高考数学新课标定积分应用例题、习题及详解

定积分典型例题20例答案例1 求33322321lim(2)n n n n n®¥+++．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．找出被积函数与积分上下限．解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x nD =，然后把2111n n n =×的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim (2)n n n n n ®¥+++=333112lim ()n n n n nn ®¥+++=13034xdx =ò．例2 2202x x dx -ò=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -ò等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ³) 与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -ò=2p． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t pp-££），则，则222x x dx -ò=2221sin cos t tdt pp --ò=22021sin cos t tdt p-ò=2202cos tdt pò=2p例3 （1）若22()x t x f x e dt -=ò，则()f x ¢=___；（2）若0()()xf x xf t dt =ò，求()f x ¢=___．分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ¢¢=-ò．解 （1）()f x ¢=422x x xee---；（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =ò，则可得可得()f x ¢=()()xf t dt xf x +ò．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=ò，则(26)f =_________．解 对等式310()x f t dt x -=ò两边关于x 求导得求导得32(1)31f x x -×=，故321(1)3f x x-=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例5 函数11()(3)(0)xF x dt x t =->ò的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x ¢=-，令()0F x ¢<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．为所求． 例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-ò的极值点．的极值点． 解 由题意先求驻点．于是()f x ¢=(1)arctan x x -．令()f x ¢=0，得1x =，0x =．列表如下：如下： 故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．为极小值点． 例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=ò，[1,1]x Î-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n ®¥．分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ¢¢=．解 由已知条件得由已知条件得2(0)(0)0tf g e dt -===ò，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=¢¢===-．故所求切线方程为y x =．而．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n®¥®¥-¢=×==-．例8 求 22sin lim(sin )x x x tdt t t t dt®-òò；分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则．型未定式，可用洛必达法则． 解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt ®-òò=2202(sin )lim(1)(sin )x x x x x x ®-××-=220()(2)lim sin x x x x ®-×-=304(2)lim 1cos x x x ®-×- =2012(2)lim sin x x x®-×=0．注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．x (,0)-¥(0,1)1 (1,)+¥()f x ¢-＋－例9 试求正数a 与b ，使等式2021lim1sin xx t dt x b x a t®=-+ò成立．成立．分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则． 解 20201lim sin x x t dt x b x a t ®-+ò=220lim 1cos x x a x b x ®+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x ®®×-+201lim 11cos x x b xa ®==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x ®-=，得1b =．又由．又由 2012lim11cos x x xaa®==-，得4a =．即4a =，1b =为所求．为所求． 例10 设sin 20()sin xf x t dt =ò，34()g x x x =+，则当0x ®时，()f x 是()g x 的（的（）． A ．等价无穷小．．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小．．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小．．高阶无穷小．D ．低阶无穷小． 解法1 由于由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x x g x x x ®®×=+ 2200cos sin(sin )lim lim 34x x x x x x ®®=×+ 22011lim 33x x x ®==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到的幂级数，再逐项积分，得到sin223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+ò，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f xg x x x x ®®®-+-+===++．例11 计算21||x dx -ò．分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -ò＝0210()x dx xdx --+òò＝220210[][]22x x --+＝52．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时在使用牛顿－莱布尼兹公式时,,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=ò，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界积区间内无界. .例12 设()f x 是连续函数，且1()3()f x x f t dt =+ò，则()________f x =．分析 本题只需要注意到定积分()baf x dx ò是常数（,a b 为常数）．解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ò是常数，记1()f t dt a =ò，则，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==òò．所以所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以，所以 3()4f x x =-．例13 计算2112211x xdx x-++-ò． 分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解2112211x x dx x -++-ò=211112221111xxdx dx x x--++-+-òò．由于22211x x +-是偶函数，而211xx +-是奇函数，有112011x dx x-=+-ò, 于是于是 2112211x xdx x-++-ò=212411x dx x+-ò=2212(11)4x x dx x--ò=11200441dx x dx --òò由定积分的几何意义可知12014x dx p-=ò, 故2111022444411x xdx dx x p p -+=-×=-+-òò．例14 计算22()x d tf x t dt dx -ò，其中()f x 连续．连续． 分析 要求积分上限函数的导数，要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，因此不能直接求导，必须先换必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．，然后再求导．解 由于由于220()xtf x t dt -ò=22201()2xf x t dt -ò．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以，所以22()x tf x t dt -ò=201()()2xf u du -ò=21()2x f u du ò，故220()x d tf x t dt dx -ò=201[()]2x d f u du dx ò=21()22f x x ×=2()xf x ． 错误解答 22()x d tf x t dt dx -ò22()(0)xf x x xf =-=．错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xa d x f t dt f x dx¢F ==ò中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．导，而应先换元． 例15 计算3sin x xdx pò．分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法． 解 3s i n x x d x pò3(c o s )x d x p=-ò330[(c o s )](co s )x x x d x pp=×---ò 30cos 6xdx pp=-+ò326p=-． 例16 计算1200ln(1)(3)x dx x +-ò． 分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-ò=101ln(1)()3x d x +-ò=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-×--+ò =101111ln 2()2413dx x x-++-ò 11ln 2ln324=-．例17 计算20sin x e xdx pò．分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法． 解 由于2sin xe xdx pò20sin xxde p=ò220[sin ]cos xxe x e xdx p p=-ò220cos xe e xdx p p=-ò，（1） 而2cos xe xdx pò20cos xxde p=ò2200[cos ](sin )xxe x e x dx p p=-×-ò 2sin 1xe xdx p=-ò， （2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式可得）式可得2sin xe xdx pò220[sin 1]xe e xdx p p=--ò,故20sin xe xdx pò21(1)2e p=+．例18 计算10arcsin x xdx ò．分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解10arcsin x xdx ò210arcsin ()2x xd =ò221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =×-ò 21021421x dx x p=--ò． （1） 令sin x t =，则，则2121x dx x-ò2202sin sin 1sin t d t tp =-ò220sin cos cos t tdt tp=×ò220sin tdt p=ò 201cos 22t dt p-==ò20sin 2[]24t t p-4p =． （2） 将（将（22）式代入（）式代入（11）式中得）式中得1arcsin x xdx =ò8p ．例19设()f x [0,]p 上具有二阶连续导数，()3f p ¢=且0[()()]cos 2f x f x xdx p¢¢+=ò，求(0)f ¢．分析分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于0[()()]cos f x f x xdx p ¢¢+ò00()sin cos ()f x d x xdf x p p¢=+òò[]0000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx pppp¢¢¢=-++òò()(0)2f f p ¢¢=--=． 故 (0)f ¢=2()235f p ¢--=--=-．例20 计算2043dx x x +¥++ò． 分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 2043dx x x +¥++ò=20lim 43t t dx x x ®+¥++ò=0111lim ()213t t dx x x ®+¥-++ò =011lim [ln ]23t t x x ®+¥++=111lim (ln ln )233t t t ®+¥+-+ =ln 32．。

定积分的几何应用例题定积分，又称定积分法，是一种求取特定函数积分的方法，它是集概率论、统计学和运筹学于一体，是微分几何学中的重要内容。

它在微分几何中一般用来求取曲面积、表面积、空间积分、距离长度等。

下面将介绍几个典型的定积分的几何应用例题，以便读者更好的理解定积分的几何应用。

例题一：求抛物线y=x2的截面积，其中抛物线两端上的y值分别为a和b。

答：这里的抛物线的截面积S=∫a b x2dx。

因此，将原积分变形可得S=(1/3)∫a b (x3+a3-b3)dx，于是，将积分变量替换，此时，S=(1/3)[(b3-a3)/2]。

例题二：求圆柱体的体积，其中圆柱体的底面半径为a，高度为h。

答：首先，将圆柱体拆成无穷多个小圆柱体，那么，圆柱体的体积V=∫0 hπa2dh。

将原积分变形可得V=πa2∫0 hdh=(πa2h2)/2，可见，圆柱体的体积大小取决于高度h和底面半径a的平方乘积。

例题三：求圆锥的表面积，其中圆锥的底面半径为a，高度为h，底面圆心角为2α。

答：此时，圆锥的表面积S=∫0 hΠa2sindαdh，将原积分变形可得S=Πa2∫0 hsindαdh=(2Πahcosα)/2，可以得出，圆锥的表面积大小取决于高度h、底面半径a以及底面圆心角2α因此，定积分在几何学中具有重要意义，可以求出各类几何体的表面积、体积等，解决实际问题。

上面提供了典型的定积分的几何应用例题，可以让读者对定积分的几何应用有一个深入的理解。

定积分的计算方法广泛，不仅可以采用数值积分法，还可以采用把积分分解为若干小段然后求和的方法。

同时，它还可以利用积分变量的变换，把定积分变为求解较为容易的积分，可以较好地解决实际问题。

总之，定积分是一门极其重要的数学科学，在几何学和实际问题中都有重要的应用，使用正确的计算方法，可以较好地解决实际问题。

高数定积分例题及详解(一)高数定积分例题及详解1. 问题描述假设有一个曲线y = f(x)，我们想要求解由该曲线与x 轴所围成的面积。

那么我们可以使用定积分来解决这个问题。

2. 定积分的含义定积分是微积分中的一个重要概念，它表示曲线与坐标轴之间的面积。

我们可以用∫f b a (x )dx 来表示一个函数f(x)在[a, b]区间上的定积分。

3. 定积分的计算方法计算定积分的一种常用方法是使用原函数的不定积分。

假设F(x)是f(x)的一个原函数，那么根据牛顿-莱布尼兹公式，我们可以得到∫f b a (x )dx =F (b )−F (a )。

4. 例题1假设有一个函数f(x) = x^2，在区间[0, 3]上求该函数与x 轴所围成的面积。

解答： 首先，我们可以计算出函数f(x)的原函数F(x) = 1/3x^3。

然后，根据牛顿-莱布尼兹公式，我们可以得到∫x 230dx =13x 3|03。

代入数值后，我们得到∫x 230dx =13(33−03)=273=9。

因此，函数f(x)在区间[0, 3]上与x 轴所围成的面积为9。

5. 例题2假设有一个函数f(x) = 2x ，在区间[0, 5]上求该函数与x 轴所围成的面积。

解答： 首先，我们可以计算出函数f(x)的原函数F(x) = x^2。

然后，根据牛顿-莱布尼兹公式，我们可以得到∫25xdx =x 2|05。

代入数值后，我们得到∫250xdx =52−02=25。

因此，函数f(x)在区间[0, 5]上与x 轴所围成的面积为25。

6. 总结定积分是一种求解曲线与坐标轴之间面积的方法。

通过计算函数的原函数值，我们可以轻松地求解定积分。

在实际问题中，定积分可以帮助我们计算曲线的面积、质量、总和等。

掌握了定积分的计算方法，我们可以更好地理解函数与曲线之间的关系。

7. 例题3假设有一个函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π/2]上求该函数与x 轴所围成的面积。

《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =ln ln by ae dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二．计算题：1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。

解：（1）确定积分变量为y ，解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。

（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-21y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =⎰-12[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。

解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。

抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32，3 ）。

故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与横轴所围成的图形的面积。

【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用4未命名一、单选题1．如图所示,在边长为1的正方形OABC 内任取一点P,用M 表示事件“点P 恰好取自曲线2y x =与直线1y =及y 轴所围成的曲边梯形内”,N 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”,则P(N | M)等于( )A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率的公式得到()()P(N | M)=P MN P M ,由微积分定理分别计算得到()()120=.1x S P MN S x x d =-⎰阴影阴影，，()()120=1-.1x SP M S x d =⎰曲边梯形曲边梯形，两式作比即可得到结果. 【详解】根据条件概率的公式得到()()P(N | M)=P MN P M()P MN 表示落在阴影部分的概率，()()121=.16x S P MN S x x d =-=⎰阴影阴影， ()()1202=1-.13x S P M S x d ==⎰曲边梯形曲边梯形， ()()116P(N | M)=.243P MN P M == 故答案为A.【点睛】这个题目考查了几何概型的应用以及条件概率的公式，涉及微积分定理的应用，属于中档题；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的． 2．已知113()2eem dx x -+=⎰，则m 的值是（ ） A ．14e e- B ．12C ．12-D ．1-【答案】C 【解析】 【分析】先求定积分，再解方程得结果. 【详解】因为113()(ln )112ee e m dx x mx em m x-+=+=+-=⎰， 所以12m =-，选C. 【点睛】本题考查定积分，考查基本分析求解能力，属基础题..3．由曲线 ， 以及 所围成的图形的面积等于（ ）. A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】分析：先求出曲线 的交点，得到积分下限，利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可.详解：曲线 的交点坐标为 ，由曲线 以及 围成的图形的面积，就是，故选D.点睛：本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于 轴、曲线 以及直线 之间的曲边梯形面积的代数和，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.4．如图，矩形中曲线的方程分别是，.，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先由微积分基本定理，计算出阴影部分的面积，再求出矩形的面积，由几何概型的概率计算公式，即可求出结果.【详解】由题意可得，当时，由可得；所以，阴影又矩形，所以在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为. 故选B【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式以及微积分基本定理即可，属于常考题型.5．如图，在矩形中的曲线是，的一部分，点，，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】利用定积分求出阴影部分的面积再与矩形ABCD 面积之比即可得出答案。

高考定积分应用常见题型大全含答案一．选择题共21小题1．2012福建如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率 CA．B．C．D．解答：解：根据题意,正方形OABC的面积为1×1=1,而阴影部分由函数y=x与y=围成,其面积为∫01﹣xdx=﹣|01=, 则正方形OABC中任取一点P,点P 取自阴影部分的概率为=；2．2010山东由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为 AA．B．C．D．解答：解：由题意得,两曲线的交点坐标是1,1,0,0故积分区间是0,1 所求封闭图形的面积为∫01x2﹣x3dx═,3．设fx=,函数图象与x轴围成封闭区域的面积为A．B．C．D．解答：根据定积分,得所围成的封闭区域的面积S=故选C4．定积分的值为A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln2 解答：解：=x2+lnx|12=22+ln2﹣12+ln1=3+ln2 故选B．5．如图所示,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图阴影部分,其面积是A．1B．C．D．解答：解：联立得,解得或,设曲线与直线围成的面积为S, 则S=∫01﹣x2dx=故选：C6．=A．πB．2C．﹣πD．4解答：解：∵ x2++sinx′=x+cosx,∴x+cosxdx= x2+sinx=2．故答案为：B7．若a=,b=,则a与b的关系是A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0解答：解：∵a==﹣cosx=﹣cos2﹣﹣cos=﹣cos2≈﹣°=°, b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈°,∴b＞a．故选A．8．的值是A．B．C．D．解答：解；积分所表示的几何意义是以1,0为圆心,1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积,故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．即=﹣=﹣=故选A 9．若fx=e为自然对数的底数,则=A．+e2﹣e B．+e C．﹣e2+e D．﹣+e2﹣e解答：解：===故选C．10．已知fx=2﹣|x|,则A．3B．4C．D．解答：解：由题意,=+=2﹣+4﹣2=故选C．11．设fx=3﹣|x﹣1|,则∫﹣22fxdx=A．7B．8C．D．解答：解：∫﹣22fxdx=∫﹣223﹣|x﹣1|dx=∫﹣212+xdx+∫124﹣xdx=2x+x2|﹣21+ 4x﹣x2|12=7 故选A．12．积分=A．B．C．πa2D．2πa2解答：解：根据定积分的几何意义,则表示圆心在原点,半径为3的圆的上半圆的面积,故==．故选B．13．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为A．1/2 B．1C．2D．3/2解答：解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为=﹣|01+sinx=+1=故选D．14．由函数y=cosx0≤x≤2π的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是A．4B．C．D．2π解答：解：由函数y=cosx0≤x≤2π的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积, 就是：∫01﹣cosxdx=x﹣sinx|0=．故选B．15．曲线y=x3在点1,1处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为A．B．C．D．解答：解：∵y=x3,∴y'=3x2,当x=1时,y'=3得切线的斜率为3,所以k=3；所以曲线在点1,1处的切线方程为：y﹣1=3×x﹣1,即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=,∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：S=×1﹣×1=故选B．16．图中,阴影部分的面积是A．16 B．18 C．20 D．22解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为2,﹣2,8,4．过2,﹣2作x轴的垂线把阴影部分分为S1,S2两部分,分别求出它们的面积A1,A2：A1=∫02dx=2 dx=,A2=∫28dx=所以阴影部分的面积A=A1+A2==18 故选B．17．如图中阴影部分的面积是A．B．C．D．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为﹣3,﹣6和1,2抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点﹣,0设阴影部分面积为s,则==所以阴影部分的面积为, 故选C．18．曲线与坐标轴围成的面积是A．B．C．D．解答：解：先根据题意画出图形,得到积分上限为,积分下限为0曲线与坐标轴围成的面积是：S=∫0﹣dx+∫dx=∴围成的面积是故选D．19．如图,点P3a,a是反比例函y=k＞0与⊙O的一个交点,图中阴影部分的面积为10π,则反比例函数的解析式为A．y=B．y=C．y=D．y=解答：解：设圆的半径是r,根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2=10π解得：r=2．∵点P3a,a是反比例函y=k＞0与⊙O的一个交点．∴3a2=k且=r∴a2=×22=4．∴k=3×4=12,则反比例函数的解析式是：y=．故选C．。

高考数学定积分应用选择题1. 某物体在时间\( t \)内所通过的路程S与时间\( t \)的关系为\( S = t^2 - 3t + 2 \)，则物体在时间区间\( [0,2] \)内所通过的路程为多少？2. 函数\( f(x) = \ln(x) \)在区间\( [1, e] \)上的定积分，可以表示为多少？3. 函数\( g(x) = x^2 - 4x + 3 \)在区间\( [-1, 3] \)上的定积分，可以表示为多少？4. 函数\( h(x) = \sqrt{x} \)在区间\( [0, 4] \)上的定积分，可以表示为多少？5. 函数\( f(x) = e^x \)在区间\( [0, 1] \)上的定积分，可以表示为多少？6. 函数\( g(x) = \sin(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？7. 函数\( h(x) = \cos(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？8. 函数\( f(x) = \ln(x) \)在区间\( [1, e] \)上的定积分，可以表示为多少？9. 函数\( g(x) = x^2 - 4x + 3 \)在区间\( [-1, 3] \)上的定积分，可以表示为多少？10. 函数\( h(x) = \sqrt{x} \)在区间\( [0, 4] \)上的定积分，可以表示为多少？11. 函数\( f(x) = e^x \)在区间\( [0, 1] \)上的定积分，可以表示为多少？12. 函数\( g(x) = \sin(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？13. 函数\( h(x) = \cos(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？14. 函数\( f(x) = \ln(x) \)在区间\( [1, e] \)上的定积分，可以表示为多少？15. 函数\( g(x) = x^2 - 4x + 3 \)在区间\( [-1, 3] \)上的定积分，可以表示为多少？16. 函数\( h(x) = \sqrt{x} \)在区间\( [0, 4] \)上的定积分，可以表示为多少？17. 函数\( f(x) = e^x \)在区间\( [0, 1] \)上的定积分，可以表示为多少？18. 函数\( g(x) = \sin(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？19. 函数\( h(x) = \cos(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？20. 函数\( f(x) = \ln(x) \)在区间\( [1, e] \)上的定积分，可以表示为多少？21. 函数\( g(x) = x^2 - 4x + 3 \)在区间\( [-1, 3] \)上的定积分，可以表示为多少？22. 函数\( h(x) = \sqrt{x} \)在区间\( [0, 4] \)上的定积分，可以表示为多少？23. 函数\( f(x) = e^x \)在区间\( [0, 1] \)上的定积分，可以表示为多少？24. 函数\( g(x) = \sin(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？25. 函数\( h(x) = \cos(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？26. 函数\( f(x) = \ln(x) \)在区间\( [1, e] \)上的定积分，可以表示为多少？27. 函数\( g(x) = x^2 - 4x + 3 \)在区间\( [-1, 3] \)上的定积分，可以表示为多少？28. 函数\( h(x) = \sqrt{x} \)在区间\( [0, 4] \)上的定积分，可以表示为多少？29. 函数\( f(x) = e^x \)在区间\( [0, 1] \)上的定积分，可以表示为多少？30. 函数\( g(x) = \sin(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？31. 函数\( h(x) = \cos(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？32. 函数\( f(x) = \ln(x) \)在区间\( [1, e] \)上的定积分，可以表示为多少？33. 函数\( g(x) = x^2 - 4x + 3 \)在区间\( [-1, 3] \)上的定积分，可以表示为多少？34. 函数\( h(x) = \sqrt{x} \)在区间\( [0, 4] \)上的定积分，可以表示为多少？35. 函数\( f(x) = e^x \)在区间\( [0, 1] \)上的定积分，可以表示为多少？36. 函数\( g(x) = \sin(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？37. 函数\( h(x) = \cos(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？38. 函数\( f(x) = \ln(x) \)在区间\( [1, e] \)上的定积分，可以表示为多少？39. 函数\( g(x) = x^2 - 4x + 3 \)在区间\( [-1, 3] \)上的定积分，可以表示为多少？40. 函数\( h(x) = \sqrt{x} \)在区间\( [0, 4] \)上的定积分，可以表示为多少？41. 函数\( f(x) = e^x \)在区间\( [0, 1] \)上的定积分，可以表示为多少？42. 函数\( g(x) = \sin(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？43. 函数\( h(x) = \cos(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？44. 函数\( f(x) = \ln(x) \)在区间\( [1, e] \)上的定积分，可以表示为多少？45. 函数\( g(x) = x^2 - 4x + 3 \)在区间\( [-1, 3] \)上的定积分，可以表示为多少？46. 函数\( h(x) = \sqrt{x} \)在区间\( [0, 4] \)上的定积分，可以表示为多少？47. 函数\( f(x) = e^x \)在区间\( [0, 1] \)上的定积分，可以表示为多少？48. 函数\( g(x) = \sin(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？49. 函数\( h(x) = \cos(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的定积分，可以表示为多少？50. 函数\( f(x) = \ln(x) \)在区间\( [1, e] \)上的定积分，可以表示为多少？。

高考定积分应用常见题型大全（含答案）一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）A．B．C．D．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln25．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A．1B．C．D．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．47．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）A．2B．4C．5D．8 8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0 10．的值是（）A．B．C．D．11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.513．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5 14．积分=（）A．B．C．πa2D．2πa215．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2A．4B．C．D．2π17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．2219．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=高考定积分应用常见题型大全（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积．解答：解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选C点评：本题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题．解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln2考点：定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．解答：解：=（x2+lnx）|12=（22+ln2）﹣（12+ln1）=3+ln2故选B．点评：本题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于基础题．5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）考点：定积分；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=故选：C点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．4考点：微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于F（x）=x2+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f（x）dx=F（x）|a b公式即可求出值．解答：解：∵（x2++sinx）′=x+cosx，∴（x+cosx）dx=（x2+sinx）=2．故答案为：2．点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题．7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）考点：定积分的简单应用．分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解．解答：解：由图可知[﹣2，0）上f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣2，0）上单调递减，（0，4]上f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，4]上单调递增，故在[﹣2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（﹣2）=1，∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）⇒表示的平面区域如图所示：故选B．点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形结合思想应用．8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x或y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可．解答：解：∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图∵当0＜x＜1时，e x x＞e x，故有：∫01e x dx＞∫01e x dx点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°．解答：解：∵a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈﹣cos114.6°=sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°，∴b＞a．故选A．点评：本题考查定积分的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．的值是（）A．B．C．D．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积即可．解答：解；积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．故答案选A点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论．解答：解：===故选C．点评：本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分．12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题意，，由此可求定积分的值．解答：解：由题意，=+=2﹣+4﹣2=3.5故选C．点评：本题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和．13．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx，将∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx转化成∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．解答：解：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx=∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx=（2x+x2）|﹣21+（4x﹣x2）|12=7 故选A．点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．积分=（）考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆．解答：解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，故==．故选B．点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数f（x）的积分，求出所求即可．解答：解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为=（﹣）|01+sinx=+1=故选D．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定积分的值，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要．16．由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是（）考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：由题意可知函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求∫0（1﹣cosx）dx即可．然后根据积分的运算公式进行求解即可．解答：解：由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积，就是：∫0（1﹣cosx）dx=（x﹣sinx）|0=．故选B．点评：本题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分．17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．解答：解：∵y=x3，∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：S=×（1﹣）×1=故选B．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．22考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积．解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2：A1=∫02[]dx=2 dx=，A2=∫28[]dx=所以阴影部分的面积A=A1+A2==18故选B．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力．19．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==所以阴影部分的面积为，故选C．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为0曲线与坐标轴围成的面积是：S=∫0（﹣）dx+∫dx=∴围成的面积是故选D．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．解答：解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2=10π解得：r=2．∵点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点．∴3a2=k且=r∴a2=×（2）2=4．∴k=3×4=12，则反比例函数的解析式是：y=．故选C．点评：本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．。