§1正整数指数函数-导学案(北师大版)

第1课时正整数指数函数1.了解正整数指数函数模型的实际背景.2.了解正整数指数函数的概念.3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性.4.借助计算器、计算机的运算功能,计算一些正整数指数函数值.一个叫杰米的百万富翁,一天,他碰上一件奇怪的事,一个叫韦伯的人对他说,我想和你定个合同,我将在整整一个月中每天给你10万元,而你第一天只需给我一分钱,以后每一天给我的钱是前一天的两倍.杰米心中暗自高兴,说:“真的?你说话算数!”合同开始生效了,杰米欣喜若狂,第一天杰米支出1分钱,收入10万元;第二天,杰米支出2分钱,收入10万元;第三天,杰米支出4分钱,收入10万元,第四天杰米支出8分钱,收入10万元……到了第十天,杰米得到100万元,而总共才付出10元2角3分,到了第20天,杰米得到了200万元,而韦伯才得到1048575分,共10000元多点.杰米想:要是合同定两个月、三个月该多好!事情真的如杰米想的一样吗?问题1:(1)第21天,杰米支出,收入.(2)第28天,杰米支出,收入.(3)在一个月(31天)内,杰米总共得到,并付给韦伯.问题2:一般地,函数叫作正整数指数函数,其中x是自变量,定义域是.问题3:整数指数幂的性质(1)正整数指数幂a n= .(2)指数为0的幂a0= (a≠0).(3)负整数指数幂a-n= (a≠0,n∈N+).问题4:某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x,本利和(本金加上利息)为y元,写出本利和y随存期x变化的函数关系式:.1.下列函数中是正整数指数函数的是().A.y=-2x,x∈N+B.y=2x,x∈RC.y=x2,x∈N+D.y=()x,x∈N+2.函数y=()x,x∈N+的值域是().A.RB.R+C.ND.{,,,…}3.某种细菌在培养过程中,每20 min分裂一次(一个分裂为两个),经过3 h,这种细菌由一个分裂为个.4.一种产品的成本原来是220元,在今后10年内,计划使成本每年比上一年降低20%,写出成本y(元)随经过年数x变化的函数关系式.正整数指数函数的概念下列表达式是否为正整数指数函数?(1)y=1x;(2)y=(-2)x;(3)y=3-x(x∈R);(4)y=e x(x∈N+).正整数指数函数的性质比较下面两个正整数指数函数的性质:(1)y=2x(x∈N+);(2)y=0.997520x(x∈N+).正整数指数函数的应用某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x,本利和(本金加上利息)为y元.(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式;(2)如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.函数y=(3a-2)x表示正整数指数函数应满足什么条件?某地区现有森林面积1万亩,为增加森林覆盖率,计划从今年起每年比上一年森林面积增长10%,求:(1)经过1,2,3,4,5年后森林面积分别是多少万亩;(2)森林面积y(万亩)与经过年数x的关系式,并根据图像说明其单调性.某地区2000年底人口为100万,人口平均每年增长率为1%,问2015年底该地区人口约为多少(单位:百万)?1.函数y=3x(x∈N+)().A.是增函数B.是减函数C.先增后减D.先减后增2.随着计算机技术的迅猛发展,电脑的价格不断降低,若每隔4年电脑的价格降低三分之一,则现在价格8100元的电脑12年后的价格可降为().A.2400元B.2700元C.3000元D.3600元3.若f(52x-1)=x-2,则f(125)= .4.已知集合A={m|正整数指数函数y=(m2+m+1)·()x,x∈N+},求集合A.对于五年可成材的树木,在此期间的年生长率为18%,以后的年生长率为10%,树木成材后,既可以售树木,重栽新树木,也可以让其继续生长,问:哪一种方案可获得较大的木材量?(只需考虑十年后的情形)(借助于计算器)考题变式(我来改编):答案第三章指数函数和对数函数第1课时正整数指数函数知识体系梳理问题1:(1)220=1048576 (分)≈1.049(万元)10万元(2)227=134217728(分)≈134.218(万元)10万元(3)310万元2000多万元问题2:y=a x(a>0,a≠1,x∈N+)N+问题3:(1)a×a×…×a(共n个,n∈N+)(2)1(3)问题4:y=a(1+r)x(x∈N+)基础学习交流1.D结合正整数指数函数的定义,选D.2.D注意x取正整数,值域是不连续的,故选D.3.512经过9次分裂,得到29=512(个).4.解:每年的成本是上一年的1-20%=80%.当x=1时,y=220×0.8;当x=2时,y=220×0.8×0.8=220×0.82;当x=3时,y=220×0.82×0.8=220×0.83;……所以y=220×0.8x(x∈N+,x≤10).重点难点探究探究一:【解析】(1)(2)底数不符合,要大于0且不等于1,(3)中y=3-x=()x,但定义域不符合,所以只有(4)为正整数指数函数.【小结】判断函数是否为正整数指数函数,应注意函数形式是否符合,特别还应看定义域是否为正整数集.探究二:【解析】列表比较如下:函数y=2x(x∈N+) y=0.997520x(x∈N+)图像定义域正整数集N+单调性增函数减函数图像特征一群孤立的点组成【小结】通过列表、描点画图,即可得到正整数指数函数的图像,由于定义域为正整数集,所以不需要连成光滑曲线,图像就是由一群孤立的点组成.探究三:【解析】(1)已知本金为a元,利率为r,则1期后的本利和为y=a+a×r=a(1+r),2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,3期后的本利和为y=a(1+r)3,x期后的本利和为y=a(1+r)x,x∈N+,即本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x,x∈N+.(2)将a=1000(元),r=2.25%,x=5代入上式,得y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255≈1117.68(元),即5期后本利和约为1117.68元.【小结】在实际问题中,经常会遇到类似探究三中的指数增长模型:设原有量为N,平均增长率为p,则对于经过时间x后的总量y可以用y=N(1+p)x表示,我们把形如y=ka x(k∈R,a>0且a≠1)的函数称为指数型函数,这是非常有用的函数模型.思维拓展应用应用一:∵3a-2>0,且3a-2≠1,∴a>,且a≠1,x∈N+.应用二:(1)由计算器可计算经过1,2,3,4,5年后森林面积分别为:1.11=1.1;1.12=1.21;1.13=1.331;1.14=1.4641;1.15=1.61051.(2)经过x年森林面积为y,则y=1.1x(x∈N+),由图像可知函数为单调递增函数.应用三:由题意知,人口数y(百万)与经过年数x的关系式为y=1×(1+1%)x=1.01x(x∈N+),到2015年底经过15年,∴y=1.0115≈1.1610(百万).基础智能检测1.A2.A12年共降价3次,每次降价后的价格是原价格的,12年后价格降为8100×()3=2400(元).3.0令52x-1=125=53,得2x-1=3,x=2,所以f(125)=f(52×2-1)=2-2=0.4.解:由题意得m2+m+1=1,解得m=0或m=-1,∴A={0,-1}.全新视角拓展设新树苗的木材量为Q,则十年后有两种结果:①连续生长十年,木材量N=Q(1+18%)5(1+10%)5,②生长五年后重栽,木材量M=2Q(1+18%)5,则=,因为(1+10%)5≈1.61<2,所以>1,即M>N.因此,生长五年后重栽可获得较大的木材量.思维导图构建y=a x R+。

【必修1】第三章 指数函数和对数函数第三节 指数函数（2）学时：1学时 【学习引导】 一、自主学习1. 阅读课本7376P P -．2. 回答问题（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？ （2）层次间的联系是什么？（3）指数函数的图像有什么特征？从图像观察它有哪些性质？ 3. 76P 练习 4. 小结. 二、方法指导1. 阅读本节内容时，同学应采用类比讨论函数性质的一般思路，由具体的指数函数性质推广到一般的指数函数，观察图像，数形结合的理解指数函数的性质.2. 阅读本节内容时，同学们应注意分析指数函数的图像随着底数的变化而变化的规律. 【思考引导】 一、提问题1．指数函数具有哪些性质？2. 函数2x y =与1()2x y =的图像有什么关系？2．对比1,22xx y y ⎛⎫== ⎪⎝⎭图像，得出xy a =（0a >且1a ≠）的性质，讨论底数a 对函数图像的影响.3．对比2,3xxy y ==，11,23x xy y ==这四个函数图像，讨论指数函数当底数变化时，图像的变化规律. 二、变题目1. 下列函数表达式中，满足1(1)()2f x f x +=的是 ( ) A.1()(1)2f x x =+ B.1()4f x x =+ C.()2x f x = D.()2xf x -=2. 函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．1>a B ．2<a C．a < D．1a <<3. 函数121xy =-的值域是 （ ） A .(),1-∞ B .()(),00,-∞⋃+∞ C .()1,-+∞ D .()(,1)0,-∞-⋃+∞ 4. 已知函数()2xf x =,则(1)f x -的图像大致为 （ ）A B CD5. 利用指数函数性质，比较下列各题中两个数的大小.（1）0.80.75,5； （2） 134411(),()33--； （3）540.8,0.8； （4）4.15.11.2)31(,3,3-.6.已知2134a a >，则a 的取值范围是____________【总结引导】 1. 完成下列图表于1时，图像下降，底数越小，图像向下越靠近与x 轴.简称，0x >时，底大图像高. 【拓展引导】一、课外作业：77P 习题3-3 A 组 4，7 B 组 1，3，5 二、课外思考： 1. 函数11+=-x a y )10(≠>a a 且的图像必经过定点____________． 2. 使不等式33912<-x 成立的x 的集合是___________________.3. 已知c bx x x f +-=2)(,对任意的实数x 均有)1()1(x f x f +=-, 且3)0(=f ,试比较)2(bf 和)2(cf 的大小.撰稿：熊秋艳 审稿：宋庆参考答案【思考引导】 二、变题目1．D 2．D 3．D 4．C 5. （1）0.80.755> （2） 134411()()33--<（3）540.80.8< （4） 1.51.42.113()33-<< 6. (0,1) 【拓展引导】 1.(1,2) 2. 78x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭3. 解:(1)(1)f x f x -=+, ()f x ∴的对称轴是1,22bx b ==∴= (0)3f =, 3c ∴=. 2322228,b c ====4，[]()48(4)(8)f x f f <在区间，单调递增，则即)2(b f <)2(cf。

课题：正整数指数函数☆学生版☆
学习目标:(）结合实例，了解正整数指数函数的概念
（）能够求出正整数指数函数的解析式，计算一些正整数指数函数值。

（）从图像上观察体会正整数指数函数的性质，为这一章的学习作好铺垫
学习重点：正整数指数函数的定义及图像特征.
学习难点：正整数指数函数的解析式的确定.
学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。

将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。

一、自主学习
1、阅读课本第页问题，然后填空
从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是数，
而且是变量，取值为数，细胞个数与分裂次数之间的关系式为，细胞个数随着分裂次数的增多而逐渐。

2、阅读课本第页问题，然后填空
从本题中可以看出我们得到的臭氧含量都是数，而
且是变量，取值为数，臭氧含量近似满足关系式为，随着时间的增加，臭氧含量在逐渐。

3、正整数指数函数的定义：
一般地，函数叫做正整数指数函
数，其中是自变量，定义域是。

说明：（）正整数指数函数的图像是，这是因为。

（）在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数
三、合作探究
★探究一：根据正整数指数函数的定义判断下列函数是否为正整数指数函数
，，，，，.
（其中）
★★探究二：画出指数函数（其中）的图像，并归纳正整数指数函数的性质
★★★探究三：课本例题
小结：
四、课堂检测
、课本练习、
、某地区年底人口为万，人口平均每年增长率为，问年底该地区人口约为多少（单位：百万）？。

正整数指数函数一. 教学目标：1．知识与技能（1）理解正整数指数函数的概念和意义；（2）理解和掌握正整数指数函数的图象和性质；（3）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．情感、态度、价值观（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.§2.1指数概念的扩充一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解教学过程：一、复习1.零指数、负整数指数的概念，以及它们之间的关系.2.浓缩后的3条法则是什么？怎样浓缩好？二、新课引入与讲解在初中已学过，若是大于1的整数，是的整数倍，那么若不是的整数倍，那么上式中右端的就是一个分数了(引入自然，合理)例如，当＝2，＝3时，，显然不能用正整数指数幂来解释,所以必须对的分数指数幂重新定义，为此规定，在不是的整数倍时也适用，自然应把看成是根式的另一种记法，对于底为什么要使，须回忆应分几种情况：1.零指数与负整数的底均不能为零.2.正分数指数幂，当指数的分子，分母互质时，分母为奇数，底数可以为任意实数；分母为偶数时底数为非负实数.3.负分数指数幂，当指数的分子与分母互质时，分母为奇数、底数不能为零，分母为偶数，底数为正实数.总之，当正实数为底时，指数可为任意实数.以上这几点均可举例说明.关于运算法则仍然成立，可以通过特殊值加以验证，克服心理障碍.假如，设＝，＝验证第一条∵，∴成立.它不仅让学生从心理上承认在指数概念推广后，运算法则仍然有效，同时也能启发学生在解繁杂根式运算时，用幂的运算法则更为简便.当时，(、∈，且为既约分数)；(、∈且为既约分数). 这样当指数推广到分数指数幂以后当，为有理数时，表示一个确定的实数.当，为无理数时，是否还表示一个确定的实数？答案是肯定的，它是在的以值不足近似值为指数的所有幂与以的以的过剩近似值为指数的所有的幂中间的一个实数，这样就使中的可取一切实数了.为学习指数函数做好了必要准备.由此得可以验证与证明；；，其中，，、为任意实数.三、课堂练习(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)利用计算器计算(精确到0.001)①；②；③.(请同学按课本上的方式按键计算，如学生手中的计算器按键方式不同，教师需给予辅导).课堂小结：。

正整数指数函数 教案一、 教学内容的分析1.教材所处的地位和作用本节课是北师大版教材必修一第三章第一节第一课时（3.1.1）《正整数指数函数》，是在学习了“正整数指数幂”、“函数的概念”的基础上展开的，学生已有了大量生活体验，他们熟悉的增长问题，复利问题等都可以归结为正整数指数函数。

本节课还为后续学习“指数函数”和“数列”作铺垫，在知识体系中起到了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，是对学生进行情感价值观教育的好素材。

2.学情分析我们在前两章学习了集合与函数的概念，进一步深化了函数的概念与定义方法，为本节课的学习打好了基础。

但应用函数的思想解决实际问题的能力还很弱，所以应二、教法学法分析1.教法分析结合学情及知识特点，进一步落实数学学科核心素养，本节课我采用设问--合作--讨论式教学方法，配合多媒体等辅助教学，在知识的生成和应用（一）情景引入、复习导入指数爆炸一张纸对折一次，厚度变成原来的2倍。

再对折第二次，变为原来的2的2次方倍即4倍。

以此类推，假设纸的厚度为0.1mm，则对折24次以后，长度超过1千米；对折39次达55000千米，超过地球赤道长度；对折42次达44万千米，超过地球至月球的距离；对折51次达22亿千米，超过地球至太阳的距离；对折82次为51113光年，超过银河系半径的长度。

教师引入事例，激发学生学习的兴趣。

探究1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，……一直分裂下去.（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；（2）用图像表示1个细胞分裂次数n与得到的细胞个数y之间的关系；（3）写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数.〈三〉知识应用、巩圄提高例1某地现有森林面积为1000h m z，每年增长5%.经过x (xεN ＋）年，森林面积为y h m 2写出x,y 间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积．解：y与x之间的函数关系式为y = 1000(1 + 5%）正（x EN +) 经过5年，森林的面积为1000(1十5%)5二1276.28(hm 2).（答略〉例2已知锚经过100年剩留原来质量的95.76 % 设质量为1的错经过x年后的剩留量为y，求y关于x的函数解析式．解：设经过1年，锚剩留原来质量的a%则y ＝（孟）正，问＋）fo 寸I F、J AY AV －∞ 飞飞Ill－lJ G －m ／F『Ill－－今．（． …一···一二＝0.9576100.1 100’ • •• y = 0.9576100, (x EN +) （答略）（四）课堂小结、反思提高1，正整数指数函数的定义、图像特征。

学案：正整数指数函数
教材：高中数学必修1（北师大版）
授课教师：袁颖
学习目标：了解正整数指数函数的概念、能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征
学习重点：正整数指数函数的概念，函数图像的特征归纳。

学习难点：函正整数指数数图像的特征。

１．知识回顾
函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？
答：函数的三要素包括：定义域、值域、对应法则。

函数的单调性反映了函数值随自变量变化而发生变化的一种趋势，例如：某个函数当自变量取值增大时对应的函数值也增大则表明此函数为增函数，图象上反应出来越往右图象上的点越高。

２．预习思考
观看多媒体解答下面两个问题：
问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个……，这样的细胞分裂x次后，细胞个数y与x的函数关系式为：y=2x（x ∈N+）
问题2：2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为y=0.85x（x ∈N+）
提问：y=2x与y=0.85x这类函数的解析式有何共同特征？
答：函数解析式都是指数形式，底数为定值且自变量在指数位置。

（若用a代换两个式子中的底数，由实际例子看自变量的取值范围均为N+，则得到……）
３．归纳正整数指数函数的定义
一般地，函数y=a x(a>0，且a≠1，x∈N+)，叫做正整数指数
函数，其中x是自变量，函数的定义域是N+。

练一练：判断下列函数是否为正整数指数函数.
(1) y=3x (x∈N+)
(2) y=3－x (x∈N+)
(3) y=2×3x (x∈N+)
(4) y=x3 (x∈N+)。

§1、正整数指数函数预习案学习目标：了解正整数指数函数模型的实际背景。

了解正整数指数函数的概念。

理解具体的正整数指数函数的图像特征及函数的单调性。

让学生了解数学来自生活，数学又服务生活的哲理。

培养学生观察问题、分析问题的能力。

教学重点：正整数指数函数的概念及图象特征。

教学难点：对正整数指数函数概念的理解。

问题1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一直分裂下去（回答下列问题）用列表表示1个细胞分裂次数分别为本1、2、3、4、5、6、7、8时，得到的细胞个数；用图像表示1个分裂的次数n（n∈N+）与得到的细胞个数y之间的关系；写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到细胞的个数。

问题2 电冰箱使用的氟化物的释放会破坏大气层中的臭氧层。

臭氧含量Q近似满足关系式Q=Q。

·0．9975t，其中Q。

是臭氧的初始量，t是时间（年）。

这里设Q。

=1。

计算经过20，40，60，80，100年，臭氧含量Q；用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；试分析随着眼于时间的增加，臭氧含量Q是增加还是减少。

创设情境：1、问题1中分裂次数n 与得到细胞个数y 的关系式y=2n和问题2中t 与Q 的关系式Q=0．9975t,能否构成函数关系?2、这两个函数有什么共同点?3、如何给正整数指数函数下定义?结合问题1和问题2,指出正整数指数函数的图像有什么特征?探究案例1、若x ∈N+,指出下列哪些是正整数指数函数 （1）y=4x(2) y=x 2(3) y=-2x(4) y=(-3)x(5) y=(2)x(6) y=2x(7) y=3-x变式：下列各式是正整数指数函数的是（ ） A 、y=2x 1( x ∈N+) B 、y=2x2( x ∈N+)C y=x x( x ∈N+) D y=x-2 (x ∈N+)例2、截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x 年后，我国人口数字为y （亿）: 求x 与y 的函数关系y= f(x)； 求函数关系y= f(x)的定义域；判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义。

3.1 正整数指数函数问题导学一、正整数指数函数的概念活动与探究1若函数y ＝(a －2)x为正整数指数函数，求实数a 的取值范围．迁移与应用1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( )．A ．y ＝x 5(x ∈N ＋)B ．y ＝3x ＋2(x ∈N ＋)C ．y ＝4－x (x ∈N ＋)D ．y ＝4×3－x(x ∈N ＋)2．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x为正整数指数函数，求a 的值．判断一个函数是否是正整数指数函数的步骤是：首先看形式：函数解析式为指数幂的形式，系数为1，且幂的底数为常数，此常数大于零且不为1，指数位置仅为x ；其次看定义域：x 的取值为全体正整数．以上全部满足，函数是正整数指数函数，只要有一条不满足，函数就不是正整数指数函数．二、正整数指数函数的图像与性质活动与探究2某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质是原来的84%，假设这种放射性物质最初质量为1.(1)写出这种物质的剩留量y 随年数x (x ∈N ＋)变化的函数关系式； (2)画出该函数的图像； (3)说明该函数的单调性．迁移与应用1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x，x ∈N ＋是( )．A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数2．画出正整数指数函数y ＝3x(x ∈N ＋)的图像，并指出其单调性和值域．1．正整数指数函数的图像是一系列孤立的点，且全部在第一象限内；2．正整数指数函数不具有奇偶性，但具有单调性，当底数a ＞1时，函数是增函数；当底数0＜a ＜1时，函数是减函数．三、正整数指数函数的应用活动与探究3高一某学生家长去年年底到银行存入2 000元活期存款，如果银行的年利率为0.38%(按复利计算)，他n 年后把钱从银行全部取出，设取出的钱数为y ，请写出n 与y 之间的关系式，12年后他把钱全部取出，能取多少钱？(只列式不计算)迁移与应用某公司研发了一种新产品，第一年获利100万元，以后每年比前一年多获利20%，则第三年获利__________万元．1．正整数指数函数在实际生产、生活中具有广泛的应用，增长率问题、复利问题、细胞分裂问题、质量浓度等问题都与正整数指数函数相关．当堂检测1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( )．A ．y ＝2x ＋1，x ∈N ＋B ．y ＝x 3，x ∈N ＋C ．y ＝3－x ，x ∈N ＋D ．y ＝3×2x，x ∈N ＋2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈N ＋的图像是( )．A ．一条上升的曲线B ．一条下降的曲线C ．一系列上升的点D ．一系列下降的点3．若正整数指数函数y ＝(a －1)x(x ∈N ＋)在N ＋上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈N ＋，且x ∈[－3,2]的值域是________．5．某市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，则经过x (x ∈N ＋)年后，该市人口总数y (万人)的表达式为__________．答案：课前预习导学 【预习导引】1．y ＝a xN ＋预习交流1 提示：正整数指数函数的形式具有以下两个特点：(1)形如y ＝a x形式．(2)对各量的要求是a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋. 预习交流2 提示：由于正整数指数函数的定义域是正整数集N ＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来，也就是说，正整数指数函数的图像是由一系列孤立的点组成的．2．y ＝ka x(k ∈R ，k ≠0，k ≠1，a ＞0，且a ≠1) 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：利用正整数指数函数的定义来求a 的取值范围．解：若函数y ＝(a －2)x为正整数指数函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a －2≠1，解得a ＞2，且a ≠3. 所以实数a 的取值范围是{a |a ＞2，且a ≠3}．迁移与应用 1．C 解析：y ＝4－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x (x ∈N ＋)是正整数指数函数．2．解：若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x为正整数指数函数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0，且a ≠1，解得a ＝2.活动与探究2 思路分析：通过归纳分析，将剩留量y 表示成经过年数x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得答案．解：(1)由于这种物质最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y .经过1年，剩留量y ＝1×84%＝0.841；经过2年，剩留量y ＝1×84%×84%＝0.842； ……一般地，经过x 年，剩留量y 随年数x 变化的函数关系式为y ＝0.84x(x ∈N ＋)． (2)用描点法画出正整数指数函数y ＝0.84的图像(如下图)，它的图像是由一些孤立的点组成的．(3)通过计算和看图可知，随着年数的增加，剩留量在逐渐减少，即该函数为减函数． 迁移与应用 1．A2．解：3927…单调性：函数y ＝3x(x ∈N ＋)是增函数．值域：{3,32,33，…}．活动与探究3解：一年后他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)，两年后他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)2；三年后他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)3，…，n 年后他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)n；所以n 与y 之间的关系式为y ＝2 000(1＋0.38%)n (n ∈N ＋),12年后他把钱全部取出，取出的钱数应为y ＝2 000(1＋2.38%)12.迁移与应用 144 解析：依题意，第三年获利为100×(1＋20%)2＝144万元． 【当堂检测】1．C 解析：能化简的首先化简，正整数指数函数最终应为y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的形式，其中指数仅为自变量，且x ∈N ＋，a x 的系数为1.而A 中y ＝2x ＋1＝2×2x ；B 中y ＝x 3是幂函数的形式；D 中y ＝3×2x ，均不符合；C 中y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 符合题目要求．2．D 解析：底数0＜12＜1，函数为减函数，图像下降．因为x ∈N ＋，所以其图像为一系列下降的点．3．1＜a ＜2 解析：依题意，应有0＜a －1＜1，解得1＜a ＜2. 4．⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，19 解析：∵x ∈[－3,2]，且x ∈N ＋， ∴x ＝1,2.又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，∴y ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，19.5．y ＝100×(1＋1.2%)x解析：经过1年，人口总数为100×(1＋1.2%)，经过2年，人口总数为100×(1＋1.2%)2，…，因此经过x 年后，人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x.。

[学习目标]1、知识与技能（1） 结合实例,了解正整数指数函数的概念．（2）能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质． 2、 过程与方法（1）借助实例,了解正整数指数函数,体会从具体到一般,从个别到整体的研究过程和研究方法．（2）从图像上观察体会正整数指数函数的性质,为这一章的学习作好铺垫． 3、情感．态度与价值观通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义,增强学习研究函数的积极性和自信心．[学习重点]: 正整数指数函数的定义．[学习难点]：正整数指数函数的解析式的确定． [学习教具]：直尺[学习方法]：学生观察、思考、探究．[学习过程] 【新课导入】[互动过程1]问题1．某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个… 一直分裂下去．（1）请你用列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时,得到的细胞个数;（2）请你用图像表示1个细胞分裂的次数n （+∈N n ）与得到的细胞个数y 之间的关系;（3）请你写出得到的细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式,试用 分裂次数 细胞个数探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别是什么?此函数是什么类型的函数? 细胞个数y 随着分裂次数n 发生怎样变化?你从哪里看出?小结：从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是___________数,而且___________是变量,取值为________数．细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式为_______________细胞个数y 随着分裂次数n 的增多而逐渐___________．[互动过程2]问题2．电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量Q 近似满足关系式Q=Q 00．9975 t, 其中Q 0是臭氧的初始量,t 是时间（年）,这里设Q 0=1． （1）计算经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q;（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q 的变化;（3）试分析随着时间的增加,臭氧含量Q 是增加还是减少．探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别又是什么?此函数是什么类型的函数?,臭氧含量Q 随着时间的增加发生怎样变化?你从哪里看出? 小结：从本题中可以看出我们得到的臭氧含量Q 都是______________数,而且________是变量,取值为_______数．臭氧含量Q 近似满足关系式____________________随着时间的增加,臭氧含量Q 在逐渐_________________． [互动过程3]上面两个问题所得的函数有没有共同点?你能统一吗?自变量的取值范围又是什么?这样的函数图像又是什么样的?为什么?正整数指数函数的定义:一般地,函数_____________________________叫作正整数指数函数,其中_________是自变量,定义域是________________________．说明: 1．正整数指数函数的图像是_____________,这是因为___________________．2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．例题:某地现有森林面积为10002hm ,每年增长5%,经过x ）（+∈N x 年,森林面积为y 2hm ．写出x ,y 间的函数关系式,并求出经过5年,森林的面积．分析:要得到x ,y 间的函数关系式,可以先一年一年的增长变化,找出规律,再写出x ,y 间的函数关系式． 解:【练习】:课本练习1,2【小结】你的收获：_______________________________________________________________【课后作业】补充1： 高一某学生家长去年年底到银行存入2000元,银行月利率为2．38%,那么如果他第n 个月后从银行全部取回,他应取回钱数为y,请写出n 与y 之间的关系,一年后他全部取回,他能取回多少?补充:2: 某工厂年产值逐年按8%的速度递增,今年的年产值为200万元,那么第n年后该厂的年产值为多少?。

北师大版必修一第三章第一节正整数指数函数教学设计
教学目标
①知识与技能目标 理解具体的正整数指数函数的图像特征及函数的单调性 ②过程与方法目标 经历幂指数由正指数逐步扩充到实数的过程，让学生感受 到由特殊到一般的数学思想方法，通过一般化促进学生在原有的基础上的自主 构建，从而增强学生对数学本质的认识 ③情感、态度与价值观目标 通过指数的扩充使学生感受数学推理的合理与严 谨，体会充满在整个数学中的组织化、系统化的精神
完成对本节课内的小结进一步深化知识与技能目标，实现目标的巩固.
设计意图
教师在本环节引导学生对知识进行梳理，深化知识与技能目标，实现目标 的巩固；
五、布置作业、课后巩固
教材习题 3-1 第 1、2、3 题
教学过程
一、创设情境、导入新课
情景 1 某种细胞分裂时，由一个分为 2 个，2 个分为 4 个······一直分下去
（1）列表表示 1 个分别细胞分裂次数是 1,2,3,4,5,6,7，8 时，得到的细胞个数.
（2）用图像表示 1 个细胞分裂次数 n（n ）与得到的细胞个数 y 之间的关系.
（3）写出 y 与 n 之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂 15、20 次得到 的细胞个数.
ห้องสมุดไป่ตู้量 Q 与时间 t 的关系式为
.
教师活动
，臭氧层的含
① 参与学生中分析问题情景；②找两个学生代表写出这两个问题
的关系式.
学生活动
① 小组内讨论、交流；②观察这两个实例中函数关系式的特点，
得到下面概念.
2.正整数指数函数的概念
一般地，函数 是自变量，定义域是正整数 .
叫作正整数指数函数，其中 x
教师活动
3. 学生从初中升入高中,对高中的教学还不适应,要一段时间调节学习 习惯,从而真正进入对高中数学知识的学习

高中数学《指数函数》导学案北师大版必修11.了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念和意义.2.掌握指数函数的图像,由图像探索指数函数的性质,理解指数函数的单调性和特殊点.3.能利用指数函数的图像和性质比较两个(或两个以上)函数值的大小、求函数的最值等问题.4.会利用指数函数的单调性求参数的取值范围、解不等式.富兰克林的遗嘱美国著名的科学家本杰明·富兰克林一生为科学和民主革命而工作,他死后留下的财产并不可观,大概只有一千英镑,令人惊讶的是,他竟留了一份分配几百万英镑财产的遗嘱!这份有趣的遗嘱是这样写的:“……一千英镑赠给波士顿的居民,如果他们接受了这一千英镑,那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民,他们得把这钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这笔钱过了100年将增加到131500英镑.我希望,那时候用100000英镑来建立一些公共建筑物,剩下的31500英镑拿去继续生息100年.在第二个100年末,这笔钱会增加到4142000英镑,其中1142000英镑还是由波士顿的居民支配,而其余的3000000英镑让马萨诸塞州的公众来管理.过此之后,我可不敢多作主张了!”你可能会觉得奇怪:作为科学家的富兰克林,留下区区的1000英镑,竟立了百万富翁般的遗嘱,莫非昏了头脑?其实不然.问题:设经过x年后遗产数为y英镑,试写出y关于x的解析式,并计算在头一个100年末和在第二个100年末富兰克林的遗产数.问题1:设经过x年后遗产数为y英镑,则:(1)y关于x的解析式为,(2)第一个100年末遗产数为,(3)第二个100年末遗产数为.问题2:(1)一般地,函数叫作指数函数,其中.x是自变量,函数的定义域为.(2)规定a>0,且a≠1的理由:①若a=0,②若a<0,如y=(-2)x,对于x=,x=,在实数范围内的函数值不存在.③若a=1,y=1x=1,是一个常量,没有研究的意义,只有满足y=a x(a>0,且a≠1)的形式才能称为指数函数,a为常数,像y=2-3x,y=,y=x x,y=3x+5,y=3x+1等等,不符合y=a x(a>0且a≠1)的形式,所以不是指数函数.问题3:函数y=a x(a>0且a≠1)中,当a>1和0<a<1时,a的取值对函数图像的影响有:当a>1时,底数越大,图像得越快,在y轴的侧,图像越靠近y轴;当0<a<1时,底数越小,图像得越快,在y轴的侧,图像越靠近y轴.问题4:指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图像与主要性质:y=a x a>1 0<a<1图像性质定义域值域奇偶性过定点单调性R上的函数R上的函数x与y取值情况当x>0时,;当x<0时,.当x>0时,;当x<0时,.底数与y轴的接近程度当x>0时,底数越,越靠近y轴当x<0时,底数越,越靠近y轴1.下列以x为自变量的函数中属于指数函数的是().A.y=(a+1)x(a>-1且a≠0,a为常数)B.y=(-3)xC.y=-2xD.y=3x+12.函数y=(的定义域是().A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1]3.函数y=a x-3的图像恒过定点.4.若函数y=(a-2)x在R上是增函数,求a的取值范围.指数函数的概念下列函数中是指数函数的序号是.①y=x2;②y=3x;③y=-4x;④y=(-5)x;⑤y=πx;⑥y=x x;⑦y=3·2x;⑧y=22x+1;⑨y=(2a-1)x(a>且a≠1).幂的大小比较比较大小:①0.8-0.10.8-0.2;②3.52.53.53.2.指数函数的应用设函数f(x)=.(1)若0<a<1,求f(a)+f(1-a)的值;(2)求f()+f()+f()+…+f()的值.若函数f(x)=(a2-3a+3)a x是指数函数,则a= .比较0.80.7与0.70.8的大小.设函数f(x)=,若对任意实数x,都有f(x)+f(1-x)=1,试求正实数b.1.已知函数f(x)=4+a x-1的图像恒过定点P,则点P的坐标是().A.(1,5)B.(1,4)C.(0,4)D.(4,0)2.已知a,b满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是().A.a a<a bB.b a<b bC.a a<b aD.b a<a b3.以下4个函数是指数函数的是.(填序号)①y=(-3)x;②y=22x+3;③y=a x;④y=(2a+1)x(a>-,且a≠0).4.比较下列各组数的大小.(1)()-0.24与(;(2)()-π与1;(3)(0.8)-2与(.(2012年·四川卷)函数y=a x-(a>0,a≠1)的图像可能是().考题变式(我来改编):答案第3课时指数函数知识体系梳理问题1:(1)y=(2)y=1000(1+5%)100(3)y=31500(1+5%)100问题2:(1)y=a x a>0,且a≠1R问题3:上升右下降左问题4:R(0,+∞)非奇非偶函数(0,1)增减y>10<y<10<y<1y>1大小基础学习交流1.A根据指数函数的定义判断,选A.2.D由题意得1-x≥0,解得x≤1.3.(3,1)指数函数y=a x的图像分a>1与0<a<1两种情况,都在x轴的上方,都过(0,1).对函数y=a x-3,当x=3时,y=1,所以恒过定点(3,1).4.解:单调性是指数函数的重要性质,当底数a>1时y=a x是增函数,所以对y=(a-2)x,当a-2>1,即a>3时才是增函数.重点难点探究探究一:`【解析】②⑤⑨为指数函数.①不是指数函数,自变量不在指数上;③是常数函数y=-1与指数函数y=4x的乘积;④中底数-5<0,所以不是指数函数;⑥中底数不是常数,而是变量x;⑦中系数是3,而不是1;⑧中指数不是x,而是2x+1,它们都不符合指数函数的定义.【答案】②⑤⑨【小结】判断一个函数是否为指数函数的依据:是否是形如y=a x(a>0,且a≠1)的函数,其中系数为1;底数a满足a>0且a≠1;自变量为x,而不是x的函数;定义域为R.探究二:【解析】①对于指数函数y=0.8x,在定义域R上是减函数,又因为-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.②对于指数函数y=3.5x,在定义域R上是增函数,又∵2.5<3.2,∴3.52.5<3.53.2.【答案】①<②<【小结】(1)同底数幂比较大小,一定要注意底数的范围.a>1时是增函数,0<a<1时是减函数.(2)中间变量一般要找0,1.(3)底数不同,指数不同的幂比较大小,则要化为同底或化为同指数,通过中间量转化,利用指数函数的单调性比较大小.探究三:【解析】(1)f(a)+f(1-a)=+=+=+=+==1.(2)f()+f()+f()+…+f()=[f()+f()]+[f()+f()]+…+[f()+f()]=500×1=500.【小结】在利用函数解析式求某些“和式”的值时,认真分析解析式的特征,有利于运算的简捷.思维拓展应用应用一:2由f(x)为指数函数可知:解得a=2.应用二:由指数幂的运算=()0.7=()0.7>1,又∵0.70.7>0.70.8,∴0.80.7>0.70.8.应用三:因为f(x)=,则f(1-x)==,因为f(x)+f(1-x)=1恒成立,即+=1恒成立,去分母移项整理有2x(b2-2)=0恒成立,所以b2-2=0,所以b2=2.因为b 为正实数,所以b=.基础智能检测1.A令x-1=0得x=1,f(x)=4+1=5,故P(1,5),选A.2.C利用指数函数的性质,考察y=a x与y=b x的图像可得.3.④是指数函数的为④.①因为底数(-3)<0,所以不是指数函数.②指数为2x+3,不是x;③y=a x底数a的值不确定,所以②③不是指数函数.④∵a>-且a≠0,∴2a+1>0,且2a+1≠1,故应填④.4.解:(1)考查函数y=()x,∵0<<1,∴函数y=()x在(-∞,+∞)上是减函数.又-0.24>-,∴()-0.24<(.(2)考查函数y=()x,∵0<<1,∴函数y=()x在(-∞,+∞)上是减函数.又-π<0,∴()-π>()0=1.(3)(0.8)-2=()-2=()2,函数y=()x在(-∞,+∞)上是增函数.∴(<()2,即(<(0.8)-2.全新视角拓展D采用特殊值验证法,函数的图像恒过(-1,0),只有D选项符合.也可以结合a的范围利用图像的平移变换.思维导图构建0<a<1比较大小。

课题：§3.1正整数指数函数一、教学分析教材分析：《正整数指数函数》是北师大教版高中数学（必修一）第三章“指数函数和对数函数”的第一节内容，是在学习了第二章函数内容之后编排的。

通过本节课的学习，既可以对函数的概念等知识进一步巩固和深化，又可以为后面进一步学习指数函数的性质打下坚实的概念和图象基础，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，有着不可替代的重要作用。

此外，《正整数指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、存款、贷款利率的计算环境保护等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了数学图形在研究函数性质时的重要作用。

学情分析:通过前一阶段的教学，学生对函数和图象的认识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面：知识层面：学生已初步掌握函数的基本知识能力层面：学生已经掌握了用列表法解决问题，初步具备了“数形结合”的思想。

情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。

但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均二、教学目标知识与技能：（1）结合实例，了解正整数指数函数的概念。

（2）能够求出正整数指数函数的解析式，进一步研究其性质。

（3）理解具体的正整数指数函数的图像特征及函数的单调性。

过程与方法：（1）让学生借助实例，了解正整数指数函数，体会从具体到一般，从个别到整体的研究过程和研究方法。

（2）从图像上观察体会正整数指数函数的性质，为这一章的学习作好铺垫。

情感·态度·价值观：使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义，增强学习研究函数的积极性和自信心。

三、教学重、难点重点：正整数指数函数的概念及图像特征。

难点：正整数指数函数概念的理解。

四、设计思路与教学方法探究交流，讲练结合。

启发诱导探求新知（1）请你用列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时,得到的细胞个数;（2）请你用图像表示1个细胞分裂的次数n(+∈Nn)与得到的细胞个数y之间的关系;（3）请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式；试用科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数.(4)试分析随着分裂次数的增加，细胞的个数是增加还是减少.学生回答：（1）列表法：（2）图像法：（3）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为ny2,n N+=∈；用科学计算器算得215=32768,220=1048576.（4）通过计算和看图可以知道,随着分裂次数的增加,细胞的个数在逐渐增加。

课题名称：正整数指数函数（北师大版）一、设计理念：通过这一节课的教学达到不仅使学生初步理解并能简单应用正整数指数函数的知识，更期望能引领学生掌握研究初等函数图象性质的一般思路和方法，为今后研究其它的函数做好准备，从而达到培养学生学习能力的目的。

二、教材分析：《正整数指数函数》是北师大教版高中数学（必修一）第三章“指数函数和对数函数”的第一节内容，是在学习了第二章函数内容之后编排的。

通过本节课的学习，既可以对函数的概念等知识进一步巩固和深化，又可以为后面进一步学习指数函数的性质打下坚实的概念和图象基础，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，有着不可替代的重要作用。

此外，《正整数指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、存款、贷款利率的计算环境保护等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了数学图形在研究函数性质时的重要作用。

三、学情分析:通过前一阶段的教学，学生对函数和图象的认识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面： 知识层面：学生已初步掌握函数的基本知识 能力层面：学生已经掌握了用列表法解决问题，初步具备了“数形结合”的思想。

情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。

但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡.四、教学目标1. 知识与技能：（1）结合实例，了解正整数指数函数的概念。

（2）能够求出正整数指数函数的解析式，进一步研究其性质。

2. 过程与方法（1）让学生借助实例，了解正整数指数函数，体会从具体到一般，从个别到整体的研究过程和研究方法。

（2）从图像上观察体会正整数指数函数的性质，为这一章的学习作好铺垫。

3. 情感态度与价值观使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义，增强学习研究函数的积极性和自信心。

五、教学重、难点重点正整数指数函数的定义难点正整数指数函数概念的理解与性质六、教学方法与手段探究交流，讲练结合。

3.1正整数指数函数●三维目标1．知识与技能(1)了解正整数指数函数模型的实际背景．(2)了解正整数指数函数的概念．(3)理解具体的正整数指数函数的图像特征及函数的单调性．2．过程与方法让学生结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，进一步认识到数学的应用价值，用数学的眼光观察世界．●重点难点重点：正整数指数函数的概念及图像特征．难点：正整数指数函数概念的理解．通过实例，利用计算器画出两个正整数指数函数图像，加深对概念的理解，突破难点．●教学建议1．对于问题1和问题2的学习，必须通过列表、描点、作图、计算器操作等步骤让学生体验数学研究的过程，体验数学实验、数学实践．2．通过问题1的学习，还要让学生体会指数增长，初步感受“指数爆炸”的含义．3．计算器的应用是新课标的一个特色，教材中出现“使用科学计算器可算得……”，学习中应适当地加以整合．4．通过本节课的学习，让学生感受数学的应用以及对正整数指数函数背景的理解，归纳概括出正整数指数函数的定义．从具体问题中归纳出一种重要的数学模型，这种模型化的处理也是学生研究的一个特色．●教学流程创设情景，导入新课，通过生活实例激发学生的学习动机⇒启发诱导探求新知，让学生动手作简单的图像对深刻理解本节课的内容有着一定的促进作用，并完成例1及变式训练⇒巩固新知，反馈回授，引导学生在同一坐标系下画出指数函数的图像⇒归纳正整数指数函数的性质，完成例2及其变式训练⇒进一步深化学习目标，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第35页)课标解读1.了解正整数指数函数模型的实际背景．2．了解正整数指数函数的概念．(重点)3．理解具体的指数函数的图像特征．(重点)4．会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点) 【问题导思】某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．1．你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时，得到的细胞个数吗？【提示】分裂次数12345678细胞个数2481632641282562．你能用图像表示1个细胞分裂的次数n(n∈N＋)与得到的细胞个数y之间的关系吗？【提示】3．请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式．1．正整数指数函数一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N ＋.2．正整数指数函数的图像特点前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．3．指数型函数把形如y ＝ka x (k ∈R ，a >0，且a ≠1)的函数称为指数型函数(见学生用书第35页)下列函数中一定是正整数指数函数的是( ) A ．y ＝(－4)x (x ∈N ＋) B ．y ＝(13)x (x ∈N ＋)C ．y ＝2×3x (x ∈N ＋)D ．y ＝x 3(x ∈N ＋)【思路探究】 熟练掌握定义中的三个特征是解决本题的关键．【自主解答】 y ＝(－4)x 的底数－4<0，不是正整数指数函数；y ＝2×3x 中3x 的系数等于2，不是正整数指数函数；y ＝x 3中自变量x 在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数；由正整数指数函数的定义知，只有y ＝(13)x 是正整数指数函数．【答案】 B1．正整数指数函数解析式的基本特征：a x 前的系数必须是1，自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上，底数a 是大于零且不等于1的常数．2．要注意正整数指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)与幂函数y ＝x a 的区别．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 为正整数指数函数，则实数a 的值为________．【解析】 若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 为正整数指数函数，则a x 的系数a 2－3a ＋3＝1，且底数a >0，a ≠1.由此可知，实数a 的值为2.【答案】 2(1)画出函数y ＝(13)x (x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性；(2)画出函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性．【思路探究】 使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N ＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．【自主解答】 (1)函数y ＝(13)x (x ∈N ＋)的图像如图(1)所示，从图像可知，函数y ＝(13)x (x ∈N ＋)是单调递减的； (2)函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像如图(2)所示，从图像可知，函数y ＝3x (x ∈N ＋)是单调递增的．(1) (2)1．正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．2．当0<a <1时，y ＝a x (x ∈N ＋)是减函数．当a >1时，y ＝a x (x ∈N ＋)是增函数．(1)函数y ＝(23)x ，x ∈N ＋的图像是( )A ．一条上升的曲线B ．一条下降的曲线C ．一系列上升的点D ．一系列下降的点 (2)函数y ＝7x ，x ∈N ＋的单调递增区间是( ) A ．R B ．N ＋C ．[0，＋∞)D ．不存在【解析】 (1)因为正整数指数函数y ＝(23)x ，x ∈N ＋的底数23大于零且小于1，所以它的图像从左向右是一系列下降的点．(2)虽然正整数指数函数y ＝7x ，x ∈N ＋在定义域N ＋上单调递增，但是N ＋不是区间，所以该函数不存在单调区间．【答案】 (1)D (2)D某种储蓄按复利计算利息，已知本金为a 元，每期利率为r . (1)写出本利和y (单位：元)关于存期x 的函数关系式；(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．【思路探究】 列出本利和随存期逐期变化的情况，总结变化过程便可得到函数关系式，再根据函数关系式求解第(2)小题．【自主解答】(1)已知本金为a元，每期利率为r，则1期后的本利和为a＋a×r＝a(1＋r)元，2期后的本利和为a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2元，3期后的本利和为a(1＋r)3元，……x期后的本利和为a(1＋r)x元，所以本利和y关于存期x的函数关系式为y＝a(1＋r)x，x∈N＋.(2)已知a＝1 000，r＝2.25%，x＝5，所以y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元)．所以5期后的本利和约为1 117.68元．1．由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．2．在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．已知镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质量．(可以用计算器)【解】由题意知，镭原来质量为20克，如果把100年看成一个基数，那么每经过100年镭的质量变化如下：100年后镭的质量为20×95.76%克；200年后镭的质量为20×(95.76%)2克；300年后镭的质量为20×(95.76%)3克；……x百年后镭的质量为20×(95.76%)x克．∴y与x之间的函数关系式为y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)．∴经过1 000年(即x＝10)后镭的质量为y＝20×(95.76%)10＝12.967 95(克)．。

1 3.1 正整数指数函数本节教材分析正整数指数函数的引入有两个基础，一是第二章函数的概念，“函数是一种特殊的映射，是从非空集合到非空集合的映射”因而我们可以建立一个正整数集到正整数集上的映射—正整数指数函数；二是学生已有这方面的大量生活体验，他们熟悉增长问题、复利问题、质量浓度问题都可归结为正整指数函数.教材通过两个实例引入，说明指数函数的概念来源于客观实际，便于学生接受和培养学生的数学应用意识.该节内容是以后学习的基础.三维目标1． 知识与技能：了解正整数指数函数模型的实际背景。

了解正整数指数函数的概念。

理解具体的正整数指数函数的图象特征及函数的单调性。

2.过程与方法：借助科学计算器、计算机的运算功能，计算一些正整数指数函数值。

3.情感态度与价值观：培养学生的应用意识，及其运用所学知识解决生活问题的能力. 教学重点：正整数指数函数的概念，函数图象的特征。

教学难点：正整数指数函数图象的特征。

．教学建议：1. 让学生结合实际问题感受运用函数概念建立模型的过程与方法.2. 本节给出的两个需研究的问题，设问方式不同，但体现了建立在正整数集和正实数集之间的一种函数关系.希望学生通过计算某些对应的函数值、画图、列出函数表达式等手段来认识这种对应关系，并由此引出正整数指数函数的概念.3. 正整数指数函数性质，只通过具体实例了解定义域、单调性、图像特征等，不必讨论一般正整数指数函数性质.4. 由学生收集有关正整数指数函数的实例，进行交流.5. 注意数形结合的渗透分析解析.新课导入设计导入一: 1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为2%，到2010年底人口将达到多少亿？（取181.02 1.43 ）为解决这个问题，我们必须建立相应的数学模型、函数关系式，设年数为x ，人口数为y ，则x y =54.8(1+2%)其中我们给xy =(1+2%)起个名字为正整数指数函数引出本节课题导入二：以细胞裂变分析个数与次数的关系进而教师直接点题.。