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用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程示例文章篇一：《用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程》嗨，小伙伴们！今天咱们来一起研究一个超级有趣的数学问题——用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程。
这就像是一场奇妙的数学冒险呢！我先给大家举个例子吧，比如说方程2x² - 5x + 3 = 0。
这可不像我们之前学的那些简单的方程哦。
那怎么来解这个方程呢？我们第一步要做的，就像是给这个方程来个“大变身”。
我们先把二次项系数2提出来，方程就变成了2(x² - 5/2x) + 3 = 0。
这时候呀，括号里的式子就像是一个小宝贝，我们要把它打扮得漂漂亮亮的。
我们要在括号里加上一个数，又要减去这个数，这样方程才不会变哦。
这个数怎么找呢？对于x² - 5/2x来说，我们看一次项系数- 5/2，把它除以2再平方，那就是(- 5/2÷2)²=( - 5/4)² = 25/16。
这时候方程就变成了2(x² - 5/2x + 25/16 - 25/16)+3 = 0。
这就好比我们给小宝贝穿上了一件漂亮的衣服，又脱了一点东西，但是整体还是一样的。
我们把括号里的式子变形一下，变成2[(x - 5/4)² - 25/16]+3 = 0。
然后展开括号，就是2(x - 5/4)² - 25/8+3 = 0。
接着计算，2(x - 5/4)² - 25/8+24/8 = 0，也就是2(x - 5/4)² - 1/8 = 0。
这时候我们把- 1/8移到等号右边，得到2(x - 5/4)² = 1/8。
再两边同时除以2，(x - 5/4)² = 1/16。
最后求x，x - 5/4 = ±1/4。
如果x - 5/4 = 1/4，那x = 6/4 = 3/2；如果x - 5/4 = - 1/4，那x = 4/4 = 1。
用配方法解一元二次方程（第3课时用）一、学考目标：理解配方的意义，会用配方法求二次项系数不为1的一元二次方程的根二、重点：熟练运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程三、难点：用配方法解二次项系数为分数的一元二次方程（一）课前小测（5分钟）：1、解方程：x 2-4x-1=02、填空：1）x 2-2x+（ ）＝[x ＋（ ）]2 ；2）x 2＋6x ＋（ ）＝[x-（ ）]2二、试把下列一元二次方程的二次项系数化为1：（1）2x 2-4x-6=0 （2）3x 2-6x-3=0 （3）4x 2-6x-1=0（4）-3x 2-9x-3=0 （5）232x ＋2x －1＝0； （6）221x －5x －6＝0．三、例题1：用配方法解方程：2x 2-6＝4x ． 例题2：用配方法解方程：-3x 2-9x-3=0解：移项，得：2x 2 -6＝0， 解：方程两边同时除以 得： 方程两边同时除以 得： 配方得： 移项，得 配方得：四、小结用配方法解下列各一元二次方程的步骤：1、 2、3、 4、 5 、五、练习：利用配方法解下列各一元二次方程：A 组：（1）2x 2+4x-2=0 （2）3x 2-15x+18=0B 组：（3）221x －5x －1＝0 （4）232x ＋2x －1＝0．C 组（速度快的同学选做）：（5）223x =2x+1 （6）（2x －１）（2+x ）=2x用配方法解一元二次方程课堂小测：1、223)(+=++x x x ；2、2234)(-=+-x x x3、用配方法解方程： 2082+=x x4、用配方法解方程：2x 2－6x+4=0（拓展）５、用配方法将二次三项式222+-a a 变形，结果是（ ） Ａ）()112+-a Ｂ）()112++aＣ）()112-+a Ｄ）()112--a。
2.2 一元二次方程的解法
2.2.1 配方法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
● 双基演练
3．如果关于x 的方程x 2+kx+3=0有一个根是-1，那么k=________，另一根为______．
4．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．
5．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．
（2）6x 2+7x-3=0
● 能力提升
11．用配方法求解下列问题．
（1）2x 2-7x+2的最小值 （2）-3x 2+5x+1的最大值
12．试说明：不论x 、y 取何值，代数式4x 2+y 2-4x+6y+11的值总是正数．•你能求出当x 、y
取何值时，这个代数式的值最小吗？
13．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问几秒钟时△PBQ 的面积等于8cm ．
B A C
Q
D
P
聚焦中考
14．（聊城）用配方法解方程：2
210x x --=
16．（台湾）将一元二次方程0562=--x x 化成b a x =-2)(的形式，则ｂ等于（ ） A －4 B 4 C -14 D 14
18．（安顺）某商场将进货价为每个30元的台灯以每个40元出售，平均每月能售出600个．经过调查表明：如果每个台灯的售价每上涨1元，那么其销售数量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，问每个台灯的售价应定为多少元？。
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程要点感知 对于二次项系数不是1的一元二次方程，先要在方程 ，将它转化为二次项系数化为 的一元二次方程，再用上一节课所介绍的配方法求解.预习练习1-1 配方法解一元二次方程2x 2-3x+1=0，先应把二次项的系数化为 ，因此需要两边同除以 ，方程可化为 .然后用上节课所学的配方法去解.1-2 将方程3x 2-12x-1=0进行配方，配方正确的是( )A.3(x-2)2=5B.(3x-2)2=13C.(x-2)2=5D.(x-2)2=133知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1.把方程3x 2-6x+2=0两边同除以3得：x 2-2x+23=0，然后应把方程左边加上 ，再减去 . 2.用配方法解方程3x 2-6x+1=0，则方程可变形为( )A.(x-3)2=13B.3(x-1)2=13C.(3x-1)2=1D.(x-1)2=233.用配方法解方程2x 2-3=-6x ，正确的解法是(A)A.（x+32）2=154，x=-32B.（x-32)2=154，x=32C.（x+32）2=-154，原方程无解 D.（x+32）2=74，x=-32±72 4.用配方法解下列方程：(1)2x 2-8x+1=0； (2)2x 2-7x+6=0；(3)3x 2+8x-3=0； (4)2x 2+1=3x ；(5)3x 2-2x-4=0； （6）6x+9=2x 2.5.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )A.2t 2-7t-4=0化为(t-74)2=8116B.3x 2-4x-2=0化为(x-23)2=109C.x 2-2x-99=0化为(x-1)2=100D.x 2+8x+9=0化为(x+4)2=256.将方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式，正确的是( )A.(x-32)2=16 B.2(x-34)2=116 C.(x-34)2=116D.以上都不对 7.用配方法解方程13x 2-x-4=0时，配方后得(C) A.(x-32)2=394 B.(x-32)2=-394 C.(x-32)2=574 D.以上答案都不对 8.把方程2x 2+4x-1=0配方后得(x+m)2=k ，则m= ，k= .9.用配方法解下列方程：(1)2t 2-6t+3=0； (2)6x 2-x-12=0；(3)2y 2-4y=4； (4)(2013·太原)(2x-1)2=x(3x+2)-7.10.已知y=2x 2-3x-10，当x 为何值时，y=4？当x 为何值时，y=-5？挑战自我11.用配方法说明：不论x 取何值，代数式2x 2+5x-1的值，总比代数式x 2+7x-4的值大，并求出当x 为何值时，两代数式的差最小.参考答案课前预习要点感知 同时除以二次项系数 1预习练习1-1 1 2 x 2-32x+12=0 1-2 D当堂训练1.112.D3.A4.(1)x 1=2，x 2=2. (2)x 1=2，x 2=32. (3)x 1=13，x 2=-3. (4)x 1=1，x 2=12.(5)x 1=3，x 2=3.(6)x 1=2,x 2=2. 课后作业 5.D 6.C 7.C 8. 1329.(1)t 1，t 2. (2)x 1=32，x 2=-43.(3)y1y2(4)(2x-1)2=x(3x+2)-7，4x2-4x+1=3x2+2x-7，x2-6x=-8，(x-3)2=1，x-3=±1，∴x1=2，x2=4.10.当x=72或-2时，y=4；当x=-1或52时，y=-5.11.(2x2+5x-1)-(x2+7x-4)=x2-2x+3=(x-1)2+2>0，∴不论x取何值，代数式2x2+5x-1的值总比代数式x2+7x-4的值大.∵(x-1)2≥0，∴当x=1时，(x-1)2取最小值为0，即(x-1)2+2的最小值为2. ∴当x=1时，两代数式的差最小.。
课题：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程【学习目标】1．运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，并能熟练掌握其基本步骤．2．通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“转化”的数学思想方法．3．培养学生主动探究的精神，提高学生积极参与的意识．【学习重点】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．【学习难点】通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“转化”的数学思想．一、情景导入 生成问题回顾：1．根据完全平方公式填空：(1)x 2＋6x ＋9＝(x ＋3)2； (2)x 2－8x ＋16＝(x －4)2；(3)x 2＋10x ＋(5)2＝(x ＋5)2; (4)x 2－3x ＋⎝⎛⎭⎫322＝⎝⎛⎭⎫x －322. 2．解一元二次方程：x 2－4x ＋3＝0.解：x 2－4x ＝－3，∴x 2－4x ＋4＝－3＋4，∴(x －2)2＝1，∴x －2＝±1，∴x 1＝3，x 2＝1.二、自学互研 生成能力知识模块一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程阅读教材P 34～P 35，完成下面的填空：解方程2x 2－4x －1＝0.解：将方程两边同时除以2，得x 2－2x －12＝0． 把方程的左边配方，得x 2－2x ＋1－1－12＝0， 即(x －1)2－32＝0. (以下步骤请继续完成)x －1＝±62，∴x 1＝2＋62，x 2＝2－62. 师生合作探究、共同归纳出用配方法解“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)”的步骤．归纳：当方程的二次项系数不为1时，先根据等式的性质方程两边同时除以二次项系数，化二次项系数为1，再配方求方程的解．【例1】 用配方法解方程：(1)2y 2－4y －126＝0； (2)3x(x ＋3)＝94. 解：原方程可化为 解：原方程可化为y 2－2y －63＝0. x 2＋3x －34＝0.∴y 2－2y ＋12－12－63＝0, ∴x 2＋3x ＋⎝⎛⎭⎫322＝34＋⎝⎛⎭⎫322，即(y －1)2＝64. 即⎝⎛⎭⎫x ＋322＝3. ∴y －1＝±8. ∴x ＋32＝±3. 解得y 1＝9，y 2＝－7. ∴x 1＝－3＋232，x 2＝－3－232. 教师点拨：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：①把方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)形式；②把二次项系数化为1；知识模块二 利用配方法求代数式的最值【例2】 用配方法求代数式－2x 2＋4x ＋3的最大值．解：原式＝－2(x 2－2x ＋1－1)＋3＝－2(x －1)2＋5.∵－2(x －1)2≤0，∴代数式－2x 2＋4x ＋3最大值为5.教师点拨：将代数式配方时应注意：①由于是代数式，配方时只能提二次项系数，而不能除以二次项系数；②只需提二次项和一次项的系数，保留常数项；③注意变形须是恒等变形．求代数式最值的一般步骤：①先考虑一元二次方程二次项系数需满足的条件；②将二次项系数配方；③说明不论k 为何值，二次项系数均不为0.【变例】 试证：不论k 取何实数，关于x 的方程(k 2－6k ＋12)x 2＝3－(k 2－9)x 必是一元二次方程．证明：k 2－6k ＋12＝(k －3)2＋3，∵(k －3)2≥0，∴k 2－6k ＋12≥3.∴不论k 取何实数，关于x 的方程(k 2－6k ＋12)x 2＝3－(k 2－9)x 必是一元二次方程．三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程知识模块二 利用配方法求代数式的最值四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
