劳斯判据总结

劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。

要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。

2）特征方程的各项系数的符号都相同。

此即系统稳定的必要条件。

按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。

二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。

运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。

运用判据的关键在于建立表。

建立表的方法请参阅相关的例题或教材。

运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。

在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。

于是表的计算无法继续。

为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。

若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。

此时，系统为临界稳定系统。

2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。

此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。

这样，表中的其余各元就可以计算下去。

出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。

这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。

三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。

3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。

由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。

显然，稳定性与零点无关。

当有一个根落在右半部，系统不稳定。

当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。

3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。

可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。

2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。

通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。

如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。

※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。

· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。

利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。

这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。

劳斯判据特征方程1. 劳斯判据的定义劳斯判据是一种用于判断线性时不变系统稳定性的方法。

在控制系统理论中，稳定性是一个重要的概念，它决定了系统的可控性和可观性。

劳斯判据通过特征方程的系数，判断系统的稳定性。

2. 特征方程的定义特征方程是描述线性时不变系统的动态特性的方程。

对于一个n阶线性时不变系统，其特征方程可以表示为：a n s n+a n−1s n−1+...+a1s+a0=0其中，s是复变量，a n,a n−1,...,a1,a0是特征方程的系数。

特征方程的根决定了系统的稳定性和动态响应。

3. 劳斯判据的推导劳斯判据是通过特征方程的系数来判断线性时不变系统的稳定性的方法。

它的推导过程如下：1.将特征方程的系数按照奇偶次数分成两组，分别记为A和B。

如果特征方程的次数是奇数，则A包含所有系数，B为空集。

如果特征方程的次数是偶数，则A包含所有偶次系数和常数项，B包含所有奇次系数。

2.构造劳斯表，表格的第一行是特征方程的系数，从左到右依次排列。

第二行是A的系数，从左到右依次排列。

第三行是B的系数，从右到左依次排列。

3.从第四行开始，按照以下规则填写劳斯表的每一行：–第一列的元素是特征方程的次数。

–第二列的元素是A的系数除以第一列的元素。

–其余列的元素是通过以下公式计算得到：d1d3−d2d2d1其中，d1是上一行第二列的元素，d2是上一行第三列的元素，d3是上一行第二列以后的元素。

4.继续填写劳斯表的下一行，直到最后一行。

如果最后一行的元素都是正数或都是负数，则系统是稳定的。

如果最后一行的元素既有正数又有负数，则系统是不稳定的。

4. 劳斯判据的应用劳斯判据可以用于判断线性时不变系统的稳定性。

它可以帮助工程师设计控制系统，保证系统的稳定性。

在实际应用中，劳斯判据可以通过计算特征方程的系数，构造劳斯表，然后根据劳斯表的填写规则来判断系统的稳定性。

这个过程可以通过计算机软件来实现，提高计算的准确性和效率。

劳斯判据：
劳斯判据，Routh Criterion，又称为代数稳定判据。

劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。

由此劳斯获得了亚当奖。

劳斯判据，这是一种代数判据方法。

它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性.由于不必求解方程，为系统的稳定性的判断带来了极大的便利。

定义
假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。

假若第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。

3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。

由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。

显然，稳定性与零点无关。

当有一个根落在右半部，系统不稳定。

当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。

3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。

可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。

2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。

通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。

如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。

※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。

· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。

利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。

这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。

劳斯判据判定稳定性劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。

要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。

2）特征方程的各项系数的符号都相同。

此即系统稳定的必要条件。

按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。

二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。

运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。

运用判据的关键在于建立表。

建立表的方法请参阅相关的例题或教材。

运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。

在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。

于是表的计算无法继续。

为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。

若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。

此时，系统为临界稳定系统。

2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。

此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。

这样，表中的其余各元就可以计算下去。

出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。

这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。

三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。

劳斯判据辅助方程劳斯判据（Routh–Hurwitz criterion）是一种用于判断线性时不变系统的稳定性的方法。

它是由爱德华·约瑟夫·劳斯（Edward John Routh）和安恩斯·亨利·赫尔维兹（Aneurin Bevan Hurwitz）分别在1895年和1877年提出的。

劳斯判据的基本思想是通过构造一个与原方程相关的辅助多项式来判断原方程的根的位置。

我们考虑一个线性时不变系统的传递函数如下：H(s) = a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1} + ... + a_1s + a_0其中s是复变量，a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0是实数系数。

我们的目标是判断这个系统是否稳定，也就是判断H(s)的根的位置是否都在左半平面。

为了达到这个目标，我们首先构造一个与原方程相关的辅助多项式如下：F(s) = a_ns^n-1 + a_{n-2}s^{n-3} + ... + a_2s^0辅助多项式F(s)的系数可以通过一些规则来计算。

首先，我们计算F(s)的第一行系数：b_1=a_{n-1}b_2=a_{n-3}b_3=a_{n-5}...b_k=a_{n-(2k-1)}...然后，我们计算F(s)的剩余行系数：c_1 = b_{2} - \frac{a_{n-1}b_1}{a_n}c_2 = b_{4} - \frac{a_{n-1}b_2}{a_n}c_3 = b_{6} - \frac{a_{n-1}b_3}{a_n}...c_k = b_{2k} - \frac{a_{n-1}b_k}{a_n}...这样得到的辅助多项式F(s)的各行系数分别为b_1,c_1,b_2,c_2,b_3,c_3,...。

然后，我们可以根据劳斯判据的规则进行判断：1.如果F(s)的所有系数都是非零实数，那么系统是稳定的。

2.如果F(s)的其中一行全部是零，那么系统是不稳定的。