第一节 二阶与三阶行列式 - 华东理工继续教育学院
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自考高数线性代数笔记第一章行列式行列式的定义(一)一阶、二阶、三阶行列式的定义(1)定义:符号叫一阶行列式,它是一个数,其大小规定为:。
注意:在线性代数中,符号不是绝对值。
例如,且;(2)定义:符号叫二阶行列式,它也是一个数,其大小规定为:所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
(主对角线减次对角线的乘积)例如(3)符号叫三阶行列式,它也是一个数,其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂,为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式,我们可以采用下面的对角线法记忆方法是:在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线,把右上角到左下角的对角线叫次对角线,这时,三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如:(1)=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0(2)(3)(2)和(3)叫三角形行列式,其中(2)叫上三角形行列式,(3)叫下三角形行列式,由(2)(3)可见,在三阶行列式中,三角形行列式的值为主对角线的三个数之积,其余五项都是0,例如例1a为何值时,解因为所以8-3a=0,时例2当x取何值时,解:.解得0<x<9所以当0<x<9时,所给行列式大于0。
(二)n阶行列式符号:它由n行、n列元素(共个元素)组成,称之为n阶行列式。
其中,每一个数称为行列式的一个元素,它的前一个下标i称为行标,它表示这个数在第i行上;后一个下标j 称为列标,它表示这个数在第j列上。
所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。
为叙述方便起见,我们用(i,j)表示这个位置。
n阶行列式通常也简记作。
n阶行列式也是一个数,至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。
第一章行列式历史上,行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的 •如今,它在数学的许 多分支中都有着非常广泛的应用, 是常用的一种计算工具。
特别是在本门课程中, 它是研究 后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
第一节 二阶与三阶行列式分布图示★ 引言★ 二阶行列式的定义 ★ 例 1★ 二元线性方程组 ★ 例 2★ 三阶行列式的定义 ★ 例 3 ★ 例4★ 三元线性方程组 ★ 例 5★ n 阶行列式的定义★例6 ★例 1 7★ 例8★几个常用的特殊行列式 ★内容小结 ★课堂练习★习题1-1内容要点一、二阶行列式的定义三阶行列式有6项,每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠于正负号, 其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。
三、n 阶行列式的定义 四、几个常用的特殊行列式例题选讲4 -3例1计算5 2 4 —3 解 =4工2_5工(—3) =23.5 2-2 -又如,设D —,试问:3 1(1)当'为何值时D =0;(2)当-为何值时D =0.普丸2 解 D =一3 扎,3 1a 12 —a〔1 a 22 a 12 a21 a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23=a 11a 22a 33+a12a 23a 31a 31a 32a 33a 13a 21a 3^ _a 13a 22a 3^ _a 11a 23a 32-a 12a 21 a 33 •、三阶行列式的定义a 11 a 21a 22D =0 ------- .2_3怎=0 -因此可得(1)当,=0或怎=3时,(2)当&0或九丰3时,因D = _7 = 0,故所给方程组有唯一解--10 -48 - -58.注:读者可尝试将行列式按第二列展开进行计算11 1例4求解方程D= 2 3x =0. 49 X 2解方程左端D=1“-1)仆3 x亠 21-t 2+ 1X(-1)1 22 X , 2+1x (_1)1432 39 x4 x4 9 = 3x 2+4x +18 -12 2 2-9x —2x =x —5x+6,由 x 2 -5x • 6 = 0 解得 x = 2 或 x = 3.卜 - 2x 2 X 3 = -2 例5 (E03)解三元线性方程组 2X 1 * X 2 -3X 3 =1 .-X 1 X 2 -X3 二 0解由于方程组的系数行列式1 -2 1 D = 2 1 -3-1 1 -1=0,,=3.D =0;D =0.例2 (E01)解方程组2x^-3x 2X 1 -2x 2 - -3=8D 23 -2 =2 ;■ (-2) - 3 1 - -7, D 18 -33 -2二 8 (-2) - 3 (-3) - -7,8 -3=2 (-3)-8 仁-14.X 1上 D二赳 -7士 =2.-7例 3 (E02) 计算三阶行列式4 -1= 10 6 2 5(-1) 3 4 0 -3 0 (一1) -1 5 0 -4 2 6=1 1 (_1)(②(;)(_1)1 2 1 -(-1) 1 1 -1(;) 1 -(-2)2 (_1)=-5 尸 0,-2 -2 11 -2 11 -2 -2 D[=1 1 -3 =-5, D2 = 2 13 —= —10, D 3 =2 1 11-1-1-1-11故所求方程组的解为:0 0a 240 032 0 8 例8 (E06)计算行列式D =4-9 2 10_1 6 0 —70 5解 因为第三列中有三个零兀素,可按第三列展开,得10 2-4 10 1D 4 =3 (-1)5 7 0 1-4+ (—5)(—1) 6 5 74-2-1-34 -2解由行列式的定义,有~D=1,X 2D 2厂2,—5例6 (E04)计算行列式D 4一4-3-2 -1=3 1 (—1)1 1-2 -12 (-1)1 3=3[-72(-10 -28)] 5[(-4) (-107 ]匚-2-28) + 51(-4) <-1) -(-1221)] = 466.1 (-1)1 2-3a 12例7 (E05)计算行列式D 1 =a 310 解由行列式的定义,有D 1 = a 12 (T)0 a 24,八 1 4sa 31a 310 0 =_a 12,a24^1)0 a 43a 431 2a 43=_a 12a 24a 31a 43.对于上面的三阶行列式,按第三行展开,得注:由此可见,计算行列式时,选择先按零元素多的行或列展开可大大简化行列式的计算,这是计算行列式的常用技巧之一•课堂练习1.设D = 试给出D 0的充分必要条件.2•求一个二次多项式f(1) =0, f(x),使f(2)=3, f(-3)=28.D =2 (-1)2 3-1 —73 3D =12 5 (-1)-1二-200.。