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y C1 y1 C 2 y 2 y * .
定理 4
* *
设非齐次方程(2) 的右端 f ( x ) 是几个函
(( xx )y x()x y) )( xf ( x) 数之和, 如 y Q yPp )y (q yf f1 )2 f 2 ( x) 1( x
y2 且 tan x 常数, y1
y C1 cos x C 2 sin x .
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
定理 3
设 y * 是二阶非齐次线性方程
y y) (x f( x )f ( x ) yP ( px ()x y Q q)(yx )y
( 2 ) ( 2)
p( y * Y ) q( y * Y ) 左边 （y * Y） （y * Y ） p( y * Y ) q( y * Y )
（y * py * qy*) (Y pY qY )
f ( x ) 0 f ( x ) 右边
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
二阶微分方程 F ( x , y, y , y ) 0,
y f ( x, y, y ).
§6-5 二阶线性微分方程解的结构
一.二阶线性微分方程的定义 2 d y dy p( x ) q( x ) y f ( x ) 形如: 2 dx dx 特点: 是关于 y, y , y 的一次方程 .
py1 qy1 ) C 2 ( y C1 ( y1 2 py 2 qy2 )
0 右边
证毕
x x
问题: y C1 y1 C 2 y2一定是通解吗？
y1 e , y 2 2e 例如 y y 0的两个特解为：
x
而y C1 e x C 2 2e x (C1 2C 2 )e x 就不是通解 .
ຫໍສະໝຸດ Baiduy1 e , y 2 e 又知y y 0的两个特解为：
x
y C1 e C 2 e 就是y y 0的通解.
x x
个函数 , 定义: 设y1 ( x), y2 ( x)是定义在某区间上的两
y1 ( x ) . 若 k (常 数), 则称y1 ( x )，y 2 ( x )线性无关 y2 ( x) y1 ( x ) 若 k (常 数), 则称y1 ( x )，y 2 ( x )线性相关 . y2 ( x)
例如 当x ( , )时， y1 e x，y2 e x线性无关
ex x e2x 常 数 e x x y1 e , y2 2e 线性相关 ex 1 x 常数 2 2e
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线 性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
证明 由于y1 , y 2是(1)的解 解的线性组合
p( x ) y1 q( x ) y1 0 则y1 y 2 p( x ) y 2 q( x ) y 2 0 将y C1 y1 C 2 y2 代入（ 1）的左边，得
左边 (C1 y1 C 2 y 2 ) p(C1 y1 C 2 y 2 ) q(C1 y1 C 2 y 2 ) C 2 y (C1 y1 2 ) p(C1 y1 C 2 y 2 ) q(C1 y1 C 2 y 2 )
二、二阶线性微分方程的解的结构
1.二阶齐次方程解的结构:
y p( x ) y q( x ) y 0
(1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是常 y1 y 2 , 2 y1 , 2iy1 数）
证毕
说明:若求 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) 的通解
只需求它的一个特解 y * 和 y p( x ) y q( x ) y 0
的两个线性无关的特解 y1 , y 2 . 则 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) 的通解为
p( x ), q( x ), f ( x )均为已知函数 , f ( x)叫自由项，
当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f ( x ) 0时，二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程
y ( n ) P1 ( x ) y ( n1) Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).
y1 e x , y 2 e x 例如 y y 0的两个特解为： ex x e2x 常 数 线性无关 e
y C1 e C 2 e 就是y y 0的通解.
x x
例如 y y 0的两个特解为： y1 cos x, y2 sin x,
复习: 一阶线性方程
y e 常数变易法
y P ( x ) y Q( x )
P ( x ) dx P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
y Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx Q( x )e dx
的一个特解 , Y 是与(2) 对应的齐次方程 (1) 的通 解, 那么 y Y y * 是二阶非齐次线性微分方程(2) 的通解.
证明 y * 是(2)的解
( y*) p( x )( y*) q( x ) y* f ( x ) Y是(1)的解 Y pY qY 0 将y y * Y代入（ 2）的左边，得
