湖南十校联考高三上册12月文科数学试卷及答案

2021年高三12月联考（文）数学试题 Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1、已知集合，，则（）A． B． C． D．2、已知是虚数单位，设复数，，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、函数（）A．是偶函数，在区间上单调递增 B．是偶函数，在区间上单调递减C．是奇函数，在区间上单调递增 D．是奇函数，在区间上单调递减4、设向量，，若，则（）A． B． C． D．5、将函数的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）A． B． C． D．6、已知是公差不为的等差数列的前项和，且，，成等比数列，则等于（）A． B． C． D．7、已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）A． B． C． D．8、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（）A． B． C． D．9、实数，满足（），且的最大值是最小值的倍，则的值是（）A． B． C． D．10、执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（）A． B． C． D．11、已知，是圆心在坐标原点的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且点的纵坐标为，点的横坐标为，则（）A． B． C． D．12、已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13、如图是某学校一名篮球运动员在场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这场比赛中得分的中位数为．14、若曲线在点处的切线方程是，则．15、已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的焦点，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率为．16、在中，，，分别为角，，的对边，且满足，若，则的面积的最大值是．三、解答题：共6小题，总计70分．（1）求这辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在的车辆中任抽取辆，求车速在的车辆恰有一辆的概率．18、（本小题满分12分）已知等比数列满足，且是，的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，，求使成立的的最小值．19、（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作矩形，然后沿边将矩形翻折，使平面与平面垂直．（1）求证：平面；（2）若点到平面的距离为，求三棱锥的体积．20、（本小题满分12分）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分12分）设函数（），．（I）若函数在定义域内单调递减，求实数的取值范围；（II）若对任意，都有唯一的，使得成立，求实数的取值范围．22、（本小题满分10分）已知直线的参数方程为：（为参数），曲线的极坐标方程为：．（1）以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；（2）若直线被曲线截得的弦长为，求的值．湖南省东部六校xx届高三联考文科数学试题答案一、选择题：CDBBA CACBB DC二、填空题：13、 14、 15、 16、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17、（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于………………3分设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：()0.0150.0250.0450.06750.5x⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得即中位数的估计值为………………6分（2）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），车速在的车辆数为：（辆）………………8分设车速在的车辆设为，，车速在的车辆设为，，，，则所有基本事件有：，，，，，，，，，，所以，车速在的车辆恰有一辆的概率为………………12分18、（1）设等比数列的公比为，依题意，有，即：由得，解得或．………………4分当时，不合题意，舍去；当时，代入得，所以．故所求数列的通项公式（）．………………6分（2）………………8分所以()()232222123n n=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()122121112212222nnn nn n+-+=-=----．………………10分因为，所以，即，解得或．因为，故使成立的正整数的最小值为．………………12分19、（1）证明：在矩形中，因为面面，所以面，所以又在直角梯形中，，，，所以，在中，，，所以：所以：，所以：面………………6分（2）由（1）得：面面，作于，则面所以：在中，即：，解得………………9分所以：………………12分20、解：（1）设圆心（），则或（舍）所以圆…………………………6分（2）当直线轴，则轴平分当直线斜率存在时，设直线方程为，，，，若轴平分，则当点，能使得总成立．…………………………12分21、解：（1），由题：在恒成立，即：在恒成立，则：，得：…………………………3分或，故得：，综上：…………………………5分（2），在上单调递增，在上单调递减，且，，，的值域为，………………7分记，，原问题等价于：，存在唯一的，使得成立．，①当时，恒成立，单调递减，由，，解得：…………………………8分②当时，恒成立，单调递增，，不合题意，舍去…………………………9分③当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，要满足条件则，…………………………11分综上所述：的取值范围是…………………………12分22、解：（1）由曲线，得，化为普通方程①…………………………5分（2）（为参数）②把②代入①得：，整理，得，设其两根为，，则，，t t-===，解得：从而弦长为：12…………………………10分32163 7DA3 綣-K21893 5585 喅 34226 85B2 薲22340 5744 坄u`M20554 504A 偊40030 9C5E 鱞38329 95B9 閹。

一、单选题二、多选题1. 已知集合，则集合（ ）A．B．C．D．2.在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）A．B．C．D．3.已知等差数列的前项和为，，，，则（ ）A ．8B ．9C ．15D ．174. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，，，则B ．若，，则C ．若，，，则D ．若，，，则5. 记的内角的对边分别为．若，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．6.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 设全集，集合，，则A．B．C．D．8. 已知抛物线与椭圆有相同的焦点，是两曲线的公共点，若，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．9. 已知向量，，且，，其中，下列说法正确的是（ ）A ．与所成角的大小为B．C ．当时，取得最大值D ．的最大值为10. 数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，称为第一类切比雪夫多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：，探究上述多项式，下列选项正确的是（ ）A．B．C．D．11. 已知复数z 及其共轭复数满足，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则湖南省部分学校2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题 (2)湖南省部分学校2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题 (2)三、填空题四、解答题C ．若为纯虚数，则或D ．若为实数，则或12.如图，四边形是等腰梯形，且，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．13.在中，D 为BC中点，且，若，则___________.14. 已知，则______．15. 已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出．x 123f (x )211x 123g (x )321则的值为________． 当时，________．16. 某工厂每天生产1000箱某型号口罩，每箱300个，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa 的为合格品，否则为不合格品，不可出厂销售.生产过程中随机抽取了20个口罩进行检测，其吸气阻力值（单位：pa）如下表所示：（1）从样本中随机抽取1个口罩，求其为不合格品的概率；（2）从样本中随机抽取3个口罩，求其中含有不合格品的概率；（3）已知每个口罩的检测费用为0.05元.按有关规定，该型号口罩出厂前，工厂要对每一个口罩进行吸气阻力检测，为督促工厂执行此规定，每天生产的口罩出厂后，质检部门将随机抽取100箱，每箱抽3个口罩进行检测，每检测出一个不合格品，罚款500元.这个处罚标准是否合理？说明理由.17. 如图，棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是DD 1、DB的中点，求证：(1)EF ∥平面ABC 1D 1；(2)EF ⊥B 1C ．18. 有一种击球比赛，把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨响止，叫做一回合，每一回合中，发球队赢球后得分1分并在下一回合发球，另一队得零分，发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球，甲乙两球队正在进行这种击球比赛，从以往统计结果看，每一回合，甲乙两队输赢球的概率都相等.（1）在连续三个回合中，第一回合由甲队发球，求甲队得1分的概率；（2）比赛进入决胜局，两队得分均为25分.在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队获比赛胜利，求甲队在第四回合获得比赛胜利的概率.19. 已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.20. 定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间．（1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点；（2）对于函数（其中e为自然对数的底数）（ⅰ）当时，求的弹性区间D；（ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．21. 某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？。

一、单选题二、多选题1. 设随机变量的分布列如下：则方差（）01230.10.30.4A ．0B ．1C ．2D ．32. 已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（ ）．A．B．C．D．3. 已知函数同时满足以下两个条件：①对任意实数x ，都有；②对任意实数，当时，都有.则函数的解析式可能为（ ）A．B．C．D．4. 下列有关命题的说法中，正确的是（ ）A ．，使得B ．“”是“”的必要不充分条件C ．，D ．“”是“”的充分不必要条件5. 函数（，且）的奇偶性（ ）．A ．与有关，且与有关B ．与有关，但与无关C ．与无关，但与有关D ．与无关，且与无关6.设为正数，且，则下列关系式不能成立的是A．B．C．D．7. 已知双曲线，直线与双曲线相交于两点（点位于第一象限），点是直线上的动点，点分别为的左、右顶点，当最大时，（为坐标原点），则双曲线的离心率（ ）A．B．C．D．8. 已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则=A ．0B ．2018C ．4036D ．40379.已知曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则（ ）A．B ．的离心率为C ．m 的值越小，C 的焦距越大D ．的短轴长的取值范围是10. 已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8，则（ ）A．B ．展开式中所有项的系数和为1C．展开式中二项式系数和为D ．展开式中不含常数项湖南省部分学校2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题(2)湖南省部分学校2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题(2)三、填空题四、解答题11. 已知复数，（，）（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A ．的虚部为B．C．D ．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为12.已知，则（ ）A．展开式中所有二项式的系数和为B ．展开式中二项式系数最大项为第1012项C．D．13. 学校迎元旦文艺演出，邀选出小品、相声、独唱、魔术、合唱、朗诵等六个汇报演出节目，如果随机安排节目出场，则朗诵第一个出场的概率为_________；若已知朗诵第一个出场，则小品是第二个出场的概率为_________．14. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．15. 已知a 是实数，在的二项展开式中，第项的系数为，，若，则a 的取值范围为___________.16. 已知的内角的对边分别为，且，．(1)求；(2)若的平分线交BC于点，，求的面积．17. 已知椭圆：的焦距为，且.(1)求的方程；(2)A是的下顶点，过点的直线与相交于，两点，直线的斜率小于0，的重心为，为坐标原点，求直线斜率的最大值.18. 某市于今年1月1日起实施小汽车限购政策，根据规定，每年发放10万个小汽车购买名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半，政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示.申请意向年龄摇号竞价（人数）合计电动小汽车（人数）非电动小汽车（人数）30岁以下（含30岁）501005020030至50岁（含50岁）5015030050050岁以上10015050300合计200400400100 0（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望.19. 已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2a cos A＝c cos B＋b cos C.（1）求角A；（2）若a＝，＝6，求△ABC的周长．21. 某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组.游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”.已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为，.(1)若，，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；(2)若，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，理论上他们小组至少要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.。

第1篇随着社会经济的快速发展，用电设备在人们的生活和生产中扮演着越来越重要的角色。

然而，由于用电不当、设备老化、维护不到位等原因，导致用电安全事故频发，给人民群众的生命财产安全带来严重威胁。

为加强用电安全管理，保障人民群众生命财产安全，特制定本用电安全导则。

二、用电安全导则规定第一章总则第一条为加强用电安全管理，保障人民群众生命财产安全，根据《中华人民共和国安全生产法》、《中华人民共和国电力法》等法律法规，结合我国实际情况，制定本导则。

第二条本导则适用于我国境内各类用电单位、个人和用电设施。

第三条用电安全工作应当遵循“预防为主、综合治理”的方针，坚持“安全第一、预防为主、综合治理”的原则，落实用电安全责任制。

第二章用电安全基本原则第四条用电安全基本原则包括：（一）安全第一：在用电过程中，始终把人身安全放在首位，确保用电安全。

（二）预防为主：加强用电安全管理，预防事故发生，减少事故损失。

（三）综合治理：加强用电安全管理，综合治理，形成齐抓共管的良好局面。

（四）以人为本：尊重和保障人民群众的生命财产安全，关心员工身心健康。

第三章用电安全基本要求第五条用电单位应当建立健全用电安全管理制度，明确用电安全管理职责，加强用电安全教育培训。

第六条用电单位应当加强用电设备的管理和维护，确保设备安全可靠运行。

第七条用电单位应当定期对用电设施进行检查、试验和维护，发现问题及时整改。

第八条用电单位应当采取有效措施，防止用电设施受到自然灾害、人为破坏等因素的影响。

第九条用电单位应当加强用电设备操作人员的安全管理，严格执行操作规程，确保操作安全。

第十条用电单位应当加强对用电设施的接地保护，防止电气设备发生漏电事故。

第十一条用电单位应当加强对用电设施的防雷、防静电措施，确保用电安全。

第十二条用电单位应当加强对用电设施的防火、防爆措施，防止火灾、爆炸事故的发生。

第十三条用电单位应当加强对用电设施的防腐蚀、防磨损措施，延长设备使用寿命。

湖南省高三上学期数学12月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2017高一上·金山期中) 已知集合A={﹣1，0，1}，，则A∩B=________．2. （1分） (2020高二上·那曲期末) 在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为________．3. （1分） (2019高一上·四川期中) 若是奇函数，则＝________；4. （1分） (2018高二上·北京期中) 能够说明“若等比数列{ }是递增数列，则公比q>1”是假命题的首项的一个取值可以是________5. （1分） (2016高二上·黄石期中) 下列说法中错误的是________（填序号）①命题“∃x1 ，x2∈M，x1≠x2 ，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）＞0”的否定是“∀x1 ， x2∉M，x1≠x2 ，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤0”；②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；③已知p：x2+2x﹣3＞0，，若命题（¬q）∧p为真命题，则x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2）∪[3，+∞）；④“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件．6. （1分）函数f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，则实数a=________7. （1分） (2020高二下·上饶期末) 已知椭圆的左右焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作轴的垂线，垂足为N，线段的中点为M，则点M的轨迹方程为________.8. （1分） (2020高三上·青浦期末) 已知正四棱柱底面边长为，体积为32，则此四棱柱的表面积为________9. （1分） (2020高一下·丽水期中) 如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ________，点D为边上一点，且，则的面积为________.10. （1分） (2019高一下·吉林期末) 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，b，c成等比数列，且，则 ________.11. （1分） (2017高三上·沈阳开学考) 设点P是曲线y=2x2上的一个动点，曲线y=2x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=2x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为________．12. （1分） (2019高二下·上海期末) 已知，，当取得最小值时， ________．13. （1分）(2017·河西模拟) 已知数列{an}满足a1= ，an+1=an2+an（n∈N*），则的整数部分是________．14. （1分） (2020高一上·嘉兴期末) 设 ,对任意的实数 ,关于的方程共有三个不相等的实数根,则实数的取值范围是________.二、解答题 (共10题；共97分)15. （10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值范围．16. （10分） (2019高二上·庐阳月考) 如图，四棱锥中，底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若，，（1）求证：；（2）若，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．17. （2分） (2015高三上·安庆期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA．（1）求角C的大小；（2）若sinA+sinB=2 sinAsinB，c=3，求△ABC的面积．18. （15分）(2017·吴江模拟) 平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：x2=4y的焦点F是C的一个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）设与坐标轴不重合的动直线l与C交于不同的两点A和B，与x轴交于点M，且满足kPA+kPB=2kPM ，试判断点M是否为定点？若是定点求出点M的坐标；若不是定点请说明理由．19. （15分）(2018·黑龙江模拟) 已知e为自然对数的底．Ⅰ 求函数，的单调区间；Ⅱ 若恒成立，求实数a的值．20. （15分） (2018高二下·长春月考) 在数列中，且 .（1）求出a2 ， a3 ， a4；（2）归纳猜想出数列的通项公式；（3）证明通项公式 .21. （5分） (2019高三上·泰州月考) 已知矩阵的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为．若，求，的值．22. （5分） (2018高二上·牡丹江期中) 在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．23. （10分） (2018高一上·石家庄月考) 已知平面向量 .（1）若∥ ，求实数的值；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.24. （10分） (2018高二上·江苏月考) 椭圆与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.（1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴的取值范围.参考答案一、填空题 (共14题；共14分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共10题；共97分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、考点：解析：。

湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考文科数学本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【详解】由A中不等式解得：0≤x≤2，即，∵B={-1，0，1，2，3}，∴A∩B={0，1，2}，故选：C．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.设为虚数单位，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算出，进而计算即可.【详解】.【点睛】本题考查复数的除法运算及模的求法，考查计算能力．3.在一次千米的汽车拉力赛中，名参赛选手的成绩全部介于分钟到分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，…，第五组，其频率分布直方图如图所示，若成绩在之间的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由频率分布直方图得到成绩在内的频率，然后用50乘以两组的频率和可得该班在这次百米测试中成绩良好的人数；【详解】由频率分布直方图知，成绩在内的频率为：，所以，成绩在内的人数为：（人），所以该班成绩良好的人数为11人．故选D.【点睛】本题考查了频率分布直方图计算频数，属基础题.4.已知双曲线的离心率为，则的焦点坐标为（）A. B. C. D.【解析】【分析】根据离心率求得双曲线方程中的 ，进而根据求得c ，则双曲线的焦点坐标可得．【详解】由双曲线，离心率为2， 可得则故双曲线C 的焦点坐标是（±2，0）．故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线标准方程和基本性质的理解和运用．5.在直角中，，，，若，则（ ）A.B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】在直角三角形ABC 中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．【详解】在直角中，，，，，，若，则故选C.【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，6.某四棱锥的三视图如图所示，某侧视图是等腰直角三角形，俯视图轮廓是直角梯形，则该四棱锥的各侧面中，面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出各个侧面的面积，进而可得答案．【详解】因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是直角梯形的一个顶点，后面是直角三角形，直角边为3与2，所以后面的三角形的高为：右面三角形是直角三角形，直角边长为：，4，三角形的面积为：．前面三角形BC边长为：6，高为，其面积为：，左面也是直角三角形，直角边长为4，，三角形的面积为，四棱锥的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．7.已知函数，则（）A. 的最小正周期为，最大值为B. 的最小正周期为，最大值为C. 的最小正周期为，最大值为D. 的最小正周期为，最大值为【答案】B【解析】【分析】先逆用二倍角公式，然后逆用两角和的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，即可得到最大值，利用周期公式求周期；【详解】由题∴最大值为4 ，．故选B.【点睛】本题考查了三角变换及三角函数的图象与性质，解题的关键是化成正弦型函数的标准形式．8.执行如图所示程序框图，其中.若输入的，则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算循环中的值，当满足判断框的条件时，退出循环，输出结果即可．【详解】模拟执行程序框图，可得不满足条件，继续循环，不满足条件，继续循环，不满足条件，继续循环，满足条件，退出循环，输出的值为58．故选：B．【点睛】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力，属于基础题．9.已知函数在区间上单调递减，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的导数，推出m，n的不等式组，然后利用线性规划，表达式的几何意义求解即可．【详解】∵，∴，∵在区间上单调递减，∴在区间上恒成立，∴，不等式组表示的可行域如图阴影部分，∴m2+n2的几何意义是可行域内的点与原点距离的平方，显然原点到直线距离最小，所以．故选：D．【点睛】本题考查函数的单调性，考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，线性规划的应用，属于中档题．10.已知，，，是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．【详解】由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，，是正三角形，所以．所求球的表面积为：故选：C．【点睛】本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．11.已知函数，若，且，则取最大值时的值为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得为f（x）的对称轴，再根据，由此求出的值，写出f（x）的解析式，求出取最大值时的值.【详解】∵对x∈R恒成立，∴为的对称轴，∴解得，∵，∴故取，则取最大值故选C.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．12.若为奇函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的性质求得，可得．不等式即，再利用函数的单调性可得x-1＜-2，由此求得x的取值范围．【详解】为奇函数，∴，求得，可得．不等式足，即，即．再根据在R上单调递增，可得，故选B.．【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

秘密☆启用前高三上期12月检测考试 数学试题卷（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．已知集合101A xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}2ln(1)B y y x ==-，则A B =（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,1)- C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(1,)+∞2．若,,a b c R ∈且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ac bc >B ．2()0a b c ->C ．22a b <D ．3232c a c b -<-3．已知数列,21,n-，则 ）A ．第62项B ．第63项C ．第64项D ．第68项4．鞋柜里有4双不同的鞋，从中随机取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为（ ）A ．14B ．12C ．3D ．255．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =±6．已知实数,x y 满足约束条件221y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．52D ．327．下列说法中错误的是（ ）A ．先把高二年级的2000名学生编号为1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50m +，100m +，150m +……的学生，这样的抽样方法是系统抽样方法 B ．独立性检验中，2K 越大，则越有把握说两个变量有关C ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．若一组数据1、a 、3的平均数是2，则该组数据的方差是238．已知不共线的两个向量,ab 满足2a b -=且(2)a ab ⊥-，则b =（ ） AB ．2C ．D ．49．已知一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的表面积为（ ） A ．24a π B ．23a π C．2(3a πD．2(5a π10．从区间(0,5)中任取一个值a ，则函数3,1()(3)7,1x a x f x a x a x +⎧≤-=⎨--+>-⎩是增函数的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4511．函数22()ln (2,)f x x x bx a b a R =+-+≥∈的图像在点(,())b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A ．2B．C ．3D ．412．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]43ππα∈，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A．1] B．)1,1 C． D．第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三上学期12月联考试题 数学（文） 含答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部是 （ ）A ．1B ．C ．D ．2．已知集合，，则( )A ． B. C. D.3．已知向量，若与平行，则实数的值是（ ）A ．4B ．1C ．D ．4．设，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的零点的个数为（ ）A ．0 B. 1 C ． 2 D ． 36．已知等比数列为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2) ＝5a n ＋1，则数列的公比q ＝（ ）A ．2或12 B. 2 C ．12D ．-2 7．若,则,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．9．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！ 他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。

特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。

在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。

如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里（这五个日子均不相同），任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知三棱锥外接球的表面积为，底面为正三角形，其正视图和侧视图如图所示，则此三棱锥的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．正视图 侧视图 411．已知函数，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值是（）A． B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）Array二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。

2015-2016学年湖南省东部六校高三（上）12月联考数学试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合M={﹣2，﹣1，0，1}，N={x|≤2x≤4}，x∈Z}，则M∩N=（）A．M={﹣2，﹣1，0，1，2}B．M={﹣1，0，1，2}C．M={﹣1，0，1}D．M={0，1}2．已知i是虚数单位，设复数z1=1+i，z2=1+2i，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函数y=lg|x|（）A．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增B．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减C．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增D．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减4．设向量，=（2，sinα），若，则tan（α﹣）等于（）A．﹣ B．C．﹣3 D．35．将函数y=sin（x+）的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）6．已知S n是公差不为0的等差数列{a n}的前项和，且S1，S2，S4成等比数列，则=（）A．4 B．6 C．8 D．107．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（）A．4 B．8C．4D．89．实数x，y满足（a＜1），且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．10．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（）A．4 B．8 C．10 D．1211．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为．则cos∠POQ=（）A．B．C．﹣D．﹣12．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f2（x）﹣axf（x）恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，3）C．（2，3）D．（0，2）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后横线上）13．如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为．14．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则a b=．15．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，它的准线过双曲线C1的焦点，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2，则双曲线C1的离心率为．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2﹣cos2（B+C）=，若a=2，则△ABC的面积的最大值是．三、解答题（共6小题，总计70分）17．2012年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．18．已知等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log2，S n=b1+b2+…b n，求使S n﹣2n+1+47＜0 成立的正整数n的最小值．19．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直．（1）求证：BC⊥平面BDE；（2）若点D到平面BEC的距离为，求三棱锥F﹣BDE的体积．20．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方（1）求圆C的方程；（2）设过点P（1，1）的直线l1被圆C截得的弦长等于2，求直线l1的方程；（3）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=﹣2x2+ax﹣lnx（a∈R），g（x）=+3．（I）若函数f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围；（II）若对任意x∈（0，e），都有唯一的x o∈[e﹣4，e]，使得g（x）=f（x o）+2x o2成立，求实数a的取值范围．22．已知直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ2cos2θ=1（1）以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；（2）若求直线，被曲线c截得的弦长为2，求m的值．2015-2016学年湖南省东部六校高三（上）12月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知集合M={﹣2，﹣1，0，1}，N={x|≤2x≤4}，x∈Z}，则M∩N=（）A．M={﹣2，﹣1，0，1，2}B．M={﹣1，0，1，2}C．M={﹣1，0，1}D．M={0，1}【考点】交集及其运算．【分析】求解指数不等式化简集合N，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：∵N={x|≤2x≤4}，x∈Z}={x∈Z|﹣1≤x≤2}={﹣1，0，1，2}，集合M={﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N={﹣1，0，1}．故：C．2．已知i是虚数单位，设复数z1=1+i，z2=1+2i，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：===在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．3．函数y=lg|x|（）A．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增B．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减C．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增D．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减【考点】对数函数的单调区间；函数奇偶性的判断．【分析】先求出函数的定义域，然后根据奇偶性的定义进行判定，最后根据复合函数单调性的判定方法进行判定即可．【解答】解：函数y=lg|x|定义域为{x|x≠0}，而lg|﹣x|=lg|x|，所以该函数为偶函数，|x|在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴函数y=lg|x|在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；故选B4．设向量，=（2，sinα），若，则tan（α﹣）等于（）A．﹣B．C．﹣3 D．3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；两角和与差的正切函数．【分析】利用⇔，即可得出tanα，再利用两角差的正切公式即可得出．【解答】解：∵，∴2cosα﹣sinα=0，即tanα=2．∴=，故选B．5．将函数y=sin（x+）的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得y=g（x）的单调递增区间．【解答】解：将函数y=sin（x+）图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图象；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数g（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，当k=0时，可得函数在区间（﹣，）单调递增．故选：A．6．已知S n是公差不为0的等差数列{a n}的前项和，且S1，S2，S4成等比数列，则=（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】等比数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】由等比中项的性质列出，再代入等差数列的通项公式和前n项和公式，用a1和d表示出来，求出a1和d的关系，进而求出式子的比值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，且d≠0，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴=a1×，∴=2a1（2a1+3d），∴d2=2a1d，解得d=2a1或d=0（舍去），∴===8，故选C．7．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程．【解答】解：抛物线y2=﹣4x的焦点为（﹣1，0），∴c=1，由离心率可得a=2，∴b2=a2﹣c2=3，故椭圆的标准方程为+=1，故选A．8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（）A．4B．8C．4D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体底面是边长为4的正三角形，高为4的三棱锥，且侧棱垂直于底面三角形的一个顶点，如图所示；则两个垂直底面的侧面面积为S△PAC=S△PAB=×4×4=8；底面面积为S△ABC=×42×sin60°=4；另一个侧面的面积为S△PBC=×4×=4；所以四个面中面积的最大值为4．故选：C．9．实数x，y满足（a＜1），且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：B．10．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（）A ．4B ．8C ．10D ．12【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i ＜8，即i=2，4，6，8．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S 值．【解答】解：当i=2时，S=（1×2）=2，i=2+2=4，k=2；当i=4时，S=（2×4）=4，i=4+2=6，k=3；当i=6时，S=（4×6）=8，i=6+2=8，k=4； 当i=8时，不满足i ＜8，退出循环，输出S=8． 故选B ．11．已知P 、Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为，Q 点的横坐标为．则cos ∠POQ=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin ∠xOP 和cos ∠xOQ 的值，利用同角三角函数的基本关系求得 cos ∠xOP 和 sin ∠xOQ ，再利用两角和的余弦公式求得 cos ∠POQ=cos （∠xOP +∠xOQ ）的值．【解答】解：由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；再根据cos∠xOQ=，可得sin∠xOQ=．∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）=cos∠xOP•cos∠xOQ﹣sin∠xOP•sin∠xOQ=﹣=﹣，故选：D．12．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f2（x）﹣axf（x）恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，3）C．（2，3）D．（0，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】问题转化为：方程f（x）=0，或f（x）﹣ax=0，共有6个不同的解，其中前一方程有3解，所以后一方程有三解，故采用数形结合法求解．【解答】解：令g（x）=f2（x）﹣axf（x）=0，则f（x）=0，或f（x）﹣ax=0，①当f（x）=0时，即3x+1=0或x2﹣4x+1=0，解得x=﹣，x=2﹣，x=2+，即有三个零点，②当f（x）﹣ax=0，即f（x）=ax，∵x=0时，f（0）=1≠0，即x≠0，∴方程=a有三个根，当x＜0时，=3+，当x＞0时，=|x+﹣4|，分别画出y=（紫线）与y=a的图象，如右图所示，由图可知，当a∈（2，3）时，两函数图象有三个交点，综合以上讨论得，当a∈（2，3）时，原函数g（x）有六个零点．故答案为：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后横线上）13．如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为15．【考点】茎叶图．【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：根据茎叶图将数据从小到大排列之后，对应的第5个数为14，第6个数为16，则对应的中位数为=15，故答案为：15．14．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则a b=1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，建立等量关系求出a，再根据点（0，b）在切线x﹣y+1=0上求出b即可．【解答】解：∵y'=2x+a|x=0=a，∴a=1，（0，b）在切线x﹣y+1=0，∴b=1则a b=1．故答案为：1．15．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，它的准线过双曲线C1的焦点，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2，则双曲线C1的离心率为+1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设出抛物线方程，进而根据题意可得p与a和c的关系，把抛物线方程与双曲线方程联立，把x=c，y2=4cx，代入整理可得答案．【解答】解：设抛物线方程为y2=2px，依题意可知=c，∴p=2c，抛物线方程与双曲线方程联立得﹣=1，把x=c，代入整理得e4﹣6e2+1=0解得e=+1，故答案为： +1．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2﹣cos2（B+C）=，若a=2，则△ABC的面积的最大值是．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用三角形的内角和，结合已知条件等式，可得关于A的三角方程，从而可以求得A的大小，利用余弦定理及基本不等式，可求得bc，从而可求△ABC的面积的最大值．【解答】（本题满分为10分）解：∵A+B+C=π，∴4cos2﹣cos2（B+C）=2（1+cosA）﹣cos2A=﹣2cos2A+2cosA+3=，∴2cos2A﹣2cosA+=0．…∴cosA=．∵0＜A＜π，∴A=°．…∵a=2，由余弦定理可得：4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，（当且仅当b=c=2，不等式等号成立）．∴bc≤4．∴S△ABC=bcsinA≤×=．…故答案为：．三、解答题（共6小题，总计70分）17．2012年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．【考点】等可能事件的概率；用样本的频率分布估计总体分布．【分析】（1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；（2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数和车速在[65，70）的车辆数．从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可．【解答】解：（1）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样，（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种其中车速在[65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共14种所以，车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率为．18．已知等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log2，S n=b1+b2+…b n，求使S n﹣2n+1+47＜0 成立的正整数n的最小值．【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，根据2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项，建立方程组，从而可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）=2n﹣n，求出S n=b1+b2+…b n，再利用，建立不等式，即可求得使成立的正整数n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，依题意，∵2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项∴由①得q2﹣3q+2=0，解得q=1或q=2．当q=1时，不合题意舍；当q=2时，代入（2）得a1=2，所以a n=2n．…．…（Ⅱ）=2n﹣n．…．…所以S n=b1+b2+…b n=（2+22++2n）﹣（1+2+…+n）=2n+1﹣2﹣﹣n2…．…因为，所以2n+1﹣2﹣﹣n2﹣2n+1+47＜0，即n2+n﹣90＞0，解得n＞9或n＜﹣10．…．…故使成立的正整数n 的最小值为10．…．19．如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且AB=AD=CD=1．现以AD 为一边向梯形外作矩形ADEF ，然后沿边AD 将矩形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直． （1）求证：BC ⊥平面BDE ；（2）若点D 到平面BEC 的距离为，求三棱锥F ﹣BDE 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）证明ED ⊥BC ，BC ⊥BD ，ED ∩BD=D ，即可证明BC ⊥平面BDE ；（3）由（1）知，平面DBE ⊥平面BCE ，作DH ⊥BE ，则DH ⊥平面BCE ，求出高DE ，转换底面即可求三棱锥F ﹣BDE 的体积． 【解答】（1）证明：在正方形ADEF 中，ED ⊥AD ．又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF ∩平面ABCD=AD ， ∴ED ⊥平面ABCD ，则ED ⊥BC ．在直角梯形ABCD 中，AB=AD=1，CD=2，∠BDC=45°，可得BC=．在△BCD 中，BD=BC=，CD=2，∴BD 2+BC 2=CD 2．∴BC ⊥BD ．故BC ⊥平面BDE ；（2）解：由（1）知，平面DBE ⊥平面BCE ，作DH ⊥BE ，则DH ⊥平面BCE ，∴DH=，△BDE 中，由等面积可得•DE=•∴DE=1，∴V F ﹣BDE =V B ﹣DEF ==．20．已知直线l ：4x +3y +10=0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方 （1）求圆C 的方程；（2）设过点P （1，1）的直线l 1被圆C 截得的弦长等于2，求直线l 1的方程；（3）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）设出圆心C坐标，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离d=r，确定出圆心C坐标，即可得出圆C方程；（2）根据垂径定理及勾股定理，由过点P（1，1）的直线l1被圆C截得的弦长等于2，分直线l1斜率存在与不存在两种情况求出直线l1的方程即可；（3）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣1），联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分∠ANB，则k AN=﹣k BN，求出t的值，确定出此时N坐标即可．【解答】解：（1）设圆心C（a，0）（a＞﹣），∵直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，∴d=r，即=2，解得：a=0或a=﹣5（舍去），则圆C方程为x2+y2=4；（2）由题意可知圆心C到直线l1的距离为=1，若直线l1斜率不存在，则直线l1：x=1，圆心C到直线l1的距离为1；若直线l1斜率存在，设直线l1：y﹣1=k（x﹣1），即kx﹣y+1﹣k=0，则有=1，即k=0，此时直线l1：y=1，综上直线l1的方程为x=1或y=1；（3）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，若x轴平分∠ANB，则k AN=﹣k BN，即+=0， +=0，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，即﹣+2t=0，解得：t=4，当点N（4，0），能使得∠ANM=∠BNM总成立．21．设函数f（x）=﹣2x2+ax﹣lnx（a∈R），g（x）=+3．（I）若函数f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围；（II）若对任意x∈（0，e），都有唯一的x o∈[e﹣4，e]，使得g（x）=f（x o）+2x o2成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）根据题意即可得出4x2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，从而有△≤0或者，这样便可解出实数a的取值范围；（Ⅱ）可求g′（x），根据导数符号便可得出g（x）在（0，e）上的值域，并设h（x）=f（x）+2x2=ax﹣lnx，m=g（x），从而可将问题转化为任意的m∈（3，4]，存在唯一的，使得h（x0）=m，求导数，然后可讨论a的取值：，和，在每种情况里可通过求函数h（x）的最大值或最小值，以及端点值即可求出满足条件的a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，由题：f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立；即4x2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立；∴△=a2﹣4×4×1≤0，得，﹣4≤a≤4；或，故a＜﹣4；综上，a≤﹣4；（Ⅱ）∵g′（x）=e1﹣x（1﹣x），∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减；且g（0）=3，g（1）=4，g（e）=e2﹣e+3＞3；∴g（x）的值域为（3，4]；记h（x）=f（x）+2x2=ax﹣lnx，m=g（x）；原问题等价于∀m∈（3，4]，存在唯一的，使得h（x0）=m成立；∵=，x∈[e﹣4，e]；①当时，h′（x）≤0恒成立，h（x）单调递减；由，h（x）min=h（e）=ae﹣1≤3，解得；②当a≥e4时，h′（x）≥0恒成立，h（x）单调递增，，不合题意，舍去；③当时，h（x）在上单调递减，在上单调递增；且h（e﹣4）=ae﹣4+4＞4，h（e）=ae﹣1；要满足条件，则ae﹣1≤3；∴；综上所述，a的取值范围是．22．已知直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ2cos2θ=1（1）以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；（2）若求直线，被曲线c截得的弦长为2，求m的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）使用二倍角公式化简，利用极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程；（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得出交点对应参数的关系，使用根与系数得关系列方程解出m．【解答】解：（1）∵ρ2cos2θ=1，∴ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ=1，∴曲线C的直角坐标方程为x2﹣y2=1．（2）把（t为参数）代入x2﹣y2=1得：（m+）2﹣（）2=1，即t2﹣2mt﹣2m2+2=0，∴t1+t2=2m，t1t2=2﹣2m2．∵直线l被曲线c截得的弦长为2，∴|t1﹣t2|===2．解得m=±2．2016年8月4日。