5.4_非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

ɺ x (t ) = f ( x )
且所讨论的平衡态为原点,即xe=0。
变量梯度法 (2/10)
设所找到的非线性系统的判定平衡态xe=0是渐近稳定的李雅 普诺夫函数为V(x),它是x的显函数,而不是时间t的显函数,则 V(x)的单值梯度gradV存在。 梯度gradV是如下定义的n维向量:
∂V ∂x ∇V 1 1 ∆ dV gradV ( x ) = = ⋮ = ⋮ dx ∂V ∇Vn ∂xn
可取作李雅普诺夫函数,因此,有
1 ∂f ( x ) − 3 J ( x) = = 2 τ 1 − 1 − 3 x2 ∂x 2 ˆ ( x ) = J ( x ) + J τ ( x ) = − 6 J 2 − 2 − 6x2 2
克拉索夫斯基法(7/7)
由塞尔维斯特准则有
ɺ x (t ) = f ( x )
克拉索夫斯基法(2/7)
定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 定理 分条件为
ˆ J ( x) = J ( x) + J τ ( x)
为负定的矩阵函数,且
ɺ ɺ V ( x ) = xτ x = f τ ( x ) f ( x )
为该系统的一个李雅普诺夫函数。 更进一步,当||x||→∞时,有||f(x)||→∞,则该平衡态是大范围 渐近稳定的。 证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为
0
x
τ
x n
0
∑ ∇V dx
i =1 i
i
(5 − 29)
变量梯度法 (4/10)
而rot(gradV)=0的充分必要条件是: gradV的雅可比矩阵
∂∇Vi ∂ gradV ( x ) = τ ∂x ∂x j
n× n
是对称矩阵,即 ,
∂∇Vi ∂∇V j = ∂x j ∂xi ∀i, j = 1, 2,⋯, n
当上述条件满足时,式(5-29)的积分路径可以任意选择,故 可以选择一条简单的路径,即依各个坐标轴xi的方向积分
V ( x ) = ∫ ∇V1 (x ,0,⋯,0) dx1 + ∫ ∇V2 (x , x ,0,⋯,0) dx2 + ⋯ + ∫ ∇Vn
0
1
x1
x2
xn

1
2
0
(x1 , x2 ,⋯, xn )
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4)
对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为: 针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的 Lyapunov函数。如, 通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯 基法(也叫雅克比矩阵法) 针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量 梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法) 针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔 曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。 由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
式中,aij(i,j=1,2,…,n)为待定系数,它们可以是常数,也可以是t 的函数或x1,x2,…,xn的函数。 通常将aij选择为常数或t的函数。
V ( x ) = ∫ ∇V1 (x ,0,⋯,0) dx1 + ∫ ∇V2
0
1
x1
x2
0
dx2 + ⋯ + ∫ ∇Vn (x , x ,0,⋯,0)
∆1 = −6 < 0, 2 −6 2 ∆2 = = 36 x2 + 8 > 0 2 2 −2 − 6 x2
ˆ 故矩阵函数 J (x) 负定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡 态xe=0是渐近稳定的。
变量梯度法 (1/10)
5.4.2 变量梯度法
舒尔茨和吉布生在1962年提出的变量梯度法,为构造李雅普诺 夫函数提供了一种比较实用的方法。 该方法的思想是设法构造出Lyapunov函数的梯度来分析 Lyapunov函数的定号性。 设非线性定常连续系统的状态方程为
在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。 克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件,不是必 要条件。 如对于渐近稳定的线性定常连续系统
ɺ x1 0 1 x1 x = −2 −7 x 2 ɺ2
由于
ˆ ( x ) = J ( x ) + J τ ( x ) = 0 −1 J −1 −14
舒尔茨和吉布生建议,先假设gradV具有某种形式,并由此 求出符合要求的V(x)和V'(x)。
变量梯度法 (3/10)
由
∂V ∂V ɺ ɺ ɺ ɺ V ( x) = x1 + ⋯ + xn = (gradV )τ x ∂x1 ∂xn
可知,V(x)可由gradV的线积分求取,即
V ( x ) = ∫ (gradV ) dx = ∫
1 2
xn
0
(x1 , x2 ,⋯, xn
dxn )
(5 − 31)
变量梯度法 (6/10)
ɺ ɺ ɺ 2) 由 V(x) = (gradV)τ x定义 V(x)。 ɺ 为负定的条件,可以决定部 由平衡态渐近稳定时 V(x) 分待定参数aij。
3) 由限制条件
∂∇Vi ∂∇V j = ∂x j ∂xi ∀i, j = 1, 2,⋯, n
dxn
变量梯度法 (5/10)
按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。 1) 将李雅普诺夫函数V(x)的梯度假设为
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn a x + a x + ⋯ + a x 22 2 2n n gradV = 21 1 ⋮ an1 x1 + a2 n x2 + ⋯ + ann xn
τ
由于 V(x) = f τ (x) f (x) 为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f τ (x) f (x)正定。
ˆ ɺ ˆ 因此,若 J (x)负定,则 V(x, t) = f τ ( x)J ( x) f ( x) 必为负定。
所以,由定理5-4知,该非线性系统的平衡态xe=0是渐近稳 定的。
克拉索夫斯基法(4/7)
由gradV可得如下V(x)的导数
ɺ ɺ V ( x ) = (gradV )τ x x2 = [a11 x1 + a12 x2 a21 x1 + a22 x2 ] − x2 − x13 2 = x1 x2 (a11 − a21 − a22 x12 ) + x2 (a12 − a22 ) − a21 x14
不是负定矩阵,故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。 可见,该定理仅是一个充分条件判别定理。
克拉索夫斯基法(5/7)
若V(x)=fτ(x)f(x)正定,为Lyapunov函数,则说明只有当x=0 时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。 因此,只有原点是系统的唯一平衡态,才能用克拉索夫 斯基定理判别渐近稳定性,并且由该定理判别出的渐 近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。 由克拉索夫斯基定理可知,系统的平衡态xe=0是渐近稳定 的条件是J(x)+Jτ(x)为负定矩阵函数。 由负定矩阵的性质知,此时雅可比矩阵J(x)的对角线 元素恒取负值,因此向量函数f(x)的第i个分量必须包 含变量xi,否则,就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知:对称 矩阵A+Aτ负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
ɺ x1 = x2 3 ɺ x2 = − x2 − x1
解 显然xe=0是系统的平衡态。 可设李雅普诺夫函数V(x)的梯度为
∇V a x + a x gradV = 1 = 11 1 12 2 ∇V2 a21x1 + a22 x2
变量梯度法 (8/10)
克拉索夫斯基法(1/7)
5.4.1 克拉索夫斯基法
设非线性定常连续系统的状态方程为
ɺ x (t ) = f ( x )
对该系统有如下假设: 1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
J ( x ) = ∂f ( x ) / ∂xτ
对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
式中决定其余待定参数aij。 4) 按式(5-31)求线积分,获得V(x)。 验证V(x)的正定性,若不正定则需要重新选择待定参 数aij,直至V(x)正定为止。 5) 确定平衡态xe=0渐近稳定的范围。
变量梯度法 (7/10)—例5-14
由上述构造过程可知,变量梯度法只是建立非线性系统的李 雅普诺夫函数的充分性方法。 用这种方法没有找到适宜的李雅普诺夫函数,并不意味着 平衡态就不是渐近稳定的。 例5-14 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性。
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
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目 录
概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 5.3 线性系统的稳定性分析 5.4 非线性系统的稳定性分析 5.5 Matlab问题 问题 本章小结
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4)
5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
ɺ ɺ V ( x ) = xτ x = f τ ( x ) f ( x )