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高等流体力学授课提纲第一章概论§1.1 流体力学的研究对象§1.2 流体力学发展简史§1.3 流体力学的研究方法§1.3.1 一般处理途径§1.3.2 应用数学过程§1.3.3 流体力学方法论：一般方法§1.3.4 流体力学方法论：特殊方法●Lagrange描述和Euler描述●无量纲化●线性化●分离变量法●积分变换法●保角映射法●奇点法（孤立奇点法、分布奇点法、Green函数法）●控制体积法●微元法第一章概论§1.1 流体力学的研究对象（1）物质四态：●四态：固态—液态—气态—等离子态；等离子体=电离气体●界限：彼此无明确界限（高温下的沥青；冰川），取决于时间尺度；●流体力学的具体研究对象：液体、气体、等离子体（电磁流体力学、等离子体物理学）；●液体与气体的差别：液体—有固定容积、有自由面、不易压缩、有表面张力；气体—无固定容积、无自由面、易压缩、无表面张力。
（2）流体的基本性质：易流动性：静止流体无剪切抗力；压缩性（膨胀性）：压差、温差引起的体积改变，判据：马赫数；粘性：运动流体对剪切的抗力，判据：雷诺数；热传导性：温差引起的热量传递，普朗特数。
（3）流体的分类：i）按有无粘性、热传导性分：真实流体（有粘性、有热传导、与固体有粘附性无温差）；理想流体（无粘性、无热传导、与固体无粘附性有温差）；ii）按压缩性分：不可压缩流体，可压缩流体；iii）按本构关系分：牛顿流体（牛顿粘性定律成立），非牛顿流体（牛顿粘性定律不成立），下分纯粘性流体（拟塑性流体，涨塑性流体）；粘塑性流体（非宾汉流体、宾汉流体）；时间依存性流体（触变流体、振凝流体）；粘弹性流体拟塑性流体（剪切流动化流体）：剪切应力随剪切速度增加而减小，如淀粉浆糊、玻璃溶液、高分子流体、纤维树脂；涨塑性流体（剪切粘稠化流体）：剪切应力随剪切速度增加而减小，如淀粉中加水、某些水-砂混合物；粘塑性（非宾汉和宾汉流体）：存在屈服应力，小于该应力无流动，如粘土泥浆、沥青、油漆、润滑脂等，所有粘塑性流体为非宾汉流体，宾汉流体为近似；触变流体（摇溶流体）：粘性或剪切应力随时间减小，如加入高分子物质的油、粘土悬浊液；振凝流体：粘性或剪切应力随时间增大，如矿石浆料、膨润土溶胶、五氧化钒溶液等；粘弹性流体：兼有粘性和弹性性质的流体，能量不像弹性体守恒，也不像纯粘性体全部耗散。
第三讲 流体静力学一、 静止流体中的应力特性静止流体中，流体质点之间没有相对运动，切应力必然为0，又由于流体分子之间的引力很小，流体质点之间几乎不能承受拉力。
因此，在静止流体中，只能存在指向作用面的法向应力。
即n p =-p n （3-1）式中的p n 就是工程流体力学中的流体静压力。
上式也可以写成张量形式P ==000000p p p -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=-p 00000011⎡⎤⎢⎥1⎢⎥⎢⎥⎣⎦= -p I （3-2） 式中I 为单位张量。
静止流体中任意一点处的应力无论来自何方均相等，即任意一点处的静压力与作用方向无关。
二、 欧拉平衡方程惯性坐标系中，任何流体处于静止状态的必要条件是：作用在物体上的合外力为0，即0∑=F （4-3）在静止流场中任取一个流体团作为研究对象，作用在其上的质量力可表示为d ρττ⎰⎰⎰f （a ） 表面力可表示为d d AAp A p A -=-⎰⎰⎰⎰n n （b ）根据第一个平衡条件（3-3）可得d d =0Aρτp A τ-⎰⎰⎰⎰⎰f n （c ） 根据高斯定理可知，若物理量p 在封闭空间τ中连续且存在连续的一阶导数，则有d =d Ap A p ττ∇⎰⎰⎰⎰⎰n （d ）将（d ）式代入（c ）式则可得d 0ρp ττ-∇=⎰⎰⎰（）f 由于流体团是任意选取的，所以要使上式成立，则被积函数在该体积内任意点上的数值必须为0，于是有=0ρp -∇f或1=p ρ∇f （3-4）这就是欧拉平衡微分方程式，其在直角坐标系中可写为111x y z p f ρx pf ρy p f ρz ⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩（3-5） 同时，合力矩为0是自动满足的。
三、 静压流场的质量力条件（自学）对于所有的静止流体，（3-4）式均成立，现对其两端同时取旋度可得1111==+=p p p p ρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇⨯∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）f上式中应用了标量函数梯度的旋度为0这一结论，现证明之p ∇⨯∇（）=p p p xy z ⎛⎫∂∂∂∇⨯++ ⎪∂∂∂⎝⎭i j k=x y z p p p xy z∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ij k =p p p p p p y z z y x z z x x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫---+-⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭i j k =0（矢量）将上式与（3-4）式进行点乘则有()1=p p ρρ⎡⎤⎛⎫∇∇⨯∇⨯∇⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦f f 上式右端为矢量的混合积，由混合积的定义可知由于三个矢量中有两个同名，所以其值为0，可得()=0∇⨯f f （3-6）由此可以得出结论：流体静止的必要条件是质量力必须满足()=0∇⨯ff 。
第三讲 流体静力学一、 静止流体中的应力特性静止流体中，流体质点之间没有相对运动，切应力必然为0，又由于流体分子之间的引力很小，流体质点之间几乎不能承受拉力。
因此，在静止流体中，只能存在指向作用面的法向应力。
即n p =-p n （3-1）式中的p n 就是工程流体力学中的流体静压力。
上式也可以写成张量形式P ==000000p p p -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=p 00000011⎡⎤⎢⎥1⎢⎥⎢⎥⎣⎦= p I （3-2） 式中I 为单位张量。
静止流体中任意一点处的应力无论来自何方均相等，即任意一点处的静压力与作用方向无关。
二、 欧拉平衡方程惯性坐标系中，任何流体处于静止状态的必要条件是：作用在物体上的合外力为0，即0∑=F （4-3）在静止流场中任取一个流体团作为研究对象，作用在其上的质量力可表示为d ρττ⎰⎰⎰f （a ） 表面力可表示为d d AAp A p A -=-⎰⎰⎰⎰n n （b ）根据第一个平衡条件（3-3）可得d d =0Aρτp A τ-⎰⎰⎰⎰⎰f n （c ） 根据高斯定理可知，若物理量p 在封闭空间τ中连续且存在连续的一阶导数，则有d =d Ap A p ττ∇⎰⎰⎰⎰⎰n （d ）将（d）式代入（c）式则可得d 0ρp ττ-∇=⎰⎰⎰（）f 由于流体团是任意选取的，所以要使上式成立，则被积函数在该体积内任意点上的数值必须为0，于是有=0ρp -∇f或1=p ρ∇f （3-4）这就是欧拉平衡微分方程式，其在直角坐标系中可写为111x yzp f ρx pf ρy p f ρz ⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩（3-5） 同时，合力矩为0是自动满足的。
三、 静压流场的质量力条件（自学）对于所有的静止流体，（3-4）式均成立，现对其两端同时取旋度可得1111==+=p p p p ρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇⨯∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）f上式中应用了标量函数梯度的旋度为0这一结论，现证明之p ∇⨯∇（）=p p p xy z ⎛⎫∂∂∂∇⨯++ ⎪∂∂∂⎝⎭i j k=x y z p p p xy z∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ij k =p p p p p p y z z y x z z x x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫---+-⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭i j k =0（矢量） 将上式与（3-4）式进行点乘则有()1=p p ρρ⎡⎤⎛⎫∇∇⨯∇⨯∇⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦f f 上式右端为矢量的混合积，由混合积的定义可知由于三个矢量中有两个同名，所以其值为0，可得()=0∇⨯f f （3-6）由此可以得出结论：流体静止的必要条件是质量力必须满足()=0∇⨯ff 。
第一章绪论第一节计算流体力学：概念与意义一、计算流体力学概述任何流体运动的规律都是由以下3个基本定律为基础的：1）质量守恒定律；2）牛顿第二定律（力＝质量×加速度），或者与之等价的动量定理；3）能量守恒定律。
这些基本定律可由积分或者微分形式的数学方程（组）来描述。
把这些方程中的积分或者（偏）微分用离散的代数形式代替，使得积分或微分形式的方程变为代数方程（组）；然后，通过电子计算机求解这些代数方程，从而得到流场在离散的时间/空间点上的数值解。
这样的学科称为计算流体（动）力学（Computational Fluid Dynamics，以下简称CFD）。
CFD有时也称流场的数值模拟，数值计算，或数值仿真。
在流体力学基本方程中的微分和积分项中包括时间/空间变量以及物理变量。
要把这些积分或者微分项用离散的代数形式代替，必须把时空变量和物理变量离散化。
空间变量的离散对应着把求解域划分为一系列的格子，称为单元体或控制体（mesh，cell，control volume）。
格子边界对应的曲线称为网格（grid），网格的交叉点称为网格点（grid point）。
对于微分型方程，离散的物理变量经常定义在网格点上。
某一个网格点上的微分运算可以近似表示为这个网格点和相邻的几个网格点上物理量和网格点坐标的代数关系（这时的数值方法称为有限差分方法）。
对于积分型方程，离散物理量可以定义在单元体的中心、边或者顶点上。
单元体上的积分运算通常表示为单元体的几何参数、物理变量以及相邻单元体中物理变量的代数关系（这时的数值方法称为有限体积方法和有限元方法）。
所谓数值解就是在这些离散点或控制体中流动物理变量的某种分布，他们对应着的流体力学方程的用数值表示的近似解。
由此可见，CFD得到的不是传统意义上的解析解，而是大量的离散数据。
这些数据对应着流体力学基本方程的近似的数值解。
对于给定的问题，CFD 研究的目的在于通过对这些数据的分析，得到问题的定量描述。
高等计算流体力学讲义（3）§2 Riemann 问题1．预备知识：Euler 方程解的结构我们讨论Euler 方程解的结构。
在上一节，我们已经得到，在均熵流动条件下，有const R =±，沿au dt dx±= （1） 其中 a u R 12-±=±γ。
且全场 S const =。
（2）在这种情况下，Euler 方程的光滑解有如下几种可能。
1）在求解域中，Riemann 不变量a u R 12-±=±γ均不为常数。
这是最一般的情况，Euler 方程的解比较复杂，通常无解析解。
2）均匀流：Riemann 不变量a u R 12-±=±γ均为常数。
此时，令R R ±±=， 有：0000()/21()4u R R a R R γ+-+-=+-=-，可见，此时流动是均匀的。
3）简单波：有一个Riemann 不变量在某区域内为常数（00R R or R R ++--==）。
以0R R ++=的情况为例。
此时021R u a R γ++=+=-。
（3） 且沿dxu a dt=-，有 21u a const γ-=-。
这个常数具体的数值与特征线的起点有关。
由此我们知道，沿dxu a dt=-，有00()/21()4u R const a R const γ++=+-=-。
这说明，沿dxu a dt=-，u 和a 均为常数，即特征线是直线。
由均熵条件，密度ρ和压力p 沿特征线dx u a dt =-也为常数。
参见上图，由于u a u -<，所以流线dx u dt=（或流体质点）从左侧穿过特征线dxu a dt=-，这种简单波称为左简单波或向后简单波。
简单波可以分为压缩波和稀疏波（膨胀波）两类。
设流线与dxu a dt=-交点处，流线的切线方向为ξ 。
把（3）式沿ξ求方向导数，得：201u a ξγξ∂∂+=∂-∂ 当0uξ∂>∂，有()0,0,0,0a p u c ρξξξξ∂∂∂∂-<<<>∂∂∂∂。
此时，压力密度沿流线减小，且特征线dxu a dt=-是发散的。
这种简单波称为稀疏波。
当0uξ∂<∂，有 ()0,0,0,0a p u c ρξξξξ∂∂∂∂->>><∂∂∂∂。
txu此时，压力密度沿流线增加，且特征线dxu a dt=-是收敛的的。
这种简单波称为压缩波。
对于0R R --=的情况可类似讨论。
4）中心稀疏波中心稀疏波是一种特殊的简单波。
以向左中心稀疏波为例R -对应的特征线dxu a dt=-是通过某一点的中心直线族。
设这一点的坐标为(0,0)， 则特征线的方程为：xu a t=- （4） 设左中心稀疏波的左边界（波头）的特征线为11xu a t=-， 右边界（波尾）特征线为22xu a t=-。
另外，由简单波定义，还有 021R u a R γ++=+=-。
（5） 显然，011222211R u a u a γγ+=+=+--， （6） 这就是波头波尾状态之间的关系。
此外波头波尾之间还满足等熵关系12S S =。
（7）由（4）、（5）式可得左中心稀疏波的状态分布00112212[]111[],1xu R tx x a R u a u a t tγγγγγ++-=+++-=-+≤≤++压力和密度可由等熵条件得出。
右中心稀疏波的讨论类似。
txudxdt=u a - u =5）激波和接触间断当流场中存在间断时，Rankine-Hogoniot 关系为：[][]2(,,)(,,)TTF D U U u E F u u p uH ρρρρρρ===+。
（8）假定间断两侧速度是连续的，则必有D u u +-==。
这种间断称为接触间断。
由Rankine-Hogoniot 关系易知，接触间断两侧压力也是连续的，发生间断的只有密度。
不是接触间断的间断称为激波。
对于激波而言，必有()()0u D u D ρρ++---=->。
通过上面的讨论，我们可以得到一个重要的结论：与均匀流区相邻的区域，一定是简单波区或者间断线。
间断显然可以和均匀流区相邻。
如不存在间断，必有一族特征线从均匀流区进入这一区域。
这样，相应的Riemann 不变量不仅沿特征线是常数，而且在这个区域内保持常数，因此这一区域必然是简单波区。
2．Riemann 问题所谓Riemann 问题就是求解Euler 方程0=∂∂+∂∂xFt U (9) 在初值⎩⎨⎧>≤=00)0,(x U x U x U RL(10)下的解。
Riemann 问题存在解析解。
那么它的解是什么结构呢？在一般情况下，,L R U U 之间不满足Rankine-Hogoniot 关系，所以，随着时间的变化，初始间断会分解为一些特定的流动结构，而且这些结构均发源于初始间断处；而在远离这些结构的地方，流动仍保持为初始值,L R U U 。
因此，我们可以预期， Riemann 问题解的结构是两侧的均匀流区和中部的间断影响区。
见下图。
与均匀流区相邻的只能是简单波区或者间断。
如果是简单波区，容易知道，其必为中心稀疏波。
所以，我们知道，中心的初始间断影响区和均匀流区通过左波（激波或中心稀疏波）和右波（激波或中心稀疏波）分开。
但是，是不是只有这两个波，或者说，Riemann 问题的解是所谓“双波结构”呢？容易证明，双波结构是超定的，所以，初始间断影响区必然包含其他流动结构。
这个结构就是上文所说的接触间断。
它处于左波和右波之间。
此时，未知量的个数和所能提供的独立方程数相同，我们可以唯一确定Riemann 问题的解。
4波或4波以上的解都不可能是稳定的物理解。
因此，Riemann 问题的解是一种“三波结构”：左波和右波可以是激波或膨胀波，中间的波为接触间断（接触间断两侧速度、压力是连续的，但密度有间断）。
根据上述分析，Riemann 问题解的结构如下图所示：在求解Riemann 问题过程中，比较方便的是采用原始变量Tp u W ),,(ρ=所以Riemann 问题的初始条件也可写为x⎩⎨⎧>≤=00)0,(x W x Wx W RL(11)各个区域内Riemann 问题的解可以记为如下图的形式：注意L W *和L W *对应的压力和速度相同，密度不一定相同。
即：R L R L R L p p p u u u ********,,ρρ≠====3.Riemann 问题的求解具体的求解过程可参见Toro 的书。
压力*P 的计算压力*P 是下述方程的解：*** ( , , )( , ) ( , ) 0 L R L L R R f P W W f P W f P W u =++∆= (12)其中u ∆≡R u -L u ，()()()12***1*2**,211L L LL L L L LL A P P if P P P B f P W a P if P P P γγγ-⎧⎡⎤⎪->⎢⎥⎪+⎣⎦⎪=⎨⎡⎤⎪⎛⎫⎢⎥-≤⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎪⎢⎥⎣⎦⎩()()()12***1*2**,211R R RR R R R RR A P P if P P P B f P W a P if P P P γγγ-⎧⎡⎤⎪->⎢⎥⎪+⎣⎦⎪=⎨⎡⎤⎪⎛⎫⎢⎥-≤⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎪⎢⎥⎣⎦⎩且L A =()L ργ12+L B =L P 11+-γγR A =()Rργ12+R B =R P 11+-γγ 速度*u 的计算：*u =21()R L u u ++21()()[]**P f P f L R - (13) (12)式不能得到显式的解析解，一般要通过迭代法求解。
在计算出*P , *u 后，就可以得到Riemann 问题的完整解。
以左波附近的解为例，简述如下：如果已知*P ，则：①当*P >L P 时，*P 和L P 之间有一道激波。
由R-H 关系，()L L L L L U U D F F -=-** （14）由于F 是U 的函数，所以上式中有四个未知量，三个方程。
在得到*P 后，(14)式封闭，我们可以通过(14)式求出*u (已算出),L *ρ,L D 。
则其解如下图所示即x()**,L x u t L W W x t W <⎧=⎨⎩ *L L x Dt x D u t<<< (15)②当*L P P <时，*P 和L P 之间是中心膨胀波。
此时左波附近解的结构如下图所示：其中,HL TL D D 分别是膨胀波波头和波尾的速度：**,HL L L TL L D u a D u a =-=- (16)*L a 的计算方法为，利用等熵条件1/**()L L Lp p γρρ= 可得(1)/(2)**()L L Lp a a p γγ-= (17)此时，左波附近的解为()**/,//L HLx Lfan HL TL u t LTLW if x t D W x t W if D x t D W if x t D <⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩ (18) 其中，Lfan W 为中心稀疏波内的解，根据特征关系，可得：2/(1)2/(1)2(1)[(/)](1)(1)2(1)[/](1)22(1)[(/)](1)(1)L L L LfanL L L L L u x t a W u a u x t p p u x t a γγγγρργγγγγγγ--⎧-=+-⎪++⎪⎪-==++⎨+⎪⎪-=+-⎪++⎪⎩(19)/x t D =x右波附近的解可以用类似方法确定。
根据上面的分析，我们可以看出， Riemann 问题的解有相似性，即(,)(/)W x t W x t =§3 Godunov 格式考虑Euler 方程0U Ft x∂∂+=∂∂ (1) 我们采用有限体积方法离散上述方程。
在任意控制体1/21/21[,][,]i i n n x x t t -++⨯上积分上式,有:1/211/211/21/2[(,)(,)][((,))((,))]0i n i nx t n n i i x t U x t U x t dx F U x t F U x t dt ++-++--+-=⎰⎰ (2)令()ix x n n i x dx t x U U i i ∆=⎰+-2121, （3）其中121-+-=∆i i i x x x ，则（2）式可以写为：()()()()0,,11121211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆∆+∆-⎰⎰++-++n n n n t t t t i i n i n i dt t x U F dt t x U F t x t U U （4） 到目前为止整个过程是精确的。
