2014高考调研理科数学课本讲解8-6空间向量及运算

空间向量及其运算讲义一、知识梳理1．空间向量的有关概念2.(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模 |a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23注意：1．向量三点共线定理在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点． 2．向量四点共面定理在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．( ) 题组二：教材改编2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________． 题组三：易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直5．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是__________________________________．6．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______.三、典型例题题型一：空间向量的线性运算1.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝______.2.如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于( )A.12(－a ＋b ＋c ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(－a －b ＋c ) 思维升华：用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 题型二：共线定理、共面定理的应用典例：如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？思维升华：(1)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 ①P A →＝λPB →(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →)．跟踪训练 如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1的中点．(1)试用向量AB →，AD →，AA 1→表示AG →； (2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 题型三：空间向量数量积的应用典例 如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .思维升华：(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角． (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值． 注意：坐标法在立体几何中的应用典例 (12分)如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .四、反馈练习1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知向量a ＝(2m ＋1,3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( ) A.32 B ．－2 C ．0D.32或－2 3．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交4．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.5π6 B.2π3 C.π3D.π65．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ等于( ) A ．9 B ．－9 C ．－3 D ．36．如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1 D.3－27．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．8.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为______．9．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个) 10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1—→＋A 1B 1—→)2＝3A 1B 1—→2； ②A 1C →·(A 1B 1—→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确的序号是________．11．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．12.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EG 的长；(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．13．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定14．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且向量p ＝x a ＋y b ＋z c ，则(x ，y ，z )叫向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标，已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( ) A ．(4,0,3) B ．(3,1,3) C ．(1,2,3)D ．(2,1,3)15．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形D ．空间四边形16．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是____________．。

第5讲空间向量及其运算必署必01j 抓住3个考点对应学生用书P125考点梳理1. 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1) 共线向量定量对空间任意两个向量a，b(b M0), b与a共线的充要条件是存在实数入使得b=怯.其中a叫直线I的方向向量，t € R，在I上取a,则①可化为OP= OA+ tAB或OP= (1—t)OA+ tOB.(2) 共面向量定理的向量表达式：p= x a + y b,其中x, y € R, a, b为不共线向量，推论的表达式为MlP = xMlA+ yMfB或对空间任意一点0,有OP= OM + xMlA + yMfe 或OP = xOM + yOA+ zOB,其中x+y+ z= 1.(3) 空间向量基本定理如果三个向量e i, e2, e3不共面，那么对空间任一向量p,存在惟一的有序实数组(x, y, z)，使得p= x e i+ y e2 + z e3.2. 空间向量的数量积及运算律(1) 数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a, b,在空间任取一点O,作OA= a, OB= b,则/AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a, b〉,其范围是0W〈a, b> Wn,若〈a, b>n=2，则称a 与b 互相垂直，记作a 丄b.② 两向量的数量积已知空间两个非零向量a , b 则|a||b Cos 〈a , b 〉叫做向量a , b 的数量积，记 作 a b 即 a b = |a||b Cos 〈a ，b 〉.（2）空间向量数量积的运算律 ①结合律： (X ) b = X a b )； ②交换律： a b = b a ； ③分配律： a (b + c ) = a b + a c . 3.空间向量的坐标表示及应用（1） 数量积的坐标运算设 a = （a i ，a 2，a 3），b = （b i ，b 2，b 3），则 a b = a i b i 土a 2b 2 + a 3b 3.（2） 共线与垂直的坐标表示设 a = （a i ，a 2，a 3），b = （b i ，b 2，b 3），则 a // b ? a = 2b ? a i =入 b ，a 2=入b ，a 3 = X 3b R ），a 丄b ? a b = 0? a 也土a ^b 土ab =0（a ，b 均为非零向量）（3） 模、夹角和距离公式设a = （a i ，a 2，a 3），b = （b i ，b 2，S ），则|a |= a a = . a 2 + a 2 + a 3，a b a i b i + a 2b 2+ a 3b 3 |a ||b | , a 2 + a 2 + a 3 • , b 2 + b 2 + b i设 A （a i ，b i ，c i ），B （a 2，b 2，C 2），则 d AB = |AB| = 1； ：：a2— a i + b 2 — b i + c — c i .【助学微博】一个学法指导 利用向量解立体几何题的一般方法： 把线段或角度转化为向量表示，用已知向 量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题，在这里，恰当地选 取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题成为 代数问题，在这里，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础． 三个考查角度cos a，(1) 判断空间向量共线与共面；运用空间向量的数量积的性质求角；证明线线(面) 垂直；求线段的长；(2) 将空间任一向量线性表示；求待定系数；(3) 运用两点距离公式、夹角公式解决简单的平行、垂直、长度、角、距离等问题．考点自测1．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+ BC+ CD + DA= 0;②|a|—|b匸|a+ b是 a b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点0与不共线的三点A、B、C,若OP = xOA+ yOB + zOC(其中x、y、z€R),则P、A、B、C四点共面.其中不正确命题的序号是________ . 解析①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a、b同向时，应有|a|+ |b|= |a+ b|；③中a、 b 所在直线可能重合；④中需满足x+ y+ z= 1,才有P、A、B、C四点共面.答案②③④2 •在平行六面体ABCD —A i B i C i D i中，向量ABAD、AA I两两的夹角均为60° 且|AB|= 1, |AD匸2，AA i匸3,则|A S i|等于____________ .解析设AB= a, AD= b, AA i = c,则A C i = a+ b+ c,AC i2= a2+ b2+ c2+ 2a b+ 2b c+ 2c •= 25,因此|A3I匸5.答案53. 在四面体O — ABC 中，OA = a , OB = b, OC = c , D 为BC 的中点，E 为ADA A解析如图O E = gOA * 2OD =1O )A + 沁 + 4(5C = *a + *b + ^c.1 1 1 答案 2a + 4b +4•已知 A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17),这四个点或不共面 ).解析 A 电=(3,4,5), A (C = (1,2,2), A l) = (9,14,16),设 A 疗=xA"B + yA c!.即(9,14,16)= (3x + y,4x + 2y,5x + 2y),x = 2,爸从而A 、B 、C 、D 四点共面.ly =3,答案共面 5. (2010 广东卷)若向量 a = (1,1, x), b = (1,2,1), c = (1,1,1),满足条件(c — a ) (2b ) =—2,贝U x = _________ .解析-.a =(1,1, x), b = (1,2,1), c = (1,1,1),••c — a = (0,0,1 — x), 2b = (2,4,2).••(c — a ) (2b ) = 2(1 — x) = — 2,/x =2.答案2的中点，则O E =（填“共02冷突破3个考向研析秦刚考向突破学生考向一空间向量的线性运算B设AA i —a, AB —b,a, b, c表示以下各【例1】如图所示，在平行六面体ABCD —A i B i C i D i中,AD= c, M, N, P分别是AA i, BC, C1D1的中点，试用向量：(i) AP; (2)A i N;⑶MP + NK^i. 解(i)v P是C i D的中点，• • • AP=AA i + A i D i + D i Pi—a+AD + qD i C ii K i—a+ c+ 2AB—a+ c+ q b.(2) v N是BC的中点，•- A i N—A i A+AB+ BN——a + b+qBC——a+ b+ qAD ——a+ b+ 2 c.(3) v M是AA i的中点，i• MP—MA + AP —qA i A+APi i i i——q a+ a+ c+ q b —q a+q b+ c,i i i又NC i —NC+ CC i —qBC+ AA i —qAD + AA i —q c+ a,_K 竹i 、 f i、•• MP + NC i—iq a + q b+ c + a + q C—q a+ q b+ q c.［方法总结］用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解 题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若 干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量， 我们可把这 个法则称为向量加法的多边形法则. 在立体几何中要灵活应用三角形法则， 向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.【训练11 如图所示，已知空间四边形 OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG = 2GN ,若OG = xOA + yOB + zOC ,贝U x , y , z 的值分别为 _________________ .解析・.OG =O M + M G =1(O A +3MN=莎+ 3（ON - O M ）=并+joN - 3O M I=6弘+ §OB +3°C 「x , y , z 的值分别为6, 3，耳1 13，3 考向二 共线、共面向量定理的应用【例21 (2012上饶调研)如图，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面；(2)求证：BD //平面 EFGH ;2- 3 t) 一o + ofe T A To 1- 2 X 2- 3 1答案1,证明⑴连结BG,则EG= EB+ BG= EB+ 1(BC+ BD)=EB+B F + EH = EF + EH,由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面.⑵因为EH = AH —AE=^AD—2AB = ^(AD —AB) = 2BD,所以EH // BD.又EH?平面EFGH , BD?平面EFGH ,所以BD//平面EFGH.［方法总结］在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解，若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a= ?b关系，即可判定两直线平行.【训练2】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D为BC边上的中点，试证A i B //平面AC i D.证明取a，BBi = c，BC= b,则BA i = BA+A A I=B A+ B1B1= a+c，AD= AB+ BD= AB+ ^BC^ —a+ *b，AC i = AC + cC i = BC — BA + BB i = b — a + c , BA i = AC i — 2AD ，又因为 AB?平面 AC i D 因此A i B //平面AC i D. 考向三空间向量性质的应用 【例 3】 已知空间中三点 A(— 2,0,2), B(— i,i,2), C(— 3,0,4),设 a = AB , b =A C , (1) 若 |c | = 3,且 c// B 3，求向量 c ； (2) 求向量a 与向量b 的夹角的余弦值； ⑶若k a + b 与k a — 2b 互相垂直，求实数k 的值； (4) 若 2(a + b ) + (j(a — b )与z 轴垂直，求入□应满足的关系. 解(i)v c // BC , B"C = (— 3,0,4)— (— i,i,2)= (— 2, — i,2), 二 c = mB c C = m(— 2,— i,2)= (—2m ,— m,2m), 所以 |c |= p(— 2mf+( — mf+( 2m f = 3|m| = 3, •••m =±.「. c = (— 2,— i,2)或(2,i ,— 2). (2) v a = (i,i,0), b = (— i,0,2), ••• ab = (i,i,0) (—i,0,2)=— i , 又|a | =寸i 2+ i 2+ 02 =頁,|b |= p (- i f + 02 + 22 = , a b _ — i __ ViQ |a ||b |— i0_— i0(3) v k a + b _(k — i , k,2), k a — 2b _(k + 2, k ,— 4),且 k a + b 与 k a — 2b 互相垂直，• (k — i , k,2) (k + 2, k ,— 4)_ (k — i)(k + 2) +5k 2 — 8_0,.°. k _ 2或k _ — 2，二当k a + b 与k a — 2b 互相垂直时，实数 k 的值5为2或—(4) v a + b _ (0,i,2), a — b _ (2,i ,— 2),•• ?(a + b ) + J a — b ) _ (2 j, 2+ j 2 入一2 J ,••• cos 〈a , 即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为一 .1010 .••• X a + b )+ K a — b )与 z 轴垂直，• ° • (2 K 入 + K 2 2— 2 K (0,0,1) — 2 入一2 K = 0, 即当入卩满足关系2—尸0时， 可使2a + b ) + K a — b )与z 轴垂直.［方法总结］(1)判断线线平行或诸点共线，可以转化为证a/b (b M 0)? a — ?b ；⑵ 证明线线垂直，转化为证 alb ? a b — 0,若 a — (x i , y i , z i ), b — (x ?, y 2, Z 2), 则转化为计算x i x 2 + y i y 2 + z i z 2 — 0;⑶在立体几何中求线段的长度问题时，转 化为a a — |af,或利用空间两点间的距离公式；⑷在计算异面直线所成的角(或「登 录钏 ww-zxgtkw 上 om ］ I 免费聆听名师蹈讲悄题關丿【训练3】 如图所示，平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中，以顶点A 为端点的 三条棱长都为i ,且两两夹角为60°(i)求AC i 的长；⑵求BD i 与AC 夹角的余弦值.解⑴记AB — a , AD — b , A A i — c ,则 |a |— |b | — |c |— i ,〈 a , b 〉一〈 b, c 〉一〈 c , a 〉一 60°,• a b — b c — c a —AC i |2— (a + b + c )2 — a 2 + b 2 + c 2+ 2( a b + b c + c a )i i )—1 +1 +1+2x +2+2 — 6,•A S i | —,6,即 AC i 的长为 6.(2)B D i — b + c — a , AC — a + b,： |BlD i |— 2, AC|— 3, 线面角、二面角)时，转化为求向量的夹角，即利用公式cos 0— 即BD i AC= (b+ c—a) (a+ b) = b2—a2+ a c + bc= 1.••• cos〈B D1, AC〉=_BD^C =£.|B D i||AC|••• AC与BD1夹角的余弦值为£03二限时规范训练阶梯训对应学生用书P325分层训练A 级基础达标演练（时间：30分钟 满分：60分）、填空题（每小题5分，共30分）1. 给出下列四个命题：① 若p = x a + y b ,贝U p 与a , b 共面;② 若p 与a , b 共面，则p = x a + y b .③ 若MlP = xMIA + yMlB ,贝U P , M , A 、B 共面;④ 若 P , M , A , B 共面，则 MP = xMA + yMB.其中真命题的序号是 _________ .解析其中①③为正确命题.答案①③2. 如图所示，在平行六面体ABCD — A i B i C i D i 中，M 为A i C i 与B i D i 的交点•若 AB = a , AD = b , ATA i = c ,则BM 用a , b , c 表示为 ________ .解析 BM I = B 1B I + B ^I = A X i + *AD — AB)= c +如—a )=- i a + 2b + c .i i答案—2a + 2b + c3. (20ii 苏州期末)已知a = ( + i,0,2), b = (6,2厂i,2 2),若a // b , J 则入与卩的值 是 ________ ..也2解析由题意知：6 —2入,2卩一i = 0,i i答案 2, 3或—3, 34. _________________________________________________________ 已知 a = (i — t,i — t , t), b = (2, t , t)，则 |b — a | 的最小值为 ___________________ . 社2, 尸2 后一3,解析b—a= (i+ t,2t—1,0),二当t =1时，l b — a |取得最小值为355.5. 如图，已知空间四边形 OABC , 0B = 0C ,且/ AOB =n由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= 3,且 15= |c |,OA BC = a (c — b ) = a c — a b1 1 _乡 _乡=2|a||c |— 2|a||b|= 0,.°cos 〈OA , BC 〉= 0.答案 06.已知a + 3b 与7a — 5b 垂直，且a — 4b 与7a — 2b 垂直，则〈a , b >= _________ .解析 由条件知（a + 3b ） （7a — 5b ）2 2=7|a | + 16a b — 15|b | = 0,及(a — 4b ) (7a — 2b ) = 7|af + 8|b |2 — 30a b = 0. 两式相减，得46a b = 23b |2 ,「a b =》bf.代入上面两个式子中任意一个，即可得到|a |= |b |.g …潜菩=2.••• a , b 〉€[0 ° 180° ,J 〈a , b >= 60°答案 60° J b —a |= ：〔+12+ 2t —〔2 = 1 2 95/ + 5AOC =n ，则 cos 〈OA , BC 〉的值为解析设0A = a , 0B = b , 0C = c、解答题（每小题15分，共30分）7•若 a = (1,5,— 1), b = (-2,3,5).⑴若(k a + b ) // (a — 3b ),求 k ；(2)若(k a + b )丄(a — 3b ), 求 k.解 k a + b = (k — 2,5k + 3,— k + 5),a — 3b — (1 + 3 x 2,5 — 3 x 3, — 1— 3 x 5) 二(7,— 4,— 16).(1) T (k a + b ) // (a — 3b ),k —2 5k + 3 — k + 5~T~— — 4 — — 16 , (2) T (k a + b )丄(a — 3b ),•••(k — 2)x 7+ (5k + 3)x (— 4)+ (— k + 5)x (— 16) — 0.解得k —坪.8.如图，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都 等于a ,点M 、N 分别是AB 、CD 的中点.(1)求证：MN 丄 AB , MN 丄CD ;⑵求MN 的长.解(1)设 A B — p , A 芒—q, AD — r .由题意可知：|p |— |q |—|r | — a ,且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60° M B B — A B — A B — 1(A B B + A BB )—舟人它 + r — p ),• M B A BB — 2(q + r — p ) p - 2—2(q p + r p — p )—?(a 2 cos 60 + a 2 cos 60 — a 2) — 0.• MN 丄AB ,同理可证MN 丄CD.1⑵由(1)可知，MN — 2(q + r — p ).1 解得k ——-.••• |M Tt2|= MN2= 1( q+ r—p) 2二1|a2+ a2+ a2+ 2 4 'a2 a2a22 — 2 — 2•- |Mf?|^22a,A MN 的长为"^a.分层训练B级创新能力提升1. （2011常州月考）正方体ABCD —A i B i C i D i的棱长为2MC1, N为B i B的中点，贝U |MN|为______ .a, 点M在AC i上且AMl =解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系…( a'D —xyz，则A(a,0,0), C i(0, a, a), N a, a, .设M(x, y, z).•••点M 在AC i 上且A M= 2MC I,i•■(x—a, y, z) = 2(—x, a —y, a2 a a2a a a • x= 3a, y= 3, z= 3.得M 3 , 3, 3 ,答案-^a2 •在下列① OM = 20A—O B—OC；② OM = £O A+1oB+ 2QC；③ MA + M B+ MC = 0；④ OM + 0A+ 0B+ 0C = 0；解析-.MA+MB + MC = 0, /MA = —MB —MC,则MA、MB、MC为共面向量, 即M、A、B、C四点共面.1 2 2 24【q + r + p + 2(q •—p q— r p)]答案③3•已知a = (2,— 1,2), b = (2,2,1),则以a , b 为邻边的平行四边形的面积为解析 |a |=“ .22+ — 1 2+ 22 = 3, |b 匸“ ：22+ 22 + 12 = 3,S 平行四边形=|a||b Sin 〈a , b 〉= 65.答案，65 4.已知ABCD — A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列四个命题：①(A 1A +A 7D 1+A 1B 1)2= 3A 1B 12；②Aib (A ?B 1—A 1A )= 0；③向量品1 与向量 A 1B 的夹角是60°④正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1的体积为A ^ AA 1 A 万|.其中正确命 题的序号是 _________ .解析 设正方体的棱长为1,①中(A 1A + A 1D 1 + A 1B 1)2= 3A 1B 12 = 3,故①正确； ②中A 1B 1 — A 1A = A B 1,由于AB 1山1C ，故②正确；③中 A 1B 与AD 1两异面直 线所成角为60°但AtD 1与A 1B 的夹角为120°故③不正确；④中AB A A 1 AD| =0.故④也不正确.答案①②5.已知非零向量 e i , e 2不共线，如果AB = e i + e 2, AC = 2e i + 8e 2, AD = 3e i — 3e 2,求证：A 、B 、C 、D 共面.证明 令 X e i + 02)+ (j(2e i + 8册)+ v(3e i — 3e 2)= 0.则(H 2叶 3v)e i + ( + 8卩—3v)e 2= 0.•y, 02不共线，•用2叶3V = 0L . X+ 8(J — 3v = 0• = — 5易知尸1是其中一组解，则—5AB +AC +AD = 0. v = 1 a b = 2X 2+ (— 1)X 2 + 2X 1= 4, •Cos 〈a , b > a b 4 . =|a||b =9, sin 〈a, b>• A、B、C、D 共面.6. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1,点E , F , G 分别是AB 、AD 、CD 的中点， 计算：(1)EF BA ； (2)EF DC ;(3) EG 的长；(4) 异面直线AG 与CE 所成角的余弦值.解设AB = a , AC = b, AD = c.则|a |= |b |= |c |= 1,〈a , b 〉=〈 b , c 〉=〈 c , a 〉= 60° EF = *BD = 2c — ^a , BA =-a , D C = b — c ,(1)E F BA 二 2c — 2a (— a )⑵EF DC = 2(c — a ) (b — c )_1 11 (3) EG — EB + BC + CG — ?a + b — a + ?c — ?b——1a + 1b + 1c ,—2 1 2 1 2 1 2 1 1 1|EG|2 — 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 — 2a b + 尹 c — a—1 则 |EG —-22.(4) AG — 1b + ^c , CE — CA + Afe —一 b + |a ,_1 2— 1 —?a ?a c = 14’ cos 〈A G , C E > AG CE |AG||CE| 23,由于异面直线所成角的范围是 EA- c — a b — c + a c ) — —4；2 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为3.。