Genesio系统的混沌Hopf分岔和Shilnikov

随机机械系统的稳定性及Hopf分岔分析随机机械系统的稳定性及Hopf分岔分析随机机械系统是指在外界激励下，由多个机械元件构成的系统。

这些元件之间通过连杆、轴等连接，形成一个复杂的结构。

随机机械系统广泛应用于自动化、机械工程等领域，其稳定性研究对于系统的可靠性和性能至关重要。

稳定性是随机机械系统研究中的一个核心问题。

随机机械系统受到外界的各种随机激励，如摩擦力、噪声等，这些随机因素会对系统产生不确定的影响，导致系统的运动变得复杂和难以预测。

因此，研究随机机械系统的稳定性是解决这些问题的关键。

Hopf分岔是一种典型的非线性现象，也是研究随机机械系统稳定性的重要方法之一。

当系统参数经过一定的改变时，系统的稳定性可能发生突变，从而导致系统出现周期性运动或混沌行为。

通过Hopf分岔分析，可以确定系统在不同参数值下的运动状态，评估系统的稳定性以及确定系统的优化方案。

在实际工程应用中，随机机械系统的稳定性研究常常需要考虑多种影响因素。

例如，系统结构的复杂性、元件之间的耦合程度、外界激励的类型和强度等。

这些因素综合作用于系统的运动特性和稳定性，对系统的设计和优化提出了更高的要求。

对于随机机械系统的稳定性研究，可以通过数学模型建立和仿真分析来进行。

通过建立系统的运动方程和边界条件，可以利用数值方法求解系统的稳定解。

在计算过程中引入随机项，可以模拟随机激励对系统的影响，得到系统的运动轨迹和稳定性指标。

随机机械系统的稳定性研究不仅可以在系统设计和优化中发挥重要作用，还可以为实际应用中的故障诊断和故障预测提供参考。

例如，在工业自动化生产线中，通过对随机机械系统的稳定性分析，可以判断系统是否存在故障，并采取相应的维修和调整措施，以保证生产线的正常运行。

然而，随机机械系统的稳定性研究也存在一些挑战和困难。

首先，系统模型的建立和求解本身就是一个复杂的过程，需要考虑多种因素的综合作用。

其次，随机机械系统的运动是一个非线性、非平稳的过程，涉及到多种概率统计方法和数值计算技术。

非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。

在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。

混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。

混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。

他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。

这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。

这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。

混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。

这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。

一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。

σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。

这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。

分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。

简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。

分岔现象的经典例子是Logistic映射。

Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。

Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。

一类广义超混沌系统的Hopf分岔及共存吸引子研究陈玉明【摘要】针对一类广义的Lorenz-Stenflo四维超混沌系统,基于中心流形及Hopf 分岔相关理论,研究了该系统在原点平衡点处发生的Hopf分岔行为,得到了系统在Hopf分岔点的特性,包括分岔的周期解、周期解的分岔方向及稳定性等,并借助数值模拟验证了理论分析的正确性.除此之外,借助数值模拟,发现该系统在某些特定参数下存在不同吸引子之间的共存现象,比如超混沌吸引子与周期吸引子共存,混沌吸引子与周期吸引子共存.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2017(038)006【总页数】6页(P43-48)【关键词】Lorenz型系统;超混沌;Hopf分岔;吸引子共存【作者】陈玉明【作者单位】广东技术师范学院数学与系统科学学院,广州510665【正文语种】中文【中图分类】O415.5;O19·基础数学·E. N. Lorenz在研究气象模型时, 在一类确定性系统中发现了类似于随机的动力学现象，即混动行为，并于1963年提出了首个混沌数理模型，Lorenz系统[1].由于混沌行为的特殊性，自从Lorenz系统被提出以后，大量来自于不同领域的数学家、物理学家及工程师们便对混沌的起源、混沌系统的特征与分岔行为、通向混沌的路径等各个方面，都展开了深入地研究[2-4].超混沌，作为另一种复杂动力学行为，它比混沌行为具有更强的复杂性以及更强的应用潜力.由于在自治常微分方程系统中要产生超混沌行为，必须要求系统维数至少为四维，因此，对四维超混沌系统的研究，尤其是对四维Lorenz型超混沌系统的研究，将显得尤为重要.在对混沌系统的研究中，系统分岔行为的研究是非常重要的一部分.随着系统平衡点稳定性的改变，即发生局部分岔行为，系统的局部动力学行为也会随之改变，甚至会引发系统全局动力学行为的变化.Hopf分岔是系统局部分岔中非常基本而又至关重要的一种，随着Hopf分岔的发生，将伴随着系统极限环的产生或者消失.在三维混沌系统的研究中，文献[5]研究了统一Lorenz型系统的Hopf分岔行为，该系统包含了Lorenz，Chen，Lu及Yang等大量的经典三维混沌系统，在此基础上，进一步对退化Hopf分岔的分析，该文献还发现了一种可通向混沌的路径.在四维超混沌系统的研究中，文献[6-8]分别研究了一类四维超混沌系统的Hopf分岔行为，得到了系统在Hopf分岔点的特性，包括分岔的周期解、周期解的分岔方向及稳定性等.混沌及超混沌系统的复杂性主要来源于混沌及超混沌吸引子的存在.一般情形下，相空间中只存在一个稳定的吸引子，除了其它吸引子(都为不稳定)本身外，从相空间中其它点出发的轨线都将趋向于那唯一的一个稳定的吸引子.然而一些研究者最近发现了很多特殊的系统[9-10]，在这些系统中存在着各种不同稳定吸引子的共存现象，这使得系统的相空间变得异常复杂，尤其是这些不同稳定吸引子的吸引盆的边界.在1996年，Stenflo沿着Lorenz模型的方向，提出了描述大气扰动的一个简单模型，其被称为Lorenz-Stenflo系统[11].该系统考虑了地球的旋转，黏度效应及热扩散效应等因素，该系统的方程为其中参数a是普朗特数，c是广义的雷利参数，及是地球旋转的角频率，κ是热耗散系数.基于上述的Lorenz-Stenflo系统，通过将该系统的参数可选取范围进行推广，本文考虑了如下的广义Lorenz-Stenflo系统其中参数满足a>0，b>0，cdrs≠0.当系统参数选取a=22.5，b=1.91，c=29.45，d=-2.86，r=0.23及s=9.64时，系统(1)具有超混沌吸引子，该吸引子所对应的Lyapunov指数为λLE1=0.1217,λLE2=0.0264,λLE3=0.0001,λLE4=-27.6416.该超混沌吸引子在空间的投影相图如图1所示.当系统参数满足(ar+s)(ar(c+d)+ds)≤0时，系统(1)只具有唯一平衡点E0(0,0,0,0).而当(ar+s)(ar(c+d)+ds)>0时，系统(1)除了具有原点平衡点E0之外，还将具有另外两个关于z轴对称的非原点平衡点其中w±=±.另外，当系统参数b=0时，系统(1)则存在一条平衡点直线，即z轴.针对四维广义Lorenz-Stenflo超混沌系统(1)，本文将研究该系统原点平衡点E0处发生的Hopf分岔行为，以及在某些特定参数下，研究系统不同吸引子之间的共存现象.针对一般的n维自治常微分方程系统(n>2)，下面首先介绍一下第一Lyapunov系数l1的计算方法.考虑如下的微分方程系统其中f(X,η)为Rn×Rs中的C∞类函数.假设系统(2)在参数条件η=η0之下具有平衡点X=X0，并且总是将变量X-X0记为进一步地，在参数条件η=η0之下，系统(2)可以被重写为其中‖‖4),以及并且对任意的i=1,2,…n，都有如下展开式成立其中的记号Bi以及Ci分别是向量函数B以及C的第i个分量.假设系统(3)在其原点平衡点处的Jacobian矩阵A，具有一对具有非零虚部的纯虚特征根λ1,2=±iω0(ω0>0)，并且Jacobian矩阵A在该平衡点处的其它特征值都具有非零实部.令Tc为Jacobian矩阵A对应于特征值λ1,2的特征向量所张成的广义特征空间.令向量p,q∈Cn满足下列条件值得注意的是，空间Tc中的任意向量Y均可以表示成为其中v=<p,Y>∈C.为了能够通过变量v以及来将与特征值λ1,2=±iω0有关的这个二维中心流形参数化表示，特考虑如下这个形式上的嵌入其中系数ujk∈Cn，并且满足将表达式(6)代入系统(2)中，可得求解由等式(7)中项的系数所确定的线性方程组，可得复向量uij的表达式.因此，在二维中心流形上通过使用复变量v，系统(7)可以表示成如下形式:其中G21∈C.第一Lyapunov系数l1被定义为其中在如下的定理中，对系统(1)在平衡点E0处所发生的Hopf分岔进行了研究.定理1 令(a+r)(ad(c+d)+acr+d2r)<0，以及并且假设MN≠0成立，则当参数s穿过临界值s0= 时，系统(1)在平衡点E0处发生Hopf分岔.在临界参数值附近，系统还有如下的动力学性质:如果MN>0，则当a+r>0,s>s0时，或a+r<0,s<s0时，相空间中存在由Hopf 分岔所产生的不稳定周期轨;如果MN<0，则当a+r>0,s<s0时，或a+r<0,s>s0时，相空间中存在由Hopf 分岔所产生的稳定周期轨;证明令X=(x,y,z,w)∈R4，η=(a,b,c,d,r,s)∈R6以及f(X,η)=(a(y-x)+sw,cx+dy-xz,-bz+xy,-x-rw),则系统(1)可被改写成系统(2).系统(1)在平衡点E0处的特征方程为假设方程(12)具有一对纯虚特征根λ1,2=±iω0(ω0>0)，即如下等式成立，-a(c+d)r-ds-(a-d+r)=0,-ω0(a(c+d-r)+dr-s+)=0,在参数条件s=s0之下，系统(1)在平衡点E0处的Jacobian矩阵为其所对应的特征值为λ1=iω0,λ2=-iω0,λ3=d-a-r,λ4=-b.经过繁琐地计算过程，可得如下的两个特征向量:其中G=-ac(r+iω0)2+(d-iω0)2(ω0-ir)2.向量p,q满足条件(5)，即由计算公式(4)，可得基于公式(13)，(14)及(15)，通过直接而繁琐地计算，可得B(q,q)=(0,0,2c(d-iω0)(-ir+ω0)2,0)T，S3=d(4d-b)++2i(b-d)ω0,S4=4d2+br++2i(b+r)ω0,S5=ar++s0+2i(a+r)ω0,S6=-+b(d-2iω0)+2id(2id+ω0),S7=-3ac+ad-4d2+-2i(a-d)ω0.再次使用公式(14)，(15)以及(16)，可计算得〈p,B(q,-u11)〉=,将上述三个等式代入(8)式中，可计算得第一Lyapunov系数为l1(s0)=Re[〈p,C(q,q,)〉-2〈p,B(q,-u11)〉+〈p,B(,u20)〉]=,当MN≠0时，有l1(s0)≠0，从而有平衡点E0处Hopf分岔的非退化条件成立.进一步,将验证平衡点E0处Hopf分岔的横截条件也成立.平衡点E0处的特征方程如(12)所示，即P(λ)=(b+λ)(ε0+ε1λ+ε2λ2+λ3)=0,其中ε0=-acr-adr-ds, ε1=-ac-ad+ar-dr+s, ε2=a-d+r.当参数s在临界值s0附近时，假设特征方程(12)具有特征值λ1,2=α±iβ，λ3=γ以及λ4=-b，其中α,β及γ为系统参数的实函数.将这些特征值代入方程(12)中，并且整理与α相关的部分，可得由于α|s=s0=0，将(17)式对参数s求偏导数，可得又由于从而，当a+r>0时，则有|s=s0<0，Hopf分岔的横截性条件成立，并且在由复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中，分别当s<s0及s>s0时，平衡点E0为不稳定及稳定的.否则，当a+r<0时，则有|s=s0>0，Hopf分岔的横截性条件依然成立，并且在由复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中，分别当s<s0及s>s0时，平衡点E0为稳定及不稳定的.综上所述，系统(1)限制在由平衡点E0的复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中时，具有如下的动力学行为:如果MN>0，则当a+r>0,s>s0时，或a+r<0,s<s0时，相空间中存在由Hopf分岔所产生的不稳定周期轨;如果MN<0，则当a+r>0,s<s0时，或a+r<0,s>s0时，相空间中存在由Hopf分岔所产生的稳定周期轨;为了验证定理1中关于系统(1)平衡点E0处Hopf分岔理论结果的正确性，特给出了如下基于四阶Runge-Kutta方法的数值仿真结果.选择参数a=3,b=3,c=6.1,d=-3,r=1，根据定理1，可得s0=3.45，ω0=0.387 298>0及l1(s0)=-5.933 71<0，这意味着系统(1)在平衡点E0处的Hopf分岔能够产生出稳定的周期轨.由于a+r>0，当s<s0时，Hopf分岔产生稳定周期解，如图2(a)所示; 而当s>s0时，平衡点E0为稳定焦点，如图2(b)所示.选取恰当的系统参数，通过详细的数值分析，可发现系统(1)存在多种吸引子共存的现象，即同组参数条件下，系统(1)满足不同初始条件的解有可能呈现出完全不同的动力学行为.具体可包括超混沌吸引子与周期吸引子的共存，混沌吸引子与周期吸引子共存等.固定参数a=22.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64，对初始条件(51,-28,-96,76)，系统(1)的解将会收敛于一个周期解，其在y-z-w空间的投影如图3(a)所示，该周期吸引子所对应的Lyapunov指数为在同一组参数下，对于初始条件(42,-22,46,77)，系统(1)的解则收敛于一个超混沌吸引子，在y-z-w空间的投影相图如图3(b)所示，该超混沌吸引子所对应的Lyapunov指数为因此，当参数满足a=22.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64时，系统(1)的相空间中存在着超混沌吸引子与周期吸引子的共存，其在y-z-w空间的投影如图3(c)所示.在同一组参数下，对于初始条件(-57,-22,-6,-59)，系统(1)的解则收敛于一个混沌吸引子，在y-z-w空间的投影相图如图4(b)所示，该混沌吸引子所对应的Lyapunov指数为因此，当参数满足a=12.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64时，系统(1)的相空间中则存在着混沌吸引子与周期吸引子的共存，其在y-z-w空间的投影如图4(c)所示.【相关文献】[1] E.N. Lorenz. Deterministic non-periodic flow[J].J. Stmos. Sci.,1963,20:130-141.[2] M.W. Hirsh, S. Smale, R.L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos[M].New York: Elsevier Academic Press,2007.[3] L.P. Shilnikov, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev, et al. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics[M].Singapore:World Scientific,2001.[4] S. Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Second Edit[M].New York:Springer-Verlag,1990.[5] Q. Yang, Y. Chen. Complex dynamics in the unified Lorenz-type systems[J].Int. J. Bifurcat. Chaos,2014,24:1450055(30 pages).[6] Y. Chen, Q. Yang. Dynamics of a hyperchaotic Lorenz-type system[J].Nonlinear Dynam,2014,77:569-581.[7] 陈玉明.基于Lorenz型系统的四维超混沌系统的复杂动力学研究[D].广州:华南理工大学,2014.[8] 刘永建,程俊芳.四维超混沌Lorenz系统的Hopf分岔. 河南大学学报[J].2013,43(1):11-16.[9] Y. Chen, Q. Yang. A new Lorenz-type hyperchaotic system with a curve of equilibria[J].Math. Comput. Simulat.,2015,112:40-55.[10] Z. Wei. Dynamical behaviors of a chaotic system with no equilibria[J].Phys. Lett. A,2011,376:102-108.[11] L. Stenflo. Generalized Lorenz equations for acoustic-gravity waves in the atmosphere[J].Phys. Scr.,1996,53:83-84.。

一个新混沌纠缠系统的Hopf分岔分析Kutorzi Edwin Yao;张建刚;秦爽【摘要】文章基于混沌纠缠方法构造了一个新的混沌系统,通过理论和数值分析验证了该系统存在混沌吸引子.此外,利用非线性动力学理论分析了该系统平衡点的稳定性以及Hopf分岔的存在性和稳定性.经过计算系统在平衡点的第一Lyapunov 系数判断Hopf分岔的方向及其稳定性,最后进行数值仿真验证理论分析的正确性.【期刊名称】《重庆文理学院学报（社会科学版）》【年(卷),期】2016(035)005【总页数】5页(P24-28)【关键词】混沌纠缠;稳定性;Lyapunov系数;Hopf分岔【作者】Kutorzi Edwin Yao;张建刚;秦爽【作者单位】兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O415.5近年来，人为构造混沌系统已经成为研究热点.混沌的研究开始于1963年，当时洛伦兹对一个天气预报数学模型进行研究[1].该模型表示即便是详细的大气模型也不能做相对长期的天气预测，而当时人们只能预测一个星期的天气[2]．混沌通常被定义为一个相对来说比较庞大的非线性现象，它与缺席微观量子领域以及经典物理学的关系非常密切．最近几年，许多学者热衷于对人工混沌系统的设计和构造，并且已经成为一个重要的研究领域[3-7]．文献[8]给出了一种被称为混沌纠缠的新的构造混沌的研究方法.这个方法的基本理论是运用纠缠函数的方式纠缠两个或多个稳定的线性子系统并且使其产生出一个人为构成的新混沌系统．混沌纠缠这种方法利用一种更为方便的手段构造并产生新的混沌吸引子．我们完全可以运用混沌纠缠的方法更加简单地构建出一类新的混沌系统. 学者们近几年在认识和研究混沌现象时，发现并构建了许多种混沌系统，许多人专注于这些混沌系统动力学特征的研究[9-10]．本文运用混沌纠缠的方法重新构建一个新的超混沌系统，并运用理论推导和数值仿真的方式对该系统存在混沌吸引子的结论做了进一步验证，同时对此系统的动力学行为进行了分析．考虑两个线性的子系统其中(x,y,z)为状态变量．当a<0,c<0并且d<0时，显然两个子系统是稳定的．经过正弦函数纠缠 (1) 与 (2) 两个线性子系统将会得出以下混沌系统其中a<0,c<0,d<0,(b,b1,d1,e)∈R4,纠缠函数为(sinx,siny,sinz)．当a=-2,b=6,c=3,d=-4,e=20,d1=40,b1=38时，系统(3)存在一个如图1所示的混沌吸引子．2.1 耗散性与吸引子的存在性根据系统(3)的向量场散度我们可以得到系统(3)是耗散的，也就是体积元v0在t时刻收缩到体积元V0e(2a+d)(t-t0)，并且当t→∞时，系统(4)轨线的每个小体积元都以指数率2a+d 收缩到0.系统(4)的轨线最终将被限制到体积为0的极限子集上，且被固定到1个吸引子上．2.2 对称性和不变性显然，系统(3)具有对称性，也就是说当变换(x,y,z)→(-x,-y,-z)时对全部的参数而言都具有不变性，若)是系统(3)的平衡点，则一定也是它的平衡点；若Γ(x,y,z)是系统(3)的一条轨道线，则Γ(-x,-y,-z)同样也是它的轨道线．2.3 有界性若一个系统是有界的，并且它有一个正的Lyapunov指数，则我们称这个系统是混沌的．定理1 当a<0,c<0,d<0时，系统(3)有界．证明把系统(3)写成下面的形式其中我们定义那么有‖x‖2+2e‖F‖‖x‖,其中,由于则令，并且定义当‖x‖≥M时,我们得到‖x‖‖x‖=0这说明系统(3)是有界的．2.4 平衡点的稳定性平衡点是分析新系统的动力学特性的重要元素，首先我们要找到系统的平衡点. 因为系统(3)存在很多个平衡点，并且找到它的精确解非常困难.为便于研究，只考虑当平衡点为E0=(0,0,0)时的情况．引理1 多项式p(λ)=λ3+p1λ2+p2λ+p3的所有根都有负实部的充分且必要条件为p1,p2,p3都为正数，且满足不等式p1p2>p3．定理2 当满足条件时，平衡点E0就是渐进稳定的．证明因为系统 (3) 在E0=(0,0,0)处的Jacobian 矩阵为并且相应的特征多项式为由引理1可以得到，平衡点E0是局部渐进稳定的充分必要条件是使公式(6)有负实部的特征根不等式，即a2+2ad+bc+be>0,2a+d>0,a2d-bcd-bde-b1d1(c+e)<0，且,成立．因此当条件(7)满足时，我们可以得到E0=(0,0,0)是渐进稳定的．系统(3)在平衡点E0处的Jacobian矩阵为可以得到以下的线性函数：A0的特征值为可得其中,,另外得,h11=(0,0,0)T,B(q,h11)=(0,0,0)T,.其中,以及假设系统是随着参数b的变化而变化的，在临界值b=b0处我们有ξ′(b0)=Re若ξ′(b0)≠0，那么Hopf 分岔横截性条件成立．定理3 系统(3)在平衡点E0处的第一Lyapunov系数为当l1≠0时，系统(3)在平衡点E0处发生Hopf分岔．特别地，若l1<0，系统发生超临界Hopf分岔；若l1>0，系统发生亚临界Hopf分岔．为了更好地验证上面的分析结果，选a=-2,c=2,d=-2,e=1,b1=15, d1=-3，则Hopf分岔临界值b0=3.437 5. 当b=6.55>b0时，系统的平衡点是稳定的；当b=1.705>b0时，平衡点是不稳定的，分别如图2、4所示．通过计算得l1=128.311 62>0,ζ′(b0)=-0.224 6，也就是说横截条件成立．所以，系统(3)此时在平衡点E0处发生亚临界Hopf分岔，且产生一个不稳定的极限环，如图3所示．本文通过混沌纠缠的方法人为构建了一个新的混沌系统，通过详细的理论推导和数值分析得出该系统存在混沌吸引子．此外，利用非线性动力学理论知识讨论了该系统平衡点的稳定性．通过Hopf分岔理论，对系统的Hopf分岔行为进行了详细分析，并且推导出系统产生Hopf分岔的参数条件．通过计算系统在平衡点的第一Lyapunov系数，判断了Hopf分岔的方向及其稳定性．【相关文献】[1]LORENZ E N.Deterministic non periodic flow[J].Journal of the Atmospheric Sciences, 1963(20)：130-141.[2]WATTS R. Global warming and the future of the earth[M].Morgan & Claypool, 2007.[3]唐良瑞,李静,樊冰，等．新三维混沌系统及其电路仿真[J]．物理学报, 2009, 58(2)：785-793．[4]李险峰,张建刚,褚衍东．一个新自治系统的动力学分析[J]．复杂系统与复杂性科学,2008,5(1):1672-3813．[5]杜文举.Vander Pol-Duffing系统的Hopf分岔分析及岔控制研究[D].兰州:兰州交通大学,2014.[6]HU D P, CAO H J. Bifurcation and chaos in a discrete-time predator-prey system of holling and leslie type[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2015,22:702-715.[7]ZALMAN B, HU Q W. Wieslaw K. Global hopf bifurcation of differential equations with threshold type state-dependent delay[J]. Journal of Differential Equations, 2014,257:2622-2670.[8]ZHANG H T, LIU X Z, SHEN X, et al. Chaos entanglement: a new approach to generate chaos[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2013, 23(5):1330014.[9]HU Z Y, TENG Z D, ZHANG L. Stability and bifurcation analysis in a discrete SIR epidemic model[J].Mathematics and Computers in Simulation, 2014,97:80-93.[10]WANG F X. Bifurcations of nonlinear normal modes via the configuration domain and the time domain shooting methods[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2015,20:614-628.。

混沌动力学中的Lyapunov指数与分岔图分析混沌动力学是一门研究非线性系统行为的学科，它揭示了一些看似混乱无序的系统中的一些规律和模式。

在混沌动力学中，Lyapunov指数和分岔图是两个重要的工具，它们帮助我们理解和描述混沌系统的特性。

首先，让我们来了解一下Lyapunov指数。

Lyapunov指数是用来衡量系统中的初始条件对系统演化的敏感程度的指标。

在混沌系统中，微小的初始条件差异可能会导致系统演化出完全不同的轨迹。

Lyapunov指数通过计算系统中相邻轨迹之间的指数增长率来描述这种敏感程度。

正的Lyapunov指数表示系统的轨迹会发散，而负的Lyapunov指数表示系统的轨迹会收敛。

Lyapunov指数的绝对值越大，系统的混沌性越强。

Lyapunov指数的计算可以通过数值模拟的方法来实现。

我们可以选择一个初始条件，然后计算系统在不同时间点上的状态。

接下来，我们选择一个微小的扰动，并将其加到初始条件上，再次计算系统的演化。

通过比较两个轨迹之间的差异，我们可以得到Lyapunov指数。

重复这个过程，我们可以得到整个系统中不同点上的Lyapunov指数分布。

这个分布可以帮助我们判断系统的混沌性质以及混沌的程度。

分岔图是另一个用于描述混沌系统的工具。

分岔图展示了系统在参数空间中的演化情况。

在分岔图中，我们将系统的某个特定状态量（如系统的输出）作为纵坐标，而系统的参数作为横坐标。

当系统的参数发生变化时，我们观察系统状态的变化。

如果系统的状态在某个参数值附近发生突变，我们就可以看到分岔现象。

分岔图可以帮助我们理解系统的稳定性和不稳定性，以及混沌的产生机制。

分岔图的构建可以通过数值模拟或实验测量来实现。

对于数值模拟，我们可以选择一个参数值，然后计算系统在不同时间点上的状态。

接下来，我们改变参数值，并再次计算系统的演化。

通过观察系统状态的变化，我们可以绘制出分岔图。

对于实验测量，我们可以改变系统的某个控制参数，并记录系统的输出。

在数学领域中，混沌动力系统与分岔理论是两个重要而引人注目的主题。

混沌动力系统是指那些对初始条件极其敏感，呈现出难以预测和复杂演化的系统。

分岔理论则是研究系统从一个稳定状态突变为多个稳定状态的过程。

这两个理论在许多领域都有广泛的应用，从自然科学到社会科学，深深地影响了人们对系统运行和演变的理解。

混沌动力系统最早是由美国气象学家、数学家爱德华·洛伦兹在1960年代中期提出的。

他的研究工作主要集中在研究大气运动模型。

在这个系统中，初始条件的微小变化会引起模型的输出结果相差甚远。

这引发了洛伦兹的兴趣，他将这种现象命名为“蝴蝶效应”来形容起初微弱的变化可能会引发大规模的效应。

洛伦兹在混沌动力系统的研究中发现了奇异吸引子的存在，这是一种引导系统演化过程的特殊性质。

奇异吸引子在混沌动力系统理论中起着重要的作用，它不仅提供了对系统行为的定量描述，同时也揭示了系统中的复杂结构。

分岔理论则着重研究系统的稳定性突变过程。

分岔是指当系统参数发生细微变化时，系统从一种稳定状态突变为另一种稳定状态的现象。

最著名的分岔是“费根鲍姆分岔”，早在19世纪末由法国数学家亨利·费根鲍姆提出。

他发现简单的非线性方程可能引起系统从一个稳定状态到周期运动，然后到混沌。

这种突变行为使得分岔理论成为许多自然现象的重要解释机制，例如生物进化、气候变化等。

混沌动力系统和分岔理论在现代科学中有广泛的应用。

在天气预报中，混沌动力系统理论帮助科学家们理解气象系统的复杂行为，进而提高了预测的准确性。

在物理学中，混沌动力系统的研究揭示了粒子运动的随机性和确定性之间的微妙平衡。

在生物学中，分岔理论帮助研究者理解进化过程中物种数量的突变和物种多样性的起源。

在社会科学中，混沌动力系统的影响范围更加广泛，从经济学到心理学，都有许多应用案例。

总之，数学中的混沌动力系统与分岔理论是对系统运行和演化进行研究的重要工具。

混沌动力系统的研究揭示了系统的复杂性和不确定性，而分岔理论则研究了系统从一个稳定状态到多个状态的突变过程。

霍普夫分岔的条件全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：霍普夫分岔（Hopf Bifurcation）是一种在动力系统理论中非常重要的现象，它描述了当系统参数发生改变时，系统可能从稳定状态变为周期解的过程。

霍普夫分岔现象在物理、生物、经济等领域都有广泛的应用，对于理解复杂系统的行为具有重要意义。

霍普夫分岔的条件是一个系统必须具备的特定条件，只有满足这些条件系统才会出现霍普夫分岔。

在数学上，霍普夫分岔的条件主要有两种情况：一是系统的特征值以纯虚数的形式相遇，并且发生分岔。

这种情况通常在二维系统或三维系统中出现，系统的特征值在实空间中不相交，在虚空间中相遇并且交错。

当特征值相交的时候，系统出现分岔，从一个稳定状态变为周期解。

霍普夫分岔的条件是非常严格的，系统必须满足特定的数学条件才会出现这种现象。

霍普夫分岔的研究对于理解复杂系统的行为具有深远的意义，可以帮助人们预测系统的行为和变化趋势。

在实际应用中，通过对系统参数进行调节，可以引发霍普夫分岔，从而实现系统状态的转变和控制。

第二篇示例：霍普夫分岔是一种在动力系统中经常出现的现象，即系统的行为在某些参数值发生微小改变时，可能会出现质的转变。

这种现象在分岔理论中扮演了重要角色，可以帮助我们理解复杂系统的行为。

在这篇文章中，我们将讨论霍普夫分岔的条件以及其在自然界和工程领域中的应用。

霍普夫分岔的条件可以通过动态系统的微分方程来描述。

考虑一个一维非线性动态系统，其状态变量为x，系统的演化由下面的微分方程描述：dx/dt = f(x,μ)其中f是系统的动力学方程，μ是系统的参数。

在某些参数值μ0附近，系统可能会产生霍普夫分岔。

分岔点通常是一个不稳定的定点，当系统的参数值超过这一点时，系统的行为将发生质的变化。

霍普夫分岔的条件可以用下面的公式来描述：f'(x*) = 0, f''(x*) ≠ 0其中x*是分岔点，f'(x*)和f''(x*)分别是系统在x*处的一阶和二阶导数。

四维超混沌系统Hopf分岔分析与反控制张良;唐驾时【摘要】对超混沌系统进行分岔反控制的研究已成为当前一个重要研究方向,常采用线性控制器实现反控制.首先,对一个四维超混沌系统的Hopf分岔特性进行了分析,利用高维分岔理论推导出分岔特性与参数之间的关系式,以此判断系统的分岔类型.然后,设计一个由线性与非线性组合成的混合控制器对系统进行分岔反控制,控制参数取值不同时,系统会呈现出不同的分岔特性.通过分析得出,调控线性控制器参数可以使系统Hopf分岔提前或延迟发生;同时,调控混合控制器的两个控制参数,可以改变系统Hopf分岔特性,实现分岔反控制.【期刊名称】《计算力学学报》【年(卷),期】2018(035)002【总页数】7页(P188-194)【关键词】超混沌系统;Hopf分岔;混合控制器;分岔反控制【作者】张良;唐驾时【作者单位】湖南大学机械与运载工程学院,长沙410082;湖南大学机械与运载工程学院,长沙410082【正文语种】中文【中图分类】O313.7;Q175.131 引言分岔反控制是系统在预设参数点通过控制产生期望的分岔行为，是分岔控制的逆过程，不是消除或者避免分岔，而是产生分岔[1-9]，对混沌系统进行分岔反控制已成为非线性科学研究的一个新领域。

对此取得研究成果的文献不多，文献[1]详细介绍了Hopf分岔反控制的理论、方法和技术。

文献[2]分析了三维混沌系统出现的余维1、余维2和余维3 Hopf分岔,并提出了一个非线性控制器进行Hopf分岔反控制。

文献[3]利用Washout filters法对Chen系统进行时滞分岔控制。

对超混沌系统的研究主要集中在系统分岔特性的分析，很少对系统分岔反控制进行分析。

文献[10]应用多尺度法和奇异性理论，对处于磁场中轴向运动的导电薄板磁弹性动力学进行了分岔特性分析，研究了不同参数取值对系统表现出来的分岔和混沌的影响。

文献[11]对经典Lü系统进行演变，增设一个非线性状态反馈控制器，产生了一个新的四维自治系统，并对该系统进行了简要的超混沌特性分析，采用自适应法设计了控制器对这种混沌行为进行控制,但缺少对新系统的分岔分析和反控制。

一个类Lorenz混沌系统Hopf分岔反控制作者：张良唐驾时来源：《振动工程学报》2018年第05期摘要： 对混沌系统进行反控制可以实现分岔提前或者延迟发生，满足工程实际需要。

以一个类Lorenz 混沌系统为研究对象，根据Routh-Hurwitz 准则和高维Hopf 分岔理论，分析了系统Hopf 分岔特性；提出了一种动态状态反馈控制法，对系统进行Hopf 分岔反控制。

通过调控控制参数，可以在预定任意位置产生Hopf分岔，使Hopf分岔提前或延迟发生，达到了预期的反控制目的。

从分析结果看出，提出的动态状态反馈控制法可以避免复杂的计算过程，能够有效地实现对混沌系统的Hopf分岔反控制。

关键词：非线性振动；混沌系统； Routh-Hurwitz准则； Hopf分岔反控制；动态状态反馈控制法中图分类号： O322 文献标志码：A 文章编号1004-4523（2018）05-0752-07DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2018.05.004引言自1963年，E N Lorenz实验中偶然发现混沌吸引子，即Lorenz系统以来，对于混沌系统的认识和研究取得了极大的进步。

现在人们不仅关注发现新的混沌系统，更关注系统自身混沌和分岔特性的研究。

杨启贵等[1]提出了一个新的类Lorenz系统，分析了系统的规范型。

Mello 等[2]研究了一个三维类Lorenz系统的混沌吸引子，通过第一李雅普诺夫系数分析了系统的分岔特性。

Li等[3]提出了一个新的类Lorenz混沌系统，分析了该系统的同宿轨道，以及系统在不同平衡点下的分岔特性。

Shan Wang等[4]提出了一个五维类Lorenz系统，分析了系统分数阶分岔。

分岔控制与反控制已成为非线性动力学研究的重点方向之一。

而分岔反控制是分岔控制的逆过程，其主要目的是通过控制系统參数，使系统在预先设置的临界值上出现预期的分岔现象，是产生分岔的过程，而不是避免或者消除[5-10]。