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地下水水质的数学模擬(三)——水动力弥散方程的解析解法及其应
用
地下水水质的数学模拟是地下水地下水水质保护的重要方法之一。
在地下水水质模拟中，水动力弥散方程是一个重要的方程，可以用来模拟地下水的水流和污染物的扩散。
下面是水动力弥散方程的解析解法及其应用:
一、水动力弥散方程的解析解法
1. 欧拉法
欧拉法是一种经典的求解水动力弥散方程的方法。
该方法的主要思想是将水动力弥散方程转化为一个积分方程，然后通过欧拉方法来求解积分方程。
欧拉法的基本思路是将时间域问题转化为频域问题，并使用频率分析方法来求解。
2. 拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日平动理论的解析方法。
该方法的主要思想是将水动力弥散方程转化为一个拉格朗日方程，然后通过拉格朗日方程来求解水动力弥散方程。
拉格朗日法适用于求解非线性水动力弥散方程。
二、水动力弥散方程的应用领域
1. 地下水污染控制
水动力弥散方程可以用来模拟地下水的水流和污染物的扩散，从而帮助人们掌握地下水的污染状况，并为地下水污染控制提供科学的决策支持。
2. 水文地质勘探
水动力弥散方程也可以用来求解水文地质勘探中的勘探参数，从而帮助人们掌握地下水的分布情况，为水文地质勘探提供科学的决策支持。
第五节 溶质运移问题的简单解析解由第二节的对流弥散方程可知，溶质运移问题比地下水运动问题更复杂，更难求得解析解。
只有当含水层为均质各向同性，而且计算区域几何形状简单时，才有可能求得解析解。
下面介绍几种简单的解析解。
一. 一维问题简单的解析解实验室中的土柱试验就是一个简单的一维问题。
一个土柱中装满砂，用水饱和并且让水以固定的速度向下流动。
水中的示踪剂浓度为0。
试验开始时土柱上部换装示踪剂浓度为C 0的溶液，一直保持到试验结束。
如果不考虑吸附、化学反应和放射性衰变，取流向为x 轴，则对流弥散方程（6-91）简化为x c u xc D t c x L ∂∂-∂∂=∂∂22 （6-184） 初始条件00)0,(≥=x x c边界条件⎩⎨⎧≥=∞≥=00),(0),0(0t t c t c t c 该问题的解为（Ogata 和Banks ，1961）：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2()exp(22),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-185） 式中 )(e r f c—余误差函数； )e x p (—指数。
在天然情况下，一维运动往往出现在有一段平直的被污染的河流或渠道，河水渗漏补给地下水，地下水以固定速度u 作一维流动，如图6—25图6—25渠道渗漏作为一个线源引起的地下水污染Sauty （1980）求得该情况下的解为⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢+--=)2()exp()2(2),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-186） （6—185）式和（6—186）式在第二项前面符号不同。
当Peclet 数Lx D xu Pe = 相当大时，上二式第二项比第一项小得多，故近似有)2(2),(0t D t u x erfc c t x c L x -=（6-187） 公式（6—187）适用10≥Pe 的情况。
土壤中反应溶质运移的对流—弥散模型及其解析解土壤是地球上最重要的自然资源之一，它对于生态环境和农业生产都具有不可替代的作用。
但是，随着人类活动的不断加剧和气候变化的影响，土壤污染问题已经日益严重。
因此，研究土壤中污染物的迁移和转化规律具有重要意义。
本文将介绍土壤中反应溶质运移的对流—弥散模型及其解析解。
1.模型的假设和基本方程对于土壤中反应溶质的运移，我们可以采用对流—弥散模型进行描述。
该模型主要假设：1）土壤介质是均质、各向同性的；2）外场中的污染物浓度为恒定的；3）污染物的分布仅与时间和空间坐标有关，而与物质的特性无关。
在该假设下，可以得到以下模型方程：(1)对流项：∂C/∂t+u∂C/∂x，其中u为流速；(2)弥散项：D∂^2C/∂x^2，其中D为溶质扩散系数；(3)反应项：-kC，其中k为反应速率常数，C为污染物浓度。
将上述三项相加，得到土壤中反应溶质的运移方程：∂C/∂t+u∂C/∂x=D∂^2C/∂x^2-kC2.求解过程在得到模型方程后，我们可以进行求解。
下面介绍一种常用方法——分离变量法。
先假设C(x,t)=X(x)T(t)，代入模型方程中，得到：X(x)T'(t)+uX'(x)T(t)=DX''(x)T(t)-kX(x)T(t)将左边式子拆开，得到：X(x)/X'(x)=-u/[D(T(t)/T'(t))+kT(t)] 左边式子仅与x有关，右边式子仅与t有关，故它们的值必须等于一个常数，设为λ，则有：X(x)/X'(x)=-u/(Dλ+kT(t)/T'(t))将上式两边同时积分，得到：X(x)=C1exp[λx/(u+Dλ)]+C2exp[-λx/(u+Dλ)]其中C1、C2为常数。
此时，应根据求解问题的实际边界条件来确定C1、C2和λ的具体值。
将求得的X(x)和T(t)代回C(x,t)=X(x)T(t)，得到最终的解析解。
考虑吸附和降解时溶质在土壤中运移的对流-弥散模型及其准解析解张德生;张建丰;沈冰【摘要】[目的]了解吸附性溶质在土壤中的运移规律,为土壤溶质运移机理研究和应用提供理论支持.[方法]利用溶质运移的对流-弥散理论、Laplace变换、超几何方程和特征有限元法,对溶质在土壤中的运移规律进行理论研究和数值模拟.[结果]给出了稳定流条件下,考虑随深度变化的一阶降解和随深度变化的线性平衡吸附时,一维溶质运移的对流一弥散方程;在初始浓度为0,半无限一维空间内第一类边界条件下,推导出了溶质相对浓度的准解析表达式;用特征有限元法建立了相应的数值模型.[结论]对比数值解和准解析解的计算数据可以看出,本研究所得准解析解是正确的;同时,数值计算所产生的误差很小,所得数值模型能满足实际工作对计算精度的要求,可用于实际工作.【期刊名称】《西北农林科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(037)003【总页数】6页(P187-192)【关键词】溶质运移;对流-弥散方程;准解析解;特征有限元法【作者】张德生;张建丰;沈冰【作者单位】西安理工大学,理学院,陕西,西安,710048;西安理工大学,水利水电学院,陕西,西安,710048;西安理工大学,水利水电学院,陕西,西安,710048【正文语种】中文【中图分类】S153.5溶质在土壤中运移时，常发生溶质与溶质之间、溶质与固相物质之间的相互作用，如沉淀与溶解、吸附与解吸、交换等过程，此外还会发生生物化学反应等[1-2],这些都会影响溶质在土壤中运移时溶质的组成和数量变化。
在土壤中，局部的反应过程(如吸附、降解等)常常与土壤中有机质的数量和类型以及土壤中微生物的活性有关。
例如：散落在土壤中的农药以及污染物,首先吸附在土壤内的有机质中,土壤内化学物质降解的速度往往与土壤内微生物的活性有关。
对于土壤内有机质的含量以及微生物的活性,人们进行了很多研究，Frobisher等[3]给出了肥沃土壤中细菌数目随土壤深度变化的规律；Buyanowski[4]研究了农药在土壤中经过潜伏后随有机质及微生物活动降解转化的规律。
地下水溶质运移数值法和解析法预测结果对比分析--以沾化电厂为例刘志涛;周群道;杨建华【摘要】At present, numerical method and analytical method are the methods most commonly used for solving groundwater problems. Although numerical method has been widely used for its wide applicability and higher simu-lation, the analytical method has been one of the first choice for its simple and easy to use. Taking Zhanhua power plant as an example, the pollution caused by long term and short term leakage of pollutants have been predicated in this paper. The application suitability of the analytical method in the study area has been discussed based on ana-lyzing the differences between the predictions results gained by using two methods. It will provide reference for the application of this method.%数值法和解析法是当前解决地下水流和溶质运移问题最常用的两种方法，虽然数值法以其广泛的适用性和较高的仿真性等优点取得了越来越普遍的应用，但解析法也以其简单易用等特点一直成为首选方法之一。
在土壤中，溶质分子扩散符合菲克定律，即ds m cJ D x∂=-∂式中ds J 为土壤中溶质分子扩撒通量，m D 是在土壤中分子扩散系数。
由于受土壤含水量、空隙弯曲度等因的影响，土壤中分子扩散系数比自由水中小。
一般把在土壤中溶质扩散系数表示为含水量的函数，而与土壤溶质浓度无关，即b m w D D ae θ=式中：由于土壤中存在着大小不一、形状各异的的空隙，水溶液在其中流动过程中，每个空隙中的流苏大小和方向各不相同，使溶液分散并扩大运移范围的现象称之为机械弥散。
机械弥散所引起俄溶质迁移通量表示为h h cJ D x∂=-∂式中h J 为土壤中溶质分子扩撒通量，h D 是在土壤中分子扩散系数。
通常机械弥散系数可以表示为空隙流速的函数，即nh D vλ=式中：λ是弥散度，n 是经验系数，v 是空隙平均水流速度。
一般认为机械弥散系数与平均空隙水流速度成一次方程正比，这样经验系数n =1，弥散度的大小取决于水分通量和溶质对流弥散通量的平均尺度大小，一般来说扰动土条件下，λ的值为0.5 到2cm 之间机械弥散和分子扩散作用在土壤中都引起溶质迁移，但因围观流速不以测量，弥散作用与扩散作用也很难区别，同时两者的所引起的溶质迁移通量表达式的形式基本相同。
所以在实际中长把两种作用联合考虑，并称之为水动力弥散。
同样把分子扩散系数和机械弥散系数叠加起来，称之为水动力弥散系数。
因此水动力弥散作用是个别分子在空袭中运动及所发生的一切物理和化学作用的宏观表现。
根据水动力弥散定义以及分子扩撒和机械弥散间的关系，可把水动力弥散引起的土壤溶质迁移通量表示为：lh lhcJ D x∂=-∂ 式中：lh J 是水动力弥散引起的溶质通量，lh D 水水动力弥散系数，nb lh w D D ae vθλ=+土壤水是土壤溶质迁移的载体，溶质可以随着土壤水分整体运动而迁移，这种迁移过程称之为对流。
由于对流作用引起的土壤溶质迁移通量与土壤水分通量和水溶液浓度与关，可表示为wc w J J c =式中：wc J 是对流引起的溶质通量，w J 是土壤水分通量。
地下水溶质运移解析法1、 应用条件求解复杂的水动力弥散方程定解问题非常困难，实际问题中多靠数值方法求解。
但可以用解析解对数值解法进行检验和比较，并用解析解去拟合观测资料以求得水动力弥散系数。
2、 预测模型（1） 一维稳定流动一维水动力弥散问题 1）一维无限长多孔介质柱体，示踪剂瞬时注入tD vt x L L e tD n w m t x C 4)(22/),(-=π （2-1）式中：x —距注入点的距离（m ）；t —时间（d ）；),(t x C —t 时刻x 处的示踪剂浓度（mg/L ）；m —注入的示踪剂质量（kg ）； w —横截面面积（m 2）；v —水流速度（m/d ）；n —有效孔隙度；L D —纵向弥散系数（m 2/d ）； π—圆周率。
2）一维半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界)2(21)2(21tD vt x erfc e t D vt x erfc C C L D vxL o L ++-= （2-2）式中：x —距注入点的距离（m ）；t —时间（d ）；C —t 时刻x 处的示踪剂浓度（mg/L ）； o C —注入的示踪剂浓度（mg/L ）；v —水流速度（m/d ）； L D —纵向弥散系数（m 2/d ）；()erfc —余误差函数（可查《水文地质手册》获得）。
（2） 一维稳定流动二维水动力弥散问题 1）瞬时注入示踪剂—平面瞬时点源]44)([224/),,(tD y t D vt x T L M T L etD D n M m t y x C +--=π （2-3）式中：x ，y —计算点处的位置坐标；t —时间（d ）；),,(t y x C —t 时刻点x ，y 处的示踪剂浓度（mg/L ）；M —承压含水层的厚度（m ）；M m —长度为M 的线源瞬时注入的示踪剂质量（kg ）；v —水流速度（m/d ）；n —有效孔隙度；L D —纵向弥散系数（m 2/d ）；T D —横向y 方向的弥散系数（m 2/d ）； π—圆周率。
水动力弥散方程解析解的适用条件和优缺点尽管解析解法在求解复杂的水动力弥散方程定解中存在一定缺陷，但仍然不可忽略它所起的作用。
室内或野外试验都要根据解析解的实用条件来进行设计，并用解析解去拟合观测资料以求得水动力弥散系数。
解析解中将瞬时注入点源问题的解称为基本解。
由基本解出发，利用叠加原理导出线源、面源、多点源及连续注入问题的解。
因此，点源问题的解是一切解的根本，需十分重视。
（1）空间瞬时点源的解其基本条件是：①均质各向同性介质；②静止流场0=u ，弥散系数为常数，流体密度为常数（ρ=常数）；③0=t 时，在原点处瞬时注入溶质的质量为m 。
以瞬时点源的位置为原点，可以得出浓度C 是相对于原点对称的。
可简化出纯弥散方程：)(222222zC y C x CD t C ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 式中，D 代表多孔介质的分子扩散系数。
该式可看出，是球对称的，有利于纯弥散方式的应用讨论。
取半径为R 和R+d R 的两个球面所构成的单元体为均衡段，根据质量均衡有：tC V J n W J n W V dR RD R D ∂∂=∙∙-∙∙+ 式中，W 为球面积；n 为有效孔隙率；J D 为弥散通量，且R C DJ D ∂∂-=，V V 为均衡段空隙体积。
忽略高阶微量，化简后得：)(122R C R R RD t C ∂∂∂∂∙∙=∂∂ 于是该点源的定解问题可以写成：⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∙=∂∂R C R R R D t C 22 (R ≧0,t>0) 0),(0==t t R C (R>0)0),(=∞→R t R C (t>0)0),(0==R t R C (t>0) m dR R n C =∙∙⎰∞024π (t>0)（该式将点源处浓度限制在有限区域）通过Boltzmann 变换，将原来的偏微分方程定解问题转变为常微分方程定解问题，可求得空间瞬时点源的解为：Dt R e Dt n mt R C 4232)(8),(-=π从上式可得出：①等浓度面为圆心位于原点处的球面；②任何时候的浓度最大值都在原点处，且随着时间的增加，原点处的浓度减小。
