文科数学-全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)(考试详解版)

文科数学试卷 第1页（共6页） 文科数学试卷 第2页（共6页）………………………○……○……○……○……○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校： 班级： 姓名： 准考证号：绝密★启用前全国名校2020年高三5月大联考（新课标Ⅰ卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{0,2}A =，集合2{|2,}B x x x x =<∈N ，则A B =U A ．{0,1,2} B ．{0,2}C ．[0，2]D ．（0，2）2．已知复数12i34iz +=+，i 为虚数单位，则||z = A ．15 B ．55C ．12D ．223．已知 3.212ln 3.14,log 5,2a b c -===，则A ．b a c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．已知正项递增等比数列{}n a 中，2343,,4a a a 成等差数列，则2457a a a a +=+ A ．18或278B ．18C ．14或94D ．145．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为A ．23B ．43C ．2D ．836．函数ln ||()x f x x=的图象大致为7．在ABC △中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，BF 与CE 相交于点G ，11,23BM BG GN NC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r．若MN u u u u r =xAB y AC +u u u r u u u r ，则x y +=A ．112- B ．518C ．0D ．16-文科数学试卷 第3页（共6页） 文科数学试卷 第4页（共6页）////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////………………………装…………………………………………………订…………………………………………………线………………………………考生注意清点试卷有无漏印或缺页︐若有要及时更换︐否则责任自负︒8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为A ．50B ．351C ．551D ．7519．鞋匠刀形是一种特殊的图形，若C 是线段AB 上的任一点，分别以AB ，BC ，CA 为直径且在AB 的同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形被阿基米德称为鞋匠刀形，如图中的阴影部分，其中以BC ，CA 为直径所作的两个半圆部分分别记作Ⅰ，Ⅱ，阴影部分记作Ⅲ．在以AB 为直径的半圆中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．13p p <B ．23p p >C ．123p p p +≥D ．123p p p +<10．如图，过抛物线28x y =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，交抛物线的准线于点C ，若OAC △的面积等于OAF △的面积的3倍，则||=ABA ．6B ．7C ．8D ．911．在棱长为a 的正方体ABCD A B C D ''''-中，垂直于对角线AC '的平面α截正方体得到一个截面六边形，对于此截面六边形，以下结论正确的是 A ．该六边形的周长的最大值为32aB ．该六边形的周长为定值32aC ．该六边形的周长的最小值为2aD ．该六边形的周长不确定12．已知函数2*()sin 23cos3()2xf x x ωωω=+-∈N ，且()f x 的图象在[0,]2π上只有一个最高点和一个最低点，则下列说法中一定错误的是 A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 的图象关于2(,0)9π中心对称 C ．()f x 的图象关于724x π=对称 D ．()f x 在(0,)6π上单调递增二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合2{|340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则(A B = )A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}2．（5分）若312z i i =++，则||(z = ) A ．0B ．1C ．2D ．23．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A 51-B 51-C 51+D 51+4．（5分）设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为() A ．15B ．25C ．12D ．455．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C)︒的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()(1,i i x y i =，2，⋯，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( ) A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．y a blnx =+6．（5分）已知圆2260x y x +-=，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）设函数()cos()6f x x πω=+在[,]ππ-的图象大致如图，则()f x 的最小正周期为( )A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 8．（5分）设3log 42a =，则4(a -= ) A ．116B ．19C ．18D ．169．（5分）执行如图的程序框图，则输出的(n = )A ．17B ．19C ．21D ．2310．（5分）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，2342a a a ++=，则678(a a a ++= ) A ．12B ．24C ．30D ．3211．（5分）设1F ，2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则△12PF F 的面积为( ) A ．72B ．3C ．52D ．212．（5分）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC ∆的外接圆．若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届全国大联考高三第五次联考数学（文）试题一、单选题1．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6i B ．6i -C ．6-D ．6答案：A由复数的运算法则计算． 解：因为()()5z i i --=，所以56z i i i=+=- 故选：A ． 点评：本题考查复数的运算．属于简单题．2．已知全集U =R ，集合3|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}2|20B x x x =+->，则()⋂=U C A B （ ）A ．{|31}x x -≤<B ．{|12}x x ≤<C ．{|31}x x -≤≤-D ．{|12}x x <≤答案：B解分式不等式和一元二次不等式得集合,A B ，然后由集合的运算法则计算． 解：依题意{|31}A x x =-≤<，{| 3 1}U C A x x x =<-≥或，{|12}B x x =-<<，故(){}|12U C A B x x ⋂=≤<．故选：B ． 点评：本题考查集合的运算．考查解分式不等式和一元二次不等式，掌握集合的运算法则是解题基础．3．一组数据12，13，x ，17，18，19的众数是13，则这组数据的中位数是（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．17答案：C解：因为数据12，13，x，17，18，19的众数是13，所以13x=，则这组数据的中位数是1317152+=，故选：C．点评：本题主要考查众数的概念和中位数的计算，属于基础题．4．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（）A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP比例持续7年保持在4%以上C．从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿D．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年答案：C观察图表，判断四个选项是否正确．解：由表易知A、B、D项均正确，2010年中国GDP为1.4670413.55%≈万亿元，2018年中国GDP为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP的总值大约增加本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．5．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．23答案：A根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率． 解：由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有246C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12． 故选：A ． 点评：本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数． 6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．7 B ．15 C ．31 D ．15由程序框图确定程序功能后可得出结论． 解：执行该程序可得12341111150222216S =++++=． 故选：D ． 点评：本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．7．对具有相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(),i i x y ()1,2,3,4,5,6i =，其回归方程为(2)y ax a =--，若6118ii x==∑，6148i i y ==∑，则a =（ ）A ．3B ．0C ．1-D ．1答案：A先求出变量的平均数得样本中心点，再根据回归直线方程过样本中心点求解即可． 解： 解：6118ii x==∑Q，6148i i y ==∑，3x ∴=，8y =，将点()3,8代入回归方程(2)y ax a =--，可得822a =+，解得3a =，故选：A ． 点评：本题主要考查回归直线方程过样本中心点，属于基础题．8．已知33a b ==r r ，且(2)(4)a b a b -⊥+r r r r ，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．7答案：C由向量垂直的向量表示求出a b ⋅r r，再由投影的定义计算．解：由(2)(4)a b a b -⊥+r r r r可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=r r r r r r r r ，因为||3||3a b ==r r，所以2a b ⋅=-r r ．故2a b -r r 在a r 方向上的投影为2(2)218220||||33a b a a a b a a -⋅-⋅+===r rr r r r r r ． 故选：C ． 点评：本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 9．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁答案：D根据演绎推理进行判断． 解：由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ． 点评：本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．10．已知复数z x yi =+（x ∈R ，y R ∈，i 是虚数单位）满足32z -=，则22xy +的最大值是（ ） A ．3 B ．5 C ．9 D ．25答案：D由题意得22(3)4x y -+=，22xy +表示点(),x y 与原点的距离的平方，由此可求出答案． 解：解：由32z -=得22(3)4x y -+=，则点(),x y 在以()3,0为圆心，2为半径的圆上，22x y +表示点(),x y 与原点的距离的平方，故选：D ． 点评：本题主要考查复数的模与几何意义，属于基础题．11．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．253答案：B每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 解：以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ，则876854928154a a a =++=++=，9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．故选：B ． 点评：本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．12．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)(3,)e +∞U B ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞U答案：A 函数3ln ()3ln x a x f x a x x =-+-的零点就是方程3ln 30ln x a x a x x-+-=的解，设()ln xg x x=，方程可化为(()3)(())0g x g x a --=，即()3g x =或()g x a =，求出()g x 的导数()g x '，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出a 的范围．由题意得3ln 30ln x a x a x x-+-=有四个大于1的不等实根，记()ln x g x x =，则上述方程转化为3(()3)10()g x a g x ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，即(()3)(())0g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =． 因为2ln 1()(ln )x g x x '-=，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在x e =处取得最小值，最小值为()g e e =．因为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点，需a e >且3a ≠． 故选：A ． 点评：本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．二、填空题13．某大学A 、B 、C 、D 四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为3.2%、4.8%、4%、5.2%，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取129人调查毕业后的就业情况，则D 专业应抽取_________人． 答案：39求出D 专业人数在A 、B 、C 、D 四个专业总人数的比例后可得． 解：由题意A 、B 、C 、D 四个不同的专业人数的比例为8:12:10:13，故D 专业应抽取的人数为13129398121013⨯=+++．故答案为：39． 点评：本题考查分层抽样，根据分层抽样的定义，在各层抽取样本数量是按比例抽取的． 14．从边长为4的正方体内任取一点，则该点到正方体八个顶点的距离都大于1的概率答案：148π-由题意可知本题属于几何概型的应用，利用面积比即可求出答案． 解：解：由题意，由几何概型的概率计算公式可得33344131448P ππ-⨯==-， 故答案为：148π-．点评：本题主要考查几何概型的应用，属于基础题．15．已知“在ABC ∆中，sin sin sin a b cA B C==”，类比以上正弦定理，“在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 与平面ACD 所成的角为3π、与平面BCD 所成的角为512π，则BCDACDS S ∆∆=________．答案：2类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角． 解：5sin sin 312BCDACD S S ππ∆∆=，故sin352sin 124BCD ACD S S ππ∆∆===，点评：本题考查类比推理．类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等．16．已知抛物线2:16C y x =的对称轴与准线的交点为M ，直线:4l y kx k =-与C 交于A ，B 两点，若4AM BM =，则实数k =__________． 答案：43±由于直线:4l y kx k =-过抛物线C 的焦点，因此过A ，B 分别作C 的准线的垂线，垂足分别为P ，Q ，由抛物线的定义及平行线性质可得4AF BF=，从而再由抛物线定义可求得直线AB 倾斜角的余弦，再求得正切即为直线斜率．注意对称性，问题应该有两解：直线:4l y kx k =-过抛物线C 的焦点()4,0F ，8p =，过A ，B 分别作C 的准线的垂线，垂足分别为P ，Q，由抛物线的定义知AP AF =，||||BQ BF =． 因为////AP MF BQ ，所以||||||||||||PM AF AP QM BF BQ ==．因为90APM BQM ∠=∠=︒，所以APM BQM ∆∆:，从而||||||4||||||AM AP AF BM BQ BF ===．设直线l 的倾斜角为α，不妨设02πα≤<，如图，则cos cos AF AP MF AF p AF αα==+=+，1cos p AF α=-，同理1cos pBF α=+，则||1cos cos 4||1cos 1cos pAF p BF αααα+-===-+1， 解得3cos 5α=，4tan 3k α==，由对称性还有34k =-满足题意． ，综上，43k =±．本题考查抛物线的性质，考查抛物线的焦点弦问题，掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键．三、解答题17．第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中.为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取50户居民进行调查，得到如下的22⨯列联表.已知在抽取的50户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为0.58.（1）请将上面的22⨯列联表补充完整；（2）判断是否有99.5%的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.下面的临界值表仅供参考答案：（1）填表见解析（2）有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有关，详见解析（1）根据题意可得分类意识强的有29户，从而可得22⨯列联表；（2）根据公式求出2K的观测值，由此可得答案．解：解：（1）根据在抽取的50户居民中随机抽取1户，到分类意识强的概率为0.58，可得分类意识强的有29户，故可得22⨯列联表如下：（2）因为2K的观测值250(201659)60509.9347.87925252921609k ⨯-⨯==≈≥⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有关． 点评：本题主要考查概率统计、独立性检验和数学期望，属于基础题．18．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2220a ab b --=．（1）若3C π=sin B C =．（2）若23C π=，7c =，求ABC ∆的面积．答案：（1）见解析（2 （1）由余弦定理及已知等式得出,c b 关系，再由正弦定理可得结论； （2）由余弦定理和已知条件解得,a b ，然后由面积公式计算． 解：解：（1）由余弦定理得222222222cos 23c a b ab C a b ab a ab b b =+-=+-=--+， 由2220a ab b --=得到223c b =，由正弦定理得22sin 3sin C B =．因为B ，()0,C π∈sin B C =． （2）由题意及余弦定理可知2249a b ab ++=，① 由2220a ab b --=得()(2)0a b a b +-=，即2a b =，②联立①②解得b =，a =1sin 22ABC S ab C ∆==．点评：本题考查利用正余弦定理解三角形．考查三角形面积公式，由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边．解题时要注意对条件的分析，确定选用的公式．19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90BCD ∠=︒，PA CD ⊥，112BC CD AD ===，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：2PC EF =.（2）若EF PC ⊥，求点E 到平面PBC 的距离. 答案：（1）证明见解析（2）6（1）连接EC ，由题意可得AD CD ⊥，从而CD ⊥平面PAD ，可得平面ABCD ⊥平面PAD ，证得PE ⊥平面ABCD ，从而可证结论；（2）由（1）可知，PEC ∆为等腰直角三角形，可求得2PE EC ==，2PC =，由题意可得3PB =，可得BC PB ⊥，根据等体积法即可求出答案． 解：（1）证明：连接EC ，90BCD ADC ∠=∠=︒Q ，AD CD ∴⊥，PA CD ⊥Q ，PA AD A ⋂=，CD \^平面PAD ，CD ⊂Q 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ， PA PD =Q ，E 为AD 的中点，PE AD ⊥∴，Q 平面ABCD I 平面PAD AD =，PE ∴⊥平面ABCD ，EC ⊂Q 平面ABCD ，PE EC ∴⊥，F Q 为Rt PEC ∆斜边PC 的中点， 2PC EF ∴=；（2）解：EF PC ⊥Q ，∴由（1）可知，PEC ∆为等腰直角三角形，则PE EC ==2PC =，1111326p EBC V -=⨯⨯⨯=，由（1）知PE BE ⊥，PB ∴=1BC =Q ，2224PB BC PC +==，BC PB ∴⊥，1122PBC S ∆=⨯=， 设点E 到平面PBC 的距离为h ，则136PBC S h ∆⋅⋅=h =．点评：本题主要考查点线面位置关系的证明与求二面角，属于中档题． 20．已知函数321()26F x x x a =-++，()ln G x a x =，设()()()f x F x G x '=-． （1）当3a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）设方程()f x c '=（其中c 为常数）的两根分别为α，β()αβ<，证明：02f αβ+⎛⎫''< ⎪⎝⎭． （注：()f x ''是()f x '的导函数）答案：（1）()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减．（2）见解析（1）求出导函数()f x '，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；（2）求出含有参数a 的()f x '，再求出()f x ''，由()f x c '=的两根是,αβ，得a αβ=，计算()2f αβ+''，代入a αβ=后可得结论．解：解：21()()()2ln 2f x F x G x x x a x '=-=-+-，函数()f x 的定义域为()0,∞+， ()222a x x af x x x x-+-'=-+-=． （1）当3a =-时，222323(3)(1)()x x x x x x f x x x x-++---+'==-=-， 由()0f x '>得03x <<，由()0f x '<得3x >，故函数()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减． （2）证明：由条件可得()2af x x x'=-+-，0x >，2()1a f x x ''∴=-+，Q 方程()f x c '=的两根分别为α，β()αβ<，()f c α'∴=，且()f c β'=，可得a αβ=．222244()1102()()()a f αβαβαβαβαβαβ+--⎛⎫''=-+=-+=< ⎪+++⎝⎭． 点评：本题考查用导数研究函数的单调性，考查导数的运算、方程根的知识．在可导函数中一般由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间．21．某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：规定产品的质量指标值在[)65,85的为劣质品，在[)85,105的为优等品，在[]105,115的为特优品，销售时劣质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，对该企业近5年的年营销费用i x 和年销售量i y ，()1,2,3,4,5i =数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．51i i u =∑51i i v =∑()()51i i i u u v v =--∑()521i i u u =-∑16.3523.4 0.54 1.62表中ln i i u x =，ln i i v y =，5115i i u u ==∑，5115i i v v ==∑．根据散点图判断，by ax =可以作为年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）的回归方程．①求y 关于x 的回归方程；②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取 3.5936e =）附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，L ，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()51521ˆii i i i uu v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 答案：（1）3元．（2）①1336y x =②216万元（1）每件产品的销售利润为X ，由已知可得X 的取值，由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率，从而可得X 的概率分布列，依期望公式计算出期望即为平均销售利润；（2）①对b y a x =⋅取自然对数，得()ln ln ln ln by a xa b x =⋅=+，令ln u x =，ln v y =，ln c a =，则v c bu =+，这就是线性回归方程，由所给公式数据计算出系数，得线性回归方程，从而可求得b y a x =⋅；②求出收益11333336108z y x x x x x =-=⨯-=-，可设13t x =换元后用导数求出最大值． 解：解：（1）设每件产品的销售利润为X ，则X 的可能取值为0.8-，4，6．由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为0.25、0.65、0.1． 所以(0.8)0.25P X =-=；(4)0.65P X ==；(6)0.1P X ==．所以X 的分布列为所以()(0.8)0.2540.6560.13E X =-⨯+⨯+⨯=（元）． 即每件产品的平均销售利润为3元．（2）①由by a x =⋅，得()ln ln ln ln by a xa b x =⋅=+，令ln u x =，ln v y =，ln c a =，则v c bu =+，由表中数据可得()()()515210.541ˆ 1.623iii ii u u v v bu u ==--===-∑∑， 则23.4116.35ˆˆ 4.68 1.09 3.59535cv bu =-=-⨯=-=， 所以1ˆ 3.593v u =+，即13.5931ˆln 3.59ln ln 3y x e x ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭，因为取 3.5936e =，所以13ˆ36y x =，故所求的回归方程为1336y x =．②设年收益为z 万元，则11333336108z y x x x x x =-=⨯-=-令130t x =>，则3108z t t =-，()221083336z t t '=-=--，当06t <<时，0z '>， 当6t >时，0z '<，所以当6t =，即216x =时，z 有最大值432．即该企业每年应该投入216万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为432万元． 点评：本题考查频率分布直方图，考查随机变量概率分布列与期望，考查求线性回归直线方程，及回归方程的应用．在求指数型回归方程时，可通过取对数的方法转化为求线性回归直线方程，然后再求出指数型回归方程．22．已知椭圆22:143x y C +=的右顶点为D ，E 为上顶点，点A 为椭圆C 上一动点．（1）若DE AE ⊥，求直线AD 与y 轴的交点坐标；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，过点()4,0M 与x 轴垂直的直线为0l ，FM 的中点为N ，过点A 作直线0l 的垂线，垂足为B ，求证：直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上．答案：（1）0,⎛ ⎝⎭（2）见解析（1）直接求出直线AE 方程，与椭圆方程联立求出A 点坐标，从而可得直线AD 方程，得其与y 轴交点坐标；（2）设00(,)A x y ，则0(4,)B y ，求出直线BN 和AF 的方程，从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上，即此点坐标适合椭圆方程．代入验证即可．注意分01x =和01x ≠说明．解：解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合， （1）由题知()2,0D，(E，则DE k =．因为DE AE ⊥，所以AE k =则直线AE的方程为3y x =+223143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得4825x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故48,25A ⎛-⎝⎭．则254814225DA k ==+，直线AD的方程为2)y x =-．令0x =，得7y =-，故直线AD 与y轴的交点坐标为0,⎛ ⎝⎭． （2）证明：因为(1,0)F ，(4,0)M ，所以5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭．设点()00,A x y ，则()04,B y ． 设当01x =时，设31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则34,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，此时直线AF 与x 轴垂直，其直线方程为1x =，直线BN 的方程为35205242y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-，即52y x =-． 在方程52y x =-中，令1x =，得32y =-，得交点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然在椭圆C 上．同理当31,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭时，交点也在椭圆C 上． 当01x ≠时，可设直线BN 的方程为055242y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，即02532y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，联立方程0002532(1)1y y x y y x x ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪-⎩，消去y 得00025(1)321y y x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，化简并解得005825x x x -=-． 将005825x x x -=-代入00(1)1y y x x =--中，化简得00325y y x =-．所以两直线的交点为0000583,2525x y x x ⎛⎫-⎪--⎝⎭．因为22000058311425325x y x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()222200000022200025806432580641242525425x x y x x y x x x -+-++=+=---，又因为2200143x y +=，所以22004123y x =-，则()()()()222200000022200025258064124202514252525x x x y x x x x x --++-+===---，所以点0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭在椭圆C 上．综上所述，直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上． 点评：本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方程，求出直线方程，解方程组求出交点坐标，代入曲线方程验证点在曲线．本题考查了学生的运算求解能力．。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A. {4,1}-B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}【答案】D 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2.若312i i z =++，则||=z （ ） A. 0 B. 1C.2D. 2【答案】C 【解析】【分析】先根据21i =-将z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出． 【详解】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A.514- B.512- C.514+ D.512+ 【答案】C 【解析】【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab-=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得154b a +=（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4.设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. 15B.25 C.12D. 45【答案】A 【解析】【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=.故选：A【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A. y a bx =+ B. 2y a bx =+C. e x y a b =+D. ln y a b x =+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP =-+-=根据弦长公式得最小值为229||2982CP -=-=.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.7.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9 B. 7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C 【解析】【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 8.设3log 42a =，则4a -=（ ）A.116B.19C.18D.16【答案】B 【解析】【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =，所以有149a-=，故选：B .【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.9.执行下面的程序框图，则输出的n =（ ）A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足135100n ++++>的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出．【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =．故选：C. 【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题． 10.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q qq ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．11.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ）A.72B. 3C.52D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由12F F P 是以P 为直角直角三角形得到2212||||16PF PF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2PF PF -=，联立即可得到12||||PF PF ，代入12F F P S =△121||||2PF PF 中计算即可. 【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，因为121||1||2OP F F ==， 所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，所以12F F P S =△121||||32PF PF = 故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.12.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.【答案】1 【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.14.设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由a b ⊥可得0a b ⋅=， 又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=， 即5m =， 故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 15.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.【答案】2y x = 【解析】 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.16.数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = ______________.【答案】7 【解析】 【分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31nn n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=， 17a ∴=故答案为：7.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 【答案】（1）甲分厂加工出来的A 级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A 级品的概率为0.28；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】 【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择． 【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为400.4100=，乙厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为280.28100=； （2）甲分厂加工100件产品的总利润为()()()()4090252050252020252050251500⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元， 所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为()()()()2890201750203420202150201000⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题． 18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°. （1）若a =3c ，b =27，求ABC 的面积； （2）若sin A +3sin C =2，求C . 【答案】（1）3；（2）15︒. 【解析】 【分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论； （2）将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,23,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 32S ac B ==； （2）30A C +=︒，sin 3sin sin(30)3sin A C C C ∴+=︒-+132cos sin sin(30)2C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒， 3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 19.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO 23π，求三棱锥P −ABC 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得PA PB PC ==，进而有PAC ≌PBC ，可得90APC BPC ∠=∠=，即PB PC ⊥，从而证得PC ⊥平面PAB ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC 边长，在等腰直角三角形APC 中求出AP ，在Rt APO 中，求出PO ，即可求出结论.【详解】（1）连接,,OA OB OC ，D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC ≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为3,3rl rl ππ==2222OD l r =-=，解得1,3r l ==2sin 603AC r ==，在等腰直角三角形APC 中，2622AP AC ==， 在Rt PAO 中，2262142PO AP OA =-=-=， ∴三棱锥P ABC -的体积为112363332P ABC ABC V PO S -=⋅=⨯=△.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.20.已知函数()(2)xf x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞.【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，将其转化为2x e a x =+有两个解，令()(2)2x eh x x x =≠-+，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当1a =时，()(2)xf x e x =-+，'()1x f x e =-，令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >， 所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞； （2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，从方程可知，2x =-不成立，即2xe a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，则有'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++，令'()0h x >，解得1x >-，令'()0h x <，解得2x <-或21x -<<-，所以函数()h x 在(,2)-∞-和(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 且当2x <-时，()0h x <，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有1(1)a h e >-=，所以满足条件的a 的取值范围是：1(,)e+∞.【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线xy e =和直线(2)y a x =+有两个交点，利用过点(2,0)-的曲线xy e =的切线斜率，结合图形求得结果.21.已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【解析】 【分析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a +=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+ 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.（二）选考题：共10分。

2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．14．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（）A．15B．25C．35D．345．2020年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的人员时，有六个人员尚未确定，这大个人分别是呼吸科主治医师甲，呼吸科主治医师乙，护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周．综合考虑各种因素：（1）甲和乙至少要参加一个；（2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加；（3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加；（4）只有小李参加，乙之才能参加．卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（）A ．无法确定小周是否参加医庁队B ．甲没参加医疗队C ．无法确定两名护护士是否参医疗队D ．乙参加了医疗队6．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．[136，83) B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83] 7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ke ﹣x +2sin x ，则a =f(log 234)，b =f(log 445)，c =f(log 889)的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√229．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√210．函数f （x ）＝2+k sin x 在（0，2）处的切线l 也是函数y ＝x 3﹣x 2﹣3x ﹣1图象的一条切线，则k ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣211．若0≤α≤β≤π4，sin α+cos α＝a ，sin β+cos β＝b ，则以下结论正确的个数是（ ） ①ab ≥1；②ab ≤2；③2a ﹣b 的最大值为√2；④2a ﹣b 的最大值为2√2−1． A ．0 B ．1C ．2D ．312．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分别与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，则直线l 的斜率为（ ）A．√24B．√22C．√33D．√32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05～20：50时间通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三．解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和S n，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a2n−n}的前n项和T n大于2020的最小自然数n．18．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图的面积为√34，求四棱锥P'﹣ABCD的体积．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年67年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计A型B型总计（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了4年的B型车中选择、为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：p（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.82820．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为−3 4．（1）求C的方程；（2）设椭圆的左顶点为M，k MA，k MB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证k MA+k MB= 43k OD．21．已知函数f（x）＝xlnx，函数g（x）＝kx﹣cos x在点(−π2，g(−π2))处的切线平行于x轴．（1）求函数f（x）的极值；（2）讨论函数F（x）＝g（x）﹣f（x）的零点的个数．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2． （1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}【分析】先解出关于集合A，B的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．解：因为∁U A＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|2x≤2}＝{x|x≤1}，∴（∁U A）∩B＝{x|﹣1≤x≤1}；故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵z=51+2i+i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)+i=1−2i+i=1−i，∴z=1+i，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2a→+b→，再根据数量积的坐标运算法则表示出a→•（2a→+b→），从而得到关于m的方程，解之即可．解：∵a→=（﹣2，m），b→=（1，2），∴2a→+b→=(−3，2m+2)，∴a→•（2a→+b→）＝6+m（2m+2）=112，即m2+m+14=0，解得m=−12，故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（）A．15B．25C．35D．34【分析】由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，设为A，B，C，其余三项设为a，b，c，从中任选两项，利用列举法能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，设为A，B，C，其余三项设为a，b，c，从中任选两项的结果为15种，分别为：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c），这2项来自影响稍弱区的结果为：（A，B），（A，C），（B，C），共3种，∴这两项来自影响稍弱区的概率为P=315=15．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．2020年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的人员时，有六个人员尚未确定，这大个人分别是呼吸科主治医师甲，呼吸科主治医师乙，护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周．综合考虑各种因素： （1）甲和乙至少要参加一个；（2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加； （3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加； （4）只有小李参加，乙之才能参加．卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（ ） A ．无法确定小周是否参加医庁队B ．甲没参加医疗队C ．无法确定两名护护士是否参医疗队D ．乙参加了医疗队【分析】根据小李不参加，代入（4）得到乙不能参加，再依题意代入（1），进而推得甲丙丁都参加，即可得到答案解：因为小李不参加，故由（4）可得乙不参加，则根据（1）甲必须参加， 而根据（2）甲参加，则丙和丁都参加， 但是无法确认小周是否参加， 故选：A ．【点评】本题考查学生合情推理的能力，小李不参加是突破口，依次代入条件判断，属于中档题．6．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．[136，83)B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83]【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ+π6∈[9π2，11π2），由此可得结果．解：∵函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数为 y ＝sin （ωx +π6）在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值； ωx +π6∈[π6，2ωπ+π6]，∴2ωπ+π6∈[9π2，11π2），则正实数ω∈[136，83），故选：A ．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ke ﹣x +2sin x ，则a =f(log 234)，b =f(log 445)，c =f(log 889)的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （0）＝e 0﹣ke 0+2sin0＝1﹣k ＝0，解可得k 的值，即可得函数的解析式，求出函数的导数，分析可得函数f （x ）为R 上的增函数，由对数的运算性质可得log 234＜log 445＜log 889，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，f （x ）为定义在R 上的奇函数，则f （0）＝e 0﹣ke 0+2sin0＝1﹣k ＝0，解可得k ＝1，即f （x ）＝e x ﹣e ﹣x +2sin x ，其导数f ′（x ）＝e x +e ﹣x +2cos x ≥2√e x ×e −x +2cos x ＝2+2cos x ≥0，则函数f （x ）为R上的增函数，又由log 445=log 2√45=log 2√5，log 889=log 2√893=log 2√93，则有log 234＜log 445＜log 889，又由函数f （x ）为R 上的增函数， 则a ＜b ＜c ； 故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用导数分析函数的单调性，属于基础题．8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√22【分析】设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ，则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角，由此能求出异面直线OC 与PD 所成角的余弦值．解：设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ， 则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∴∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角， 在△PDE 中，PE ＝PO =√2r ，DE ＝r ， ∴cos ∠PDE =r 22r=√24． 故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 9．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√2【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF 2|的值．解：由题意，F 1（﹣2，0），则抛物线方程为y 2＝8x ． 计算可得|PF 1|=√2，|PF 2|＝2a −√2=4√2−√2=3√2． 过Q 作QM ⊥直线l 与M ，由抛物线的定义知，|QF 2|＝|QM |． ∵|F 1F 2||PF 2|=|MQ||PQ|，∴3√2=3√2−|MQ|，解得：|MQ |＝12（3﹣2√2）． ∴|QF 2|＝|MQ |＝12（3﹣2√2）． 故选：A ．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．函数f（x）＝2+k sin x在（0，2）处的切线l也是函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的一条切线，则k＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】分别求得f（x）＝2+k sin x和y＝x3﹣x2﹣3x﹣1的导数，可得f（x）在（0，2）处的切线的斜率和方程，再设l与函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的相切的切点为（m，n），可得k，m，n的方程组，解方程可得所求值．解：函数f（x）＝2+k sin x的导数为f′（x）＝k cos x，y＝x3﹣x2﹣3x﹣1的导数为y′＝3x2﹣2x﹣3，可得f（x）＝2+k sin x在（0，2）处的切线的斜率为k，切线的方程为y＝kx+2，设l与函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的相切的切点为（m，n），可得k＝3m2﹣2m﹣3，n＝m3﹣m2﹣3m﹣1＝km+2，解得m＝﹣1，n＝0，k＝2．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11．若0≤α≤β≤π4，sinα+cosα＝a，sinβ+cosβ＝b，则以下结论正确的个数是（）①ab≥1；②ab≤2；③2a﹣b的最大值为√2；④2a﹣b的最大值为2√2−1．A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和不等式的性质的应用求出a和b的范围，进一步利用线性规划的知识求出结论．解：a ＝sin α+cos α=√2sin(α+π4)，b ＝sin β+cos β=√2sin(β+π4)， 由于0≤α≤β≤π4，所以π4≤α+π4≤β+π4≤π2，所以sin(α+π4)≤sin(β+π4)， 所以1≤a ≤b ≤√2． 则：1≤ab ≤2． 故①②正确．由1≤a ≤b ≤√2，构造平面区域如图所示： 令2a ﹣b ＝t ，可得b ＝2a ﹣t ． 由{b =√2a =√2，可得A （√2，√2）， 当直线b ＝2a ﹣t 经过点A 时，t 取得最大值t ＝2√2−√2=√2．故③正确． 故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的关系式的变换、正弦型函数的性质的应用、线性规划应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分别与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，则直线l 的斜率为（ ） A ．√24B ．√22C ．√33D ．√32【分析】由题意可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论．解：由MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，由|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|NF 2|﹣|NF 1|＝2a ，两式相减可得|NF 1|﹣|MF 1|＝|MN |＝4a ，即有m ＝2√2a ，设H 为MN 的中点，在直角三角形HF 1F 2中，可得4c 2＝4a 2+（2a +2√2a ﹣2a ）2，化为c 2＝3a 2，即c =√3a ， 因为|HF 2|=12|MN |＝2a ，所以|HF 1|=√|F 1F 2|2−|HF 2|2=2√c 2−a 2，所以直线l 的斜率为|HF 2||HF 1|=2√c 2−a 2=√22， 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05～20：50时间通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是 1118．【分析】求出符合条件的区间范围，根据长度比即可求解结论．解：由题意可得：该学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，其时间长度为90分钟，等待直播的时间不超过30分钟的，需在19：35至20：30分之间的任意时刻加入，区间长度为55；由测度比为长度比．可得所求概率为：5590=1118．故答案为：1118．【点评】本题主要考查几何概型的长度比，属于基础题目．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，则f （2x ﹣2）≥f （0）的解集为 [1，2] ．【分析】先求出a 的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f （2x ﹣2）≥f （0），求出x 的范围．解：∵函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，∴a ＝1，f （x ）=(12)|x−1|∈（0，1]，则由f （2x ﹣2）≥f （0）=12，结合图象可得 0≤2x ﹣2≤2，求得 1≤x ≤2， 故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题． 15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 周长为5，b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，则∠B ＝π3，若b ＝2，则△ABC 的面积为√312．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sin A ≠0，可得cos B =12，结合范围B ∈（0，π），可求B =π3，进而根据余弦定理可求ac 的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，∴由正弦定理可得：sin B cos C ＝（2sin A ﹣sin C ）cos B ，可得sin B cos C +cos B sin C ＝2sin A cos B ， ∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，∵sin （B +C ）＝sin （π﹣A ）＝sin A ，且sin A ≠0，∴可得cos B =12， ∵B ∈（0，π）， ∴B =π3，又∵b ＝2，a +c ＝3， ∴a 2+c 2﹣2ac cos B ＝b 2， ∴（a +c ）2﹣3ac ＝4， ∴ac =53，∴S △ABC =12ac sin B =5√312．故答案为：π3，5√312．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm ，高为18cm （底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm 的圆铁棒l （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为1849π16cm 2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h 构成直角三角形求出容器内水面的高度h ，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积． 解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm ，高为18cm ，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h 构成直角三角形， 所以2√85=√122+h 2，解得h ＝14， 所以容器内水面的高度为14cm ，设球的半径为R ，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r =√62−32=3√3，球心到截面圆的距离为R ﹣4，所以R 2＝（R ﹣4）2+(3√3)2，解得R =438； 所以球的表面积为4π×(438)2=1849π16（cm 2）． 故答案为：1849π16．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题． 三．解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，S 3＝15，a 1，a 4，a 13成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a 2n −n }的前n 项和T n 大于2020的最小自然数n ．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），由题设条件列出d 的方程，解出d ，a 1，求出通项公式； （2）由（1）求得a2n −n ，再使用分组求和求出T n ，研究其单调性，求出满足T n 大于2020的最小自然数n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则S 3＝3a 1+3×22d =15， ∴a 1+d ＝5，a 4＝5+2d ，a 13＝5+11d ， ∵a 1，a 4，a 13成等比数列，∴（5+2d ）2＝（5﹣d ）（5+11d ），解得d ＝0（舍）或d ＝2， 故a 1＝5﹣d ＝3．所以a n ＝3+（n ﹣1）×2＝2n +1； （2）根据（1）知a2n −n=2（2n ﹣n ）+1＝2n +1﹣（2n ﹣1），∴T n ＝（22+23+…+2n +1）﹣[1+3+…+（2n ﹣1）]=4(1−2n)1−2−(1+2n−1)n 2=2n +2﹣n 2﹣4．∵2n ﹣n ＞0， ∴a2n −n=2（2n ﹣n ）+1＞0，∴T n 单调递增，又∵T9＜2020，T10＞2020，所以T n大于2020的最小自然数n为10．【点评】本题主要考查等差数列基本量的运算及数列的分组求和，还有前n项和的单调性，属于中档题．18．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图的面积为√34，求四棱锥P'﹣ABCD的体积．【分析】（1）由平面图形可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，则AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D．再由已知在可得AE⊥P′D．由直线与平面垂直的判定可得P′D⊥平面ABE；（2）P′﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，求出△P′AD的面积，得到∠P′AD＝120°或60°．再由（1）可知，平面ABCD⊥平面P′AD，得P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上，求得P′到平面ABCD的距离，由棱锥体积公式可得四棱锥P′﹣ABCD 的体积．【解答】（1）证明：由平面图形可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，又P′A∩AD＝A，∴AB⊥平面P′AD，则AB⊥P′D．∵E为P'D的中点，P′A＝AD，∴AE⊥P′D．∵AE∩AB＝A，∴P′D⊥平面ABE；（2）解：∵P′﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，∴S△P′AD=12×1×1×sin∠P′AD=12sin∠P′AD=√34，∴sin∠P′AD=√32，即∠P′AD＝120°或60°．由（1）可知，平面ABCD⊥平面P′AD，∴P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上，得点P′到平面ABCD的距离d=1×sin∠P′AD=√32．∴四棱锥P′﹣ABCD的体积V P′−ABCD=13×√32×12×(12+1)×1=√38．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年67年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计A型B型总计（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了4年的B型车中选择、为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：p（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内（含3年）换车，分别计算出P （A 1）和P （A 2）的值，再比较即可． 解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计 A 型 30 70 100 B 型 50 50 100 总计80120200由列联表可知：K 2=200×(50×70−30×50)2100×100×80×120≈8.33＞6.635，所以有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关；（2）记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内（含3年）换车，由表知P （A 1）=10100+20100+45100=0.75，P （A 2）=15100+35100+40100=0.90， 因为P （A 1）＜P （A 2），所以小李应选择A 型出租车．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目． 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与过其右焦点F （1，0）的直线交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，且直线l 与直线OD 的斜率之积为−34． （1）求C 的方程；（2）设椭圆的左顶点为M ，k MA ，k MB 如分别表示直线MA ，MB 的斜率，求证k MA +k MB =43k OD． 【分析】（1）设A ，B 的坐标，代入椭圆中，两式相减可得直线AB ，OD 的斜率之积，由题意可得a ，b 的关系，再由右焦点的坐标及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，求出椭圆的方程；（2）由（1）可得M 的坐标，将直线l 的方程代入椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，进而求出直线AM ，BM 的斜率之和，再由直线AB ，OD 的斜率之积可证得k AM +k BM =43k OD ． 解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0），将点A ，B 坐标代入椭圆的方程{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减(x 1−x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2=0，所以k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2， 因为D 为AB 的中点，所以k OD =y 1+y2x 1+x 2，所以k AB •k OD =−b 2a2=−34，所以b 2a =34，又a 2﹣b 2＝1，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1；（2）由（1）可得左顶点M （﹣2，0），由题意设直线AB 的方程：x ＝my +1， 联立直线与椭圆的方程：{x =my +1x 24+y 23=1整理可得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，所以y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， 所以k AM +k BM =y1x 1+2+y2x 2+2=y 1(my 2+3)+y 2(my 1+3)(my 1+3)(my 2+3)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=2m⋅−94+3m 2+3(−6m 4+3m2)m 2⋅−94+3m 2+3m(−6m 4+3m2)+9=−m ，因为k AB •k OD =−1m•k OD =−34，所以m =−43k OD ， 所以k AM +k BM =43k OD ．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝xlnx ，函数g （x ）＝kx ﹣cos x 在点(−π2，g(−π2))处的切线平行于x 轴．（1）求函数f （x ）的极值；（2）讨论函数F （x ）＝g （x ）﹣f （x ）的零点的个数．【分析】（1）利用函数f （x ）的导数判断函数的单调性，然后求出函数的极值； （2）因为F （x ）＝x ﹣cos x ﹣xlnx ，F '（x ）＝sin x ﹣lnx ，设h （x ）＝sin x ﹣lnx ，分类讨论：（i ）当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＝F '（x ）≤0，则F （x ）单调递减，此时可得F （x ）在（e ，32π）上存在唯一零点，也即在（e ，+∞）上存在唯一零点；（ii ）当x ∈（π2，e ]时，h '（x ）＝cos x −1x＜0，则F '（x ）在（π2，e ]单调递减，此时F （x ）在（π2，e ]上恒大于0，无零点；（iii ）当x ∈（0，1）时，h '（x ）＝cos x −1x ＜0，所以F '（x ）在（0，1）上单调递减，此时F （x ）在（1e，π2]上存在唯一零点，即F （x ）在（0，π2]上存在唯一零点．解：（1）因为函数f （x ）＝xlnx 的定义域为（0，+∞）， 所以f '（x ）＝lnx +1，令f '（x ）＜0，即lnx +1＜0，解得0＜x ＜1e， 所以f （x ）的单调递减区间为（0，1e ），令f '（x ）＞0，即lnx +1＞0，解得x ＞1e， 所以f （x ）的单调递增区间为（1e ，+∞），综上，f （x ）的极小值为f （1e）=−1e，无极大值；（2）由g '（x ）＝k +sin x ，得g '（−π2）＝k ﹣1＝0，故k ＝1，所以g （x ）＝x ﹣cos x ， 因为F （x ）＝x ﹣cos x ﹣xlnx ，F '（x ）＝sin x ﹣lnx ， 设h （x ）＝sin x ﹣lnx ，（i ）当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＝F '（x ）≤0，则F （x ）单调递减， 又F （e ）＝﹣cos e ＞0，F （32π）=32π（1﹣ln 32π）＜0，故F （x ）在（e ，32π）上存在唯一零点，也即在（e ，+∞）上存在唯一零点；（ii ）当x ∈（π2，e ]时，h '（x ）＝cos x −1x＜0，则F '（x ）在（π2，e ]单调递减，因为F '（e ）＝sin e ﹣lne ＝sin e ﹣1＜0，F '（π2）＝1﹣ln π2＞0，所以存在x 0∈（π2，e ]，使得F '（x 0）＝0，且在（π2，x 0）上F '（x ）＞0，在（x 0，e ]上F '（x ）＜0，所以F （x 0）为F （x ）在（π2，e ]上的最大值，又因为F （e ）＝﹣cos e ＞0，F （π2）=π2（1﹣ln π2）＞0，所以F （x ）在（π2，e ]上恒大于0，无零点；（iii ）当x ∈（0，1）时，h '（x ）＝cos x −1x ＜0，所以F '（x ）在（0，1）上单调递减， 当x ∈[1，π2]时，h '（x ）＝cos x −1x=xcosx−1x， 设t （x ）＝x cos x ﹣1，所以t '（x ）＝cos x ﹣x sin x ≤cos x ﹣sin x ＜0， 所以t （x ）在[1，π2]上单调递减，所以t （x ）＜t （1）＝cos1﹣1＜0，即h '（x ）＜0， 所以F '（x ）在（0，π2]上单调递减，因为F '（π2）＝1﹣ln π2＞0，所以F （x ）在（0，π2]上单调递增，因为F （π2）=π2（1﹣ln π2）＞0，F （1e ）=2e −cos 1e ＜2e −cos π6=2e −√32=4−√3e 2e＜0，所以F （x ）在（1e，π2]上存在唯一零点，即F （x ）在（0，π2]上存在唯一零点， 综上，F （x ）有且仅有2个零点．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及单调性，考查分析问题解决问题的能力． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果． （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），整理得y 2+1=21+k ，又x +1=4k 1+k2，两式相除得：k =x+1y+2，代入x +1=4k 1+k2，得到（x +1）2+y 2＝4（y ≠﹣2）．（2）曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣4＝0．设圆心C 1（﹣1，0）到直线l 的距离为d ， 则|AB |=2√4−d 2=2√3，解得d ＝1． 所以：|PD |=√|PC 1|2−1， 当|PC 1|最小时，|PD |最小，由于|PC 1|的最小值为圆心C 1到直线C 2的距离． 根据|PC 1|=|−1+0−4|2=5√22， 所以|PD|min =√252−1=√462．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2． （1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6． 【分析】（1）由f （x ）≥0，可得f （x ）+|f （x ）﹣9|＝|f （x ）|+|f （x ）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M ；（2）由条件可得（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．解：（1）由f（x）=13（x+1）2≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|≥|f（x）﹣f（x）+9|＝9，当0≤f（x）≤9时，取得等号，则最小值M＝9；（2）证明：由a，b，c＞0，f（a）+f（b）+f（c）＝9，可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，由柯西不等式可得（12+12+12）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，当且仅当a+1＝b+1＝c+1，即a＝b＝c时，取得等号，则a+b+c+3≤√3[(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2]=√3×27=9，即a+b+c≤6．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

全国名校2020年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅰ卷）文科数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 ACCCADDBCDBC1．A 【解析】由2980x x -+<可得(1)(8)0x x --<，解得18x <<，所以{2,3,4,5,6,7}U =，所以{2,7}U A =ð．故选A ．2．C 【解析】由题可得2222|1(3)|13i |22|11z +--====+，故选C ．3．C 【解析】∵0.400.5100.5a <==<，0.40.4log 0.3log 0.41b =>=，88log 0.4log 10c =<=，∴c a b <<，故选C ．4．C 【解析】由题可得函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，因为11(21)()()2212(21)x x x xf x x +=+=--，所以(21)()(21)()()2(21)2(21)x x x x x xf x f x --+-+-===--，所以函数()f x 为偶函数，可排除A 、B ；当0x >时，()0f x >，可排除D ，故选C ． 5．A 【解析】由题可得2222244ABCDS a a p S a π-π-===阴影正方形，所以42p π=+．故选A ．6．D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为5102S S =，所以1q ≠，且51011(1)2(1)11a q a q q q--=--，化简可得512q =-，所以5155155151110551010511282(1)8(1)102816(1)(1)S S a q a q q q S S a q a q q q +-+---===------，故选D ． 7．D 【解析】如图，由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -挖去一个底面边长为2、高为2的正四棱锥1111O A B C D -，所以该几何体的表面积为2152********⨯+⨯⨯⨯=+，故选D ．8．B 【解析】初始：0k =，5S =，第一次循环：505S =-=，1k =，不满足0S <，继续循环；第二次循环：514S =-=，2k =，不满足0S <，继续循环；第三次循环：422S =-=，3k =，不满足0S <，继续循环；第四次循环：231S =-=-，4k =，满足0S <，结束循环，输出的k 的值为4，故选B ． 9．C 【解析】如图，延长,AB EC 交于点N ，延长,AF CE 交于点M ，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，则在BCN △中，BC a =，90BCN ∠=︒，60CBN ∠=︒，所以2BN a =，所以有13AB AN =uu u r u u u r ，同理可得13AF AM =u u u r u u u u r ，因为AP xAB y AF =+u u u r u u u r u u u r ，所以33x y AP AN AM =+u u u r u u u r u u u u r ，因为,,P M N 三点共线，所以有133x y +=，所以3x y +=，故选C ．10．D 【解析】因为函数()f x 的图象经过点(,2)6A π，所以2sin()23ϕπ+=，所以2,32k k ϕππ+=+π∈Z ，所以2,6k k ϕπ=+π∈Z ，所以()2sin(22)2sin(2)66f x x k x ππ=++π=+．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数2sin(2)6y x π=-的图象，故A 不正确；令3222,262k x k k ππ+π≤+≤π+π∈Z ，可得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，所以函数()f x 的单调递减区间为2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ，故B 不正确；令()0f x =，可得2,6x k k π+=π∈Z ，即,122k x k ππ=-+∈Z ，当[0,2]x ∈π时，5111723,,,12121212x ππππ=，所以函数()f x 在区间[0,2]π内有四个零点，故C 不正确；因为3[]0,x π∈，所以52[,]666x πππ+∈，因此1sin(2)[,1]62x π+∈，所以函数()f x 在区间[0,]3π上的最小值为1，故D 正确．故选D ．11．B 【解析】由题意得抛物线C 的焦点为(0,)2p F ，准线l 的方程为2py =-，设准线l 与y 轴交于点1F ．过点P 作准线l 的垂线，垂足为1P ，则11PP FF ∥，因为2PQ =u u u r u u r ，所以1||||2||||PQ PQ PP FP =，所以145PQP ∠=︒，所以直线FA 的倾斜角为135︒，所以直线FA 的斜率k =0201p --12p =-=-，解得2p =．又11||||2||||21PP PQ FQ FF ==+1||2221PP =+1||422PP =-．设00(,)P x y ，则01422y +=-0322y =-2204(322)4(21)x =-=，又点P 在第一象限，所以02(21)222x ==，所以点P 到y 轴的距离为222．故选B ．12．C 【解析】如图，因为1PA =，7PB 22AB =222PA PB AB +=，所以2APB π∠=．取AB 的中点为D ，连接CD ，PD ，因为5CA CB ==CD AB ⊥，又2AD BD =3CD ．又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥平面PAB ， 又PAB △为直角三角形，所以PAB △外接圆的圆心为D ，所以三棱锥P ABC -的外接球的球心一定在直线CD 上，设外接球的球心为O ，球O 的半径为R ，连接PO ，则3OD R =， 所以222OD DP OP +=，即222(3)(2)R R +=，解得53R ， 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为22532544(3R ππ=π⨯=．故选C ． 13．5 【解析】因为直线320x y +-=的斜率为13-，所以由题可知曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为3，又()e 2e x x f x a -'-=，所以(0)23f a '=-=，解得5a =． 14．7- 【解析】因为tan()3αβ+=，tan 2β=，所以tan tan tan 2tan()31tan tan 12tan αβααβαβα+++===--，解得1tan 7α=，所以cos cos 17sin()sin tan ααααα=-=-=-π+．15．56- 【解析】设单调递增的等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，则1(1)2n n n d S na -=+，112n S n a d n -=+，故数列{}n S n 是单调递增的等差数列，因为方程216600x x ++=的两根分别为6-，10-，所以3103S=-，565S =-，所以数列{}n S n 的首项为14-，公差为2，所以数列{}n Sn的前n 项和为215n n -，易知当7n =或8时，215n n -取得最小值，为56-． 16．32【解析】由题可得(,0)A a ，(2,0)F a ，双曲线E 的渐近线方程为b y x a =±，设(,)b P m m a ，则(,)b AP m a m a =-u u u r ，(2,)bFP m a m a=-u u u r ，因为AP FP ⊥u u u r u u u r ，所以0AP FP ⋅=u u u r u u u r ，所以222()(2)0b m a m a m a --+=，即2222(1)320b m ma a a +-+=，由题可得222294(1)20b a a a∆=-+⋅≥，即228a b ≥，设22c a b +，则2228()a c a ≥-，即2289c a ≤，所以32c e a =又1e >，所以321e <≤所以双曲线E 的离心率e 的取值范围为32．17．（12分）【解析】（1）因为2cos cos cos 0a B b C c B ++=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos 0A B B C C B ++=，（2分）所以sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=-，即sin()2sin cos B C A B +=-， 因为A B C ++=π，所以sin 2sin cos A A B =-，（4分）又sin 0A ≠，所以1cos 2B =-，因为0B <<π，所以23B π=．（6分）（2）因为92AB BC ⋅=u u u r u u u r ，所以9cos()2ac B π-=，即9cos 2ac B =-，（8分）由（1）可知1cos 2B =-，所以9ac =，因为222222cos 92927b a c ac B a c ac =+-=++≥+=，（10分） 当且仅当3a c ==时取等号，所以2b 的最小值为27，所以b 的最小值为（12分） 18．（12分）【解析】（1）因为50名男顾客对该商场服务满意的有40人， 所以男顾客对该商场服务满意的概率约为404505=，（3分） 因为50名女顾客对该商场服务满意的有30人， 所以女顾客对该商场服务满意的概率约为303505=．（6分） （2）由列联表可知2K 的估计值2100(40203010)1004.762 3.8417030505021k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，（9分）所以有95%的把握认为顾客对该商场的服务是否满意与性别有关．（12分） 19．（12分）【解析】（1）由题可得2OC OB ==，因为120BOC ∠=︒，所以30OBC ∠=︒，（1分）在MOB △中，因为MB ，所以由余弦定理可得OM ==， 所以222OM OB MB +=，所以OM OB ⊥，（3分）因为OA OB ⊥，OA OC ⊥，OB OC O =I ，所以OA ⊥平面COB ， 又OM ⊂平面COB ，所以OM OA ⊥，因为OA OB O =I ，所以OM ⊥平面AOB ．（6分）（2）由题可得O ACMD A COB M ODB V V V ---=-，易得1122232A COB V -=⨯⨯⨯=，（8分）因为D 是线段AB 的中点，所以112132M ODB D OMB V V --==⨯⨯=，（10分）所以O ACMD A BOC M ODB V V V ---=-=故四棱锥O ACMD -（12分）20．（12分）【解析】（1）因为椭圆Γ所以2221222a b a b ⎧⨯⨯=⎪⎨⎪+=⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（2分）所以椭圆Γ的标准方程为2212x y +=．（4分）（2）设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，将(1)y k x =-代入2212x y +=，消去y 可得2222)221204(x k k x k -+-+=，所以2122412k x x k +=+， 因为线段AB 的中点为M ，所以21222212M x x k x k +==+，212Mk y k -=+，（6分） 因为直线1l ，2l 的斜率的乘积为12-，所以直线2l 的方程为1(1)2y x k=--，（7分）同理可得，2211212N N k x y k k ==++，，所以2222221(),()12121212k k kM N k k k k -++++，，，（9分） 设线段MN 的中点为T ，则1(,0)2T ，所以22121|||||||2122121|4OMN M N k k S OT y y k k =⨯=⋅-=⨯=++△11122||||k k ⨯+≤，（11分）当且仅当12||||k k =，即k =时取等号，所以OMN △．（12分） 21．（12分）【解析】（1）由题可得函数()f x 的定义域为R ，()(1)e x f x a x '=+，（1分） 当0a >时，令()0f x '<可得1x <-，令()0f x '>可得1x >-， 所以函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增；（3分） 当0a <时，令()0f x '>可得1x <-，令()0f x '<可得1x >-， 所以函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减．综上，当0a >时，函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增；当0a <时，函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减．（5分）（2）当0x >时，由()()f x g x ≥可得e ln 1(0)x ax x x x ≥++>，即ln 1(0)e xx x a x x ++≥>． 令ln 1()(0)e xx x F x x x ++=>，则原问题等价于max ()a F x ≥．（7分） ()F'x =21(1)e (1)e (ln 1)(e )x x x x x x x x x +-+++2(1)(ln )e xx x x x -++=，令()ln (0)x x x x ϕ=+>，则1()10'x xϕ=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，（9分） 因为11()10e e ϕ=-<，(1)10ϕ=>，所以存在01(,1)ex ∈，使得000()ln 0x x x ϕ=+=，所以当00x x <<时，()0x ϕ<，()0F'x >；当0x x >时，()0x ϕ>，()0F'x <， 所以()F x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，（10分） 所以000max 00ln 1()()1e x x x F x F x x ++===，所以1a ≥，故a 的取值范围为[1,)+∞．（12分）22．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）【解析】（1）因为直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 所以消去参数t ，可得280x y -+=，故直线l 的直角坐标方程为280x y -+=．（2分）因为曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数），所以消去参数s ，可得24y x =，故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（5分）（2）设点(,)P x y ，因为P 为曲线C上的动点，所以22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数），（7分）则点P 到直线l的距离d ==≥=，（9分）当s =4x =，4y =，所以点P 到直线l．（10分） 23．选修4-5：不等式选讲（10分）【解析】（1）当32x >时，()3f x ≤可化为21236x x ++-≤，解得322x <≤； 当1322x -≤≤时，()3f x ≤可化为21(23)6x x +--≤，解得1322x -≤≤；（2分）当12x <-时，()3f x ≤可化为(21)(23)6x x -+--≤，解得112x -≤<-．综上，可得12x -≤≤，故不等式()3f x ≤的解集为[1,2]-．（5分）（2）由题可得1313()|||||()()|22222f x x x x x =++-≥+--=，（7分）因为关于x 的不等式1()|1|2f x a <-的解集是空集，所以1|1|22a -≤，（9分）解得35a -≤≤，故实数a 的取值范围为[3,5]-．（10分）。

大教育全国名校联盟2020届高三质量检测第一次联考文科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上.2.请在答题卡上作答，写在本试卷上效.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}13A x x =-<<，{}0,1,2,3B =，则A B =I （ ） A. {}1,2 B. {}1,0,1,2-C. {}0,1,2,3D. {}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集的定义直接求解即可.【详解】因为集合{}13A x x =-<<，{}0,1,2,3B =，所以{}0,1,2A B =I . 故选：D【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=I ，则“//a α”是“//b α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案. 【详解】若//a α，根据线面平行的性质定理，可得//a b ； 若//a b ，根据线面平行的判定定理，可得//a α. 故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.4.体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数. 【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示， 利用列举法，可得下表，可知需要次数为4次. 故选：B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A. 30B. 312C. 152D. 62【答案】B 【解析】 【分析】根据14+=nn n a a ，分别令1,2n =，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知中：10,0a q >>.由14+=nn n a a ，分别令1,2n =，可得124a a =、2316a a =，由等比数列的通项公式可得：11121142162a a q a a q a q q ⎧⋅⋅=⎧=⎪⇒⎨⎨⋅⋅⋅==⎪⎩⎩， 因此552(12)312S -==.故选：B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 6.函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项，故选A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．7.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A. 11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B. 11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-【答案】B 【解析】 【分析】执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得： 第1次循环：1,2S i ==；第2次循环：11,33S i =-=；第3次循环：111,435S i =-+=；L L第10次循环：11111,1135719S i =-+-+-=L ， 此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719P S ==-+-+⋅⋅⋅-，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A. {}1,2,3 B. {}6,7,8C. {}1,2,3,4,5D. {}6,7,8,9,10【答案】C 【解析】 【分析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足0+=i j a a 的i 的取值集合. 【详解】设公差为d ，由题知43a =-⇒133a d +=-，1224S =⇒1121112242a d ⨯+=， 解得19a =-，2d =，所以数列为9,7,5,3,1,1,3,5,7,9,11,-----L ， 故{}1,2,3,4,5i ∈. 故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题. 9.若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A. b c a >> B. c a b >>C. a b c >>D. c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>，又由0.512c =>，所以c b a >>. 故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (],1-∞ B. [)1,+∞C. [)0,1D. (]1,0-【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 11.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A.12B.45C.38D.34【答案】C 【解析】 【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x yy x ≤⎧⎨-≤⎩，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P ?创-创==´. 故选：C【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.12.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=oAB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. 3y x =±B. y x =C. =±y xD. )1=±y x【答案】D 【解析】 【分析】设2AF m =，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设22,AB AF m BF ==∴==，由双曲线的定义可知：12,AF m a =-因此12,BF a =再由双曲线的定义可知：122BF BF a m -=⇒=，在三角形12AF F 中，由余弦定理可知：222212222222112cos120(5(5F F AF AF AF AF c a a b a ︒=+-⋅⋅⇒=-⇒+=-2222(4(41b bb a a a⇒=-⇒=-⇒=，因此双曲线的渐近线方程为：)1=±y x .故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.13.已知i r ，j r 是夹角为90︒的两个单位向量，若=+r r r a i j ，b j =r r ，则a r 与b r的夹角为__________.【答案】45︒ 【解析】【分析】首先求出a r 与b r 的数量积，然后直接根据a r 与b r的夹角公式求解即可. 【详解】由题知=+r r r a i j ，b j =r r，有()1a b i j j ⋅=+⋅=r r r r r，所以cos ,2a b a b a b ⋅===r rr r r r ，所以cos ,45a b =︒r r.故答案为：45︒.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，向量夹角的求解，属于基础题.14.若函数()()(sin 0,02)f x x ωϕωϕπ=+>≤<满足：①()f x 是偶函数；②()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称.则同时满足①②的ω，ϕ的一组值可以分别是__________. 【答案】32，π2【解析】 【分析】根据()f x 是偶函数和()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，即可求出满足条件的ω和ϕ. 【详解】由()f x 是偶函数及0πϕ≤<2，可取π2ϕ=， 则()πsin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 由()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，得πππ32k ω⨯=+，k Z ∈，即332k ω=+，k Z ∈，可取32ω=.故ω，ϕ的一组值可以分别是32，π2. 故答案为：32，π2. 【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R ,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是23R ,4R ,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________. 【答案】12【解析】 【分析】画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得,a c 的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案. 【详解】如图所示，设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ， 因为地球半径为R ,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是23R ,4R , 可得423a c R Ra c R R +=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得105,33a R c R ==， 所以椭圆的离心率为5131023R c e a R ===. 故答案为：12.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得,a c 的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16.在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若P A 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是______；三棱锥P -ABC 的外接球的表面积_____. 【答案】 (1). 3 (2). 5π【解析】首先补全三棱锥为长方体，即可求出点P 到底面ABC 的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.【详解】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ， 由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =， 即为点P 到底面ABC 的距离，由11P PP A P C V V ≌，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，13 也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB所以球的表面积为254π5π2⎛= ⎝⎭.35π.【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且sin()sin 2A Cb A Bc ++=. （1）求B ； （2）若ABCV 38，求b .【答案】（1）π3B =；（2）134b = 【解析】（1）通过正弦定理和内角和定理化简sin()sin2A Cb A Bc ++=，再通过二倍角公式即可求出B Ð； （2）通过三角形面积公式和三角形的周长为8，求出b 的表达式后即可求出b 的值. 【详解】（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得sin cos 2B bC c =， 结合正弦定理，得sin cos 2BB =， 由π022B <<及二倍角公式，得1sin 22B =， 即π26B =，故π3B =；（2）由题设，得1sin 2ac B =4ac =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即()2212b a c =+-， 又8a b c ++=，所以()22812b b =--， 解得134b =. 【点睛】本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.18.若养殖场每个月生猪的死亡率不超过1%，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率； （2）根据1月到8月的数据，求出月利润y （十万元）关于月养殖量x （千只）的线性回归方程（精确到0.001）.（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？附：线性回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：1221ˆni ii nii x ynx yb xnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =- 参考数据：88211460,379.5ii i i i xx y ====∑∑.【答案】（1）35；（2）ˆ0.640 1.520y x =+；（3）利润约为111.2万元.【解析】 【分析】（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；（2）首先求出利润y 和养殖量x 的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程；（3）根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润. 【详解】（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份， 则5个月份任意选取3个月份的基本事件有()2,3,4，()2,3,5，()2,3,6，()2,4,5，()2,4,6，()2,5,6，()3,4,5，()3,4,6，()3,5,6，()4,5,6，共计10个，故恰好有两个月考核合格的概率为63105P ==； （2）7x =，6y =，2379.587643.5ˆ0.6404608768b-⨯⨯==≈-⨯， ˆ60.6407 1.520a=-⨯=， 故ˆ0.640 1.520yx =+； （3）当15x =千只，ˆ0.64015 1.52011.12y =⨯+=（十万元）111.2=（万元），故9月份的利润约为111.2万元.【点睛】本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.19.在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A B BA 是菱形，4AB =，160ABB ∠=︒，113B C =，BC AB ⊥，点M 、N 分别是1A B 、1AC 的中点，且1⊥MN AB .（1）求证：平面11BCC B ⊥平面11A B BA ； （2）求四棱锥11A BCC B -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）83【解析】 【分析】（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出BC ⊥平面11A B BA 即可；（2）求出点A 到平面11BCC B 的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥11A BCC B -的体积. 【详解】（1）连接1A C ，由11ACC A 是平行四边形及N 是1AC 的中点， 得N 也是1A C 的中点，因为点M 是1A B 的中点，所以//MN BC ， 因为1⊥MN AB ，所以1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，1AB AB A =I ，所以BC ⊥平面11A B BA ， 又BC ⊂平面11BCC B ，所以平面11BCC B ⊥平面11A B BA ； （2）过A 作1AO B B ⊥交1B B 于点O ，因为平面11BCC B ⊥平面11A B BA ，平面11BCC B I 平面111A B BA B B =， 所以AO ⊥平面11BCC B ，由11A B BA 是菱形及160ABB ∠=︒，得1ABB △为三角形，则23AO = 由BC ⊥平面11A B BA ，得1BC B B ⊥，从而侧面11BCC B 为矩形，所以1111123348333A BCCB V OA BC B B -=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线E 上一点，且点P 的横坐标为2，3PF =. （1）求抛物线E 的方程；（2）过点F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过点F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ，设AB 的中点为N ，若O 、M 、N 、F 四点共圆，求直线m 的方程.【答案】（1）24y x =（2）)21y x =±-【解析】 【分析】（1）首先根据抛物线的定义和题中条件求出抛物线的焦准距，即可得到抛物线的方程；（2）首先设直线m 的方程，然后与抛物线联立，利用韦达定理求出点N 坐标，然后设直线n 的方程求出点M 的坐标，最后利用O 、M 、N 、F 四点共圆即可求出直线m 的方程. 【详解】（1）由抛物线定义，得232pPF =+=，解得2p =， 所以抛物线F 的方程为24y x =；（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-，由2114y x =，2224y x =，得()()()22222121212122424424444y y y y t y y x x t +--⨯-+=+===+， 所以()221,2N t t +，因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -，则直线n 的方程为()1y t x =--，由()11x y t x =-⎧⎨=--⎩解得()1,2M t -，若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=u u u u r u u u r ，解得t =，所以直线m的方程为)1y x =-. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定理，直线与抛物线的交点问题，属于一般题. 21.已知函数2()126ln af x x a x x=+--存在一个极大值点和一个极小值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的极大值点和极小值点分别为1x 和2x ，且()()1226f x f x e <-+，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数） 【答案】（1）4,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()e,+∞. 【解析】 【分析】（1）首先对函数()f x 求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a 的取值范围； （2）首先求出()()12f x f x +的值，再根据()()1226f x f x e <-+求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为是()0,∞+，()222262622a a x ax af x x x x -+'=+-=， 若()f x 有两个极值点，则方程22620x ax a -+=一定有两个不等的正根， 设为1x 和2x ，且12x x <，所以2121236160300a a x x a x x a ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩解得49>a ，此时()()()1222x x x x f x x--'=， 当10x x <<时，()0f x '>， 当12x x x <<时，()0f x '<， 当2x x >时，()0f x '>，故1x 是极大值点，2x 是极小值点， 故实数a 的取值范围是4,9⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （2）由（1）知，123x x a +=，12x x a =， 则()()1211221222126ln 126ln a af x f x x a x x a x x x +=+--++--， ()()121212122226ln a x x x x a x x x x +=++--，232236ln 26ln a aa a a a a a⋅=+⨯--=-， 由()()1226e f x f x +<-，得26ln 26e a a -<-，即ln e a a >， 令()4ln 9g a a a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，考虑到()e elne e g ==， 所以ln e a a >可化()()e g a g >，而()411ln 1ln1ln 09eg a a '=+>+>+=， 所以()g a 在4,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，由()()e g a g >，得e a >， 故实数a 的取值范围是()e,+∞.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1cos 2sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系. （1）设直线l 的极坐标方程为12πθ=，若直线l 与曲线C 交于两点A.B ，求AB 的长；（2）设M 、N 是曲线C 上的两点，若2MON π∠=，求OMN ∆面积的最大值.【答案】（1；（2）1. 【解析】 【分析】（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可； （2）()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由（1）通过计算得到121πsin 22S ρρ=πsin 23θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即最大值为1.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为221122x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即220x y x +--=；再将222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得2cos sin 0ρρθθ-=， 故曲线C 的极坐标方程为π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 显然直线l 与曲线C 相交的两点中， 必有一个为原点O ，不妨设O 与A 重合，即12ππ2sin 612AB OB πθρ=⎛⎫===+=⎪⎝⎭（2）不妨设()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则OMN V 面积为121π1πππsin 2sin 2sin 222626S ρρθθ⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ πππ2sin cos sin 2663θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当πsin 213θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即取π12θ=时，max 1S =. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题. 23.已知不等式111x x x m +++-≥+对于任意的x ∈R 恒成立. （1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为M ，且正实数a ，b ，c 满足23a b c M ++=.求证11222a b b c+≥+++【答案】（1）[]3,1-（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=，0x ≥，得112x x x +++-≥，则12m +≤，由此可得答案； 法二：由题意()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数，由此可得出答案；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论． 【详解】解：（1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=（当且仅当11x -≤≤时取等号），又0x ≥（当且仅当0x =时取等号），所以112x x x +++-≥（当且仅当0x =时取等号）， 由題意得12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤， 故m 的取值范围是[]3,1-；法二：因为对于任意x ∈R 恒有111x x x m +++-≥+成立，即()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数， 所以()()min 02f x f ==，即12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤，故m 的取值范围是[]3,1-；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=， ∴1122a b b c +++()112322a b c a b b c ⎛⎫=++⋅+ ⎪++⎝⎭()()23211222a b b c a b b c +++⎛⎫=⋅+ ⎪++⎝⎭()32124222b c a b a b b c +⎡⎤+=++⎢⎥++⎣⎦1422⎡≥+=⎣故不等式11222a b b c+≥+++ 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．。

c 保密★启用前2020年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷一）您题号—总分得分注意事项：1.答题前垃写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答超卡上o:n o评卷人得分1.己知集合/!={x\xA.{—4,1}一、单选题3—4<0},8={-4,1,3,5},则』口=（）B.（1,5}C.{3,5}D.{1,3}2.若z= l+2i+i3，则回=（）A.0B.1C.41D.23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑志迹之一，它的形状可视为-个正四棱锥，以该四校锥的高为边长的正方形面积等于该四梭推一个侧面三角形的面积，鲫其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）oO A旦R岂 C.旦 D.旦4242的概率为（）5.某校一个课外学习小组为研充某作物种了•的发芽率.p 和温度工（单位：°C ）的关系. 在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（.t r.Z ）（/ = 1.2.-.2O ）得到下 面的散点图;由此散点图•在10。

至40也之间・卜.面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率*和温度X 的问归方程类型的是（）A. ，= 〃 +版B. y = a + hx 2C. y-a + be l D・ y = a + b\nx6.已知圆xf 尸-6“0,过点（1, 2）的直线被该圆所截得的弦的忙度的最小值为A. 1C. 3B. 2D. 47 .设函数f （x ） = COS （5 +兰）在［-兀,71］的图像大致如卜图，则用）的最小止周期为（）610n A. B.Inc. 8. A. 9.4丸设g4=2,则4"= <）1 B.1. 169执行下面的程序框图，则输出的〃=（）D.C.A.3兀D.417 B.19 C.21 D.2310.设｛虬｝是等比数列，旦0+七+%=】•％+江/久=2.则％+"%=(A.12B.24C.30D.32y11.设％足是双仙线C:x2-^-=l的两个焦点.。