造血系统的下临界Hopf分岔

一类具时滞的血细胞模型的稳定性和Hopf分支分析血细胞在哺乳动物体内起着非常重要的作用。

因此,动物及人体系统必须小心管理血细胞生产过程。

正常的动物及人体内的血细胞不断地更新,同时各种血细胞的数量基本不变,这是由血细胞生成、释放、存活、清除或死亡等一系列的动态平衡来保持的。

一旦这种平衡遭到破坏,则可能出现各种各样的血液系统疾病。

体内成熟血细胞数量出现变化,往往预示着某些疾病的发生。

建立和研究血细胞数学模型,有助于人们了解体内血细胞成熟等内在机制和对其行为进行预测。

本文研究了一类具有时滞的血细胞模型,该模型描述了众所周知的导致血细胞产生的生理过程。

对模型进行动力性质的研究,有助于人们了解血细胞生成的过程和解释某些血液疾病的发生原因,本文的主要工作是从稳定性和分支角度研究了这类具有时滞的血细胞模型,可以得出成熟血细胞数量稳定的充分条件,以
及当模型中的某些参数发生变化时,血细胞的数量出现周期性变化。

首先,研究了系统正平衡点的存在性,并通过研究特征方程根的分布情况,给出了系统正平衡点渐近稳定性的充分条件以及证明了Hopf分支的存在性;然后,通过应用中心流形定理和规范型理论,研究了Hopf分支的性质,给出了判断Hopf 分支方向和分支周期解的稳定性的计算公式。

最后,给出模型的一些具体参数,
并使用Matlab软件进行数值模拟。

鞍点分岔 、跨临界分岔、叉形分岔都是静态分差也都是余维一分岔。

霍普夫分岔是一种非常特殊的分岔，它是四种余维一分岔里仅有的一种二维分岔，而且霍普夫分岔不属于静态分岔，而是动态分岔的一种。

考虑单参数系统),(μx f x =其中R R x n ∈∈μ,。

设0),(0=μx f ，及对一切μ，),(0μx 都是平衡点，且当0μμ=时， ),(00μx f D x 有一对纯虚共轭特征值，而其他n-2个特征值有非零实部，则),(00μx 是非双曲平衡点，故结构不稳定。

由中心定理知，当0μμ=时，系统在平衡点有二维中心流行，因为可以利用中心流行方法把n 维系统的分岔问题化为二维系统的分岔问题去讨论。

不是一般性，取)0,0(),(00=μx 。

设经由中心流行方法化简得到的二维系统为将其泰勒展开得R R x t o h x f x f x A x ∈∈+++=μμ,,..)()()(232其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00)0(,)()(),(,21ωωμωμωμμμμA d c c d A x f D x x x xRR x x f x ∈∈=μμ,),,(2d c ,分别为雅可比矩阵),(μx f D x 的特征值)()()(μβμαμλi ±=的虚部和实部在（0,0）点的导数值，即)0(),0(αβ'='=d c 。

霍普夫分岔定理 系统),(μx f x= 满足： （1）),0(μf ，且（0,0）为系统的非双曲平衡点；（2）),0()(μμf D A x =在0=μ附近有一对复特征值)()(μβμαi ±。

例 考虑van der Pol 系统0)(202=+--x x x x ωμ 的分岔情况，式中R R x ∈∈μ,2解：令y x= ，则原系统变为 ⎩⎨⎧-+-==y x x y y x )(220μω 再令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x z ，则有 ()μμω,)(220z f y x x y y x z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 容易验证R f ∈∀=μμ,0),0(且此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==μωμμ2000),0()(f D A x,)(,)(32032211222121313032032211222121313032202211121202202211121202⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=x b x x b x x b x b x a x x a x x a x a x f x b x x b x b x a x x a x a x f当且仅当02ωμ<时，)(μA 有一对共轭特征值()()()μβμαμωμμλi i +=-±=242202,1 故有()()81,021)0(,00,0010=>='=>==a d αωβα 由于1a 与d 异号，故有超临界霍普夫分岔发生。

机翼颤振的 Hopf 分岔分析与控制李鹏松;盛桂全;孟永永;刘琦【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2015(000)004【摘要】We considered a two-variable nonlinear system,namely,the flutter of airfoil.The type of Hopf bifurcation and the stability of periodic solution were analyzed with the method of multiple scales.The nonlinear time delay controller was designed to restrain the flutter caused by Hopf bifurcation.Thus the nonlinear control gain can be determined to transform subcritical Hopf bifurcation into supercritical one and transform supercritical Hopf bifurcation into steady points.The results of the theory analysis and numerical simulation show that the designed controller is valid.%考虑二元非线性机翼颤振系统，利用多尺度法研究系统的 Hopf 分岔类型和周期解的稳定性。

设计非线性时滞控制器抑制 Hopf 分岔引起的颤振，将原系统的亚临界 Hopf 分岔变为超临界 Hopf 分岔，将原系统的超临界 Hopf 分岔控制为稳定。

理论分析和数值模拟结果验证了所给控制方法的有效性。

【总页数】8页(P647-654)【作者】李鹏松;盛桂全;孟永永;刘琦【作者单位】东北电力大学理学院，吉林吉林 132012;东北电力大学理学院，吉林吉林 132012;东北电力大学理学院，吉林吉林 132012;东北电力大学理学院，吉林吉林 132012【正文语种】中文【中图分类】O193【相关文献】1.低速气流中二元叶片颤振数值模拟与Hopf分岔分析 [J], 孙旭;张家忠;秦国良;雷鹏飞2.再生型颤振系统的 Hopf 分岔分析与控制 [J], 李鹏松;盛桂全;孟永永3.具有立方非线性机翼颤振的局部分岔 [J], 张琪昌;刘海英;任爱娣4.二元机翼极限环颤振复杂分岔 [J], 吴志强;张建伟5.机翼颤振的随机Hopf分岔研究 [J], 王洪礼;许佳;葛根因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类具有时滞的广义造血模型的Hopf分支
张俊丽;陈斯养
【期刊名称】《云南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(030)006
【摘要】研究了一类具有离散时滞和干扰项的广义造血模型的稳定性及Hopf分支.首先利用函数的单调性,证明了模型正平衡态的存在唯一性;然后利用分支理论及周期函数正交性等方法给出了模型Hopf分支存在的充分条件,并得到了分支周期解的近似解析表达式和判断周期稳定性的计算公式;最后通过实例验证了理论分析和数值计算的一致性,并运用Matlab绘制了造血模型数值解的拟合图.
【总页数】6页(P34-38,57)
【作者】张俊丽;陈斯养
【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西,西安,710062;西安欧亚学院基础部,陕西,西安,710065;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西,西安,710062【正文语种】中文
【中图分类】O175.7
【相关文献】
1.一类含时滞和放养的广义Logistic单种群模型的Hopf分支 [J], 郎书华;陈斯养
2.一类具有时滞和干扰的广义Logistic模型的Hopf分支问题 [J], 李方;陈斯养
3.一类具有时滞的广义Logistic模型的hopf分支 [J], 杨颖茶;陈斯养
4.一类广义Logistic单种群时滞模型的Hopf分支 [J], 范丽;陈斯养;史忠科
5.一类具有时滞的广义生态模型的Hopf分支周期解 [J], 邓志坚;陈斯养
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第35卷第1期2021年2月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.35No.1Feb.2021收稿日期:2020-08-24基金项目:湖南省自然科学基金项目(2020JJ4516);湖南省教育厅重点项目(17A181)作者简介:张露露(1996 ),女,硕士研究生,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:2234472312@㊂∗通信作者:廖茂新(1969 ),男,教授,博士,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:841139745@DOI :10.19431/ki.1673-0062.2021.01.012一类具有时滞的传染病模型Hopf 分支及稳定性分析张露露,廖茂新∗,邓兴颖(南华大学数理学院,湖南衡阳421000)摘㊀要:研究了一类具有非线性传染率的传染病模型,确定了模型的基本再生数R 0,分析了模型无病平衡点和地方病平衡点的稳定性,以时滞为参数,得到了在地方病平衡点处Hopf 分支存在的条件㊁最后数值模拟以验证结果㊂关键词:Hopf 分支;时滞;平衡点;稳定性中图分类号:O175文献标志码:A文章编号:1673-0062(2021)01-0071-06Hopf Bifurcation and Stability Analysis of Epidemic Modelwith Time DelayZHANG Lulu ,LIAO Maoxin ∗,DENG Xingying(School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang,Hunan 421001,China)Abstract :It studied an epidemic model with nonlinear infection rate was,determined the basic reproductive number of regenerations for the model,and analyzed the stability of the model disease-free balance point and the local disease balance point.The conditions forHopf bifurcation at the local disease balance point are obtained on the parameter of time delay,numerical simulation to verify the results.key words :Hopf bifurcation;delay;the balance point;stability0㊀引㊀言传染病是一类由病原体或寄生虫引起的一类疾病,部分传染病会长期伴随人类共存,而有些传染病会在有效的防治措施下逐渐消亡㊂[1]在人们与传染病的长期抗争过程中,研究者们逐渐发现,在人体受到感染后,感染初期并不会表现出任何的症状,在一定时间之后,某些症状才回逐步表现出来㊂[2-8]也就是说,在传染病的传播过程中,某时刻种群的变化除受当前状态影响外,也会收到此前时刻的某些因素的影响[9]㊂但在研究初期,研究者们一般未考虑到时间滞后的因素㊂我们在传㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月染病模型中将时滯因素考虑进来,可以更加精准的反应传染病的实际传播机理及传播形态,以帮助我们提出㊁制定更加有效的控制传播范围的措施[10-16]㊂在前人的基础上,本文研究了一类具有时滯和非线性传染率的传染病模型,研究了平衡点的稳定性,及Hopf 分支的存在㊂在传染病模型中引入时滯,用于模拟传染病的潜伏期,利用基本再生数R 0判断疾病在一段时间时间发展后是仍然流行或是最终消亡;发现了在一定的条件下,时滯的引入会导致系统出现周期解,地方病平衡点E ∗处出现Hopf 分支㊂本文在文献[10]的基础上,将传染率kSI1+αI 2改为kS 2I 并引入时滞,得到以下模型:Sᶄ(t )=b -dS (t )-kS 2(t -τ)I (t -τ)+rR (t )Iᶄ(t )=kS 2(t -τ)I (t -τ)-(d +u )I (t )Rᶄ(t )=uI (t )-(d +r )R (t )ìîíïïïï(1)式中:S (t ),I (t ),R (t )分别表示在t 时刻易感染人群㊁已感染人群和恢复人群的数量;k 是比例常数,b 为人口的新增率,d 为人口的自然死亡率,u 是已感染人群的自然恢复率,r 是恢复人群失去免疫力后重新成为易感染人群的比率㊂考虑到生物学意义,系统(1)的初始条件ϕ={ϕ1,ϕ2,ϕ3}满足C +={ϕɪC ([-τ,0]),R 3+},其中R 3+={(S ,I ,R )ɪR 3:S ȡ0,I ȡ0,R ȡ0},ϕi (0)>0,i =1,2,3㊂1㊀稳定性分析及Hopf 分支存在的条件经计算可得系统(1)总有一个无病平衡点E 0=(bd,0,0),当R 0>1时,系统(1)有一正平衡点E ∗=(S ∗,I ∗,R ∗),其中S ∗=d +u k,I ∗=(d +r )(b -dS ∗)d 2+dr +du,R ∗=u d +r I ∗㊂系统(1)总存在一个无病平衡点E 0=(b d,0,0),接下来算基本再生数,由系统(1)可知新增染病者矩阵F 与移出染病者矩阵V 分别为F =[kS 2ˑ(t -τ)]I (t -τ),V =(d +u )I (t ),且F ,V 在无病平衡点E 0处的Jacobi 矩阵分别为F (E 0)=b d,V (E 0)=d +u ,可到基本再生数为R 0=ρ(FV -1)E 0=kS 2(t )d +uE 0=kb 2d 2(d +u )(2)对系统(1)首先分析其在平衡点E 0处的稳定性㊂求得系统(1)的线性化矩阵为A =-d -2kI (t )S (t )e -λτ-kS 2(t )e -λτr2kI (t )S (t )e -λτ-(d +u )+kS 2(t )e -λτu-(d +r )()(3)特征矩阵为B =λI -A =λ+d +2kI (t )S (t )e -λτkS 2(t )e -λτ-r -2kI (t )S (t )e -λτλ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ-uλ+(d +r )()(4)㊀㊀定理1:当R 0<1时,无病平衡点E 0是局部渐近稳定的;当R 0>1时,无病平衡点E 0是不稳定的㊂证明:在无病平衡点E 0=(bd,0,0)处的特征方程为B 0=λ+d kS 2(t )e -λτ-r 0λ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ-u +fλ+d +r()=(λ+d )[λ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ](λ+d +r )=f (λ)27第35卷第1期张露露等:一类具有时滞的传染病模型Hopf分支及稳定性分析令f(λ)=0,得到λ1=-d,λ2=-(d+r)为特征方程的两负根,且有λ3满足λ=kS20e-λτ-d-u(5)令g(λ)=λ-kS20e-λτ+d+u,当R0<1时,假设g(λ)有具有非负实部的根Re(g(λ))=Re(λ)+d+u-e-Re(λ)τkS20cos[Im(λ)τ]=0㊀㊀(6)即Re(λ)=-(d+u)+e-Re(λ)τkS20cos[Im(λ)τ]ɤkS20-(d+u)=(d+u)(R0-1)㊂㊀㊀由于R0<1,则Re(λ)<0,则g(λ)=0的所有根具有负实部,则R0<1时,无病平衡点E0是局部渐进稳定的㊂当R0>1时,g(0)=d+u-kS20=(d+u)(1-R0)<0,又有gᶄ(λ)=1+kS20τe-λτ>0,可知Re(λ)单调递增且有g(0)<0,则必存在一正实数λ0>0,使得g(λ0)=0,因此R0>1时,无病平衡点E0不稳定㊂证毕㊂引理2:当R0>1,τ=0时,正平衡点局部渐进稳定㊂证明:系统在正平衡点E∗处的特征方程为f1(λ)=(λ+d){λ2+(2d+r+u)λ+(d+u)(d+r)+e-λτ[(2kS(t)I(t)-kS2(t))λ+2k(d+r+u)S(t)I(t)-k(d+r)S2(t)]}=(λ+d){λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4]}其中:p0=2d+r+u,p1=(d+u)(d+r),p3=d+r,p4= d+r+u,a0=kS2(t),b0=2kI(t)S(t)㊂f1(λ)=0,易得λ=-d是方程负实根,其它根由以下方程确定g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4](7)当τ=0时方程变为g1(λ)=λ2+p0λ+p1+(b0-a0)λ-a0p3+b0p4㊂利用Routh-Hurwotz准则p0+b0-a0=(2d+r+u)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗-kˑd+uk=(d+r)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗则只需要b-dS∗>0(R0>1)时,p0+b0-a0>0㊂p1-a0p3+b0p4=(d+u)(d+r)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗㊃(d+r+u)-k㊃d+u k㊃(d+r)=2k㊃(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗ˑ(d+r+u)只需要b-dS∗>0(R0>1)时,p1-a0p3+b0p4>0㊂由Routh-Hurwotz准则知,方程根具有负实部,因此当τ=0,(R0>1)时,地方病平衡点E∗局部渐进稳定㊂证毕㊂引理3:当p1-a0p3+b0p4>0且p1+a0p3-b0p4<0时,方程具有一对纯虚根ʃiθ(θ>0)㊂证明:当τ>0时,g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4],将λ=iθ代入式中,并分离虚实部,得-θ2+p1=(a0p3-b0p4)cosθτ+(a0θ-b0θ)sinθτ-p0θ=(a0p3-b0p4)sinθτ-(a0θ-b0θ)cosθτ(8)ìîíïïïïïï两式平方相加得(-θ2+p1)2+(-p0θ)2=(a0p3-b0p4)2+(a0θ-b0θ)2,化简得θ4+[p20-2p1-(a0-b0)2]θ2+[p21-(a0p3-b0p4)2]=0(9)解得:θ2=-[p20-2p1-(a0-b0)2]+[p20-2p1-(a0-b0)2]2-4㊃[p21-(a0p3-b0p4)2]2(10)要使θ2>0,则要p21-(a0p3-b0p4)2<0㊂证毕㊂由式(8),可得37㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月τk =1θarcsin (-θ2+p 1)(a 0θ-b 0θ)-p 0θ(a 0p 3-b 0p 4)(a 0p 3-b 0p 4)2+(a 0θ-b 0θ)2+2k πθ,k =0,1,2, (11)引理4:d(Re λ)d τλ=i θ,τ=τk>0,其中τk 为式(11)㊂证明:由题意,证明d(Re λ)d τλ=i θ>0即可㊂令g 1(λ)=λ2+p 0λ+p 1+e -λτ(q 1λ+q 2)(12)其中q 1=b 0-a 0,q 2=b 0p 4-a 0p 3㊂式子(12)左右两边关于τ求导2λd λd τ+p 0d λd τ-τe -λτ(q 1λ+q 2)d λd τ-λe -λτ(q 1λ+q 2)+q 1e -λτd λd τ=0(13)可得d λd τ=λe -λτ(q 1λ+q 2)2λ+p 0+e -λτ[q 1-τ(q 1λ+q 2)](14)计算再有d λd τ()-1=2λ+p 0λe -λτ(q 1λ+q 2)+q 1λ(q 1λ+q 2)-τλ=2λ+p 0-λ(λ2+p 0λ+p 1)+q 1λ(q 1λ+q 2)-τλ(15)则有sign{dRe λd τλ=i θ}=sign {Red λd τ()-1λ=i θ}=sign {Re 2λ+p 0-λ(λ2+p 0λ+p 1)λ=i θ+Req 1λ(q 1λ+q 2)λ=i θ}=sign {Re -2θ-i p 0(i θ)2+i θp 0+p 1-i q 1i θq 1+q 2()}=sign {Re(2θ-i p 0)[(θ2-p 1)+i θp 0](θ2-p 1)2+(θp 0)2-i q 1(q 2-i θq 1)q 22+(θq 1)2()}=sign {2θ2-2p 1+p 20(θ2-p 1)2+(θp 0)2-q 21q 22+(θq 1)2}=sign{(2θ2-2p 1+p 20)[q 22+(θq 1)2]-q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign{2θ2q 22+θ4q 21-2p 1q 22+p 20q 22[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign{q 22(2θ2+p 20-2p 1)+θ4q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign {q 22[2θ2+(d +r )2+(d +u )2]+θ4q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=1>0证毕㊂㊀㊀由引理2㊁引理3㊁引理4,结合Hopf 分支理论与文献[4,11,16]可得到如下结论:定理2:当p 1-a 0p 3+b 0p 4>0,p 1+a 0p 3-b 0p 4<0,且当R 0>1时,如果τɪ[0,τ0)时,τ0=min(τj ),那么系统(1)的平衡点是局部渐进稳定;如果τ>τ0,那么系统(1)的平衡点是不稳定的,且当τ=τj 时,系统(1)的平衡点经历Hopf 分支㊂2㊀数值模拟前文讨论了时滞对无病平衡点及正平衡点的影响,接下来将通过数值模拟来直观的展示出时滞对系统解的影响㊂取参数b =1,d =0.8,u =0.2,r =0.4,k =4,则系统(1)为47第35卷第1期张露露等:一类具有时滞的传染病模型Hopf 分支及稳定性分析Sᶄ(t )=1-0.8S (t )-4S 2(t -τ)I (t -τ)+㊀㊀㊀0.4R (t )Iᶄ(t )=4S 2(t -τ)I (t -τ)-I (t )Rᶄ(t )=0.2I (t )-1.2R (t )ìîíïïïï(16)此时R 0=254>1,τ=1.3<τ0,系统存在唯一地方病平衡点,且地方病平衡点E ∗是局部渐近稳定的,此时疾病发展为地方病(见图1)㊂在同样参数条件下,选择τ=2.0>τ0时,此时地方病平衡点不再稳定(见图2)㊂图1㊀当τ=1.3<τ0时,模型(16)的正平衡解是渐进稳定的Fig.1㊀The positive equilibrium of (16)was asympomatic stable when τ=1.3<τ图2㊀当τ=2.0>τ0时,模型(16)的正平衡解是不稳定的Fig.2㊀The positive equilibrium of (16)wasn t stable when τ=2.0>τ057㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月3㊀结㊀论本文讨论了一个具有非线性发生率的具有时滞的流行病模型的稳定性,确定了基本再生数R0,由霍尔维兹定理判断了非负平衡点的局部稳定性㊂对于任意时滞,当R0<1时,无病平衡点全局渐进稳定的,即随着时间的推移,疾病最终消亡;R0 >1,时滞不为零时,在一定条件下,E∗不再稳定,系统出现周期解地方病平衡点出现Hopf分支㊂参考文献:[1]LIU Q,JIANG D Q,SHI N Z,et al.Asymptotic behavior of a stochastic delayed SEIR epidemic model with nonlinear incidence[J].Physica A:Statistical mechanics and its ap-plications,2016,462:870-882.[2]李林.经济系统中几个微分方程模型[J].中国科学院研究生院学报,2013,20(3):273-278. 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心脏搏动模型的Hopf分岔李丽洁;冯瑜;刘永建【摘要】为了探索心脏自律活动复杂动力学行为的形成机制,本文研究外力刺激与参数扰动下心脏搏动模型的Hopf分岔问题.首先,给出系统存在Hopf分岔的一组充分条件;其次基于复规范型理论,细致刻画了Hopf分岔方向、分岔周期解及其稳定性态;最后借助数值模拟验证了理论分析结果.%In order to understand the complicated dynamics of cardiac autonomic activity , the Hopf bifurcation to models of reactions of human heart under the action of external force and parametric noise is investigated in detail and deeply . First , the conditions of the existence of Hopf bifurcation to system are obtained . Second , the direction of Hopf bifurcation , the stability of bifurcating period solutions and the expression of the bifurcating periodic solution are rigorous derived and studied by means of complex normal form theory . Finally , numerical simulations are performed to justify theoretical analysis .【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(053)004【总页数】6页(P12-16,22)【关键词】心脏搏动模型;稳定性;Hopf分岔;周期解;复规范型理论【作者】李丽洁;冯瑜;刘永建【作者单位】玉林师范学院广西高校复杂系统优化与大数据处理重点实验室,广西玉林 537000;玉林师范学院广西高校复杂系统优化与大数据处理重点实验室,广西玉林 537000;玉林师范学院广西高校复杂系统优化与大数据处理重点实验室,广西玉林 537000【正文语种】中文【中图分类】O157.13研究心脏行为的传统手段是心肌电生理学，它从心脏细胞的电生理环境出发去探讨心脏行为，这种方法的显著特点是以实验为主，试验条件苛刻，需要先进的检测仪器和良好的实验手段．1928年，Van der Pol等[1]最先构造出心脏非线性动力学模型，并采用一个非线性张弛振子模拟心脏的自律活动．1997年，Beeler等[2]给出了一个非常成功的Beeler-Reuter模型，用于模拟心脏在恒定刺激下的反应．为了研究在周期外力刺激与参数扰动下心脏的适应性变化，Pipin等提出了非线性模型[3]：其中A,B为心脏搏动的振幅及其导数;f1,f2为模拟作用于心脏的周期外力;H描述外力作用下心脏振荡幅度的动态饱和情况;D与产生脉冲的功率成正比，决定维持功率所需力;K与扩散产生的功耗成正比，描述广义力在力量产生过程中的抵消程度;K2为H的比例系数．文献[3]指出，非线性系统(1)在不同参数条件下展现出不同的运动状态，包括周期、拟周期，甚至混沌．研究表明，心脏电活动表现出明显的混沌动力学特性[3]．应用混沌理论研究心脏的状态变化，可以及时追踪心脏活动的状态，对研究心脏疾病发生、发展的内在规律有重要的应用价值．倍周期分岔和Hopf分岔是通往混沌的经典道路．目前，关于Hopf分岔的存在性与周期稳定性分析虽然已有很多[4-5],但这些结果对医学、工程等实际问题来说仍远远不够，还需要更加细致和便于操作的结果[6-7]．为了简便起见，本文假设作用于心脏的外力为恒力，把模型(1)改写成如下形式：其中a,b,c,d为实参数．取参数(a,c,d)=(16,6,3)，当参数b取不同值时，系统(2)呈现出不同的动力学行为，如图1所示．特别地，当b=-0.1时，系统(2)的李雅普诺夫指数为：1.0375,-0.0000,-8.9047，其中有一个是正的，故系统(2)呈混沌状态，如图1(d)所示．从医学的观点来看，我们迫切想知道在外部电刺激和不可抗拒因素干扰下心脏的适应性变化；从数学的观点来看，就需要深入剖析心脏在此环境下的复杂动力学行为．本文从系统的局部分岔入手，研究心脏模型(2)的复杂动力学行为．本文首先给出了系统(2)存在Hopf分岔的一组条件，然后应用微分方程几何理论中的复正规型方法，给出模型(2)的Hopf分岔方向、分岔周期解的稳定性和分岔周期解的近似表达式．在变换T(x,y,z)(-x,-y,z)下，系统(2)是不变的，这意味着系统的轨线(平衡点)在变换T意义下是不变的．系统(2)恒有一个平凡的平衡点O(0,0,0)．为叙述方便，给出如下记号：其中在不同条件下，系统(2)的平衡点见表1.下面分析系统(2)在平衡点O(0,0,0)的Hopf分岔情况．非平凡平衡点(x*,y*,z*)的情形可通过平移变化x=X+x*,y=Y+y*,z=Z+z*化为平凡平衡点(X,Y,Z)=(0,0,0)的情形类似分析．系统(2)在平衡点O(0,0,0)的雅可比矩阵为其特征方程为即故λ3=-d,f(λ)=λ2+2bλ+b2-ac.根据Routh-Hurwitz条件，方程(3)所有根均有负实部的充要条件为：b>0,d>0,b2>ac.从而有如下结果：定理1 当b>0,d>0,Δ=-ac>0时，系统(2)的平衡点O(0,0,0)渐近稳定．定理2 设d>0,Δ=-ac>0，当参数b变化经过参数值bh=0时，系统(2)在平衡点O处发生Hopf分岔．证明假设特征方程(3)有一对纯虚根λ±=±iω,ω>0，则-ω2+2bωi+b2-ac=0,从而bh=0,ω0=.设b=bn，则方程(3)有特征根λ1=ω0i,λ2=-ω0i,λ3=-d.因此，Hopf分岔定理[8]的第一条件满足．将(3)式两边对b求导，可得λ′(b)=-,从而Re(λ′(bh))λ=ω0i=-1≠0.这表明Hopf分岔定理的第二个条件也满足．故当参数b变化经过参数值bh=0时，系统(2)在平衡点O处产生Hopf分岔. 】本节进一步判定Hopf分岔周期解的分岔方向及稳定性，并给出周期解的近似表达式．定理3 设d>0,Δ=-ac>0，当参数b(b<bh)变化经过参数值bh时，系统(2)在平衡点O处发生Hopf分岔，分岔周期解渐近稳定．证明由定理2可知，当参数b变化经过参数值bh时,系统(2)在平衡点O处发生Hopf分岔．下面讨论具体的分岔方向和稳定性．不妨记ω0=．当b=bh时，系统(2)在平衡点O处有如下特征值：λ1=ω0i,λ2=-ω0i,λ3=-d,对应的特征向量分别为定义做变换则系统(2)化为其中下面计算以下各量，所用记号与文献[9]保持一致．设一维向量满足如下方程组：其中D=(-d),I=(1)．解上述方程组得并且从而，所以其中α′(0)=Re(λ′(bh)),ω′(0)=Im(λ′(bh))．综上可知，α′(0)<0,μ2<0,β2<0，因而当参数b(b<bh)变化经过参数值bh时，系统(2)在平衡点O处发生Hopf分岔，而且分岔周期解是渐近稳定的．下面给出分岔周期T=(1+τ2ε2+O(ε4)),特征指数β=β2ε2+O(ε4),其中也可以求出近似周期解的表达式[9]．记X=(x,y,z)T=P(x3,y3,z3)T=PY，其中则近似周期解为为了验证理论分析结果，下面进行数值模拟．分岔值bh=0，参数(a,c,d)=(16,-10,10)．由定理3可知，当b=-0.1<bh时，系统(2)在平衡点O附近有Hopf分岔周期解，如图2所示；当b=0.1>bh时，系统(2)的平衡点O稳定，如图3所示．本文在全参数空间内研究了外力刺激与参数扰动下心脏搏动模型的Hopf分岔问题，获得了系统存在Hopf分岔的一组充分条件，进一步利用复规范型理论，借助符号推理给出了系统Hopf分岔周期解的分岔方向、稳定性以及周期解的近似表达式，最后还借助数学模拟验证了理论分析结果．*通讯联系人，男，教授，博士.主要研究方向为混沌理论及其应用.E-mail:************************【相关文献】[1] VAN DER POL B,VAN DER MAR K J.The heart beat considered as a relaxation oscillation,and an electrical model of the heart[J].Phil Mag Suppl,1928,6:763．[2] BEELER G W,REUTER H.Reconstruction of the action potential of ventricular myocardial fibres[J].The Journal of Physiology,1977,268(1):177.[3] PIPIN V V，RAGULSKAYA M V，CHIBISOV S M．Models of reactions of human heartas nonlinear dynamic system to cosmic and geophysical factors[J].Bulletin of Experimental Biology and Medicine，2010，149(4):490．[4] CHEN Guan-rong,LI Chang-pin.A note on bifurcation control[J].Int J Bifur Chaos，2003,13:667．[5] 刘军贤，裴启明，覃宗定，等. Lorenz 方程在新参数空间的研究[J].广西师范大学学报(自然科学版)，2012，30(4):1.[6] 刘永建，程俊芳.四维超混沌 Lorenz 系统的 Hopf 分岔[J].河南大学学报(自然科学版)，2013,43(1):11．[7] 李勇,贾贞.离散混沌系统在保密通信中的应用[J].广西师范大学学报(自然科学版)，2011，29(1):15.[8] GUCKENHEIMER J，HOLMES P.Nonlinear Oscillations，Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Field[M].New York:Springer，1983:151．[9] HASSARD B，KAZARINOFF N，WAN Y H.Theory and Application of HopfBifurcation[M].Cambridge:Cambridge University Press,1982．。