何谓hopf分岔

随机机械系统的稳定性及Hopf分岔分析随机机械系统的稳定性及Hopf分岔分析随机机械系统是指在外界激励下，由多个机械元件构成的系统。

这些元件之间通过连杆、轴等连接，形成一个复杂的结构。

随机机械系统广泛应用于自动化、机械工程等领域，其稳定性研究对于系统的可靠性和性能至关重要。

稳定性是随机机械系统研究中的一个核心问题。

随机机械系统受到外界的各种随机激励，如摩擦力、噪声等，这些随机因素会对系统产生不确定的影响，导致系统的运动变得复杂和难以预测。

因此，研究随机机械系统的稳定性是解决这些问题的关键。

Hopf分岔是一种典型的非线性现象，也是研究随机机械系统稳定性的重要方法之一。

当系统参数经过一定的改变时，系统的稳定性可能发生突变，从而导致系统出现周期性运动或混沌行为。

通过Hopf分岔分析，可以确定系统在不同参数值下的运动状态，评估系统的稳定性以及确定系统的优化方案。

在实际工程应用中，随机机械系统的稳定性研究常常需要考虑多种影响因素。

例如，系统结构的复杂性、元件之间的耦合程度、外界激励的类型和强度等。

这些因素综合作用于系统的运动特性和稳定性，对系统的设计和优化提出了更高的要求。

对于随机机械系统的稳定性研究，可以通过数学模型建立和仿真分析来进行。

通过建立系统的运动方程和边界条件，可以利用数值方法求解系统的稳定解。

在计算过程中引入随机项，可以模拟随机激励对系统的影响，得到系统的运动轨迹和稳定性指标。

随机机械系统的稳定性研究不仅可以在系统设计和优化中发挥重要作用，还可以为实际应用中的故障诊断和故障预测提供参考。

例如，在工业自动化生产线中，通过对随机机械系统的稳定性分析，可以判断系统是否存在故障，并采取相应的维修和调整措施，以保证生产线的正常运行。

然而，随机机械系统的稳定性研究也存在一些挑战和困难。

首先，系统模型的建立和求解本身就是一个复杂的过程，需要考虑多种因素的综合作用。

其次，随机机械系统的运动是一个非线性、非平稳的过程，涉及到多种概率统计方法和数值计算技术。

鞍点分岔 、跨临界分岔、叉形分岔都是静态分差也都是余维一分岔。

霍普夫分岔是一种非常特殊的分岔，它是四种余维一分岔里仅有的一种二维分岔，而且霍普夫分岔不属于静态分岔，而是动态分岔的一种。

考虑单参数系统),(μx f x =其中R R x n ∈∈μ,。

设0),(0=μx f ，及对一切μ，),(0μx 都是平衡点，且当0μμ=时， ),(00μx f D x 有一对纯虚共轭特征值，而其他n-2个特征值有非零实部，则),(00μx 是非双曲平衡点，故结构不稳定。

由中心定理知，当0μμ=时，系统在平衡点有二维中心流行，因为可以利用中心流行方法把n 维系统的分岔问题化为二维系统的分岔问题去讨论。

不是一般性，取)0,0(),(00=μx 。

设经由中心流行方法化简得到的二维系统为将其泰勒展开得R R x t o h x f x f x A x ∈∈+++=μμ,,..)()()(232其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00)0(,)()(),(,21ωωμωμωμμμμA d c c d A x f D x x x xRR x x f x ∈∈=μμ,),,(2d c ,分别为雅可比矩阵),(μx f D x 的特征值)()()(μβμαμλi ±=的虚部和实部在（0,0）点的导数值，即)0(),0(αβ'='=d c 。

霍普夫分岔定理 系统),(μx f x= 满足： （1）),0(μf ，且（0,0）为系统的非双曲平衡点；（2）),0()(μμf D A x =在0=μ附近有一对复特征值)()(μβμαi ±。

例 考虑van der Pol 系统0)(202=+--x x x x ωμ 的分岔情况，式中R R x ∈∈μ,2解：令y x= ，则原系统变为 ⎩⎨⎧-+-==y x x y y x )(220μω 再令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x z ，则有 ()μμω,)(220z f y x x y y x z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 容易验证R f ∈∀=μμ,0),0(且此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==μωμμ2000),0()(f D A x,)(,)(32032211222121313032032211222121313032202211121202202211121202⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=x b x x b x x b x b x a x x a x x a x a x f x b x x b x b x a x x a x a x f当且仅当02ωμ<时，)(μA 有一对共轭特征值()()()μβμαμωμμλi i +=-±=242202,1 故有()()81,021)0(,00,0010=>='=>==a d αωβα 由于1a 与d 异号，故有超临界霍普夫分岔发生。

不可压缩流中二元机翼运动的Hopf分岔周碧柳;徐慧东;魏延;韩志军【摘要】机翼的颤振是一种典型的自激振动,它是由气动力、弹性力和惯性力的相互作用引起的一种气动弹性现象.本文研究了具有结构非线性刚度恢复力的机翼颤振的Hopf分岔问题.首先,利用连续时间的Hopf分岔显式临界准则分析了机翼颤振Hopf分岔的存在性,推导了第一李雅普诺夫系数的通项公式,为判定机翼Hopf 分岔的稳定性提供了依据.其次,分析了机翼颤振退化的余维二Hopf分岔的存在性条件,得到了满足条件的双参数分岔区域.然后,推导了第二李雅普诺夫系数的通项公式并结合中心流形降阶原理和同构变换进一步分析了余维二Hopf分岔的稳定性以及其局部开折问题.最后,通过推导第三李雅普诺夫系数分析了余维三Hopf分岔中心的稳定性.【期刊名称】《动力学与控制学报》【年(卷),期】2019(017)001【总页数】8页(P78-85)【关键词】退化Hopf分岔;Lyapunov系数;极限环;机翼【作者】周碧柳;徐慧东;魏延;韩志军【作者单位】太原理工大学力学学院,太原030024;太原理工大学力学学院,太原030024;太原理工大学力学学院,太原030024;太原理工大学力学学院,太原030024【正文语种】中文引言机翼的颤振是由气动力、弹性力和惯性力的相互作用引起的一种自激振动现象.作为一种典型的自激系统,机翼通过从气流中吸收能量,持续发生稳定或不稳定的振动,相应的产生良性颤振或不良颤振,其中的不良颤振可能会引起灾难性的后果.因此,对机翼的气动弹性行为的分析及预判显得十分重要.当飞行速度低于音速时,大部分研究主要考虑由结构的非线性弹性力引起的机翼颤振行为.早在19世纪50年代Woolston[1]和Shen[2]等人就研究了这种具有结构非线性机翼的颤振行为.Lee[3,4]和Liu[5]等人从理论和数值两方面进一步对具有结构非线性机翼的颤振行为做了深入的研究.O′Neil等人[6]从实验角度调查了极限环振荡的颤振边界问题并得到了与数值模拟一致的满意结果.随着分岔理论的不断深入,对结构非线性机翼运动的研究有了新的视角.从本质上来说,机翼颤振所产生的极限环主要来源于Hopf分岔.许多学者对机翼颤振的Hopf 分岔问题做出了不少有价值的研究成果.Zhao等人[7,8]建立了二元机翼颤振的动力学方程,为进一步的分岔研究提供了良好的开端.Zhang[9]等人研究了机翼系统的局部分岔行为,提出了降低颤振幅值和避免不稳定极限环运动的措施.Anton等人[10]建议了一种基于随机范式的新方法研究了参数不确定性对机翼系统Hopf分岔的影响.Wu等人[11]通过数值计算方法讨论了机翼系统极限环颤振的复杂分岔行为.Wu 等人[12]通过Gegenbauer多项式逼近法研究了不可压缩流中参数不确定性对二元机翼颤振特性的影响.Price[13]和Singh[14]采用描述函数法分别调查了系统在时域和频域上的颤振特性.Ding等人[15]研究了结构系数对机翼颤振Hopf分岔拓扑结构的影响,他们发现在适当的参数下系统能发生亚临界的Hopf分岔和超临界的Hopf分岔.Chen等人[16]通过改进等效的线性化方法研究了带有非线性阻尼机翼系统的颤振行为.Cui等人[17]提出了一种基于精细积分法的数值算法研究了带有间隙机翼系统的非线性气动弹性响应问题.Yang等人[18]研究了不同马赫数下带有间隙的气动弹性机翼的极限环振荡行为.以上研究都没有涉及到二元机翼颤振的退化Hopf分岔问题.本文研究了二元机翼颤振的余维一、余维二、余维三Hopf分岔以及相应的局部动力学行为.首先,基于二元机翼颤振的动力学方程研究了系统的Hopf分岔的存在性,并通过推导第一Lyapunov系数分析了分岔解的稳定性.然后,通过推导第二Lyapunov系数的表达式并使用中心流形-方式方法研究了二元机翼的余维二退化Hopf分岔.最后,通过推导第三Lyapunov系数并结合数值计算方法研究了余维三Hopf分岔的稳定性.1 数学模型和动力学方程本文考虑具有结构非线性刚度恢复力的两自由度机翼系统,其动力学方程为[7,19](1)其中,h表示机翼尖端上下沉浮高度,α表示机翼俯仰角,V表示广义气流速度,kα表示扭转结构弹性力,kα具有如下表达式kα(α)=k0+k1α+k2α2+k3α3+k4α4+o(α4)(2)令X=(x1,x2,x3,x4)T=(h,,α,,可得运动方程的标准形式为(X,ζ)=AX+ψ(X)(3)其中,ζ代表一个或多个系统参数,线性化矩阵A和非线性项ψ(X)分别如下:A=ψ(4)2 二元机翼的Hopf分岔2.1 Hopf分岔的存在性由于系统(3)是一个四维的系统,相应的雅克比矩阵的特征值虽然具有解析表达式,但形式很复杂,若使用传统的Hopf分岔临界准则通过检验特征值是否满足分岔的临界条件来分析Hopf分岔的存在性不太方便.这里,采用不直接依赖于特征值计算的Hopf分岔的显式临界准则来分析Hopf分岔的存在性.系统(3)有一个平衡点X*=(0,0,0,0),在平衡点X*处的线性化矩阵A对应的特征多项式为p(λ,ζ)= λ4+p1(ζ)λ3+p2(ζ)λ2+p3(ζ)λ+p4(ζ)(5)其中,ζ代表系统参数V 和 k0 中的任意一个.特征多项式系数pi(ζ) (i=1,…,4) 如下: p1(ζ)=0.8p2(ζ)=-0.15V+2.29k0+0.34p3(ζ)=-0.04V+1.14k0+0.04p4(ζ)=-0.02V+0.46k0(6)引理1[20] 系统(3)在ζ=ζ0会发生Hopf分岔,当且仅当满足下列条件:h1(ζ0)= 0.003V2-0.115Vk0-0.002V+0..010=0h2(ζ0)=-0.073V+0.686k0+0.229>0h3(ζ0)=-0.018V+0.457k0>0h4(ζ0)=-0.115V+1.567k0≠0h5(ζ0)=0.007V-0.115k0-0.002≠0(7)在引理1中,条件h1(ζ0)=0保证了线性化矩阵A恰好有一对共轭的复根位于虚轴上；条件hi(ζ0)>0(i=2,3)保证了除这对共轭的纯虚根以外的特征值全部位于虚轴的左半平面；条件hi(ζ0)≠0(i=4,5)确保了这对共轭的复根随参数的变化穿越虚轴的速度不等于零.由此可见,引理1中的条件(7)保证了线性化矩阵A具有一对纯虚根且这对纯虚根在参数扰动下穿越虚轴的速度不为零,其它另外两个根具有负实部. 基于条件(7),可得到如图1所示的Hopf分岔图.图1 系统(3)的Hopf分岔图Fig.1 Hopf bifurcation diagram of the system (3) 在图1中,绿色区域代表平衡点p0的稳定区域,该区域由不等式条件hi(ζ0)>0(i=2,3)以及h1(ζ0)>0得到；白色区域表示潜在的分岔参数域,该区域由不等式条件hi(ζ0)>0(i=2,3)以及h1(ζ0)<0得到；而在灰色区域,hi(ζ0)(i=2,3)中至少有一个不等式条件失效；红色曲线l1由等式h1(ζ0)=0得到,它表示Hopf分岔临界曲线；尽管灰色区域中的红色曲线能保证矩阵A具有一对共轭的纯虚数特征值,但不能保证其他特征值全部具有负实部；黑色虚线l4和l5由等式hi(ζ0)=0(i=4,5)得到,它表示这对复共轭特征值穿越虚轴的速度为零,即横截条件失败.因此,分岔参数的选择应该避开l4与l1的交点P1以及l5和l1的交点P2.2.2 Hopf分岔的方向和分岔极限环的稳定性在2.1节中保证系统(3)能产生Hopf分岔的基础上,分岔后出现的分岔极限环的稳定性取决于系统(3)的非线性项.本文使用投影法[21]通过推导第一李雅普诺夫系数来分析分岔解的稳定性.对于系统(3),通过坐标变换将分岔点ζ0和平衡点X*平移到零点,平移后的变量仍然使用X,参数变为ε=ζ-ζ0,于是,系统(3)变换成,ε)(8)将变换后的系统(8)在X=0处级数展开,有,ε(X,X)+,X,(X,X,X,X)+(X,X,X,X,X)+O(‖X‖6)(9)式(9)中A为系统(8)在平衡点和分岔点处的雅克比矩阵,即(0,0),A有一对复共轭特征值λ1,2(ε)满足λ1,2(0)=±iω0和dRe(λ1,2(ε))/dεε=0≠0,其余特征值λ3,4(ε)满足Re(λ3,4(0))<0.设q是A对应特征值λ1(0)=iω0的复特征向量,p是伴随矩阵AT对应特征值λ2(0)=-iω0的复特征向量,有下面的关系式Aq=iω0q, ATp=-iω0p(10)其中,p和q满足标准化形式<p,. 式(9)中的高阶项具有如下的一般形式:Bi(x,Ci(x,y,Di(x,y,z,Ei(x,y,z,u,(11)下面来推导第一李雅普诺夫系数,其表达式定义为[21](12)其中,G21=<p,H21>,H21=C(q,q,,h20)+2B(q,h11),h20=(2iω0I-A)-1B(q,q),h11=-A-1B(q,.由表达式(12)可知第一李雅普诺夫系数的推导仅需要(9)式中的高阶项B(X,X)和C(X,X,X),后面的高阶项D(X,X,X,X)和E(X,X,X,X,X)在研究退化的余维二和余维三Hopf分岔会用到.通过推导求得符合条件(10)的特征向量q和p的表达式如下:(13)其中,k0=0.065V+0.007+0....038V-0.16k0-0..15i-0.03iV+0.13ik0)ω0-0.00014V+0.00058k0+0.011]/[(-0.14V+0.58k0+0.057iω0)(0.27iω0+0.11)]由表达式(4)中的非线性项ψ(X)和表达式(11),推导得到,(14)(14)式中的k1和k2是参数,ξ3,η3和ρ3是变量.利用表达式(13)和(14),可求得h11和h20如下:其中,s1=0....26iω0,s2= 0...9...096iω0V-2.2iω0k0-0.098iω0+0.019V-0.47k0)(-0.7V+2.9k0+0.285iω0)2,s3=0.57iω0+0.s5=-0.14V+0.58k0-0.057iω0,s6=0.019V-0.47k0于是,由(13),(14)和(15),求得:(16)其中,s7=4.5iω0+0.,si(i=1…6)如上式所示.这样,系统(3)Hopf分岔后解的稳定性可以由下面的引理2来确定.引理2[21] 系统(3)的雅克比矩阵DXf(X*,ζ)在分岔点ζ=ζ0处有一对纯虚根λ1,2(ζ0)=±iω0,而其它特征值的实部Re(λ3,4(ζ0))<0,那么在ζ=ζ0处,当L1(V,k1,k2)<0(或L1(V,k1,k2)>0),从X*分岔出稳定的(不稳定的)极限环.其中,第一李雅普诺夫系数L1(V,k1,k2)具有下面的表达式:L1(V,k1,.ω0-4..7.2..27iω0+0.11))](17)使用表达式(17)可以得到一个三维曲面的第一李雅普诺夫系数图,如图2所示.图2 系统(3)的第一李雅普诺夫系数图Fig.2 The first Lyapunov coefficient diagram of the system (3)从图2可以看出,曲面的内侧对应于L1<0,曲面外侧对应于L1>0.若选择曲面内侧的参数,那么发生Hopf分岔后会产生一个稳定的极限环.作为一个算例,选取曲面内侧的一组参数V=4,k1=0.1,k2=0.5,通过选择ζ0附近合适的参数ζ,得到系统(3)的一个稳定的极限环,如图3所示.3 二元机翼的退化Hopf分岔第二节研究了系统(3)的非退化的Hopf分岔.这一节将通过推导第二李雅普诺夫系数和第三李雅普诺夫系数的表达式进一步来研究高余维情况下的退化Hopf分岔. 图3 在k0=0.415处系统(3)产生的一个稳定的极限环(外面的红色曲线)Fig.3 A stable limit circle of system (red curve) (3) at k0=0.4153.1 二元机翼的余维二Hopf分岔在满足引理1中条件(7)的情况下,余维二Hopf分岔意味着第一李雅普诺夫系数表达式(17)退化为零.因此,退化的余维二Hopf分岔的存在性条件还要求L1(V,k1,k2)=0.在2.2节中,图2中的曲面意味着第一李雅普诺夫系数L1(V,k1,k2)等于零,将这个曲面投影到由V和k2张成的平面,得到曲线η(见图4),这意味着曲线η上面的点满足L1(V,k2)=0.曲线η上面的点G是第二李雅普诺夫系数的表达式在V和k2张成的平面上的投影与曲线η的交点,这样G点也满足第二李雅普诺夫系数等于零,这意味着点G是一个余维三Hopf分岔点.将在下一小节进一步分析退化的余维三Hopf图4 系统(3)的退化Hopf分岔图Fig.4 Degenerate Hopf bifurcation diagram of the system (3)为了研究余维二Hopf分岔的稳定性,需要推导第二李雅普诺夫系数L2的表达式,其表达式定义为[21](18)其中,G32=〈p,H32〉(19)H32= 6B(h11,,,h20)+3B(q,,h31)+6C(q,h11,h11)+3C(q,,h20)+3C(q,q,,,h21)+,h20,,,h30)+D(q,q,q,6D(q,q,,h11)+3D(q,,,h20)+E(q,q,q,,(20)其中,h22= -A-1[D(q,q,,,,h11)+,,h20)+C(q,q,2B(h11,h11)+2B(q,,,h20)]h31= (2iω0I4-A)-1[3B(q,,h30)+3B(h20,h11)+3C(q,q,h11)+3C(q,,h20)+D(q,q,q,由表达式(4)中的非线性项ψ(X)和表达式(11),推导得到,(21)其中,k3和k4是参数,ξ3,η3,ρ3,θ3和ε3是变量.利用表达式(13),(16),(20)和(21),通过推导可得(22)其中,hijk是hij第k个元素,qi是q第i个元素.系统(3)退化余维二Hopf分岔的局部开折可由下面的引理3来确定.引理3[22] 对于系统(3),在第一李雅普诺夫系数退化为零的情况下,第二李雅普诺夫系数具有下面的表达式:.4h113h213+0.+2..7q3h223+1....(23)那么,退化余维二Hopf分岔的局部开折类型可由表达式(23)的符号来确定.对于图4上的曲线η,上面的G点将其分为上下两段,上面一段意味着第二李雅普诺夫系数L2>0,下面一段意味着第二李雅普诺夫系数L2<0.不同符号的L2对应不同的局部开折.3.2 二元机翼的余维三Hopf分岔所谓余维三Hopf分岔点,即第一和第二李雅普诺夫系数同时退化消失.为了方便研究,将第一和第二李雅普诺夫系数投影到由k1和k2所张成的平面(V=4),如图5所示.在图5中,红色曲线r1表示第一李雅普诺夫系数L1=0,蓝色曲线r2表示第二李雅普诺夫系数L2=0,曲线r1和r2的交点Q是一个余维三Hopf分岔点.运用数值计算方法,可算出点Q点的坐标为,(0.138401,0.049878).图5 系统(3)的退化余维三Hopf分岔点Fig.5 Degenerate co-dimension three Hopf bifurcation point of the system (3)为研究余维三Hopf点的稳定性,采取数值方法来计算第三李雅普诺夫系数.选取参数k3=0.8,k4=0.5,数值计算Q点处相对应量的表达式如下:,(24)根据第三李雅普诺夫系数L3的定义[21],,H43>(25)由表达式(24)中的p和H43以及表达式(25),求得L3=-0.000363,由L3<0,可知余维三Hopf是稳定的.4 结论本文研究了二元结构非线性机翼余维一,余维二和余维三的Hopf分岔及其稳定性.基于不直接依赖特征值特性的显式Hopf分岔临界准则给出了Hopf分岔的存在性条件.推导获得了第一李雅普诺夫系数的表达式,基于此表达式分析了余维一Hopf 分岔的稳定性.基于第一李雅普诺夫系数退化的条件,得到了退化的余维二Hopf分岔的双参数分岔区域.推导获得了第二李雅普诺夫系数的表达式,基于此表达式并运用中心流形降阶原理和同构变换分析了余维二Hopf分岔的稳定性.通过数值计算第三李雅普诺夫系数分析了余维三Hopf分岔及其稳定性.参考文献【相关文献】1 Woolston D S, Runyan H L. 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非线性转子—密封系统Hopf分岔1丁千陈予恕(天津大学力学系，天津 300072)摘 要:首先采用Muszynska 密封力模型分析单圆盘平衡转子密封系统的线性化稳定性与系统参数的关系。

理论分析表明, 平衡点失稳导致系数产生Hopf 分叉, 利用Poo re 的代数判据确定了转子Hopf 分叉解的分叉方向和周期轨道的稳定性, 数值模拟验证了理论分析结果。

然后研究不平衡质量对失稳运动的影响, 即周期扰动的Hopf 分岔问题。

研究得到了转子在分岔点附近的1/2 亚谐共振情况下的振动性态, 为转子亚谐共振故障的识别和预防提供了一些新的理论依据。

关键词:转子密封系统；Hopf分岔；亚谐共振；1.引言随着300MW、600MW等大容量机组的大量投运，汽流激振问题日益暴露出来。

目前国内已有一些机组的高压(或高中压)转子在运行中发生汽流激振引起的不稳定低频振动。

例如，作为当前我国火力发电的主力的国产300MW机组，据不完全统计，已有20多台机组的高压(或高中压)转子发生过汽流激振故障，严重影响电厂的安全运行。

根据汽流激振机理和国外大机组的运行经验，汽流激振问题更容易发生在高参数、大容量汽轮机的高压转子上，尤其是超临界压力机组。

由于蒸汽激振力近似地正比于机组的出力，因此由汽流激振引起的不稳定振动，成为限制超临界压力机组出力的重要因素。

随着国产超临界机组的加紧研制和将来的陆续投运，也必将会面临此类低频振动问题。

因此，加强超临界机组汽流激振的研究显得非常重要。

汽轮机汽流激振力主要有两种：一是叶顶间隙激振力。

汽轮机叶轮在偏心位置时，由于叶顶间隙沿圆周方向不同，蒸汽在不同间隙位置处的泄露量不均匀，使得作用在各个位置叶轮的圆周切向力不同，就会产生一作用于叶轮中心的横向力(合力)，即间隙激振力。

间隙激振容易发生在汽机大功率区段及叶轮直径较小和短叶片的转子（即大型汽机的高压转子）上，它使转子产生较大的正向涡动。

这一现象首先被Thomas和Alford发现并给予解释，因此也称为Alford效应，间隙激振力也称为Alford力。

霍普夫分岔的条件全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：霍普夫分岔（Hopf Bifurcation）是一种在动力系统理论中非常重要的现象，它描述了当系统参数发生改变时，系统可能从稳定状态变为周期解的过程。

霍普夫分岔现象在物理、生物、经济等领域都有广泛的应用，对于理解复杂系统的行为具有重要意义。

霍普夫分岔的条件是一个系统必须具备的特定条件，只有满足这些条件系统才会出现霍普夫分岔。

在数学上，霍普夫分岔的条件主要有两种情况：一是系统的特征值以纯虚数的形式相遇，并且发生分岔。

这种情况通常在二维系统或三维系统中出现，系统的特征值在实空间中不相交，在虚空间中相遇并且交错。

当特征值相交的时候，系统出现分岔，从一个稳定状态变为周期解。

霍普夫分岔的条件是非常严格的，系统必须满足特定的数学条件才会出现这种现象。

霍普夫分岔的研究对于理解复杂系统的行为具有深远的意义，可以帮助人们预测系统的行为和变化趋势。

在实际应用中，通过对系统参数进行调节，可以引发霍普夫分岔，从而实现系统状态的转变和控制。

第二篇示例：霍普夫分岔是一种在动力系统中经常出现的现象，即系统的行为在某些参数值发生微小改变时，可能会出现质的转变。

这种现象在分岔理论中扮演了重要角色，可以帮助我们理解复杂系统的行为。

在这篇文章中，我们将讨论霍普夫分岔的条件以及其在自然界和工程领域中的应用。

霍普夫分岔的条件可以通过动态系统的微分方程来描述。

考虑一个一维非线性动态系统，其状态变量为x，系统的演化由下面的微分方程描述：dx/dt = f(x,μ)其中f是系统的动力学方程，μ是系统的参数。

在某些参数值μ0附近，系统可能会产生霍普夫分岔。

分岔点通常是一个不稳定的定点，当系统的参数值超过这一点时，系统的行为将发生质的变化。

霍普夫分岔的条件可以用下面的公式来描述：f'(x*) = 0, f''(x*) ≠ 0其中x*是分岔点，f'(x*)和f''(x*)分别是系统在x*处的一阶和二阶导数。

电磁辐射下神经元电活动的次临界hopf分岔和随机共振电磁辐射下神经元电活动的次临界Hopf分岔和随机共振是一种研究神经元电活动的新方法。

在神经科学领域中，人们一直在探索神经元的电活动对电磁场的响应，这是一个非常重要的研究方向。

随着技术的不断发展和研究的深入，我们逐渐认识到，在电磁场下，神经元电活动的发生和变化有其特殊的规律和机理。

在这一领域的研究中，次临界Hopf分岔和随机共振成为了一个非常重要的工具。

次临界Hopf分岔是指当一个系统处于稳定状态时，即系统的状态在不受外界干扰的情况下保持不变，但在某些外界扰动下，系统的状态会发生转变，这种转变就是Hopf分岔。

随机共振是指当一个系统受到外界扰动时，如果系统自身产生的随机性恰好与外界扰动的频率匹配，那么系统在外界扰动下会产生一些特殊的反应，这就是随机共振。

在神经元的电活动中，次临界Hopf分岔和随机共振也发挥了重要作用。

首先，次临界Hopf分岔可以帮助我们了解神经元在电磁场下的响应规律。

神经元的电活动受到电磁场的干扰后，通常会出现周期变化的情况。

例如，有些神经元在电磁场下会出现alpha节律，这种节律大约是10Hz左右的周期变化。

那么，我们就可以利用次临界Hopf 分岔的方法来研究这种节律的产生和变化，进一步了解神经元的电活动规律。

其次，随机共振可以帮助我们了解神经元的信号传递机制。

神经元之间的信号传递需要精确的时间和空间调控，否则可能会出现传递失败的情况。

而在电磁场下，系统的随机性很高，这就给信号传递带来了很大的挑战。

但是，如果神经元本身产生的随机性与外界扰动的频率匹配，那么信号传递的成功率就会增加，这就是随机共振的作用。

因此，利用随机共振的方法，我们可以进一步了解神经元之间信号传递机制的细节。

综上所述，电磁辐射下神经元电活动的次临界Hopf分岔和随机共振是一种非常有用的研究方法。

通过这种方法，我们可以更深入地了解神经元的电活动对电磁场的响应规律和信号传递机制，为神经科学的研究提供新的突破口。

4.2.1 Hopf 分岔定理当参数变化时，系统的行为在稳定的平衡点和稳定的极限环之间切换，这种动力学演化过程称为Hopf 分岔。

该分岔由Hopf 于1942年进行了严格的理论证明，即Hopf 分岔定理。

Hopf 分岔定理：假定系统为)(x f xμ= ，其中n x R ∈为状态变量，R μ∈为系统参数，当0μμ=时，系统有平衡点()00,μx ，且满足：(1)00()x D f x μ除了有一对共轭的纯虚数特征根外，其余特征根实部均不为0； (2)()()0Re 0d d d μμλμμ==≠ (4-1)则系统在平衡点()00,μx 处发生Hopf 分岔，产生平衡点和极限环之间的状态演化过程。

Hopf 分岔包含2种情况，● 极限环在参数μ大于分岔值μ0的范围内存在，称为超临界(supercritical)Hopf 分岔，如图4.3(a)所示；● 极限环在参数μ小于分岔值μ0的范围内存在，称为亚临界(subcritical)Hopf 分岔，如图4.3(b)所示。

(a) 超临界Hopf 分岔(b) 亚临界Hopf 分岔图4.3 Hopf 分岔图Fig.4.3 Hopf bifurcationHopf 分岔的基本概念可以用移相式RC 正弦振荡器来说明，RC 正弦振荡器如图4.4所示，其中放大器转移特性为：3333)(mv kv v g v o +-== (4-2) A R RR C C C v +-v 2+-v 3+-v +-图4.4 RC 正弦振荡器Fig.4.4 RC sinusoidal oscillator当电路中放大器的线性电压放大倍数k >29时，振荡器中将产生稳定的周期振荡，振荡频率06f ≈3个动态元件(电容)，我们可分别以3个电容电压为状态变量列出状态方程为：112021233231(2)1(2)1()dv v v v dt RC dv v v v dt RC dv v v dt RC ⎫=-++⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=-⎪⎭(4-3)代入放大器的转移特性，并令t RCτ=将时间归一化后，则有非线性状态方程： 311233212332322dv v v kv mv d dv v v v d dv v v d τττ⎫=-+-+⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=-⎪⎭(4-4) 令上式等于0，可得相点(v 1，v 2，v 3)＝(0，0，0)是该电路唯一的平衡点。

一类食饵-捕食模型的稳定性和Hopf分岔引言：食物链是自然界中生物互相作用的重要方面之一，而食饵-捕食模型是描述这种互相作用的数学模型之一。

在这类模型中，食饵是指养分来源，捕食者则以食饵为食。

在这篇文章中，我们将探究现象。

一、模型的建立假设食饵种群的增长率与其种群大小成正比，而捕食者种群的增长率与食饵种群大小和捕食者种群大小成正比。

以t表示时间，x(t)和y(t)分别表示食饵种群和捕食者种群的大小，则该模型的数学表达式如下：dx/dt = ax - bxydy/dt = cxy - dy其中，a、b、c和d为常数，分别表示食饵种群的增长率、食饵种群遭到捕食者捕食的速率、食饵被捕食后被转化为捕食者的速率和捕食者种群的死亡率。

二、平衡点的分析平衡点是指在一段时间内，系统中各个种群的大小保持不变的状态。

在我们的模型中，稳定的平衡点应该满足以下条件： dx/dt = 0 => ax - bxy = 0dy/dt = 0 => cxy - dy = 0由以上两个方程可以解得平衡点为：(x*, y*) = (d/c,a/b)。

当系统处于平衡点时，食饵和捕食者种群的大小不再发生变化。

三、线性稳定性分析为了探究平衡点的稳定性，我们需要对系统进行线性稳定性分析。

假设系统在平衡点周边有微小的扰动，即令(x, y) = (x* + ε, y* + δ)，其中ε和δ为很小的变量。

将这个微小扰动代入模型的微分方程中，可以得到以下近似方程：dε/dt = (a - b(y* + δ))εdδ/dt = (c(x* + ε)y* - d)δ通过对近似方程进行线性化，可以得到雅可比矩阵：J = | a - by* -bx* || cy* cx* - d|其中，x*和y*为平衡点的坐标。

依据线性稳定性理论，平衡点(x*, y*)是稳定的当且仅当雅可比矩阵的全部特征值具有负实部。

四、Hopf分岔的分析除了探究系统的稳定性外，我们还关注系统是否存在Hopf分岔现象。

什么是分岔主持人：好，请武教授马上给咱们带来一场精彩的学术报告，深入浅出的学术报告，叫做“什么是分岔”。

好，有请。

武际可：我今天讲的是关于分岔的问题。

分岔在英文叫做Bifurcation，这个词在中文里头大概有六种翻译，我看到的有六种翻译，每个含义用词都用得不一样，有的叫分叉、有的叫分枝、还有的叫分歧等等。

这个概念最近几十年大概在自然科学甚至于社会科学、经济学等等领域用得很多，比如说化学、物理、力学、数学都很多，还有气象学等等吧，说明它比较重要。

那么，这个名词不像刚才主持人说的道路分岔那么具体，它是一个抽象概念，为了说明这个概念，我们这样来讲，先从一个例子开始，讲一个例子。

这是一个圆，上头有一个光滑的环，对吧？我把它这个大圆垂直放的时候，那么这个小环总是在下头平衡，大家看清楚了，我怎么放它都是平衡的，最后滑在下头，现在我让这个环转起来，对吧，这样转，我给这个圆环这样一个角速度，转起来以后，如果我这个角速度很小，大家看了，这个小环呢，还是呆在这个底下，这个位置总是一个平衡位置，等我转的这个角速度大到某一定的程度，大家注意看，现在这个环就跑在另外一个地方平衡，如果我们取一个角度表示这个小环的位置的话，那么我们就可以列出一个平衡方程来，这个很简单，这个小环受三个力，一个是离心力、一个是重力、还有一个大环给它的约束反力，这两个力的正切应该就等于这个反力，所以那个方程很容易写出来。

写出这个方程，带星号的那个就是这个平衡方程，两个惯性力和重力之比就等于那个约束反力，约束反力的角度，这个方程把它上头的质量和下头的质量消掉以后就得到下头，一分解因式正好是两个，一个是sinθ；另外一个就是括弧里头这个，这个方程有两个解，一个解就是上头的θ等于零，就是永远这个角度等于零，放在这个位置是一个平衡点，还有一个解呢，是下头那个表示的这个解，下头那个式子表示呢，就是我这个角速度使得括弧里头的那一项变成一的时候，θ就开始，从零开始要往下飞了，在一定的角速度就离开原来的平衡点，然后跑到另外一个平衡点了。