2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业23

课时作业(十八)1．已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值． 解析 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6. 又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)．即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0. 即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减．欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x ，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.2．(2013·衡水调研)设函数f (x )＝x 2＋2x －2ln(1＋x )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈[1e －1，e －1]时，是否存在整数m ，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立？若存在，求整数m 的值；若不存在，则说明理由．解析 (1)由1＋x >0，得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)． f ′(x )＝2x ＋2－2x ＋1＝2x (x ＋2)x ＋1. 由f ′(x )>0，得x >0；由f ′(x )<0，得－1<x <0.∴函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1,0)．(2)由(1)知，f (x )在[1e －1,0]上单调递减，在[0，e －1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝0.又f (1e －1)＝1e 2＋1，f (e －1)＝e 2－e ，且e 2－3>1e 2＋1， ∴x ∈[1e －1，e －1]时，f (x )max ＝e 2－e. ∵不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立，∴⎩⎨⎧－m 2＋2m ＋e 2≥f (x )max ，m <f (x )min .即⎩⎨⎧－m 2＋2m ＋e 2≥e 2－3，m <0⇒⎩⎨⎧m 2－2m －3≤0，m <0⇒ ⎩⎨⎧－1≤m ≤3，m <0⇒－1≤m <0. ∵m 是整数，∴m ＝－1.∴存在整数m ＝－1，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立．3．已知函数f (x )＝ax －ln(－x )，x ∈[－e,0)，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a ＝－1时，确定f (x )的单调性和极值； (2)当a ＝－1时，证明：f (x )＋ln (－x )x >12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解析 (1)∵f (x )＝－x －ln(－x )，f ′(x )＝－1－1x ＝－x ＋1x ，∴当－e ≤x <－1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当－1<x <0时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (－1)＝1.(2)由(1)知f(x)在区间[－e,0)上有唯一的极小值1，即f(x)在区间[－e,0)上的最小值为1，即f(x)min＝1.所证不等式即f(x)>12－ln(－x)x.令h(x)＝12－ln(－x)x，则h′(x)＝ln(－x)－1x2.当－e≤x<0时，h′(x)≤0，故h(x)在[－e,0)上单调递减．∴h(x)max＝h(－e)＝1e＋12<12＋12＝1＝f(x)min.∴当a＝－1时，f(x)＋ln(－x)x>12.(3)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln(－x)的最小值为3.f′(x)＝a－1x(x∈[－e,0))．①若a≥－1e，由于x∈[－e,0)，则f′(x)＝a－1x≥0.∴函数f(x)＝ax－ln(－x)在[－e,0)上是增函数．∴f(x)min＝f(－e)＝－a e－1＝3，解得a＝－4e<－1e，与a≥－1e矛盾，舍去．②若a<－1e，则当－e≤x<1a时，f′(x)＝a－1x<0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是减函数．当1a<x<0时，f′(x)＝a－1x>0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是增函数．∴f(x)min＝f(1a)＝1－ln(－1a)＝3，解得a＝－e2.由①②知，存在实数a＝－e2，使f(x)的最小值为3.4．(2013·山东济宁一模)已知函数f(x)＝x－ln x，g(x)＝ln x x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意的m，n∈(0，e]，都有f(m)－g(n)>12.(注：e≈2.718 28…是自然对数的底数．)解析 (1)∵f (x )＝x －ln x (x >0)，∴f ′(x )＝1－1x ＝x －1x (x >0)． 由f (x )>0，得x >1，由f (x )<0，得0<x <1.∴f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)．(2)由(1)知，当x ∈(0，e]时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，e]上单调递增． ∴当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝1.∵g (x )＝ln xx (x >0)，∴g ′(x )＝1－ln x x 2(x >0)．当x ∈(0，e]时，g (x )≥0，∴g (x )在(0，e]上单调递增． ∴当x ∈(0，e]时，[g (x )]max ＝g (e)＝1e .对任意的m ，n ∈(0，e]，f (m )－g (n )≥[f (m )]min －[g (n )]max ＝1－1e >12. 即证得，对任意的m ，n ∈(0，e]，都有f (m )－g (n )>12.5．(2013·汕头质量测评)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(a 2－1)x ，其中a >0. (1)若函数y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，求a 的值；(2)已知函数f (x )有3个不同的零点，分别为0、x 1、x 2，且x 1<x 2，若对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )>f (1)恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋(a 2－1)，因为y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝0. 即－(－1)2＋2(－1)＋(a 2－1)＝0. 解得a ＝±2.经检验得a ＝2.(2)由题意得f (x )＝x (－13x 2＋x ＋a 2－1)＝－13x (x －x 1)(x －x 2)． 所以方程－13x 2＋x ＋a 2－1＝0有两个相异的实根x 1，x 2. 故Δ＝1＋43(a 2－1)>0，解得a <－12(舍去)或a >12 且x 1＋x 2＝3.又因为x 1<x 2，所以2x 2>x 1＋x 2＝3，故x 2>32>1.①若x1≤1<x2，则f(1)＝－13(1－x1)(1－x2)≥0，而f(x1)＝0不符合题意．②若1<x1<x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x－x1≥0，x－x2≤0，所以f(x)＝－13x(x－x1)(x－x2)≥0.又f(x1)＝0，所以f(x)在[x1，x2]上的最小值为0.于是对任意的x∈[x1，x2]，f(x)>f(1)恒成立的充要条件为f(1)＝a2－13<0，解得－33<a<33.综上得12<a<33，即a的取值范围为(12，33)．6．(2013·西安市质检)设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))点处的切线的方程；(2)求函数f(x)的单调区间与极值；(3)已知函数g(x)＝f(x)＋13有三个互不相同的零点，求m的取值范围．解析(1)当m＝1时，f(x)＝－13x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.切线方程为3x－3y－1＝0.(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1，令f′(x)＝0，得到x＝1－m或x＝1＋m. 因为m>0，所以1＋m>1－m.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m3＋m2－13.函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m3＋m2－13.(3)由(2)知，函数g (x )在x ＝1＋m 处取得极大值g (1＋m )＝f (1＋m )＋13， 且g (1＋m )＝23m 3＋m 2.函数g (x )在x ＝1－m 处取得极小值g (1－m )＝f (1－m )＋13， 且g (1－m )＝－23m 3＋m 2.根据三次函数的图像与性质，函数g (x )＝f (x )＋13有三个互不相同的零点，只需要⎩⎪⎨⎪⎧g (1＋m )＝23m 3＋m 2>0，g (1－m )＝－23m 3＋m 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m >32.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.7．(2013·沧州七校联考)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.解析 (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x故f f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )． (2)设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R . 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.8．(2013·西北五校)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ，若对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．解析 f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x (x >0)． (1)由f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23. (2)f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x(x >0)．①当a ≤0时，x >0，ax －1<0，在区间(0,2)上f ′(x )>0；在区间(2，＋∞)上f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)． ②当0<a <12时，1a >2，在区间(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)和(1a ，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a .③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)22x ， 故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)． ④当a >12时，0<1a <2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2.(3)由已知，在(0,2]上有f (x )max <g (x )max . 由已知，g (x )max ＝0，由(2)可知， ①当a ≤12时，f (x )在(0,2]上单调递增，故f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln2＝－2a －2＋2ln2. 所以，－2a －2＋2ln2<0，解得a >ln2－1. 故ln2－1<a ≤12.②当a >12时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上单调递减，故f (x )max ＝f (1a )＝－2－12a －2ln a .由a >12可知ln a >ln 12>ln 1e ＝－1,2ln a >－2，－2ln a <2. 所以，－2－2ln a <0，f (x )max <0. 综上所述，a >ln2－1.1．(2011·天津文)已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R . (1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当t ≠0时，求f (x )的单调区间；(3)证明：对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．解析 (1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2.因为t ≠0，以下分两种情况讨论：①若t <0，则t2<－t .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，t2)，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(t2，－t )．②若t >0，则－t <t2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，(t2，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(－t ，t 2)．(3)由(2)可知，当t >0时，f (x )在(0，t 2)内单调递减，在(t2，＋∞)内单调递增．以下分两种情况讨论：①当t2≥1，即t ≥2时，f (x )在(0,1)内单调递减．f (0)＝t －1>0， f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≤－6×4＋4×2＋3<0.所以对任意t ∈[2，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．②当0<t 2<1，即0<t <2时，f (x )在(0，t 2)内单调递减，在(t2，1)内单调递增．若t ∈(0,1]，f (t 2)＝－74t 3＋t －1≤－74t 3<0，f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≥－6t ＋4t ＋3＝－2t ＋3>0. 所以f (x )在(t2，1)内存在零点．若t ∈(1,2)，f (t 2)＝－74t 3＋(t －1)<－74t 3＋1<0，f (0)＝t －1>0.所以f (x )在(0，t2)内存在零点．所以，对任意t ∈(0,2)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 综上，对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 2．(2011·江西文)设f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx .(1)如果g (x )＝f ′(x )－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f (x )的解析式； (2)如果m ＋n <10(m ，n ∈N *)，f (x )的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间(a ，b )的长度为b －a )．解析 (1)由题得g (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋(n －3)＝(x ＋m －1)2＋(n －3)－(m －1)2，已知g (x )在x ＝－2处取得最小值－5，所以⎩⎨⎧m －1＝2，(n －3)－(m －1)2＝－5，即m ＝3，n ＝2. 即得所要求的解析式为f (x )＝13x 3＋3x 2＋2x .(2)因为f ′(x )＝x 2＋2mx ＋n ，且f (x )的单调递减区间的长度为正整数，故f ′(x )＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m 2－4n >0，即m 2>n .不妨设为x 1，x 2，则|x 2－x 1|＝2m 2－n 为正整数． 故m ≥2时才可能有符合条件的m ，n ， 当m ＝2时，只有n ＝3符合要求， 当m ＝3时，只有n ＝5符合要求， 当m ≥4时，没有符合要求的n .综上所述，只有m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝5满足上述要求． 3．已知函数f (x )＝e x ＋ax ，g (x )＝e x ln x .(e ≈2.718 28…)．(1)设曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与直线x ＋(e －1)y ＝1垂直，求a 的值； (2)若对于任意实数x ≥0，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值范围； (3)当a ＝－1时，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线C ：y ＝g (x )－f (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解析 (1)由题知，f ′(x )＝e x ＋a .因此曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l的斜率为e＋a，又直线x＋(e－1)y＝1的斜率为11－e，∴(e＋a)11－e＝－1.∴a＝－1.(2)∵当x≥0时，f(x)＝e x＋ax>0恒成立，∴若x＝0，a为任意实数，f(x)＝e x＋ax>0恒成立．若x>0，f(x)＝e x＋ax>0恒成立，即当x>0时，a>－e xx恒成立．设Q(x)＝－e xx.Q′(x)＝－e x x－e xx2＝(1－x)e xx2.当x∈(0,1)时，Q′(x)>0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，Q′(x)<0，则Q(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴当x＝1时，Q(x)取得最大值．Q(x)max＝Q(1)＝－e.∴要使x≥0时，f(x)>0恒成立，a的取值范围为(－e，＋∞)．(3)依题意，曲线C的方程为y＝e x ln x－e x＋x.令M(x)＝e x ln x－e x＋x，∴M′(x)＝e xx＋ex ln x－e x＋1＝(1x＋ln x－1)ex＋1.设h(x)＝1x＋ln x－1，则h′(x)＝－1x2＋1x＝x－1x2.当x∈[1，e]时，h′(x)≥0.故h(x)在[1，e]上为增函数，因此h(x)在区间[1，e]上的最小值为h(1)＝ln1＝0.所以h(x)＝1x＋ln x－1≥0.当x0∈[1，e]时，.∴.曲线y＝e x ln x－e x＋x在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程M′(x0)＝0在x∈[1，e]上有实数解．而M′(x0)>0，即方程M′(x0)＝0无实数解．故不存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝M(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直．4．已知x>12，函数f(x)＝x2，h(x)＝2eln x(e为自然常数)．(1)求证：f(x)≥h(x)；(2)若f(x)≥h(x)且g(x)≤h(x)恒成立，则称函数h(x)的图像为函数f(x)，g(x)的“边界”．已知函数g(x)＝－4x2＋px＋q(p，q∈R)，试判断“函数f(x)，g(x)以函数h(x)的图像为边界”和“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．解析(1)证明：记u(x)＝f(x)－h(x)＝x2－2eln x，则u′(x)＝2x－2e x，令u′(x)>0，因为x>12，所以x> e.所以函数u(x)在(12，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．u(x)min＝u(e)＝f(e)－h(e)＝e－e＝0，即u(x)≥0，所以f(x)≥h(x)．(2)由(1)知，f(x)≥h(x)对x>12恒成立，当且仅当x＝e时等号成立．记v(x)＝h(x)－g(x)＝2eln x＋4x2－px－q，则“v(x)≥0恒成立”与“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”同时成立，即v(x)≥0对x>12恒成立，当且仅当x＝e时等号成立．所以函数v(x)在x＝e时取极小值．注意到v′(x)＝2ex＋8x－p＝8x2－px＋2ex，由v′(e)＝0，解得p＝10 e.此时v′(x)＝8(x－e)(x－e4)x，由x>12知，函数v(x)在(12，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，即v(x)min＝v(e)＝h(e)－g(e)＝－5e－q＝0，q＝－5e，综上，两个条件能同时成立，此时p＝10e，q＝－5e.5．(2012·山东卷)已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1＋e－2.解析(1)由f(x)＝ln x＋k e x，得f′(x)＝1－kx－x ln xx e x，x∈(0，＋∞)．由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)得f′(x)＝1x e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．令h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.又e x>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)因为g(x)＝(x2＋x)f′(x)，所以g(x)＝x＋1e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－x ln x<e xx＋1(1＋e－2)．由(2)中h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)．因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2.故1－x－x ln x≤1＋e－2.设φ(x)＝e x－(x＋1)．因为φ′(x)＝e x－1＝e x－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0.故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)>0，即e xx＋1>1.所以1－x－x ln x≤1＋e－2<e xx＋1(1＋e－2)．因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2.6．(2011·山东文)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建筑费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解析(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝43(20r2－r)．由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43(20r2－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8π(c－2)r2(r3－20c－2)，0<r<2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m>0.所以y′＝8π(c－2)r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2即c>92时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2)时，y′>0.所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3<c≤92时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费用最小时r＝320c－2.7．(2013·江南十校)设M是满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)－x＝0有实数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.”(1)若函数f(x)为集合M中的任一元素，试证明方程f(x)－x＝0只有一个实根；(2)判断函数g(x)＝x2－ln x2＋3(x>1)是否是集合M中的元素，并说明理由；(3)“对于(2)中函数g(x)定义域内的任一区间[m，n]，都存在x0∈[m，n]，使得g(n)－g(m)＝(n－m)g′(x0)”，请利用函数y＝ln x的图像说明这一结论．解析(1)令h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝f′(x)－1<0，即h(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．所以，使h(x)＝0，即f(x)－x＝0成立的x至多有一解．又由题设①知方程f(x)－x ＝0有实数根， 所以，方程f(x)－x ＝0只有一个实数根．(2)由题意知，g ′(x)＝12－12x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12⊂(0,1)，满足条件．令F(x)＝g(x)－x ＝－x 2－ln x2＋3(x>1)，则F(e )＝－e 2＋52>0，F(e 2)＝－e22＋2<0.又F(x)在区间[e ，e 2]上连续，所以F(x)在[e ，e 2]上存在零点x 0，即方程g(x)－x ＝0有实数根x 0∈[e ，e 2]，故g(x)满足条件①.综上可知，g(x)∈M.(3)由(1)知：g(n)－g(m)＝12(n －m)－12(ln n －ln m)， 而(n －m)g ′(x 0)＝(n －m)(12－12x 0)，所以原式等价于ln n －ln m n －m ＝1x 0.该等式说明函数y ＝ln x(x>1)上任意两点A(m ，ln m)和B(n ，ln n)的连线段AB(如图所示)，在曲线y ＝ln x(m ≤x ≤n)上都一定存在一点P(x 0，ln x 0)，使得该点处的切线平行于AB ，根据y ＝ln x(x>1)图像知该等式一定成立．8．(2013·郑州质检)已知函数f(x)＝x －ln (x ＋a)在x ＝1处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f(x)＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．答案 (1)0 (2)54＋ln 2≤b<2 解析 (1)对f(x)求导，得f ′(x)＝1－1x ＋a. 由题意，得f ′(1)＝0，即1－11＋a＝0，∴a ＝0. (2)由(1)得f(x)＝x －ln x.∴f(x)＋2x ＝x 2＋b ，即x 2－3x ＋ln x ＋b ＝0.设g(x)＝x 2－3x ＋ln x ＋b(x>0)，则g ′(x)＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x.令g ′(x)＝0，得x 1＝12，x 2＝1.当x 变化时，g ′(x)、g(x)的变化情况如下表：又g(12)＝b －54－ln 2，g(2)＝b －2＋ln 2.∵方程f(x)＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g (12)≥0，g (1)<0，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧b －54－ln 2≥0，b －2<0，b －2＋ln 2≥0，解得54＋ln 2≤b<2.9．已知函数f(x)＝ax 2－2x ＋1，g(x)＝ln (x ＋1)． (1)求函数y ＝g(x)－x 在[0,1]上的最小值；(2)当a ≥12时，函数t(x)＝f(x)＋g(x)的图像记为曲线C ，曲线C 在点(0,1)处的切线为l ，是否存在a 使l 与曲线C 有且仅有一个公共点？若存在，求出所有a 的值；否则，说明理由．(3)当x ≥0时，g(x)≥－12f(x)＋12恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)y ′＝1x ＋1－1，因为0≤x ≤1，所以y ′≤0. 所以y ＝g(x)－x 在[0,1]上单调递减． 当x ＝1时，y 取最小值为ln 2－1. 故y ＝g(x)－x 在[0,1]的最小值为ln 2－1.(2)函数t(x)的定义域为(－1，＋∞)，t ′(x)＝2ax －2＋1x ＋1，t ′(0)＝－1.所以在切点P(0,1)处的切线l 的斜率为－1. 因此切线方程为y ＝－x ＋1.因此切线l 与曲线C 有唯一的公共点，所以，方程ax 2－x ＋ln (x ＋1)＝0有且只有一个实数解．显然，x ＝0是方程的一个解．令φ(x)＝ax 2－x ＋ln (x ＋1)，则φ′(x)＝2ax －1＋1x ＋1＝2ax ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1x ＋1.当a ＝12时，φ′(x)＝x 2x ＋1≥0，于是，φ(x)在(－1，＋∞)上单调递增，即x＝0是方程唯一的实数解．当a>12时，由φ′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝12a －1∈(－1,0)． 在区间(－1，x 2)上，φ′(x)>0，在区间(x 2,0)上，φ′(x)<0. 所以，函数φ(x)在x 2处有极大值φ(x 2)，且φ(x 2)>φ(0)＝0.而当x →－1时，φ(x)→－∞，因此，φ(x)＝0在(－1，x 2)内也有一个解，矛盾．综上，得a ＝12.(3)令h(x)＝g(x)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12f (x )＋12＝ln (x ＋1)＋12ax 2－x ，h ′(x)＝1x ＋1＋ax －1＝ax 2＋(a －1)x x ＋1＝x[ax ＋(a －1)]x ＋1(x>－1)．若a ＝0，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≤0，则h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝0，不合题意；若a ≥1，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≥0，则h(x)在[0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，符合题意；若0<a<1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1－a a 时，h ′(x)≤0，则h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1－a a 单调递减，故h(1－aa )<h(0)＝0，不合题意；若a<0，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≤0，则h(x)在[0，＋∞)单调递减，故h(1)<h(0)＝0，不合题意．综上：a的取值范围是a≥1.。

【与名师对话】2014年高考数学总复习 几何证明选讲配套课时作业 理 新人教A 版选修4-1一、选择题1．如图，E 是▱ABCD 边BC 上一点，BE EC ＝4，AE 交BD 于F ，BF FD等于 ( )A.45B.49C.59D.410解析：在AD 上取点G ，使AG ：GD ＝1：4，连接CG 交BD 于H ，则CG ∥AE ，∴BF FH ＝BE CE ＝4，DH FH ＝DG GA ＝4，∴BF FD ＝45. 答案：A2．如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( )A．3 B.15C．3 2 D．3 5解析：由切割线定理知：PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45，∴PN＝3 5.答案：D3．AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为( )A．105°B．115°C．120°D．125°解析：∵PC是⊙O的切线，∴∠BDC＝∠PCB，又∠ADB＝∠ACB，∴∠ADC＝∠ACB＋∠PCB＝115°.答案：B4．如图所示，已知圆O的直径AB＝6，C为圆O上一点，且BC＝2，过点B的圆O 的切线交AC延长线于点D，则DA等于( )A．1 B．2C. 6 D．3解析：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°又AB＝6，BC＝2，得AC＝2.BD是圆O的切线，则AB⊥BD，由射影定理得BC2＝AC·CD.故CD＝1，所以AD＝2＋1＝3.故选D.答案：D5．如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，PC＝23，若∠CAP＝30°，则⊙O的直径AB等于 ( )A．2 B．4C．6 D．2 3解析：连接OC，则由PC是切线知OC⊥PC.由∠CAP＝30°，知∠COP＝60°，故∠CPA＝30°.因为PC＝23，故PO＝4.设半径为r，则PB＝4－r，PA＝4＋r.由PC2＝PA·PB知12＝16－r2，∴r＝2，∴AB＝4.故选B.答案：B二、填空题6．(2012年广东)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.解析：连接OA，由圆周角定理得∠AOC＝60°，又由切线的性质得OA⊥PA，在Rt△POA中，PA＝OA·tan∠AOC＝ 3.答案： 37．(2012年湖南)如图，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO ＝3，则⊙O的半径等于________．解析：如图，取AB的中点C，连接OB、OC，则OC⊥AB，且CB＝1，CP＝2，OC＝OP2－CP2＝ 5.∴圆O的半径为OB＝OC2＋CB2＝ 6.答案： 68．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB PA ＝12，PCPD＝13，则BCAD的值为________．解析：如图，作圆O 的切线PT ，令PB ＝t ，PA ＝2t ，PC ＝x ，PD ＝3x ，由切割线定理得：PB ·PA ＝PT 2，PC ·PD ＝PT 2，即2t 2＝3x 2，∴t 2x 2＝32，t x ＝62.又易知△PBC ∽△PDA ，∴BC AD ＝PB PD ＝t 3x ＝66. 答案：669．(2012年湖北)如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为______．解析：延长CD 交⊙O 于点E ， ∵OD ⊥CE ，∴CD ＝DE .由相交弦定理得CD 2＝AD ·BD ≤⎝⎛⎭⎪⎫AD ＋BD 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝4，∴CD ≤2，当且仅当AD ＝BD 时，CD 取最大值2.答案：2 三、解答题10．(2013年宁夏银川月考)在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D .(1)求证：PC AC ＝PD BD；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：∵∠CPD ＝∠ABC ，∠D ＝∠D ， ∴△DPC ～△DBA ，∴PC AB ＝PD BD又∵AB ＝AC ，∴PC AC ＝PD BD(2)∵∠ACD ＝∠APC ，∠CAP ＝∠CAP ，∴△APC ～△ACD ∴AP AC ＝AC AD， ∴AC 2＝AP ·AD ＝911．如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．解：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD ， 故△ABE ∽△ADC . (2)因为△ABE ∽△ADC ， 所以AB AE ＝AD AC， 即AB ·AC ＝AD ·AE ，又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角， 所以∠BAC ＝90°.12．(2012年哈三中高三月考)如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，AP 与CB 的延长线交于点P ，A 为切点．若PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线AE 与BC 和⊙O 分别交于点D 、E ，求AD ·AE 的值．解：连接CE ，∵PA 2＝PB ·PC ，PA ＝10，PB ＝5， ∴PC ＝20，BC ＝15.∵PA 与⊙O 相切于点A ，∴∠PAB ＝∠ACP ，∴△PAB ∽△PCA ，∴AB AC ＝PB PA ＝12.∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝90°，AC 2＋AB 2＝BC 2＝225.可解得AC ＝65，AB ＝3 5.又∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝∠EAB ， 又∵∠ABC ＝∠E ，∴△ACE ∽△ADB ， ∴AB AE ＝AD ACAD·AE＝AB·AC＝35×65＝90.[热点预测]13．如图，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连接CF交AB于E点．(1)求证：DE2＝DB·DA；(2)若BE＝1，DE＝2AE，求DF的长．解：(1)证明：连接OF，∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC.∵DF是⊙O的切线，∴OF⊥DF，又∵OC垂直于弦AB，∴∠AEC＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF.∵DF是⊙O的切线，∴DF2＝DB·DA，∴DE2＝DB·DA.(2)设AE＝x，则DE＝2x，DF＝2x. ∵DF2＝DB·DA，∴(2x)2＝3x(2x－1)，解得2x＝3，∴DF的长为3.。

课时作业(二十九)1．若a ＋b ＋c ＝0，则a 、b 、c( )A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B ．一定不可能构成三角形C ．都是非零向量时能构成三角形D ．一定可构成三角形 答案 A解析 易知A 正确．2．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是( ) A ．e ＝a|a | B ．a ＝|a |e C ．a ＝－|a |e D ．a ＝±|a |e答案 D解析 对于A ，当a ＝0时，a|a |没有意义，错误； 对于B 、C 、D 当a ＝0时，选项B 、C 、D 都对； 当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同向或反向，选D. 3．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB →＋CD →＝BC →＋DA →；②AC →＋BD →＝BC →＋AD →；③AC →－BD →＝DC →＋AB →.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 C解析 ②AC →－BC →＝AD →－BD →⇒AC →＋CB →＝AB →＝AD →＋DB →，正确； ③AC →－AB →＝BD →＋DC →⇒BC →＝BC →.正确． 故C 选项正确．4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.P A →＋PB →＝0B.PC →＋P A →＝0C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0答案 B解析 画图可知B 正确．5．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →答案 A解析 AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →. ∵2AC →＋CB →＝0，∴2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0. ∴OC →＝2OA →－OB →.故A 正确．6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23答案 A解析 ∵AD →＝CD →－CA →，DB →＝CB →－CD →，AD →＝2DB →， ∴CD →－CA →＝2CB →－2CD →，CD →＝13CA →＋23CB →. ∴λ＝23，故A 正确．7．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )A ．－13OA →＋43OB → B.13OA →＋43OB → C.13OA →－43OB → D ．－13OA →－43OB →答案 A解析 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →. 8．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t ＝( )A.12B.23C.34D.45答案 C解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →，Q 为BC 中点，∴CB →＝2CQ →.∴CM →＝tCP →＝23tCA →＋13tCB →＝23tCQ →＋23tCA →.∵A 、M 、Q 三点共线，∴23t ＋23t ＝1，∴t ＝34.故C 正确．9．设a 、b 为不共线的非零向量，AB →＝2a ＋3b ，BC →＝－8a －2b ，CD →＝－6a －4b ，那么( )A.AD →与BC →同向，且|AD →|>|BC →|B.AD →与BC →同向，且|AD →|<|BC →|C.AD →与BC →反向，且|AD →|>|BC →|D.AD →∥BD → 答案 A解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝2a ＋3b ＋(－8a －2b )＋(－6a －4b )＝－12a －3b ，BC →＝－8a －2b ，∴AD →＝32BC →.∴AD →与BC →同向，且|AD →|＝32|BC →|. ∴|AD →|>|BC →|.故选A.10．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，那么一定有( ) A.PB →＝2CP → B.CP →＝2PB → C.AP →＝2PB → D.PB →＝2AP → 答案 D解析 由题意得P A →＋PB →＋PC →＝PC →－P A →，即PB →＝－2P A →＝2AP →，选D. 11．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对答案 C解析 由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.∴AD →∥BC →，又AB →与CD →不平行，∴四边形ABCD 是梯形．12．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )的充要条件是AP →＝λ(AB →＋AD →)，则λ的取值范围是( )A ．λ∈(0,1)B ．λ∈(－1,0)C ．λ∈(0，22) D ．λ∈(－22，0)答案 A解析 如图，∵点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )， ∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，由AP →与AC →同向知，λ>0. 又|AP →|<|AC →|，∴|AP →||AC →|＝λ<1，∴λ∈(0,1)．反之亦然． 13．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________．答案 1 2 解析如图，取AC 中点D . ∴OA →＋OC →＝2OD →. ∴OD →＝BO →.∴O 为BD 中点，∴面积比为高之比．14．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为________．答案 λ1λ2－1＝0解析 A 、B 、C 三点共线⇔AB →∥AC →⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1.15．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是________．答案 0 解析CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →. ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →. ∴32CD →＝AB →－AC →. ∴CD →＝23AB →－23AC →.又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23. ∴r ＋s ＝0.16．已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．答案 略证明 如图所示，∵E 、F 是AD 与BC 的中点，∴EA →＋ED →＝0，FB →＋FC →＝0.又∵AB →＋BF →＋FE →＋EA →＝0， ∴EF →＝AB →＋BF →＋EA →.① 同理 EF →＝ED →＋DC →＋CF →.②由①＋②，得2EF →＝AB →＋DC →＋(EA →＋ED →)＋(BF →＋CF →)＝AB →＋DC →.∴EF →＝12(AB →＋DC →)．17．已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.答案 (1)0 (2)略解析 (1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )． 因为G 是△ABO 的重心， 所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )． 由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →. 所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m )a ＋13b ， GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋(n －13)b ， 所以(13－m )a ＋13b ＝λ[－13a ＋(n －13)b ]． 又因为a 、b 不共线， 所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ(n －13)，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n .故1m ＋1n ＝3.1．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →答案 A解析 ∵D 是AB 的中点，∴BD →＝12BA →. ∴CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.2．(2011·上海文)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案 B3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 答案 A解析 由BD →＝2DC →，知BD →＝23BC →.又∵BC →＝b －c ，∴BD →＝23(b －c )，∴AD →＝AB →＋BD →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .4．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D答案 A解析 BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b ) ＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，∴BD →与AB →共线．又∵有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．5．(2011·四川理)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →答案 D解析 由于BA →＝DE →，故BA →＋CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →.6．设e 是与向量AB →共线的单位向量，AB →＝3e ，又向量BC →＝－5e ，若AB →＝λAC →，则λ＝________.答案 －32解析 AC →＝AB →＋BC →＝3e －5e ＝－2e . 由AB →＝λ·AC →，得3e ＝λ·(－2)·e ，∴λ＝－32.7．在△ABC 中，点D 满足AD →＝3DC →，BD →＝λBA →＋μBC →，则λμ＝________. 答案 316解析 AD →＝BD →－BA →，DC →＝BC →－BD →.∵AD →＝3DC →，∴BD →－BA →＝3BC →－3BD →，∴4BD →＝3BC →＋BA →，BD →＝34BC →＋14BA →，∴λ＝14，μ＝34，故λμ＝316.。

课时作业(三十二)1．已知△ABC 中，(AB →·BC →)∶(BC →·CA →)∶(CA →·AB →)＝1∶2∶3，则△ABC 的形状为( )A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．非等腰锐角三角形答案 D解析 设AB →·BC →＝－a 2＋c 2－b 22＝k ，故a 2＋c 2－b 2＝－2k ，同理可得a 2＋b 2－c 2＝－4k ， b 2＋c 2－a 2＝－6k 联立解得 a 2＝－3k ，b 2＝－5k ，c 2＝－4k . 故最大角的余弦cos B ＝36>0，故选D.2．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是 ( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 答案 D解析 由已知，AB →2＝AB →·AC →－AB →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →＋CB →)＋CA →·CB →＝AB →2＋CA →·CB →，∴CA →·CB →＝0.3．设O 点在三角形ABC 内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则三角形ABC 的面积与三角形AOC 的面积之比( )A ．2 B.32 C ．3 D.53答案 C解析 联想三角形ABC 重心满足GA →＋GB →＋GC →＝0可延长OB 至E 使OE →＝2OB →延长OC 至F 使OF →＝3OC →，则O 为三角形AEF 的重心从而S △AOC ＝13S △AOF ＝19S △AEF ， S △AOB ＝12S △AOE ＝16S △AEF ， S △BOC ＝13S △BOF ＝118S △AEF .∴S △ABC ＝S △AOC ＋S △AOB ＋S △BOC ＝618S △AEF .4．(2010·湖南卷改编)已知A ，B 是圆心为C 半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．0 D.532答案 A解析 本题考查向量的数量积的运算．由于弦长|AB |＝5与半径相同，则∠ACB ＝60°⇒AC →·CB →＝－CA →·CB →＝－|CA →|·|CB →|·cos ∠ACB ＝－5·5·cos60°＝－52.5．已知a ，b 是两个非零向量，给定命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：∃t ∈R ，使得a ＝t b ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|＝|a ||b |， ∴θ＝0°或180°，即a ，b 共线． ∴∃t ∈R ，使得a ＝t b 成立． ∴p 是q 的充分条件．若∃t ∈R ，使得a ＝t b ，则a ，b 共线． ∴|a ·b |＝|a ||b |.∴p 是q 的必要条件． 综上可知，p 是q 的充要条件．6．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案 B解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|⇒|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2⇒AB →·AC →＝0，∴三角形为直角三角形，故选B.7．已知两个非零向量a ＝(m －1，n －1)，b ＝(m －3，n －3)，且a 与b 的夹角是钝角或直角，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[2，32]B ．[2,6]C ．(2，32)D ．(2,6)答案 B解析 根据a 与b 的夹角是钝角或直角得a·b ≤0，即(m －1)(m －3)＋(n －1)(n －3)≤0.整理得(m －2)2＋(n －2)2≤2.所以点(m ，n )在以(2,2)为圆心，2为半径的圆上或圆内．令m ＋n ＝z ，n ＝－m ＋z 表示斜率为－1，在纵坐标轴上的截距为z 的直线，根据线性规划知识得2≤m ＋n ≤6.8．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32]，则AB →与BC →夹角的取值范围是( )A ．[π4，π3] B ．[π6，π4] C ．[π6，π3] D ．[π3，π2]答案 B解析 设〈AB →，BC →〉＝α，因为AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos α＝3⇒|AB →|·|BC →|＝3cos α，又S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－α)＝12·3cos α·sin(π－α)＝32tan α，而32≤S ≤32⇒32≤32tan α≤32⇒33≤tan α≤1⇒π6≤α≤π4.故选B.9．如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点，若(AB →＋BC →)·(BA →＋AD →)＝0，则四边形EFGH 是( )A ．平行四边形，但不是矩形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 答案 B解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，BA →＋AD →＝BD →， 且(AB →＋BC →)·(BA →＋AD →)＝0， ∴AC →·BD →＝0，即AC →⊥BD →.又∵E 、F 、G 、H 为四边形ABCD 四边的中点， ∴EH →∥BD →∥FG →，EF →∥AC →∥HG →.故四边形EFGH 为平行四边形且EH →⊥EF →，即为矩形．10．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形答案 D分析 本题可先由条件的几何意义得出AB ＝AC ，再求得A ＝π3，即可得出答案．解析 因为非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D.11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π3，π] C ．[π3，2π3] D ．[π6，π]答案 B解析 |a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0，设向量a ·b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈[π3，π]．12．已知坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于________．答案 －34解析 设A (y 212，y 1)，B (y 222，y 2)， 则OA →＝(y 212，y 1)，OB →＝(y 222，y 2)． 又由y 1y 2＝－p 2＝－1，∴OA →·OB →＝(y 212，y 1)·(y 222，y 2)＝14y 21y 22＋y 1y 2 ＝14－1＝－34.13．已知向量i 和j 为互相垂直的单位向量，向量a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(－2，12)解析 ∵0<〈a ，b 〉<π2，∴0<cos 〈a ，b 〉<1，∴0<a ·b|a |·|b |<1，即0<1－2λ5·1＋λ2<1，解得λ<12且λ≠－2，∴λ的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，12)．14．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解析 (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω1＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件．其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件， 则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω2＝{(x ，y )|⎩⎨⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1}，B ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y}，如图所示，则P (B )＝＝12×(12＋32)×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13. 15．(2013·烟台调研)已知向量m ＝(a ＋c ，b )，n ＝(a －c ，b －a )，且m·n ＝0，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．(1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的取值范围． 解 (1)由m·n ＝0，得(a ＋c )(a －c )＋b (b －a )＝0⇒a 2＋b 2－c 2＝ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12. ∵0<C <π，∴C ＝π3. (2)∵C ＝π3，∴A ＋B ＝2π3. ∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(2π3－A ) ＝sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3(32sin A ＋12cos A ) ＝3sin(A ＋π6)．∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6. ∴12<sin(A ＋π6)≤1.∴32<3sin(A ＋π6)≤3，即32<sin A ＋sin B ≤ 3.16．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值． 解析 (1)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，∴(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 即2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴2sin A cos B ＝sin A . ∵0<A <π，∴sin A ≠0，∴cos B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)m ·n ＝4k sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1，A ∈(0，2π3)， 设sin A ＝t ，则t ∈(0,1]．则m ·n ＝－2t 2＋4kt ＋1＝－2(t －k )2＋1＋2k 2，t ∈(0,1]． ∵k >1，∴t ＝1时，m ·n 取最大值． 依题意得(m ·n )max ＝－2＋4k ＋1＝5，∴k ＝32.1．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则当(a ＋b )2＝(a －b )2时，该平行四边形为( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．以上都不正确答案 B解析 数形结合，在平行四边形中， a ＋b ＝AB →＋AD →＝AC →，a －b ＝AB →－AD →＝DB →，由|a ＋b |＝|a －b |，∴|AC →|＝|DB →|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B.2．(2013·唐山统考)在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝xBA →，CE →＝yCA →，x >0，y >0，且x ＋y ＝1，则CD →·BE →的最大值为( )A ．－58 B ．－34 C ．－32 D ．－38答案 D解析 建立如图所示的直角坐标系，则A (－12，0)，B (12，0)，C (0，32)，设D (x 1,0)，E (x 2，y 2)，∵BD →＝xBA →，∴(x 1－12，0)＝x (－1,0)，∴x 1＝－x ＋12. ∵CE →＝yCA →，∴(x 2，y 2－32)＝y (－12，－32)． ∴x 2＝－12y ，y 2＝32－32y .∴CD →·BE →＝(x 1，－32)·(x 2－12，y 2)＝(x 1，－32)·(－12y －12，32－32y )＝(－x ＋12，－32)·(－1＋x 2，32x )＝－12(x 2－x ＋1)＝－12(x －12)2－38.∵0<x <1，∴当x ＝12时，CD →·BE →取得最大值－38.故选D.3．已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋5在实数集R 上单调递增，则向量a ，b 的夹角的取值范围是( )A ．[0，π6] B ．[0，π3] C ．(0，π3] D ．[π3，π]答案 B解析 f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ，由Δ＝36|a |2－4×6×6|a |·|b |cos 〈a ，b 〉≤0， 且|a |＝2|b |≠0.得cos 〈a ，b 〉≥12，故选B.4．设G 是△ABC 的重心，且(56sin A )GA →＋(40sin B )GB →＋(35sin C )GC →＝0，则B 的大小为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°答案 D解析 ∵G 为△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0.∴56sin A ＝40sin B ＝35sin C ，结合正弦定理有56a ＝40b ＝35c ，∴a ＝57b ，c ＝87b ，由余弦定理有cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴B ＝60°.5．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0答案 B解析 根据向量加法的几何意义BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故P A →＋PC →＝0.6．设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b ＝ ( )A ．(32，－12)或(－32，12)B ．(32，12)C ．(－32，－12)D ．(32，12)或(－32，－12) 答案 D解析 设b ＝(x ，y )，由a ∥b 可得3y －3x ＝0.又x 2＋y 2＝1，得b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)，故选D.7．已知三点A (2,3)，B (－1，－1)，C (6，k )，其中k 为常数．若|AB →|＝|AC →|，则AB →与AC →的夹角的余弦值为( ) A ．－2425B ．0或2425C.2425 D ．0或－2425答案 D解析 由|AB →|＝|AC →|解得k ＝0或6，当k ＝0时，AB →与AC →的夹角为π2，其余弦值为0；当k ＝6时，AB →与AC →的夹角余弦值为－2425.8．已知a ＝(－12，32)，b ＝(1，3)，则|a ＋t b |(t ∈R )的最小值等于( ) A ．1 B.32 C.12 D.22答案 B解析 方法一 ∵a ＋t b ＝(－12＋t ，32＋3t )，∴|a ＋t b |2＝(－12＋t )2＋(32＋3t )2＝4t 2＋2t ＋1＝4(t ＋14)2＋34.∴当t ＝－14时，|a ＋t b |2取得最小值34，即|a ＋t b |取得最小值32.故选B. 方法二 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，在OB 上任取一点T ，使得OT →＝－t b (t <0)，则|a ＋t b |＝|TA →|，显然，当AT ⊥OB 时，取最小值．由TA →·OB →＝(a ＋t b )·b ＝a ·b ＋t b 2＝0，得t ＝－14. ∴当t ＝－14时，|a ＋t b |取得最小值32.9．(2011·浙江理)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 [π6，5π6]解析 对于以向量α，β为邻边的平行四边形的面积S ＝12|α||β|·sin 〈α，β〉×2＝|β|sin 〈α，β〉＝12，因此sin 〈α，β〉＝12|β|∈[12，1]，因此α与β的夹角θ的取值范围是[π6，5π6]．10．(2011·江西理)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．答案 π3解析 由|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，得a ·b ＝2·cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°.11．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解析 ∵a 与a ＋λb 均不是零向量，夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0,3λ>－5，λ>－53. 当a 与a ＋λb 共线时，a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)．∴由⎩⎨⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，得λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线．∴λ≠0.故λ>－53且λ≠0.12．已知△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0.(1)求数量积OA →·OB →，OB →·OC →，OC →·OA →； (2)求△ABC 的面积．解析 (1)∵|OA |＝|OB |＝|OC |＝1， 由条件可得3OA →＋4OB →＝－5OC →，两边平方得9|OA →|2＋24OA →·OB →＋16|OB →|2＝25|OC →|2.∴OA →·OB →＝0.同理可得OB →·OC →＝－45，OC →·OA →＝－35. (2)由OA →·OB →＝0，可得OA →⊥OB →. ∴S △AOB ＝12|OA →||OB →|＝12.由OB →·OC →＝－45，得cos ∠BOC ＝－45. ∴sin ∠BOC ＝35.∴S △BOC ＝12|OB →||OC →|sin ∠BOC ＝310.由OC →·OA →＝－35，得cos ∠COA ＝－35，∴sin ∠COA ＝45. ∴S △AOC ＝12|OA →||OC →|sin ∠COA ＝25，即可得S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △COA ＝12＋310＋25＝65.小结 由a 与a ＋λb 的夹角为锐角，可得a ·(a ＋λb )>0，但由a ·(a ＋λb )>0，并不能推得a 与a ＋λb 的夹角为锐角，如λ＝0时，a ·(a ·λb )>0，但此时夹角为0，所以a ·(a ＋λb )>0仅是a 与a ＋λb 夹角为锐角的必要条件，而不是充分条件．三角形的“心”的向量表示及应用1．三角形各心的概念介绍 重心：三角形的三条中线的交点； 垂心：三角形的三条高线的交点；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)； 外心：三角形的三边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． 根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．2．三角形各心的向量表示(1)O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0； (2)O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；(3)O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)O 是△ABC 的内心⇔OA →·(AB →|AB →|－AC →|AC →|)＝OB →·(BA →|BA →|－BC →|BC →|)＝OC →·(CA →|CA →|－CB→|CB →|)＝0.注意 向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)1．将平面向量与三角形内心结合考查例1 O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】 因为AB→|AB →|是向量AB →的单位向量，设AB →与AC →方向上的单位向量分别为e 1和e 2，又OP →－OA →＝AP →，则原式可化为AP →＝λ(e 1＋e 2)，由菱形的基本性质可知AP 平分∠BAC ，那么在△ABC 中，AP 平分∠BAC ，故选B.【答案】 B2．将平面向量与三角形垂心结合考查例2 点P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】 由P A →·PB →＝PB →·PC →，得P A →·PB →－PB →·PC →＝0，即PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，则PB ⊥CA .同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，所以P 为△ABC 的垂心．故选D.【讲评】 本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形的垂心的定义等相关知识．将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合．【答案】 D3．将平面向量与三角形重心结合考查例3 点P 是△ABC 所在平面内任一点．G 是△ABC 的重心⇔PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)．【证明】 PG →＝P A →＋AG →＝PB →＋BG →＝PC →＋CG →⇒3PG →＝(AG →＋BG →＋CG →)＋(P A →＋PB →＋PC →)．∵点G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0⇒AG →＋BG →＋CG →＝0，即3PG →＝P A →＋PB →＋PC →，由此得PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)．反之亦然(证略)．4．将平面向量与三角形外心结合考查例4 若O 为△ABC 内一点，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 是△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心D ．重心【解析】 由向量模的定义知O 到△ABC 的三顶点距离相等，故O 是△ABC的外心，故选B.【答案】 B5．将平面向量与三角形四心结合考查例5 已知向量OP 1→，OP 2→，OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．【证明】 由已知条件可得OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，两边平方得OP 1→·OP 2→＝－12. 同理OP 2→·OP 3→＝OP 3→·OP 1→＝－12. ∴|P 1P 2→|＝|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3. 从而△P 1P 2P 3是正三角形．1．O 为空间中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 D2．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13(12OA →＋12OB →＋2OC →)，则点P 一定为三角形ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点 答案 B解析 取AB 边中点M ，则OA →＋OB →＝2OM →.由OP →＝13(12OA →＋12OB →＋2OC →)，可得3OP →＝3OM →＋2MC →，∴MP →＝23MC →，即点P 为△ABC 中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.3．在同一个平面上有△ABC 及一点O 满足关系式：OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2＝OC →2＋AB →2，则点O 为△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 D解析 由OA →2－OB →2＝CA →2－BC →2，得(OA →＋OB →)(OA →－OB →)＝(CA →－BC →)(CA →＋BC →)，即(OA →＋OB →)·BA →＝(CA →＋CB →)·BA →，∴BA →·(OA →＋OB →－CA →－CB →)＝2BA →·OC →＝0，∴BA →⊥OC →.同理OB →⊥CA →，OA →⊥CB →，故选D.4．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 C解析 设BC 边中点为D ，则有OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ·2AD →＝2λAD →，∴AP →过△ABC 的重心，故选C.5．在△ABC 中，动点P 满足CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 A解析 2AB →·CP →＝CB →2－CA →2＝(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝AB →·(CB →＋CA →)，即2AB →·CP →＝AB →·(CB →＋CA →)，∴AB →·(2CP →－CB →－CA →)＝AB →·(BP →＋AP →)＝0，∴以BP →，AP→为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，∴点P 在线段AB 的中垂线上，故选A.6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )A.49 B.43 C ．－43 D ．－49答案 D解析 由AP →＝2PM →知，P 为△ABC 的重心，根据向量的加法，PB →＋PC →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM →＝P A →·AP →＝－(P A →)2＝－(23MA →)2＝－49，故选D.7．已知非零向量AB →，AC →满足(AB →|AB →|cos B ＋AC→|AC →|cos C)·BC →＝AB →·AC →，则△ABC为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形答案 C解析 要注意到向量的数量积是满足分配律的，则左边＝|AB →||BC →|(－cos B )|AB →|cos B ＋|AC →||BC →|cos C |AC →|cos C ＝0，所以有AB →·AC →＝0，则∠A ＝π2，是直角三角形，如图所示，选C.8．△ABC 外接圆的圆心为O ，两条边上高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.答案 1解析 特殊法，设△ABC 为Rt △，则O 为斜边BC 的中点，H 与A 重合，∴OA →＝m ·OA →，∴m ＝1.。

课时作业(二十三)一、选择题1．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A＝() A．60°B．45°C．1 D．30°答案 C解析cos A＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，∴∠A＝12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于() A．1 B．2C.3－1D. 3答案 B解析由正弦定理asin A＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B，∴sin B＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，得∠A>∠B，∴∠B＝30°.故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.3．在△ABC中，若sin A·sin B<cos A·cos B，则此三角形的外心位于它的() A．内部B．外部C．一边上D．以上都有可能答案 B解析sin A sin B<cos A cos B即cos A cos B－sin A sin B>0，∴cos(A＋B)>0∴A＋B为锐角，∴C为钝角∴△ABC为钝角三角形，外心位于它的外部．4．在△ABC中，三内角A、B、C分别对三边a、b、c，tan C＝43，c＝8，则△ABC外接圆半径R为()A．10 B．8C．6 D．5答案 D解析本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理，由tan C＝43⇒sin C＝45，则2R＝csin C＝845＝10，故外接圆半径为5.5．(·太原模拟)△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为() A．1＋ 3 B．3＋ 3C.3＋33 D ．2＋ 3 答案 C解析 2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32 答案 D解析 如图，由正弦定理得sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c >b ， ∴C ＝60°或C ＝1 ∴A ＝90°或A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34. 7．(·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．1D ．150° 答案 A解析 由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，因此选A.8．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形 答案 A解析 ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°.又sin C ＝2sin A cos B ，由sin C ＝2sin A ·cos B 得c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等边三角形． 二、填空题9．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案 3解析 在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3. 所以AD ＝ 3. 10．(·广东卷)已知a ，b ，c 分别是ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.答案 12解析 由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理得3sin 60°＝1sin A ，∴sin A ＝12.11．(·山东卷)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2得sin(B ＋π4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin B b ＝2·sin π42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)．12．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)答案 ③解析 ①sin2A ＝sin2B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形.故①不对．②sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 不一定是直角三角形． ③sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a2＋b2<c2.∴△ABC为钝角三角形．三、解答题13．(·全国卷Ⅱ)ΔABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝513，cos ∠ADC＝35，求AD.解析由cos ∠ADC＝35>0知B<π2.由已知得cos B＝1213，sin∠ADC＝45.从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝45×1213－35×513＝3365.由正弦定理得ADsin B＝BDsin∠BAD.所以AD＝BD·sin Bsin∠BAD ＝33×5133365＝25.14．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝10，cos C＝25 5.(1)求BC边的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．解析(1)由cos C＝255得sin C＝55，sin A＝sin(180°－45°－C)＝22(cos C＋sin C)＝31010.由正弦定理知BC＝ACsin B·sin A＝1022·31010＝3 2.(2)AB＝ACsin B·sin C＝1022·55＝2.BD＝12AB＝1.由余弦定理知CD＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos B＝1＋18－2·1·32·22＝13.讲评解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理asin A＝bsin B求B时，应对解的个数进行讨论；已知a，b，A，求c时，除用正弦定理asin A＝csin C外，也可用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2ab cos A 求解．15．(·安徽卷，文)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC→； (2)若c －b ＝1，求a 的值．解析 由cos A ＝1213，得sin A ＝1－(1213)2＝513. 又12bc sin A ＝30，∴bc ＝156. (1)AB →·AC→＝bc cos A ＝156×1213＝144. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×(1－1213)＝25，∴a ＝5.1．(·湖南卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝1c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 1a 2－b 2－ab ＝0⇒b ＝－a ＋5a5<a ，故选A.2．(·浙江)在ΔA BC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析 (1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得 c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得 b 2±6b －12＝0， 解得b ＝6或26，所以⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4.或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.3．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B .思路点拨 本题已知b 2＋c 2－bc ＝a 2，从该式的结构特点及所求结论可以看出，可直接运用余弦定理求A .再由正弦定理，实现边角转化，即将c b 化为sin Csin B ，再用A ＋B ＋C ＝π，得出C ＝π－A －B ，从而求出tan B 的值．解析 方法一 ∵b 2＋c 2－bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.又∵A 为三角形一内角，∴A ＝π3.在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )＝π－π3－B ＝2π3－B .由已知条件及正弦定理得12＋3＝c b ＝sin Csin B ＝sin (2π3－B )sin B＝sin 2π3cos B －cos 2π3sin Bsin B ＝32cot B ＋12.解得cot B ＝2，∴tan B ＝12.方法二 ∵b 2＋c 2－bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.又∵A 为三角形一内角，∴A ＝π3. 又∵b 2＋c 2－bc ＝a 2，∴1＋(c b )2－c b ＝(a b )2，即1＋(12＋3)2－(12＋3)＝(ab )2. ∴(a b )2＝154.∴a b ＝152. 由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝215×32＝15.又∵a >b ，∴A >B .∴B 为锐角．∴cos B ＝25.∴tan B ＝sin B cos B ＝12.4．(·重庆卷，理)设函数f (x )＝cos(x ＋23π)＋2cos 2x 2，x ∈R .(1)求f (x )的值域；(2)记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若f (B )＝1，b ＝1，c ＝3，求a 的值．解析 (1)f (x )＝cos x cos 23π－sin x sin 23π＋cos x ＋1＝－12cos x －32sin x ＋cos x ＋1 ＝12cos x －32sin x ＋1＝sin(x ＋5π6)＋1，因此f (x )的值域为[0,2]．(2)由f (B )＝1得sin(B ＋5π6)＋1＝1，即sin(B ＋5π6)＝0，又因0<B <π，故B ＝π6. 解法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或2.解法二：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin C ＝32，C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，A ＝π2，从而a ＝b 2＋c 2＝2；当C ＝23π时，A ＝π6，又B ＝π6，从而a ＝b ＝1.故a 的值为1或2.1．(·上海卷)某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( )A ．不能作出这样的三角形B ．作出一个锐角三角形C ．作出一个直角三角形D ．作出一个钝角三角形 答案 D解析 设三边分别为a ，b ，c ，利用面积相等可知 113a ＝111b ＝15c ，∴a ∶b ∶c ＝13∶11∶5由余弦定理得cos A ＝52＋112－1322×5×11<0，所以角A 为钝角．2．(·江西卷)E ，F 是等腰直角ΔABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )A.1627B.23C.33D.34 答案 D解析 设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23，由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos 45°＝53，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF＝45，所以tan ∠ECF＝sin ∠ECF cos ∠ECF＝1－(45)245＝34. 3．(·北京卷，文)某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )A ．2sin α－2cos α＋2B ．sin α－3cos α＋3C ．3sin α－3cos α＋1D ．2sin α－cos α＋1 答案 A解析 四个等腰三角形的面积之和为4×12×1×1×sin α＝2sin α.再由余弦定理可得正方形的边长为12＋12－2×1×1×cos α＝2－2cos α，故正方形的面积为2－2cos α，所以所求八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.4．有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a ＝3，2cos 2A ＋C2＝(2－1)cos B ，________，求角A .经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整，并写出详细的推导过程．分析 本题容易产生的错误是忽视验证结果而填写b ＝ 2.利用正余弦定理解题，注意利用三角形内角和定理与大边对大角定理进行验证结果是否正确．解析 将A ＝60°看作已知条件，由2cos 2A ＋C2＝(2－1)cos B ，得cos B ＝22，∴B ＝45°.由a sin A ＝bsin B ，得b ＝ 2.又C ＝75°，得sin C ＝sin(30°＋45°)＝2＋64.由a sin A ＝csin C ，得c ＝2＋62. 若已知条件为b ＝2， 且由已知得B ＝45°，则由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴A ＝60°或1合题意．若已知条件为c ＝2＋62， 则b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b ＝2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.综上所述，破损处的已知条件为c ＝2＋62.5．已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，则sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，C ＝π3，∵向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，∴12＝sin Asin B ，由正弦定理得，a b ＝12，①由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，② 由①②解得a ＝1，b ＝2. 6．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)，且m ∥n .(Ⅰ)求锐角B 的大小；(Ⅱ)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．解析 (Ⅰ)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B2－1)＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－ 3.∵0<2B <π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (Ⅱ)已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， ∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.。

课时作业(二十三)一、选择题1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( ) A ．三角形中有两个内角是直角 B ．三角形中有三个内角是直角 C ．三角形中至少有两个内角是直角 D ．三角形中没有一个内角是直角 答案 C2．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 B3．a ＋b >c ＋d 的一个必要不充分条件是( ) A ．a >c B ．b >c C ．a >c 且b >d D ．a >c 或b >d 答案 D4．实数a 、b 、c 不全为0等价于( ) A ．a 、b 、c 均不为0 B ．a 、b 、c 中至多有一个为0 C ．a 、b 、c 中至少有一个为0 D ．a 、b 、c 中至少有一个不为0 答案 D5．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2 答案 C6．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定为( ) A ．自然数a ，b ，c 都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数答案 D解析恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．7．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”，反证假设正确的是( )A．假设三内角都大于60°B．假设三内角都不大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°答案 B8．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C二、填空题9．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．答案x≠0或y≠010．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是________．答案①11．用反证法证明：“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定为________．答案a≤b12．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为________．答案x＝a或x＝b解析否定结论时，一定要全面否定，x≠a且x≠b的否定为x＝a或x＝b.13．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．答案a≤－2或a≥－1解析若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0.∴a <－1或a >13.Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根， 则a ≤－2或a ≥－1.14．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________． 答案 ③①② 三、解答题15．求证：1、3、2不能为同一等差数列的三项． 证明 假设1，3，2是数列{a n }(n ∈N ＋)中某三项， 不妨设为a n ＝1，a m ＝3，a p ＝2，(n ，m ，p 互不相等) 由等差数列定义可有a m －a n m －n ＝a p －a np －n， 即3－1m －n ＝1p －n ，则3－1＝m －np －n. 由于m ，n ，p 是互不相等的正整数， ∴m －np －n必为有理数，而3－1是无理数，二者不会相等． ∴假设不成立，结论正确．16．实数a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1. 求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数． 证明 假设a ，b ，c ，d 中没有负数， 即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0， ∵1＝(a ＋b )(c ＋d )＝(ac ＋bd )＋(bc ＋ad )>1＋(bc ＋ad )， 即bc ＋ad <0.这与假设a ，b ，c ，d 中没有负数矛盾， ∴a ，b ，c ，d 中至少有一个负数．17．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R . (1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )； (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论． 解析 (1)∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b . 由已知f (x )的单调性，得f (a )≥f (－b )． 又a ＋b ≥0⇒b ≥－a ，得f (b )≥f (－a )． 两式相加，得f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． (2)逆命题：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (b )⇒a ＋b ≥0. 下面用反证法证明： 假设a ＋b <0，那么}a ＋b <0⇒a <－b ⇒f a<f －b a ＋b <0⇒b <－a ⇒f b <f －a⇒f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知矛盾，故只有a ＋b ≥0逆命题得证． ►重点班·选做题18．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于32.证明 假设a ，b ，c 都小于或等于32，即a ≤32，b ≤32，c ≤32.∵abc ＝1，∴a 、b 、c 三数同为正或一正两负． 又a ＋b ＋c ＝0，∴a 、b 、c 只能是一正两负． 不妨设a >0，b <0，c <0，则b ＋c ＝－a ，bc ＝1a.∴b 、c 为方程x 2＋ax ＋1a＝0有两根．∴Δ＝a 2－4a≥0，即a 3≥4.∴a ≥34>3278＝32，这与a ≤32矛盾．∴a 、b 、c 中至少有一个大于32.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

课时作业(四十八)1．下列命题中，正确的是 ( )A ．若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体B ．若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体C ．若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体D ．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台 答案 C解析 A 错，如球．B 错，如平放的圆柱．C 正确．D 错．如正四棱台．2．(2012·新课标全国)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案 B解析 由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB ＝6，CD ＝3，PC ＝3，CD 垂直平分AB ，且PC ⊥平面ACB ，故所求几何体的体积为13×(12×6×3)×3＝9.3．(2011·新课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为 ( )答案 D解析 根据分析，只能是选项D 中的视图．故选D.4．(2013·衡水调研)一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．1 C.23D.13答案 C解析 由三视图知，该几何体是一棱锥，其底面四边形的对角线互相垂直，且长都为2，棱锥高为1，所以，该几何体的体积为V ＝13×2×12×2×1＝23.5．(2011·江西文)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 ( )答案 D解析 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D 符合．6. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如右图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )答案 C解析 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”，故正视图的高一定是2，正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的正视图可能是C.7．一个空间几何体的三视图如图所示，其主(正)视图是正三角形，边长为1，左(侧)视图是直角三角形，两直角边分别为32 和12，俯视图是等腰直角三角形，斜边为1，则此几何体的体积为 ( )A.32B.33C.312D.324答案 D解析 根据三视图可知此空间几何体为三棱锥，其底面面积为S ＝12×1×12＝14，三棱锥的高为h ＝32，所以几何体的体积为V ＝13Sh ＝13×14×32＝324.8．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是 ( )答案 A解析由作法规则可知O′A′＝2，在原图形中OA＝22，O′C′∥A′B′，OC∥AB，选A.9.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱答案 C10．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是()答案 C解析选项A得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除1；而选项B、D所得几何体的体积都与π有关，排除B、D；易知选项C符合．11．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为()答案 B解析 这个空间几何体的直观图如图所示，由题知，这个空间几何体的侧视图的底面一边长是3，故其侧视图只可能是选项B 中的图形．12．在几何体①圆锥；②正方体；③圆柱；④球；⑤正四面体中，自身三视图完全一样的几何体的序号是________．答案 ②④解析 正方体的三视图都是正方形，球的三视图都是圆．13．下面是长方体积木堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块积木堆成．答案 414．等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．答案 22解析 ∵OE ＝(2)2－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24.∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.15．已知一几何体的三视图如下，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号)________．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．答案 ①③④⑤解析 由三视图知，几何体是正四棱柱．所以从该几何体上任意选择4个顶点，它们所构成的几何图形只可能是：①③④⑤.16．(2012·辽宁)已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若P A ＝26，则△OAB 的面积为________．答案 3 3解析 如图所示，∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AC .故可知PC 为球O 直径，则PC 的中点为O ，取AC 的中点为O ′，则OO ′＝12P A ＝ 6.又∵AC ＝(23)2＋(23)2＝26，P A ＝26，∴PC ＝(26)2＋(26)2＝4 3.∴球半径R ＝23，故OC ＝OA ＝OB ＝2 3.又∵AB ＝23，∴△OAB 为等边三角形．∴S △OAB ＝12×23×23×sin60°＝3 3.17.如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．解析 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图，如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正棱锥的高，则AD ＝3a .所以该平面图形(侧视图)的面积为S ＝12×3a ×3a ＝32a 2.18．如图是某几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解析 (1)该几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体．由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)(cm 2)．所以几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．1．(2012·安徽)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 答案 ②④⑤解析如图所示，四面体ABCD 中，AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则△ABC ≌△CDA ≌△DCB ≌△BAD ，故②正确；∵△ABC ≌△CDA ≌△BAD ，∴∠BAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB.∴∠BAC＋∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，故③错；取AB，BC，CD，DA的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，PQ，MQ，由此得，MN＝QP＝12AC，NP＝MQ＝12BD.∵BD＝AC，∴MN＝QP＝MQ＝NP.∴四边形MNPQ为菱形．∴对角线相互垂直平分，故④正确，①错误；而⑤正确，如AB，AC，AD 可作为△ABC的三边．2．(2010·北京)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案 C解析结合正视图和侧视图可知，该空间几何体如图所示，故其俯视图为选项C中的图形．3. (2011·山东文)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0答案 A解析把直三棱柱的一个侧面放在水平面上，当这个直三棱柱的底面三角形的高等于放在水平面上的侧面的宽度就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上即可满足要求，故命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，故命题③是真命题．4．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是() A．①②B．②③C．③④D．①④答案 B解析根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．5．(2013·杭州模拟)如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．①②B．①③C ．②③D ．①④答案 C 6．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是 ( )答案 D解析 通过分析正视图和侧视图，结合该几何体的体积为13，可知该几何体的底面积应为1，因此符合底面积为1的选项仅有D 选项，故该几何体为一个四棱锥，其俯视图为D.7．(2012·合肥调研)已知某一几何体的主视图与左视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 ( )A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．①②③④答案 D解析 因几何体的主视图和左视图一样，所以易判断出其俯视图可能为①②③④.8.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，则所截得的图形可能是下图中的________．(把所有可能的图的序号都填上)答案 ①③9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图(或称正视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解析 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V －ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64；(2)该四棱锥有两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋(82)2＝4 2.另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝42＋(62)2＝5，因此S 侧＝2(12×6×42＋12×8×5)＝40＋24 2.10．已知正三棱锥V －ABC 的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积．解析 (1)如右图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴左视图中VA ＝42－(23×32×23)2＝2 3.∴S △VBC ＝12×23×23＝6.。

课时作业(四十二)1．设A ＝[－2,4)，B ＝{x |x 2－ax －4≤0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 分析 观察到方程x 2－ax －4＝0有两个实根，故此题不妨用求根公式来解决．解析 因x 2－ax －4＝0有两个实根x 1＝a 2－4＋a 24，x 2＝a 2＋4＋a 24，故B ⊆A 等价于x 1≥－2且x 2<4，即a2－4＋a 24≥－2且a 2＋4＋a 24<4，解之得0≤a <3.2．已知方程x 2＋(3m －1)x ＋(3m －2)＝0的两个根都属于(－3,3)，且其中至少有一个根小于1，求m 的取值范围．解析 原方程即为(x ＋1)(x ＋3m －2)＝0，所以方程两根分别为－1,2－3m ，而－1在(－3,1)上，则由题意，另一根满足－3<2－3m <3⇔－13<m <53.3．已知方程4x 2＋2(m －1)x ＋(2m ＋3)＝0(m ∈R )有两个负根，求m 的取值范围．解析 依题意有⎩⎨⎧ Δ＝4(m －1)2－4×4(2m ＋3)≥0，－(m －1)<0，2m ＋3>0，∴m ≥11.4．求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6＝0.(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4；(3)至少有一个正根．解析 设y ＝f (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6.(1)依题意有f (2)<0，即4＋4(m －1)＋2m ＋6<0，得m <－1.(2)依题意有⎩⎨⎧ f (0)＝2m ＋6>0，f (1)＝4m ＋5<0，f (4)＝10m ＋14>0，解得－75<m <－54. (3)方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，f (0)>0，2(m －1)－2>0，即⎩⎨⎧ m ≤－1或m ≥5，m >－3，m <1，∴－3<m ≤－1.②有一个正根，一个负根，此时可得f (0)<0，得m <－3.③有一个正根，另一根为0，此时可得⎩⎨⎧6＋2m ＝0，2(m －1)<0，∴m ＝－3.综上所述，得m ≤－1.5．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．解析 (1)条件说明抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，则⎩⎨⎧ f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56⇔－56<m <－12.∴实数m 的范围是(－56，－12)．(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0,1)内，列不等式组⎩⎨⎧ f (0)>0，f (1)>0，Δ≥0，0<－m <1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0⇔－12<m ≤1－ 2.∴实数m 的范围是(－12，1－2]．6．已知二次方程mx 2＋(2m －1)x －m ＋2＝0的两个根都小于1，求m 的取值范围．解析 方法一 二次方程两个根都小于1，其充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧ (2m －1)2＋4m (m －2)≥0， ①m [m ＋(2m －1)－m ＋2]>0， ②－2m －12m <1. ③①即为8m 2－12m ＋1≥0，它的解集是(－∞，3－74]∪[3＋74，＋∞)．②即为m (2m ＋1)>0，它的解集是(－∞，－12)∪(0，＋∞)．③的解集是(－∞，0)∪(14，＋∞)．所以，m 的取值范围是(－∞，－12)∪[3＋74，＋∞)．方法二 二次方程mx 2＋(2m －1)x －m ＋2＝0有两个根的充要条件是Δ≥0. 设两根为x 1，x 2，由于x 1，x 2都小于1，即x 1－1<0，x 2－1<0，其充要条件为：⎩⎨⎧ (x 1－1)＋(x 2－1)<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，即⎩⎨⎧x 1＋x 2－2<0，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0. 因此，方程两个根都小于1的充要条件是： ⎩⎪⎨⎪⎧ (2m －1)2＋4m (m －2)≥0，－2m －1m－2<0，－m ＋2m ＋2m －1m ＋1>0，以下同方法一(略)． 7．如果二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围．解析 ∵f (0)＝1>0，(1)当m <0时，二次函数图像与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意．(2)当m >0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，3－m m >0，解得0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}．8．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解析 函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，即方程f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ＝0在[－1,1]上有解．a ＝0时，不符合题意，所以a ≠0，方程f (x )＝0在[－1,1]上有解⇔f (－1)·f (1)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ af (－1)≥0，af (1)≥0，Δ＝4＋8a (3＋a )≥0，－1a ∈[－1，1]⇔ 1≤a ≤5或a ≤－3－72或a ≥5⇔a ≤－3－72或a ≥1.－3－7所以实数a的取值范围是a≤2或a≥1.。

课时作业(十九)1．下列值等于1的积分是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 答案 C2．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则f (x )d x 等于 ( )A ．0B ．4C ．8D ．16答案 D 解析 原式＝－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图像对称．∴对应的面积相等.8×2＝16，故选D.3．设集合P ＝{x |⎠⎛0x (3t 2－10t ＋6)d t ＝0，x >0}，则集合P 的非空子集个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．8答案 B解析 依题意得⎠⎛0x (3t 2－10t ＋6)d t ＝(t 3－5t 2＋6t )⎪⎪⎪x0＝x 3－5x 2＋6x ＝0，由此解得x ＝0或x ＝2或x ＝3.又x >0，因此集合P ＝{2,3}，集合P 的非空子集的个数是22－1＝3，选B. 4．函数f (x )＝x 2＋2x ＋m (x ，m ∈R )的最小值为－1，则⎠⎛12f (x )d x 等于 ( )A ．2B.163C ．6D ．7答案 B解析 f (x )＝(x ＋1)2＋m －1，∵f (x )的最小值为－1， ∴m －1＝－1，即m ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x .⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(x 2＋2x )d x ＝(13x 3＋x 2)⎪⎪⎪21＝13×23＋22－13－1＝163. 5．(2013·朝阳区)下列命题：p ：函数f (x )＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；q ：已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(－1，λ2)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )∥c 的充要条件是λ＝－1；r ：若⎠⎛1a 1x d x ＝1(a >1)，则a ＝e.其中所有的真命题是 ( )A ．rB ．p ，qC ．q ，rD ．p ，r答案 D解析 p ：sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x ) ＝－(cos 2x －sin 2x )＝－cos2x ， ∴T ＝2π2＝π.故p 对；q ：a ＋b ＝(λ－1，λ2＋1)，(a ＋b )∥c ⇔(λ－1)·1－(λ2＋1)·(－1)＝0，即λ2＋λ＝0，∴λ＝0或－1；r ：⎠⎛1a 1x d x ＝ln x＝ln a －ln1＝ln a ＝1，∴a ＝e ，故真命题是p ，r .6．如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x (x ∈(0，π))及直线x ＝a (a ∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A.7π12B.2π3 C.3π4 D.5π6答案 B解析 阴影部分的面积为S ＝⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x )| a 0＝－cos a －(－cos0)＝1－cos a .∵点落在阴影部分的概率为P ＝14＝1－cos a6， ∴cos a ＝－12，又a ∈(0，π)， ∴a ＝2π3.选B.7．(2013·山东淄博一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( )A ．15B ．20C ．25D ．30答案 A解析 S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)＝12.因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，即12,5，S 30－17成等差数列，易得S 30＝15.8．(2013·惠州高三模拟)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为________．答案 112解析 结合图形可知所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4＝112.9．曲线y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围成的图形面积是________.答案 3解析 结合图形知其面积为S＝cos x d x＋＝－＝1－(－1－1)＝3.10．(2013·吉林实验中学)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案33解析 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx＝13a ＋c ＝f (x0)＝＋c ，∴＝13，x 0＝±33.又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1)1x，x ∈[1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0ef (x )d x 的值为________． 答案 43解析 ⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x＝13x 3＝13＋ln e ＝43.12．(2013·山东临沂一模)函数f(x)＝x 3－x 2＋x ＋1在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x 2围成的图形的面积等于________．答案 43解析 函数的导数为f ′(x)＝3x 2－2x ＋1，所以f ′(1)＝3－2＋1＝2，即切线方程为y －2＝2(x －1)，整理得y ＝2x.由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解得交点坐标为(0,0)，(2,2)，所以切线与函数g(x)＝x 2围成的图形的面积为⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3＝4－83＝43.13．f(x)＝3＋2x －x 2，则⎠⎛13f(x)d x 为________．答案 π解析 由y ＝3＋2x －x 2＝4－(x －1)2，(x －1)2＋y 2＝4，(y ≥0) ∴⎠⎛133＋2x －x 2d x 是圆面积的14，∴等于14·π·22＝π. 14．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )的图像如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为______．答案 －1解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0. ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.15．平面直角坐标系中，动点P 到直线x ＝－2的距离比它到点F (1,0)的距离大1，设动点P 的轨迹是曲线C ，则曲线C 与直线x ＝4所围成的区域的面积S ＝________.答案 643解析 依题意可知动点P 到直线x ＝－1的距离与它到点F (1,0)的距离相等，即曲线C 是以F (1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x ，即y ＝±2x ，故S ＝2⎠⎛04(2x )d x ＝643.16．求由抛物线y 2＝x －1与其在点(2,1)，(2，－1)处的切线所围成的面积． 答案 23解析 y ＝±x －1.y ′x ＝±12(x －1)－12. ∵过点(2,1)的直线斜率为＝12(2－1)－12＝12，∴直线方程为y －1＝12(x －2)，即y ＝12x .同理，过点(2，－1)的直线方程为y ＝－12x ，抛物线顶点在(1,0)．如图所示，由抛物线y 2＝x －1与2条切线 y ＝12x ，y ＝－12x 围成的面积为S ＝S △AOB －2⎠⎛12x －1d x ＝12·2·2－2·23·(x －1)32| 21＝2－43(1－0)＝23.。