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第一节 二阶与三阶行列式 - 华东理工继续教育学院

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1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审容膝之易安。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
§1_二阶与三阶行列式
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
45、自己的饭量自己知道。——苏联

自考本科线性代数(经管类)知识汇总(红字重点)

自考本科线性代数(经管类)知识汇总(红字重点)

自考高数线性代数笔记第一章行列式行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。

（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。

我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，解：.解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。

（二）n阶行列式符号：它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。

其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j列上。

所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。

为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。

n阶行列式通常也简记作。

n阶行列式也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。

01-第一节-二阶与三阶行列式

01-第一节-二阶与三阶行列式

第一章行列式历史上，行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的 •如今，它在数学的许 多分支中都有着非常广泛的应用， 是常用的一种计算工具。

特别是在本门课程中， 它是研究 后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

第一节 二阶与三阶行列式分布图示★ 引言★ 二阶行列式的定义 ★ 例 1★ 二元线性方程组 ★ 例 2★ 三阶行列式的定义 ★ 例 3 ★ 例4★ 三元线性方程组 ★ 例 5★ n 阶行列式的定义★例6 ★例 1 7★ 例8★几个常用的特殊行列式 ★内容小结 ★课堂练习★习题1-1内容要点一、二阶行列式的定义三阶行列式有6项，每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠于正负号， 其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。

三、n 阶行列式的定义 四、几个常用的特殊行列式例题选讲4 -3例1计算5 2 4 —3 解 =4工2_5工(—3) =23.5 2-2 -又如，设D —,试问：3 1(1)当'为何值时D =0;(2)当-为何值时D =0.普丸2 解 D =一3 扎，3 1a 12 —a〔1 a 22 a 12 a21 a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23=a 11a 22a 33+a12a 23a 31a 31a 32a 33a 13a 21a 3^ _a 13a 22a 3^ _a 11a 23a 32-a 12a 21 a 33 •、三阶行列式的定义a 11 a 21a 22D =0 ------- .2_3怎=0 -因此可得(1)当，=0或怎=3时,(2)当&0或九丰3时，因D = _7 = 0,故所给方程组有唯一解--10 -48 - -58.注：读者可尝试将行列式按第二列展开进行计算11 1例4求解方程D= 2 3x =0. 49 X 2解方程左端D=1“-1)仆3 x亠 21-t 2+ 1X(-1)1 22 X , 2+1x (_1)1432 39 x4 x4 9 = 3x 2+4x +18 -12 2 2-9x —2x =x —5x+6,由 x 2 -5x • 6 = 0 解得 x = 2 或 x = 3.卜 - 2x 2 X 3 = -2 例5 (E03)解三元线性方程组 2X 1 * X 2 -3X 3 =1 .-X 1 X 2 -X3 二 0解由于方程组的系数行列式1 -2 1 D = 2 1 -3-1 1 -1=0,，=3.D =0;D =0.例2 (E01)解方程组2x^-3x 2X 1 -2x 2 - -3=8D 23 -2 =2 ；■ (-2) - 3 1 - -7, D 18 -33 -2二 8 (-2) - 3 (-3) - -7,8 -3=2 (-3)-8 仁-14.X 1上 D二赳 -7士 =2.-7例 3 (E02) 计算三阶行列式4 -1= 10 6 2 5(-1) 3 4 0 -3 0 (一1) -1 5 0 -4 2 6=1 1 (_1)(②(；)(_1)1 2 1 -(-1) 1 1 -1(；) 1 -(-2)2 (_1)=-5 尸 0,-2 -2 11 -2 11 -2 -2 D[=1 1 -3 =-5, D2 = 2 13 —= —10, D 3 =2 1 11-1-1-1-11故所求方程组的解为：0 0a 240 032 0 8 例8 (E06)计算行列式D =4-9 2 10_1 6 0 —70 5解 因为第三列中有三个零兀素，可按第三列展开，得10 2-4 10 1D 4 =3 (-1)5 7 0 1-4+ (—5)(—1) 6 5 74-2-1-34 -2解由行列式的定义,有~D=1,X 2D 2厂2,—5例6 (E04)计算行列式D 4一4-3-2 -1=3 1 (—1)1 1-2 -12 (-1)1 3=3[-72(-10 -28)] 5[(-4) (-107 ]匚-2-28) + 51(-4) <-1) -(-1221)] = 466.1 (-1)1 2-3a 12例7 (E05)计算行列式D 1 =a 310 解由行列式的定义，有D 1 = a 12 (T)0 a 24,八 1 4sa 31a 310 0 =_a 12，a24^1)0 a 43a 431 2a 43=_a 12a 24a 31a 43.对于上面的三阶行列式，按第三行展开，得注：由此可见，计算行列式时，选择先按零元素多的行或列展开可大大简化行列式的计算，这是计算行列式的常用技巧之一•课堂练习1.设D = 试给出D 0的充分必要条件.2•求一个二次多项式f(1) =0, f(x)，使f(2)=3, f(-3)=28.D =2 (-1)2 3-1 —73 3D =12 5 (-1)-1二-200.。

《线性代数》教学课件—第1章 行列式 第一节 二阶与三阶行列式

《线性代数》教学课件—第1章 行列式 第一节 二阶与三阶行列式

aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
, .
（１）
解 用加减消元法，可得
((aa1111aa2222
a12 a21 ) x1 a12 a21 ) x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 - a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
xxaa122211
aa12b2b2 1,2
, D. 1
b1 b2
（aa1222１, ）D2
a11 a21
b1 , b2
a11 a 21
xx则11 当aaＤ1222
xx22０时bb，12 方,. 程组
（１）
有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
.
x1 b1a22例１a12求b2解线, 性方程组
注意：Ｄ称为系数 行数列项b式1,，b2Ｄ替j换是Ｄ用中常
的第 j 列 (j=1,2).
二、三阶行列式
引例 2 用消元法解关于 x,y,z 三元线性方
程组
ax by cz d , ex fy gz h , ix jy kz l .
解
为了记忆三元线性方程组的求解公式,可引入
三阶行列式. 三阶行列式的定义如下:
定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21a2a21, .（２）
为了记忆该公式，引入记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元 素， aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位 置，第一个下标称为行标，表示该元素所在的行， 第二个下标称为列标，表示该元素所在的列，常 称 aij 为行列式的(i , j )元素或元．

线代第一章

线代第一章
如：31245 就是一个 5 级排列。 例1 写出所有的 3 级排列： 123 132 213 231 312 321
上一页 下一页
可见，第一个位置有 3 种选择，第二个位置 有 2 种选择，第三个位置有 1 种选择，所以所有 的 3 级排列一共有
3 2 1 3! 6
个。显然，所有的 5 级排列一共有 5！= 120 个。 容易得出，n 级排列一共有 n! 个。而在 n
第一章
行列式
第一节 二阶与三阶行列式 第二节 n 阶行列式
第三节 行列式的性质
第四节 行列式的按行（列）展开 第五节 克莱姆法则
上一页 下一页
第一节 二阶与三阶行列式


一、二阶行列式
二、三阶行列式 三、小结
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
上一页 下一页
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
记 a11
a31
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.

§1二阶与三阶行列式共17页文档

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6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank y、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。

第一节二阶与三阶行列式-PPT精品文档

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a a a 0 当a 时,方程组有唯一解： 11 22 12 21
b a b a 1 22 2 12 x 1 a a a a 11 22 12 21 b a b a 2 11 1 21 x 2 a a a a 11 22 12 21
当 D
a 11 a 21
a 12 a 22
D 30 D 1 2 15 于是方程组的解为：x 2 , x 1 1 2 D 15 D 15
2、三阶行列式
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a 13 22 31 12 21 33 11 23 32
0 时，
x1 方程组的解是：
D1 D2 , x2 D D
上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。 为便于记忆，引进如下记号： 称其为二阶行列式 据此，解中的分子可分别记为：
a 11 a 12 a 21 a 22
a a a a 11 22 12 21
b a 1 a 12 11 b 1 D , D 1 2 b a a 2 22 21 b 2
称为三阶行列式. “
( i , j 1 , 2 , 3 ) 称为它的元素。 数a ij
”三元素乘积取正号；
“
”三元素乘积取负号。
1 2 4 例2 计算行列式 D 2 2 1 3 4 2
解：由对角线法，有D=1.2.(-2)+2.1.(-3)+(-4).(-2).41.1.4-2.(-2).(-2)-(-4).2.(-3) =-4-6+32-4-8-24=-14 例3 解线性方程组

高等数学附录1二阶三阶行列式简介

高等数学附录1二阶三阶行列式简介

当主对角线元素相等且副对角线元素 也相等时，二阶行列式的值为零。
对于二阶行列式，主对角线元素之积 减去副对角线元素之积等于行列式的 值。
典型例题分析与解答
例题1
计算二阶行列式 |3 1|，|2 4| 的值。
解答
根据二阶行列式的定义，该行列式的值为 3*4 - 1*2 = 10 。
例题2
已知二阶行列式 |a 4|，|2 b| 的值为 -6，求a和b的值。
工程领域
在工程中，线性方程组常用于描述物理系统的状态或行为，如电路中的电流电压关系、力学中的力平衡等。 通过求解线性方程组，可以得到系统的稳定状态或行为规律。
计算机科学领域
在计算机科学中，线性方程组常用于图像处理、机器学习等领域。通过求解线性方程组，可以实现图像的变 换、数据的拟合等任务。
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念引入及基本运算回顾
矩阵定义与表示方法
由数字组成的矩形阵列，常用大写字母表示，如A、B等。
矩阵基本运算
包括加法、减法、数乘和乘法等，需满足相应运算规则。
矩阵转置
将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，记为$A^T$。
矩阵秩、逆矩阵与行列式关系
矩阵秩
矩阵中非零子式的最高阶数，反映了矩阵的行或列向量组的线性 无关性。
关键知识点总结回顾
二阶行列式的定义
由2x2矩阵通过特定运算得到的数值，表示两个向量在二 维空间中的相对位置关系。
二阶、三阶行列式的计算方法
通过展开式或对角线法则进行计算。
ABCD
三阶行列式的定义
由3x3矩阵通过特定运算得到的数值，表示三个向量在三 维空间中的相对位置关系。
行列式的性质
包括行列式与矩阵转置的关系、行列式的乘法性质、行 列式的加法性质等。

二阶与三阶行列式

二阶与三阶行列式
许多理论和实践问题中，我们常 常需要求解一些线性方程组，这类线 性方程组通常含有相当多的未知量， 其中一些线性方程组所含有的未知量 的个数与方程的个数相等，而另一些
则可能不相等。
含有 n 个未知数 x , x , , x 的 n 个线性 1 2 n
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an2 x2 annxn bn
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
1
2 2 4
-4 1 -2
例2 计算行列式 解
D -2 -3
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
二元线性方程组
求解公式为
b1 a 2 2 a 1 2 b 2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a 1 1 b 2 b1 a 2 1 2 a 11a 22 a 12 a 21
请观察，此公式有何特点？
分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.
4 6 32 4 8 24
14 .
例3 求解方程
1 2 4
1 3 9
1 x 0. x2
解
方程左端
2 2 D 3 x 4 x 18 9 x 2 x 12
2 x 5 x 6 ,
2 5 x 6 0 由x 得
x 2 或 x 3.

第一节二阶与三阶行列式

第一节二阶与三阶行列式

1 16 1
1 2 16
于是方程组的解为:
x1
D1 D
55 5
11, x2
D2 D
20 5
4,
x3
D3 D
15 5
3.
当 a11a22 a12a21 0 时,方程组有唯一解：
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
x2
b2a11 b1a21 a11a22 a12a21
当 D a11 a21
a12 0时， a22
方程组的解是：x1
D1 D
, x2
D2 D
上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。
3x1 x2 x3 26
例3 解线性方程组 2x1 4x2 x3 9 x1 2x2 x3 16
3 1 1
解:系数行列式 D 2 4 1 5 0
12 1
方程组有唯一解。
26 1 1 又D1 9 4 1 55,
16 2 1
3 26 1
3 1 26
D2 2 9 1 20, D3 2 4 9 15
1 3
D
3 (3) 4 15 0, 则方程组有唯一解，
43
又D1Leabharlann 5 531
3 30, D2 4
5 15.
5
于是方程组的解为：x1
D1 D
30 15
2, x2
D2 D
15 15
1
2、三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
称为三阶行列式. 数 aij (i, j 1,2,3) 称为它的元素。

1.1 二阶、三阶行列式

1.1 二阶、三阶行列式
2
k
2
1
k 当 k取 1、 -1时 , -1 k
3 k 0
4 0 0 1
例2
解线性方程组
x1 2 x 2 x 3 2, 2 x1 x 2 3 x 3 1, x x x 0. 1 2 3
17
跳转到第一页
解
方程组的系数行列式
( 1 ) a 2 2 - ( 2 ) a 1 2 消 去 x 2， 得
（ a 11 a 22 a 12 a 21） x 1 b1 a 22 b 2 a 12
4
类似地，消去 x 1，得
跳转到第一页
（ a 11 a 22 a 12 a 21） x 2 b 2 a 11 b1 a 21
§1.1 二阶、三阶行列式
一、 二阶行列式
二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 b1 a 21 x 1 a 22 x 2 b2 (1) (2)
3
跳转到第一页
其 中 x 1 , x 2 称 为 方 程 组 的 未 知 量 , a 11 , a 12 , a 21 , a 22 称 为 方 程 组 的 系 数 , b1 , b 2 称 为 方 程 组 的 常 数 项 .
a13a21a32
a13a22a31 a12a21a33
a1 a3 a 1 2 3 2
说明1 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,并冠以符号，其中三项 为正,三项为负.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝 线上三元素的乘积冠以负号． 说明2 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
注意
分母都为方程组的系数行列式.

第一节二阶及三阶行列式空间直角坐标系

第一节二阶及三阶行列式空间直角坐标系
由两点间距离公式可得
A B ( 3 0 ) ( 2 2 ) ( 1 5 ) 5 ,
由两点间距离公式 可得
A O ( 3 )2 22 12 14 ,
2
2
2
BO 02 22 52 29 .
所以，△AOB 的周长
l AB AO BO 5
( ) ( ) ( )
70 12 45
( ) ( ) ( )
7 2 0 0 34 9 1 5 4 2 9 5 3 7 0 1 0 132
2 x 例 3 解方程 1 x5
解
3 1 5 3 0 4 2
2 x 1
3 1 5 3
a1 b1 c1 其中 D a 2 b2 c 2 称为方程组的系数行列式， a 3 b3 c 3
D x , D y 和 Dz 是系数行列式中x 、 y 和 z 的系数
依次分别换成方程组右端的常数项而成的行列式.
7
0 2 5
9 3 的值 0
例2
计算行列式 1
4
解
7 1 4 0 2 5 9 3 0
所以
d ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 ) .
2 2 2
特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离
d OM x 2 y 2 z 2
两点间距离
例4
的周长. 解
已知 A (－3 , 2 , 1)、B (0 , 2 , 5). △AOB
M1Q QM 2
2 2
(△M1QM2 是直角三角形)
M1 P PQ QM 2
2

1.1二阶与三阶行列式

1.1二阶与三阶行列式

二阶与三阶行列式二元线性方程组与二阶行列式三阶行列式二元线性方程组与二阶行列式用消元法解线性方程组：11112212112222,(1).(2)+=⎧⎨+=⎩ a x a x b a x a x b 消去未知数2x ：2212(1)(2)⨯-⨯a a 得当112212210-≠a a a a 时，得方程组的解为：122122112121121122122111221221,--==--b a a b a b b a x x a a a a a a a a 112212*********()-=-a a a a x b a b a同理消去1x 得：112212212211121()-=-a a a a x b a b a在方程组解的表达式中，分子、分母都是四个数分两对乘积再作差得到，其中分母11221221-a a a a 由方程组中未知量系数确定.表达式11221221-a a a a 称为该数表确定的二阶行列式，记作11122122a a a a11122122a a a a 把四个系数按照它们在方程组中的相对位置，排成二行二列（横排叫行，竖排叫列）的数表数(1,2;1,2)==ij a i j 称为行列式的元素第二个下表j 称为列标，表明该元素位于第j 列.二阶行列式遵从对角线法则.从11a 到22a 的实连线，称为主对角线；从12a 到21a 的虚连线，称为副对角线； ij a 的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第i 行；11122122a a a a 副对角线-主对角线+1122=a a 1221-a a利用二阶行列式的概念，方程组得解可以重新表示为1212,==，D D x x D D其中 11122122=a a D a a 称为系数行列式，1121222=b a D b a 是用常数项12,b b 替代第一列元素1121,a a 所得行列式，1112212=a b D a b 是用常数项12,b b 替代第二列元素1222,a a 所得行列式.例1求解二元线性方程组12123212,2 1.-=⎧⎨+=⎩x x x x323(4)70,21-==--=≠D1212231212(2)14,324211121-==--===-=-D D ， 解：由于因此 121214212,377-======-D D x x D D三阶行列式定义1 由9个数排成3行3列的数表111213212223313233a a a a a a a a a确定的数111213212223313233a a a aa a a a a 称为三阶行列式，它是6项的代数和， 每一项都是取自不同行、不同列的三个元素之积并冠以正负号三阶行列式的计算遵从对角线法则：111213212223313233a a a a a a a a a 112233=a a a 主对角线+副对角线一132231-a a a 122331+a a a 132132+a a a 122133-a a a 112332-a a a例2 计算三阶行列式 124221342-=---D解：按对角线法则，有12(2)21(3)(4)(2)41142(2)(2)(4)2(3)4632482414=⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⨯---⨯⨯-=--+---=-D例3求解方程 2111230.49=x x 解：方程左端的三阶行列式 2223418921256=++---=-+D x x x x x x 由 2560-+=x x 解得 2=x 或 3=x。

§1_二阶与三阶行列式共22页

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§1_二阶与三阶行列式
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
Hale Waihona Puke 66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
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1 1
Rij ( k ) C ji ( k )
1 1

1 1

k 1 1
1
三、小结
1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列 式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.
2. D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain aik Aik a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj akj Akj
a11 a22 a32 a23 a33 a12 a21 a31 a23 a33 a13 a21 a31 a22 a32
a11 M11 a12 M12 a13 M13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 上式推广后即得
二、行列式按行（列）展开法则
定理1 n 阶行列式等于它的任一行（列）的各 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
n k 1
a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj akj Akj
j 1,2,, n
5 1
例2 计算行列式
3 7
1 2 0 2 5 2 3 3 0 0 5 0
D 0 2 0 2
0 4 1 0 0 1 2 0 2 5 2 3 3
2 5
思考题解答
解
共有 4 ! 24个乘积项；不能用所谓 的沙路法则！
第二章 行列式
第二节
n 阶行列式
一、余子式和代数余子 式
二、行列式按行（列） 的展开法则
三、小节、思考题
n阶行列式的定义
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 用记号 , 定义 对任意n阶方阵 A a a a n1 n2 nn a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 表示一个与矩阵A相联系 A an1 an 2 ann 的数或表达式, 常称 A为A的行列式(或记为det A )
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .

三、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算 对角线等法则
a11 a12 a11a22 a12a21 . a21 a22
2
3
0
( 10) 5
2
3
4 1
50( 2 12) 700.
例3
计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 0 ann
解
a 22 a 23 a 2 n a11 a12 a1n 0 a 33 a 3 n 1 1 = 0 a22 a2 n a11 ( 1) 0 0 a nn 0 0 ann
同理可得下三角行列式
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a n1 an 2 an 3 ann
a11a22 ann .
同理，对所有三类初等 矩阵，有
1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Rij C ij
Ri ( ) Ci ( )
a11 a12 D , a21 a22 b1 D1 b2 a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22 a11 b1 D2 . a21 b2
则二元线性方程组的解为b1Fra biblioteka12
a11
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
思考题
a12 a13 a14 a22 a23 a24 对应的 表达式 a32 a33 a34 a42 a43 a44 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a32 a33 a34 a42 a43 a44
为 四 阶 行 列 式 ， 请 问四 ：阶 行 列 式 展 开 后 共 有 多 少 个 乘 积 项 ， 能 不使 能用 类 似 沙 路 法 则 ？
k 1 k 1 n
n
i 1,2,, n
3. 在按行、按列展开时， 建议挑选含零最多 的行、列！
第二章 行列式
第三节
行列式的性质
一、行列式的性质
二、应用举例
三、小节、思考题
一、行列式的性质
记
a11 a12 a1n a11 a21 a21 a22 a2 n , T a12 a22 A A an1 an 2 ann a1n a2 n
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a31 a32 a33
a11 a21 称四阶方阵 A a31 a 41 a11 a21 A a31 a41
a11 a12
a12
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记 系数行列式
a11 a12 D , a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
其中，M 式.
T i1
表示与行列式 AT 中的余子式 M i 1对应的
转置余子式 ( i 1, 2,, n)，且它们均为n 1阶行列
于是，由归纳假设，知 T M i 1 M i 1 ( i 1, 2,, n) 进而，得 AT A .
一、余子式与代数余子式
定义 1 对 n 阶行列式 a11 a1 j ai 1 aij an1 anj
a1n ain ann
在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .
记 a11
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (7) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
（7）式称为矩阵（6）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
5 1
3 7
5
3
1 2
解 D 0 2
0 0 2 1 0 4 1 0 0 0 2 5 0
0 2 3 0 0 4 1 0 0 2 3 5
5 2 1
2 5
3
1 2
0 2 3 0 ( 2 ) 5 4 1 0 0 4 1 0 2 3 5 0 2 3 5
a 33 a11 a 22 ( 1)
1 1
a 34

a3n
0 a44 a4 n 0 0 a nn
a11a 22 a nn
1 2 3 4
例4
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D a11a 22a 33a44 1 4 5 8 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
a n1 an 2


ann
T 行列式 A 称为行列式 A 的转置行列式.
性质1
行列式与它的转置行列式相等即，
AT A .
证明 对行列式的阶数进行归 纳法证明，
对一阶行列式而言，显 然有 a11 a11 成立； T 现假设对阶数为n 1时结论成立，则对 A ，按第一
T
行展开，有
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a31 a32 a33
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a14 a 34 a 44
M 23 M 23 , 叫做元素 a23的代数余子式 .
注意： 一个元素的代数余子式 只与该元素所处位置 相关；而与该元素等于 多少无关！
比如上例中，即便把a23的值换成 a33，它的 代数余子式仍然不变！ 亦即仍有 A23 M 23
按照这个定义，对三阶 行列式，有
记 Aij 1
i j
M ij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如对
a11 a21 D a31 a41
A23 1
2 3
a12 a13 a14 a11 a22 a23 a24 , M 23 a 31 a32 a33 a34 a 41 a42 a43 a44
a12 a 32 a 42
a11 a12 a21 a22 D a n1 a n 2
a1n a2 n ann
n
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain aik Aik