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计算流体力学在先天性心脏病手术方式模拟中的研究进展刘玉洁;郑景浩【摘要】计算流体力学是直观、可视化的研究方式,随着学科间合作的加强,通过l 计算流体力学技术对生理和病理状态下的心血管系统进行模拟成为可能.计算流体力学可用于术前血流动力学评估、术后结构区域血流评价以及手术方式模拟等领域.文章就计算流体力学在先天性心脏病手术方式模拟中的研究进展进行综述.%Computational fluid dynamics is an intuitive and visualised method, which facilitates the simulation of cardiovascular system under physiological and pathological states with multidisciplinary intergration. Computational fluid dynamics can work in estimation of hemodynamics preoperation, evaluation of blood flow of structure region postoperation and surgical approach simulation. The research progress of computational fluid dynamics in surgical approach simulation for congenital heart disease is reviewed in this paper.【期刊名称】《上海交通大学学报（医学版）》【年(卷),期】2011(031)009【总页数】4页(P1325-1327,1351)【关键词】计算流体力学;先天性心脏病;手术方式;模拟【作者】刘玉洁;郑景浩【作者单位】上海交通大学医学院附属上海儿童医学中心心胸外科,上海200127;上海交通大学医学院附属上海儿童医学中心心胸外科,上海200127【正文语种】中文【中图分类】R654.2随着先天性心脏病手术技巧的不断成熟和各种手术方式的开展，患者的早期存活率和手术质量在一定程度上获得很大保障。
2023年湍流与噪声和CFD方法暑期高级讲习班2023 Advanced Summer Program on Turbulence，Noise and CFD Methods会议手册时间：2023年7月28至8月5日地点：香港科技大学主办单位：中国空气动力学会承办单位：香港科技大学(HKUST)上海大学南方科技大学复旦大学中国空气动力学会CFD专委会中国空气动力学会低跨超专委会上海市应用数学和力学研究所上海市力学信息学前沿科学基地上海市能源工程力学重点实验室粤港澳数据驱动下的流体力学与工程应用联合实验室中国航空学会航空声学分会协办单位：《空气动力学学报》《实验流体力学》《Advances in Aerodynamics》二零二三年七月二十六日2023年湍流与噪声和CFD方法暑期高级讲习班为了促进流体力学与空气动力学的发展、推动学术交流与合作、培育培养优秀人才，助力解决流体力学与空气动力学等相关领域“卡脖子”技术，经中国空气动力学会批准，2023年湍流与噪声和CFD 方法暑期高级讲习班将于2023年7月28日至8月5日在香港科技大学(HKUST)举行。
会议邀请内地与香港地区在湍流、噪声和CFD方法等方面的专家学者、青年学者为讲习班授课。
现诚邀内地与港澳台地区研究生、工程师、相关领域专家学者以及高年级本科生参会。
本次讲习班由中国空气动力学会主办，香港科技大学(HKUST)、上海大学、南方科技大学、复旦大学、中国空气动力学会CFD专委会、中国空气动力学会低跨超专委会、上海市应用数学和力学研究所、上海市力学信息学前沿科学基地、上海市能源工程力学重点实验室、粤港澳数据驱动下的流体力学与工程应用联合实验室等单位承办。
本次讲习班采用线上线下同时进行的方式，其中线上使用腾讯会议App进行直播，会议号码：964-8147-9182，也可直接扫描下面的二维码参会：2023年湍流与噪声和CFD方法暑期高级讲习班专家报告日程安排报告安排以专家自选日程排列，不分先后次序，后续如有变动以最终表格为准。
《流体力学》教学大纲课程编码：632015课程名称：流体力学英文名称：Fluid Mechanics开课学期：4学时/学分：32/2 (其中实验学时：课内4学时，课外2学时)课程类型：必修课开课专业：建设工程学院勘查工程专业、建筑工程专业、卓越工程师班选用教材：于萍主编.《工程流体力学》，科学出版社2011年3月第二版。
主要参考书：1、张也影主编.《流体力学》，高等教育出版社1998年第二版。
2、孔珑主编.《工程流体力学》，北京大学出版社1982年版。
3、归柯庭等编.工程流体力学科学出版社2()05年版。
4、李诗久：《工程流体力学》，机械工业出版社1989年版。
5.、A. J. Ward-Smith ： ^Internal Fluid Flow》，1980 版一、课程性质、目的与任务工程流体力学是动力、能源、航空、环境、暖通、机械、力学、勘探等专业的重要专业基础课。
通过系统学习流体的力学性质、流体力学的基本概念和观点、基础理论和常用分析方法、有关的工程应用知识等；在实验能力、运算能力和抽象思维能力方面受到进一步严格的训练，培养学生具有对简单流体力学问题的分析和求解能力；掌握一定的实验技能，学会应用基本规律来处理和解决实际问题。
为今后学习专业课程,从事相关的工程技术和科学研究工作打下坚实基础。
流体力学学科既是基础学科，又是用途广泛的应用学科，在教学过程中要综合运用先修课程中所学到的有关知识与技能，结合各种实践教学环节，进行机械工程技术人员所需的基本训练，为学生进一步学习有关专业课程和有目的从事机械设计工作打下基础。
二、教学基本要求通过本课程的学习，学生应到达以下基本要求：1、掌握流体力学的基本概念、基本规律、基本的计算方法。
2、能推导一些基本公式和方程，明确方程的物理意义。
3、能独立完成基本的实验操作，通过实验，学会熟练运用基本公式。
4、具有分析实验数据和编写实验报告的能力。
5、通过研究型实验工程，使学生初步具有一定的创新能力。
投身计算流体力学作者：宋洁张军来源：《科学中国人》2014年第02期李新亮毕业于吉林大学数学系力学专业，并于2000年在中国科学院力学研究所流体力学专业获得博士学位，随后在清华大学工程力学系做博士后。
2002年博士后出站后，李新亮一直在中国科学院力学研究所工作。
在这里，他投身于计算流体力学的研究及教学中，并对湍流这一百年难题进行了深入探索。
致力于计算流体力学软件开发计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，CFD），是采用数值计算的方法研究流动问题的一门学科。
该学科在工程及科研中发挥了重要作用，尤其是航空航天领域。
飞机、导弹等飞行器设计中需要解决大量的空气动力学问题，早期主要依赖风洞试验，随着计算流体力学及超级计算机的产生及发展，采用数值计算的方法解决这些气动问题成为可能，这就是计算流体力学（CFD）。
如今，CFD已在飞行器设计中发挥巨大的作用，很多飞行器设计仅需要少量风洞试验即可完成定型。
CFD计算需对软件需求强劲，目前国际上已经有了很多较为成熟的商业CFD软件，而像波音公司这样的大型企业也有自己的内部CFD软件。
与国外比，我国在CFD软件开发及推广方面仍有一定差距。
面向应用中的强劲需求，李新亮在CFD算法、模型及软件方面投入十多年的研究，开发了一套开源的计算流体力学软件Open CFD。
该软件包含了有限差分及有限体积两个求解器。
有限差分求解器的最大特点是具有非常高的精度，最高精度可达十阶。
该软的差分库包含了其自行开发的多种高精度差分格式，以及目前流行的高精度差分格式。
主要用于直接数值模拟及大涡模拟等复杂流动的机理研究。
有限体积求解器采用多块结构网格，集成了目前常用的数值方法及湍流模型，可用于像整架飞机这样的复杂外形流动的数值模拟。
该软件的另外一个特点是，具有很强的并行可扩展性。
测试结果显示，该软件在常规CPU体系上实现了五万余CPU核心的高性能并行计算；而使用众核系统测试时，并行规模达到近百万CPU核心。
流体动力学（CFD）在往复式压缩机管道系统气流脉动计算中的应用流体动力学（CFD）在往复式压缩机管道系统气流脉动计算中的应用摘要：参照实验室所搭建的管道系统实验平台，根据计算流体动力学（CFD）方法建立管道内气体的二维非定常流动模型。
利用流体仿真软件FLUENT计算了缓冲器及孔板前后的气流脉动，通过分析气流脉动曲线及流场的分布情形验证了缓冲器及孔板对气流脉动的消减作用。
通过对比实验数据验证了利用CFD技术研究管道系统气流脉动是准确可靠的。
关键词：管道系统 CFD技术气流脉动 FLUENT 孔板往复式压缩机是石油、天然气、化工及电力等工业生产中的重要机械设备，其管道系统又是实现物质运输的主要途径，然而管道系统的振动会对安全生产造成很大的威胁，众多生产实践表明压缩机管路的绝大多数振动问题都是由气流脉动引起的，而压缩机吸排气的间歇性、周期性特点是产生气流脉动的主要原因。
因此研究气流脉动的产生机理，建立合理的流体动力学模型进行管道中气流脉动的预测具有重要的理论意义和工程实用价值。
现有研究气流脉动较为成熟的方法大多基于平面波动理论[1]或一维非定常流动理论[2]，它们均未考虑流体流动时湍流的影响，同时对缓冲器、孔板、冷却器、分离器等管路元件的气流脉动计算精度也较差。
随着计算机速度的提高和近年来CFD技术的发展，选用有限元方法[3，4]及有限容积法[5]计算管系的气流脉动取得了一定的成效。
CFD方法[6]应用于稳态的工业流场模拟已有较多的报道，但对非稳态的脉动流场研究较少。
本文基于CFD方法建立管道系统流体动力学模型。
在考虑湍流的情况下[7]，模拟了含空冷器及孔板管道等管路原件的管道系统非定常流动时气流脉动及流场特性。
通过和实验数据对比验证了CFD方法计算管道系统气流脉动的合理性及准确性。
一、CFD模拟计算理论目前广泛用于计算流体力学的数值方法有有限差分法、有限元法、有限体积法等，其目的都是将控制方程离散化，本文用到的CFD 软件FLUENT[8-9]采用有限体积法将非线性偏微分方程转变为网格单元上的线性代数方程，然后通过求解线性方程组得出流场的解。
湍流的理论与实验研究湍流的理论与实验研究湍流是流体力学界公认的难题，被认为是经典物理学中最后一个未被解决的问题。
自然界和工程领域的绝大多数流动都是湍流，因此湍流研究具有重大意义。
近年来，随着实验测量技术和数值模拟能力的不断增强，学术界对高雷诺数和高马赫数湍流有了许多新的认识。
我国科学界也结合国家重大战略需求和学科发展前沿，分析国际上湍流研究的特点、现状和发展趋势，希望对湍流产生机制和流动本质进行深入研讨，加强与航空、航天、航海等相关单位和部门间的沟通与联系，推动湍流研究的发展。
针对国内学科发展现状，尤其是实验研究相对薄弱的特点，国家自然科学基金委员会数理科学部、工程与材料科学部和政策局，于2014年3月20-21日在北京联合举办了第110期双清论坛，论坛主题为“湍流的理论与实验研究”。
来自全国15个单位的近50位流体力学与工程领域的专家学者应邀出席。
与会专家通过充分而深入的研讨，凝练了该领域的重大关键科学问题，探讨了前沿研究方向和科学基金资助战略。
本期特刊登此次论坛学术综述。
一、湍流研究的重要意义自1883年雷诺（Reynolds）发现湍流以来，湍流问题的研究一直困扰着众多学者。
著名物理学家费曼曾说，湍流是经典物理学中最后一个未被解决的难题；2005年《科学》杂志在其创刊125周年公布的125个最具挑战性的科学问题中，其中至少两个问题与湍流相关。
在我们日常生活中，湍流无处不在。
自然界和工程应用中遇到的流动，绝大部分是复杂的湍流问题。
在自然界，从宇宙星系的时空演化，到星球内部的翻滚流动，从大气环流的全球运动，到江河湖泊的区域流动，都有湍流的身影。
在工程领域，从陆地、海洋、空天等交通运载工具，到原子弹、氢弹、导弹、战斗机、舰船等国防武器的设计；从全球气象气候的预报，到地区水利工程的设计；从传统行业如叶轮机械、房桥建筑、油气管道，到新兴行业如能源化工、医疗器械、纳米器件的设计，都需要了解和利用湍流。
因此，湍流流动的研究不仅仅是一个学科发展的问题，更具有重要的工程应用价值。
⼒学课程课程名：理论⼒学（I）Theoretical Mechanics (I)理论⼒学主要通过讲解⼒学的基本概念、定理及其应⽤，介绍处理⼒学问题的基本⽅法。
核⼼任务是利⽤⽜顿定律和分析⼒学原理建⽴质点、质点系和刚体运动的微分⽅程。
作为理⼯科学⽣的基础⼒学课程，学习理论⼒学务必达到以下要求：准确理解基本概念，熟悉基本定理和公式并能灵活应⽤，学习⼀些研究⼒学问题的基本⽅法。
理论⼒学的课程可以按内容分为运动学、静⼒学和动⼒学三部分，也可以按研究⽅法分为⽜顿⼒学和分析⼒学两部分。
在《理论⼒学(I)》中，主要讲述⽜顿⼒学内容，包括：点的运动学、刚体运动学、复合运动、⼏何静⼒学、质点动⼒学、质点系动⼒学、刚体动⼒学。
课程包括基本理论⼒学实验。
先修要求：微积分、⼤学物理教材及参考书：李俊峰、张雄、任⾰学、⾼云峰，《理论⼒学》，清华⼤学出版社/Springer出版社；⾼云峰、李俊峰，《理论⼒学辅导与习题集》，清华⼤学出版社/Springer出版社。
课程名：理论⼒学（II）Theoretical Mechanics (II)理论⼒学主要通过讲解⼒学的基本概念、定理及其应⽤，介绍处理⼒学问题的基本⽅法。
核⼼任务是利⽤⽜顿定律和分析⼒学原理建⽴质点、质点系和刚体运动的微分⽅程。
作为理⼯科学⽣的基础⼒学课程，学习理论⼒学务必达到以下要求：准确理解基本概念，熟悉基本定理和公式并能灵活应⽤，学习⼀些研究⼒学问题的基本⽅法。
理论⼒学的课程可以按内容分为运动学、静⼒学和动⼒学三部分，也可以按研究⽅法分为⽜顿⼒学和分析⼒学两部分。
在《理论⼒学(I)》中，主要讲述分析⼒学内容，包括：分析⼒学基本概念、变分原理、拉格朗⽇⽅程、哈密顿⽅程。
先修要求：微积分、⼤学物理、理论⼒学（I）教材及参考书：李俊峰、张雄、任⾰学、⾼云峰，《理论⼒学》，清华⼤学出版社Springer出版社；⾼云峰、李俊峰，《理论⼒学辅导与习题集》，清华⼤学出版社/Springer出版社；⾃编补充讲义。
1目录山东科技大学机械电子工程学院硕研七班变径方管的两种网格划分和计算收敛阶次的比较目录第1章前言 (3)第2章基于Ansys fluent的变径方管的有限元分析. 42.1建立模型 (5)2.2定义边界条件并求解 (8)第3章计算结果分析..................................................14第4章结语................................................................15参考文献：..................................................................16附录一；......................................................................17附录二；......................................................................191山东科技大学机械电子工程学院硕研七班摘要摘要；本文采用ansys fluent有限元流场分析软件对变径方管做清水流场模拟分析。
通过分析和计算得出变径方管内部的速度云图，压力云图，位移云图和速度矢量图。
利用ICEM CFD对方管进行六面体网格划分和四面体网格划分。
在fluent内部进行三阶，六阶计算得出不同的网格类型计算的结果计算的用时上六面体较短，六阶计算较三阶计算精度更高。
关键词：FLUENT; 方管; ICEM; 四面体网格；六面体网格2山东科技大学机械电子工程学院硕研七班前言第1章前言随着科学的发展，计算机技术在机械工程中的运用日显其伟大的作用。
ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。
由世界上最大的有限元分析软件公司之一的美国ANSYS开发。
离散化数值分析法在CFD数值模拟计算中的应用辛亚男 2011200177摘要：利用数学方法进行化工优化设计以及求解实际问题有着非常重要的意义，模型建立的好坏对求解问题的难易程度以及真实程度在一定程度上起到了决定性的作用。
成为化工计算过程中的关键性环节。
关键字：离散化求解方法中心差分上风方案幂函数混合方案1.数学方法在化工中的重要作用数学是科学的基础，是现代科学和工程技术的核心。
虽然数学研究和数学教育的兴旺发达，并不会自动地带来先进的科学技术和强大的化学工业，但后者要先进和强大，则离不开数学的繁荣与发展。
数学不仅可以使国家繁荣富强，而且被越来越多地用于各种生产实践。
自19世纪末戴维斯提出Chemical Engineering 的概念以来，化学工程经历了一个世纪的发展，化学工业的规模以几何级数增长，化学工业在我国国民经济中所占的比重也与日俱增。
但另一方面，随着能源、环境、质量、竞争等因素的影响，化学工业在快速发展的同时，也正进行着深刻的变革，对于优化操作的要求，尤其是实时、在线优化的要求越来越高。
计算机技术的迅速发展也为优化技术的发展提供了保障。
而数学建模方法成为化学工业的一个重要手段。
首先，以数学方法和计算机技术为核心的工艺研究和装备制造，已经成为现代化学工业的主要手段。
其次，以数学建模和网络技术为基础的生产管理和新品设计开发，也已成为现代化工企业的发展模式。
数学建模已是工程科学中非常重要的一部分。
现实世界中的很多现象是可用偏微分方程(PDE)描述的。
例如化学工程中对流一扩散一反应过程、传热过程以及流体动力学等。
如果PDE是线性的，通常可以通过适当的方法处理公式得到一个确定形式的解，这些方法包括分离变量、叠加、Fourier级数以及Laplace变换等。
然而在现实世界中，很多PDE是非线性的，通过以上这些方法不容易得到非线性PDE的解，必须依靠数值近似求解。
例如，Poisson方程和热方程是线性的，并可推导出解析解，而对于非线性Navier-Stokes方程，研究者们还未能找到通解形式及解决唯一性问题。
主要内容任玉新1.Basics2.Methods for compressible flows1) The mathematical properties of Euler equations2) Shock wave and entropy conditions3) Riemann problem and the Godunov scheme4) Approximate Riemann solvers: HLL solver and Roe solver5) TVD scheme6) ENO/WENO scheme7) The compact scheme13.Methods for incompressible flows1) The staggered and the colocated grids2) The MAC method3) The SIMPLE method4) The projection method5) Other methods6) Solution of N-S equations on the nonstaggered gridReferences[1] E. F. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics, Springer, 1997 (First edition)[2] J.D. Anderson, Computational fluid dynamics: basics with applications, Springer (清华大学出版社影印版)2[3] Barth and Deconinck (eds.) High order method for computational physics, Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 9. Springer, 1999[4] Ferziger and Peric, Computational method for fluid dynamics, Springer, 1996[5] T. J. Chung, Computational fluid dynamics, Cambridge University Press, 2002[6] J. W. Thomas, Numerical partial differential equations: conservation laws and elliptic equations. Texts in applied mathematics 33, Springer, 1999[7] 吴子牛，计算流体力学基本原理，科学出版社， 2002.[8] Sherrie L. Krist, Robert T. Biedron, Christopher L. Rumsey，CFL3D User＇s Manual, The NASA Langley Research Center,Hampton, VA[9] S. K. Lele, J. Comput. Phys. 103, 16 (1992)[10] S. Pirozzoli, J. Comput. Phys. 178 (2002)[11]Yu-Xin Ren, Miao＇er Liu, Hanxin Zhang, J. Comput. Phys. 192 (2003)3FTP: 166.111.37.201Usr:cfdPasswd:cfd2005Email：ryx@高等计算流体力学讲义(1)第一章计算流体力学基本原理第1节流体力学基本方程一、非定常可压缩Navier－Stokes方程45不计品质力的情况下，在直角坐标系中，守恒型N －S 方程可以写为下列向量形式：()()()0v v v t x y z∂∂-∂-∂-+++=∂∂∂∂U F F G G H H ， (1) 其中u v w E ρρρρρ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭U 2()u u p uv uw E p u ρρρρρ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭F 2()v vu v p vw E p v ρρρρρ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭G 2()w uw vw w p E p w ρρρρρ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭H ，0xx xyv xzxx xy xz T u v w kx ττττττ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪∂+++ ⎪∂⎝⎭F 0xy yy v yzxy yy yz T u v w k y ττττττ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪∂+++ ⎪∂⎝⎭G ，60xz zyv zzxz zy zz T u v w k z ττττττ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪∂+++ ⎪∂⎝⎭H 。
如果忽略N －S 方程中的粘性和热传导，得到的简化方程为Euler 方程：0t x y z∂∂∂∂+++=∂∂∂∂U F G H 。
方程、称为向量守恒型方程。
其重要特点是：连续、动量和能量方程被写为统一形式。
其中，,,,,,,v v v U F G H F G H 均為列向量，U 是方程的解向量，稱為守恆變數；,,,,,v v v F G H F G H 稱為通量（flux ），具體說,,F G H 為無粘通量，,,v v v F G H 為粘性通量。
所谓守恒型方程，是空间导数项为散度的形式的方程。
，式所示的向量型守恒方程，实际上仍然是散度形式。
显然，，式的另一种等价形式为：0t ∂+∇=∂UE ， (2) 其中()()()v v v =-+-+-E F F i G G j H H k，或=++E Fi Gj Hk，通量張量，,,i j k 為直角坐標系三個坐標軸方向的單位基向量。
把式在任意固定的控制体上积分，并利用Gauss 公式，有70Sd dS t Ω∂Ω+=∂⎰⎰⎰⎰⎰U E n 。
这就是守恒积分型方程。
可见，守恒的微分、积分型方程之间有直接的联系。
式是我们以后将要讲到的有限体积方法的出发方程，而、或是则是有限差分方法的出发方程。
二、流体力学方程的简化形式根据具体流动状态，N －S 方程可以进行各种简化。
简化的形式及其适用条件是理论流体力学的重要研究内容之一。
这里我们对于各种简化方程作一归纳，见下图：89图1.N －S 方程的简化形式三、 曲线坐标系中的基本方程当求解域的形状比较复杂时，计算流体力学方法通常在曲线坐标系中实施。
因此，有必要得到曲线坐标系中流体力学基本方程的形式。
在曲线座标中，向量可以采用在直角坐标中的分量形式，也可以采用协变或逆变分量，基本方程也将因此呈现出不同的形式。
最简单，应用也最普遍的形式是向量分量为直角坐标系中的分量。
下面，我们讨论这种情况下的流体力学基本方程。
直角坐标到曲线座标的变换及其逆变换关系为：(,)(,)x y x y ξξηη== (3)(,)(,)x x y y ξηξη== (4)1、导数的变换对于一阶偏导数，根据链式求导法则，有x x x φφφξηξη∂∂∂=+∂∂∂ 。
同理可得10y y y φφφξηξη∂∂∂=+∂∂∂。
对于二阶偏导数，有222222222222222()()()[][]()2()x x xx xx x x xx xx x x x x x x xx xx x x x x x x x x φφφξηξηφφφφξηξηξηξηφφφφφφξηξξηηξηξηξξηξηηφφφφφξηξξηηξηξξηη∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂。
同理可得222222222()2()yy yy y y y y y φφφφφφξηξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂， 222222()xy xy x y x y y x x y x y φφφφφφξηξξξηξηηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂。
把导数的变换关系代入微分方程，就可以得到微分方程在计算平面中的形式。
以直角坐标系中的Laplace 方程22220x yφφ∂∂+=∂∂ 为例，把上述二阶导数的变换关系代入上述Laplace 方程，得11222222222[()()]2[][()()]()()0x y x x y y x y xx yy xx yy φφφξξξηξηηηξξηηφφξξηηξη∂∂∂+++++∂∂∂∂∂∂++++=∂∂。
2、度量系数及其计算方法在導數的座標變換公式中涉及到下列座標變換係數：,,,x y x y ξξηη。
这些系数称为座标变换公式对应的度量系数（metrics ）。
我們看到，為了求解計算平面中的偏微分方程，如错误！未找到引用源。
式，必頇確定度量係數（有時還包括,,,,,xx xy yy xx xy yy ξξξηηη等）的離散值。
那么，这些度量系数如何计算呢？由于一般情况下，我们只知道座标变换关系、的离散运算式，度量系数一般也要通过有限差分方法近似计算。
但是，直接構造,,,x y x y ξξηη的差分近似是不容易的。
以x ξ為例，根據偏導數的意義，x ξ為y 保持不變時ξ隨x 的變化，如圖2所示，網格點P 處的x ξ的計算公式應為：12)Q Px P Q Px x ξξξ-=-。
由於Q 一般不是網格點，因此,Q Q x ξ是未知的，只能通過插值方法確定。
另一方面，我們可以定義逆變換(4)式的度量係數,,,x x y y ξηξη。
在贴体坐标系中，这些度量系数的有限差分离散非常简单。
如果采用中心差分离散，有131,1,,,1,1,1,1,,,1,1,)2)2)2)2i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j x x x x x x y y y y y y ξηξηξηξη+-+-+-+--=∆-=∆-=∆-=∆ 。
這就提示我們，如果能夠找到,,,x y x y ξξηη和,,,x x y y ξηξη之間的關係，我們就可以得到,,,x y x y ξξηη等的計算方法。
下面，我们推导二者之间的关系。
由变换关系式，有x y x y d dx dy d dx dyξξξηηη=+=+，写成矩阵形式x y x y d dx d dy ξξξηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 。
由逆变换式，有x x dx d y y dy d ξηξηξη⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。
、式中的矩阵称为正变换和逆变换的Jacobi 矩阵。
