难点专题五：抛物线与特殊四边形的综合

中考专题复习《抛物线与四边形》解抛物线与四边形相关的问题，特殊四边形的性质与判定是解题的基础，而待定系数法、数形结合、分类讨论是解题的关键。

以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊的四边形，有以下基本形式：（1）抛物线上的点能否构成平行四边形;（2）抛物线上的点能否构成矩形、菱形或正方形；（3）抛物线上的点能否构成梯形;下面，我就通过几个具体的实例来探讨解析抛物线与四边形结合的综合题。

一、抛物线与平行四边形将二次函数与方程（组）、平行四边形的知识有机的结合在一起。

这类试题难度较大，解这类试题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用平行四边形的有关性质定理与判定定理，二次函数的知识，并充分挖掘题目中的隐含条件，用分类讨论的方法分析答案有几种可能。

例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．分析：（1）设出抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，由于抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点，把三点代入表达式，联立解方程组，求出a、b、c．（2）要分类讨论AB 是边还是对角线两种情况，AB 为边时，只要PQ ∥AB 且PQ =AB=4，进而求出P 点坐标，当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分，进而求出P 点坐标．解答：（1）设该抛物线的表达式为y=ax 2+bx+c 根据题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-10390c c b a c b a 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=13231c b a ∴所求抛物线的表达式为y=132312---x x （2）①AB 为边时，只要PQ ∥AB 且PQ=AB=4即可。

又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P 有两个，分别记为P1，P2 而当x=4时，y=32；当x=-4时，y=7， 此时P1（4，32）,P2（-4,7） ②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可又知点Q 在Y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1∴点P 的横坐标为2，这时符合条件的P 只有一个记为P3而且当x=2时y=-1 ，此时P3（2，-1）综上，满足条件的P 为P1（4，32）,P2（-4,7）,P3（2，-1） 二、抛物线与矩形、菱形或正方形我们解决这类问题要能够熟练运用配方法求抛物线的对称轴、顶点坐标以及与x 轴、y 轴的交点坐标，并且要充分理解矩形、菱形和正方形的性质和判定，注意它们之间的联系与区别。

抛物线上的特殊平行四边形问题探究专题导入导图：给出两点确定平行四边形关系如下图：导例如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图2思路点拨1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值O A．3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q 的上下位置关系，分两种情况列方程．答案：(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y＝a(x＋4)(x－2)．代入点B(0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-． ①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得225x =-±．此时点Q 的坐标为(225,225)-+-（如图3），或(225,225)--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=．解得4x =-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．图3 图4 图5典例类型一：已知“两点”判断平行四边形存在性问题例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx +n 经过点A （3，0）、B （0，﹣3），点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ． （1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．（2）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM 的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=32时，PM最长为=94，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．类型二：菱形的存在性问题例2 如图2所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c 经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）【分析】（1）把已知点坐标代入解析式；（2）取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得；（3）①由已知，注意相似三角形的分类讨论．②设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况．类型三：正方形的存在性问题例3如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），①如图2，若点P 在直线AB 上方，连接OP 交AB 于点D ，求的最大值；②如图3，若点P 在x 轴的上方，连接PC ，以PC 为边作正方形CPEF ，随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E 或F 恰好落在y 轴上，直接写出对应的点P 的坐标．【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）作PF ∥BO 交AB 于点F ，证△PFD ∽△OBD ，得比例线段，则PF 取最大值时，求得的最大值；（3）（i ）点F 在y 轴上时，P 在第一象限或第二象限，如图2，3，过点P 作PH ⊥x 轴于H ，根据正方形的性质可证明△CPH ≌△FCO ，根据全等三角形对应边相等可得PH ＝CO ＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii ）点E 在y 轴上时，过点PK ⊥x 轴于K ，作PS ⊥y 轴于S ，同理可证得△EPS ≌△CPK ，可得PS ＝PK ，则P 点的横纵坐标互为相反数，可求出P 点坐标；点E 在y 轴上时，过点PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，同理可证得△PEN ≌△PCM ，可得PN ＝PM ，则P 点的横纵坐标相等，可求出P 点坐标．由此即可解决问题． 专题突破1、如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3,)2。

二次函数与特殊四边形综合专题类型一 抛物线与平行四边形例1.、如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．类型二 抛物线与矩形例2、如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，A （－3，0），过点C 的直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点D ，二次函数y ＝－21x 2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点． （1）求B 、C 两点的坐标； （2）求二次函数的解析式；（3）若点P 是CD 的中点，求证：AP ⊥CD ；（4）在（3）的前提下，在二次函数的图象上是否存在这样的点M ，使以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M类型三 抛物线与菱形例3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A （0，－4）、B （，0）、C （，0）三点，且－=5．（1）求、的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）类型四 抛物线与正方形例4、如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB ≌Rt △CDA ，且A （－1，0）、B （0，2），抛物线22-+=ax ax y 经过点C ．⑴求抛物线的解析式；⑵在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P 、Q ,使四边形ABPQ 是正方形？若存在，求点P 、Q 的坐标，若不存在，请说明理由．y 32x 2b xc x 1x2x2x 1b c专题训练1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，A、B、C为轴上的点，OA=1、OB=3、OC=4.(1)求经过A、B、C三点抛物线的解析式。

二次函数与特殊四边形综合问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式 （1）抛物线上的点能否构成平行四边形（2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形 （3）抛物线上的点能否构成梯形。

特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键二、例题精析㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3,)2。

点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交CD 于点F .（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。

（3）若存在点P ，使45PCF ∠=︒，请直接写出相应的点P 的坐标【解答】（1）∵直线122y x =+经过点C ,∴(0,2)C∵抛物线2y x bx c =-++经过点(0,2)C ，D 7(3,)2∴227273322c b b c c =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=-++⎪⎪=⎩⎩ ∴抛物线的解析式为2722y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上∴271(,2),(,2)22P m m m F m m -+++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形① 当03m <<时，22712(2)322PF m m m m m =-++-+=-+ ∴232m m -+=，解得：121,2m m ==即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时，2217(2)(2)322PF m m m m m =+--++=- 232m m -=，解得：12m m ==（舍去）即当1m =时，四边形OCFP 是平行四边形 （3）如图，当点P 在CD 上方且45PCF ∠=︒时，作,PM CD CN PF ⊥⊥,则△PMF ∽△CNF ，∴212PM CN mMF FN m=== ∴2PM CM CF ==∴55222PF CN m ===== 又∵23PF m m =-+ ∴2532m m m -+=解得：112m =，20m =（舍去） ∴17(,)22P 。

中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。

分两大类进行讨论： （1）AB 为边时（2）AB 为对角线时二、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。

在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直（2）对角线相等三、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。

在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等（2）对角线互相垂直四、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为正方形，求点P 坐标。

在四边形ABPQ 为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等（2）对角线互相垂直在四边形ABPQ 为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等五、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为梯形，求点P 坐标。

分三大类进行讨论： （1）AB 为底时（2）AB 为腰时 （3）AB 为对角线时所需知识点：一、 两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-=。

二、 圆的方程：点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。

2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题特殊三角形、四边形问题考情分析年份题号题型分值抛物线的变化设问形式解题关键点201724解答题10关于y轴对称(1)求两抛物线表达式(2)求抛物线与x轴两交点坐标(3)求满足平行四边形存在的点坐标(1)轴对称性质，抛物线的对称轴，抛物线的图象，开口方向(2)两点位置(3)平行四边形的性质20212410平移(1)判断抛物线与x轴交点情况(2)写满足等腰直角三角形存在的平移过程(1)待定系数法求抛物线表达式，一元二次方程根的判别(2)抛物线图象的平移20222410中心对称(1)求与坐标轴交点坐标(2)求抛物线表达式(3)求不是菱形的平行四边形的面积(1)抛物线与坐标轴的交点问题(2)抛物线图象关于中心对称性质(3)平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分例(2022陕西逆袭卷改编)如图，抛物线L：y＝x2＋2x－c的图象与x轴交于A，B两点(点B 在点A的左侧)，与y轴交于点C(0，-3)，过点A的直线与y轴交于点D，与抛物线交于点M，且tan∠BAM＝1.(1)求点A，B的坐标及抛物线解析式;(2)抛物线M与抛物线L关于y轴对称，求抛物线M与y轴交点坐标；(3)若点P为抛物线L上一动点，E为直线AD上一动点，则是否存在点P，使得以点A，P，E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例题图①(4)抛物线M上存在一点F，抛物线L上存在一点G，使得四边形ABFG为平行四边形，求出F，G两点坐标.例题图②探究平行四边形存在性问题的步骤：1.三定点(A、B、C)，一动点(D)：分别过点A、B、C作BC、AC、AB的平行线，三条平行线的交点即为所求作的点D 2.两定点(A、C)，两动点(E、F)：分AC为边和AC为对角线两种情况来讨论：①AC为边，平移AC，利用平行四边形的对边平行且相等确定点E、F位置②AC为对角线，取AC中点，利用平行四边形对角线互相平分来确定点E、F位置练习(2022山西逆袭复诊卷)综合与探究如图，抛物线y＝38x2－94x－6与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，点P是抛物线上任意一点，连接PB，PC，BC.练习题图(1)求点A，B，C的坐标；(2)当△PBC的面积为24时，求点P的坐标；(3)若点Q是直线x＝4上一点，是否存在以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习1(2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，抛物线L′与抛物线L关于y轴对称．练习1题图(1)求抛物线L的表达式；(2)抛物线L′的顶点为D，在x轴上是否存在一点P，使得以B、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习2(2022陕西黑白卷白卷)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝23x－2分别交x轴、y轴于点A，B，且抛物线与x轴的另一个交点为C(－1，0).(1)求抛物线的表达式；(2)点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习2题图答案典例精讲例解：(1)∵C(0，－3)∴抛物线L解析式为y＝x2＋2x－3，令y＝0，即x2＋2x－3＝0，解得x＝1或x＝－3，∴A(1，0)，B(－3，0)；(2)将抛物线L化为顶点式为y＝(x+1)2－4∵抛物线M与抛物线L关于y轴对称，∴抛物线M的解析式为y＝(x－1)2－4令x=0，则y=－3，∴抛物线M与y轴交点坐标为(0，－3)(3)存在．在Rt△AOD中，∵tan∠BAM＝tan∠OAD＝ODOA＝1，∴OD＝OA，∠BAD＝45°.如解图，分三种情况讨论：例题解题①①当AE＝PE时，∠AEP＝90°，∴∠EPA＝∠EAP＝45°，∵∠DAB＝45°，∴此时点P与点B重合，∴点P 的坐标为(－3，0)；②当AP ＝PE 时，∠EPA ＝90°，∴∠PEA ＝∠EAP ＝45°，∴此时点P 与点B 重合，∴点P 的坐标为(－3，0)；③当AP ＝AE 时，∠EAP ＝90°，设AP 与y 轴交于点F ，则∠OFA ＝∠OAF ＝45°，∴OF ＝OA ＝1，∴点F 的坐标为(0，－1)，设直线AF 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (1，0)，F (0，－1)代入y ＝kx ＋b 中，＝k ＋b1＝b ＝1＝－1，∴直线AF 的表达式为y ＝x －1，设点P 的坐标为(x ，x 2＋2x －3)，∴x 2＋2x －3＝x －1，解得x 1＝1(舍去)，x 2＝－2，当x ＝－2时，y ＝－2－1＝－3，∴点P 的坐标为(－2，－3)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(－3，0)或(－2，－3)．(4)∵A (1，0)，B (－3，0)∴AB ＝4∵点F 在抛物线M 上，点G 在抛物线L 上，且四边形ABFG 是平行四边形∴FG ∥AB ，FG =AB =4∵抛物线M 与抛物线L 关于y 轴对称∴两抛物线上纵坐标相同的点，横坐标关于y 轴对称∴4F G x x +=，x F ＝－x G分两种情况讨论，当F 、G 在x 轴上方时，即x F ＝－2时，x G ＝2当F、G在x轴下方时，即x F＝2时，x G＝－2将x F＝－2代入抛物线M解析式y＝x2－2x－3可得y F＝5，x G＝2，y G＝5，此时F(－2，5)，G(2，5)将x F＝2代入抛物线M解析式y＝x2－2x－3可得y F＝－3，x G＝－2，y G＝－3，此时F(2，－3)，G(－2，－3)∴综上所述，F(－2，5)，G(2，5)或F(2，－3)，G(－2，－3).例题解图②课堂练兵练习解：(1)在y＝38x2－94x－6中，令y＝0，得38x2－94x－6＝0，解得x＝－2或x＝8，令x＝0，得y＝－6，∴点A(－2，0)，点B(0，－6)，点C(8，0)；(2)当点P在直线BC下方时，如解图①，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，设直线BC的表达式为y＝kx＋d(k≠0)，将点B(0，－6)，C(8，0)代入，得＝－68＋＝0，解得＝34＝－6，∴直线BC的表达式为y＝34x－6.设点P (m ，38m 2－94m －6)(0<m <8)，则点E (m ，34m －6)，∴PE ＝(34m －6)－(38m 2－94m －6)＝－38m 2＋3m ，∴S △PBC ＝12PE ·OC ＝12(－38m 2＋3m )×8＝－32m 2＋12m ，当S △PBC ＝24时，即－32m 2＋12m ＝24，解得m ＝4，此时P (4，－9)；当点P 在直线BC 上方时，如解图②，由平移易求得lP 1P 2：y ＝34x ，联立＝34＝382－94－6，解得1＝4＋421＝3＋32，2＝4－422＝3－32，此时P 1(4＋42，3＋32)，P 2(4－42，3－32)．综上所述，点P 的坐标为(4，－9)或(4＋42，3＋32)或(4－42，3－32)；解图①解图②练习题(3)存在．当以点P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况：①如解图③，当BC 作为平行四边形的一条边时，PQ ∥BC ，且PQ ＝BC ，∵点Q 的横坐标为4，∴|x p －4|＝8，解得x p ＝－4或x p ＝12，∴P 1(－4，9)，P 2(12，21)；②如解图④，当BC 为平行四边形的对角线时，设对角线交于点R ，则BR ＝CR ，∴点R (4，－3)，＋2＝4，点Q 在直线x ＝4上，∴点P 的横坐标为4，此时P 3(4，－9)．综上所述，存在满足题意的点P ，点P 的坐标为(－4，9)或(12，21)或(4，－9)．解图③解图④练习题课后小练练习1解：(1)分别将点B (3，0)，C (0，－3)的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中得9＋3＋＝0＝－3，解得＝－2＝－3，∴抛物线L 的表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)存在．∵抛物线L ′与抛物线L 关于y 轴对称，∴抛物线L ′的表达式为y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴D (－1，－4)，设点P 的坐标为(m ，0)，∴BD 2＝(3＋1)2＋[0－(－4)]2＝32，DP 2＝(m ＋1)2＋(0＋4)2，则PB 2＝(m －3)2，∵△PBD 为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB ＝BD 时，即(m －3)2＝32，解得m ＝3＋42或m ＝3－42，∴P 1(3＋42，0)，P 2(3－42，0)；②当BD ＝PD 时，即32＝(m ＋1)2＋(0＋4)2，解得m ＝3(舍去)或m ＝－5，∴P 3(－5，0)；③当PB ＝PD 时，即(m －3)2＝(m ＋1)2＋(0＋4)2，解得m ＝－1，∴P 4(－1，0)综上所述，点P 点坐标为(3＋42，0)，(3－42，0)，(－5，0)，(－1，0).练习2解：(1)在y ＝23x －2中，当x ＝0时，y ＝－2.∴B (0，－2).令y ＝23x －2＝0，得x ＝3.∴A (3，0).设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，将点B(0，－2)代入，得－2＝－3a，解得a＝2 3 .∴抛物线的表达式为y＝23(x＋1)(x－3)＝23x2－43x－2；(2)存在．∵A(3，0)，B(0，－2)，∴AB2＝13.由(1)可知抛物线的对称轴为直线x＝1，∴设Q(1，m)，则AQ2＝22＋m2，BQ2＝1＋(m＋2)2，要使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，则分三种情况讨论：①当AQ＝AB，即AQ2＝AB2时，四边形ABPQ为菱形，∴22＋m2＝13，解得m＝3或m＝－3，∴点Q的坐标为(1，3)或(1，－3)；②当AB＝BQ，即AB2＝BQ2时，四边形ABQP为菱形，∴13＝1＋(m＋2)2，解得m＝23－2或m＝－23－2，∴点Q的坐标为(1，23－2)或(1，－23－2)，③当AQ＝BQ，即AQ2＝BQ2时，四边形AQBP为菱形，∴22＋m2＝1＋(m＋2)2，解得m＝－1 4∴点Q的坐标为(1，－1 4 ).综上所述，点Q的坐标为(1，3)或(1，－3)或(1，23－2)或(1，－23－2)或(1，－1 4 ).。

人教版九年级数学上册中考专题复习题1.类比归纳专题：配方法的应用2.类比归纳专题：一元二次方程的解法3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)8.抛物线中的压轴题9.易错专题：抛物线的变换10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算11.旋转变化中的压轴题12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度13.类比归纳专题：切线证明的常用方法14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积16.考点综合专题：圆与其他知识的综合17.圆中的最值问题18.抛物线与圆的综合19.易错专题：概率与放回、不放回问题类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．±29．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．－9或11B ．－7或8C ．－8或9D ．－6或7◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ）A ．3B ．－1C ．2D ．－211．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值．答案：类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误）， 所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1. 2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x 2－5x －6＝0； （2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14， 两边开平方，得x －52＝±14， 即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24； |（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2） ＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1） ＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3） ＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3. 4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5； 当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程 无实数根.∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一 利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a ≠0”1．(2016－2017·江都区期中)若关于x的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为______.【易错1】2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或0 3．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0.(1)求m 的值； (2)求方程的解．◆类型二 利用判别式求字母取值范围时，忽略“a ≠0”及“a 中的a ≥0”4．(2016－2017·抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠25．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.6．若m 是非负整数，且关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．◆类型三 利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．(2016·朝阳中考)关于x 的一元二次方程x 2＋kx ＋k ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 21＋x 22＝1，则k 的值为_______.【易错2】 8．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值．【易错2】◆类型四 与三角形结合时忘记取舍 9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）A ．11B ．17C ．17或19D ．1910．在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋6－b ＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与一次函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x －m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x ＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．◆类型三一元二次方程与二次根式的综合12．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠213．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．答案：12.B 13.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2016·天水中考)如图，二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确结论的序号是____________.答案：易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为_______. 2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法11】（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－13．已知函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．(2016－2017·双台子区校级月考)函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是（ ）A ．4和－3B ．－3和－4C ．5和－4D ．－1和－45．二次函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的图象如图所示，当－1≤x ≤0时，该函数的最大值是【方法11】（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．06．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1（ ） A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是（ ）A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤18．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜39．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图象如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m◆类型四 已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值10．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为（ ）A ．－2B ．1C ．2D ．911．已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为（ ）A．3 B．－1C．4 D．4或－112．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤513．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a2，则∠A＝_______度．14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．答案：难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P 的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P 在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP 的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________.第5题图 第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．(2016·百色中考)正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O ，P ，A 三点的坐标； ②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．答案：拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。

2023年九年级中考数学专题复习： 二次函数综合题（特殊四边形问题） 1．如图，抛物线223y ax ax =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式．(2)若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值及此时点P 的坐标．(3)若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线2y ax x c =++经过(3,0)B ，52,2D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的解析式和点C 的坐标；(2)若点M 在直线BC 上方的抛物线上运动（与点B ，C 不重合），求使MBC △面积最大时M 点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标．（请在图2中探索）3．如图，抛物线经过A (﹣1，0)，B (3，0)，C (0，32)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使P A +PC 的值最小，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，3OA =，4OC =，抛物线24y ax bx =++经过点B ，且与x 轴交于点()1,0D -和点E ．(1)求抛物线的表达式：(2)若P 是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP ，PE ，当四边形OCPE 的面积最大时，求点P 的坐标，此时四边形OCPE 的最大面积是多少；(3)若N 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M ，使以点C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．5．已知二次函数2(0)y x bx c a =++≠的图像与x 轴的交于A 、(1,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．6．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作平行四边形CPBD，点P的横坐标为m．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当平行四边形CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为；(3)当平行四边形CPBD是菱形时，求m的值．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点()1,6A -，()2,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴，交AB 于点Q ，过点P 作PM AB ⊥于M ，当线段PM 的长度取得最大值时，求点P 的坐标和线段PM 的长度；(3)把抛物线2y x bx c =-++沿射线AB C 是新抛物线对称轴上一点，D 为平面上任意一点，直接写出所有使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为菱形的点D 的坐标．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （O ，6），抛物线的顶点坐标为E （2，8），连接BC 、BE 、CE ．(1)求抛物线的表达式；(2)判断△BCE 的形状，并说明理由；(3)如图2，点F 为线段BE 的中点，点P ，Q 分别为x 轴，y 轴上的动点，当四边形EFPQ 的周长取最小值时，求P ，Q 两点的坐标．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标（3，0），抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线顶点，对称轴x＝1与x轴交于点E，连接BC、EC．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是BC下方异于点D的抛物线上一动点，若S△PBC＝S△EBC，求此时点P的坐标；(3)点Q是抛物线上一动点，点M是平面上一点，若以点B、C、Q、M为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点Q的横坐标．11．如图，一次函数y＝kx＋2的图象分别交y轴，x轴于A，B两点，B的坐标为（4，0），抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．(1)求k的值及抛物线的解析式．(2)直线x＝t在第一象限交直线AB于点M，交抛物线于点N，当t取何值时，线段MN的长有最大值？最大值是多少？(3)在（2）的情况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标，并直接写出所有平行四边形的面积是多少．12．如图，一次函数3y x =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ，C 两点，并与x 轴交于点A ．点(),0M m 是线段OB 上一个动点（不与点O 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC 相交于点D 和点E ，连接CD ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)①求DE 、CE 的值（用含m 的代数式表示）．②当以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求m 的值．(3)点F 是平面内一点，是否存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A （1，0）、B （－3，0）两点，与y 轴交于C （0，3）．(1)求抛物线的函数表达式：(2)设P 为抛物线上一动点，点P 在直线BC 上方时，求△BPC 面积的最大值：(3)若M 为抛物线上动点，点N 在抛物线对称轴上，是否存在点M 、N 使点A 、C 、M 、N 为平行四边形？如果存在，直接写出点N 的坐标：如果不存在，请说明理由．14．如图已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图像经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作AB x ∥轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．(1)求该二次函数的表达式及点M 的坐标；(2)若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内部（不包括ABC 的边界），求m 的取值范围；(3)若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣1，0)，B (3，0)，与y 轴交于点C ．(1)b ＝______，c ＝______；(2)若点D 为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴交BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，过点F 作FG ⊥y 轴于点G ，求出DE +FG 的最大值及此时点D 的坐标；(3)若点P 是该抛物线对称轴上的一点，点Q 为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x 轴上方是否存在点M ，使四边形OMPQ 为正方形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()220y ax bx a =+-≠与x 轴交于点A （1，0），B （5，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和点D 的坐标；(2)求△BCD 的面积；(3)点M 为抛物线上一动点，点N 为平面内一点，以A ，M ，I ，N 为顶点作正方形，是否存在点M ，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，二次函数2y ax 2x c =++（0a ≠）的图象经过点()0,3C ，与x 轴分别交于点A ，点()3,0B ．(1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；(2)点P 是直线BC 上方的抛物线上任意一点，点P 关于y 轴的对称点记作点P '，当四边形POP C '为菱形时，求点P 的坐标；(3)点P 是抛物线上任意一点，过点P 做PD BC ⊥，垂足为点D ．过点P 作PQ x ∥轴，与抛物线交于点Q ．若PQ =，求点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数223y mx mx =-+的图像与x 轴交于A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且AB ＝4．(1)求这个函数的解析式，并直接写出顶点D 的坐标；(2)点E 是二次函数图像上一个动点，作直线EF x ∥轴交抛物线于点F （点E 在点F 的左侧），点D 关于直线EF 的对称点为G ，如果四边形DEGF 是正方形，求点E 的坐标；(3)若射线AC 与射线BD 相交于点H ，求∠AHB 的大小．19．如图，已知直线3y =-与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线213y x bx c =++的顶点是)1-，且与x 轴交于C ，D 两点，与y 轴交于点E ，P 是抛物线上一个动点，过点P 作PG AB ⊥于点G ．(1)求b 、c 的值；(2)若点M 是抛物线对称轴上任意点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请你求出点N 的坐标；若不存在，请你说明理由．(3)当点P 运动到何处时，线段PG 的长最小？最小值为多少？20．综合与探究 如图，抛物线249y x bx c =-++与y 轴交于点()0,8A ，与x 轴交于点()6,0B ，C ，过点A 作AD x ∥轴与抛物线交于另一点D ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接AB ，点P 为AB 上一个动点，由点A 以每秒1个单位长度的速度沿AB 运动（不与点B 重合），运动时间为t ，过点P 作PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，求PQ 与t 的函数关系式；(3)点M 是y 轴上的一个点，点N 是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点,M N ，使得以,,,B D M N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：2．(1)223y x x =+-(2)当32x =-时，△ACP 面积的最大值为278，此时点3(2,)4P --； (3)点F 的坐标为（﹣5，12）或（3，12）或（﹣1，﹣4）3．(1)21322y x x =-++，30,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)315,28M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当32m =时，S 有最大值为2716 (3)满足条件的点P 坐标为154,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2214,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，332,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)21322y x x =-++ (2)（1，1）(3)存在，3(2,)2，(13)2，(13)25．(1)y ＝－x 2＋3x ＋4(2)P （2，6）；四边形OCPE 的面积最大为16(3)存在； M 113,28⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 252728,⎛⎫ ⎪⎝⎭或M 355,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 453,22⎛⎫- ⎪⎝⎭6．(1)223y x x =+-，(3,0)A -(2)315,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)存在，(2,3)--或(0,3)-或(2,5)7．(1)点A （1，0），点B （4，0），点C （0，4）(2)平行四边形(3)存在；F （0，1）或（0，﹣1）或（0，258）8．(1)223y x x =--(2)（2，-3）(3)12m m ==9．(1)26y x x =--+(2)1(2P ，21)4；PM =(3)5(2-，6或5(2-，6或7(2或7(2， 10．(1)y 212x =-+2x +6 (2)直角三角形(3)P ，Q 两点的坐标分别为（2，0），（0，4）11．(1)y =x 2-2x -3(2)(2，-3)(3)1或-212．(1)k =-12，y =-x 2+72x +2； (2)当t =2时，MN 有最大值4；(3)点D 的坐标为（0，-2）或（0，6）或（4，4）时，以A 、M 、N 、D 为顶点的四边形是平行四边形，平行四边形的面积均为8．13．(1)2y x 2x 3=-++(2)①23DE m m =-，CE =；②m 的值为32或53(3)存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形，点M 的坐标为(1，0)或(2，0)或(3，0)．14．(1)223y x x =--+(2)278(3)存在，(1-，0)或(1-，8)15．(1)二次函数解析式为224y x x =--，点M 的坐标为（1，-5）(2)24m <<(3)当点Q 的横坐标为3时，四边形CEQP 为顶点的四边形为菱形16．(1)﹣2，3(2)GF +DE 有最大值258，D 57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，M 点的坐标为或 17．(1)2212y x x 255=-+-，顶点D 的坐标是（3，85） (2)6(3)存在，点M ）或18．(1)2y x 2x 3=-++(2)32P ⎫⎪⎪⎝⎭(3)()2,3P 或1,0或⎝⎭或⎝⎭19．(1)2y x 2x 3=-++；D （1，4）；(2)E （0，3）；(3)45AHB ︒∠=．20．(1)b =3c =．(2)存在，符合条件的点N 的坐标为或(0,3)或)1-．(3)当点P PG 21．(1)244893y x x =-++ (2)PQ 与t 的函数关系式为248255PQ t t =-+（010t ≤<）； (3)存在点,M N ，使得以,,,B D M N 为顶点的四边形是矩形，点N 的坐标为(3,)98-或()233,4-.。

抛物线与直线形（2）——由动点生成的特殊四边形问题抛物线与直线形（2）——由动点生成的特殊四边形问题知识点归纳抛物线与直线形的结合另一表现形式是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊四边形，有以下常见的基本形式：（1）抛物线上的点能否构成平行四边形；（2）抛物线上的点能否构成矩形、菱形、正方形；（3）抛物线上的点能否构成梯形；特殊四边形的性质与判定是解这类问题的基础，而待定系数法、数形结合、分类讨论是解这类问题的关键。

经典例题【例1】如图，抛物线与轴交两点（点在点左侧），直线与抛物线交于两点，其中点的横坐标为．（1）求两点的坐标及直线的函数表达式；（2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；（3）点抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．（义乌市中考题）思路点拨对于（3），可能为平行四边形的边或对角线，故四个点能组成四边形的情况由多种，需全面讨论。

【例2】如图，对称轴为直线的抛物线经过点和．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形是以为对角线的平行四边形，求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；①当平行四边形的面积为时，请判断平行四边形是否为菱形？②是否存在点，使平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（河南省中考题）思路点拨对于（2），若，则平行四边形为菱形；若且，则平行四边形为正方形。

先求出点坐标，再看点是否在抛物线上。

【例3】如图：二次函数的图象与轴交于两点，且与轴交于点．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在轴上方的抛物线上有一点，且四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．（临江市中考题）思路点拨问题（1）中已经确定了的形状，只需再构造直角就可解决问题（3）。

抛物线与特殊的四边形以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊的四边形，有以下基本形式：抛物线上的点能否构成平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形。

方法：以特殊的四边形的性质与判定是解题的基础。

而待定糸数法、数形结合、分类讨论是解题的关键。

1. 如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与X轴交于点A、B两点B处的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的动点．（1）求出二次函数的解析式；（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，求出点P的坐标，若存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P的坐标和四边形ABPC的最大面积．3.如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），且对称轴方程为x=1 （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．4.如图，二次函数y=x2﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．（1）若A（﹣4，0），求二次函数的关系式；（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM′的面积；（3）是否存在抛物线y=x2﹣x+c，使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．5.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（﹣2，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．6. 如图，已知抛物线y=x2﹣4x+3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C．（1）对于任意实数m，点M（m，﹣2）是否在该抛物线上？请说明理由；（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h 的图象交于不同的两点P、Q．（1）求h的值；（2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）；（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．。

第4讲 抛物线上的特殊四边形一、本讲概述“特殊四边形”一般指平行四边形、矩形、菱形、正方形等。

抛物线上点的“坐标探求”，除常结合相似外，就是特殊四边形了。

求解过程中，常用到代数思路或几何思路。

代数思路往往利用方程思想求坐标；几何思路往往利用特殊四边形相关性质求坐标。

比如矩形邻边互相垂直，就可利用“互相垂直两直线的k 互为负倒数”来快速表示直线解析式；再如平行四边形对角线互相平分，就可提炼成“平行四边形所对角顶点对应坐标之和相等。

如图，平形四边形ABCD 四顶点坐标),(),(),(),(44332211y x D y x C y x B y x A 、、、. 利用对角线互相平分，结合中点坐标公式则有结论：42314231;y y y y x x x x +=++=+。

二、典例分析例1、（湖北黄冈24题）如图1，抛物线223212++-=x x y 与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为()0,m ，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q 。

（1）求点A 、点B 、点C 的坐标；（2）求直线BD 的解析式；（3）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形；（4）在点P 的运动过程中，是否存在点Q ，使BDQ ∆是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

l MABxyQP图1【关键词】抛物线上平行四边形的存在、分类讨论 【分析】（1）分别令抛物线解析式中0=x 与0=y ，即可求出与坐标轴的交点坐标。

（2）由对称性质求出点D 坐标，即可求直线BD 的解析式。

（3）典型的平行四边形存在性问题。

如图2，连接CQ 。

由于题目已经明确了是四边形CQMD ，所以顶点顺序已经定好了。

表示出相关点坐标，按坐标等式关系建方程即可。