Duffing-Van der pol系统的Hopf分岔

Duffing -van der Pol 振子随机分岔的全局分析*徐 伟1)贺 群1)2)戎海武3)方 同4)1)(西北工业大学应用数学系,西安 710072)2)(武警工程学院应用数学系,西安 710086)3)(佛山科技学院应用数学系,佛山 528000)4)(西北工业大学振动工程研究所,西安 710072)(2002年9月20日收到;2002年11月18日收到修改稿)应用广义胞映射方法研究了参激和外激共同作用的Du ffing -van der Pol 振子的随机分岔.以系统参数通过某一临界值时,如果系统的随机吸引子或随机鞍的形态发生突然变化,则认为系统发生随机分岔为定义,分析了参激强度和外激强度的变化对于随机分岔的影响.揭示了随机分岔的发生主要是由于系统的随机吸引子与系统的随机鞍碰撞产生的.分析表明,广义胞映射方法是分析随机分岔的有力工具,这种全局分析方法可以清晰地给出随机分岔的发生和发展.关键词:随机分岔,全局分析,广义胞映射方法,随机吸引子,随机鞍PACC :0547,0545*国家自然科学基金(批准号:10072049)资助的课题.1 引言由于随机噪声干扰在实际系统中总是存在的,考虑随机噪声的影响,特别是对分岔现象的影响成为人们关心的主题之一,随机分岔的研究尚处于起步阶段,如何给出随机分岔的合理定义是研究的核心问题之一.目前的定义主要分为两大类,一类是基于系统的稳态概率密度形状,随参数的变化突然发生变化给出的定义,例如从单峰突然变为双峰,这类定义称为P 分岔[1];另一类是基于系统的最大Lya -punov 指数随参数的符号变化给出的定义,这类定义称为D 分岔[1].研究表明,这两类定义给出的结果并不完全相同.Baxendale [2]给出了一个例子,当Lya -punov 指数符号发生变化时,系统的稳态概率密度形状不依赖分岔参数;另一方面,Crauel 和Flandoli [3]展示了一个相反的例子,当系统的稳态概率密度由单峰变为双峰时,系统的Lyapunov 指数符号不发生变化.究竟如何选择合适的定义展示随机系统的拓扑性质的变化,如何确切的描述随机分岔的发生,这是目前研究的焦点.此外,Meunuer [4],Arnold [1]研究表明,对于一类系统,稳态概率密度的形状变化与随机干扰的变化联系并不密切.这种基于稳态概率密度形状变化的定义,有时很难说明系统的拓扑性质,在噪声干扰下是否发生了真正意义上的变化.而对于Lyapunov 指数的精确计算仍是一个困难的问题,目前虽然有一些算法,例如Wolf [5],但精度并不理想,这直接影响到最大Lyapunov 指数是否为零的判断.这两类定义,均要求系统具有遍历性,而许多系统不满足这一要求,仅能进行局部分析.目前的文献,主要以平均方法进行讨论,通过平均方程的研究,得出原系统的有关结论,但对于许多系统,特别是一类非自治系统,平均方程与原系统的等价性无法保证,这时得出的关于平均方程的有关结论多少能反映原系统的性态,让人产生怀疑.此外,一般的数值计算,采用的是点映射方法,总要进行人为的有限步截断,这在许多讨论中,使得我们对于何时达到稳态产生异议,多少步可以认为是达到了最终的稳态,这对于稳态概率密度的讨论,对于随机跃迁的讨论至关重要.综上所述,对于随机分岔的讨论,仍然存在许多困难和问题,既要表征系统轨线的拓扑性质,又能体现系统的随机特性,确实很困难.我们认为随机分岔定义的关键是如何表征随机系统的拓扑性质,找到随机系统的合适的相对不变量.本文提出以系统的随机吸引子(包括随机鞍)的形态(包括大小、尺寸、周期等)的突然变化表征随机系统的拓扑性质变化,第52卷第6期2003年6月1000-3290 2003 52(06) 1365-07物 理 学 报AC TA PHYSIC A SINICAVol.52,No.6,June,20032003Chin.Phys.Soc.用来描述随机系统的分岔.Duffing-van der Pol振子是一个重要的模型,许多现象经过简化和模型化后可以用这一模型描述.对于确定情形分岔的研究,目前已有不少成熟的结果.Holmes和Rand[6],Guckenheimer和Holmes[7]针对这一模型,讨论了Pitchfork分岔和Hopf分岔,给出了全局分析和局部分析.对于噪声激励的Duffing-van der Pol振子的研究,目前已有一些成果,主要是利用随机平均法,随机规范形方法,在P分岔和D 分岔的定义下,讨论随机分岔的局部分析,这些结果参见Na machchivaya[8]Arnold[1]等,Schenk-Hoppe[9]等人的工作.2 广义胞映射图论方法胞映射的基本思想是把动力系统的状态空间离散化为大量状态胞的集合,用胞映射来描述原系统的动力学行为.Hsu提出两类胞映射方法,一种称为简单胞映射(SC M),一种称为广义胞映射(GC M).广义胞映射与简单胞映射相比,每个胞可以具有多个象胞.广义胞映射方法将原动力系统对应于一个胞映射动力系统.对于一个胞映射动力系统的分析方法可分为两个发展阶段,在早期的分析过程中,Hsu 将胞映射动力系统等价于一个有限时齐的马尔可夫链.采用马尔可夫链的分析方法对相应的胞映射动力系统进行分析,这种分析方法可以计算出相应动力系统的吸引子和吸引域,边界集合,确定吸引子的极限概率分布,以及奇怪吸引子的空间概率特征.所以广义胞映射是研究随机动力系统自然而有力的工具.Guder和Kreuzer[10]证明在一定条件下,胞映射的吸引子、吸引域和边界收敛于原动力系统的吸引子、吸引域和边界.从1995年开始,Hsu[11]在以前的分析方法的基础上,借助于图论方法,对胞映射动力系统的分析方法进一步发展.突出了对系统的拓扑特性的分析.对于胞映射系统,将每个胞对应于一个有向图的一个顶点,如果两个胞之间存在一步可达关系,则相应的顶点之间存在一条有向边.因而胞映射动力系统就完全等价于一个有向图.进而,对一个胞映射动力系统的分析就变为对一个有向图的分析.在对有向图进行分析时,可以得到图的强连通子图,强连通子图是指有向图顶点集的一个子集合,该子集合中的任何两个顶点相互可达.强连通子图对应的是相应动力系统的稳定和不稳定解集,即系统的吸引子和鞍.而不稳定解集(鞍)是其他方法不易得到的.当有向图的某一顶点不属于强连通子图时,则其对应的胞称为瞬态胞.如果一个瞬态胞可以达到某一永久自循环胞(闭的强连通子图)时,则称这个永久自循环胞为这个瞬胞的一个驻处,一个瞬态胞可以有多个驻处,按照瞬态胞所具有的驻处的数目,瞬胞被分为单驻处瞬态胞和多驻处瞬态胞,仅具有一个驻处的瞬态胞称为单驻处瞬态胞,具有多于一个驻处的瞬态胞称为多驻处瞬态胞,单驻处瞬态胞对应于吸引子的吸引域,多驻处瞬态胞对应于吸引域的边界.在Hsu[11]的论文中,详细讨论了广义胞映射,有向图和偏序集的拓扑对应,给出了实现的算法和步骤.基于Hsu[11]的工作,Xu和Hong提出了广义胞映射图方法的新版本,采用warshall算法.并将这一方法成功地用于激变的研究[12 16].本文的算法仍采用文献[11]第9章所提的算法.此外,Tongue和Gu[17]提出插值胞映射(IC M),Guder和Kreuzer[10]提出GC M的自适应方法和自适应细化方法.Sun[18,19]发表系列论文,基于短时高斯逼近研究了非线性随机系统的动力学行为,但未涉及随机分岔及不稳定解的研究.相关的研究见文献[20 25].3 参激和外激共同作用下的Duffing-van der Pol振子的随机分岔考虑如下参激和外激共同作用下的Duffing-van der Pol系统:x- x+x+x3+x2 x= 1 1(t)x+ 2 2(t),(1)式中 1, 2是两个正态白噪声过程, 1, 2为噪声的强度系数.取感兴趣的区域为D={-2 x 2,-2x 2},在这一区域内的状态胞为正规胞,区域以外的所有胞看作一个胞,称为陷胞.把区域分为200 200+1个正规胞.对于每个胞,取15 15个均匀分布的内点.对于每个内点产生50个随机样本,运用6阶龙格-库塔方法从该内点出发积分,求每个点所映射到的胞,从而在庞加莱截面上确定每个胞的象胞,则对每个胞有15 15 50=11250个轨线出发来确定其象胞.噪声的生成参见文献[26].当 1=0.0, 2= 0 0时,即不存在激励时,由图1可见,除去陷胞的影响,系统(1)有两个永久自循环胞集(吸引子);一个瞬态自循环胞集(鞍);两个单驻处瞬胞集(吸引1366物 理 学 报52卷域)和一个多驻处瞬胞集(边界).图1 系统在 1=0.0, 2=0.0时的吸引子、吸引域和鞍 图1至图12中,吸引子 的标记符号为 ;它的吸引域标记为空白;吸引子 的标记符号为 ;它的吸引域标记为空白;鞍的标记符号为 ;吸引域的边界用符号 表示考虑参数 1, 2的变化产生的随机分岔现象,讨论系统随机分岔的生成和演化,图2给出了 1- 2平面上随机分岔区域.图2 1- 2平面上的随机分岔区域计算表明,当参数 1, 2变化,在一定的参数范围内存在两次随机分岔.在区域 ,系统存在两个随机吸引子,一个随机鞍,两个随机吸引域和一个边界.在区域 ,存在一个随机吸引子,一个随机鞍,一个随机吸引域.区域 和区域 的交界形成第一次随机分岔曲线.在区域 ,存在一个随机吸引子,一个随机吸引域.区域 和区域 的交界形成第二次分岔曲线.下面分三种情况展开详细讨论.下述的讨论,为简单起见,简称随机吸引子,随机鞍,随机吸引域为吸引子,鞍,吸引域.图3 系统在 1=0.070, 2=0.000时的吸引子、吸引域和鞍图4 系统在 1=0.097, 2=0.000时的吸引子、吸引域和鞍3 1 1 0 0, 2=0.0时随机分岔的全局分析考虑仅存在参激时, 1的变化对随机系统全局特性产生的影响.随着系统参数 1的增大,吸引子及其吸引域的边界上的鞍变大,图3给出当 1=0 070时的全局图.随着系统参数 1的逐渐增大,其中的一个吸引子逐渐伸向边界上的鞍,见图4( 1=0.097),这时吸引子的指端即将接触边界上的鞍点.当随机参数 1从0 097变到0 098时,这个吸引子与在吸引域边界上的鞍发生碰撞,导致这个吸引子连同它的吸引域突然消失,在相空间原吸引子的位13676期徐 伟等:Duffing -van der Pol 振子随机分岔的全局分析置留下一个鞍,见图5( 1=0.098),此时,在我们关心的区域,仅有一个吸引子,也就是说,当系统参数 1从0 097变到0 098时,系统发生首次随机分岔,吸引子的数目由两个变为一个,吸引子的形状发生了突然变化,其中的一个吸引子变为鞍,即稳定集变为不稳定集.图5 系统在 1=0.098, 2=0.000时的吸引子、吸引域和鞍图6 系统在 1=0.099, 2=0.000时的吸引子、吸引域随着激励参数 1的进一步增大,鞍逐渐变大,并向另一个吸引子伸展,当激励参数 1由0 098变到0 099时,这个吸引子与鞍相碰撞,合而为一,突然形成一个大的吸引子,见图6( 1=0.099),即吸引子的形状突然发生变化,我们认为发生了随机分岔,此时,鞍变为吸引子,即不稳定集变为稳定集.表1给出了随参数 1变化,吸引子,吸引域,鞍的胞的变化情况.表1 随参数 1的变化吸引子、吸引域和鞍的胞数目的变化( 2=0)参数 1吸引子吸引域 吸引子吸引域 鞍0 0002516347122299020 0103016133312291040 0207015943602275250 070507145595032163080 080637141166412163090 0908001338378820883150 097940113149217598400 098961380210 00 010180 0992012379880 00 00 0图7 系统在 1=0.000, 2=0.034时的吸引子、吸引域和鞍3 2 1=0 0, 2 0.0时随机分岔的全局分析考虑仅存在外激时, 2的变化对随机系统全局特性产生的影响.随着参数 2的增大,吸引子及其吸引域的边界上的鞍变大,图7给出当 2=0 034时的全局图.随着参数 2的逐渐增大,其中的一个吸引子逐渐伸向边界上的鞍.当参数 2从0 034变到0 035时,这个吸引子与在吸引域边界上的鞍发生碰撞,导致这个吸引子连同它的吸引域突然消失,在相空间原吸引子的位置留下一个鞍,见图8( 2=0.035),此时,在我们关心的区域,仅有一个吸引子,也就是说,当系统随机参数 2从0 034变到0 035时,系统发生首次随机分岔,吸引子的数目由两个变为一个,吸引子的形状发生了突然变化,其中的一个吸引子变为鞍,即稳定集变为不稳定集.随着随机激励参数 2的进一步增大,鞍逐渐变大,并向另一个吸引子伸展,当参数 2由0 075变到0 076时,这个吸引子与鞍相碰撞,合而为一,突然形成一个大的吸引子,见图9( 2=0.075),图101368物 理 学 报52卷图8 系统在 1=0.000, 2=0.035时的吸引子、吸引域和鞍( 2=0.076),即吸引子的形状突然发生变化,此时,鞍变为吸引子,即不稳定集变为稳定集.图9 系统在 1=0.000, 2=0.075时的吸引子、吸引域和鞍图10 系统在 1=0.000, 2=0.076时的吸引子、吸引域表2给出了随参数 2变化,吸引子,吸引域,鞍的胞的变化情况.表2 随参数 2的变化吸引子、吸引域和鞍的胞数目的变化( 1=0)参数 2吸引子吸引域 吸引子 吸引域 鞍0 0338012579108218752390 03410511566117218412530 03512239257006210 03612539237006380 03713039213006570 075434382300013360 0762384376160000 0772423375770000 078245737543图11 系统在 1=0.099, 2=0.010时的吸引子、吸引域和鞍3 3 1 0 0, 2 0.0时随机分岔的全局分析考虑参激和外激共同存在时, 1, 2的变化对随机系统全局特性产生的影响.计算表明,当参数 1, 2均不为零时,类似上述的讨论,在一定的参数范围内存在两次随机分岔.但情况更为复杂一些,参激和外激的交互作用,可能使部分稳定集变为不稳定集,随着参数的增加,又可能使不稳定集变为稳定集.例如,在分岔图图2上取定 1=0.099,由图6可知,在 1=0.099, 2=0.000时,存在一个吸引子,一个吸引域.考虑参数 2的变化带来的影响,随着参数 2的增加,从吸引子中分离出一部分变为鞍,13696期徐 伟等:Duffing -van der Pol 振子随机分岔的全局分析部分稳定集变为不稳定集,这时一个吸引子,一个吸引域变为一个吸引子,一个吸引域和一个鞍.噪声起着使系统不稳定的作用,图11给出在 1=0.099, 2=0.010时的情况.随着参数 2的进一步增加,当参数 2由0 056变到0 057时,这个吸引子与鞍相碰撞,合而为一,突然形成一个大的吸引子,见图12( 1=0.099, 2=0.056),图13( 1=0.099, 2=0 057),这时部分不稳定集再次变为稳定集,又从一个吸引子,一个吸引域和一个鞍变为一个吸引子,一个吸引域,噪声起着使系统稳定的作用.表3给出了随参数 2变化,吸引子,吸引域,鞍的胞的变化情况.表3 随参数 2的变化吸引子、吸引域和鞍的胞数目的变化( 1=0 099)( 1, 2)吸引子 吸引域 吸引子吸引域鞍(0 099,0 000)201237988000(0 099,0 010)80438081001115(0 099,0 046)84437520001636(0 099,0 047)84937502001649(0 099,0 053)87737380001743(0 099,0 055)89937324001777(0 099,0 056)91037293001797(0 099,0 057)291337087000(0 099,0 058)294337057图12 系统在 1=0.099, 2=0.056时的吸引子、吸引域和鞍图13 系统在 1=0.099, 2=0.057时的吸引子、吸引域4 结 论本文引入了新的随机分岔的定义,以系统的随机吸引子(包括随机鞍)的形态(包括大小、尺寸、周期等)的突然变化表征随机系统的拓扑性质变化,用来描述随机系统的分岔.证实了对于参激和外激共同作用下的Duffing -van der Pol 系统,随机分岔主要是由于吸引子与鞍相碰撞产生的.当参数通过临界值时,这个吸引子连同它的吸引域突然消失,在原来这个吸引子的位置上留下了一个鞍,这个稳定集变为不稳定集.当随机激励参数进一步增大,通过另一个临界值时,另一个吸引子与这个鞍碰撞,鞍突然消失,这个吸引子突然变大,不稳定集变为稳定集.系统存在着两次随机分岔,图2给出了 1- 2平面上随机分岔的全局分析图.由于参激和外激交互作用,随机分岔也可能是由于当参数通过临界值时,吸引子突然分离出鞍产生的.例如,在 1=0.099, 2=0 000时,系统仅存在一个吸引子,一个吸引域,如果参数 2增加一个微小量,即 2变得不为零,则会突然从吸引子中分离出一部分变为鞍.1370物 理 学 报52卷[1]Arnold L 1998Random Dynamical Syste ms (Berli n,Berlin Heide-l berg Ne w York:Springer)1[2]Baxendale P 1986In K.Ito and T.Hida,editors Stoc hastic proce sses and their applications 1203o f LN in M athe matics ,1.[3]Crauel H and Flandoli F 1998Journal o f Dynamics and Di fferential Equations 10259[4]M eunuer C and Verga A D 1988Journal o f Statist ic al Physics 50345[5]Wol f A,Swift J B,Swinney H L,Vastano J A 1985Physica D 16285[6]Holmes P and Rand D 1980International Journal o f Non -linear Me -chanic s 15449[7]Guckenhei mer J and Holmes P 1983Nonline ar Oscillation Dynamical Syste ms and Bi furcation o f Vec to r Fields (Berlin:Springer -Verlag)[8]Namachchivaya N S 1990Applied Mathe matics and Co mputation 38101[9]Schenk -Hoppe K R 1996Nonlinear D ynamics 11255[10]Guder R and Kreuzer E 1997International Journal o f Bi furcation and Chaos .72487[11]Hsu C S 1995Inte rnational Journal o f Bi furcation and Chaos .51085[12]Xu J X and Hong L 1999Acta Me chanica Sinica 31724(in Chinese)[徐键学、洪 灵1999力学学报31724][13]Hong L and Xu J X 1999Phys .Lett .A 262361[14]Hong L and X u J X 2000Ac ta Phys .Sin .491228(i n Chi nese)[洪 灵、徐键学2000物理学报491228][15]Hong L and Xu J X 2001Acta Phys .Sin .50612(in Chinese)[洪 灵、徐键学2001物理学报50612][16]Hong L and X u J X 2002Ac ta Mec hanica Sinica 34136(in Chinese)[洪 灵、徐键学2002力学学报491228][17]Tongue B H and Gu K O 1988Journal o f Sound and Vibration 125169[18]Sun J Q and Hsu C S 1990Journal o f applied me chanics 571018[19]Sun J Q 1995Journal o f Sound and Vibration 180785[20]To C W and Li D M 1999Journal o f Sound and Vibration 219359[21]Leung H K 1998Physic al A 254146[22]He D H and Xu J X 2000Acta Phys .Sin .49833(in 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random e xcitations is stud -ied in de tail by the generalized cell mapping method using digraph.As an alternative definition,stochastic bifurcation may be de -fined as a sudde n change in charac ter of a stochastic attrac tor when the bifurcation pa ra meter of the system passe s through a c rit-i cal value.It is found that under cer tain condit ions stoc hastic bifurca tion mostly occurs when a stochastic attractor c ollides with a stochastic saddle.Our study reveals that the generalized cell mapping method with digraph is also a po we rful tool for global analy -sis of stochastic bifurcation.By this global analysis ,the mechanism of development,occurrence,and e volut ion of a stoc hastic b-i furcation can be explored clearly and vividly.Keywords :stoc hastic bifurc ation,global analysis,generalized cell mapping,stochastic attractor,stochastic saddle PACC :0547,0545*Project supported by the Nati onal Natural Science Foundati on of China (Grant No.10072049).13716期徐 伟等:Duffing -van der Pol 振子随机分岔的全局分析。

Duffing振子和Van der Pol振子耦合的动力学行为分析王晓东;杨绍普;赵志宏【摘要】针对耦合非线性混沌振子复杂的动力学行为,本文将Duffing振子和Van der Pol振子进行耦合,建立了Duffing振子和Van der Pol振子的耦合模型.与单个振子相比,耦合Duffing振子和Van der Pol振子表现出了更加丰富的动力学特性,采用Simulink仿真的方法,通过不同策动力幅值、不同耦合系数、不同频率下耦合非线性振子的相图和庞加莱截面图分析了耦合非线性振子的动力学行为,研究了耦合振子对微弱周期信号的敏感性和对噪声的免疫力,并将此模型应用于微弱信号检测的研究中.【期刊名称】《石家庄铁道大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(028)004【总页数】6页(P53-57,80)【关键词】混沌;耦合振子;微弱信号检测;仿真【作者】王晓东;杨绍普;赵志宏【作者单位】石家庄铁道大学机械工程学院,河北石家庄050043;河北省交通安全与控制重点实验室,河北石家庄050043;石家庄铁道大学机械工程学院,河北石家庄050043;河北省交通安全与控制重点实验室,河北石家庄050043;河北省交通安全与控制重点实验室,河北石家庄050043【正文语种】中文【中图分类】TH165+.3近年来, 对混沌的研究从低维时间系统转向高维时空系统。

将若干不同的非线性振子(如Van der Pol振子、Duffing振子等)相互耦合, 构成的耦合非线性振子系统, 是研究时空混沌的较为理想的模型[1-2]。

由于耦合系统兼有两个振子的共同特性，会表现出更加复杂的动力学行为，所以耦合振子的动力学行为在理论和应用中具有重要意义, 因而日益受到重视。

经典的Duffing 及Van der Pol振子虽然在表达形式上很简单，但是由于具有丰富的动力学特性而极具代表性，它们常常被用来模拟系统的非线性特性，比如用耦合非线性振子系统描述和处理生物学、化学、光学、凝聚态物理学等众多领域的物理过程。

双频激励下Filippov系统的非光滑簇发振荡机理曲子芳;张正娣;彭淼;毕勤胜【摘要】旨在揭示含双频周期激励的不同尺度Filippov系统的非光滑簇发振荡模式及分岔机制.以Duffing和Van der Pol耦合振子作为动力系统模型,引入周期变化的双频激励项,当两激励频率与固有频率存在量级差时,将两周期激励项表示为可以作为一慢变参数的单一周期激励项的代数表达式,给出了当保持外部激励频率不变,改变参数激励频率的情况下,快子系统随慢变参数变化的平衡曲线及因系统出现的fold分岔或Hopf分岔导致的系统分岔行为的演化机制.结合转换相图和由Hopf分岔产生稳定极限环的演化过程,得到了由慢变参数确定的同宿分岔、多滑分岔的临界情形及因慢变参数改变而出现的混合振荡模式,并详细阐述了系统的簇发振荡机制和非光滑动力学行为特性.通过对比两种不同情形下的平衡曲线及分岔图,指出虽然系统有相似的平衡曲线结构,却因参数激励频率取值的不同,致使平衡曲线发生了更多的曲折,对应的极值点的个数也有所改变,并通过数值模拟,对结果进行了验证.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2018(050)005【总页数】11页(P1145-1155)【关键词】多频激励;Filippov系统;簇发振荡;多滑分岔【作者】曲子芳;张正娣;彭淼;毕勤胜【作者单位】江苏大学理学院,江苏镇江212013;山东工商学院数学与信息科学学院,山东烟台264005;江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学土木工程与力学学院,江苏镇江212013【正文语种】中文【中图分类】O322引言非光滑动力系统因其在模拟各种物理和工程技术系统方面表现出强大的功能而备受关注.带有摩擦的机械系统、步行机器人系统、基因调控网络系统、电子变换器系统等皆因非光滑因素的存在而表现出不同的动力学行为[1-3].通常,系统相空间可被划分为若干个与系统向量场的不同功能形式相关联的区域.当系统的部分轨线在相空间的不同区域之间的边界相切时,系统的轨迹会发生一系列奇特的变化[4].由于轨线与分界面接触点的不同特性和系统向量场的特点,当系统参数变化时轨线可能发生的滑动、转迁、穿越、黏滞等多种非线性现象会频繁出现[5-9].在分段光滑系统中同样有非光滑特性体现,如系统在转换边界平衡点发生的分岔行为,极限环经历的擦边和滑动分岔等[10]及线性碰振系统周期解的擦边分岔[11].在自然科学和工程实践中,非线性系统的动力学行为不仅仅是各子系统行为的简单叠加,而是一定数量的子系统耦合而成,即由子系统层面的动力学行为到整个系统层面的动力学行为的演变,于是多尺度耦合现象应运而生[12-15].通常所讲的两尺度耦合,指的是由于含不同时间尺度的对象,导致在无量纲数学模型中,状态变量或其不同形式的组合可以分为两个不同的组,而各组之间随时间变化的速率存在着明显量级上的差异[16-20].在对两个或多个单向的或双向振荡器的耦合现象的研究基础上,可深入地了解系统中的相互同步、准周期振荡、混沌等现象的产生机制[21-24].目前,针对多尺度耦合系统的研究,国内外学者大都遵循着耦合系统的模型分析、近似求解、数值模拟和实验分析等环节进行[25-27],研究方法缺乏针对性,而直到Izhikevich[28]快慢分析法的提出,才使研究方法得以丰富,并能深入地分析各种动力学行为的演化机制,其主旨是将不同尺度耦合系统分解为相互耦合的快慢两子系统,通过对快子系统的平衡态及其分岔分析,得到沉寂态和激发态之间相互转化的分岔机制,从而揭示相应簇发振荡的产生机理.虽然含一个慢变周期参数的系统的周期簇发振荡分析已有诸多成果[29-30],但由于实际系统中往往存在着多种激励共存的现象,因此含多频激励的系统的动力学行为分析也激起了学者们浓厚的兴趣,特别是含参数激励和外部激励共同作用的系统表现出了更为丰富和神奇的周期簇发振荡等动力学行为[31].尽管分别关于非光滑系统,多尺度耦合系统,含多频激励的系统都有各自针对性的研究成果,但对于含两个慢变周期参数的非光滑耦合系统的簇发振荡分析却仍有进一步的研究空间.本文以Duffing和VanderPol耦合振子为例,研究了含两慢变激励的具有非光滑向量场的Filippov系统的簇发振荡模式及非光滑行为演化机制.给出了平衡曲线和分岔图及在非光滑边界产生非光滑行为的演化行为分析;结合转换相图,得到了在外部激励频率不变的情况下,参数激励频率改变引起的系统簇发振荡模式及非光滑演化行为机理;通过数值模拟,分析了平衡曲线在不同参数激励频率下发生的曲折变化情况.1 计算模型以Duffing和Van der Pol耦合振子为例,引入一个双边二极管作为调和开关,考虑含双频激励的具非光滑向量场的Filippov系统,无量纲化后的数学模型为其中w1=A1cos(Ω1τ)为外部激励项,w2=A2cos(Ω2τ)为参数激励项,A1,A2表示振幅,Ω1,Ω2表示频率,α1,α2,α3,µ是常系数,ξ代表两子系统的耦合强度.以δsgnx1定义的非光滑分界面Σ={(x1,y1,x2,y2)|x1=0}按照两个非自治光滑子系统F+和F−将向量场分为两个光滑区域,分别以D+和D−表示在应用快慢分析法分析含双频激励的系统的簇发振荡时,考虑各激励间并非相互独立,往往以一个激励项作为慢变参数,其他激励项表示为该慢变参数的函数表达式的方法进行分析讨论.这里保持Ω1=0.0005不变,改变Ω2的值,其他参数取常规量,此时两激励频率与系统的固有频率之间存在了量级差,于是产生了尺度效应,即不同频域尺度之间的耦合,导致簇发等特殊的振荡模式.2 分岔分析系统(1)中各状态变量振荡行为主要由系统的固有频率ω决定,然而,ω同时又受到外部激励项w1和参数激励项w2的调制.就外部激励项w1而言,对一任意周期TN,定义TN=2π/ω,有t∈[t0,t0+TN],外部激励项w1将在wA=Acos(Ωt0)和wB=Acos(Ωt0+2πΩ/ω)之间变化.而Ω1≪ϖ意味着0<Ω1/ω=1,因此有wA≈wB.这意味着在一相应周期内,外部激励项几乎为一常数.同理可得:参数激励项也几乎为一常数.根据上述分析,相对于状态变量而言,由于整个外部激励项w1和参数激励项w2在更慢的时间尺度上变化,因此可以视w1和w2为慢变参数,而又因为外激频率Ω1和参激频率Ω2存在共振关系,这里假设W=cos(Ω1τ)=cos(0.0005τ),外部激励可表示为w1=A1cos(Ω1τ)=A1W,参数激励表示为w2=A2cos(Ω2τ)=A2fi(W)(i=1,2). 于是实际上可以将W看作一个慢变参数,此时这里的w1和w2仅是普通参数,而不再具有w1=A1cos(Ω1τ)和w2=A2cos(Ω2τ)的形式.此时称含慢变参数W 的系统(1)为广义自治系统.即整个系统(1)可视为快慢两个系统的耦合.快子系统为其中,当Ω1=0.0005,Ω2=0.002时,当Ω1=0.0005,Ω2=0.003时,慢子系统为W=cos(0.0005τ).为揭示快慢耦合系统复杂行为的产生机制,首先分析快子系统(2)的分岔行为.由于系统(1)为广义自治系统,其中的参数w1和w2此时已是普通参数,于是可以看作是一个自治系统[30].根据快慢分析法[28],系统(1)由快子系统(2)和慢子系统耦合而成,所以系统(2)也是一个自治系统.于是可以求出平衡点为:当x0>0时,平衡点可表示为其中x0满足当x0<0时,平衡点为其中x0满足平衡点的稳定性可通过其特征方程表征,表示为其中当参数满足时,平衡点EQ±是稳定的.当参数满足a4=0(a1>0,a1a2−a3>0,a3>0),即系统可能会发生fold分岔,导致不同平衡点之间的跳跃现象.根据系统可能会发生Hopf分岔的判定条件,具体到系统(2),三个判定条件列举如下: (I)分岔条件(II)非退化条件快子系统(2)可以改写为1=Jx+F(x),x∈R4,其中,J是雅可比矩阵,可以表示为其中,JT是雅可比矩阵 J 的转置矩阵,⟨·,·⟨是 R4中的标准内积.F(x)=O(∥x∥2)是一个光滑函数,在x=0附近,其Taylor展开为式中B(x,y)和C(x,y,z)是多重线性函数,在坐标下的分量为通过matcont软件可以验证其中(III)横截性条件讨论当Ω1=0.0005,Ω2=0.002时的情形,当Ω1=0.0005,Ω2=0.003时可类似讨论. 对特征方程(7)两边关于W求偏导,得将代入式(9)并令λ=iω,得整理式(10)并分离的实部,得将参数赋值后可以判定得出证明系统会出现Hopf分岔,平衡点可能会因Hopf分岔而失稳.3 数值模拟固定参数α1=8,α2=1,α3=1,ξ=0.7,µ=0.2,δ=−1,讨论当双频激励振幅及外激频率不变,参激频率改变的情况下,系统出现的不同周期簇发振荡模式和轨线与非光滑分界面接触后发生的特殊非光滑动力学行为.主要阐述:(1)Ω1=0.0005,Ω2=0.002;(2)Ω1=0.0005,Ω2=0.003.两种情形下系统周期簇发振荡的产生机制与非光滑行为演化分析.3.1 Ω1=0.0005,Ω2=0.002时簇发振荡机理分析固定振幅 A1=7,A2=3,取Ω1=0.0005,Ω2=0.002.通过数值模拟研究系统所可能发生的各种簇发振荡模式和非光滑演变行为.图1和图2分别给出了系统在(x1,y1)平面上的相图和x1的时间历程图.图1 Ω1=0.0005,Ω2=0.002时(x1,y1)平面上相图Fig.1 Phase portrait onthe(x1,y1)plane for Ω1=0.0005,Ω2=0.002图2 Ω1=0.0005,Ω2=0.002时 x1的时间历程图Fig.2 Time history of x1forΩ1=0.0005,Ω2=0.002如图1所示,根据非光滑分界面Σ,系统向量场被划分为两个光滑的子区域D+和D−,轨线在分界面Σ和子区域D+,D−中都表现出了丰富的非光滑动力学行为.轨线或在分界面发生滑动,或穿过分界面在两子区域D+和D−间来回往返,表现为大幅振荡和微幅振荡的交替出现,即系统在沉寂态和激发态之间来回转化,呈现为簇发振荡.为揭示系统周期簇发振荡的演化机制,我们给出了系统随慢变参数W变化的平衡曲线及分岔图,如图3所示.如平衡曲线及分岔图3中所示,系统的平衡曲线被4个超临界Hopf分岔点HB±1(W,x1)=(±1.0686,±0.4282),HB±2(W,x1)=(±0.2529,±0.4270)及曲线与分界面的2个交点N1(W,x1)=(−0.1467,0)和N2(W,x1)=(−0.1467,0)分成7部分.实线代表稳定的平衡曲线,虚线代表不稳定的平衡曲线.运用微分包含理论,引入辅助参数q,以F表示系统(1),于是系统(1)可改写为其中辅助参数q可表示为式中,ys,Ws分别表示当轨线接触到非光滑分界面时状态变量y和慢变参数W的值.由于非光滑分界面的非线性动力学特性,结合微分包含理论,系统的平衡曲线中出现了一段Σ-平衡点曲线EB0,如图3所示.在(W,x1)平面上的转换相图与平衡曲线及相关分岔图的叠加能更好地诠释系统周期簇发振荡机制,如图4和图5所示.可以发现,在一个周期的簇发振荡中,轨线出现了多个激发态和沉寂态,且轨线在不同激发态之间转迁时多次接触分界面,或发生滑动行为,或进入另一子区域,如此在两子区域D+和D−中多次往返并表现出特殊的振荡模式.图3 Ω1=0.0005,Ω2=0.002时平衡曲线及分岔图Fig.3 Equilibrium branches as well as the bifurcations fo rΩ1=0.0005,Ω2=0.002图4 Ω1=0.0005,Ω2=0.002时(W,x1)平面转换相图Fig.4 Transformed phase portrait on the(W,x1)plane forΩ1=0.0005,Ω2=0.002图5 Ω1=0.0005,Ω2=0.002时转换相图与平衡曲线的叠加图Fig.5 Overlap of equilibrium branches and transformed phase portrait on the(W,x1)forΩ1=0.0005,Ω2=0.002通过转换相图与平衡曲线及相关分岔图的叠加图5阐述系统周期簇发振荡机制.不失一般性,假设轨线从子区域D−中W取最小值W=−1处出发,之后轨线几乎严格沿焦点型稳定平衡曲线EB−2运动,表现为沉寂态QS1,当轨线穿越Hopf分岔点HB−2(W,x1)=(−0.2529,−0.4270)时,Hopf分岔出现,平衡点失稳,产生稳定的极限环LC.由于极限环LC在随着慢变参数W变化的过程中会与非光滑分界面有接触,因而受到非光滑因素的影响,轨线的振荡结构会发生明显的变化.为更好地展现轨线在光滑区域的振荡形式及接触到分界面后发生的簇发振荡行为.图6∼图9给出了因Hopf分岔产生的不同慢变参数情形下的稳定极限环的演变过程.当W=−0.2529时,超临界 Hopf分岔点HB−2(W,x1)=(−0.2529,−0.4270)出现,产生了围绕位于平衡线EB−3的不稳定焦点振荡的极限环LC.图6给出了对应于慢变参数W=−0.2529的极限环,可以发现,其在围绕平衡曲线HB−3逆时针振荡的过程中完全处于光滑区域D−,并未接触非光滑分界面Σ.随着慢变参数W的增大,极限环LC的振幅在光滑区域D−内逐渐增加.当慢变参数W增大到W=−0.2476时,极限环在P1(x1,y1)=(0,0.6847)点接触到非光滑分界面,然后沿向上箭头方向在分界面上开始滑动,经过一段时间滑动到点P2(x1,y1)=(0,0.9857)后,又沿向下箭头方向运动到点P3(x1,y1)=(0,1.6601),之后离开分界面Σ,即表现为从光滑区域D−进入分界面滑动一段时间之后,然后脱离分界面,后又再次返回光滑区域D−继续运行.所以,慢变参数W=−0.2476对应着Filippov型广义自治系统的同宿分岔.当慢变参数增加至W=−0.1650时,极限环LC从位于分界面上的P1(x1,y1)=(0,0.1066)点进入分界面后沿向上箭头方向滑动到P2(x1,y1)=(0,1.9943)点,之后立刻穿过分界面Σ进入光滑区域D+,然后继续在区域D+短暂运动后又于P3(x1,y1)=(0,2.1560)点返回到分界面,沿分界面按向下箭头方向继续滑动到位于分界面上的P4(x1,y1)=(0,0.5775)点,继而返回到区域D−继续运动.所以,慢变参数W=−0.1650对应着Filippov型广义自治系统的非常规分岔——多滑分岔[32].图9给出的是W=0时轨线呈现的一种对称的振荡模式.极限环仍然是在P1(x1,y1)=(0,−1.0336)点接触到分界面后沿向上箭头方向滑动到P2(x1,y1)=(0,1.0336)点,然后立刻穿过分界面Σ进入光滑区域D+,在区域D+内进行大幅振荡后于P3(x1,y1)=(0,0.6990)点再次进入分界面,继续按向下箭头方向滑动到P4(x1,y1)=(0,−0.6990)点,之后进入区域D−开始大幅振荡.在区域D+和D−内轨线表现为对称的簇发振荡.图6 W=−0.2529时的稳定极限环Fig.6 Stable limit c ycle with W=−0.2529图7 W=−0.2476时的稳定极限环Fig.7 Stable limit cycle with W=−0.2476图8 W=−0.1650时的稳定极限环Fig.8 Stable limit cycle with W=−0.1650图9 W=0时的稳定极限环Fig.9 Stable limit cycle with W=0W值随时间继续增大,轨线振荡幅值逐渐减小,当W增大到最大值W=1时,轨线收敛到平衡曲线EB+2.之后,W的值将开始逐渐减小,轨线几乎严格沿稳定的平衡曲线EB+2运动,表现为沉寂态 QS2,直到遇到Hopf分岔点HB+2(W,x1)=(0.2529,0.4270),再次出现 Hopf分岔,仍然产生稳定的极限环,呈现出与由HB−2(W,x1)=(0.2529,0.4270)产生的极限环LC在不同参数下的相似且对称的演化状态,此时轨线处于激发态.随着W值继续减小,轨线振荡幅值逐渐减小,当W减小到最小值W=−1时,轨线收敛到平衡曲线EB−2.至此,轨线完成一个周期的簇发振荡.3.2 Ω1=0.0005,Ω2=0.003时簇发振荡机理分析固定振幅A1=7,A2=3,取Ω1=0.0005,Ω2=0.003.通过数值模拟研究系统所可能发生的各种簇发振荡模式以及非光滑演变行为.图10和图11分别给出了系统在(x1,y1)平面的相图和x1的时间历程图.图10 Ω1=0.0005,Ω2=0.003时(x1,y1)平面上相图Fig.10 Phase portrait on the(x1,y1)plane for Ω1=0.0005,Ω2=0.003图11 Ω1=0.0005,Ω2=0.003时x1的时间历程图Fig.11 Time history of x1for Ω1=0.0005,Ω2=0.003为揭示系统周期簇发振荡的演化机制,我们仍然给出了系统随慢变参数W变化的平衡曲线及分岔图,在(W,x1)平面上的转换相图,在(W,x1)平面上的转换相图与平衡曲线的叠加图,如图12∼图14所示.同时图15∼图18给出了在(W,x1)平面上转换相图的局部放大图.如平衡曲线及分岔图12中所示,系统的平衡曲线被2个超临界Hopf分岔点HB±1(W,x1)=(±1.0285,±0.4282),2 个 fold 分岔点FB±1(W,x1)=(±0.1874,±0.3821)和曲线与分界面的 2个交点N1(W,x1)=(−0.1467,0)和 N2(W,x1)=(0.1467,0)分成7部分.实线代表稳定的平衡曲线,虚线代表不稳定的平衡曲线.对比Ω1:Ω2=1:4时,平衡曲线发生了多次曲折,对应极值点的个数也由2个变为6个.从(W,x1)平面上的转换相图与平衡曲线的叠加图14看出,在一个周期的簇发振荡中,轨线出现了2个激发态SP±i(i=1,2)和2个沉寂态QS±i(i=1,2).轨线在不同激发态之间转迁时会接触到分界面,沿分界面滑动之后,进入另一区域发生簇发振荡现象,并经一段时间之后又返回分界面,回到之前所在区域,如此在两子区域D+和D−中往返并表现为簇发振荡.图12 Ω1=0.0005,Ω2=0.003时平衡曲线及分岔图Fig.12 Equilibrium branches as well as the bifurcations forΩ1=0.0005,Ω2=0.003图13 Ω1=0.0005,Ω2=0.003时(W,x1)平面上转换相图Fig.13 Transformed phase portrait on the(W,x1)plane forΩ1=0.0005,Ω2=0.003图14 Ω1=0.0005,Ω2=0.003时转换相图与平衡曲线的叠加图Fig.14 Overlap of equilibrium branches and transformed phase portrait on the(W,x1)forΩ1=0.0005,Ω2=0.003图15 Ω1=0.0005,Ω2=0.003 时 (W,x1)平面上的转换相图的局部放大图1Fig.15 Locally enlarged part one of the transformed phase portrait onthe(W,x1)for Ω1=0.0005,Ω2=0.003图16 Ω1=0.0005,Ω2=0.003 时 (W,x1)平面上的转换相图的局部放大图2Fig.16 Locally enlarged part two of the transformed phase portrait onthe(W,x1)for Ω1=0.0005,Ω2=0.003不失一般性,假设轨线从子区域D−中W取最小值W=−1处出发,之后轨线几乎严格沿焦点型稳定平衡曲线EB−2运动,表现为沉寂态Q S−1,直到轨线抵达 fold分岔点FB−1(W,x1)=(0.1874,−0.3821),fold分岔出现导致轨线开始跳跃,使得轨线表现为激发态SP−1,在PS1(W,x1)=(0.1909,0)点 (如图 10)到达分界面,滑动至点PS2(W,x1)=(0.1918,0)后穿过分界面,到达区域D+后轨线继续大幅振荡,表现为激发态SP+1.随着W值的增大,振荡幅值逐渐减小,当W增大到最大值W=1时,轨线收敛到平衡曲线EB+2.随着时间的延长,W值将逐渐减小,轨线几乎严格沿稳定的平衡曲线EB+2运动,表现为沉寂态QS+1,直到轨线抵达FB+1(W,x1)=(−0.1874,0.3821),fold分岔再次发生,轨线开始跳跃,表现为激发态SP+2,在PS3(W,x1)=(−0.1909,0)点到达分界面,滑动至点PS4(W,x1)=(−0.1918,0)后穿过分界面.当轨线到达区域D−后,继续大幅振荡,表现为激发态SP−2.随着W取值的减小,振荡幅值也逐渐减小,当W减小到最小值W=−1时,轨线稳定到平衡曲线EB−2,表现为沉寂态QS−2.至此,轨线完成一个周期的非光滑簇发振荡.图17 Ω1=0.0005,Ω2=0.003 时 (W,x1)平面上的转换相图的局部放大图3Fig.17 Locally enlarged part three of the transformed phase portrait onthe(W,x1)for Ω1=0.0005,Ω2=0.003图18 Ω1=0.0005,Ω2=0.003 时 (W,x1)平面上的转换相图的局部放大图4Fig.18 Locally enlarged part four of the transformed phase portrait onthe(W,x1)for Ω1=0.0005,Ω2=0.0034 两种情形下平衡曲线的演化趋势观察两种情形下的平衡曲线图3和图12可以发现,虽然平衡曲线具有相似的结构,但随着参数激励频率的改变,平衡曲线发生曲折的次数有所增加,致使极值点个数也随之增多,相应簇发振荡的转换相图也变得复杂,而导致这一现象产生的原因是两激励的频率存在明显的量级差.以Ω1=0.0005,Ω2=0.002为例,当频率小的变量运动一个周期时,频率大的变量却已经运动了4个周期,而此两者的耦合恰好形成一个新周期.为描述平衡曲线极值点个数的变化,图19和图20给出了两种情形下极值点个数的变化趋势,其中,图19和图20中的黑色标识点分别对应图3和图12中的平衡曲线中的极值点.图19中的曲线对应的函数表达式分别为y1=32W3−16W和.图20中的曲线对应的函数表达式分别为y1=192W5−192W3+36W和图19 Ω1=0.0005,Ω2=0.002时极值点个数情况Fig.19 Variation of extreme points with Ω1=0.0005,Ω2=0.002图20 Ω1=0.0005,Ω2=0.003时极值点个数情况Fig.20 Variation of extreme points with Ω1=0.0005,Ω2=0.003如图 19和图 20所示,当Ω1=0.0005,Ω2=0.002时,平衡曲线的极值点个数为2,当Ω1=0.0005,Ω2=0.003时,极值点增加为6个.将图19和图20分别与图3和图12进行对比,发现图19和图20中黑色标识的极值点的个数分别与图3和图12所示的平衡曲线中的极值点个数相一致,并且各极值点坐标也与平衡曲线所示的相吻合.当Ω1=0.0005,Ω2=0.002时,对应极值点的W的坐标是W= ±0.7435,当Ω1=0.0005,Ω2=0.003时,对应极值点的W 的坐标是W±1=±0.1756,W±2=±0.4547.5 结论对于含双频激励的Filippov系统进行非光滑簇发振荡机理分析时,引入周期变化的双频激励项,当两激励频率之间存在共振关系,且周期激励频率远小于系统的固有频率时,将两周期激励项转换为单一周期激励项的函数表达式,并将该单一周期激励项视为慢变参数,利用快慢分析法,在固定两激励振幅的取值,保持外激频率不变,改变参激频率的情形下,得到了快子系统随慢变参数变化的平衡曲线及其分岔行为的演化机制.结合转换相图和不同慢变参数情形下的稳定极限环的演变过程,发现随着慢变参数的改变,轨线会出现同宿分岔、多滑分岔及多种复杂振荡模式,而参激频率的改变,使得系统的分岔模式增加,系统的簇发振荡机制变得复杂,从而非光滑动力学行为特性也更明显.通过对比两种不同参激频率下的平衡曲线及分岔图,发现虽然系统有相似的平衡曲线结构,却因参激频率取值的不同,致使平衡曲线发生曲折的次数增加,极值点个数也由Ω1=0.0005,Ω2=0.002时的2个变为Ω1=0.0005,Ω2=0.003时的6个,数值模拟也很好地验证了这一结果.必须指出的是,本文讨论的是保持外激频率Ω1=0.0005不变,改变参激频率Ω2的值时系统产生的簇发振荡及非光滑行为特性.若固定Ω2不变,改变Ω1的值,系统可能会有不同的非线性动力学行为,我们将另外讨论这种情形.参考文献【相关文献】1 秦志英,李群宏.一类非光滑映射的边界碰撞分岔.力学学报,2013,45(1):25-29(Qin Zhiying,Li Qunhong.Border-collision bifurcation in a kind of non-smooth maps.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2013,45(1):25-29(in Chinese))2 高雪,陈前,刘先斌.一类分段光滑隔振系统的非线性动力学设计方法.力学学报,2016,48(1):192-200(Gao Xue,Chen Qian,Liu Xianbin.Nonlinear dynamics design for piecewise smooth vibration isolation system.Chinese Journal of Theoretical and 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随机噪声激励下Van Der Pol-Duffing振子模型的稳定性及分岔分析随机噪声激励下Van Der Pol-Duffing振子模型的稳定性及分岔分析摘要：本文研究了随机噪声激励下Van Der Pol-Duffing振子模型的稳定性及分岔现象。

我们首先介绍了Van DerPol-Duffing振子模型及其常微分方程描述，然后讨论了在无噪声激励下的稳定性分析，进一步引入随机噪声激励条件下的稳定性问题。

接着，我们利用数值仿真方法分析了系统参数对稳定性的影响，并探讨了不同参数值下的分岔现象。

研究结果表明，随机噪声激励下的Van Der Pol-Duffing振子模型可能出现新的稳定态和周期解，并且表现出分岔现象。

关键词：Van Der Pol-Duffing振子模型、随机噪声激励、稳定性、分岔分析1. 引言Van Der Pol-Duffing振子模型是描述非线性振动系统的常用数学模型之一。

在许多实际应用中，振动系统往往受到随机噪声的干扰，因此研究随机噪声激励下的系统稳定性和分岔分析具有重要意义。

本文旨在通过数值仿真方法，对随机噪声激励下的Van Der Pol-Duffing振子模型进行稳定性和分岔分析，进一步揭示系统行为的规律。

2. 模型描述及无噪声激励下的稳定性分析Van Der Pol-Duffing振子模型可以基于如下常微分方程进行描述：$$ \frac{{d^2x}}{{dt^2}} - (\alpha - \betax^2)\frac{{dx}}{{dt}} + x = \gamma \cos(\omega t) $$其中，$\alpha$、$\beta$、$\gamma$和$\omega$分别表示系统的非线性度、振荡特性、外力激励幅度和激励频率。

在无噪声激励下，我们可以通过稳定性分析来探究系统的动力学性质。

通过线性化方法，我们可以将Van Der Pol-Duffing振子模型近似为如下形式：$$ \frac{{d^2x}}{{dt^2}} + \alpha \frac{{dx}}{{dt}} + x = 0 $$通过求解上述线性方程的特征值和特征向量，我们可以得到系统稳定性的条件。