山东省诸城市桃林镇中考数学压轴题专项汇编 专题24 特殊平行四边形的存在性

特殊的平行四边形☞解读考点☞2年中考1．下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．2．（连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．3．（徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A．考点：菱形的性质．4．（柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．5．（内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A B．C．D【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．6．（南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：2D．1：3【答案】D．【解析】试题分析：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为3cm，∴=1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴=3（cm），∴BD=2OB=cm，∴AC：BD=1：3．故选D．考点：菱形的性质．7．（安徽省）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．B．C．5 D．6【答案】C．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．8．（十堰）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF 的长为（ ）A ．102B ．53 CD【答案】A ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．9．（鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．2014 21）（B．2015 21）（C．2015 33）（D．2014 33）（【答案】D．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．10．（广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为cm2．【答案】【解析】试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=12AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB==，∴BD=，∵EH=12BD，EF=12AC，∴EH=EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=cm2．故答案为：．考点：1．中点四边形；2．菱形的性质．11．（凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（3，2-）．的交点，∴点P的坐标为方程组(11y xy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩的解，解方程组得：32xy⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P的坐标为（3，2-），故答案为：（3-，2）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．12．（潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为．【答案】（0.5，．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．13．（北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8．【解析】试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB ∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．14．（南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．15．（玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q 分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】92．【解析】试题分析：如图1所示，作E 关于BC 的对称点E′，点A 关于DC 的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ 的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ 是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC ﹣CQ=3﹣2=1，∵BP ∥AA′，∴△BE′P ∽△AE′A′，∴'''BP BE AA AE =，即164BP =，BP=32，CP=BC ﹣BP=332-=32，S 四边形AEPQ=S 正方形ABCD ﹣S △ADQ ﹣S △PCQ ﹣SBEP=9﹣12AD•DQ ﹣12CQ•CP ﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．16．（达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S 、3S 、…n S ，则n S 的值为（用含n的代数式表示，n为正整数）．【答案】232n-．故答案为：232n-．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．17．（齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】2014．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2．【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．19．（恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG ≌△CBE（SAS），∴AG=CE；（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．20．（武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求EFAK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x=-，S的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴AK EFAD BC=，∴EF BCAK AD==128=32，即EFAK的值是32；考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．21．（荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．【解析】试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．1．（宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（14）n﹣1 D．14n【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选B．考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质．2．（山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（）A． 1 BCD． 2【答案】C．考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．3．（山东省聊城市）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A ．B ．3C ．D【答案】B ． 【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，即BA ⊥BF ，∵四边形BEDF 是菱形，∴EF ⊥BD ，∠EBO=∠DBF ，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO ，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=cos30BO=︒，∴BF=BE=，∵EF=AE+FC ，AE=CF ，EO=FO∴，故选B ．考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质． 4．（广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ） A ． 等腰梯形 B ． 矩形 C ． 菱形 D ． 正方形 【答案】B ．考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质． 5．（贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE ⊥AF ，垂足为点M ，BE=3，，则MF 的长是（ ）ABC．1 D．【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．6．（襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．【解析】试题分析：∵AE=13AB，∴BE=2AE．由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE．故①正确．∵BE=PE，∴EF=2PE．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．8．（山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE 与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．9．（梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．☞考点归纳归纳1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为（）A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B．考点：矩形的性质．归纳2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．考点：菱形的性质．归纳3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【例3】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E ﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙【答案】B．考点：正方形的性质．☞1年模拟1．（山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D．【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C选项均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．2．（广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B．考点：矩形的性质．3．（山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（）A ．0.7B ．0.9C ．−2 D【答案】C ． 【解析】试题分析：如图，∵∠B=45°，AE ⊥BC ，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE ，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：，由题意得：△ABE ≌△AB1E ，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，，∴，-2，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F ，∵CF ∥AB ，∴△CFB1∽△BAB1，∴11B C CF AB BB =，解得：，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：112=，21(232⨯=-，∴△AB1E 与四边形AECD 重叠部分的面积=1(32--=．故选C ．考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）． 4．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标系原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（ ）A．（B．，）C．（2，-2）D．，【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．5．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．6．（山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】B．考点：正方形的判定．7．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD 中，，AD=1，把该矩形绕点A 顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ．4π-．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算．8．（河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为．【答案】【解析】试题分析：过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE ⊥BH，∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴，BH=2，设OG=OE=x，则-3，-x，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（-3）2+x2=-x）2，解得，∴⊙O的半径为．故答案为：考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．9．（山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为．【答案】1 4．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形．10．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．11．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型．12．（北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=CE=12BC．同理，AF=CF=12AD．∴AF=CE．∴四边形AECF是平行四边形．∴平行四边形AECF是菱形．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．13．（山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】 试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA 、OB 长度，根据勾股定理求得AB 长，那么就能求得sin ∠ABC 的值； （2）易得到点D 的坐标为（6，4），还需求得点E 的坐标，OA 之间的距离是一定的，那么点E 的坐标可能在点O 的左边，也有可能在点O 的右边．根据所给的面积可求得点E 的坐标，把A 、E 代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC 与AF 是邻边并且点F 在射线AB 上与射线BA 上两种情况，以及AC 与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算． 试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA ＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt △AOB 中，由勾股定理有5=，∴sin ∠ABC=54OA AB =；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO 平分∠BAC ，①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，AF=AC=5，所以点F 与B 重合，即F （-3，0）；②AC 、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且FC 垂直平分AM ，点F （3，8）；③AC 是对角线时，做AC 垂直平分线L ，AC 解析式为y=-43x+4，直线L 过（32，2），且k 值为34（平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为-1），L 解析式为y=34x+78，联立直线L与直线AB 求交点，∴F （4751-，722-）；④AF 是对角线时，过C 做AB 垂线，垂足为N ，根据等积法求出CN=245，勾股定理得出，AN=75，做A 关于N 的对称点即为F ，AF=145，过F 做y 轴垂线，垂足为G ，FG=145×35=4225，∴F （-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型． 14．（河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线上一点，连接BF 、EF ，恰有BF=EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG ，过点B 作EF 的垂线，交EF 于点M ，交DA 的延长线于点N ，连接NG ．（1）求证：BE=2CF ；（2）试猜想四边形BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN 为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．15．（广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC ，则图中阴影部分的面积为．【答案】342π+．【解析】试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A 、D′、C 及A 、B 、C′分别共线∴，∴扇形ACC′4π=．∵AC=AC′，AD′=AB ，∴在△OCD′和△OC'B 中，CD BC ACO AC D COD C OB ''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B（AAS ），∴OB=OD′，CO=C′O ．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC --1，OB+C′O=1，∴在Rt △BOC′中，BO2+（1-BO ）2=-1）2，解得BO=12-，32C O '=-，∴考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。

2020年中考数学压轴题训练平⾏四边形的存在性问题2020年中考数学压轴题训练平⾏四边形的存在性问题针对训练1、如图已知抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 顶点为P .若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平⾏四边形，求点M 的坐标2、如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平⾏四边形，求点M 的坐标3、将抛物线c1:y=23x 3-+沿x 轴翻折，得到抛物线c2如图所⽰现将抛物线c1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ：将抛物线c2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D E 在平移过程中，是否存在以点A 、N 、F,M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理⽈如图，4、抛物线y=25x bx c 4-++与y 轴交于点A （0,1），过点A 的直线与抛物线交于为⼀点B （3.2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂⾜为C（1）求抛物线的表达式；（2）点P是x轴正半轴上的⼀动点，过点P作PN⊥x轴交直线AB于点M，交抛物线于点N设OP的长度为m，连结CM、BN，当m 为何值时，四边形BCMN为平⾏四边形？5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C 开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中⼀点到达终点时，另⼀点也随之停⽌运动，设运动的时间为t秒（t≥0）（1）直接⽤含t的代数式分别表⽰：QB= ，PD=（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某⼀时刻为菱形，求点Q的速度6、如图，在平⾯直⾓坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4,0）、B（0,3），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴上的⼀动点，且满⾜O=2x，连结DE，以DE、DA为边作平⾏匹边形DEFA（1）如果平⾏四边形DEFA为矩形，求m的值（2）如果平⾏四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值真题演练7、（18衢州24）如图，Rt△OAB的直⾓边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6,8），直线CD 交AB 于点D （6，3），交x 轴于点C （12,0）（1）求直线CD 的函数表达式；（2）动点P 在x 轴上从点（-10,0）出发，以每秒1个单位的速度向x 轴正⽅向运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由②请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M ，在直线CD 上存在点Q ，使得以OB 为⼀边，O 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是菱形？并求出此时t 的值8、（19连云港26）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线L1：y=x 2+bx+c 过点C （0，-3），与抛物线L2：y=213222x x --+的⼀个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L1，L2上的动点（1）求抛物线L1的函数表达式（2）若以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平⾏四边形，求点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L1上另⼀个动点，且CA 平分∠PCR 若OQ ∥PR ，求点Q 的坐标9、（19南充25）抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1,0）、点B （-3,0）与y 轴交于点C ，且OB=OC （如图所⽰）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且∠POB=∠ACB ，求点P 的坐标；（3）抛物线上有两点M 、N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m+4.点D 是抛物线上M 、N 之间的动点，过点D 作y 轴的平⾏线交MN 于点①求DE 的最⼤值②点D 关于点E 的对称点为F ，当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？10（17泰安28）如图是将抛物线y=-x2平移后得到的抛物线，其中对称轴为x=1，与x轴的⼀个交点为A（-1,0），另⼀个交点为B，与y轴的交点为C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上⼀点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上⼀点，点Q是⼀次函数y=2x+2的图象上⼀点，若四边形OAPQ 为平⾏四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由模拟训练11、（2018年长沙市中考模拟（三）第26题）如图，已知抛物线y=x2-2x+a（a<0）与y轴相交于点A，顶点为M直线y=2x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线M相交于点N.（1）试⽤含a的代数式分别表⽰点M与N的坐标；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x 轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的⾯积；（3）在抛物线y=x2-2x+a上是否存在⼀点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平⾏四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由12、（2019年内蒙古准格尔旗中考模拟第24题）如图所⽰，已知抛物线y=-x2+bx+c与⼀直线相交于A（-1,0）、C（2,3）两点，其顶点为D（1）求抛物线及直线AC的函数关系式（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意⼀点，过点E 作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶4O点的四边形能否为平⾏四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由（3）若P是抛物线上位于直线AC上⽅的⼀个动点，直接写出△APC的⾯积的最⼤值及此时点P的坐标专题预测13、如图，在平⾯直⾓坐标系中，矩形1BC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（3.33）。

中考数学“特殊四边形的存在性问题”题型解析由抛物线上的点构成特殊四边形的问题，需要根据特殊四边形的性质与判定去确定点的坐标，然后求解 . 具体而言，解该类题时，我们要根据题目中的条件，科学地进行分类，然后画出图形，再根据这个四边形的性质或判定求出这点的坐标，若这一点是根据特殊四边形的特性得到的坐标，我们还应将这一点代入到抛物线的解析式中去验证是否是抛物线上的点 .本节主要来讨论下特殊四边形：平行四边形、菱形、矩形的存在性问题 .类型一：平行四边形问题【例题1】如图，抛物线y = 1/2 x^2 + bx + c 经过点A（-1,0）和点B（3,0），同时交y 轴于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，且以A , B , Q , P 为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点P 的坐标 .【分析】（1）根据抛物线经过A , B 两点即可求得b , c 的值，可解题；（2）以A , B , Q , P 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 横坐标为4 或- 4，将x = 4 或- 4 代入抛物线解析式即可求得y 的值，即可解题 .【解析】（1）把A（-1,0），B（3,0）代入y = 1/2 x^2 + bx + c 中，∴抛物线的解析式是y = 1/2 x^2 - x - 3/2 .（2）①当AB 为边时，只要PQ∥AB 且PQ = AB = 4 即可 .又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4 或- 4 ，这时符合条件的点P 有两个，分别记为P1 , P2，把x = 4 代入y = 1/2 x^2 - x - 3/2 ,得y = 5/2 ,把x = - 4 代入y = 1/2 x^2 - x - 3/2 ,得y = 21/2 ,此时P1（4 , 5/2），P2（- 4 , 21/2）；②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可 .又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1，∴点P 的横坐标为2，这时符合条件的P 只有一个记为P3 ,而且当x = 2 时，y = - 3/2 ,此时P3（2，- 3/2），综上，满足条件的P 为P1（4 , 5/2），P2（- 4 , 21/2），P3（2，-3/2）.类型二：菱形问题【例题2】如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y = -x + b 与坐标轴交于C，D 两点，直线AB 与坐标轴交于A , B 两点，线段OA , OC 的长是方程x^2 - 3x + 2 = 0 的两个根（OA > OC）.（1）求点A , C 的坐标；（2）直线AB 与直线CD 交于点E，若点E 是线段AB 的中点，反比例函数y = k/x （k ≠0 ）的图象的一个分支经过点E，求k 的值；（3）在（2）的条件下，点M 在直线CD 上，坐标平面内是否存在点N，使以点B , E , M , N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0 即可得出OA , OC 的值，再根据点所在的位置即可得出A , C 的坐标；（2）根据点C 的坐标利用待定系数法即可求出直线CD 的解析式，根据点A , B 的横坐标结合点E 为线段AB 的中点即可得出点E 的横坐标，将其代入直线CD 的解析式中即可求出点E 的坐标，再利用待定系数法即可求出k 的值；（3）假设存在，设点M 的坐标为（m , - m + 1）, 分别以BE 为边、BE 为对角线来考虑 .根据菱形的性质找出关于m 的方程，解方程即可得出点M 的坐标，再结合点B , E 的坐标即可得出点N 的坐标 .【解析】（1）x^2 - 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）= 0 ,∴x1 = 1 , x2 = 2 ,∵OA > OC ,∴OA = 2 , OC = 1 ,∴A（-2,0），C（1,0）；（2）将C（1,0）代入y = - x + b 中，得0 = - 1 + b , 解得b = 1 ,∴直线CD 的解析式为y = - x + 1 .∵点E 为线段AB 的中点，A（-2,0），B 的横坐标为0 ，∴点E 的横坐标为- 1 .∵点E 为直线CD 上一点，∴E（-1,2）.将点E（-1,2）代入y = k/x （k ≠0 ）中，得2 = k / -1 , 解得k = -2 ;（3）假设存在，设点M 的坐标为（m , - m + 1）,以点B , E , M , N 为顶点的四边形是菱形分两种情况（如上图所示）类型三：矩形问题【例题3】【解题策略】这三道例题分别呈现了运动变化过程中的平行四边形、菱形、矩形的存在性问题，三道例题的思路都是要依据特殊四边形的性质构图并建立方程求点的坐标 .特别地，由于菱形任意三个顶点组成的三角形都是等腰三角形，因此可将菱形问题转化为等腰三角形的存在性问题；而矩形问题则可转化为直角三角形的问题，要注意体会相关知识之间的联系 .。

专题24 特殊平行四边形的存在性破解策略在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题． 例题讲解例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．经过点A 的直线l ：y ＝ax ＋a 与抛物线的另一交点为C ，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，那么以点A ，C ，P ，Q 为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P 的坐标;若不能，请说明理由．解：以点A ，C ，P ，Q 为都顶点的四边形能成为矩形．令ax 2－2a －3a ＝ax ＋a ．解得x 1＝－1，x 2＝4， 所以点A 的坐标为（－1，0），C 的坐标为（4，5a ）．因为y ＝ax 2－2ax －3a ，所以抛物线的对称轴为x ＝1．则x P ＝1． ①若AC 是矩形的一条边，如图，则x A ＋x P ＝x C ＋x Q ，可得x Q ＝－4，从而点Q 坐标为（－4，21a ）． 同样y A ＋y P ＝y C ＋y Q ，可得y P ＝26a ，从而点P 坐标为（1，26a ）．因为AC ＝PQ ，所以有22＋（26a ）2＝82＋（16a ）2， 解得)(77,7721舍去=-=a a ，此时点P 的坐标为（1，7726-）②若AC 是矩形的一条对角线，如图．则x A ＋x C ＝x P ＋x Q ，可得x Q ＝2，从而点Q 坐标为（2，－3a ）． 同样y A ＋y C ＝y P ＋y Q ，可得y P ＝8a ，从而点P 坐标为（1，8a ）．因为AC ＝PQ ，所以有52＋（5a ）2＝12＋（11a ）2， 算得)(21,2143舍=-=a a ，所以此时点P 的坐标为（1，－4） 综上可得，以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，7726-）或（1，－4）．例2：如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的中心与原点重合，C ，D 两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒．（1）菱形ABCD 的边长是_____，面积是_____，高BE 的长是_____;（2）若点P 的速度为每秒1个单位．点Q 的速度为每秒k 个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t ＝4秒时的情形，并求出k 的值．解：（1）5，24，4．8．（2）要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，翻折前后两个图形是全等的，所以要满足四边形是菱形只需△APQ 为等腰三角形即可．当t ＝4时，AP ＝4．①如图，当点Q 在线段BC 上时，PQ ≥BE ＞AP ，同理，AQ ＞AP ，所以只存在QA ＝QP 的等腰三角形．过点Q 作QH ⊥AP 于点H ，交AC 于点F ，则AH ＝PH ＝21AP ＝2 易证：△AFH ∽△CFQ ∽△ADO ， 所以43===AODO CQFQ AHFH可得522,1033,23===CQ FQ FH从而k ＝10114=CQ ②当Q 在BA 上时，有两种情况的等腰三角形存在：（i ）如图1，当AP ＝AQ 时，此时点P ，Q 关于x 轴对称，BQ ＝PD ＝1 所以，k ＝234=+BQ CB （ⅱ）如图3，当PA ＝PQ 时，过点P 作PH ⊥AB 于点H ．易证△AHP ∽△AEB ，所以AH AP AE AB=，其中AE ＝227.5AB BE -= 所以AH ＝2825，AQ ＝2AH ＝5625，所以k ＝97450CB BQ +=． （ⅲ）由①可得，AP 的垂直平分线与BC 相交，所以点Q 在线段AB 上时，不存在AQ ＝PQ 这种情况．综上所得，满足条件的k 值为32，1110，9750．y xP QHE A CB DO例3 如图，二次函数212y x x c =-+的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M ′．问：是否存在抛物线212y x x c =-+使得四边形AMBM ′为正方形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．xyBM′MAO解：存在易得AMBM ’是菱彤，所以当AB ＝MM ′时，四边彤AMBM ′是正方形 设点A 的坐标为（x 1，0），B 的坐标为（x 2，0）．令2102x x c -+=所以x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝2c 所以AB ＝()212124x x x x +-＝48.c -点M 的纵坐标为2421.42ac b c a --=若四边形AMBM ’为正方形，则有214822c c --=⨯．解得1213,.22c c ==-又因为已知抛物线与x 轴有两个交点， 所以()2214140.2b ac c ∆=-=--⨯>解得c ＜12， 所以c 的值为3.2-．所以存在抛物线21322y x x =--，使得四边彤AMBM '为正方形． 进阶训练1．已知抛物线C 1： y ＝－2x 2＋8x －6与抛物线C 关于原点对称，抛物线C 2与x 轴分别交于点A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）顶点为N ． （1）求抛物线C 2的表达式；（2）若抛物线C 1与抛物线C 2同时以每秒1 个单位的速度沿x 轴方向分别向左、向右运动，此时记A ，B ，C ，D ，M ，N 在某一时刻的新位置分别为A'，B'，C'，D'，M'，N'，当点A'与点D'重合时运动停止，在运动过程中，四边形B'，M'，C'，N'能否形成矩形？ 若能，求出此时运动时间t （秒）的值；若不能，请说明理由．解：（1）抛物线C 2的表达式为2286y x x =++ （2）能．1＝[提示]（2）如图，由轴对称的性质可得四边形C 'N 'B 'M '为平行四边形．所以当∠B 'M 'C '＝90 或B 'C '＝M 'N '时．四边形为矩形，由此可列方程，从面求得t ．2．如图，抛物线22725()326y x =--与x 轴的右交点为A ，与y 轴的交点为B ，设E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，若四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形． （1）该四边形的面积为24时，判断平行四边形OEAF 是否为菱形；（2）是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？ 若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．xyAFEBO解：（1）当点E 的坐标为（3，－4）时，平行四边形OAEF 是菱形;（2）不存在，理由：若平行四边形OEAF 是正方形，则OA ⊥EF 且OA ＝EF ．此时的点E 不在抛物线上．3．如图，抛物线经过原点O 与x 轴上一点A （4，0），抛物线的顶点为E ，它的对称轴x 轴交于点D ，直线y ＝－2x －1经过抛物线上一点B （－2，m ），与抛物线的对称轴交于点F ． （1）求抛物线的表达式；（2）Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度均速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q ，A ，E ， M 四点顶点的四边形是菱形？ 若能，请直接写出点M 的运动时间；若不能，请说明理由．xyDFBE A O解：（1）抛物线的表达式为214y x x =-； （2）能，t 的值为45-，6，45+或132． [提示]（2）如图，点M 的运动过程中，以Q ，A ，E ，M 为顶点的四边形是菱形有以下四种情况，根据菱形的性质即可求得对应的t 的值． xyQ 1DFBEA OxQ 2A E BFDOxy Q 3A E BFDOxyQ 4A E BFDO4．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A （－1，0）两点，且与y 轴交于点C ，D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连结B D ．（1）P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，请求出点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F ，M ，N ，G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．xyCPDBEAO解：（1）点P 的坐标为（2，2），（2）点M 的坐标为1211213133130000.22⎛⎫⎛⎫⎫⎫-+ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，[提示]（1）易求得抛物线的l 表达式为223y x x =-++．所以C （0，3），D （1，4），E （1，0），从而直线BD 的表达式为y ＝－2x ＋6．设点P 的坐标为（t ，－2t ＋6）．若PE ＝P C ．则有t 2＋（－2t ＋6－3）()()22126t t =-+-+，解得t ＝2，从而得到点P 的坐标为（2．2）．（2）可设点M 的坐标为（m ，0），则点G 的坐标为（m ，223m m -++）．而以F ，M ，N ，G为顶点的四边形是正方形．所以MF ＝MG ，从而2223m m m -=-++，解得m =，或m =M 的坐标．。

中考专题：平行四边形存在性问题考情分析：平行四边形的存在性问题是近几年中考热点题目，题目灵活，难度高。

本专题侧重讲面对此类压轴题如何找点、如何利用几何特征求点的坐标的解题套路，提高解题的效率和准确性。

平行四边形存在性问题分两种类型第一类型：一个动点平行四边形存在性问题 第二类型：两个动点平行四边形存在性问题 平行四边形中一个动点的存在性问题. 方法步骤：1.先画图，确定点2.后计算，求点的坐标(平移或全等） 平行四边形中两个动点的存在性问题.分类方法及画图：(1)以已知的线段为边（平移，对边平行且相等） (2)以已知的线段为对角线（旋转，对角线互相平分） 诊断1：第Ⅰ类型：一个动点平行四边形存在性问题如图,在平面直角坐标系中,点A(-1,0),B(3,0),C(0,2),找一点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形成为平行四边形，则符合条件的点D 的坐标为_________________________________解：如图，123(2,2),(4,2),(4,2)D D D --第Ⅱ类型：两个动点平行四边形存在性问题 诊断2：如图,在平面直角坐标系中,抛物线过A(-1,0)，B(3,0)C(0,-1)三点. （1）求该抛物线的表达式；（2）点Q 在y 轴上，在抛物线上是否存在一点P ，使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由2解：（1）设抛物线的解析式为1(1)(3),(0,1)3y a x x a =+--=把代入得 因此抛物线的解析式为212133y x x =--（2）由题意可知AB=4① 当AB 作平行四边形的边时，设(0,),Q m 当P 在y 轴右侧时，则(4,)P m因为P 在抛物线上，∴m=53，即5(4,)3P ；当P 在y 轴左侧时，则(4,)P m - ∴(4,7)P -②当AB 作平行四边形的对角线时，过P 作x 轴的垂线交x 轴于F ，则BF=AO=1∵OB=3，∴OF=2，即P 的横坐标为2，就求得P 的纵坐标为-1 ∴P(2,-1)综上所述，5(4,)3P 或(4,7)P -或P(2,-1)跟踪训练一：1.如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,0),(5,3),(7,1)A B C ,请你在坐标平面内确定一点P ,使以A B C P 、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出点P 的坐标。

中考数学总复习《平行四边形存在性》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，过点A的直线l交抛物线于点C(2,m).(1)求抛物线的解析式；(2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.2．如图，已知直线AB与抛物线C：y=ax2+2x+c相交于点A(−1,0)和点B(2,3)两点．(1)求抛物线C函数表达式；(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；(3)在抛物线C上是否存在点P，P到对称轴的距离等于到直线y＝17的距离？若存在，求出点4P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴相交于点E(8,0)，抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P(m,0)是线段OE上一动点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连接BC和AD．(1)求抛物线的解析式；(2)求点C的坐标（用含m的代数式表示）；(3)当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．4．如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)交y轴正半轴于点C，交x轴分别于点A(−2,0)点B(8,0)，连接BC．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上第一象限内的一点，过点P作x轴的垂线，交BC于点F，设点P的横坐标为t．①求t为何值时，四边形PFOC是平行四边形；②连接PA，当∠APF+∠ABC=90°时，求点F的坐标；x2+bx+c与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B(0,3)，点M(m,0)为5．如图，抛物线y=−34线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N．(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)如果以点P,N,B,O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；6．在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为(−5,0)．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值，并求出此时点P的坐标；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知二次函数y=14x2−32x−4与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．发现：点A的坐标为__________，求出直线BC的解析式；拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标；探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m(0<m<8)，当m为何值时，四边形PMED为平行四边形？8．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为(1,0)．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为(−2,−3)．(1)求抛物线和直线l的解析式；(2)直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形PEDF是平行四边形？(3)在（2）的条件下，设△BCF的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？x2+3x与x轴交于O，A两点，过点A的直线y= 9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−34x+3与y轴交于点C，交抛物线于点D．−34(1)直接写出点A、C、D的坐标；(2)如图1，点B是直线AC上方第一象限内抛物线上的动点，连接AB和BD，求△ABD面积的最大值；(3)如图2，若点M在抛物线上，点N在x轴上，当以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．10．如图，抛物线y=ax2+bx+6经过A(−2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m(1<m<4)，连结AC,BC,DB,DC．(1)求抛物线的函数表达式．(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的3时，求m的值．4(3)当m=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为(3,0)，点C 的坐标为(0,3)，点C与点D关于抛物线的对称轴对称．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线对称轴上一点，连接BD，以PD、PB为边作平行四边形PDNB，是否存在这样的点P，使得▱PDNB是矩形？若存在，请求出tan∠BDN的值；若不存在，请说明理由；(3)点Q在y轴右侧抛物线上运动，当△ACQ的面积与△ABQ的面积相等时，请直接写出点Q的坐标．12．如图，抛物线y=−x2−bx+c与x轴交于A(−4，0)，B两点，与y轴交于点C(0，−4)，作直线AC．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接OD，当四边形ADBP的面积最大时．①求证：四边形OCPD是平行四边形：①连接AD，在抛物线上是否存在Q，使∠ADP=∠DPQ，若存在求点Q的坐标；若不存在说明理由．13．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(−2，0)，抛物线的对称轴直线x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．(1)求直线BC的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使三角形BFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标（直接写点的坐标）．x2+bx+c经过点A(−4,0)，点B在y轴上，14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12且OA=OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6)，连接OC．(1)求抛物线的表达式及线段AB,AC的长；(2)若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1:2两部分，请求出点P的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A,O,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y=12x2−2x−6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；(3)点F是抛物线上的动点，作EF∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)y=x2−2x−3(2)存在，满足条件的点F的坐标为(0,−3)或(1+√7,3)或(1−√7,3)2．(1)y=−x2+2x+3；(2)274M(12,154)；(3)存在(32,154)或(12,154)．3．(1)y=14x2−2x(2)点C坐标是C(m+4,4−m)(3)点P的坐标为(−2+2√5,0)或(−2+2√13,0)4．(1)y=−14x2+32x+4(2)①t=4；①F(6,1)5．(1)抛物线y=−34x2+94x+3；抛物线的对称轴为直线x=32，顶点坐标为(32,7516)(2)2 6．(1)(0,5)(2)点P到直线AC距离为25√28，此时P(−52,354)(3)点M的坐标为(−3,8)或(−7,−16)或(3,−16)7．发现：(−2,0)，直线BC的解析式为y=12x−4；拓展：P(4,−6)；探究：当m=5时，四边形PMED为平行四边形8．(1)y=x2+2x−3y=x−1(2)t=0(3)−129．(1)A(4,0)C(0,3)D(1,94)(2)8132；(3)N1(2,0)N2(6,0)N3(−√7−1,0)10．(1)y=−84x2+32x+6(2)m=3(3)M的坐标为(2,0)或(√17−1,0)或(−√17−1,0)或(6,0)11．(1)y=−x2+2x+3；(2)存在，tan∠BDN=1或12；(3)点Q坐标为(125,5125)或(4,−5)．12．(1)y=−x2−5x−4(2)①见解析；①存在，Q(−3+√5，−3+√5)或Q(−4，0)13．(1)y =−x +4(2)当点F 的坐标为(2，4)，三角形BFC 的面积最大，最大值为4(3)(3，1)或(2+√7，2−√7)或(2−√7，2+√7)14．(1)抛物线的表达式为y =12x 2+2x AC =6√2(2)点P 坐标为(−2,2)或(0,4)(3)(6,6)或(−2,6)或(−6,−6)15．(1)A(−2，0) B(6，0) C(0，−6)(2)S △PBC 最大=272，此时P (3，−152)；(3)存在，F(4，−6)或(2+2√7，6)或(2−2√7，6)。

中考数学复习---特殊平行四边形综合压轴题练习（含作案解析）一．平行四边形的性质1．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（）A．4＜m＜3+B．3﹣＜m＜4C．2﹣＜m＜3D．4＜m＜4+【答案】A【解答】解：可得C（，），A（4，0），B（4+，），∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4，∴x＝y+4，直线AC的解析式为：y＝﹣，∴x＝4+y﹣2y，∴点F的横坐标为：y+4，点E的横坐标为：4+y﹣2y，∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣2y）＝2，∵EP＝3PF，∴PF＝EF＝y，∴点P的横坐标为：y+4﹣y，∵0＜y＜，∴4＜y+4﹣y＜3+，故答案为：A．2．（2022•无锡）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD 上，∠EBA＝60°，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，设∠ADB＝x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，∴∠CBD＝∠ADB＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠DAB＝，∴x+＝105°，∴x＝30°，∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，∵BH⊥AD，∴BD＝2BH，DH＝BH，∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，∴∠AEB＝45°，∴∠AEB＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH，∴DE＝BH﹣BH＝（﹣1）BH，∵AB＝＝＝（﹣）BH＝CD，∴＝，故选：D．二．矩形的性质3．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣2【答案】D【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝AD＝2，∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值为﹣2．故选：D．4．（2022•丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，且a＞b．（1）若a，b是整数，则PQ的长是；（2）若代数式a2﹣2ab﹣b2的值为零，则的值是．【答案】a﹣b；3+2．【解答】解：（1）由图可知：PQ＝a﹣b，故答案为：a﹣b；（2）∵a2﹣2ab﹣b2＝0，∴a2﹣b2＝2ab，（a﹣b）2＝2b2，∴a＝b+b（负值舍），∵四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，∴EP＝，EN＝，则＝＝＝＝＝＝3+2．故答案为：3+2．5．（2022•宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是．【答案】π【解答】解：如图1中，连接MN交EF于点P，连接BP．∵四边形ABCD是矩形，AM＝MD，BN＝CN，∴四边形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝6，∵EM∥NF，∴△EPM∽△FPN，∴＝＝＝2，∴PN＝2，PM＝4，∵BN＝4，∴BP＝＝＝2，∵BH⊥EF，∴∠BHP＝90°，∴点H在BP为直径的⊙O上运动，当点E与A重合时，如图2中，连接OH，ON．点H的运动轨迹是．此时AM＝4，NF＝2，∴BF＝AB＝6，∵∠ABF＝90°，BH⊥AF，∴BH平分∠ABF，∴∠HBN＝45°，∴∠HON＝2∠HBN＝90°，∴点H的运动轨迹的长＝＝π．故答案为：π．6．（2022•西宁）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．【答案】5或4【解答】解：如图所示，①当AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE＝AE＝5；②当P1E＝AE＝5时，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝，∴底边AP1＝；综上所述：等腰三角形AEP1的底边长为5或4；故答案为：5或4．三．正方形的性质和判定7．（2022•泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（）A．B．C．D．1【答案】B【解答】解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，∴四边形BHFK是正方形，∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，∴∠DEA＝∠EFH，∵∠A＝∠EHF＝90°，∴△DAE∽△EHF，∴，∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，∴AE＝1，BE＝2，设FH＝a，则BH＝a，∴，解得a＝1；∵FK⊥CB，DC⊥CB，∴△DCN∽△FKN，∴，∵BC＝3，BK＝1，∴CK＝2，设CN＝b，则NK＝2﹣b，∴，解得b＝，即CN＝，∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，∴△ADE∽△BEM，∴，∴，解得BM＝，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3﹣﹣＝，故选：B．8．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．B．2C．2D．4【答案】C【解答】解：如图，连接AE，∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，∴d1+d2+d3最小值为AC，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，故选：C．9．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【答案】5+【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．10．（2022•安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F 作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：（1）∠FDG＝°；（2）若DE＝1，DF＝2，则MN＝．【答案】45°【解答】解：由题知，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEB+∠GEF＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠GEF＝∠ABE，在△ABE和△GEF中，，∴△ABE≌△GEF（AAS），∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，即DG+DE＝AE+DE，∴DG＝AE，∴DG＝GF，即△DGF是等腰直角三角形，∴∠FDG＝45°，故答案为：45°；（2）∵DE＝1，DF＝2，由（1）知，△DGF是等腰直角三角形，∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝2+1＝3，延长GF交BC延长线于点H，∴CD∥GH，∴△EDM∽△EGF，∴，即，∴MD＝，同理△BNC∽△BFH，∴，即，∴，∴NC＝，∴MN＝CD﹣MD﹣NC＝3﹣﹣＝，故答案为：．11．（2022•达州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持∠EBF＝45°，连接EF，PF，PD．下列结论：①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；③PQ＝PA+CQ；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为2﹣2，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④⑤【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCP＝∠DCP＝45°，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB＝PD，故①正确，∵∠PBQ＝∠QCF＝45°，∠PQB＝∠FQC，∴△PQB∽△FQC，∴＝，∠BPQ＝∠CFQ，∴＝，∵∠PQF＝∠BQC，∴△PQF∽△BQC，∴∠QPF＝∠QBC，∵∠QBC+∠CFQ＝90°，∴∠BPF＝∠BPQ+∠QPF＝90°，∴∠PBF＝∠PFB＝45°，∴PB＝PF，∴△BPF是等腰直角三角形，故④正确，∵∠EPF＝∠EDF＝90°，∴E，D，F，P四点共圆，∴∠PEF＝∠PDF，∵PB＝PD＝PF，∴∠PDF＝∠PFD，∵∠AEB+∠DEP＝180°，∠DEP+∠DFP＝180°，∴∠AEB＝∠DFP，∴∠AEB＝∠BEH，∵BH⊥EF，∴∠BAE＝∠BHE＝90°，∵BE＝BE，∴△BEA≌△BEH（AAS），∴AB＝BH＝BC，∵∠BHF＝∠BCF＝90°，BF＝BF，∴Rt△BFH≌Rt△BFC（HL），∴∠BFC＝∠BFH，∵∠CBF+∠BFC＝90°，∴2∠CBF+2∠CFB＝180°，∵∠EFD+∠CFH＝∠EFD+2∠CFB＝180°，∴∠EFD＝2∠CBF，故②正确，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCT，连接QT，∴∠ABP＝∠CBT，∴∠PBT＝∠ABC＝90°，∴∠PBQ＝∠TBQ＝45°，∵BQ＝BQ，BP＝BT，∴△BQP≌△BQT（SAS），∴PQ＝QT，∵QT＜CQ+CT＝CQ+AP，∴PQ＜AP+CQ，故③错误，连接BD，DH，∵BD＝2，BH＝AB＝2，∴DH≥BD﹣BH＝2﹣2，∴DH的最小值为2﹣2，故⑤正确，故答案为：①②④⑤．12．（2022•南通）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB＝3．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG＝，则△OEM的周长为．【答案】3+3【解答】解：如图，连接BD，过点F作FH⊥CD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，∠A＝∠ADC＝90°，∵tan∠ABG＝＝，∴AG＝，DG＝2，∴BG＝＝＝2，∵∠BAG＝∠DEG＝90°，∠AGB＝∠DGE，∴△BAG∽△DEG，∴＝＝，∠ABG＝∠EDG，∴＝＝，∴DE＝，EG＝，∴BE＝BG+EG＝2+＝，∵∠ADH＝∠FHD＝90°，∴AD∥FH，∴∠EDG＝∠DFH，∴∠ABG＝∠DFH，∵BG＝DF＝2，∠A＝∠FHD＝90°，∴△BAG≌△FHD（AAS），∴AB＝FH，∵AB＝BC，∴FH＝BC，∵∠C＝∠FHM＝90°，∴FH∥CB，∴＝＝1，∴FM＝BM，∵EF＝DE+DF＝+2＝，∴BF＝＝4，∵∠BEF＝90°，BM＝MF，∴EM＝BF＝2，∵BO＝OD，BM＝MF，∴OM＝DF＝，∵OE＝BD＝×6＝3，∴△OEM的周长＝3++2＝3+3，解法二：辅助线相同．证明△BAG≌△FHD，推出AB＝HF＝3，再证明△FHM≌△BCM，推出CM＝HM＝，求出BD，DF，BF，利用直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，可得结论．故答案为：3+3．13．（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【答案】①②③④【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，∴当AB＝AC时，AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．四．菱形的性质14．（2022•丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G．若cos B＝，则FG的长是（）A．3B．C．D．【答案】B【解答】解：方法一，如图，过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD 于点Q，∵菱形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cos B＝＝，∴BH＝1，∴AH＝＝＝，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线，∴AE＝AB＝4，∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠FAG，∵FG∥AD，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠FAG＝∠AFG，∴GA＝GF，设GA＝GF＝x，∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴DF＝AG＝x，cos D＝cos B＝＝，∴DQ＝x，∴FQ＝＝＝x，∵S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，∴×（2+4）×＝（2+x）×（﹣x）+（x+4）×x，解得x＝，则FG的长是．或者：∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴四边形AGFD的等腰梯形，∴GA＝FD＝GF，则x+x+x＝4，解得x＝，则FG的长是．方法二：如图，作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M，∵菱形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cos B＝＝，∴BH＝1，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线，∴AE＝AB＝4，所以AE＝AB＝EM＝CM＝4，设GF＝x，则AG＝x，GE＝4﹣x，由GF∥BC，∴△MGF∽△MEC，∴＝，解得x＝．故选：B．15．（2022•甘肃）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（）A．B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：在菱形ABCD中，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，设AB＝a，由图2可知，△ABD的面积为3，∴△ABD的面积＝a2＝3，解得：a1＝2，a2＝﹣2（舍去），故选：B．27。

2021年中考数学压轴题解法探讨12 平行四边形的存在性问题2021年中考数学压轴题解法探讨12-平行四边形的存在性问题中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题【专题解析】考题研究：存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。

解题进击：解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点是找寻分类标准，分类标准找寻的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以并使排序又不好又慢．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．【版权所有：21教育】如果未知两个定点，通常就是把确认的一条线段按照边或对角线分成两种情况．根据平行四边形的对边平行且成正比，灵活运用座标位移，可以使排序过程方便快捷．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．解题思路：这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

由于“存有性”问题的结论存有两种可能将，所以具备对外开放的特征，在假设存有性以后展开的推理小说或排序，对基础知识，基本技能明确提出了较低建议，并具有较强的探索性，恰当、完备地答疑这类问题，就是对我们科学知识、能力的一次全面的考验。

这里我们主要探讨在平面直角坐标系则中平行四边形与否存有的问题。

先假设平行四边形存有，并在坐标系中把平行四边形搞出，再根据平行四边形的性质得出结论适当的点或边的关系，从而得出结论，在作图的时候必须特别注意分类探讨，把所有的情况考量进来。

【真题精讲】类型一：三定一动平行四边形存有性问题典例1：（2021四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系xoy中，点a、b、c分别为坐标轴上上的三个点，且oa=1，ob=3，oc=4，（1）谋经过a、b、c三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在一点p，使得以以点a、b、c、p为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点m为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，命令大别列兹尼区|pmam|的最大值时点m的座标，并轻易写下|pmam|的最大值．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把a，b，c三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；（2）在平面直角坐标系xoy中存有一点p，使以点a、b、c、p为顶点的四边形为菱形，理由为：根据oa，ob，oc的长，利用勾股定理算出bc与ac的长成正比，只有当bp与ac平行且成正比时，四边形acbp为菱形，可以得出结论bp的长，由ob的长确认出来p的纵坐标，确认出来p座标，当点p在第二、三象限时，以点a、b、c、p为顶点的四边形就可以就是平行四边形，不是菱形；（3）利用待定系数法确定出直线pa解析式，当点m与点p、a不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|pmam|＜pa，当点m与点p、a在同一直线上时，|pmam|=pa，当点m与点p、a在同一直线上时，|pmam|的值最小，即点m为直线pa与抛物线的交点，阿提斯鲁夫尔谷直线ap与抛物线解析式，算出当|pmam|的最大值时m座标，确认出来|pmam|的最大值即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵a（1，0）、b（0，3）、c（4，0），∴，Champsaur：a=，b=，c=3，∴经过a、b、c三点的抛物线的解析式为y=x2x+3；（2）在平面直角坐标系xoy中存在一点p，使得以点a、b、c、p为顶点的四边形为菱形，理由为：∵ob=3，oc=4，oa=1，∴bc=ac=5，当bp平行且等于ac时，四边形acbp为菱形，∴bp=ac=5，且点p到x轴的距离等于ob，∴点p的坐标为（5，3），当点p在第二、三象限时，以点a、b、c、p为顶点的四边形就可以就是平行四边形，不是菱形，则当点p的坐标为（5，3）时，以点a、b、c、p为顶点的四边形为菱形；（3）设立直线pa的解析式为y=kx+b（k≠0），∵a（1，0），p（5，3），∴，Champsaur：k=，b=，∴直线pa的解析式为y=x，当点m与点p、a无此同一直线上时，根据三角形的三边关系|pmam|＜pa，当点m与点p、a在同一直线上时，|pmam|=pa，∴当点m与点p、a在同一直线上时，|pmam|的值最小，即点m为直线pa与抛物线的交点，解方程组，得或，∴点m的座标为（1，0）或（5，）时，|pmam|的值最小，此时|pmam|的最大值为5．2-1-c-n-j-y【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．．变式训练1：（2021?贵州省贵阳,第24题9分）如图，经过点c（0，4）的抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴相交于a（2，0），b两点．（1）a0，b24ac0（填上“＞”或“＜”）；。

二次函数中特殊四边形存在性通用的解题思路：题型一：平行四边形的存在性解题策略：1.直接计算法根据平行四边形对边平行且相等，按这条线段为边或为对角线两大类，分别计算(适用于：已知两点的连线就在坐标轴上或平行于坐标轴)2.构造全等法过顶点作坐标轴的垂线，利用对边所在的两个三角形全等，把平行且相等的对边转化为水平或者垂直方向的两条对应边相等(适用于：已知两点的连线，不与坐标轴平行，容易画出草图)3.平移坐标法利用平移的意义，根据已知两点间横、纵坐标的距离关系，得待定两点也有同样的数量关系。

(适用于：直接写出答案的题)题型二：菱形存在性由于菱形是一组邻边相等的平行四边形，因此解决菱形存在性问题需要综合运用平行四边形和等腰三角形存在性问题的方法。

题型三：矩形存在性由于矩形是含90度角的平行四边形，因此解决矩形存在性问题需要综合运用平行四边形和直角三角形存在性问题的方法。

题型四：正方形存在性由于正方形即是矩形又是菱形，因此解决正方形存在性问题需要灵活选用所有存在性问题的方法。

题型五：梯形存在性解梯形的存在性问题一般分三步：第一步分类，第二步画图，第三步计算．一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形．过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点．因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便．题型一：平行四边形的存在性1(2024·甘肃武威·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-5a≠0交x轴于A，C两点，与y轴交于点B，且5OA=OB=OC．(1)求此抛物线的表达式；(2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；(3)连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．2(2024·江苏宿迁·一模)材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题．材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准．请阅读上述材料，完成题目：如图，抛物线y=-23x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点A的坐标为-1,0，与y轴交于点C0,2，直线CD:y=-x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．3(2024·广东珠海·一模)已知抛物线y=ax2+bx+4(a>0)与x轴交于点A(1,0)和B(4,0)，与y轴交于点C(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是线段BC 上的一个动点(不与点B ，C 重合)，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q ，连接OQ ，当四边形OCPQ 恰好是平行四边形时，求点Q 的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且∠DQE =2∠ODQ ，在直线QE 上是否存在点F ，使得△BEF 与△ADC 相似？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．4(2024·贵州·模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =x +b 的图象经过点A -2,0 ，且与二次函数y =kx 2+x -1的图象交于点B 3,a ．(1)求一次函数与二次函数的表达式；(2)设M 是直线AB 上一点，过点M 作MN ∥y 轴，交二次函数y =kx 2+x -1的图象于点N ，若以点O 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．5(2024·陕西渭南·二模)如图，已知抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，点B 的坐标为3,0 ,OC =2,AB =4，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若直线BC 与抛物线的对称轴交于点E ，点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线BC 上的动点，是否存在以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是以DE 为边的平行四边形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6(2024·甘肃武威·一模)如图．抛物线y =-12x 2+mx +n 交x 轴于点A -4,0 和点B ，交y 轴于点C0,2，点P x,y在第二象限的抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P的坐标为-2,3时，求△BCP的面积；(3)过点P作PQ⊥x轴，交直线AC于点Q，是否存在点P，使得四边形PQOC是平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7(2024·陕西宝鸡·二模)如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点B5,0，C-1,0．(1)求该抛物线的表达式；(2)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y ，Q是新抛物线y 与x轴的交点(靠近y 轴)，N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以BQ为边，且以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点M的坐标．8(2024·四川南充·模拟预测)如图1，抛物线y=ax2-2ax+c a>0与x轴交于A-1，0，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，OC=3OA．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点D是第四象限抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E，连接BD，设△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1S2的最大值及此时点D的坐标．9(2024·山西大同·二模)综合与探究如图，抛物线y =ax 2+bx -2与x 轴交于A (-2,0)，B (4,0)，与y 轴交于点C ．作直线BC ，P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线BC 的函数表达式．(2)当点P 在直线BC 下方时，连接CP ，BP ，OP ．当S △BCP S △OBP=25时，求点P 的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10(2024·陕西宝鸡·模拟预测)如图，抛物线y =-x 2+bx +c 经过A (-1,0),C (0,3)两点，并交x 轴于另一点B ，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与y 轴交于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11(2024·上海虹口·二模)新定义：已知抛物线y =ax 2+bx +c (其中abc ≠0)，我们把抛物线y =cx 2+ax +b 称为y =ax 2+bx +c 的“轮换抛物线”．例如：抛物线y =2x 2+3x +1的“轮换抛物线”为y =x 2+2x +3．已知抛物线C 1：y =4mx 2+4m -5 x +m 的“轮换抛物线”为C 2，抛物线C 1、C 2与y 轴分别交于点E 、F ，点E 在点F 的上方，抛物线C 2的顶点为P ．(1)如果点E 的坐标为0,1 ，求抛物线C 2的表达式；(2)设抛物线C 2的对称轴与直线y =3x +8相交于点Q ，如果四边形PQEF 为平行四边形，求点E 的坐标；(3)已知点M -4,n 在抛物线C 2上，点N 坐标为-2,-712，当△PMN ∽△PEF 时，求m 的值．12(2023·四川自贡·中考真题)如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．13(2023·四川巴中·中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-1,0)和B(0,3)，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．(3)若点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在(2)的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．14(2023·山东枣庄·中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH +DH 的最小值；(3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15(2024·山西晋城·一模)综合与探究如图，抛物线y =-13x 2-43x +4与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的左侧)，与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上一动点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式．(2)连接PB ，PC ，求△PBC 面积的最大值及此时点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，若F 是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q ，使以B ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16(2023·山东聊城·中考真题)如图①，抛物线y =ax 2+bx -9与x 轴交于点A -3,0 ，B 6,0 ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC .点P 是x 轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q 在抛物线上，若以点A ，C ，P ，Q 为顶点，AC 为一边的四边形为平行四边形时，求点Q 的坐标；(3)如图②，当点P m ,0 从点A 出发沿x 轴向点B 运动时(点P 与点A ，B 不重合)，自点P 分别作PE ∥BC ，交AC 于点E ，作PD ⊥BC ，垂足为点D ．当m 为何值时，△PED 面积最大，并求出最大值．17(2024·山西晋城·一模)综合与探究：如图1，已知抛物线y =-12x 2+x +4与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C ，直线BD 与y 轴相交于点D ，交线段AC 于点E ，且2BD =7DE .(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求直线BD 的函数表达式；(3)如图2，若抛物线的对称轴l 与直线BD 交于点P ，试探究，在平面内是否存在一点Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.18(2024·山西吕梁·一模)综合与探究如图1，已知抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，点M 是直线BC 上方抛物线上的一动点．(1)求抛物线的顶点D 的坐标和直线BC 的解析式；(2)如图1，连接AM 交BC 于点P ，若MP AP=12，求此时点M 的坐标；(3)如图2，直线y =x +b 与抛物线交于A ，E 两点，过顶点D 作DF ∥y 轴，交直线AE 于点F ．若点G 是抛物线上一动点，试探究在直线AE 上是否存在一点H ，使得以点D ，F ，G ，H 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．19(2024·山东泰安·一模)综合与实践如图，抛物线y =2x 2-4x -6与x 轴交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上的一动点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)如图2，当点D在第四象限时，连接BD，CD和BC，得到△BCD，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；(3)点E在x轴上运动，以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点E的坐标．20(2024·江苏宿迁·模拟预测)若直线y=x-5与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，点B，且与x轴交于点C-1,0．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P为直线AB下方抛物线上一点，过点P作直线AB的垂线，垂足为E，作PF∥y轴交直线AB于点F，求线段PF最大值及此时点P的坐标；(3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y ，Q是新抛物线y 与x轴的交点(靠近y 轴)，N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．21(2024·山东聊城·一模)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O(O为坐标原点)、A两点，且二次函数的最小值为-2，点M1,m是其对称轴上一点，点B在y轴上，OB=1．(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连接PA ，PB ，求△PAB 面积的最大值；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22(2023·山东·中考真题)如图，直线y =-x +4交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，对称轴为x =32的抛物线经过B ，C 两点，交x 轴负半轴于点A ．P 为抛物线上一动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于另一点M ，作x 轴的垂线PN ，垂足为N ，直线MN 交y 轴于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若0<m <32，当m 为何值时，四边形CDNP 是平行四边形？(3)若m <32，设直线MN 交直线BC 于点E ，是否存在这样的m 值，使MN =2ME ？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．23(2024·江苏连云港·一模)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B 两点，它的对称轴直线x =1交抛物线于点M ，过点M 作MC ⊥y 轴于点C ，连接BC ，已知点A 的坐标为-1,0 ．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)动点P ，Q 在此抛物线上，其横坐标分别为m ,m +1，其中-1<m <1．①若∠POA =∠QBO ，请求此时点Q 的坐标；②在线段BC 上是否存在一点D ，使得以C ，P ，D ，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m 的值；若不存在，说明理由．24(2024·海南省直辖县级单位·模拟预测)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A -1,0 、点B 0,3 ，M 是抛物线上第一象限内的点，过点M 作直线MN ⊥x 轴于点N .(1)求抛物线的表达式；(2)当直线MN 是抛物线的对称轴时，求四边形ABMN 的面积(3)求AN +MN 的最大值，并求此时点M 的坐标；(4)在(3)的条件下，若P 是抛物线的对称轴上的一动点，Q 是抛物线上的一动点，是否存点点P 、Q ，使以点A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.25(2024·四川宜宾·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-34x 2+bx +c 与x 轴交于点A 4,0 与y 轴交于点B 0,3 ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM-65AM的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，点P 与点P关于抛物线y=-34x2+bx+c的对称轴l对称．点C在抛物线上，点D在对称轴l上，直接写出所有使得以点A、P 、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标．26(2024·甘肃天水·一模)抛物线y=ax2+bx-4a经过A-1,0、C0,4两点，与x轴交于另一点B．(1)求抛物线、直线BC的函数解析式；(2)在直线BC上方抛物线上是否存在一点P，使得△PBC的面积达到最大，若存在则求这个最大值及P点坐标，若不存在则说明理由．(3)点E为抛物线上一动点，点F为x轴上一动点，当以A，C，F，E为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点E的坐标．27(2024·山东济南·模拟预测)已知二次函数的图象过原点，顶点坐标为4,-16 3．(1)求该二次函数的解析式；(2)如图1，在x轴下方作x轴的平行线l，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求A点的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，作直线AC，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A 时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒(t>0)．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，当以A、E、F、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．28(2023·广东广州·中考真题)已知点P m,n在函数y=-2xx<0的图象上．(1)若m=-2，求n的值；(2)抛物线y=x-mx-n与x轴交于两点M，N(M在N的左边)，与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．①m为何值时，点E到达最高处；②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E 的坐标；若不存在，请说明理由．29(2024·山西阳泉·二模)综合与探究如图，抛物线y =15x 2+bx +c 与x 轴交于点A 1,0 和点B ，与y 轴交于点C 0,1 ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ．过点B 作直线l ⊥x 轴，连接CD ，过点D 作DE ⊥CD ，交直线l 于点E ，作直线CE ．(1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线CE 的函数表达式；(2)如图，点P 为抛物线上第二象限内的点，设点P 的横坐标为m ，连接BP 与CE 交于点Q ，当点Q 为线段BP 的中点时，求m ；(3)若点M 为x 轴上一个动点，点N 为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．30(2024·甘肃平凉·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，已知B 4,0 ，C 0,-4 ，连接BC ，点P 是抛物线上的一个动点，点N 是对称轴上的一个动点．备用图(1)求该抛物线的函数解析式．(2)在线段BC 的下方是否存在点P ，使得△BCP 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及面积最大值．(3)在对称轴上是否存在点N ，使得以点B ，C ，P ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．31(2024·广东惠州·一模)综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =-23x 2+bx +c a ≠0 与x 轴交于A -1,0 、B 3,0 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D在第一象限抛物线上一点，连接BC、DC，若∠DCB=2∠ABC，求点D的坐标；(3)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．32(2024·甘肃陇南·一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B2,0两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C0,8．(1)求该抛物线的解析式；(2)若D为抛物线的顶点，求△ACD的面积；(3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．33(2024·山东淄博·一模)已知抛物线y=ax²+bx-3a≠0与x轴交于点A(-1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若直线BC下方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴平行线交BC于N，过点M作BC的垂线，垂足为H，求△HMN周长的最大值；(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；(4)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有1FS2+1FT2为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由．34(2024·山西朔州·二模)综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx-2a≠0与x轴交于A-4,0，B1,0两点，与y轴交于C点．点D与点C关于x轴对称，直线AD交抛物线于另一点E．(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线AD的函数表达式．(2)点P是直线AE下方抛物线上的一点，过点P作直线AE的垂线，垂足为F．设点P的横坐标为m，试探究当m为何值时，线段PF最大？请求出PF的最大值．(3)在(2)的条件下，当PF取最大值时，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．35(2024·福建福州·模拟预测)已知抛物线y=ax²-2ax+c与x轴交于A-1,0、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且△ABC的面积为6．(1)求抛物线的对称轴和解析式；(2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形APQE是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；(3)若过定点K2,1的直线交抛物线于M、N两点(N在M点右侧)，过N点的直线y=-2x+b与抛物线交于点G，求证：直线MG必过定点．36(2015·山东临沂·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A1,0和B4,0．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点F 是位于x 轴上方对称轴上一点，FC ∥x 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C ，且四边形OECF 是平行四边形，求点C 的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△OCP 是直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．37(2023·山东淄博·中考真题)如图，一条抛物线y =ax 2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中O 为坐标原点，点A 3,-3 ，点B 在第一象限内，对称轴是直线x =94，且△OAB 的面积为18(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点B 的坐标；(3)设C 为线段AB 的中点，P 为直线OB 上的一个动点，连接AP ，CP ，将△ACP 沿CP 翻折，点A 的对应点为A 1．问是否存在点P ，使得以A 1，P ，C ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．38(2023·四川南充·中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +3(a ≠0)与x 轴交于A -1,0 ，B 3,0 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点K 1,3 的直线(直线KD 除外)与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM ⋅EN 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．39(2024·四川广元·二模)如图，已知直线BC ：y =x -2交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，抛物线y =ax 2-x +c 的图象过点B ，C ，且与x 轴交于另一点A (点A 在点B 的左侧)．在直线BC 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为F ，交BC 于点M ，连接AC ，PC ，AP ，AP 交BC 于点E ．(1)求抛物线的解析式．(2)当S △CPE S △ACE=13时，求点P 的坐标．(3)连接BP ，AM ，已知点D 是抛物线对称轴上的一个动点，当△BPC 的面积最大时，在该抛物线上是否存在动点Q ，使得以点A ，M ，Q ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．40(2024·江苏徐州·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 的顶点坐标为F -1,4 交x 轴于A 、C 两点，交y 轴于点B ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知抛物线上点P -2,3 ，以点P 为直角顶点构造Rt △PHK ，使点H 在x 轴上，点K 在y 轴上，G 为HK 的中点，求EG 的最小值；(3)M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．题型二：菱形存在性41(2024·陕西渭南·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +2(a 、b 为常数，且a ≠0)与x 轴交于点A -4,0 和点B ，与y 轴交于点C ，且OC =OB ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)连接BC，点D是抛物线的对称轴l上的动点，点E是平面内的点，是否存在以点B、C、D、E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．42(2024·江苏徐州·一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-3的图象交x轴于A-1，0两点，交y轴于点C，点P在线段OB上，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，交直线 、B3，0BC于点E．(1)a=，b=；(2)在点P运动过程中，若△CDE是直角三角形，求点P的坐标；(3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．43(2024·青海西宁·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A0,2，点B是抛物线的顶点，直线x=2是抛物线的对称轴，且与x轴交于点C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点D是对称轴左侧抛物线上一点，连接BD，∠DBC=45°,求点D的坐标．(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上方抛物线对称轴上一点，点P在坐标平面内，且以点A，D，M，P为顶点的四边形是以AD为边的菱形，请求出所有符合条件的点M的坐标44(2023·湖南·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0，且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．(3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．45(23-24九年级上·广东中山·期中)定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A-1,2，B-1,-1，C3,-1，D3,2，在点N11,1，N22,2，N33,3中，是矩形ABCD“梦之点”的是；(2)如图②，已知点A，B是抛物线y=-12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状并说明理由．(3)在(2)的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．46(23-24九年级上·重庆南岸·期末)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A1,0和B-5,0两点，与y轴交于点C．。

中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1【解析】P、A、C三点是确定的，过△P AC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33右，上D1(2, 7)．右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33由于C(0, 3)33下，左D2(－4, 1)．下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33由于P(－1, 4)11右，下D3(－2, －1)．右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA 是菱形的对角线，那么点C 在OA 的垂直平分线上，点C (2,2)关于OA 的对称点D 的坐标为(2,－2)．如果OA 是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O 为圆心，OA 为半径的圆与直线AB 的交点恰好为点B (0, 4)，那么正方形AOCD 的顶点D 的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例❹ 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形： ①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么MA NDMD NP=；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么GQ KAGA KP=．图5-2 图5-3例❻如图6-1，将抛物线c1：233y x=x轴翻折，得到抛物线c2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (,3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4例❼ 如图7-1，菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，F 、H 分别是AB 、CD 的中点，E 、G 分别在AD 、BC 上，且AE ＝CG ．（1）求证四边形EFGH 是平行四边形；（2）当四边形EFGH 是矩形时，求AE 的长；（3）当四边形EFGH 是菱形时，求AE 的长．图7-1【解析】（1）证明三角形全等得EF ＝GH 和FG ＝HE 大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH 的对角线FH ＝4是确定的，当EG ＝FH ＝4时，四边形EFGH 是矩形． 以FH 为直径画圆，你看看，这个圆与AD 有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E 为AD 的中点时，四边形ABGE 和四边形DCGE 都是平行四边形．如图7-4，当E 与A 重合时，△ABG 与△DCE 都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形．过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEF A．（1）如果平行四边形DEF A为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEF A为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEF A．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。

专题23 平行四边形的存在性破解策略以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知 识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高, 这类题，一般有两个类型:（1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题: 以A ,B ,C 三点为顶点的平行四边形构造方法有：①_x0001_作平行线:如图，连结AB ,BC ,AC ,分别过点A ，B ，C 作其对边的平行线，三条直线的交点为D ，E ,F ．则四边形ABCD ，ACBE ，ABFC 均为平行四边形．FEDCBA②倍长中线:如图，延长边AC ，AB ，BC 上的中线，使延长部分与中线相等，得点D ，E ，F ，连结DE ，EF ,F D ．则四边形ABCD ,ACBE ，ABFC 均为平行四边形．ABCDEF（2）“两个定点、两个动点"的平行四边形存在性问题：先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问 题，再构造平行四边形．解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需要分类讨论．通常这类问题的解题策略有：(1）几何法:先分类,再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答．如图,若AB ∥CD 且AB ＝CD ，分别过点B ，C 作一组平行线BE ,CF ，分别过点A ，D 作一组平行线AE ，DF ，则△AEB ≌△DFC ，从而得到线段间的关系式解决问题．ABCDEF（2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验． 如图．已知平行四边形ABC D ．连结AC ,BD 交于点O ．设顶点坐标为A （x A ，y A )．B （x B ,y B )，C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）．ODCBA①_x0001_ 用平移的性质求未知点的坐标：,,.B ACD B C A D BACDBCAD x x x x x x x x y y y y y y y y 或②利用中点坐标公式求未知点的坐标:,22.22ACBDACBD x x x x y y y y 有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好． 例题讲解例1 如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y ＝x 2＋mx ＋n 经过点A （3,0）,B （0，﹣3),P 是直线AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ． (1）分别求出直线AB 和这条抛物线的表达式;(2）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．yxMOPBA解：（1）将点A ,B 的坐标代入抛物线的表达式,得y ＝x 2－2x ＋3．设直线AB 的表达式为y＝kx ＋b ，将点A ，B 的坐标代入,得y ＝x －3． （2）存在．因为PM ∥OB ，所以当PM ＝OB 时,四边形即为平行四边形．根据题意设点P 的坐标为（p ，p －3)，则点M 的坐标为（p ，p 2－2p －3）． 所以2(3)(23)3p p p ．解得3212p,故满足条件的点P 的横坐标为3212p ．例2 边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,D 是OA 边的中点，连结CD ,点E 在第一象限，且DE ⊥DC ,DE ＝DC ,以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点． (1）求抛物线的表达式;（2）M 为直线上一动点,N 为抛物线上一动点，问:是否存在点M ,N ,使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．Exy O ABCD图1GExyOA BCD解 (1）如图1，过点E 作EG ⊥x 轴于点G ． 易证△ODC ≌△GED （AAS ），所以112GE OD OA ． 所以点E 的坐标为（3，1）．而直线AB 为抛物线的对称轴，直线AB 的表达式为x ＝2, 所以可设抛物线的表达式为y ＝a （x －2)2＋k ,将C ,E 两点的坐标代入表达式，得42,1,a kak 解得1,32.3ak所以抛物线的表达式为()221214223333y x x x =-+=-+ （2）存在．由题意可设点M 的坐标为(2,m ),N 的坐标为214,233n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．以点M ，N ,D ,E 为顶点的四边形是平行四边形有以下可能：①当DE 为平行四边形的边时, (i ）如图2,若DE ∥MN ，MD ∥NE ，由平移的性质可得22131402133n m n n -=-⎧⎪⎨-=-+-⎪⎩解得 1.4.m n =⎧⎨=⎩此时点M 的坐标为（2,1）,N 的坐标为(4,2）． （ii ）如图3，若DE ∥MN ,ME ∥N D ．由平移的性质可得212 3.1420 1.33n n n m -=-⎧⎪⎨-+-=-⎪⎩解得 3.0.m n =⎧⎨=⎩此时点M 的坐标为(2，3），N 的坐标为(0，2）． ②当DE 为平行四边形的对角线时,如图4．由平行四边形对角线互相平分性质可得2132.1401 2.33n m n n +=+⎧⎪⎨+=+-+⎪⎩ 解得1.32.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩此时点M 的坐标为12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 的坐标为22,.3⎛⎫ ⎪⎝⎭例3 如图，抛物线2y x bx c =++的顶点为D (－1，－4），与y 轴交于点C （0，－3），与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧）． （1）求抛物线的表达式；（2）若点E 在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F ,使以A ，C ，E ,F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1）将点C ，D 的坐标代入抛物线的表达式,得22 3.y x x =+-(2）存在．令212230,1, 3.x x x x +-===-解得所以点A 的坐标为（－3，0），B 的坐标为（1，0）． 由点F 在抛物线上可设点F 的坐标为()2,23m m m +-． 方法一：①如图1、图2，当AC 为平行四边形的边是,图1 图2 过点F 作FP 垂直于抛物线的对称轴，垂足为P ． 易证△PEF ≌△OC A ． 所以PF ＝AO ＝3,从而点F 的坐标为（2，5）或（－4，5）． ②如图3，当AC 为平行四边形的对角线时，过点F 作FP ⊥y 轴于点P ．令抛物线的对称轴交x 轴于点Q ,yxO PFEDC BAyxOP FEDC BA易证△PCF ≌△QE A ．所以PF ＝AQ ＝2，从而点F 的坐标为（－2，－3)，此时点F 与点C 纵坐标相同，所以点E 在x 轴上．图3方法二：①如图3，当AC ，EF 为平行四边形的对角线时,可得()()2302303E E x m y m m +=-+⎧⎪⎨++-=+-⎪⎩，．又因为点E 在抛物线的对称轴上， 所以m ＝－2，则点F 的坐标为（－2，－3）．②如图1，当AE ，CF 为平行四边形的对角线时, 可得2325E Ex m y m m =⎧⎨=+-⎩+，． 又因为点E 在抛物线的对称轴上， 所以m ＝－4，则点F 的坐标为（－2，－3)．③如图2，当AF ,CE 为平行四边形的对角线时, 可得232E E x m y m m =-+⎧⎨=+⎩，．又因为点E 在抛物线的对称轴上,所以m ＝2．yxO P FE DCBA则点F 的坐标为（2,5）．综上可得，满足平行四边形的点F 的坐标为(－2，－3）（－4,5）（2，5） 进阶训练1．如图，四边形ABCD 是直角梯形，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，BC ＝28cm ，点P 从点A 出发,沿AD 以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发,沿CB 以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．问：从运动开始，经过多长时间,四边形PQCD 成为平行四边形?PCA BD Q2．如图，抛物线y ＝ax ² ＋bx ＋c 过A （－3，0），B （1，0）,C （0,3） 三点，抛物线的顶点位P ．（1)求抛物线的表达式；（2）直线y ＝2x ＋3上是否存在点M ,使得以A ，P ,C ，M 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．xy P O CBA3．如图，在矩形OABC 中，OA ＝5，AB ＝4,点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴．y 轴建立平面直角坐标系．若点N 在过O ．D ．C 三点的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，问是否存在这样的点M 与点N ，使得以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在．请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．答案:存在满足条件的点M ,其坐标为（2，16），（－6，16）或(－2，－316）．[提示］:易证△DAE ∽△EOC ，从而点D 的坐标为)5-,23-(,得到过点O ，D ,C 的抛物线的解析式为x x y 316342+=．再分类讨论，由对角线互相平分,中点横纵坐标相等列出方程,从而找到符合条件的点M ．(参考例3的方法二)4．如图，抛物线与x 轴交于点A (－5,0)，B (3,0）,与y 轴交于点C （0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形(阴影部分）沿x 轴方向平移，与y 轴平行的一组对边交抛物线于点P ，Q ．交直线AC 于点M ,N ．在矩形的平移过程中,当以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标．答案：点M 的坐标为(－2，3），)63,62-()6-3,6-2-(++或［提示］．由点A ，B ，C 的坐标可得抛物线的表达式为532-31-2+=x x y ，直线AC 的表达式为y＝x ＋5，设点M 的坐标为（t ,t ＋5），则点N （t －1,t ＋4)，P (t ,)31631-,1-(),532-31-22++t t Q t t ．在矩形平移的过程中，以P ，Q ，N ，M 为顶点的平行四边形有两种情况：①当P ，Q 在直线AC 同侧时，有y P －y M ＝y Q －y N ，得到点M 的坐标为（－2，3);②当P ，Q 在直线AC 异侧时，有y P－y M＝y N－y Q．得到点M的坐标为（－2－6，3－6）或（－2＋6，3＋6）．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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特殊平行四边形中的动点及存在性问题【例1】正方形ABCD的边长为8，M在DC上,且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为。

【练习1】如图，在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3,OB=4,D为边OB的中点。

（1)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.【例2】如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10,0），(0,4），点D是OA的中点,点P在BC上运动，当三角形△ODP是腰长为5的等腰三角形时，P的坐标为；x【练习2】如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12）,B（a,c），C（b，0），并且a，b满足16b=．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时,点Q随之停止运动．设运动时间为t(秒)（1）求B、C两点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；（3)当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．【例3】(1）如图,矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点,点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为；（2）在直角坐标系中，有A（-1，2)，B（3，1），C(1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．x【练习3】如图，四边形ABCD为矩形,C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是(0，0）,B 点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处,E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是(2,4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．x【例4】在Rt△ABC中,∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度运动，当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0<t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F,连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能,请说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形?请说明理由．FBCA DE【练习4】如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发,沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动,过点Q作x轴的平行线分别交OA,AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时,点Q也停止运动，他们运动时间为t秒（0t≥）(1）点E的坐标为，F的坐标为；（2）当t为何值时,四边形POFE是平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在,请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【巩固练习】1、菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°,点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为。

存在性问题系列：特殊四边形的存在性问题 2023九年级数学中考复习1．如图，在平面直角坐标系中，直线8=-+分别交两轴于点A、B，点C的横坐标为4，点D在线段OAy x上，且7AD=．（1）求点D的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，函数28=+的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过y x点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的函数解析式．（2）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点H的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，已知直线y mx =分别与双曲线8y x =，(0)k y x x =>交于P ，Q 两点，且2OP OQ =， （1）求k 的值；（2）如图2，若A 是双曲线8y x =上的动点，//AB x 轴，//AC y 轴，分别交双曲线(0)k y x x => 于B ，C ，连接BC ，设A 点的横坐标为t ．当2m =时，D 为直线2y x =上的一点，若以A ， B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求A 点坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，直线:4l y =+与y 轴、x 轴分别交于点E 、F ，边长为的等边ABC ∆，边BC 在x 轴上，将此三角形沿着x 轴的正方向平移，在平移过程 中，得到△111A B C ，当点1B 与原点重合时，解答下列问题：（1）求出点1A 的坐标，并判断点1A 是否在直线l 上；（2）求出边11A C 所在直线的解析式；（3）在坐标平面内找一点P ，使得以P 、1A 、1C 、F 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P 点坐标．5．如图1，直线11:6y +与x 轴，y 轴分别交于B ，A 两点，过点A 做AC AB ⊥交x 轴于点C ，将直线1l 沿着x 轴正方向平移m 个单位得到直线2l 交直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，将CDE ∆沿直线2l 翻折得到点F ．（1）若m =E ；（2）若BCF ∆的面积等于2l 的解析式；（3）在（1）的条件下，将ABO ∆绕点C 旋转60︒得到△111A B O ，点R 是直线2l 上一点，在直角坐标系中是否存在点S ，使得以点1A 、1B 、R 、S 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，平面直角坐标系中，直线483y x=-+分别交x轴、y轴于点B、点A，点D从点A出发沿射线AB方向以每秒1个单位长的速度匀速运动，同时点E从点B出发沿射线BC方向以每秒35个单位长的速度匀速运动．设点D、E运动的时间是t秒(0)t>．过点D作DF AO⊥于点F，连接DE、EF，是否存在这样一个时刻，此时以点D、F、E、B为顶点的四边形是菱形？如果存在，求出相应的t的值；如果不存在，请说明理由．7．如图，直线y kx bb+．=+与x轴，y轴分别交于A，B两点，且经过点(4,3)（1）求k的值；（2）若2=+，AB OB①求b的值；②点M为x轴上一动点，点N为坐标平面内另一点．若以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy内，AOBC的顶点A、O、B、C的坐标分别为(0,1)、(0,0)、(1,0)、(1、1)，过点B的直线MN与OC平行，AC的延长线交MN于点D，点P 是直线MN上的一个动点，//CQ OP交MN于点Q．当四边形OPQC为菱形时，①请求出点P的坐标；②请求出POC的度数．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，梯形ABCD 的四个顶点的坐标分别是(1,0)A -、(4,0)B 、(3C ，5)(0D ，5)，直线3y x b =-+平分梯形ABCD 的面积，且与线段CD 、AB 交于点E ，F ．（1）求b 的值；（2）设点P 是直线EF 上一点，点Q 在第四象限，且以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．。

特殊平行四边形的存在性（讲义）1. 如图，抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线12y x n =-+经过点C ，与抛物线的另一交点为点D ．点P 是直线CD 上方抛物线上的一个动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E ，设点P的横坐标为m ．若△CPE 是等腰三角形，则m 的值为______________．2.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-4，0)，点B(1，0)，与y轴交于点C．点D在直线AC上，点E在y轴上且位于点C的上方，那么在第二象限内的抛物线上是否存在一点P，使得以点C，D，E，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22点M从点A出发，沿AB方向向点B运动，过点M作MN⊥x轴交BC于点N，P是直线MN上一点，Q是坐标平面内一点，若以B，C，P，Q为顶点的四边形是正方形，则点Q的坐标为_____________．2点E为抛物线h的顶点，点P是抛物线h在第二象限上的一动点（不与点B，C重合），连接PE，以PE为边作图示一侧的正方形PEFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，求对应的点P的坐标．5.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(4，1)，连接OA，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，得到OA′，则OA′所在直线的解析式为_____________．6.如图，反比例函数kyx（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）A．（1）求反比例函数的解析式．（2）若点P是该双曲线第一象限上的一点，且∠AOP=45°．填空：①直线OP的解析式为___________；②点P的坐标为___________．7.如图，抛物线272 2y x x=-++与直线122y x=+交于C，D两点．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．若存在点P，使∠PCF=45°，则点P的坐标为________．【参考答案】1.32，542. 存在，点P 的坐标为(-2，92)或(73-，256)． 3. (6，4)，(-2，-2)，(3，3)或(1，-1)4. 点P 的坐标为(2-+52+，(2--52-或(1-，72)．5. 53y x =6. （1）反比例函数的解析式为3y x =；（2）①12y x =；②． 7. (12，72)或(236，1318)。