理得3a2－3c2－2a a2－c2＝0，即3－3e 2＝21－e 2，即9e 4－14e 2＋5＝0， 解得e 2＝59或e 2＝1(舍去)，所以e ＝53.故选C. 3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，左焦点为F 1，右焦点为F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2为等边三角形，则此椭圆的离心率为( ) A.5＋12B.5－12C.12 D ．2－ 3答案 C4．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3 B.5153或15C. 5D.253或3 答案 D解析 若焦点在x 轴上，则a 2＝5，b 2＝m. 又e ＝105，所以e ＝ca＝1－b 2a2＝1－m 5＝105，所以m ＝3.若焦点在y 轴上，则a 2＝m ，b 2＝5. 所以e ＝ca＝1－b 2a2＝1－5m ＝105，所以m ＝253.故选D. 5．已知点(m ，n)在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( ) A ．[4－23，4＋23] B ．[4－3，4＋3] C ．[4－22，4＋22] D.[4－2，4＋2]答案 A 解析 由8x 2＋3y 2＝24，得x 23＋y 28＝1. ∴－3≤m ≤3，∴4－23≤2m ＋4≤4＋2 3.6．F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，若OP ∥AB ，如图，则离心率e ＝______．答案22解析 ∵OP ∥AB ，∴△OPF ∽△ABO.∴PF BO ＝FOOA ，即b 2a b ＝c a. ∴b ＝c ，∴a ＝2c.∴e ＝c a ＝c 2c ＝22.7．在△ABC 中，AB ＝BC ，cosB ＝－718，若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝________． 答案 38解析 设AB ＝BC ＝m>0，则由cos B ＝－718，得cos B ＝m 2＋m 2－AC 22m 2＝－718，AC 2＝25m 29，AC ＝5m 3，因此该椭圆的离心率e ＝|AB||CA|＋|CB|＝m 5m 3＋m ＝38.8．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________．答案 x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1解析 由条件知，2a ＝20，c a ＝35，∴a ＝10，c ＝6，b ＝8.故标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝19．已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，椭圆的方程为________．答案 x 236＋y 220＝1或x 236＋y 252＝1解析 c ＝4，然后分已知两顶点是长轴顶点还是短轴顶点进行讨论．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，左焦点为F ，点P 为该椭圆上任意一点．若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝12，则AP →·FP →的取值范围是________．答案 [0，12]解析 因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a ＝2. 因为离心率e ＝12，所以c ＝1，b ＝a 2－c 2＝3，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，所以点A 的坐标为(－2，0)，点F 的坐标为(－1，0)．设P(x ，y)，－2≤x ≤2，则AP →·FP →＝(x ＋2，y)·(x ＋1，y)＝x 2＋3x ＋2＋y 2.由椭圆的方程得y 2＝3－34x 2，所以AP →·FP →＝x 2＋3x －34x 2＋5＝14(x ＋6)2－4.因为x ∈[－2，2]，所以AP →·FP →∈[0，12]．11．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2＝π2.记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，求该椭圆的离心率．解析 依题知，F 1P ⊥F 2P ，所以△F 1QO ∽△F 1F 2P ，因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，所以S △F 1OQ S △F 1F 2P ＝13，所以OF 1F 1P ＝13.设椭圆的焦距为2c ，则F 1P ＝3c ，F 2P ＝F 1F 22－F 1P 2＝c ，由椭圆的定义可得3c ＋c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23＋1＝3－1.12．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解析 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴顶点(0，10)，(0，－10)，短轴顶点(－8，0)，(8，0)； ④离心率：e ＝35.13．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆M 上的任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围为[12c 2，3c 2](其中c 2＝a 2－b 2)，求椭圆离心率e 的取值范围．解析 ∵P 是椭圆上一点，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a. ∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2|≥2|PF 1|·|PF 2|.即|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝(2a2)2＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．∴12c 2≤a 2≤3c 2，∴13≤c 2a 2≤2. ∴13≤e 2≤2.∵e>0，∴33≤e ≤ 2. 又∵0<e<1，∴33≤e<1. ∴椭圆离心率的取值范围是[33，1)．。

第一章章末测试卷(A)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则()A．p或q为假B．q假C．q真D．p假答案 B解析綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．故选B.2．若命题p：x＝3且y＝4，则綈p()A．x≠3或y≠4 B．x≠3且y≠4C．x＝3或y≠4 D．x≠3且y＝4答案 A3．命题p：“若a≥b，则a＋b>2 019且a>－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2 019且a≤－b，则a<b B．若a＋b≤2 019且a≤－b，则a>b C．若a＋b≤2 019或a≤－b，则a<b D．若a＋b≤2 019或a≤－b，则a>b答案 C解析根据逆否命题的定义可得命题p：“若a≥b，则a＋b>2 019且a>－b”的逆否命题是：“若a＋b≤2 019或a≤－b，则a<b”．故选C.4．已知命题：p：∃n∈N，2n>1 000，则綈p为()A．∀n∈N，2n≤1 000 B．∀n∈N，2n>1 000C．∃n∈N，2n≤1 000 D．∃n∈N，2n<1 000答案 A解析命题p的否定为：∀n∈N，2n≤1 000.5．(2015·陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝0，反之由cos2α＝0⇒(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝0⇒sin α＝±cosα.故选A. 6．若x ∈R ，则“－2<x<2”是“lg(x 2－1)<0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 解不等式lg(x 2－1)<0可得{x|－2<x<－1或1<x<2}，是{x|－2<x<2}的真子集，故“－2<x<2”是“lg(x 2－1)<0”成立的必要不充分条件．故选B. 7．下面四个条件中，使a>b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a>b ＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3答案 A解析 a>b ＋1⇒a>b ，a>b a>b ＋1. 8．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sinA ＝sinB ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0 C ．若lgx 2＝0，则x ＝1 D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<3 答案 B解析 A 中，若sinA ＝sinB ，不一定有A ＝B ，故A 为假命题；B 显然是真命题；C 中，若lgx 2＝0，则x 2＝1，解得x ＝±1，故C 为假命题；D 中，解1<4x 0<3，得14<x 0<34，故不存在这样的x 0∈Z ，故D 为假命题．故选B.9．(2019·北京，理)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 ∵A ，B ，C 三点不共线，∴|AB →＋AC →|>|BC →|⇔|AB →＋AC →|>|AB →－AC →|⇔|AB →＋AC →|2>|AB →－AC →|2⇔AB →·AC →>0⇔AB →与AC →的夹角为锐角．故“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C. 10．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0； q ：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p)∧(綈q) C ．(綈p)∧q D ．p ∧(綈q)答案 D解析 先判断命题p 和q 的真假，再判断四个选项中含有简单逻辑联结词的命题的真假． 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q ，綈p 为假命题，綈q 为真命题，(綈p)∧(綈q)，(綈p)∧q 为假命题，p ∧(綈q)为真命题．故选D.11．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由指数函数的性质知，若3a >3b >3，则a>b>1，由对数函数的性质，得log a 3<log b 3；反之，取a ＝12，b ＝13，显然有log a 3<log b 3，此时0<b<a<1，于是3>3a >3b ，所以“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．故选B.12．已知p ：|x ＋1|>1，q ：x>a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，0] C ．(0，＋∞) D ．[0，＋∞) 答案 D解析 方法一：由|x ＋1|>1得x<－2或x>0，则綈p ：－2≤x ≤0，綈q ：x ≤a ，设A ＝{x|－2≤x ≤0}，B ＝{x|x ≤a}，由题意AB ，所以a ≥0.故选D.方法二：因为綈p 是綈q 的充分不必要条件， 所以q 是p 的充分不必要条件．又p ：|x ＋1|>1⇒x<－2或x>0，所以{x|x>a}{x|x<－2或x>0}． 所以a ≥0.故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．如果否命题为“若x ＋y ≤0，则x ≤0或y ≤0”，那么相应的原命题是________． 答案 若x ＋y>0，则x>0且y>0解析 否命题是以原命题的条件的否定作为条件，结论的否定作为结论，故原命题为：“若x ＋y>0，则x>0且y>0”．14．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )在直线y ＝2x ＋1上，所以a n ＝2n ＋1，则数列{a n }为等差数列；而{a n }为等差数列，例如a n ＝3n －5是以3为公差，以－2为首项的等差数列，点(n ，a n )却不都在直线y ＝2x ＋1上．15．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的________条件．答案 充分不必要 16．给出如下命题：①“a ≤3”是“∃x 0∈[0，2]，x 02－a ≥0”的充分不必要条件；②命题“∀x ∈(0，＋∞)，2x >1”的否定是“∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0≤1”； ③若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ①②解析 对于①，由∃x 0∈[0，2]，x 02－a ≥0，可得a ≤4，因此“a ≤3”为“∃x 0∈[0，2]，x 02－a ≥0”的充分不必要条件，①正确；易知②正确；对于③，若“p 且q ”为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，所以③错误．故填①②.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)写出命题：“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． 解析 (1)原命题为真，逆命题：“若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”，是真命题； 否命题“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2”，是真命题；逆否命题：“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，是真命题． 18．(12分)写出下列命题的否定． (1)∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋2≤0； (2)有的三角形是等边三角形； (3)所有实数的绝对值是正数； (4)菱形是平行四边形．解析 (1)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0； (2)所有的三角形都不是等边三角形； (3)有些实数的绝对值不是正数； (4)有的菱形不是平行四边形．19．(12分)已知集合P ＝{x|－1<x<3}，S ＝{x|x 2＋(a ＋1)x ＋a<0}，且x ∈P 的充要条件是x ∈S ，求实数a 的值．解析 因为S ＝{x|x 2＋(a ＋1)x ＋a<0}＝{x|(x ＋1)(x ＋a)<0}， P ＝{x|－1<x<3}＝{x|(x ＋1)(x －3)<0}， x ∈P 的充要条件是x ∈S ，所以a ＝－3.20．(12分)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0.命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解析 由题意得p ：－2≤x ≤10.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴p ⇒q ，q p.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m>10，∴⎩⎨⎧m ＞3，m ≥9，或⎩⎨⎧m ≥3，∴m ＞9， 且1－m ≤1＋m ，即m ≥0， 所以实数m 的取值范围为{m|m ≥9}．21．(12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，q ：不等式x 2－2x ＋m>0的解集为R .若命题“p ∨q ”是假命题，求实数m 的取值范围． 解析 若方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，则m 2－4≥0. ∴m ≤－2或m ≥2.若不等式x 2－2x ＋m>0的解集为R ，则4－4m<0.∴m>1.又“p ∨q ”是假命题，∴p ，q 都是假命题．∴⎩⎨⎧－2<m<2，m ≤1.∴－2<m ≤1. 所以实数m 的取值范围为{m|－2<m ≤1}． 22．(12分)已知函数f(x)＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m 0，使不等式m 0＋f(x)>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f(x 0)>0成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)不等式m 0＋f(x)>0可化为m 0>－f(x)， 即m 0>－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m 0>－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立， 只需m 0>－4即可．故存在实数m 0使不等式m 0＋f(x)>0对于任意x ∈R 恒成立，此时需m 0>－4. (2)不等式m －f(x 0)>0可化为m>f(x 0)， 若存在一个实数x 0使不等式m>f(x 0)成立， 只需m>f(x 0)min . 又f(x 0)＝(x 0－1)2＋4， 所以f(x 0)min ＝4，所以m>4.所以所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题 B ．命题“若x>1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题 答案 A解析 A 中其逆命题为“若x>|y|，则x>y ”，为真命题，B 中否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，当x ＝－2时，命题不成立，C 中否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”当x ＝－2时，命题不成立，D 中，原命题当x ＝－2时，不成立，故其逆否命题也为假命题．故选A. 2．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 条件p ：|x ＋1|>2⇔p ：{x|x>1或x<－3}，所以綈p ：{x|－3≤x ≤1}． 条件q ：5x －6>x 2⇔q ：{x|2<x<3}，所以綈q ：{x|x ≥3或x ≤2}．因为{x|－3≤x ≤1}{x|x ≥3或x ≤2}，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．故选A. 3．命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tanα≠1B ．若α＝π4，则tanα≠1C ．若tanα≠1，则α≠π4D ．若tanα≠1，则α＝π4答案 C解析 原命题的逆否命题为“若tanα≠1，则α≠π4”．故选C.4．给出下列四个命题：①若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2 ②若－2≤x<3，则(x ＋2)(x －3)≤0 ③若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0④若x ，y ∈N *，x ＋y 是奇数，则x ，y 中一个是奇数，一个是偶数，那么( ) A ．①的逆命题为真 B ．②的否命题为真 C ．③的逆否命题为假 D ．④的逆命题为假 答案 A解析 ②的逆命题：若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x<3为假，故②的否命题为假． ③的原命题为真，故③的逆否命题为真． ④的逆命题显然为真．5．已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1<0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2]解析 因为p ∧q 为假命题，所以p ，q 中至少有一个为假命题．而命题p ：“∃m ∈R ，m ＋1<0”，为真命题，所以命题q ：“∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立”，必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2.又命题p：∃m∈R，m＋1<0为真命题，所以m<－1.故综上可知m≤－2.教师备选卷：第一章章末测试卷(B)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，则A与B的关系是() A．A B B．B AC．A＝B D．A B且B A答案 A2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题答案 B3．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lgx＝0 B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0答案 C4．(2019·北京，文)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析当b＝0时，f(x)＝cosx＋bsinx＝cosx，f(x)为偶函数；当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)对任意的x恒成立，f(－x)＝cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx－bsinx，cosx＋bsinx＝cosx－bsinx，得bsinx＝0对任意的x恒成立，所以b＝0.所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C.5．已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：∀x∈(0，1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)答案 C解析由指数函数的图象与性质可知，当x<0时，2x>3x，故p为假命题；由对数函数的图象与性质知，∀x∈(0，1)，log2x<0恒成立，故q为真命题．所以(綈p)∧q为真命题．故选C.6．下列命题是真命题的是()A．a>b是ac2>bc2的充要条件B．a>1，b>1是ab>1的充分条件C．∃x0∈R，ex0≤0 D．若p∨q为真命题，则p∧q为真答案 B解析A项，当c＝0时，ac2＝bc2，故A为假命题；C项，因为e x>0恒成立，故C为假命题；D项，当p，q一真一假时，p∨q为真，而p∧q为假，故D为假命题；而B中，a>1，b>1⇒ab>1，为真命题．故选B.7．下列命题错误的是()A．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”B．“x＝2”是“x2－5x＋6＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0答案 C8．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是() A．a<0 B．a>0C．a<－1 D．a>1答案 C9．下列命题中正确的是()A．“m＝12”是“直线(m－75)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互平行”的充分不必要条件B．“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的充分条件C．已知a，b，c为非零向量，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的充要条件D ．若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0 答案 D10．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4答案 C11．有下列命题：①p 1：“若x ＋y>0，则x>0且y>0”的否命题； ②p 2：“矩形的对角线相等”的否命题；③p 3：“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题； ④p 4：“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①④ 答案 C解析 ①中p 1的逆命题为“若x>0且y>0，则x ＋y>0”为真，故否命题为真； ②中p 2的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③中p 3的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1”．∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎨⎧m>0，Δ<0，即m>1.∴③是真命题；④中p 4为真，逆否命题也为真．12．命题p ：“∀x ∈[1，2]，2x 2－x －m>0”，命题q ：“∃x 0∈[1，2]，log 2x 0＋m>0”，若“p ∧q ”为真命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－1，＋∞) C ．(－1，1) D ．[－1，1]答案 C解析 若p 为真，则m<2x 2－x 在x ∈[1，2]上恒成立，令f(x)＝2x 2－x ，x ∈[1，2]， 因为f(x)＝2x 2－x ＝2(x －14)2－18在[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1.所以m<1.对命题q ，因为x 0∈[1，2]时，log 2x 0∈[0，1]，所以－log 2x 0∈[－1，0]．所以由log 2x 0＋m>0得m>－log 2x 0.若q 为真，则m>－1，因为p ∧q 为真，所以p 真且q 真．所以⎩⎨⎧m<1，m>－1，所以－1<m<1.故选C. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知命题p ：“若a>b>0，则log 12a<log 12b ＋1.”则命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为________．答案 214．不等式kx 2＋x ＋k>0恒成立的充要条件是________．答案 k>1215．命题p ：∃α0∈R ，sin α0>1是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)． 答案 特称命题 假 ∀α0∈R ，sin α≤1 真16．已知在实数a ，b 满足某一前提条件时，命题“若a>b ，则1a <1b”及其逆命题，否命题和逆否命题都是假命题，则实数a ，b 应满足的前提条件是________．答案 ab<0解析 由题意知ab ≠0，当ab>0时，1a <1b ⇔ab ·1a <1b·ab ⇔b<a ，所以四种命题都是正确的．当ab<0时，若a>b ，则必有a>0>b ，故1a >0>1b ，所以原命题是假命题；若1a <1b ，则必有1a <0<1b，故a<0<b ，所以原命题的逆命题也是假命题．由命题的等价性，可知四种命题都是假命题，故填ab<0.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x ∈{x|x>0}，x ＋1x>2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解析 (1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为假命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，且为真命题．18．(12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x ＝4或x ＝6，则(x －4)(x －6)＝0；(3)正方形是菱形又是矩形．解析 (1)逆命题：如果会使用电脑，那么就学好了数学；(假)否命题：如果学不好数学，那么就不会使用电脑；(假)逆否命题：如果不会使用电脑，那么就学不好数学．(假)(2)逆命题：若(x －4)(x －6)＝0，则x ＝4或x ＝6；(真)否命题：若x ≠4且x ≠6，则(x －4)(x －6)≠0；(真)逆否命题：若(x －4)(x －6)≠0，则x ≠4且x ≠6.(真)(3)逆命题：既是菱形又是矩形的四边形是正方形；(真)否命题：不是正方形的四边形就不是菱形或者不是矩形；(真)逆否命题：不是菱形或者不是矩形的四边形就不是正方形．(真)19．(12分)已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)．若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解析 因为p ：－2≤x ≤10，所以綈p ：A ＝{x|x>10或x<－2}．由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)，解得1－m ≤x ≤1＋m(m>0)，所以綈q ：B ＝{x|x>1＋m 或x<1－m}(m>0)．由綈p 是綈q 的必要而不充分条件可知B A.所以⎩⎨⎧m>0，1－m ≤－2，1＋m>10，或⎩⎨⎧m>0，1－m<－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.所以满足条件的m 的取值范围为[9，＋∞)．20．(12分)已知c>0，设命题p ：y ＝c x 为减函数，命题q ：函数f(x)＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围．解析 由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可． 若p 真，由y ＝c x 为减函数，得0<c<1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知，f(x)＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2. 若q 真，则1c <2，即c>12. 若p 真q 假，则0<c<1，c ≤12，所以0<c ≤12； 若p 假q 真，则c ≥1，c>12，所以c ≥1. 综上可得，c ∈(0，12]∪[1，＋∞)． 21．(12分)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明 充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中得ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b)＝0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0.∴有a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.22．(12分)已知命题：“∀x ∈{x|－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m<0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a)(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析 (1)命题：“∀x ∈{x|－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m<0成立”是真命题，得x 2－x －m<0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m>(x 2－x)max ，得m>2，即B ＝{m|m>2}．(2)不等式(x －3a)(x －a －2)<0.①当3a>2＋a ，即a>1时，解集A ＝{x|2＋a<x<3a}，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)．②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B成立．③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a<x<2＋a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B成立，∴3a≥2，此时a∈[23，1)．综上①②③可得a∈[23，＋∞)．1．若綈A⇔綈B，綈C⇒綈B，则A是C的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由已知可得A⇔B，B⇒C，∴A⇒C.2．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数答案 A解析由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．故选A.3．设集合A＝{x|xx－1<0}，B＝{x|0<x<3}，那么“m∈A”是“m∈B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A4．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z.若“p且q”与“綈q”同时为假命题，则满足条件的x为()A．{x|x≥3或x≤－1，x∉Z} B．{x|－1≤x≤3，x∉Z}C．{－1，0，1，2，3} D．{0，1，2}答案 D5．在横线上分别填上由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的复合命题的真假：p：3×3＝6，q：3＋3＝6，则p∨q________，p∧q________，綈p________．答案真假真6．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；(3)等圆的面积相等、周长相等．解析(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是非p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，时，一元二次方程没有实数根，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－14因为非p是真命题，所以原命题是一个假命题．(2)这一命题的否定形式是非p：对所有实数x，都有x2＋x＋1>0；利用配方法可以证得非p是一个真命题，所以原命题是一个假命题．(3)这一命题的否定形式是非p：“存在一对等圆其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知非p是一个假命题，所以原命题是一个真命题．。

兴化市楚水实验学校2015—2016学年度第一学期第一次月度调研测试 高二数学参考答案2015年10月1.若y x ≥，则22y x ≥ 2.x y 3±= 3.(4,0)4.充分不必要5.2146.37.[]0,31311.)2,1(12.(]1,∞-13.314514.55215．【解析】命题p ：方程22124x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆403m ∴<<， 命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e 015m ∴<<，p 真q 假时，m 的取值范围为空集；p 假q 真，则4153m ≤<，综上4153m ≤< 16．解：解：（1）由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+3314922ac b a ，又222c b a +=，解得⎪⎩⎪⎨⎧==101522b a ， 所以椭圆标准方程为1101522=+y x ……………7分 （2）由题意知双曲线标准方程为：12222=-by a x ，所以43=a b ，5c =， 又222b ac +=，解得4,3a b ==，所以所求双曲线标准方程为221169x y -=.……………14分17．解:取抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴， 建立直角坐标系，c （4，-4），………2分设抛物线方程x 2=-2py （p ＞0），将点C 代入抛物线方程得p =2， ∴抛物线方程为x 2=-4y ，………6分 行车道总宽度AB =6m ，∴将x =3代入抛物线方程，y =-2.25m ，………10分 ∴限度为6-2.25-0.5=3.25m则计算车辆通过隧道的限制高度是3.25米………14分18．解：联立221(2)14y k x x y -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩化简得222(14)8(21)161680()k x k k x k k -+--+-=*………4分 1.当211402k k -≠≠±，即时，=-64+320k ∆≠11-22k k ∆≠f p0即且时，方程（）有两个不等的解；* l C 与有两个交点………8分2.当2140k -=时，即12k =±12k =若，方程（）无解* 1-2k =若，方程（）有唯一解；*12k l C ∴=-时，与有一个交点……12分3.12k l C ≥同理时，与无交点………16分19.解：（1）解法1：在12Rt AF F ∆中，2130,AF F ∠=oQ11223tan 30,AF F F ∴==o 21432,AF AF ==1212222423F F c c e a AF AF ∴====++．……………5分解法2：12Rt AF F ∆中，2130,AF F ∠=oQ 112tan 30,AF F F ∴==o则()A c -，代入22221x y a b+=并利用222b a c =-化简整理得 42243230a a c c --=，即2222(3)(3)0a c a c --=， a c >Q，a ∴=，3c e a ∴==． （2）由椭圆定义知12122AF AF BF BF a +=+=， ∴1ABF ∆的周长为4a，∴4a a =∴=则b =故椭圆C 的标准方程为22132x y +=．……………10分 （3）解法1：由（1）知,a =则b =，于是椭圆方程可化为2222132x y c c+=，即222236x y c +=，设直线2AF的方程为)y x c =-，代入222236x y c +=化简整理得 223250x cx c --=，x c ∴=-或53x c =，则点B 的横坐标为53c ，∴点B 到直线1AF 的距离为58()33c c c --=， ∴1ABF ∆的面积为1823c ⋅=解得3c =，a b ∴==故椭圆C 的标准方程为2212718x y +=．……………16分解法2：设2BF t =，则12AF a t t =-=-，在12BF F ∆中由余弦定理得：22212122122cos150BF BF F F BF F F =+-⋅⋅o ,即222)(2)22t t c t c -=++⋅，化简整理得t =，∴399AB c c c =+= 又∵1AF x ⊥轴，2130AF F ∠=o，∴点1F 到直线AB 的距离为12sin 30F F c =o，∴1ABF ∆的面积为12c ⋅=解得3c =，a b ∴==故椭圆C 的标准方程为2212718x y +=． 20.解：（1）2224,,a b c a b c ===+，28b ∴=∴椭圆方程为221168x y +=…5分 （2）(4,0),(4,0)C D -，（法一）设011(4,),(,)M y P x y ，则110(,),(4,)OP x y OM y →→==。

课时作业(十六)1．(2019·课标全国Ⅰ，文)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( ) A ．2sin40° B ．2cos40° C.1sin50° D.1cos50°答案 D解析 根据题意可知－b a ＝tan130°，所以b a ＝tan50°＝sin50°cos50°，离心率e ＝1＋b 2a2＝1＋sin 250°cos 250°＝cos 250°＋sin 250°cos 250°＝1cos 250°＝1cos50°.2．已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7 D.56或7 答案 C 解析 ∵4，m ，9构成等比数列，∴m 2＝36，m ＝±6.当m ＝6时，圆锥曲线方程为x 26＋y 2＝1，其离心率为306；当m ＝－6时，圆锥曲线方程为y 2－x 26＝1，其离心率为7.故选C.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 答案 D解析 由于双曲线右焦点F(2，0)与圆心重合，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则右焦点到渐近线的距离b ＝3，又a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D.4．(2017·课标全国Ⅰ，文)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B.12 C.23 D.32答案 D解析 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F(2，0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y P 23＝1，解得y P ＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因为A(1，3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF|×1＝12×3×1＝32.故选D.5．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.43 B.53 C.233 D. 3答案 C解析 设|MF 1→|＝r 1，|MF 2→|＝r 2，由条件知道MF 1⊥MF 2， ∴r 12＋r 22＝(2c)2＝12，① |r 1－r 2|＝2a ＝2.② 由①②，得r 1r 2＝4.设所求距离为h ，则2ch ＝r 1r 2，∴h ＝233.6．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1||PF 2|＝2ac(c ＝a 2＋b 2)，则双曲线的离心率为( ) A.1＋52B.1＋32C ．2D.1＋22答案 A解析 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴∠F 1PF 2＝90°. ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2， 即4a 2＋4ac ＝4c 2，∴(c a )2－c a －1＝0.∴c a ＝1＋52.7．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P(3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．4答案 C解析 ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，∴b 2＝1，即b ＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1，焦点F 1(－2，0)，F 2(2，0)．∵点P(3，y 0)在双曲线上，∴y 02＝1，∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0)＝y 02－1＝0.故选C.8．若点O 和点F(－2，0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( ) A ．[3－22，＋∞) B ．[3＋23，＋∞) C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)答案 B 解析∵F(－2，0)为双曲线左焦点，∴c ＝2，∴a 2＝c 2－b 2＝3，故双曲线方程为x 23－y 2＝1，设点P 的坐标为(x 1，y 1)(x 1≥3)，则x 123－y 12＝1.∴OP →·FP →＝(x 1，y 1)·(x 1＋2，y 1)＝x 12＋2x 1＋y 12＝x 12＋2x 1＋x 123－1＝4x 123＋2x 1－1.∵函数f(x 1)＝4x 123＋2x 1－1在[3，＋∞)上单调递增，故f(x)≥4（3）23＋23－1＝3＋2 3.应选B.9．如图，B 地在A 地的正东方向4千米处，C 地在B 地的北偏东30°方向2千米处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2千米．现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B ，C 两地转运货物．经测算，从M 到B ，C 两地修建公路的费用都是a万元/千米，那么修建这两条公路的总费用最低是()A ．(7＋1)a 万元B ．(27－2)a 万元C ．27a 万元D ．(7－1)a 万元答案 B解析 因为|MB|＝|MA|－2，且要让|MB|＋|MC|最小，只要让|MA|＋|MC|－2最小，连接AC 与曲线PQ 的交点即为所求，解△ABC.∠ABC ＝120°，|AB|＝4，|BC|＝2由余弦定理求得|AC|＝27－2.10．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2答案 C解析 由题意，得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，F(c ，0)，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a .不妨设B(c ，b 2a )，C(c ，－b 2a )，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得ba＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.11．过双曲线x 24－y 23＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN|的值为________． 答案 812．设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是________． 答案 x 22＋y 2＝1解析 双曲线焦点为(±1，0)．设椭圆的离心率为e 1，双曲线离心率为e 2，则e 2＝112＝ 2.∴e 1×2＝1，∴e 1＝22.∴22＝c a ＝1a，∴a ＝ 2. ∴b 2＝(2)2－1＝1.∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1. 13．给出问题：F 1，F 2是双曲线x 216－y 220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离，某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||＝8，即|9－|PF 2||＝8，得|PF 2|＝1或17.该学生的解答是否正确，________．若正确，请将他的解题依据填在后面空格内；若不正确，将正确结果填在后面空格内．________． 答案 不正确 17解析 a 2＝16，b 2＝20，c 2＝36，∴a ＝4，c ＝6，|PF 2|min ＝2＞1，故|PF 2|＝17. 14．求下列双曲线的标准方程． (1)顶点A(0，6)，离心率为1.5；(2)双曲线经过点P(10，－33)，且它的渐近线方程为3x ＋5y ＝0. 解析 (1)∵顶点为(0，6)，设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，∴a ＝6.∵e ＝1.5，∴c ＝a·e ＝6×1.5＝9. 故所求的双曲线方程为y 236－x 245＝1.(2)∵渐近线的方程为y ＝－35x ，得渐近线上横坐标为10的点P′为P′(10，－6)，∵－33＞－6，∴双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵双曲线过P(10，－33)，∴有102a 2－（－33）2b 2＝1.①又∵b a ＝35.②由①②可得a 2＝25，b 2＝9. 故所求双曲线方程为x 225－y 29＝1.15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为 3.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)当a ＝1时，若直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求实数m 的值．解析 (1)由题意得e ＝c a ＝3，∴c 2＝3a 2，∴b 2＝c 2－a 2＝2a 2，即b 2a 2＝2，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x.(2)当a ＝1时，双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M(x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x －y ＋m ＝0，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)， ∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m.∵点M(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，∴m 2＋(2m)2＝5，∴m＝±1.1．(2015·课标全国Ⅱ，文)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________． 答案 x 24－y 2＝1解析 方法一：因为双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－（3）2b 2＝1，b a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1. 方法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ>0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.2．如图(甲)，在面积为18的△ABC 中，AB ＝5，双曲线E 过点A ，且以B ，C 为焦点．已知AB →·AC →＝27，CA →·CB →＝54.(1)建立适当的坐标系，求双曲线E 的方程；(2)是否存在过点D(1，1)的直线l ，使l 与双曲线E 交于不同的两点M ，N ，且DM →＋DN →＝0.如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．解析 (1)以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中点O 为原点，线段BC 的中垂线为y 轴建立坐标系如图(乙)．设∠BAC ＝α，∠ACB ＝β，|AC|＝m ，|BC|＝n ，则⎩⎨⎧AB →·AC →＝5mcosα＝27，S△ABC ＝12×5msinα＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧5mcosα＝27，5msin α＝36. 两式平方相加，得m ＝9.又⎩⎨⎧CA →·CB →＝9ncosβ＝54，S △ABC＝12·9nsinβ＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧9ncosβ＝54，9nsin β＝36. 两式平方相加，得n ＝213. 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由双曲线的定义，得2a ＝||AC|－|AB||＝|m －5|＝4.∴a ＝2. 又2c ＝n ＝213，∴c ＝13. ∴b 2＝c 2－a 2＝9.∴双曲线E 的方程为x 24－y 29＝1.(2)假设存在满足条件的直线l ，使l 与双曲线E 交于不同两点M ，N ，并设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，且x 1≠x 2.由DM →＋DN →＝0，知点D 是线段MN 的中点． ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.由于M ，N 都在双曲线E 上，∴⎩⎨⎧x 124－y 129＝1，x 224－y 229＝1.将两式相减，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝94. 此时直线l 的方程为y －1＝94(x －1)，即9x －4y －5＝0.但由⎩⎪⎨⎪⎧x 24－y 29＝1，9x －4y －5＝0，⇒45x 2－90x ＋169＝0⇒Δ＜0.∴不存在满足条件的直线l.3．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标． 解析 (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc|b 2＋12＝3，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0， 将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12， ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 0212－y 023＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．4．P(x 0，y 0)(x 0≠±a)是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解析 (1)点P(x 0，y 0)(x 0≠±a)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 02a 2－y 02b 2＝1，由题意，可得y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15. ∴a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.(*)设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 32－5y 32＝5b 2. ∴(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简，得λ2(x 12－5y 12)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1＋x 2－5y 1y 2)＝5b 2.① 又A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在双曲线上， ∴x 12－5y 12＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由(*)式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c)(x 2－c) ＝－4x 1x 2＋5c(x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2.② 由①②，得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.。

汈A1.11．1.1命题要点1命题：能判断真假的语句叫做命题．要点2真命题：判断为真的命题叫真命题．要点3假命题：判断为假的命题叫假命题．要点4命题的表示：一般用小写英文字母表示，如p，q，r，…1．如何判定一个语句是否是命题？答：①并非所有陈述句都是命题，凡是在陈述句中含有比喻，形容词等词义模糊不清的(即美丽”，“小红长得很．美”，就不不能判断真假)，都不是命题，如：“小红长得象天仙一样．．．．．是命题．②(在陈述句中)有一些科学猜想，如“哥德巴赫猜想”，虽然现在还不能确定其真假，但随着时间的推移，总能确定其真假，所以它们也是命题．③疑问句(如：明天会放假吗？)，祈使句(如：希望明天会放假)，感叹句(如：放假真好呀！)都不是命题.题型一命题的概念例1判断下列语句是不是命题．(1)x2－1＝0，(2)x2＋1＝0，(3)y＝x2(x∈R)是幂函数．(4)《高考调研》是最实用的参考书吗？(5)请给我买本《高考调研》！解析(1)陈述句，但不能判断真假，∴不是命题．(2)陈述句，对所有的实数x，x2＋1一定不为0，能判断真假，∴是命题(假命题)．(3)陈述句，能判断真假，是命题(真命题)．(4)疑问句，不是命题．(5)祈使句，不是命题．探究1判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假，一般地，陈述句“π是有理数”，反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗？”都叫命题；而祈使句“求证2是无理数”，疑问句“π是无理数吗？”感叹句“向抗洪英雄学习！”就不是命题．思考题1判断下列语句是不是命题．(1)（－3）2＝－3.(2)平面内不相交的两直线平行．(3)x>0.(4)数学好学吗？(5)并非所有的学生都喜欢数学．解析(1)是(2)是(3)不是(4)不是(5)是题型二命题真假的判断例2下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．①等边三角形难道不是等腰三角形吗？②垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？③一个实数不是正数就是负数．④大角所对的边大于小角所对的边．⑤若x＋y为有理数，则x、y也都是有理数．解析①通过反意疑问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题．②疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．③是假命题．数0既不是正数也不是负数．④是假命题．没有前提条件在同一个三角形中．⑤是假命题．如x＝3，y＝－ 3.答案①③④⑤，①探究2命题真假性的判断：(1)从方法上判定一命题为真命题需要严格推证，判定一命题为假命题只需举出一个反例即可，解决这类题目的难点是相关知识点的掌握．(2)认真审题，找出被判断对象应满足的条件及满足此条件时会有的结论，为叙述的通顺，必要时可添加一些词语，但不可改变原命题．思考题2判断下列语句，哪些是命题？若是命题，指出是真命题，还是假命题？(1)空集是任何非空集合的真子集．(2)三角函数是周期函数吗？(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0(4)灰太狼真坏呀！(5)3x≤5解析(1)是命题，是真命题．(2)疑问句，没有对三角函数是否是周期函数作出判断，故不是命题．(3)是命题，因为Δ＝16－28＝－12<0，所以是真命题．(4)感叹句，不是命题．(5)不能判断真假，不是命题．题型三命题的结构分析例3指出下列命题的条件与结论．(条件：p，结论：q)(1)负数的平方是正数．(2)正方形的四条边相等．(3)质数是奇数．(4)矩形是两条对角线相等的四边形．解析(1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”，p为：“一个数是负数”；q为：“这个数的平方是正数”．(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．p为：“一个四边形是正方形”；q为：“这个四边形的四条边相等”．(3)可表述为：“若一个自然数是质数，则它是奇数”．p为：“一个自然数是质数”；q为：“这个自然数是奇数”．(4)可表述为：“若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．”p为：“四边形的两条对角线相等”；q为：“这个四边形是矩形”．探究3一个命题总存在条件和结论两个部分，但是，有的时候条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变写成“若p，则q”的形式，其中p为条件，q为结论．思考题3(1)将下列命题改写成“若p，则q”的形式．①奇函数的图像关于原点对称．②当p>0时，p2>p.解析 ①若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．②若p>0，则p 2>p.(2)将下列命题改成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．①当a>b 时，1a <1b.②在△ABC 中，当sinA ＝sinB 时，A ＝B.解析 ①若a>b ，则1a <1b，假命题．②在△ABC 中，若sinA ＝sinB ，则A ＝B 真命题．1．一般地，判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题．2．一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可无法判断其真假．1.下列语句是命题的是________．①矩形不是平行四边形②lg2是有理数③请坐④2010年7月1日是中国共产党90岁生日答案①②④2．下列语句中，不能成为命题的是()A．5>12B．x>0C．若a⊥b，则a·b＝0D．三角形的三条中线交于一点答案 B3．给出下列四个命题：①梯形的对角线相等；②对任意实数x，均有x＋2>x；③不存在实数x，使x2＋x＋1<0；④有些三角形不是等腰三角形．其中所有真命题的序号为________．答案②③④课时作业(一)1．下列语句中是命题的是( )A ．|x ＋a|B ．0∈ZC ．集合与简易逻辑D ．灰太狼真坏呀！ 答案 B2．下列语句是命题的是( ) A ．偶函数的和是偶函数吗？ B ．sin45°＝ 3.C ．参加2010年南非世界杯的足球队员．D ．x 2－4x －3＝0. 答案 B3．下列语句：①空集是任何集合的真子集；②x>2；③△ABC 的面积；④高一年级的学生．其中不是命题的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 答案 D4．若M 、N 是两个集合，则下列命题中真命题是( ) A ．如果M ⊆N ，那么M ∩N ＝M B ．如果M ∩N ＝N ，那么M ⊆N C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝M D ．如果M ∪N ＝N ，那么N ⊆M 答案 A5．(2010·衡水市联考卷)已知直线m ，n 及平面α，β，则下列命题正确的是( ) A.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αn ∥β⇒α∥β B.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ∥n ⇒n ∥αC.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αα⊥β⇒m ∥β D.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 答案 D解析 若m ⊆β，n ⊆α，有可能α与β相交，故选项A 错；选项B 中，n 有可能在平面α内；选项C 中，m 有可能在平面β内．故选D.6．(2010·湖北卷)用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b ； 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 答案 C解析 对于①，由公理“平行于同一直线的两条直线平行”可知，①正确；对于②，如在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，此时AB 平行于CD ，因此②不正确．对于③，如当平面α∥γ时，平面α内的任意两条直线a ，b 都平行于平面γ，显然此时直线a ，b 可能相交，因此③不正确．对于④，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知其正确性．综上所述，其中真命题的序号是①④，选C.7．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a>1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题答案 D8．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．答案①④9．命题：“一个正整数不是合数就是素数”．条件p：________，结论q：________，是________命题．答案一个数是正整数它不是合数就是素数假解析该命题可变为“若一个数是正整数，则它不是合数就是素数”，所以条件p为“一个数是正整数”，结论q为“它不是合数就是素数”．因为正整数1不是合数也不是素数，所以是假命题．10．判断下列命题的真假．(1)在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB.________(2)直线的倾斜角越大，则其斜率也越大．________答案(1)真命题(2)假命题11．如果命题“若x∈A，则y＝log a(x2＋2x－3)为增函数”是真命题，试求集合A满足的条件．解析当a>1时，A⊆(1，＋∞)，当0<a<1时，A⊆(－∞，－3)12．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(1)相似三角形的对应角相等．(2)当a>1时，函数y＝a x是增函数．解析(1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等．条件p：三角形相似，结论q：对应角相等．(2)若a>1，则函数y＝a x是增函数．条件p：a>1结论q：函数y＝a x是增函数．1．1.2量词要点1全称命题：“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．一般地，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M 中的所有x，p(x)”的命题．用符号简记为∀x∈M，P(x)．要点2存在性命题：“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题．一般地，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．1．全称命题的特征是什么？答：特征是“全”：全部、所有、任意、每一个等．由于自然语言的不同，同一个全称命题可以有不同的表述方法．如命题：正方形都是矩形．也是全称命题，只不过省去了全称量词“所有”．2．存在性命题的特征是什么？答：特征是“存在”，即有，不是全部．常用的存在量词有：存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的等．题型一全称命题与存在性命题的辨析例1判断下列命题是否是全称命题或存在性命题．(1)有一个实数a，a不能取对数．(2)所有不等式的解集A，都有A⊆R.(3)有的向量方向不定．(4)自然数的平方是正数．解析因为(1)(3)含有存在量词，所以命题(1)(3)为存在性命题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(4)均含有全称量词，故为全称命题．综上所述：(1)(3)为存在性命题，(2)(4)为全称命题．探究1判断命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词，要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．思考题1判断下列命题哪些是全称命题，哪些是存在性命题：(1)对顶角相等．(2)如果方程f(x)＝0有实根，那么函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．(3)负数没有对数．(4)存在a＝1且b＝2使a＋b＝3成立．答案(1)，(2)，(3)是全称命题；(4)是存在性命题题型二全称命题与存在性命题真假的判断例2试判断以下命题的真假：(1)有的正方形不是矩形；(2)有理数是实数；(3)∀x∈R，x2＋2>0；(4)∀x∈N，x4≥1；(5)∃x0∈Z，x03<1；(6)∃x0∈Q，x02＝3.解析(1)假命题，所有的正方形都是矩形．(2)真命题，所有的有理数都是实数．(3)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．(4)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(5)由于－1∈Z，当x0＝－1时，能使x03<1.所以命题“∃x0∈Z，x03<1”是真命题．(6)由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“∃x 0∈Q ，x 02＝3”是假命题．探究2 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p(x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．思考题2 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假． (1)p ：所有的单位向量都相等；(2)p ：任一等比数列{a n }的公比q ≠0； (3)p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋3≤0；(4)p ：存在等差数列{a n }，其前n 项和S n ＝n 2＋2n －1.解析 (1)p 是全称命题，是假命题．若两个单位向量e 1，e 2方向不相同时，虽然有|e 1|＝|e 2|，但e 1≠e 2. (2)p 是全称命题，是真命题．根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项a n ≠0，所以其公比q ＝a n ＋1a n≠0(n ＝1，2，3，…)．(3)p 是存在性命题，是假命题．因为对于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2>0恒成立． (4)p 是存在性命题，是假命题．对于任一等差数列{a n }(首项a 1，公差d)，其前n 项和为：S n ＝na 1＋12n(n －1)d ＝d2n 2＋(a 1－d2)n.因此不可能是S n ＝n 2＋2n －1这种形式(含常数项)．1．全称命题与存在性命题的表述方法？同一个全称命题、存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结如下．在实际应用中可以灵活选择．1.给出下列几个命题：①末位数是0的整数，能被5整除；②梯形的对角线互相平分；③每个奇函数的图象都过原点；④有些二次函数的图象与x轴相交．其中全称命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．下列命题中，是真命题的是( ) A ．每个偶函数的图象都与y 轴相交 B ．∀x ∈R ，x 2>0 C ．∃x 0∈R ，x 02≤0D ．存在一条直线与两个相交平面都垂直 答案 C3．(2010·湖南卷)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R ，2x >0 答案 C解析 选项A ，lg x ＝0⇒x ＝1；选项B ，tan x ＝1⇒x ＝π4＋kπ(k ∈Z )；选项C ，x 3>0⇒x>0；选项D ，2x >0⇒x ∈R ，故选C.课时作业(二)1．下列全称命题中假命题的个数( ) ①2x ＋1是整数(x ∈R )； ②对所有的x ∈R ，x>3；③对任意一个x ∈Z ，2x 2＋1为奇数； ④任何直线都有斜率．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①②④是假命题．2．下列命题为存在性命题的是( ) A ．偶函数的图象关于y 轴对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．不相交的两条直线是平行直线 D ．有大于等于3的实数 答案 D3．(2010·辽宁卷)已知a>0，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f(x)≤f(x 0)B ．∃x ∈R ，f(x)≥f(x 0)C ．∀x ∈R ，f(x)≤f(x 0)D ．∀x ∈R ，f(x)≥f(x 0) 答案 C解析 由题知：x 0＝－b2a 为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f(x)≥f(x 0)，因此∀x ∈R ，f(x)≤f(x 0)是错误的，选C.4．下列命题正确的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＝0 B ．∃x ∈R ，－x ＋1≥0 C ．∀x ∈N *，log 2x>0D ．∃x ∈R ，cosx<2x －x 2－3 答案 B解析 ∵x ＝－1时，－x ＋1＝0，故选B.5．下列命题不是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是()A．有一个x∈R，使x2>3B．对有些x∈R，使x2>3C．任选一个x∈R，使x2>3D．至少有一个x∈R，使x2>3答案 C6．下列命题中是全称命题且是真命题的个数是()①每一个二次函数的图象都开口向上②存在一条直线与两个相交平面垂直③存在一个实数x，使不等式x2－3x＋6<0成立A．0 B．1C．2 D．3答案 A7．下列命题中是存在性命题且是真命题的个数是()①∃x∈R，x≤0.②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数．③∃x∈{x|x是无理数}，x3是无理数．A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析①②③均是存在性命题，且都为真命题．故选D.8．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是()A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．∃x，y∈R，使x2＋y2≥2xyC．∀x>0，y>0，使x2＋y2≥2xyD．∃x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy答案 A9．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＝0；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案 A解析①中只有当x＝2或x＝1是方程的根所以①为假命题；②中x＝±2为无理数故②也为假命题；③中方程无解；④中不等式解集为{x|x∈R且x≠1}故选A.10．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题：(1)自然数的平方大于零________；(2)存在一对整数，使2x＋4y＝3________．答案(1)∀x∈N，x2>0；(2) ∃x，y∈Z，使2x＋4y＝311．用量词符号“∀”“∃”表示以下命题．(1)有一个向量a，a的方向不能确定．(2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解．解析(1)∃a∈{向量}，使a的方向不能确定．(2)∃f(x)∈{函数}，使f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∀a，b，c，∈R，方程ax2＋bx＋c＝0都有解．12．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)，∀x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)<1恒成立，求实数a的取值范围．解析∵(x－a)⊙(x＋a)<1∴(x －a)[1－(x ＋a)]<1 ∴－x 2＋x ＋a 2－a －1<0 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0∵∀x ∈R ，上述不等式恒成立．∴Δ<0即1－4(－a 2＋a ＋1)<0解得－12<a<32，∴ 实数a 的取值范围是(－12，32)．13．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假． (1)a>0且a ≠1，则对任意x ，a x >0；(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tanx 1<tanx 2； (3)∃T ∈R ，使得|sin(x ＋T)|＝|sinx|； (4)∃x 0∈R ，使得x 02＋1<0.答案 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题． 解析 (1)∵a x >0(a>0且a ≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan0＝tan π， ∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期． ∴命题(3)为真命题． (4)对任意x ∈R ，x 2＋1>0. ∴命题(4)是假命题．1．2基本逻辑联结词1．2.1“且”与“或”要点1p且q：用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p∧q.要点2p或q：用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p∨q.要点3“且”“或”的真值表p∧qp∨q可简记为：一真即真，同假才假．1．“且”、“或”、分别对应集合中的哪些运算？答：交、并2．对于命题“x2－1＝0的解为x＝±1”，很多人理解为它是由命题p：“x2－1＝0的解是x＝1”与命题q：“x2－1＝0的解是x＝－1”用“或”连结成的新命题p∨q，这样理解正确吗？答：不正确，按此方法p和q都是假命题，∴p∨q是假命题，而原命题应是真命题，导致矛盾．故这样理解是错误的，其原因是原命题是一个整体，它只是一个简单命题，不是p∨q.本题中p∨q应为：“x2－1＝0的解是x＝1”或“x2－1＝0的解是x＝－1”．题型一含“且”、“或”命题的写法及真假的判定例1分别写出由下列各组命题的构成的“p∧q”，“p∨q”形式的命题，并判断真假．(1)p：2是无理数，q：2大于1(2)p：6<6，q：6＝6(3)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分(4)p：奥巴马是白人，q：奥巴马是联合国秘书长解析(1)p∧q：2是无理数且大于1，真命题p∨q：2是无理数或大于1，真命题(2)p∧q：6<6且6＝6，假命题p∨q：6≤6，真命题(3)p∧q：平行四边形的对角线相等且互相平分，假命题p∨q：平行四边形的对角线相等或互相平分，真命题(4)p∧p：奥巴马是白人且是联合国秘书长，假命题p∨q：奥巴马是白人或是联合国秘书长，假命题探究1利用“且”、“或”连结两个简单命题p、q，即可组成新命题“p∧q”或“p∨q”，其真假的判定依据真值表．思考题1分别指出下列命题构成的“p或q”“p且q”形式命题的真假．①p：x2≥0；q：3>5；②p：4是27的约数；q：1是x2－3x＋2＝0的根；③p：x2－x＋1≥0；q：|x|－b<0(b>0)的解集是{x|－b<x<b}．解析①因p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假．②因p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假．③因p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真．例2指出下列命题的形式及真假．(1)24是8和6的倍数；(2)2≤3；(3)1既不是质数也不是合数；(4)斜三角形的内角是锐角或是钝角．解析(1)“p∧q”形式．其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．真命题(2)是“p∨q”形式，其中p：2<3，q：2＝3.真命题(3)是“p∧q”形式，其中p：1不是质数，q：1不是合数．真命题(4)是“p∨q”形式，其中p：斜三角形的内角是锐角．q：斜三角形内角是钝角．假命题探究2判断含有“且”“或”的命题的真假的方法步骤为：(1)分析命题的结构，找出组成它的命题p和q；(2)利用数学知识，判断命题p和q的真假；(3)利用真值表判定该命题的真假．思考题2写出下面命题的形式并判断真假．(1)a2－a＋1≥0，(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．解析(1)p∨q：p：a2－a＋1>0，q：a2－a＋1＝0，真命题．(2)p∨q：p：集合A是A∩B的子集；q：集合A是A∪B的子集．因为命题q是真命题，所以命题p∨q是假命题．(3)p∨q：p：周长相等的两个三角形全等；q：面积相等的两个三角形全等．因为命题p、q都是假命题，所以命题p∨q是假命题．题型三利用命题的真假求参数范围例3命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．思路分析解答本题可先求p ，q 中的a 的范围，再利用p ∨q 为真，p ∧q 为假，构造关于a 的不等式组，求出适合条件的a 的范围．解析 设g(x)＝x 2＋2ax ＋4.由于关于x的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a<2，所以命题p ：－2<a<2. 函数f(x)＝－(5－2a)x 是减函数． 则有5－2a>1，即a<2. 所以命题q ：a<2.又由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎨⎧－2<a<2a ≥2，此不等式组无解，(2)若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤－2或a ≥2a<2，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为{a|a ≤－2}．探究3 (1)利用命题的真假求参数，实际就是已知命题p ∧q 真，p ∨q 真等不同的条件，求命题中涉及的参数的范围．(2)分清p ∧q ，p ∨q 的不同情况，p ∧q 为真，则p 真，q 也真；若p ∨q 为真，则p 、q 中至少有一个为真，若p ∧q 为假，则p 、q 中至少有一个为假．思考题3 已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根，命题q ：不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋1<0对任意的实数x 恒成立．若“p ∨q ”为假，求实数m 的取值范围．解析 p ：∵x 2＋mx ＋1＝0有两不等根∴Δ>0即：m 2－4>0，∴m<－2或m>2 设A ＝{m|m<－2或m>2}q ：∵mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋1<0恒成立．∴①若m ＝0，－2x ＋1<0不恒成立．②若m ≠0，则⎩⎨⎧m<0Δ<0⇒x<－1，综上m<－1.记B ＝{m|m<－1}．∵p ∨q 为假，∴p 假q 假∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2m ≥－1，∴－1≤m ≤2.1．真值表是根据简单命题的真假来判断p∧q，p∨q型命题真假的依据．2．利用真值表与电路联系，加强对真值表的理解．3．给出一个复合命题能说出构成它的简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”，能判断其真假，并能利用真值表判断复合命题的真假. 1.命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是________．答案p∧q解析△ABC是等腰直角三角形是由△ABC是等腰三角形与△ABC是直角三角形用“且”联结而成，是p∧q命题．2．“ab≠0”是指()A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0C．a、b至少有一个不为0 D．a、b不都是0答案 A解析当a＝0时不合题意，b＝0也不合题意，∴a≠0且b≠0.3．设有2011个命题p1，p2，…，p2011，满足：若命题p i为真命题，则命题p i＋4为真命题；已知p1∧p4为假命题，p3∨p4为真命题，则p2011是________命题．答案真解析2011除以4余3，∴p2011与p3真假相同，由已知p1，p4均为假命题，再由p3∨p4为真命题，知p3为真命题．4．若p：∅{∅}，q：∅∈{∅}，写出由其构成的“p∨q”“p∧q”形式的新命题，并判断其真假．分析写出“p∨q”“p∧q”形式的新命题，就是把命题p、q用联结词“或”“且”联结起来；要判断“p∨q”“p∧q”的真假，关键是看p、q的真假，然后利用真值表判断“p∨q”“p∧q”的真假．解析p∨q：∅{∅}或∅∈{∅}；因为∅∈{∅}为真命题，所以“p∨q”为真．p∧q：∅{∅}且∅∈{∅}；因为p、q都为真命题，所以“p∧q”为真．课时作业(三)1．对命题p ：A ∩Ø＝Ø，命题q ：A ∪Ø＝A ，下列判断正确的是( ) A ．p 且q 为假 B ．p 或q 为假C ．p 且q 为真；p 或q 为假D ．p 且q 为真；p 或q 为真 答案 D解析 由题意知，p 真，q 也真．故p 且q 为真，p 或q 为真． 2．下列为假命题的是( ) A ．3是7或9的约数B ．两向量平行，其所在直线平行或重合C ．菱形的对角线相等且互相垂直D ．如果x 2＋y 2＝0，则x ＝0且y ＝0 答案 C解析 菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故对于“且”形式的命题C ，其一为假必为假．A 、B 、D 皆真．3．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b ，则a ＋c>b ＋c ”；其中假命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 A解析 命题①②③都正确．4．若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列结论中正确的是( ) A ．“p ∨q ”为假 B ．“p ∨q ”为真 C ．“p ∧q ”为真 D ．以上都不对 答案 B解析 ∵p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，故选B. 5．如果命题p ∨q 为真命题，“p ∧q ”为假命题，那么( ) A ．命题p ，q 都是真命题 B ．命题p ，q 都是假命题C ．命题p ，q 只有一个是真命题D ．命题p ，q 至少有一个是真命题 答案 C解析 “p ∨q ”为真，则至少p 、q 有一真，p ∧q 为假，则至少p 、q 有一假，∴p 、q 一真一假，故选C.6．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ”，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1 答案 A解析 ∵x 2－a ≥0在x ∈[1，2]上恒成立， ∴a ≤x min 2，∴p ：a ≤1；由Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，∴q ：a ≥1或a ≤－2.若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧a ≤1a ≥1或a ≤－2，∴a ＝1或a ≤－2，故选A.7．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P(x ，y)是( )A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1) 答案 C解析 点p(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3y ＝－x2，可验证各选项中，只有C 成立．8．选用“∧”、“∨”填空，使下列命题成为真命题．(1)x ∈(A ∪B)，则x ∈A________x ∈B ；(2)x ∈(A ∩B)，则x ∈A________x ∈B ； 答案 ∨；∧9．命题p ：如果两三角形全等，则这两个三角形相似；q ：如果两三角形相似，则这两三角形全等．在命题“p ∧q ”“p ∨q ”中，真命题是________，假命题是________．答案 p ∨q ，p ∧q 解析 由题意知，p 真q 假．10．分别用“p ∨q ”、“p ∧q ”填空：(1)命题“集合A B ”是________的形式；(2)命题“（x －1）2＋4≥2”是________的形式； (3)命题“60是10与12的公倍数”是________的形式 . 答案 (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∧q11．若命题p ：a ∈{a ，b}，q ：{a}⊆{a ，b}，则：①p ∨q 为真；②p ∨q 为假；③p ∧q 为真；④p ∧q 为假．以上对复合命题的判断正确的是________．答案 ①③解析 因为命题p ：a ∈{a ，b} 是真命题，命题q ：{a}⊆{a ，b}是真命题，所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题．12．已知命题p ：1∈{x|x 2<a}，q ：2∈{x|x 2<a} (1)当a 为何值时，“p 或q ”为真命题； (2)当a 为何值时，“p 且q ”为真命题 .解析 当a>1时，1∈{x|x 2<a}成立，命题p 为真； 当a ≤1时，p 为假；当a>4时，2∈{x|x 2<a}成立，q 为真； 当a ≤4时，q 为假． ∴(1)当a>1时，p 或q 为真；(2)当a>4时，p 且q 为真．13．命题p ：函数g(x)＝lg(x 2＋2ax ＋4)的值域为R . 命题q ：函数f(x)＝－(5－2a)x 是增函数． 若p 或q 为假，求实数a 的取值范围． 解析 ∵p 或q 为假，∴p 假q 假 p 为假，则4a 2－4×4<0，∴a 2<4 即－2<a<2；q 为假，则5－2a>1，∴a<2，∴－2<a<2. ∴实数a 的取值范围(－2，2)．1．2.2“非”(否定)要点1对一个命题p否定，就得到一个新命题綈p，读作“非p”或“p的否定”．要点2真值表：p与綈p真假性相反，一个为真，另一个必为假．要点3存在性命题的否定．存在性命题p：∃x∈A，p(x)，它的否定是綈p：∀x∈A，綈p(x)，即否定存在性命题时，将存在量词变为全称量词，再否定它的性质，即存在性命题的否定是全称命题．要点4全称命题的否定．全称命题q：∀x∈A，q(x)，它的否定是綈q，∃x∈A，綈q(x)，即否定全称命题时，将全称量词变为存在量词，再否定它的性质，即全称命题的否定是存在性命题．1．“x＝0或x＝1”的否定是“x≠0或x≠1”吗？答：不是，应是“x≠0且x≠1”．2．“x，y全为0”的否定是“x，y全不为0”吗？答：不是，应是“x，y不全为0”．题型一命题的否定例1写出下列命题的否定．(1)3是9的约数或18的约数；(2)菱形的对角线相等且互相垂直；(3)方程x2＋x－1＝0有两实根符号相同或绝对值相等；(4)a>0或b≤0.解析(1)命题的否定是：3不是9的约数，也不是18的约数；(2)命题的否定是：菱形的对角线不相等或不互相垂直；(3)方程x2＋x －1＝0的两实数根符号不相同且绝对值不相等；(4)a≤0且b>0.探究1“p∨q”命题的否定为“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”命题的否定为“(綈p)∨(綈q)”．思考题1写出下列命题的否定．(1)a2＋b2<0或a2＋b2≥0；(2)集合中的元素是确定的且是无序的；(3)8是12的约数或9是质数；(4)∅＝{0}且∅⊆∅.解析(1)a2＋b2≥0且a2＋b2<0；(2)集合中的元素是不确定的或是有序的；(3)8不是12的约数且9不是质数；(4)∅≠{0}或∅⃘∅.题型二全称命题的否定例2(1)写出下列全称命题的否定．p：∀x>1，log2x>0.(2)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0(3)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则()A．綈p：∃x∈R，sinx≥1B．綈p：∀x∈R，sinx≤1C．綈p：∃x∈R，sinx>1D．綈p：∀x∈R，sinx>1。

高考理科数学第二次调研考试试题2一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1、设函数2y x =-的定义域为集合M ，集合N ＝{}2|,y y x x R =∈，则MN =（ ）． A ．∅ B ．N C ．[)0,+∞ D ．M2、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）．A ．12B ．22C ．2D ．323、假如执行的程序框图（右图所示），那么输出的S =（ ）． Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．26524、若曲线22y x =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则切线l 的方程为（ ）．A 、420x y --=B 、490x y +-=C 、034=+-y xD 、034=++y x5、方程))1,0((02∈=++n n x x 有实根的概率为（ ）．A 、21B 、31C 、41D 、436、已知βα,是平面，n m ,是直线，则下列命题中不正确的是（ ）．A 、若m ∥α⊥m n ,，则α⊥nB 、若m ∥n =⋂βαα,，则m ∥nC 、若⊥m βα⊥m ,，则α∥βD 、若⊥m βα⊂m ,，则⊥αβ7、一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案， 如图所示，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20， 若210x ≤≤，记()y f x =，则()y f x =的图象是（ ）．5y y5x1212}yk=10S =k 50?≤2S S k=+1k k =+S输出结束开始是否8、将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原先的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）． A ．cos y x =- B ．sin 4y x =C ．sin()6y x π=-D ．sin y x =第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只运算前两题得分．每小题5分，满分30分．9、已知向量(21,4)c x →=+，(2,3)d x →=-，若//c d →→，则实数x 的值等于 ． 10、已知3,,sin 25πθπθ⎛⎫∈=⎪⎝⎭，则tan θ= ．11、i 是虚数单位，则=++++++666556446336226161i C i C i C i C i C i C ．12、函数()f x 由下表定义：若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n =，则2007a = ．x2 53 14 ()f x12345y x102102O2xy10210O13、(坐标系与参数方程选做题)曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上的点到曲线2C：12(112x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）上的点的最短距离为 ． 14、(不等式选讲选做题)已知实数a b x y 、、、满足3,12222=+=+y x b a ，则by ax +的最大值为 ．15、(几何证明选讲选做题)如图，平行四边形ABCD 中，2:1:=EB AE ，若AEF ∆的面积等于1cm 2,则CDF ∆的面积等于 cm 2．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（本小题满分12分）设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S , 已知34a =，124562a a a =．（Ⅰ）求首项1a 和公比q 的值；（Ⅱ）若1021n S =-，求n 的值．17、（本小题满分12分）设函数2()2cos sin 2()f x x x a a R =++∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]6x π∈时，()f x 的最大值为2，求a 的值，并求出()()y f x x R =∈的对称轴方程．18、（本小题满分14分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球． （Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；A FE D CB（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差. （方差：21()ni ii D p E ξξξ==⋅-∑）19、（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形；PA ⊥平面ABCD ,PA AD AC ==， 点F 为PC 的中点．（Ⅰ）求证：//PA 平面BFD ； （Ⅱ）求二面角C BF D --的正切值．20、（本小题满分14分）给定圆P:222xy x +=及抛物线S:24y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线 的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,假如线 段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一个等差数列,求直 线l 的方程.xyoABCDP CBADPF21、（本小题满分14分）设M 是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：“①方程)(x f 0=-x 有实数根；②函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f ”． （Ⅰ）判定函数4sin 2)(xx x f +=是否是集合M 中的元素，并说明理由； （Ⅱ）集合M 中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则关于任意[m ，n]⊆D ，都存在0x ∈[m ，n]，使得等式)()()()(0x f m n m f n f '-=-成立”，试用这一性质证明：方程0)(=-x x f 只有一个实数根；（Ⅲ）设1x 是方程0)(=-x x f 的实数根，求证：关于)(x f 定义域中任意的23x x 、，当21||1x x -<，且31||1x x -<时，32|()()|2f x f x -<．参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案DBCACB A D1、解析：{2}M x x =≥，N ＝{}22|,{0}y y x x R y y x =∈==≥， 即M N M N M ⊂⇒⋂=．答案：D ．2、解析：由题意得2a a =⇒=，又2222a b c b c a e =+⇒=⇒=⇒=． 答案：B ．3、解析：程序的运行结果是2550100642=+⋅⋅⋅+++=s ．答案：C ．4、解析：与直线084=-+y x 垂直的切线l 的斜率必为4，而'4y x =，因此，切点为(1,2)．切线为24(1)y x -=-，即420x y --=，答案：A ． 5、解析：由一元二次方程有实根的条件41041≤⇒≥-=∆n n ，而)1,0(∈n ，由几何概率得有实根的概率为41．答案：C ． 6、解析：假如两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于那个平面，因此A 正确；假如两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，因此C 正确； 假如一个平面通过了另一个平面的一条垂线，则这两个平面平行，因此D 也正确； 只有B 选项错误．答案：B ． 7、解析：由题意，得10(210)y x x=≤≤，答案：A ． 8、解析：sin(2)3y x π=-的图象先向左平移sin[2()]sin 2663y x x πππ⇒=+-=，横坐标变为原先的2倍1sin 2()sin 2y x x ⇒==．答案：D ． 二、填空题：题号 91011 12 13 1415 答案1234- 8i -4 1399、解析：若//c d →→，则3(21)4(2)0x x +--=，解得12x =． 10、解析：由题意43cos sin tan 54cos -==⇒-=θθθθ． 11、解析：=++++++666556446336226161i C i C i C i C i C i C i i i i 8)2(])1[()1(3326-==+=+12、解析：令0n =，则10()5a f a ==，令1n =，则21()(5)2a f a f ===， 令2n =，则32()(2)1a f a f ===，令3n =，则43()(1)4a f a f ===， 令4n =，则54()(4)5a f a f ===，令5n =，则65()(5)2a f a f ===， …，因此20075014334a a a ⨯+===． 13、解析：1C ：⎩⎨⎧=+-⇒=+=1)1(sin cos 122y x y x θθ；则圆心坐标为)0,1(．2C ：⎪⎩⎪⎨⎧=-++⇒-=+-=01222112122y x ty t x 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为221221=-+=d ，因此要求的最短距离为11=-d ．14、解析：由柯西不等式22222)())((by ax y x b a +≥++，答案：3．15、解析：明显AEF ∆与CDF ∆为相似三角形，又3:1:=CD AE ，因此CDF ∆的面积等于9cm 2．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、解: (Ⅰ)31244565552216(0)a a a a a a ==⇒==>, ……………………… 2分∴25342a q q a ==⇒=，………………………………………………… 4分 解得11a =．………………………………………………………………… 6分(Ⅱ)由1021n S =-,得：1(1)211n n n a q S q -==--, ……………………… 8分∴1010212122n n -=-⇒= ………………………………… 10分 ∴10n =．…………………………………………………………… 12分17、解：（1）2()2cos sin 21cos2sin 2)14f x x x a x x a x a π=++=+++=+++ … 2分 则()f x 的最小正周期2T ππω==， …………………………………4分且当222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈时()f x 单调递增．即3[,]()88x k k k Z ππππ∈-+∈为()f x 的单调递增区间（写成开区间不扣分）．………6分 （2）当[0,]6x π∈时724412x πππ⇒≤+≤，当242x ππ+=，即8x π=时sin(2)14x π+=．因此max ()121f x a a +=⇒=． …………………………9分2()4228k x k x k Z πππππ+=+⇒=+∈为()f x 的对称轴． …………………12分 18、解：（Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”， 记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件A ，………………………2分 ∵“两球恰好颜色不同”共24+42=16⨯⨯种可能，…………………………5分 ∴164()669P A ==⨯． ……………………………………………………7分 解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， …………………………2分 ∵每次摸出一球得白球的概率为3162==P ．………………………………5分 ∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为1224(1)(1)9P C p p =⋅⋅-=． ……………………………7分 （Ⅱ）设摸得白球的个数为ξ，依题意得：432(0)655P ξ==⨯=，42248(1)656515P ξ==⨯+⨯=，211(2)6515P ξ==⨯=．…………10分∴1812012215153E ξ=⨯+⨯+⨯=，……………………………………12分 22222282116(0)(1)(2)3531531545D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．……………………14分19、(Ⅰ)证明: 连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF .………………………1分ABCD 是菱形, ∴O 是AC 的中点. ………………………………………2分点F 为PC 的中点, ∴//OF PA . …………………………………3分OF ⊂平面,BFD PA ⊄平面BFD , ∴//PA 平面BFD . ……………… 6分(Ⅱ)解法一:PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴ PA AC ⊥. //OF PA ，∴OF AC ⊥. …………………………… 7分 ABCD 是菱形, ∴AC BD ⊥. OFBD O =，∴AC ⊥平面BDF . …………………………………………………………8分 作OH BF ⊥，垂足为H ，连接CH ，则CH BF ⊥,因此OHC ∠为二面角C BF D --的平面角. ………………………………… 10分PA AD AC ==,∴1,2OF PA BO ==，BF PA =. 在Rt △FOB 中,OH =43·=BF BO OF PA ，…………………………… 12分∴1tan PAOC OHC OH ∠===.…………………………… 13分 ∴二面角C BF D --. ………………………… 14分 解法二：如图，以点A 为坐标原点，线段BC 的垂直平分线所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，令1PA AD AC ===，……………2分则()()10,0,0,0,0,1,,,022A P C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0,1,022B D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,11,,442F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．∴()310,1,0,,,442BC BF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭． ……………4分 设平面BCF 的一个法向量为n (),,x y z =,OCBH DPFA由n ,BC ⊥n BF ⊥，得00331304422y y x y z z x ==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-++==⎪⎪⎩⎩，令1x =，则3z =，∴31,0,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. …………………7分 PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴PA AC ⊥. ………………………………… 8分//OF PA ，∴OF AC ⊥. ABCD 是菱形,∴AC BD ⊥. OFBD O =，∴AC ⊥平面BFD .…………………………… 9分∴AC 是平面BFD 的一个法向量,AC =31,,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．………………… 10分∴3212cos ,3114AC n AC n AC n⋅===⋅+⨯， ∴22127sin ,17AC n ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， …………………… 12分∴27237tan ,21AC n ==．…………………………………… 13分∴二面角C BF D --的正切值是233. ……………………… 14分 20、解:圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2BC =,圆心为()1,0P ,设l 的方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y ，有⎩⎨⎧-==+442121y y k y y , ………………………………2分 则222121212()()416(1)y y y y y y k -=+-=+. (4)分故222222212121212||()()()()4y y AD y y x x y y -=-+-=-+ …6分 22221221)1(16])4(1[)(+=++-=k y y y y , ………… 7分因此)1(4||2+=k AD . ………………………………… 8分xyoABCDP据等差,BC AD CD AB BC -=+=2, …………… 10分 因此63==BC AD ，即6)1(42=+k ,22±=k ，…………… 12分即：l 0y -=0y +-=. …………………14分21、解：（1）因为x x f cos 4121)(+='， …………………………2分 因此]43,41[)(∈'x f ，满足条件0()1f x '<<. …………………3分又因为当0=x 时，0)0(=f ，因此方程0)(=-x x f 有实数根0． 因此函数4sin 2)(x x x f +=是集合M 中的元素． …………………………4分 （2）假设方程0)(=-x x f 存在两个实数根βαβα≠(,），则0)(,0)(=-=-ββααf f ，……………………………………5分不妨设βα<，依照题意存在数),,(βα∈c使得等式()()()()f f f c βαβα'-=-成立， ………………………7分因为βαββαα≠==且,)(,)(f f ，因此1)(='c f ，与已知1)(0<'<x f 矛盾， 因此方程0)(=-x x f 只有一个实数根；………………………10分（3）不妨设32x x <，因为,0)(>'x f 因此)(x f 为增函数，因此)()(32x f x f <， 又因为01)(<-'x f ，因此函数x x f -)(为减函数， ……………………11分 因此3322)()(x x f x x f ->-， ………………………………12分因此2323)()(0x x x f x f -<-<，即3232|()()|||f x f x x x -<-， …………13分 因此323231213121|()()||||()||||2f x f x x x x x x x x x x x -<-=---≤-+-<． …14分。

课时作业(二十四)1．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③空间中任意两个单位向量必相等，其中正确的个数为( ) A ．0 B ．3 C ．2 D ．1答案 A2．两个向量(非零向量)的模相等，是两个向量相等的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B3．下面关于空间向量的说法正确的是( ) A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行 B ．若向量a ，b 所在直线是异面直线，则a ，b 不共面 C ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量AB →，CD →不共面 D ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量AB →，AC →，CD →不共面 答案 D解析 对于选项A 来说a ，b 所在直线可能重合；而对于B ，C 来说任何两个向量都是共面的．故选D.4．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向 D.AC →与CB →同向 答案 D5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( ) A.BD 1→ B.D 1B → C.B 1D → D.DB 1→答案 A6.如右图所示，在平行六面体ABCD －A′B′C′D′中能与AA′→相等的向量个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析 AA′→＝BB′→＝CC′→＝DD′→.7．已知正方体ABCD －A′B′C′D′的中心为O ，则在下列各结论中正确结论的个数为( ) ①OA →＋OD →与OB′→＋OC′→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA′→－OD′→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA′→＋OB′→＋OC′→＋OD′→是一对相反向量； ④OA′→－OA →与OC →－OC′→是一对相反向量． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①③④正确，②不对．8．若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则DA →＋CD →－CB →＝________． 答案 BA →解析 DA →＋CD →－CB →＝CD →＋DA →－CB →＝CA →＋BC →＝BA →. 9．下列说法中，正确的是________．①若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③空间向量的加法满足结合律；④在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →. 答案 ②③10.如图，在三棱柱ABC －A′B′C′中，AC →与A′C′→是______向量，AB →与B′A′→是______向量． 答案 相等 相反11．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于________． 答案 －a ＋b －c 12．给出以下命题：①若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；④空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的命题序号为________．(把你认为正确的命题序号都填上) 答案 ②③解析 命题①，据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，故①错；命题②符合两个向量相等的条件，②正确；命题③正确；命题④，任意两个单位向量只是模相等，方向不一定相同，故④错．13.如图，长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，以8个顶点中的两点为起点和终点的向量中． (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量； (4)试写出AA 1→的相反向量．解析 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个． (2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→共3个． (4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →共4个．14．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段． (1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)AB →＋CC 1→－DD 1→. 解析 如图所示．(1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→. (2)AB →＋CC 1→－DD 1→＝AB →＋BB 1→－AA 1→＝AB 1→－AA 1→＝A 1B 1→. 图中AC 1→，A 1B 1→为所求．15．已知平行六面体ABCD －A′B′C′D′.求证：AC →＋AB′→＋AD′→＝2AC′→.证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB′→＝AB →＋AA′→，AD′→＝AD →＋AA′→.∴AC →＋AB′→＋AD′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA′→)＋(AD →＋AA′→)＝2(AB →＋AD →＋AA′→)． 又∵AA′→＝CC′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA′→＝AB →＋BC →＋CC′→＝AC →＋CC′→＝AC′→. ∴AC →＋AB′→＋AD′→＝2AC′→.1．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( ) A.AD → B.BD → C.AC → D ．0答案 A2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，顶点连接的向量中，与向量AD →相等的向量共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C解析 与向量AD →相等的向量有BC →，A 1D 1→，B 1C 1→共3个．3．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( ) A ．a ＋b －c B ．－a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 答案 C解析 CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋c .4．若A 1，A 2，A 3是空间不共线的三点，则A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 1→＝________．类比上述性质得到一般性的结论是________．答案 0 A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＋A n A 1→＝0 解析 A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＋A n A 1→＝0.空间不共线三点，连成三角形三边，按一定方向排列的向量和为0.5．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________． 答案 12a ＋14b ＋14c解析 在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .6．判断以下命题的真假． (1)向量AB →与BA →的长度相等；(2)若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆； (3)空间向量就是空间中的一条有向线段； (4)不相等的两个空间向量的模必不相等． 答案 (1)真命题 (2)假命题，终点构成一个球面 (3)假命题 (4)假命题。

课时作业(一)1．以下语句中：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④集合{x|x2＋1＝0}是空集吗？命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3答案 B解析①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．2．已知集合A＝{x|x2<2}，若a∈A是真命题，则a的取值范围是()A．a< 2 B．a>－ 2C．－2<a< 2 D．a<－2或a> 2答案 C解析∵a∈A是真命题，故a2<2.∴－2<a< 2.3．下列命题中为假命题的是()A．若a>0，则2a>1B．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列D．若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列答案 C解析对于A，由指数函数y＝2x的性质可知，当a>0时，2a>1，故A为真命题；对于B，∵x2≥0，y2≥0对任意实数x，y恒成立，∴当x2＋y2＝0时，一定有x＝y＝0，故B为真命题；对于C，当b2＝ac时，a，b，c可能同时为0，此时a，b，c不成等比数列，故C为假命题；对于D，当a＋c＝2b时，一定有b－a＝c－b，则a，b，c成等差数列，故D为真命题．故选C.4．用p和q分别表示原命题的条件和结论，下面关于四种命题形式的说法不正确的是() A．原命题：若p，则q B．逆命题：若q，则pC．否命题：若綈p，则q D．逆否命题：若綈q，则綈p答案 C解析C项中，否命题应该是“若綈p，则綈q”．5．命题“若p，则綈q”的逆否命题是()A．若p，则q B．若綈p，则qC．若q，则綈p D．若綈q，则綈p答案 C6．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．等价命题答案 A7．命题“若x>y，则x2>y2”的否命题是()A．若x≤y，则x2>y2B．若x>y，则x2<y2C．若x≤y，则x2≤y2D．若x<y，则x2<y2答案 C解析否命题是条件、结论一齐否．8．下列命题中正确的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④答案 B解析①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题．③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0.∴m<－14≤0.真命题．④原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数．真命题．故正确的命题为①③④.故选B.9．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．答案①④10．“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题是________．答案若xy≠0，则x，y都不为011．“若a＋5是有理数，则a是无理数”的逆否命题为________，是________命题．(填“真”或“假”)答案若a不是无理数，则a＋5不是有理数真12．(1)命题“等腰三角形的两内角相等”的逆命题是“________________________”．(2)命题“两个奇数之和一定是偶数”的否命题是“________________________”．(3)命题“正方形的四个角相等”的逆否命题是“________________________”．答案(1)若一个三角形的两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形(2)若两个数不都是奇数，则它们的和不一定是偶数(3)四个角不全相等的四边形不是正方形13．给出下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，它是假命题．②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，它是真命题．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，它是真命题．14．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(1)相似三角形的对应角相等；(2)当a>1时，函数y＝a x是增函数．解析(1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等．条件p：三角形相似，结论q ：对应角相等．(2)若a>1，则函数y ＝a x 是增函数． 条件p ：a>1，结论q ：函数y ＝a x 是增函数．15．已知A ：5x －1>a ，B ：x>1，若利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”是真命题，求a 的取值范围．解析 若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若5x －1>a ，则x>1”，由命题为真命题知1＋a5≥1，即a ≥4；若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x>1，则5x －1>a ”， 由命题为真命题知1＋a5≤1，即a ≤4.故任取一个实数a 均可利用A ，B 构造出一个真命题．16．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． (1)如果两圆外切，那么圆心距等于两圆半径之和； 逆命题： 否命题： 逆否命题：(2)奇数不能被2整除． 逆命题： 否命题： 逆否命题：解析 (1)逆命题：如果圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切．真命题． 否命题：如果两圆不外切，那么圆心距不等于两圆半径之和．真命题． 逆否命题：如果圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切．真命题． (2) 逆命题：不能被2整除的数是奇数．假命题． 否命题：不是奇数的数能被2整除．假命题． 逆否命题：能被2整除的数不是奇数．真命题．1．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b答案 D解析原命题的条件是a＝－b，结论是|a|＝|b|，所以逆命题是：若|a|＝|b|，则a＝－b. 2．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题为()A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C3．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是()A．若A∪B≠A，则A∩B≠B B．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠A D．若A∪B≠A，则A∩B＝B答案 A4．(2015·山东)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案 D解析由原命题和逆否命题的关系可知D项正确．5．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”答案 B解析其逆命题是“若一个数的相反数是正数，是它是负数”．6．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题答案 D解析A项应写成“若p，则q”的形式；B项是命题；C项是假命题；当a>4时，Δ＝16－4a<0，∴方程x2－4x＋a＝0无实根，所以D项是假命题．故选D.7．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M 中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析由题意知集合M不是集合P的子集，故②、④正确．故选B.8．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是________．答案若A⃘B，则A∩B≠A9．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．答案若a≤b，则2a≤2b－110．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．答案若a>0，则a>1若a≤0，则a≤111．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________________________________________________________________________．答案若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除．12．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________．它是________命题(填“真”或“假”)．答案a>0二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)真13．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若x＋y<5，则x<2或y<3；(2)命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”．解析(1)逆命题：若x<2或y<3，则x＋y<5.假命题．否命题：若x＋y≥5，则x≥2且y≥3.假命题．逆否命题：若x≥2且y≥3，则x＋y≥5.真命题．(2)逆命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d.假命题．否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a 与b ，c 与d 不都相等，则a ＋c ≠b ＋d.假命题． 逆否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a 与b ，c 与d 不都相等．真命题． 依据四种命题之间的关系，因为原命题正确，所以逆否命题正确，因为逆命题为假，所以否命题为假．14．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若b 2－4ac>0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根； (2)若x －y ＝0，则(x －y)(x ＋y)＝0.解析 (1)逆命题：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，则b 2－4ac>0； 否命题：若b 2－4ac ≤0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有两个不相等的实根； 逆否命题：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有两个不相等的实根，则b 2－4ac ≤0. (2)逆命题：若(x －y)(x ＋y)＝0，则x －y ＝0； 否命题：若x －y ≠0，则(x －y)(x ＋y)≠0； 逆否命题：若(x －y)(x ＋y)≠0，则x －y ≠0. 15．设p(x)：2x >x 2.试问： (1)p(5)是真命题吗？ (2)p(－1)是真命题吗？(3)x 取哪些整数值时，p(x)是真命题？解析 (1)∵25＝32，52＝25，∴25>52是真命题． (2)∵2－1＝12，(－1)2＝1，∴2－1>(－1)2不是真命题．(3)如图所示，由22＝22，24＝42及(1)(2)，得x ∈{0，1}∪{x|x ≥5且x ∈Z }时，2x >x 2，即p(x)为真命题．16．设命题p：若m<0，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实根．(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题；(2)判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假．(直接写出结论)解析(1)p的逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实根，则m<0.p的否命题：若m≥0，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)无实根．p的逆否命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)无实根，则m≥0.(2)命题p及其逆否命题是真命题，命题p的逆命题和否命题是假命题．17．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解析(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．(2)“若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．p：一个函数是奇函数；q：函数的图象关于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．。

综合检测卷第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x>1，则lgx>0”的否命题是( ) A ．若lgx>0，则x>1 B ．若x ≤1，则lgx>0 C ．若x ≤1，则lgx ≤0 D ．若x<1，则lgx<0答案 C2．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ex 0≤0 B ．∀x ∈R ，2x >x 2C ．双曲线x 2－y 2＝1的离心率为22D ．双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x 答案 D3．(2019·天津，理)设x ∈R ，则“x 2－5x<0”是“|x －1|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 化简不等式，可知0<x<5推不出|x －1|<1；由|x －1|<1能推出0<x<5，故“x 2－5x<0”是“|x －1|<1”的必要不充分条件．故选B.4．∀k ∈R ，方程x 2＋ky 2＝1所表示的曲线不可能是( ) A ．两条直线 B ．圆 C ．椭圆或双曲线 D ．抛物线答案 D5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x答案 B6．(2019·北京，理)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b答案 B解析 椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2.故选B.7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54 B.52 C.32 D.54 答案 B8．已知四面体顶点A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D 到平面ABC 的距离为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 答案 D解析 设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ，z ）·（2，－2，－3）＝0，（x ，y ，z ）·（4，0，6）＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y －3z ＝0，4x ＋6z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，z ＝－23x ，令x ＝1，则n ＝(1，2，－23)，AD →＝(－7，－7，7)，故所求距离为|AD →·n ||n |＝|－7－14－143|1＋4＋49＝11.9.四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB ＝BC ＝2，AD ＝3，PA ⊥平面ABCD 且PA ＝2，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为( ) A.427 B.77 C.33D.63答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，3，0)．PB →＝(2，0，－2)，CD →＝(－2，1，0)，PD →＝(0，3，－2)． 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，3y －2z ＝0.取x ＝1得n ＝(1，2，3)． cos 〈PB →，n 〉＝PB →·n |PB →||n |＝－422×14＝－77，可得PB 与平面PCD 所成角的正弦值为77.故选B. 10．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16答案 D解析 抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2，0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.故选D.11．(2019·课标全国Ⅰ，理)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B|，|AB|＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)可知c ＝1，又∵|AF 2|＝2|F 2B|，|AB|＝|BF 1|，可设|BF 2|＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝|AB|＝3m ，根据椭圆的定义可知|BF 1|＋|BF 2|＝m ＋3m ＝2a ，得m ＝12a ，所以|BF 2|＝12a ，|AF 2|＝a ，可知A(0，－b)，根据相似可得B(32，12b)代入椭圆的标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.12.P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM ，PN ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为( ) A ．60° B ．70° C ．80° D ．90°答案 D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设命题p ：∀a>0，a ≠1，函数f(x)＝a x －x －a 有零点．则綈p ：________． 答案 ∃a>0，a ≠1，函数f(x)＝a x －x －a 没有零点解析 全称命题的否定为特称命题，故綈p ：∃a>0，a ≠1，函数f(x)＝a x －x －a 没有零点．14.在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________． 答案 23a －13b ＋23c .解析 PG →＝PB →＋BG →＝PB →＋23BD →＝PB →＋23(BA →＋BC →)＝PB →＋23[(PA →－PB →)＋PC →－PB →]＝PB →＋23(PA →－2PB →＋PC →)＝23PA →－13PB →＋23PC →＝23a －13b ＋23c .15．给出下列命题：①直线l 的方向向量为a ＝(1，－1，2)，直线m 的方向向量为b ＝(2，1，－12)，则l 与m 垂直；②直线l 的方向向量为a ＝(0，1，－1)，平面α的法向量为n ＝(1，－1，－1)，则l ⊥α； ③平面α，β的法向量分别为n 1＝(0，1，3)，n 2＝(1，0，2)，则α∥β；④平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n ＝(1，u ，t)是平面α的法向量，则u ＋t ＝1.其中是真命题的是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 答案 ①④解析 ∵a ＝(1，－1，2)，b ＝(2，1，－12)，则a ·b ＝1×2－1×1＋2×(－12)＝0，则a ⊥b ，∴直线l 与m 垂直，故①正确；a ＝(0，1，－1)，n ＝(1，－1，－1)，则a ·n ＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，则a ⊥n ，∴l ∥α或l ⊂α，故②错误；∵n 1＝(0，1，3)，n 2＝(1，0，2)，∴n 1或n 2不共线，∴α∥β不成立，故③错误；∵点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，∴AB →＝(－1，1，1)，BC →＝(－1，1，0)，∵向量n ＝(1，u ，t)是平面α的法向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＋u ＋t ＝0，－1＋u ＝0，解得u ＋t ＝1，故④正确．综上所述，其中真命题是①④. 16．(2019·课标全国Ⅰ，理)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________． 答案 2解析 由F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0知A 是BF 1的中点，F 1B →⊥F 2B →，又O 是F 1F 2的中点，所以OA 为中位线且OA ⊥BF 1，所以OB ＝OF 1，因此∠F 1OA ＝∠BOA ，又根据两渐近线对称，∠F 1OA ＝∠F 2OB ，所以∠F 2OB ＝60°，e ＝1＋（ba）2＝1＋tan 260°＝2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(62，2)，若命题p ，q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围． 解析 若p 真，则有9－m>2m>0，即0<m<3.若q 真，则有m>0，且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈(32，2)，即52<m<5.若p ，q 中有且只有一个为真命题，则p ，q 一真一假． ①若p 真，q 假，则0<m<3，且m ≥5或m ≤52，即0<m ≤52；②若p 假，q 真，则m ≥3或m ≤0，且52<m<5，即3≤m<5.故实数m 的取值范围是(0，52]∪[3，5)．18．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点．(1)求证：“如果直线l 过点T(3，0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题； (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．解析 (1)证明：令直线l 与抛物线两个交点A ，B 的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由于直线l 过点T(3，0)，从而有TA →∥TB →，再有TA →＝(x 1－3，y 1)，TB →＝(x 2－3，y 2)． 可得(x 1－3)y 2＝(x 2－3)y 1，即x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝0.由于交点A ，B 也在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2x 1，y 22＝2x 2，代入上式，得y 12y 22－y 1y 222－3y 2＋3y 1＝(y 1－y 2)(y 1y 22＋3)＝0.显然交点A ，B 的纵坐标不可能相等，只有y 1y 22＋3＝0，∴y 1y 2＝－6.同时OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 22)2＋y 1y 2＝9－6＝3.所以命题为真命题．(2)逆命题为：“如果OA →·OB →＝3，那么直线l 过点T(3，0)”．由于交点A ，B 也在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2x 1，y 22＝2x 2.OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 22)2＋y 1y 2＝3.可得y 1y 2＝2或y 1y 2＝－6.又TA →＝(x 1－3，y 1)，TB →＝(x 2－3，y 2)，若TA →∥TB →，则(x 1－3)y 2＝(x 2－3)y 1，即x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝0. 而x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝y 12y 22－y 1y 222－3y 2＋3y 1＝(y 1－y 2)(y 1y 22＋3)．显然当y 1y 2＝－6时使得“直线l 过点T(3，0)”． 而当y 1y 2＝2时“直线l 不过点T(3，0)”． 所以该命题是假命题．19．(12分)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE －BCF 和一个正四棱锥P －ABCD 组合而成的，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；(2)求正四棱锥P －ABCD 的高h ，使得二面角C －AF －P 的余弦值是223.解析 (1)证明：在直三棱柱ADE －BCF 中，AB ⊥平面ADE ， AD ⊂平面ADE ，所以AB ⊥AD.又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ，AB ⊂平面ABFE ，AF ⊂平面ABFE ，所以AD ⊥平面ABFE. 因为AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABFE.(2)由(1)知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设h 为点p 到平面ABCD 的距离．则A(0，0，0)，F(2，2，0)，C(2，0，2)，P(1，－h ，1)，AF →＝(2，2，0)，AC →＝(2，0，2)，AP →＝(1，－h ，1)．设平面AFC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AF →＝2x 1＋2y 1＝0，m ·AC →＝2x 1＋2z 1＝0，取x 1＝1，则y 1＝z 1＝－1，所以m ＝(1，－1，－1)．设平面AFP 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AF →＝2x 2＋2y 2＝0，n ·AP →＝x 2－hy 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝－1－h ，所以n ＝(1，－1，－1－h)．因为二面角C －AF －P 的余弦值为223，所以|cos 〈m ·n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝|1＋1＋1＋h|3×2＋（h ＋1）2＝223，解得h ＝1或h ＝－35(舍)，所以正四棱锥P －ABCD 的高h ＝1.20．(12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A －A 1C －B 的正切值大小．解析 方法一：(1)证明：因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以AB ⊥AA 1.在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°. 由正弦定理得∠ACB ＝30°， 所以∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ， 所以AB ⊥平面ACC 1A 1. 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1， 所以AB ⊥A 1C.(2)如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连接BD. 因为AB ⊥A 1C ， 所以A 1C ⊥平面ABD ， 所以BD ⊥A 1C ，所以∠ADB 为二面角A －A 1C －B 的平面角． 在Rt △AA 1C 中，AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3×36＝62，在Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝63， 所以二面角A －A 1C －B 的正切值为63. 方法二：(1)证明：因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC.在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°. 由正弦定理得∠ACB ＝30°， 所以∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC. 如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，A 1(0，0，3)， 所以AB →＝(1，0，0)，A 1C →＝(0，3，－3)． 因为AB →·A 1C →＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0， 所以AB ⊥A 1C.(2)取m ＝AB →＝(1，0，0)为平面AA 1C 1C 的法向量． 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·A 1C →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，3y －3z ＝0，所以x ＝3y ，y ＝z.令y ＝1，则n ＝(3，1，1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3×1＋1×0＋1×0（3）2＋12＋12×12＋02＋02＝155， 所以sin 〈m ，n 〉＝1－（155）2＝105，所以tan 〈m ，n 〉＝63. 所以二面角A －A 1C －B 的正切值为63.21．(12分)已知定点F(1，0)，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且PM →·PF →＝0，|PM →|＝|PN →|. (1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－4，且46≤|AB →|≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围． 解析 (1)y 2＝4x(x>0)．(2)设l 与抛物线交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． 当l 与x 轴垂直时，则由OA →·OB →＝－4，得y 1＝22，y 2＝－22，|AB|＝42<46，不合题意． 故l 与x 轴不垂直．可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b(k ≠0)， 则由OA →·OB →＝－4，得x 1x 2＋y 1y 2＝－4.由点A ，B 在抛物线y 2＝4x(x>0)上有y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，故y 1y 2＝－8.又∵⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，联立消x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0.∴4bk＝－8，b ＝－2k. ∴Δ＝16(1＋2k 2)，|AB|2＝1＋k 2k 2(16k 2＋32)． ∵46≤|AB|≤430， ∴96≤1＋k 2k 2(16k2＋32)≤480.解得直线l 的斜率取值范围为[－1，－12]∪[12，1]．22．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 解析 (1)若△POF 2为等边三角形，则P 的坐标为(c 2，±32c)，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得c 24a2＋3c 24b 2＝1，解得e 2＝4±23，所以e ＝3－1. (2)由题意可得|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，因为PF 1⊥PF 2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，所以(|PF 1→|＋|PF 2→|)2－2|PF 1→|·|PF 2→|＝4c 2，所以2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1→|·|PF 2→|＝2b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1→|·|PF 2→|＝b 2＝16，解得b ＝4.因为(|PF 1→|＋|PF 2→|)2≥4|PF 1→|·|PF 2→|，即(2a)2≥4|PF 1→|·|PF 2→|，即a 2≥|PF 1→|·|PF 2→|，所以a 2≥32，所以a ≥4 2.1．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝22，AA 1＝4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则三棱锥B 1－EFD 1的体积为( )A.66B.1633C.163D ．16 答案 C2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F 1(1，0)，离心率为e.设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若0<k ≤3，则e 的取值范围为________．答案 [3－1，1)解析 设A(m ，n)，则B(－m ，－n)，k ＝n m， 因为原点O 在以线段MN 为直径的圆上，所以OM ⊥ON ，又因为M 为AF 1的中点，所以OM ∥BF 1，同理ON ∥AF 1，所以OMF 1N 是矩形，即AF 1⊥BF 1，而AF 1→＝(1－m ，－n)，BF 1→＝(1＋m ，n)，所以(1－m)(1＋m)－n 2＝0，即m 2＋n 2＝1，又m 2a 2＋n 2b 2＝1， 于是有m 2a 2＋n 2b2＝m 2＋n 2， 从而1a 2－11－1b2＝n 2m 2＝k 2 ≤3， 即1a 2＋3b2≥4， 将b 2＝a 2－1代入，并整理得4a 4－8a 2＋1≤0，解得2－32≤a 2≤2＋32， 又a>c ＝1，所以4－23≤1a2<1， 即3－1≤e<1.3.如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为4且∠DAB ＝60°的菱形，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，E 是O 1A 的中点．(1)求二面角O 1－BC －D 的大小；(2)求点E 到平面O 1BC 的距离．解析 (1)∵OO 1⊥平面ABC ，∴OO 1⊥OA ，OO 1⊥OB.又OA ⊥OB ，建立如图所示的空间直角坐标系．∵底面ABCD 是边长为4，∠DAB ＝60°的菱形，∴OA ＝23，OB ＝2.则A(23，0，0)，B(0，2，0)，C(－23，0，0)，O 1(0，0，3)．∴O 1B →＝(0，2，－3)，O 1C →＝(－23，0，－3)． 设平面O 1BC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则n 1⊥O 1B →，n 1⊥O 1C →.∴⎩⎪⎨⎪⎧2y －3z ＝0，－23x －3z ＝0， 令z ＝2，则x ＝－3，y ＝3，∴n 1＝(－3，3，2)．而平面AC 的一个法向量为n 2＝(0，0，3)，∴cos 〈n 1，n 2＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝63×4＝12. 设二面角O 1－BC －D 的大小为α.∴cos α＝12，∴α＝60°. 故二面角O 1－BC －D 的大小为60°.(2)设点E 到平面O 1BC 的距离为d ，∵E 是O 1A 的中点，∴EO 1→＝(－3，0，32)． 则d ＝|EO 1→·n 1||n 1|＝|（－3，0，32）·（－3，3，2）|（－3）2＋32＋22＝32. ∴点E 到平面O 1BC 的距离为32. 4．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝BC 1＝2，∠AA 1C 1＝60°，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1与A 1C 相交于点D.(1)求证：BD ⊥平面AA 1C 1；(2)设点E 是直线B 1C 1上一点，且DE ∥平面AA 1B 1B ，求平面EBD 与平面ABC 1夹角的余弦值．解析 (1)证明：由已知得侧面AA 1C 1C 是菱形，D 是AC 1的中点．∵BA ＝BC 1，∴BD ⊥AC 1.∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，且BD ⊂平面ABC 1，平面ABC 1∩平面AA 1C 1C ＝AC 1，∴BD ⊥平面AA 1C 1C.(2)设点F 是A 1C 1的中点，∵点D 是AC 1的中点，∴DF ∥平面AA 1B 1B.又∵DE ∥平面AA 1B 1B ，∴平面DEF ∥平面AA 1B 1B.又∵平面DEF ∩平面A 1B 1C 1＝EF ，平面AA 1B 1B ∩平面A 1B 1C 1＝A 1B 1，∴EF ∥A 1B 1.∴点E 是B 1C 1的中点．如图，以D 为原点，以DA 1，DA ，DB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．由已知可得AC 1＝2，AD ＝1，BD ＝A 1D ＝DC ＝3，BC ＝6， ∴D(0，0，0)，A(0，1，0)，A 1(3，0，0)，B(0，0，3)，C 1(0，－1，0)．设平面EBD 的法向量是m ＝(x ，y ，z)，由m ⊥DB →，得3z ＝0⇒z ＝0.又DE →＝12(DC 1→＋DB 1→)＝12(DC 1→＋DB →＋AA 1→)＝(32，－1，32)． 由m ⊥DE →，得(x ，y ，z)·(32，－1，32)＝0⇒32x －y ＝0. 令x ＝1，得y ＝32，∴m ＝(1，32，0)． ∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，DA 1⊥AC 1，∴DA 1⊥平面ABC 1.∴DA 1→是平面ABC 1的一个法向量，DA 1→＝(3，0，0)．∴cos 〈m ，DA 1→〉＝31＋34×3＝277，∴平面EBD 与平面ABC 1夹角的余弦值是277.。