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6
pi
0.1
0.15
0.5
0.25
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所以
E(X)=(-2)x0.1+3x0.15+4x0.5+5x0.25=3.5 即每生产一件产品平均获利3.5元。
定义 4.2 设X是连续型随机变量，其概率密 度函数为f(x), -<x<, 若 | x | f ( x)dx收敛
则称
E( X ) xf ( x )dx .
j 1
g(x , y
i 1 i
j
) pij .
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例6 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)
x 0 1
y 1 0.15 0.45
2 0.15 0.25
解: E (XY ) 0 1 0.15 0 2 0.15
11 0.45 1 2 0.25
为
E (Y ) E[ g ( X )] g ( x k ) p k .
k 1
推论: 设(X, Y)是二维离散型随机变量，它们的 联合分布律为 P{X=xi ,Y=yj,}= pij, i, j=1, 2, … ,
则Z= g(X，Y)的期望
E ( Z ) E[ g ( X , Y )]
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4. 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y). 证明:设(X,Y)~f(x,y)
E ( XY )
xyf ( x, y )dxdy
X
xyf
( x) fY ( y )dxdy
xf
X
( x)dx yfY ( y )dy E( X ) E(Y )
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0 x 60 other s
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例8 设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)
f ( x)
1 e 2
x e 2
x2 2 2
x2 2
E( X )
2
x2 2
dx
x de 2
x2 2
1 e 2
dx 1
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例9.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查 这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100 个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验， 如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳 性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验 次数
解:设Xj为第j组的化验次数，
X为1000人的化验次数，则 Xj Pj
1 7 E( X ) k 6 2 k 1
例3 某厂生产的产品中，25%是一等品，50 %是二等品， 15 %是三等品，10 %是次品。如果每件一，二，三等品分 别获利5、4、3元，一件次品亏损2元，试问该厂可以期望每 件产品获利多少元？ 解 设X表示每件产品的利润，显然它是一个离散型随机变 量，其分布律为 X -2 3 4 5
为随机变量X的数学期望。
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例4. 若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为
试求E(X).
x 1 f ( x) exp 2
解
x x E( X ) exp 2
x
dx
令t
t exp | t |dt exp tdt 2 0
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E( X )
3
x e 2
4
3
x2 2
dx 0
E( X )
4
x e 2
x2 2
x2 2
dx
x de 2
3
3
x e 2
2
x2 2
dx
3
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4.1.3.数学期望的性质
1. E(c)=c,c为常数;
2。E(cX)=cE(X), c为常数; 证明:设X~f(x),则
1 101
100
j 1,... 10
(99%)
1 (99%)100
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EX j 0.99
100
(101)(1 0.99
10 10
100
)
E ( X ) E ( X j ) E ( X j )
j 1 j 1
10[0.99100 (101)(1 0.99100 )]
则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即
1 40 6 60 9 70 15 80 7 90 2 100 1 6 9 15 7 2
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1 6 9 15 7 2 40 60 70 80 90 100 40 40 40 40 40 40
0.95
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定理2 设X是连续型随机变量，它的概率 密度为f(x), Y=g(X) (g是连续实函数),若
g ( x) f ( x)dx 绝对收敛，则Y=g(X)的期望
E( Y) E[g( X)] g(x)f (x)dx .
推论 设(X, Y)是二维连续型随机变量，它的概率
例7 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分 发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时 刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间
0 10
解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则
30
55 60
10 X 0 X 10 1 30 X 10 X 30 f X ( x) 60 Y g( X ) 0 55 X 30 X 55 70 X 55 X 60 60 1 E (Y ) g ( x)dx =10分25秒 60 0
第四章
随机变量的数字特征与极限定理
数学期望 方差
几个重要随机变量的数学期望与方差
协方差与相关系数 矩、协方差矩阵 大数定理与中心极限定理 小结与思考题
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一.数学期望的定义
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分 人数如下表所示：
分数 人数 40 1 60 6 70 9 80 15 90 7 100 2
xf ( x, y )dxdy
yf ( x, y)dxdy
x[ f ( x, y)dy]dx y[ f ( x, y)dx]dy
xf
X
( x)dx
yf
Y
( y )dy E ( X ) E (Y )
1 n n 1 E ( X ) kP{ X k} k n k 1 2 k 1
n
i 第i把钥匙打开锁 (2)令X i 0 其他
则X X i
i 1
n
而
1 i P{ X i i} , E{ X i i} , n n
所以
1 n 1 n n E ( X ) E X i E ( X i ) (1 2 ... n) n 2 i 1 i 1
E (cX ) cxf ( x) dx
c xf ( x)dx cE( X )
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3. E(X+Y)=E(X)+E(Y);
证明:设(X,Y)~f(x,y)
E( X Y )
( x y) f ( x, y)dxdy
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4.1.2.随机变量函数的期望
例5：设随机变量X的分布律为 X Pk -1 0 1
1
3
1
3
1
3
求随机变量Y=X2的数学期望 解: Y Pk 1 0
2Hale Waihona Puke 3132 1 2 E (Y ) 1 0 3 3 3
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定理1
设X是离散型随机变量,它的分布律
P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X)（g是连续实函 数）,若 g(xk)pk绝对收敛， 则Y的期望E(g(X))
密度为f (x, y), Z=g(X, Y) (g是连续实函数)
期望
g ( x, y) f ( x, y)dxdy绝对收敛,则Z=g(X, Y)的
E ( Z ) E[ g ( X , Y )]
g ( x, y ) f ( x, y )dxdy.
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76.5(分)
定义4.1 设X是离散型随机变量，它的分布 律是: P(X=xk)=pk , k=1,2,…
如果级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pk 为 k 1 k 1 X的数学期望, 记为E ( X )
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例2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X 的数学期望。
1 1000 [1 0.99100 ] 100
644
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例10 若X~B(n,p),求E(X) 解:设 则
1 第i次试验事件A发生 Xi 0 第i次试验事件A不发生
