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地下水溶质运移第二章

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地下水动力学(第二章 地下水向河渠的运动-专)

地下水动力学(第二章 地下水向河渠的运动-专)

( ) (
)
任一断面单宽流量： ∂h 上式对x求导，并代入Darcy定律 q = − Kh ∂x 得：
q x ,t K = q x ,0 + ∆ h02,t G x, t − ∆ hl2,t G ′ x, t 2l
[ ( ) ( ) ( ) ( )]
式中：qx,0—x断面处回水前单宽流量； qx,t—x断面处回水后t时刻的单宽流量； G (x, t ) —河渠流量函数；
hx2, 0 = h02, 0 −
h02, 0 − hl2, 0 l
x
(3) 两侧河渠水位同时出现水位上升，发生瞬时回 水，左河水位自h0,0上升至h0,t，右河自hl,0上升至hl,t。 （二）数学模型的建立和求解 如图坐标，可得如下数学模型：
∂ ∂h ∂h K h = µ ∂x ∂x ∂t h 2 ( x,0 ) = h02, 0 − h(0 ,t ) = h0 ,t h(l ,t ) = hl ,t h02, 0 − hl2, 0 l x
d dh W =0 h + dx dx K h x =0 = h1 h x =l = h2
模型求解： W dh d h = − dx 将微分方程化为： dx K 两边不定积分： dh W
h dx =− K x + C1
再化简： 再积分：
W hdh = − xdx + C1dx K
特例， h1=h2
l=2
时， a =
l 2
，代入(2)式，可得
K 2 hmax − h12 W
(
)
可见，当水位条件一定时，在入渗强度愈大和渗 透性愈弱的含水层中，排水渠间距愈小，反之愈大。 (3) 河渠间单宽流量的计算 通用公式： 2 2 当x=0时，得流入左河的单宽流量：

土壤水与溶质的运移

土壤水与溶质的运移

土壤水与溶质的运移Contents5.0 Introduction5.1 Classifying and determining of soil water土壤水的类型划分及土壤水分含量的测定5.2 Energy status of soil water土壤水的能态5.3 Soil water movement土壤水的运动5.4 Solute transportation in soils土壤中的溶质运移Soil water土壤水是土壤的最重要组成部分之一；在土壤形成过程中起着极其重要的作用，在很大程度上参与了土壤内进行的许多物质转化过程：矿物质风化、有机化合物的合成和分解等；作物吸水的最主要来源；自然界水循环的重要环节；非纯水，而是稀薄的溶液，溶有各种溶质，还有胶体颗粒悬浮或分散其中。

Principal sources of soil water●Precipitation——Rain, snow, hail(雹）; fog, mist(霜)●Ground water——lateral movement from upslope, upward movement from the underlying rock strata.precipitation Surface devoid of vegetationReachdirectly Vegetated surfaceinterceptedcanopyCanopy throughfall andstemflow atmosphereevaporation infiltration Run offSoil waterDrainage and lostEvapotraspirationThe composition of soil waterSoil water contains a number of dissolved solid and gaseous constituents,many of which exist in mobile ionic form,and a variety of suspended solid components.Base cations(Ca2+, Mg2+, K+, Na+, NH4+)PrecipitationMineral weatheringOrganic matter decomposition Lime and fertilizersourcesH+——a measure of acidity (pH)●CO2Atmosphere ——dissolved in precipitation Soil air ——produced in soil respirationH2O + CO2H2CO3H++ HCO3-Unpolluted rain water: pH>5.6Soil water: pH <5.0●Industrial and urban emission●Organic acids derived from decaying organic material●Released by plants in exchange for nutrient base cations major sourceIron and aluminiumMajor sourcesmineral weatheringacid rainMajor formFe2+, Al3+ionssoluble organic-metallic complexesSoluble anionsNO3-, PO43-Cl-, SO42-HCO3-Mineralisation processesFertilizersAtmosphere sourcesMineral weatheringDissolved organic carbon (DOC) Pollutants (heavy metals et al.)Suspended constitutions☐Small particles of mineral and organic material ☐Often result in discoloration(变污)and increased turbidity(混浊度)of soil water.第一节土壤水的类型划分及土壤水分含量测定Classifying and determining of soil water 一、土壤水分类型及有效性Soil water types and availability土壤水分研究方法能量法数量法从土壤水分受各种力作用后自由能的变化研究水分的能态和运动、变化规律。

第二章地下水向河渠的运动

第二章地下水向河渠的运动

第二章 地下水向河渠的运动一、填空题1. 将_______________上的入渗补给量称为入渗强度.2. 有入渗补给的河渠间含水层中，只要存在分水岭，且两河水位不相等时，则分水岭总是偏向_________一侧。

如果入渗补给强度W >0时，则浸润曲线的形状为____________；当W <0时，则为__________；当W =0时，则为____________。

3. 双侧河渠引渗时，地下水的汇水点靠近河渠________一侧，汇水点处的地下水流速等于_______。

4. 在河渠单侧引渗时，同一时刻不同断面处的引渗渗流速度_______，在起始断面x=0处的引渗渗流速度______，随着远离河渠，则引渗渗流速度__________。

5. 在河渠单侧引渗中，同一断面上的引渗渗流速度随时间的增大_______，当时间趋向无穷大时，则引渗渗流速度_________。

6. 河渠单侧引渗时，同一断面上的引渗单宽流量随时间的变化规律与该断面上的引渗渗流速度的变化规律_______，而同一时刻的引渗单宽流量最大值在________，其单宽渗流量表达式为_______。

二、选择题1．当河渠间含水层无入渗补给，但有蒸发排泄（设其蒸发强度为ε）时，计算任一断面的单宽流量公式，只要将式W x W l l h h K q x +-=-2/)2/()(2121中的W用（ ）代替即可。

(1) ε； (2) 0； (3) -ε； (4) ε+W2．在有入渗补给，且存在分水岭的河渠间含水层中，已知左河水位标高为H 1，右河水位标高为H 2，两河间距为L ，当H 1＞H 2时，分水岭（ ）；当H 1＜H 2时，分水岭（ ）；当H 1= H 2时，分水岭（ ）；(1) 位于L/2处； (2) 靠近右河； (3) 靠近左河； (4) 不存在；(5)位于L=0处； (6)位于L 处3．在底板水平，无入渗、无蒸发的河渠间潜水含水层中，当渗流为稳定流，两侧河水位相等时，浸润曲线的形状为（ ）。

二维地下水溶质运移耦合方程组的差分方法

二维地下水溶质运移耦合方程组的差分方法

中国海洋大学硕士学位论文二维地下水溶质运移耦合方程组的差分方法姓名：***申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：***201206二维地下水溶质运移耦合方程组的差分方法摘要本文分析二维地下水溶质运移数学模型的控制方程，在此基础上，建立了求解控制方程的交替方向隐式差分格式。

古典显格式由于稳定性，在时间上限制很大；隐式差分格式和中心差分法需要求解多个未知量，导致计算时占用内存大，求解困难；本文采用的交替方向差分法，每层分两步计算，每步只需求解一个三对角方程组，在计算规模上相当于一维的计算量，并且它与隐式格式有相同的稳定性。

其次控制方程含有非线性系数，为了高精度地模拟模型，本文对非线性系数用三次样条插值逼近，提高了计算精度。

通过数值算例比较证明本文方法可以对地下水溶质运移进行有效的模拟，对解决此类非线性问题有参考价值。

最后分析了线性的溶质运移方程的稳定性。

文章由三部分组成：第一部分为前言。

介绍了地下水模型和求解地下水问题的数值方法的背景和发展状况，以及本文的主要研究内容。

第二部分为地下水溶质运移模型分析。

在这一部分里，介绍了地下水基本假设和根据均衡单元体的质量守恒建立地下水运动的连续方程和溶质运移方程。

再根据二维潜水问题的Ｄｕｐｕｉｔ假设，最终形成二维问题的模型。

还对方程中涉及到的参数做了详细的分析。

第三部分为二维地下水模型的有限差分方法。

给出方程的交替方向差分格式和二维时的三次样条插值计算。

对于方程非线性系数我们介绍了两种方法进行逼近，通过数值算例证明两层平均的三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值逼近更有效。

最后分析了线性的溶质运移方程的稳定性。

关键词：地下水连续方程；溶质运移方程；交替方向差分方法；样条插值；稳定性；二维地下水溶质运移耦合方程组的差分方法ＡＤＩｄｉ如ｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄｆｏｒＣＩｌｍｅｎＳｌｏｎａＩｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒｃｏｕｐｌｅｄｓｙｓｔｅｍｏｆｔｗｏａｎｄｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｉｓｐａｐｅｒａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔ．Ｏｎｔｈｉｓｂａｓｉｓ，ｗｅｅｓｔａｂｌｉｓｈａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｄｉｒｅｃｔｉｏｎｉｍｐｌｉｃｉｔｄｉｆｆｅｒ—ｅｎｃｅｓｃｈｅｍｅｏｆｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｃｌａｓｓｉｃａｌｅｘｐｌｉｃｉｔｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓｃｈｅｍｅｄｕｅｓｔｏｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｔｉｍｅｌｉｍｉｔ；Ｔｈｅｉｍｐｌｉｃｉｔｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓｃｈｅｍｅｏｒｃｅｎｔｒａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄｒｅ—ｑｕｉｒｅｓｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｑｕｉｔｅａｌｏｔｏｆｕｎｋｎｏｗｎｖａｒｉａｂｌｅｓ，ａｎｄｔｈｅｎｌｅａｄｓｔｏｓｏｌｖｉｎｇｄｉｆｆｉｃｕｌｔｌｙ；Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ：ｔｈｅａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｄｉｒｅｃｔｉｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｅｄ．Ｅａｃｈｌａｖｅｒｉｓｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｔｗｏｓｔｅｐｓａｓｗｅｌｌａ８ｅｖｅｒｙｓｔｅｐｓｉｍｐｌｙｎｅｅｄｓｔｏｓｏｌｖｅｓａｔｒｉｄｉａｇｏｎａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｉｎｔｈｅｓｃａｌｅｏｆｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，ｉｔｉｓｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｔｏｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ．Ａｎｄｈａｓｔｈｅｓａｍｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｗｉｔｈｔｈｅｉｍｐｌｉｃｉｔｓｃｈｅｍｅ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｅｑｕａｔｉｏｎｃｏｎｔａｉｎｓｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，ｔｈｅｃｕｂｉｃｓｐｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｉｓｕｓｅｄｔｏａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｉｔｉｎｏｒｄｅｒｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙ．Ｔｈｅｎｕｍｅｒ—ｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓｈａｓｐｒｏｖｅｄｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｃａｎｂｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔｉｎｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒ．Ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｈａｓｒｅｆｅｒｅｎｃｅｖａｌｕｅｔｏｓｏｌｖｅｓｕｃｈｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｓｓｕｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅａｎａｌｙｚｅｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅａｒｔｉｃｌｅｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｔｈｒｅｅｐａｒｔｓ：Ｔｈｅｆｉｒｓｔｐａｒｔｉｓｔｈｅ－ｐｒｅｆａｃｅ．Ｉｔｄｅｓｃｒｉｂｅｓｔｈｅｂａｃｋｇｒｏｕｎｄａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｏｄｅｌｉｎｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｉｓｓｅｃｔｉｏｎｇｉｖｅｓｔｈｅｍａｉｎｃｏｎｔｅｎｔｓｏｆｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅ．Ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｐａｒｔｉｓｔｈｅｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔｍｏｄｅｌｉｎｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒ．Ｉｎｔｈｉｓｓｅｃ—ｔｉｏｎ，ｉｔｐｒｅｓｅｎｔｓｔｈｅｂａｓｉｃａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓｏｆｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒ．Ａｎｄｗｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒｆｌｏｗａｎｄｔｈｅｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｍａｓｓｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｕｎｉｔｃｅｌｌ．ＯｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆＤｕｐｕｉｔａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ，ｗｅｕｌｔｉｍａｔｅｌｙｆｏｒｍａｔｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｍｏｄｅｌ．Ｆｉｎａｌｌｙｗｅｍａｋｅａｄｅｔａｉｌｅｄａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｎｖｏｌｖｅｄｉｎｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｔｈｉｒｄｐａｒｔｉｓｔｈｅｆｉｎｉｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄｏｆｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｇｒｏｕｎｄ—ｗａｔｅｒｍｏｄｅｌ．ＩｔｇｉｖｅｓｂｏｔｈｔｈｅａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｄｉｒｅｃｔｉｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｆｏｒｍａｔｏｆｔｈｅⅨｏｆｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ．Ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｃｕｂｉｃｓｐｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｔｗｏｍｅｔｈｏｄｓｔｏａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓｐｒｏｖｅｔｈａｔｔｈｅｓｅｃｏｎｄｍｅｔｈｏｄｉｓｍｏｒｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒａｎ—ａｌｙｚｅｓｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｅｑｕａｔｉｏｎ；ｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔｅｑｕａ－ｔｉｏｎ；ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｄｉｒｅｃｔｉｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄ；ｓｐｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ；ｓｔａ－ｂｉｌｉｔｙ；Ｘ第１章前言１．１背景介绍地下水是全球水资源的重要组成部分，在社会经济发展中发挥着重要的作用。

地下水数值模拟02_地下水运动的数学模型

地下水数值模拟02_地下水运动的数学模型

2
H 0
n 2
——隔水边界
第三类边界条件 H aH b n
例：弱透水边界
K H Hn H 0 n m1 / K1
溶质运移问题的边界条件
第一类边界条件
c(x,
y, z,t) 1

c1(x,
y, z,t)
——给定浓度边界
第二类边界条件 c
Di, j x j ni 2 f2 (xi , t)
u(x, y, z,t) t0 0(x, y, z)
• 2、边界条件
第一类边界条件 u(x, y, z,t) 1 1(x, y, z,t)
第二类边界条件
u n
2
1(x, y, z,t)
第三类边界条件
u



u n
3
3x,
y, z,t
水流问题的边界条件
Reynolds数小于1~10
• 有些情况下，用液体压强表示更为方便
– 例如：油水两相流动
vx

K
H x
vy

K
H y
vz

K
H z
K g k
H z p
g

k p
vx



x
v y


k
p y
vz


k


K ( d
)
dhc
C

t

x
K( )
x


y
K
(

)
y


z
K (

第二章污染物在地下水系统中的运移

第二章污染物在地下水系统中的运移

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（二）分子扩散
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（3）机械弥散
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（4）
溶质运移模型
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第三节 污染物在地下水系统中运移的其他作用
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二、地下水系统的结构特征


（三）承压水
1、定义：充满于两个隔水层之间的含水层中的水。承压含水层 上部的隔水层为隔水顶板，下部的隔水层为隔水底板，隔水顶、 底板之间的距离为承压含水层的厚度。
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问题
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1 Introduction Background Research status Objective and significance
（1）Langmuir型吸附等温线
G0/2
G=G0C/(A+C)
L型
1/G=1/G0+(A/G0)(1/C)
G0------单位表面上达到饱
1/G
A
C
和时间的最大吸附量；
L型
A-------常数

溶质运移理论-(二)水动力弥散系数24页PPT

根据公式求出 D L
8
二、实验研究：一维水动力弥散实验
在双对数坐标上，横坐标取 Pc ，纵坐 标取
9
Pc
二、实验研究：一维水动力弥散实验
得到经验公式
当
较大， 可忽略，得
纵向弥散系数是横向弥散系数的30倍左右
10
二、实验研究：一维水动力弥散实验
Fried以 为纵坐标，以 Pc为横坐标， 双对数坐标，结果可分为5个区
第Ⅳ区：纯机械弥散状态，分子扩散可忽 略，仍遵守Darcy定律；
第Ⅴ区：超Darcy流动的机械弥散； 13
二、实验研究：一维水动力弥散实验
Klotz和Moser:除外，影响因素还 包括颗粒不均匀系数 和颗粒大小
随着 的增大，介质的有效孔隙率n变 小，D L增大；对于
不均匀系数是解析野外弥散实验中 D L
三、尺度效应
传统观点： 以典型单元体假定为前提，对于不同尺度的多孔介质， 在相应的典型单元体上定义弥散与渗透参数，得到一个 相对稳定的弥散度。随研究范围扩大，相应的典型单元 体增大，所计算出的弥散度增大。 缺点： （1）典型单元体不稳定，从宏观尺度到微观尺度连续 变化； （2）典型单元体没有定量信息，为虚设量，无法具体 测量大小
比室内试验大几个数量级的原因之一
14
二、实验研究：一维水动力弥散实验
确定横向弥散系数的试验：
三、尺度效应
多孔介质水动力弥散尺度效应：指空隙介质中弥散度 随溶质运移距离增加而增大的现象
具体表现： （1）野外弥散试验求出的弥散度远远大于室内试验 结果；4~5个数量级； （2）同一含水层，溶质运移距离越大，计算的弥散 度越大；
综上，非均匀性是产生孔隙介质水动力弥散尺度效应主要原因
a ijmn 是四阶张量。但对各向同性介质，只有36个

地下水动力学讲义第2章(全)2009-11


q1 = K
右河得到的补给量：
2 h12 − h2 Wl − 2l 2
q2 = K
2 h12 − 时，它的渗漏量由于存在入渗而减少，减少量等于整 个库渠间入渗量的一半，即 Wl 。因此，在选择库址时，除了要考虑岸边岩石的渗透系数
1 2
K 和河渠(库)之间的宽度 l 外，还要考虑入渗量 W 的大小等，以预测水库蓄水后分水岭存
(2-17)
式中 h1，h2——为断面 1 和 2 上的潜水流厚度，m； K1，K2——相邻两种岩层的渗透系数，m； l1，l2——断面 1 和 2 到岩层分界面的距离，m。 2.1.4 承压水-无压流的稳定运动 在地下水坡度较大的地区，若上游为承压水，下游由于水头降至隔水底板以下转为无 压水的情况，形成承压—无压流，见图 2-6。
地下水动力学
图 2-1 计算出的潜水面与实际潜水面的比较
取垂直于地下水流动方向的单位宽度进行研究，其数学模型如下：
式中,h——距离左端起始断面 x 处的潜水含水层厚度，m； h1，h2——上游断面（左端起始断面）1、下游断面 2 处的潜水含水层厚度，m； K——含水层的渗透系数，m/d。 对（2-1）式分离变量积分，得
（2-8）
式（2-8）为单宽流量公式。 若已知两个断面上的水位值，可以用它来计算两断面间任一断面的流量。应该指出的 是，因沿途有入渗补给，所以 qx 随 x 而变化。
当含水层上部没有入渗或蒸发，即 W=0 时， （2-5）式和(2-8)式可简化为:
2 h12 − h2 h =h − x l 2 h 2 − h2 q=K 1 2l 2 2 1
（2-20）
上式中的 l，a 都是待求量，可同(2-19)式结合起来，用试算法解出合理间距 l。其方法 为：按分水岭移动规律给出 a 值，由（2-19）式算出 l 值；再代入(2-20)式，看是否满足等 式。如不满足，重复上述过程，直到满足条件。此时 l 即为所求的合理间距。 在两渠水位相等的特殊条件下，即 hl=h2=hw，分水岭位置 a=l/2，这时（2-20）式可简 化为：

地下水动力学(第二章 地下水向河渠的运动专)课件


所以
i 1
n
h2 x,t
h2 x,0
h2 0,i
h2 0 ,i 1
F
x, t ti1
h2 l ,i
xdx C1dx
1 h2 2
W K
1 2
x2
C1x C2
得：
h2
W K
x2
C1x C2
当x=0时，h=h1，代入上式得：C2=h12
当x=l时，h=h2，代入上式得：
C1
h22
h12 l
W K
l
将C1、C2代入上式，得
h2
h12
h22
h12 l
xW K
lx x2
此式为河渠有入渗或蒸发时的潜水流的浸润曲线方程。
M H 0 x x
H x0 H1
H xl H2
将微分方程变为：d
M
H x
0Leabharlann 积分，得：MH x
C1
再积分： MH C1x C2
MH C1x C2
当x=0时，H=H1 ，得：C2=MH1
当x=l时，H=H2 ，并将C2=MH1代入，得：
C1
M
H 2
l
H1
将C1、C2代入方程，得：
此式为河渠水位迅速上升后保持不变，计算河渠任 一断面任一时刻水位的公式。
说明：h02,t F x,t 是一个小于h02,t的数，故河渠间任一
断面的水位变幅总是小于河渠的水位变幅。
任一断面单宽流量：
上式对x求导，并代入Darcy定律
q Kh h x
得：
qx,t
K qx,0 2l
H
H1
H1
l
H2 x
此式为承压水一维稳定流的水头线方程。

地下水溶质运移常用解析解

地下水溶质运移常用解析解2013年9月目录1 一维迁移问题的解析解 (1)1.1 定浓度注入污染物的一维解析解 (1)1.2初始浓度不为零时定浓度注入污染物的一维解析解 (1)1.3含有一级化学反应问题时定浓度注入的一维解析解 (1)1.4短时注入污染物问题的一维解析解 (2)1.5瞬时注入污染物问题的一维解析解 (2)2 二维迁移问题的解析解 (3)2.1点源连续注入污染物问题的二维解析解 (3)2.2点源连续注入含有一级化学反应问题的二维解析解 (4)2.3点源瞬时注入的二维解析解 (4)2.4点源瞬时注入含有一级化学反应的二维解析解 (4)2.5面源连续注入的二维解析解 (5)2.6面源瞬时注入的二维解析解 (5)3三维迁移问题的解析解 (6)3.1点源瞬时注入的三维迁移问题解析解 (6)3.2立方体源瞬时注入的三维迁移问题的解析解 (6)3.3点源连续注入的三维迁移问题的解析解 (6)3.4 点线面体源下的三维迁移解析解库 (7)参考文献：《多孔介质污染物迁移动力学》，王洪涛，高等教育出版社，2008年3月第一版。

1 一维迁移问题的解析解1.1 定浓度注入污染物的一维解析解exp 2L c ux c erfc erfc D ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭式中：x —距注入点的距离；m ； t —时间，d ；C —t 时刻x 处的示踪剂浓度，mg/L ； C 0—注入的示踪剂浓度，mg/L ； u —水流速度，m/d ；D L —纵向弥散系数，m 2/d ； erfc （）—余误差函数。

1.2初始浓度不为零时定浓度注入污染物的一维解析解01exp 2i i L c c ux erfc erfc c c D ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪⎪=+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭式中：c i —初始时刻多孔介质中污染物浓度；mg/L ； 其余参数含义同上。

1.3含有一级化学反应问题时定浓度注入的一维解析解污染物在迁移的同时还发生衰变反应，且符合一级反应动力学过程，反应常数为λ，则：0()()exp exp 222L L c u w x u w x c erfc erfc D D ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⎪⎪=+⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭w =式中参数含义同上。

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解出浓度分布。对大多数实际溶质运移问题，如地下水
污染，因溶质浓度较小，都可认为属于这种情况。
2 2 海水入侵问题 2.2
海水和淡水很容易混合，它们之间的接触带由于水动力弥散 形成一个由咸水、高矿化水、逐步变为低矿化水的过渡带。如 过渡带的宽度很窄，和整个含水层厚度相比可忽略不计时，可 近似认为海水、淡水间存在 个突变界面；如过渡带很宽，则 近似认为海水、淡水间存在一个突变界面；如过渡带很宽，则 不能做突变界面处理。我国至今未发现这种过渡带很窄可以作 为突变界面处理的情况。 可混溶的对流—弥散模型
2、饱和带溶质运移模型 2.1 地下水水质和污染问题
对流——弥散方程中含有u，浓度分布依赖于流速的分布，而溶质 的浓度变化要影响液体的密度 粘度 密度和粘度的变化又影响u的分 的浓度变化要影响液体的密度、粘度。密度和粘度的变化又影响 布。都是未知函数。只能联立求解。
对流—弥散方程（运移方程）
c c ( Di , j ) (cui ) N t xi x j xi
(3 68) (3.68)
与一般运动方程不同之处： 多了一项反映由浓度差引起的自然对流。只有同时考虑： 水头梯度引起的流动； 由浓度差引起的自然对流 才能反映地下水的真实流向和海水迴流现象。单纯实际（实测） 水头等值线不反映地下水流向 为此，由 水头等值线不反映地下水流向。 为此 由(3.67) (3 67)定义转换水头
3） 集中参数型水质模型
如果只关心污染物随时间的变化而不是不同位置上污染程度的差别， 可考虑用黑箱模型或一个单元的模型来处理。此时浓度只是时间的函数， 与空间位置无关。
模型选择：
首先考虑的是模型是用的目的。如研究污染物的浓度分布，模 首先考虑的是模型是用的目的 如研究污染物的浓度分布 模 拟锋面推移过程，则浓度随空间位置的变化必须考虑，只能用分布 参数模型，以给出浓度的时空变化。集中参数模型比较粗糙，求出 的浓度不代表某一口井的溶质浓度，只是一个全局平均意义下的值。 其次考虑能够取得的数据的数量和质量。如资料不够，只能用 一个简单的模型。 第三要考虑计算工作量。 絶大部分水质问题采用分布参数模型。应尽量用对流 絶大部分水质问题采用分布参数模型 应尽量用对流—弥散模 型，因它比较符合实际。纯对流模型虽然回避了确定弥散系数的困 难，但损失了解的精度。且纯对流模型在计算量上的减少并不明显， 对现在的计算机来说也不重要 所以现在使用对流—弥散模型是 对现在的计算机来说也不重要。 必然趋势，实际情况也是如此。

—多孔介质压縮系数；

—液体体积压縮系数。
把（3.43) 代入（3.42)式，并考虑 小，可从方程两端约去，得
x1 x 2 x3
无限
S s p k i , j p c [ ( ge j )] q xi x j g t c t
(3.44)


在海水入侵范围内，变化小，可视为常数，并等于淡水的 假设为浓度c 的线性函数
ss
c 0 (1 ) cs
0
(3 45) (3.45)
c 0 —参考密度即淡水密度
c s —与最大密度 s 对应的该组分浓度 s 0 密度差率 0 0 0 c cs
设
0
0 g H 0 ( ej ) x j 0
(3.67)
vi k i , j
或
0 g H H 0 ( ce j ) K i , j ( ce j ) 0 x j ↑ x j
参考条件下（淡水）的渗透系数
K i0, j H ui ( ce j ) x j
—表示垂向上由于各点密度不同，在重力作用下 所引起的自然对流；
c —表示浓度随时间变化，即密度随时间变化所引 t 起的质量变化
对应的初始条件和边界条件，
H ( xi ,0) H 0 ( xi ) H ( xi , t ) 1 H 1 ( xi , t ) v i ni
2
xi xi 1 xi 2
c ni Di , j x j
B2
0
潜水面
( Di , j
c h cn3 u i c)ni Wc ' n3 x j t ↑
如代入(3.58), (3 58) 则
降水中该组分的浓 度 (3.65) ( )
c W Di , j n i ( c c ' ) n3 x j
)
Hale Waihona Puke 运动方程代入上式，得 k i, j p [ ( ge j )]x1x2 x3 ( x1x2 x3 ) qx1x2 x3 xi x j t
(3.42)
考虑到
( p, c )
c 为溶液中某种组分的浓度。
为常量， 右端展开，有
假设 x1 x 2
(3.53) (3.54) ( ) (3.55) (3.56)
v n ( x i , t )
对潜水含水层来说 对潜水面来说还要满足 对潜水含水层来说：对潜水面来说还要满足
h ( xi , t ) 2 1 x3 [ vi ni 0Wn3 ]2 1
h n3 t
(x3 ) p ( x1 x 2 x3 ) [ ( x3 x3 ) t p p t t c x3 ]x1 x 2 c t
应用地下水动力学公式
d (x3 ) x3p
p
及贮水率定义
(1 ) p
连续性方程
i, j 1,2,3
( vi ) ( ) 0 t xi
或
x 3 p k i , j p [ ( g )] ( ) 0 xi x j xi t
运动方程 状态方程
k i , j p x3 ui ( g ) x j xi
初始条件，边界条件：
组分浓度
(3 59) (3.59)
注入（抽出）液体中该
c ( xi ,0) c0 ( xi ) ←浓度初值 c ( xi , t ) Di , j
B1
(3.60) (3.61) (3.62)
c1 ( xi , t )
B2
c ni x j
q D←弥散通量，流入为正
隔水边界
S s g ( )
代入上式，得
p p [ x 3 (1 ) x 3 ] ( x1 x 2 x 3 ) { x 3 t t t c x 3 }x1 x 2 c t S s p c （3.43) ( ) x1 x 2 x 3 g t c t
二、
溶质运移模型
1、地下水水质模型的类型 1.1 模型的分类 1.2 模型的选择 2、饱和带溶质运移模型 2.1 地下水水质和污染模型 2 2 海水入侵问题 2.2 2.3 海水入侵过程中的阳离子交换问题 2 4 咸水、卤水入侵问题 2.4 3、饱和—非饱带溶质运移模型
1、地下水水质模型的类型 模型的类型 1.1 模型的分类 1）对流—弥散型水质模型 2）纯对流水质模型
(c, p ) (c , p )

低浓度液体可用它的一阶近似
0 (c c 0 ) 0 (c c 0 )
, —由实验确定的常数 七个方程，七个未知数。
相应的初始条件： 条件
c ( x , y , z , t ) t 0 0 ( x, y , z )
两个方程： 1，水流方程， 描述密度不断改变的液体（海水和淡水 的混合物）的流动；
溶质浓度变化，导致液体密度改变，影响流场。，传统 水流方程不适用 2，对流—弥散方程，描述地下水中溶质的运移。
8th
各向异性介质中非均质流体在忽略局部加速度条件下的运动方程
k i , j p k i , j p x3 vi ( ) ( ge j ) g x j x j x j
如过渡带很窄，可忽略弥散作用采用纯对流型模型，从而避免 确定弥散系数的困难 确定弥散系数的困难。一类只用水流方程，根据水流方程和达西定律计 类只用水流方程 根据水流方程和达西定律计 算锋面上各点的速度，由此确定不同时刻锋面的平均位置（不是示踪剂 的实际位置）； 另一类水流方程和与水质方程（不考虑弥散作用，可能一种按单元建 立的简单的溶质质量均衡方程）耦合。
g 3 ( xi , t )
溶质浓度很低时：
密度和粘度可视为常数，看成均质液体。对流—弥散方程、
连续性方程、运动方程和状态方程无关，可以不要联立求解了。 可分解为两个独立的子问题：第一步先由连续性方程、运动方程 解出速度分布，第二步再代入对流 解出速度分布，第 步再代入对流—弥散方程，便得浓度分布。
k i , j H H c { 0 g[ ( 1)e j ]} 0 ( S s q) xi x j 0 t t 0
把( (3.45) )代 代入，考虑 考虑
K i, j
得
gk i , j
(3.51)
H c H [ K i, j ( q ce j )] S s xi x j t 0 t
各向同性介质 水流方程 承压水
H H (K ) Ss xi xi t
H H H ( Kh ) ( Kh ) x x y y t
或
潜水
解出水头（一般的渗流计算）
运动方程
K H ui xi
解出速度分布 水动力弥散方程
c c ( Di , j ) (u i c) t xi x j x
密度对粘滞性系数的影响；
忽略液体压强对密度的影响； 假设密度随浓度线性变化的基础上导出的。对海岸带含水层来说， 第一、二个假设合理。第三个假设是近似的，以便简化计算。 用 p 参考水头 ；
H