§1-3 信号的基本运算

《Signals & systems》 systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第一章 信号与系统的概念
一、自变量的变换： 1、平移（位移）：a=1 、平移（位移）：
x(t) → x(at − b)
x(n) → x(an− b)
连续时间信号：b为一实数:
x (t ) → x (t − b )
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第一章 信号与系统的概念
二、信号的加减与相乘：
两信号相加减或相乘，是两信号在同一时刻的函数值相加减或 相乘，形成新的时间信号。例如：
x1 (t )
x1 (t ) = sin Ωt
x2 (t ) = sin 8Ωt
x2 (t )
x(t ) = x1 (t ) + x2 (t ) = sin Ωt + sin 8Ωt
第一章 信号与系统的概念
这里说的信号的积分，是指对表示信号的函数，求其对上限变 量的定积分。即
t
−∞
∫ x(τ)dτ = y(t )
1
x(t )
t
设
x(t ) = e u (t )
1
−t
y(t )
t
则
t t
y (t ) = ∫ e − τu (τ)dτ = ∫ e − τ dτ
−∞ 0
= (1 − e −t )u (t )
t x(t ) = y ( 2 ) = z ( 2t )
x(2t ) = y (t )
1
1
a >1
1 2−101来自2t−1
0
t
t x( 2 ) = z (t )
1
a <1
1 2
3
− 2 −1
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0
4
t
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x(t )
t x′(t ) t
x′(t ) =
设 则
dx(t ) dt
x(t ) = sin t
x′(t ) = cos t
再如
1
x(t )
1
x′(t )
−1
0
1
2
t
2
−1
0
1
(−1)
t
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x ( n + 2)
1
x ( n)
1 1
x(n − 2)
− 2 −1
0 1 2 3 4 5
n
− 2 −1
0 1 2 3 4 5 6 7
n
− 4− 3 − 2 −1
0 1 2 3
n
2、反褶：a=-1，b=0: x (t ) → x ( − t ) , 、反褶： =-1，
x(t )
1 1
x(n) → x(− n)
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−1
0
1
t
2
t
y(t) = ∫ x(τ)dτ
−∞
2 1
1 2
−1
0
1
2
t
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第一章 信号与系统的概念
习题：
一、已知信号 x(t)与x(n)的波形如下，试分别作出： x(t-1)，x(1-2t)，x(t/2)与 -1)， /2)与
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x(t + 1)
1
x(t )
1 1
x(t − 1)
−1
0
1
2
t
−1
0
1
2
3
t
− 2 −1
0
1
2
t
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第一章 信号与系统的概念
离散时间信号：b为一整数: 为一整数:
x(n) → x(n − b)
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第一章 信号与系统的概念
对一连续时间信号综合几种运算，变换顺序对结果没有影响。 对一连续时间信号综合几种运算，变换顺序对结果没有影响。 例如：已知x(t)的波形如下，作x(1-2t)的波形。 例如：已知x(t) 的波形如下，作x(1-2t) x(t)的波形如下，作x(1-2t)的波形。
x(n-1)，x(1-n)，x(n/2)的波形图。 -1)， /2)的波形图。
x(t )
1 1 −1 1 2
x( n)
t
−1
1 2 3
n
二、已知信号 x(t) =(t+1)u(t+1)-2tu(t)+(t-1)u(t-1)，试作y(t)=x(t)cos(2πt)的波形图。 -1)，试作
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第一章 信号与系统的概念
§1-3 信号的基本运算
信号的分析与处理，均是对信号进行某种或一系列 的运算。至今，我们学过的运算，均可用在信号的运算 上；今后，我们会遇到许多不同的运算。 这里我们将介绍对信号的几种基本运算。它们是涉 及信号自变量变换的运算：平移（位移）、反褶和展缩； 多个信号相加减和相乘运算；还有对信号的微分和积分运 算。
n
− 3 − 2 −1
0 1 2 3 4 5
n
2 1
⎧ y ( n ) n = 2k z ( n) = ⎨ 2 ≠ x ( n) n ≠ 2k ⎩ 0
3
− 3 − 2 −1
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0 1 2 3 4 5
称作y(n)的时 域扩展，也是 n x(n)的抽选
y (t ) = x1 (t ) ⋅ x2 (t ) = sin Ωt ⋅ sin 8Ωt
x(t)
y(t)
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第一章 信号与系统的概念
三、信号的微分与积分：
这里说的信号的微分，是指对表示信号的函数求导。即
x(t )
1 1
x(t + 1)
1
x(2t ) t t
−1
0
1
2
t
− 2 −1
0
1
2
−1
0
1
2
x(1 − t )
1 1
x(−2t ) t t
−1
0
1
2
−1
0
1
2
x(1 − 2t )
1 1
x(1 − 2t )
t t
−1
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0
1
2
−1
0
1
2
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第一章 信号与系统的概念
离散时间信号没有与连续时间信号一样意义的展缩运算，但当 为一整数时，也相当于时域压缩: a为一整数时，也相当于时域压缩:
x ( n ) → x ( an )
a >1
2 1
3
x ( 2 n) = y ( n )
3
x ( n)
2 1
− 3 − 2 −1
称作减采样
0 1 2 3 4 5
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第一章 信号与系统的概念
再如信号如图，函数式为：
x(t )
1
x(t ) = (t + 1)u(t + 1) − tu(t ) − u(t − 2)
⎧t + 1 − 1 < t < 0 ⎪ =⎨ 1 0<t <2 ⎪ 0 −1 > t > 2 ⎩ 0 t < −1 ⎧ ⎪1 2 ⎪ (t + 2t + 1) − 1 < t < 0 ⎪2 y(t ) = ⎨ 1 ⎪ t+ 0<t <2 2 ⎪ ⎪ 2.5 t > 2 ⎩
x ( − n)
1
x(−t )
−1
0
1
2
t
− 2 −1
0
1
2
t
− 4− 3 − 2 −1
0 1 2 3 4
n
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第一章 信号与系统的概念
3、展缩（尺度变换）：b=0 、展缩（尺度变换）：
连续时间信号：a为一实数: x (t ) → x ( at )