新泸教版数学八年级上册小专题(九) 巧用角平分线的性质解题

沪科版数学八年级上册《角平分线及其画法》教学设计一. 教材分析《角平分线及其画法》是沪科版数学八年级上册第三章“几何变换”中的一个知识点。

本节课主要介绍了角平分线的定义、性质及画法。

教材通过生活中的实例引入角平分线的概念，接着引导学生探究角平分线的性质，最后学习角平分线的画法。

本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了七年级的数学知识，对图形的变换和性质有一定的了解。

他们在学习过程中善于观察、思考，并能运用已有的知识解决实际问题。

但是，对于角平分线的概念和性质，学生可能初次接触，需要通过实例和活动加深理解。

此外，学生在画角平分线方面可能存在一定的困难，需要教师进行有针对性的指导。

三. 教学目标1.理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质。

2.学会用尺规作图法画一个角的平分线。

3.能够运用角平分线的性质解决实际问题。

四. 教学重难点1.角平分线的定义和性质。

2.尺规作图法画角平分线。

五. 教学方法1.情境导入：通过生活中的实例引入角平分线的概念，激发学生的学习兴趣。

2.自主探究：引导学生观察、思考，发现角平分线的性质。

3.合作交流：分组讨论，让学生在合作中解决问题，培养团队精神。

4.示范讲解：教师用尺规作图法演示画角平分线的过程，引导学生动手操作。

5.练习巩固：设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固知识。

6.拓展延伸：引导学生运用角平分线的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，包括角平分线的定义、性质和画法的讲解。

2.准备尺规作图的工具，如直尺、圆规等。

3.准备练习题及答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如剪刀的剪切角，引入角平分线的概念。

引导学生观察、思考，提出问题：“什么是角平分线？”2.呈现（10分钟）呈现角平分线的性质，引导学生自主探究，发现角平分线的性质。

教师讲解并演示角平分线的画法，让学生初步了解尺规作图法。

沪教版数学八年级上册19.2《角平分线》教学设计一. 教材分析《角平分线》是沪教版数学八年级上册第19.2节的内容。

本节课的主要内容是让学生掌握角平分线的性质，并能运用角平分线解决一些几何问题。

教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、线段的概念以及一些基本的几何性质。

他们对这些基础知识有一定的了解，但可能对角平分线的性质和应用还不够清楚。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、操作、思考等方式，发现和总结角平分线的性质，提高他们的几何思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握角平分线的性质，并能运用角平分线解决一些几何问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考等方式，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.角平分线的性质2.运用角平分线解决几何问题五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。

2.探究教学法：引导学生通过观察、操作、思考等方式，发现和总结角平分线的性质。

3.案例教学法：通过分析具体案例，让学生学会运用角平分线解决几何问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线的性质和应用的课件，以便于引导学生直观地观察和理解。

2.教学素材：准备一些角平分线的实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。

3.学具：为学生准备一些几何图形，如直角三角形、等腰三角形等，以便于他们动手操作和观察。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的角平分线的实例，如剪刀、扇子等，引导学生对角平分线产生兴趣，并提出问题：“什么是角平分线？它有什么特点？”2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，向学生介绍角平分线的定义和性质。

同时，让学生观察和操作手中的几何图形，引导他们发现和总结角平分线的性质。

沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习角的平分线（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的逆定理角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、轨迹把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，定长为半径的圆.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD 于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【答案与解析】证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．2、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90 , AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6, 则△DEB的周长为( )A. 4B. 6C.10D. 以上都不对【答案】B；【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB的周长＝BD ＋DE＋BE ＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE ＝AE＋BE＝AB＝6.【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2 B． C．2：3 D.【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵，则△ABD与△ACD的面积之比为．3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【答案与解析】：解：DF=EF．理由如下：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，∴PD=PE，由HL定理易证△OPD≌△OPE，∴∠OPD=∠OPE，∴∠DPF=∠EPF．在△DPF与△EPF中，，∴△DPF≌△EPF，∴DF=EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定【高清课堂：角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.【答案与解析】证明：∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）∴∠CDF＝∠BEF＝90°∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF＝CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】（2016秋•丰城市校级期中）如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．【答案】证明：作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，如图，在△MOE和△NOD中，OM=ON，∠MOE为公共角，OE=OD，∴△MOE≌△NOD（SAS）．∴S△MOE=S△NOD．∴S△MOE﹣S四边形ODCE=S△NOD﹣S四边形ODCE，∴S△MDC=S△NEC，∵OM=ON，OD=OE，∴MD=NE，由三角形面积公式得：DM×CG=×EN×CF，∴CG=CF，又∵CG⊥OA，CF⊥OB，∴点C在∠AOB的平分线上．类型三、点的轨迹5、过已知点A且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是________.【答案】以A为圆心，半径为的圆．【解析】求圆心的轨迹实际上是求距A点三厘米能画一个什么图形．【总结升华】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．。

15.4角的平分线第1课时角平分线的尺规作图教学目标【知识与能力】1. 掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性。

2. 掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法。

【过程与方法】1. 培养学生用直尺和圆规作图的能力及有条理地语言表达能力。

2. 培养学生分析问题和解决问题的能力。

【情感态度价值观】在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中，培养学生的几何直觉；培养学生探究问题的兴趣，增强探究问题的信心；体验数学活动的探索性和创造性。

教学重难点【教学重点】角平分线及垂线的尺规作法。

【教学难点】角平分线的尺规作法的正确性的证明。

课前准备课件、教具等。

教学过程一、情境导入温故知新什么是角平分线？问题：怎样作∠AOB的平分线呢？①折纸法；②度量法．如果用尺规作图，该怎么做呢？二、合作探究探究点一：角平分线的尺规作图例1 请在图中作出线段AD，使其平分∠BAC且长度等于m.要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论．已知：求作：解析：首先以A为圆心，任意长为半径作弧，交射线AB、AC于E、F，然后以E、F为圆心，大于1EF长为半径作弧，交于点M，那么AM就是∠BAC的角平分线，只需在射线AM2上截取AD＝m即可．解：已知：线段m，∠BAC；求作：线段AD，使得∠BAD＝∠CAD，AD＝m.如图所示．方法总结：此题主要考查的是角平分线的作法，难度不大．作一个角的平分线是基本的作图．尺规作图时，应该遵循作图必需的正确步骤．探究点二：过一点作已知直线的垂线例2 如图，分别过点P作线段MN的垂线．解析：利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法分别作各条线段所在的直线的垂线即可．解：如图，(1)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(2)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(3)延长MN，过点P作MN所在直线的垂线；(4)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．方法总结：过一点作线段的垂线，就是作线段所在直线的垂线． 探究点三：尺规作图的综合应用例3 如图，已知直线l 及其两侧两点A 、B .(1)在直线l 上求一点O ，使到A 、B 两点距离之和最短； (2)在直线l 上求一点P ，使PA ＝PB ； (3)在直线l 上求一点Q ，使l 平分∠AQB .解析：(1)根据两点之间线段最短，连接AB ，线段AB 交直线l 于点O ，则O 为所求点； (2)根据线段垂直平分线的性质连接AB ，再作出线段AB 的垂直平分线即可；(3)作B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′交直线l 与点Q ，连接BQ ，由三角形全等的判定定理得出△BDQ ≌△B ′DQ ，再由全等三角形的性质可得出∠BQD ＝∠B ′QD ，即直线l 平分∠AQB .解：(1)如图①，连接AB ，线段AB 交直线l 于点O ，∵点A 、O 、B 在一条直线上，∴O 点即为所求点；(2)如图②，连接AB ，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长度为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点，连接CD 与直线l 相交于P 点，连接BD 、AD 、BP 、AP 、BC 、AC ，∵BD ＝AD ＝BC ＝AC ，即C 、D 两点都在AB 的垂直平分线上，∴CD 是线段AB 的垂直平分线，∵P 是CD 上的点，∴PA ＝PB ；(3)如图③，作B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′交直线l 与点Q ，连接BQ ，∵B 与B ′两点关于直线l 对称，∴BD ＝B ′D ，DQ ＝DQ ，∠BDQ ＝∠B ′DQ ，∴△BDQ ≌△B ′DQ ，∴∠BQD ＝∠B ′QD ，即直线l 平分∠AQB .方法总结：本题考查的是两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解答此题的关键．三、布置作业1. 课本143页练习2；2. 探索课本143页思考。

沪教版数学八年级上册19.2《角平分线》教学设计一. 教材分析《角平分线》是沪教版数学八年级上册第19章“几何变换”的最后一节内容，主要介绍了角平分线的性质和作法。

本节课的内容对于学生来说，既有新奇性，又具有挑战性。

角平分线的性质和作法是学生在学习了角的概念、角的计算、线段的性质等知识的基础上进行学习的，是对原有知识的延伸和拓展。

同时，角平分线的作法和性质在实际问题中的应用也是对学生解决实际问题能力的培养。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、角的计算、线段的性质等知识，对于这些知识的理解和运用已经比较熟练。

但是，对于角平分线的性质和作法，学生可能比较陌生，需要通过实例和操作来进行理解和掌握。

同时，学生在学习过程中，可能存在对于几何图形的观察和分析能力不足，以及对于几何证明的思路和方法不清晰的问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解角平分线的性质，能够熟练地作出角的平分线。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的几何思维能力和解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，对于几何学习保持兴趣和热情。

四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的性质，角的平分线的作法。

2.教学难点：对于角平分线性质的理解和运用，角的平分线的作法。

五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，激发学生的思考，引导学生自主探索和学习。

2.操作法：通过学生的动手操作，培养学生的实践能力和几何思维能力。

3.讨论法：通过学生之间的讨论和交流，促进学生对知识的理解和掌握。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备角平分线的性质和作法的相关知识点，以及实例和练习题。

2.学生准备：学生需要准备好数学笔记本，以及对于之前学习的角的概念、角的计算、线段的性质等知识进行复习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出问题，引导学生思考角平分线的性质和作法。

例如，教师可以提出问题：“如果你要找一个角的平分线，你会怎么做？”通过这个问题，引起学生的思考，引出本节课的主题。

教学设计模板（可加页）（5）教师拖动点A,改变NAOB的大小,学生再观察这两条垂线段的长度有怎样的数量关系。

NAOB 大小的改变,让学生理解猜想的结果不随角的大小的改变而改变。

引入 回忆角平分线的概念 请学生回忆角平分线的概念开门见山，直接引入 学生回忆，并作答。

教师：今天我们学习角平分线的知识。

强调角平分线是角的内部的一条射线。

为探究角平分线的性质定理和逆定理做铺垫。

新知探究 1．探究角平分线的性质（1）教师在电子白板上操作：运用几何画板和电子白板通 定理依次画出一个角NAOB,画出它 过教师的操作可以把问题更 的角平分线OC,度量NAOC 和NCOB 的大小并显示在白板上，在OC 上取一点P,作PD^OA,PELOB,垂足分别为点直观地呈现在学生面前,使学生的猜想更合理。

（1）实验操作得出猜想。

（2）几何画板动态演示,验证猜想。

（3）归纳、概括得出命题。

（2）学生猜测这两条垂线段的长有怎样的数量关系。

（3）教师用几何画板的度量功能量出线段PD 、PE 的长度，并显示在电子白板上。

让学生学会猜想,培养直觉 思维。

用度量出的结果验证学生的猜想。

（5）得到角平分线的性质定理,并写出其符号表达式。

（4）教师拖动点P,同学观察这两条垂线段的长度有怎样的数量关系。

P 点位置的变化，让学生理解角平分线上所有点都符合猜想。

合语言表达能力。

巩固应用1．例题讲解：已知：如图，AO、BO分别是NA、ZB的平分线，OD±BC,OEXAB,垂足分别为D、E。

求证：点。

在NC的平分线上AEOBD C （1）教师在电子白板上显示例题。

学生读题、思考。

（2）请学生分析问题的条件、结论，正确区分定理和逆定理，并得出解决方法。

2．变式训练深化新知：（3）板演证明过程。

提高学生正确运用定理和逆定理解决问题的能力。

训练学生分析问题解决问题的能力。

让学生借助几何画板展现给学生的几何图形的模型，进行思考、构造、寻找解题思路示范规范的解题过程，让学生掌握正确的书写方法。

沪科版数学八年级上册《角平分线的性质定理》教学设计2一. 教材分析《角平分线的性质定理》是沪科版数学八年级上册的教学内容。

本节课的主要内容是引导学生探究角平分线的性质定理，并运用该定理解决一些几何问题。

教材通过引入角平分线的概念，让学生了解角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，进而引导学生探究并证明角平分线的性质定理。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握角平分线的性质，为后续学习其他几何定理打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、线段的概念以及一些基本的几何证明方法。

他们对这些基础知识有一定的了解和掌握，但可能对角平分线的性质定理的理解和证明过程还不够熟悉。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的知识基础，通过合理的教学设计，帮助学生理解和掌握角平分线的性质定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生了解角平分线的性质定理，并能够运用该定理解决一些简单的几何问题。

2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养他们的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质定理的探究和证明。

2.难点：对角平分线性质定理的理解和运用。

五. 教学方法1.引导探究法：教师通过提出问题，引导学生进行自主探究，激发学生的思维。

2.合作交流法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。

3.几何画板演示法：利用几何画板软件，直观地展示角平分线的性质，帮助学生理解和掌握。

六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线性质定理的教学课件，包括角平分线的定义、性质定理的探究和证明过程等内容。

2.几何画板软件：用于展示角平分线的性质定理的直观演示。

3.练习题：准备一些有关角平分线性质定理的应用题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习角的概念和线段的概念，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。