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本材料是关于线性常差分方程基本知识的笔记，参考了两个文献：1、《差分方程》【日】福田武雄著穆鸿基译上海科学技术出版社1962年9月第一版2、《常差分方程》王联、王慕秋著新疆大学出版社1991年2月第一版目录第一节差分第二节和分第三节对步长及定义域的约定第四节阶乘多项式与差分第五节Bernoulli多项式与差分第六节几个公式,例题第七节n阶线性常差分方程的解的结构第八节 Lagrange变易常数法第九节解n阶常系数齐次线性方程的特征根方法第十节常系数对称型线性方程的解第十一节几种特殊常系数非齐次线性方程的解法第一节 差分定义1.1：设函数()x f 的定义域是D ，R D ⊂，R x ∈∆，0≠∆x ，D x ∈∀有D x x ∈∆+，定义算子∆为()()()x f x x f x f -∆+=∆称x ∆是x 的变化步长，()x f ∆是()x f 在x 处的步长为x ∆的一阶差分、阶差、有限差；D x ∈，函数()x f ∆称为D 上的差分函数，简称差分；算子∆是步长为x ∆的差分算子。
定义为()()x x f x f ∆+=E称()x f E 是()x f 在x 处的步长为x ∆的一阶位移；称函数()x f E 是D 上的位移函数，简称位移；算子E 是步长为x ∆的位移算子。
定义算子I 为()()x f x f =I称算子I 为恒等算子。
称函数()xx f ∆∆是D 上的差商函数，简称差商。
约定算子∆与算子E 的步长相等。
注1.1：大写希腊字母∆、E 、I 的小写形式是δ、ε、ι，其英文单词形式是delta /`delt ә/ 、epsilon /ep`sail әn/ 、 iota /ai`әut ә/ 。
若D x ∈∀，有D x x ∈∆+，则N n ∈∀，有D x n x ∈∆+。
定理1.1：算子∆、E 、I 有以下关系：①()()()()()x f x f x f x f I -E =I -E =∆，即I -E =∆。
常系数线性齐次微分方程组的矩阵
解法
常系数线性齐次微分方程组（LCCDE）是一类与定常差分方程组（LDE）类似的微分方程组，区别在于其中的系数是常数。
例如，LCCDE可以被表述为：
dy/dx + p_1(x)y + p_2(x)y' + ... + p_n(x)y^(n-1)=0
其中p_1(x),p_2(x),...,p_n(x)是常数。
矩阵解法是根据LCCDE来计算特解的一种解法，它基于Cramer规则对LCCDE给出解析解。
更具体地说，矩阵解法将LCCDE转换为一组线性方程组，采用矩阵乘法来求解此方程组，并将答案代入原微分方程组中，从而求得特解。
例如，考虑以下LCCDE：
dy/dx + 4y + 5y' + 6y''=0
我们可以将其转换为一组线性方程组：
a_0y+a_1y'+a_2y''=0 a_3y+a_4y'+a_5y''=0
a_6y+a_7y'+a_8y''=0
其中a_i (i=0,1,...,8)是常数，可以根据上面的LCCDE逐步求得。
然后，我们可以将上面的方程组转换为形如Ax=b的矩阵相乘方程，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是右端项向量。
矩阵相乘方程可以用Cramer规则计算得到解析解，然后将解代入原LCCDE，就可以求得特解。
微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：(1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y yy x xyf +=，则__________)(=x f （4)若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7）函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2。
求下列极限： （1)xy xy y x 42lim0+-→→（2)x xyy x sin lim0→→(3）22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→3。
证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5。
函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0,0)处是否连续？为什么习题8—2偏导数及其在经济分析中的应用1。
填空题 (1)设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ； （2)设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ； （3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4)设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zy z x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ； （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在(1,1）点的二阶偏导数4。
一、差分的概念二、差分方程的概念三、三、常系数线性差分方程解的结构常系数线性差分方程解的结构第六节第六节差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构常系数线性差分方程解的结构第九章一、差分的概念1.差分的定义.Δ,)1()()1()0(:).(111210x x x x x x x y y y y y y y y y y y x f x f f f x x f y −=−+=+++也称为一阶差分，记为的差分，为函数称函数的改变量，，，，，将之简记为，，，，，列函数值可以排成一个数取非负整数时，当设函数……⋯⋯xx x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y x f y +−=−−−=−===++++++12112122)()()(Δ)Δ(ΔΔ,)(即差分的一阶差分的的二阶差分为函数函数.以上的差分高阶差分：二阶及二阶)(),(3423x x x x y y y y ∆∆=∆∆∆=∆差分：同样可定义三阶、四阶⋯⋯例1 1 求求(),(),(23222xx x ∆∆∆.解，则设2x y =12)1()(222+=−+=∆=∆x x x x y x []2)12(1)1(2)12()(222=+−++=+∆=∆=∆x x x x y x 022)(233=−=∆=∆x y x解例2 2 求下列函数的差分求下列函数的差分求下列函数的差分y x y a sin)2(;log )1(==);11(log log )1(log )1(1xx x y y y a a a xx x +=−+=−=∆+.2sin )21(cos 2sin )1(sin Δ)2(a x a axx a y x ⋅+=−+=解!)!1(x x −+=.!3的一阶差分，二阶差分求例x y =xx x y y y −=∆+1!x x ⋅=()()!2x x y y x x ⋅∆=∆∆=∆()()!!11x x x x ⋅−+⋅+=()!12x x x ++=解)1)(2()1()11()1()1()1()()(+−+−−−+−+−+=−+=∆n x n x x x n x x x x xx y n n x ⋯⋯⋯⋯[])2()1()1()1(+−−+−−+=n x x x n x x ⋯)1(−=n nx)).(Δ(Δ1),1()2)(1( 4)()0()(n x n xy xn x x x x xy 即，求设例=+−−−==⋯（公式）)()()1(为常数C y C Cy x x ∆=∆xx x x z y z y ∆+∆=+∆)()2(2.差分的四则运算法则()()xx x x x x x x x x y z z y y z z y z y ∆+∆=∆+∆=⋅∆++113()11114++++∆−∆=∆−∆=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∆x x xx x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y 参照导数的四则运算法则学习()xx x x x x z y z y z y ⋅−⋅=⋅∆++11x x x x x x x x z y z y z y z y ⋅−⋅+⋅−⋅=++++1111()()x x x x x x z z y z y y −+−=+++111xx x x z y y z ΔΔ1+=+证明（3）()xx x x x x z y z y z y ⋅−⋅=⋅∆++11x x x x x x x x z y z y z y z y ⋅−⋅+⋅−⋅=++++1111又证明（3）()()x x x x x x z y y z z y ⋅−+−=+++111xx x x y z z y ΔΔ1+=+分析.Δ33x y x y ，求设=例53x y =()()()1233x x x++=x x x x x x +−+−−=)1(3)2)(1()1()(−=∆n n nx x 借助公式和差分的运算法则可求解)(3x x y y ∆∆∆=∆)3()1()2()3(x x x ∆+∆+∆∆∆=]63[)0()1()2(x xx ++∆∆=]163[)1()2(∆+∆+∆∆=x x .666)0()1(=∆+∆=x x解.Δ22x x y e y ，求设=例6xx x y y y −=∆+1()x x e e212−=+();122−=e e x ()[]122−∆=e e x ()x x y y ∆∆=∆2()x e e 221∆−=().1222−=e e x二、差分方程的概念1.差分方程与差分方程的阶.,Δ,Δ2称为差分方程的函数方程含有未知函数的差分⋯⋯x x y y 0),,,,,(2=∆∆∆x nx x x y y y y x F ⋯形式：定义1定义2.,,1的方程，称为差分方程个以上时期的符号含有未知函数两个或两⋯+x x y y )1(0),,,,(0),,,,(11≥==−−++n y y y x G y y y x F n x x x n x x x ⋯⋯或形式：.称为差分方程的阶大值与最小值的差方程中未知数下标的最注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以相互转换。
是三阶差分方程；如0234235=−+−+++x x x y y y .0133112=++−+=++t t t y y y x t ，即可写成事实上，作变量代换程，但实际上是二阶差分方，虽然含有三阶差分，013=++∆x x y y ，因此它是二阶差分方程由于该方程可以化为0133123=++−+++x x x y y y例7 7 下列等式是差分方程的有下列等式是差分方程的有下列等式是差分方程的有( ).( ).( ). 432.2.33.2.21122=+−+−=∆+=∆−+=∆−−++x x x x x x x x x x x x y y y D y y y y C a y y B xy y A 解.,是差分方程由差分方程的定义有：D A .2)(.333)(33121121111差分方程恰好等于右端，故不是，的左端而，故不是差分方程值，仅含一个时期的函数则等式实为，的左端x x x x x x x x x xx x x x x x y y y y y y y y C y a y y y y y y B +−=∆−∆=−∆=∆=−+−=−−=∆−++++++++例8 确定下列方程的阶确定下列方程的阶42123)2(23)1(+−−++=−=+−x x x x x x y y y y y x y 解，33)1(=−+x x ∵，6)4(2)2(=−−+x x ∵是三阶差分方程；)1(∴.)2(是六阶差分方程∴2.差分方程的解.)(φ该差分方程的解边恒等，则称此函数为两代入差分方程后，方程如果函数x y =含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解.差分方程的通解为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件.通解中任意常数被初始条件确定后的解.初始条件差分方程的特解例9)(),(),(,,312111x f ay y x f ay y x f ay y Z U y x x x x x x x x x =+=+=++++解分别是下列差分方程的证明由题设知：)()()(312111x f aZ Z x f aU U x f ay y x x x x x x =+=+=++++xx x x x x x x aZ Z aU U ay y aV V +++++=+∴++++1111)()()(321x f x f x f ++=.是所给差分方程的解x V ∴是差分方程求证x x x x Z U y V ++=.)()()(3211的解x f x f x f ay y x x ++=++三、常系数线性差分方程解的结构1111=+++++−−++x n x n n x n x y a y a y a y ⋯n 阶常系数齐次线性差分方程的标准形式n 阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式()x f y a y a y a y x n x n n x n x =+++++−−++1111⋯()1()2()().21方程阶常系数齐次线性差分所对应的为注：n ()0≠x f1111=+++++−−++x n x n n x n x y a y a y a y ⋯1. n 阶常系数齐次线性差分方程解的结构()1定理1 如果函数,,是方程方程(1)(1)(1)的的k 个解个解,,那末也是(1)(1)的解的解的解..（是任意常数）是任意常数）问题问题::一定是通解吗？k k y C y C y C y +++=⋯2211，则若n k =注：设yy y ,,,21⋯为定义在区间内的个函数．如果存在个不全为零的常数，使得当在该区间内有恒等式成立（是任意常数）定理2：如果,是方程是方程(1)(1)的n 个线性无关的特解个线性无关的特解, , , 那么那么n yC y C y C y +++=⋯2211就是方程就是方程(1)(1)(1)的通解的通解的通解.. n C C C ，，⋯21,02211=+++n n y k y k y k ⋯那么称这些函数在区间内线性相关；否则称线性无关.例如x x 22sin ,cos 1，xx x ee e 2,−，线性无关线性相关时，当),(∞+−∞∈x 由此可见，要求出n 阶常系数齐次线性差分方程（1）的通解，只需求出其n 个线性无关的特解.2. n 阶常系数非齐次线性差分方程解的结构定理3 3 设是阶常系数非齐次线性差分方程阶常系数非齐次线性差分方程的一个特解的一个特解,, 是与是与(2)(2)(2)对应的齐次方程对应的齐次方程对应的齐次方程(1)(1)(1)的通的通解, 那么是阶常系数非齐次线性差分方程方程(2)(2)(2)的通解的通解的通解.. ()x f y a y a y a y x n x n n x n x =+++++−−++1111⋯()2由此可见，要求出n 阶常系数非齐次线性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一个特解即可.定理4 设非齐次方程设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)(2)的右端的右端是几个函是几个函数之和数之和,, 如而与分别是方程分别是方程,,的特解的特解,, 那么就是原方程的特解就是原方程的特解.. ()()x f x f y a y a y a y x n x n n x nx 211111+=+++++−−++⋯()x f y a y a y a y x n x n n x n x 21111=+++++−−++⋯()x f y a y a y a y x n x n n x nx 11111=+++++−−++⋯证明例10.221的通解是差分方程验证：=−+=+x x y y xC y ()[]()右边，则左边，代入差分方程把函数==+−++==−+=+2212221x C x C y y x C y x x 的解，是差分方程所以221=−+=+x x y y x C y 是一阶的，，而所给差分方程又它又含有一个任意常数.2是该差分方程的通解故x C y +=。
