地下水溶质运移解析法算法模板

第五节 溶质运移问题的简单解析解由第二节的对流弥散方程可知，溶质运移问题比地下水运动问题更复杂，更难求得解析解。

只有当含水层为均质各向同性，而且计算区域几何形状简单时，才有可能求得解析解。

下面介绍几种简单的解析解。

一. 一维问题简单的解析解实验室中的土柱试验就是一个简单的一维问题。

一个土柱中装满砂，用水饱和并且让水以固定的速度向下流动。

水中的示踪剂浓度为0。

试验开始时土柱上部换装示踪剂浓度为C 0的溶液，一直保持到试验结束。

如果不考虑吸附、化学反应和放射性衰变，取流向为x 轴，则对流弥散方程（6-91）简化为x c u xc D t c x L ∂∂-∂∂=∂∂22 （6-184） 初始条件00)0,(≥=x x c边界条件⎩⎨⎧≥=∞≥=00),(0),0(0t t c t c t c 该问题的解为（Ogata 和Banks ，1961）：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2()exp(22),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-185） 式中 )(e r f c—余误差函数； )e x p (—指数。

在天然情况下，一维运动往往出现在有一段平直的被污染的河流或渠道，河水渗漏补给地下水，地下水以固定速度u 作一维流动，如图6—25图6—25渠道渗漏作为一个线源引起的地下水污染Sauty （1980）求得该情况下的解为⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢+--=)2()exp()2(2),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-186） （6—185）式和（6—186）式在第二项前面符号不同。

当Peclet 数Lx D xu Pe = 相当大时，上二式第二项比第一项小得多，故近似有)2(2),(0t D t u x erfc c t x c L x -=（6-187） 公式（6—187）适用10≥Pe 的情况。

地下水溶质运移常用解析解2013年9月目录1 一维迁移问题的解析解 (1)1.1 定浓度注入污染物的一维解析解 (1)1.2初始浓度不为零时定浓度注入污染物的一维解析解 (1)1.3含有一级化学反应问题时定浓度注入的一维解析解 (1)1.4短时注入污染物问题的一维解析解 (2)1.5瞬时注入污染物问题的一维解析解 (2)2 二维迁移问题的解析解 (3)2.1点源连续注入污染物问题的二维解析解 (3)2.2点源连续注入含有一级化学反应问题的二维解析解 (4)2.3点源瞬时注入的二维解析解 (4)2.4点源瞬时注入含有一级化学反应的二维解析解 (4)2.5面源连续注入的二维解析解 (5)2.6面源瞬时注入的二维解析解 (5)3三维迁移问题的解析解 (6)3.1点源瞬时注入的三维迁移问题解析解 (6)3.2立方体源瞬时注入的三维迁移问题的解析解 (6)3.3点源连续注入的三维迁移问题的解析解 (6)3.4 点线面体源下的三维迁移解析解库 (7)参考文献：《多孔介质污染物迁移动力学》，王洪涛，高等教育出版社，2008年3月第一版。

1 一维迁移问题的解析解1.1 定浓度注入污染物的一维解析解exp 2L c ux c erfc erfc D ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭式中：x —距注入点的距离；m ； t —时间，d ；C —t 时刻x 处的示踪剂浓度，mg/L ； C 0—注入的示踪剂浓度，mg/L ； u —水流速度，m/d ；D L —纵向弥散系数，m 2/d ； erfc （）—余误差函数。

1.2初始浓度不为零时定浓度注入污染物的一维解析解01exp 2i i L c c ux erfc erfc c c D ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪⎪=+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭式中：c i —初始时刻多孔介质中污染物浓度；mg/L ； 其余参数含义同上。

1.3含有一级化学反应问题时定浓度注入的一维解析解污染物在迁移的同时还发生衰变反应，且符合一级反应动力学过程，反应常数为λ，则：0()()exp exp 222L L c u w x u w x c erfc erfc D D ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⎪⎪=+⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭w =式中参数含义同上。

地下水溶质运移数值法和解析法预测结果对比分析--以沾化电厂为例刘志涛;周群道;杨建华【摘要】At present, numerical method and analytical method are the methods most commonly used for solving groundwater problems. Although numerical method has been widely used for its wide applicability and higher simu-lation, the analytical method has been one of the first choice for its simple and easy to use. Taking Zhanhua power plant as an example, the pollution caused by long term and short term leakage of pollutants have been predicated in this paper. The application suitability of the analytical method in the study area has been discussed based on ana-lyzing the differences between the predictions results gained by using two methods. It will provide reference for the application of this method.%数值法和解析法是当前解决地下水流和溶质运移问题最常用的两种方法，虽然数值法以其广泛的适用性和较高的仿真性等优点取得了越来越普遍的应用，但解析法也以其简单易用等特点一直成为首选方法之一。

在土壤中，溶质分子扩散符合菲克定律，即ds m cJ D x∂=-∂式中ds J 为土壤中溶质分子扩撒通量，m D 是在土壤中分子扩散系数。

由于受土壤含水量、空隙弯曲度等因的影响，土壤中分子扩散系数比自由水中小。

一般把在土壤中溶质扩散系数表示为含水量的函数，而与土壤溶质浓度无关，即b m w D D ae θ=式中：由于土壤中存在着大小不一、形状各异的的空隙，水溶液在其中流动过程中，每个空隙中的流苏大小和方向各不相同，使溶液分散并扩大运移范围的现象称之为机械弥散。

机械弥散所引起俄溶质迁移通量表示为h h cJ D x∂=-∂式中h J 为土壤中溶质分子扩撒通量，h D 是在土壤中分子扩散系数。

通常机械弥散系数可以表示为空隙流速的函数，即nh D vλ=式中：λ是弥散度，n 是经验系数，v 是空隙平均水流速度。

一般认为机械弥散系数与平均空隙水流速度成一次方程正比，这样经验系数n =1，弥散度的大小取决于水分通量和溶质对流弥散通量的平均尺度大小，一般来说扰动土条件下，λ的值为0.5 到2cm 之间机械弥散和分子扩散作用在土壤中都引起溶质迁移，但因围观流速不以测量，弥散作用与扩散作用也很难区别，同时两者的所引起的溶质迁移通量表达式的形式基本相同。

所以在实际中长把两种作用联合考虑，并称之为水动力弥散。

同样把分子扩散系数和机械弥散系数叠加起来，称之为水动力弥散系数。

因此水动力弥散作用是个别分子在空袭中运动及所发生的一切物理和化学作用的宏观表现。

根据水动力弥散定义以及分子扩撒和机械弥散间的关系，可把水动力弥散引起的土壤溶质迁移通量表示为：lh lhcJ D x∂=-∂ 式中：lh J 是水动力弥散引起的溶质通量，lh D 水水动力弥散系数，nb lh w D D ae vθλ=+土壤水是土壤溶质迁移的载体，溶质可以随着土壤水分整体运动而迁移，这种迁移过程称之为对流。

由于对流作用引起的土壤溶质迁移通量与土壤水分通量和水溶液浓度与关，可表示为wc w J J c =式中：wc J 是对流引起的溶质通量，w J 是土壤水分通量。

地下水溶质运移解析法1、 应用条件求解复杂的水动力弥散方程定解问题非常困难，实际问题中多靠数值方法求解。

但可以用解析解对数值解法进行检验和比较，并用解析解去拟合观测资料以求得水动力弥散系数。

2、 预测模型（1） 一维稳定流动一维水动力弥散问题 1）一维无限长多孔介质柱体，示踪剂瞬时注入tD vt x L L e tD n w m t x C 4)(22/),(-=π （2-1）式中：x —距注入点的距离（m ）；t —时间（d ）；),(t x C —t 时刻x 处的示踪剂浓度（mg/L ）；m —注入的示踪剂质量（kg ）； w —横截面面积（m 2）；v —水流速度（m/d ）；n —有效孔隙度；L D —纵向弥散系数（m 2/d ）； π—圆周率。

2）一维半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界)2(21)2(21tD vt x erfc e t D vt x erfc C C L D vxL o L ++-= （2-2）式中：x —距注入点的距离（m ）；t —时间（d ）；C —t 时刻x 处的示踪剂浓度（mg/L ）； o C —注入的示踪剂浓度（mg/L ）；v —水流速度（m/d ）； L D —纵向弥散系数（m 2/d ）；()erfc —余误差函数（可查《水文地质手册》获得）。

（2） 一维稳定流动二维水动力弥散问题 1）瞬时注入示踪剂—平面瞬时点源]44)([224/),,(tD y t D vt x T L M T L etD D n M m t y x C +--=π （2-3）式中：x ，y —计算点处的位置坐标；t —时间（d ）；),,(t y x C —t 时刻点x ，y 处的示踪剂浓度（mg/L ）；M —承压含水层的厚度（m ）；M m —长度为M 的线源瞬时注入的示踪剂质量（kg ）；v —水流速度（m/d ）；n —有效孔隙度；L D —纵向弥散系数（m 2/d ）；T D —横向y 方向的弥散系数（m 2/d ）； π—圆周率。

六、对流—弥散模型的应用六水质模研究的般程1、水质模型研究的一般过程2、地下水污染问题3、海水入侵问题与海水入侵中的阳离子交换问题4、咸水、卤水入侵问题5、非饱和带水分和养分联合运移模型水质模型研究的般过程1、水质模型研究的一般过程1）确定目的任务：最常见的问题有：地下水污染趋势的分析、预测，提出相应对策；地下水污染趋势的分析预测提出相应对策；估计废水排放和废物堆对地下水可能造成的污染；估计农药、化肥及污水灌溉对地下水可能造成的污染；研究人工回灌对地下水水质的影响；沿海地区海水入侵淡水含水层问题；咸水、卤水入侵问题，内陆地区咸水对水源地入侵可能性分析；核废料处置库的安全评价；尾矿库渗漏对地下水水质影响分析；地表水污染对地下水水质的影响等。

不同的问题会提出不同的任务，如：确定污染区范围，预防地下水或水源地进一步被污染；根据地下水水质及其发展趋势，指导新井布置；规定人工回灌水的水质标准；指导生活垃圾和工业废弃物堆放地、核废料处置库位置的选定；预计已被污染的含水层天然净化所需时间等。

确定滨海含水层、滨卤水体淡水含水层的开采强度和开采井的合理布局以避免海水入侵或咸水入侵的进一步扩展；为政府有关部门提供污染防治对策等。

目的、任务、研究区确定后，选定模拟的溶质，提出对结果的精度要求。

2 ）野外调查和资料收集并确定模型确定相应的数值方法36th3）选择并确定模型，确定相应的数值方法4）现场试验布置长期观测网进行观测；进行必要的抽水试验、弥散试验。

5）编制程序、整理数据如二维对流——弥散模型需要输入下列数据：含水层的边界的形状、厚度、顶底板高程等；初始水头场、溶质初始浓度场（通过插值得到各结点的初始水头初始水头场溶质初始浓度场（通过插值得到各结点的初始水头和初始浓度）；抽（注）水井的位置、流量和水质，河流和地表水体的位置、补给量和水质，污染源的位置、水质等；与相邻含水层及地表水之间的水力联系；各种水文地质参数孔隙度渗透系数贮水系数给水度各种水文地质参数（孔隙度、渗透系数、贮水系数、给水度、降水入渗系数、纵向弥散度、横向弥散度、分子扩散系数等）的估计值；水头和溶质浓度的长期观测资料；野外试验资料（包括试验期间的水头、水质的观测资料）；有关水流模型、对流—弥散模型各类边界条件的资料等。