(数学期望)分解

数学期望的计算及应用数学与应用数学111 第四小组引言：我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。

因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。

在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即E(X)x k p k；2.应用随机变量函数的期望公式k 1E(q(x))q( x k ) p k 3. 利用期望的有关性质。

但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将k 1介绍一些解决这些难题的简单方法。

在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。

如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。

就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。

下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。

1.变量分解法[1]如果可以把不易求得的随机变量 X 分解成若干个随机变量之和,应用E( X 1E2... E n ) E( X 1 ) E ( X 2 )...E ( X n ) 再进行求解得值，这种方法就叫做变量分解法。

这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。

例题 1 ：从甲地到乙地的旅游车上载有达一个车站没有旅客下车，就不停车，以20 位旅客，自甲地开出，沿途有10 个车站，如到X 表示停车次数，求E(X).( 设每位旅客在各个车站下车是等可能的)分析：汽车沿途10 站的停车次数X 所以可能取值为0，1，.，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X) ，则需要分别计算{X=0} ，{X=1}，，{X=10} 等事件的概率，计算相当麻烦。

注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1 对应起来，映入随机变量X i每一种结果的概率较易求得。

数学期望的计算方法探讨X覃光莲(华中农业大学理学院数学与信息科学系, 湖北武汉430070)摘要本文探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法: 利用一些特殊求和与积分公式、利用数学期望定义的不同形式、利用随机变量分布的对称性、全期望公式以及特征函数等,以期对该内容的学习和教学有所启发。

关键词数学期望全期望公式特征函数中图分类号G642 文献标识码 A随机变量的数学期望是反映随机变量取值的集中位置的一个重要数字特征, 随机变量的其它数字特征都是通过数学期望来定义的, 因此数学期望的计算问题显得非常重要。

求随机变量的数学期望从模型本身来讲, 无非是计算EX = Σ∞i = 1x i P( X = x i) 或EX =∫+ ∞- ∞x p ( x ) dx ,但涉及到随机变量分布的各具体场合,其计算又有很多变化和技巧。

下面结合具体场合, 介绍一些简化计算数学期望的不同方法。

一、利用一些特殊的求和与积分公式(一) X 是离散型随机变量时, EX = Σ∞i =1x i P( X = x i)在计算离散型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的无穷级数的求和公式,如Σ∞k = 0x kk != e x 、Σ∞k =0x k =11 - x(| x | < 1) 等,熟悉这些求和公式以及它们的各种变形往往会使计算变得简单。

例设X 服从参数为P 的几何分布,求EX , E X2 解: EX = Σ∞i =1i P( x = i) = Σ∞i = 1i P(1 - p) i - 1 = PΣ∞i =1i (1 - p) i - 1为了求级数Σ∞i = 1i (1 - p) i - 1 ,可作如下考虑:由于Σ∞k = 0x k =11 - x(| x | < 1)利用和函数的可微性对此级数逐项求导,得ddx(Σ∞k =0x k) = Σ∞k = 0ddx( x k) = Σ∞k = 1k x k - 1 ,因此Σ∞k = 1k x k - 1 =ddx( 11 - x) =1从而EX = PΣ∞i = 1i (1 - p) i - 1 = P ·1[1 - (1 - P) ]2 =1P—41 —高等理科教育数学期望的计算方法探讨X 收稿日期2004 —11 —16资助项目华中农业大学启动项目(项目编号: 52204 - 03046)资助1作者简介覃光莲(1969 - ) 女, 新疆玛纳斯人, 副教授, 主要从事概率统计的教学和科研工作1同理可得,Σ∞k =2k ( k - 1) x k - 2 =ddx( 1(1 - x ) 2 ) =2(1 - x ) 3 ,因此有:EX2 = Σ∞i = 1i2 P( X = i) = Σ∞i = 1i2 P(1 - p) i - 1 = P(1 - P) Σ∞i = 2i ( i - 1) (1 - p) i - 2 + PΣ∞i =1i (1 -p) i - 1 = P(1 - P) 3 2P3 + P 3 1P2 =2 - PP2(二) X 是连续型随机变量,X 的分布密度函数为p (x) , EX =∫+ ∞- ∞在计算连续型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的积分,如∫+ ∞- ∞e-x22 dx = 2π、Γ函数Γ( n) =∫- ∞x n - 1 e- x dx = ( n - 1) ! (其中n E 1) 等。

均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即()1k k k E X x p ∞==∑。

设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。

性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。

2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。

数学期望（ξ）浅析前⾔：为初赛⽽奋⽃谨以此系列祝愿我通过CSP-J初赛QwQ正⽂：期望是什么？我们先说⼀下期望(符号是ξ，在经过百度以后，我们发现⼀个定义：数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和举个栗⼦⼩明在银⾏存了100元定期，利率是2%。

我们知道，定期⼏乎没有风险，那么期望代表的就是⼩明从这个定期存款种所希望得到的利息。

那么这个期望怎么算呢？由于没有风险，所以得到的概率是100%。

也就是说⼩明从定期所预计得到的利息就是:ξ=100%×2%×100元=2元由于⼩明很有钱,他⼜买了100元的股票。

70%赚10%，30%亏5%，那么他期望得到的钱数是：可能盈利部分: ξ1=70%×10%×100元=7元可能亏损部分: ξ2=30%×(−5%)×100元=−0.3元最后期望收益: ξ总=7元+(−0.3)元=6.3元这么看来期望是很好理解的，实际上就是帮助你预算⾃⼰的收益，那么接下来我们捉2只初赛题来看看：第⼀题noip2013提⾼组t22⾸先我们看完题，你可能会觉得有⼀点难以理解。

⾸先我们先要读懂题，下⾯讲为您分点解释：1、青蛙可能傻傻地原地不动题⽬中⼜说：“青蛙再k点可能等概率地跳到1k号荷叶上”。

那么它每次都有1k的概率跳到1k任意⼀点上。

那么会发现它竟然很有可能站在原地不动啊。

那么这个概率的计算就很恶⼼⼈了，⼩学数学并不能告诉我这种奇葩的概率应该怎么计算。

这时需要记住⼀点：它要求的是平均次数。

在平均次数中，青蛙确实有可能原地不动并跳上⽆数次，但是每次它都只有1k的概率跳回k点。

⽽我们不能考虑它原地不动所造成的影响。

但是，因为越往后发展青蛙⼀直不动的概率就越⼩，⼩到可以忽略不记，所以就基本不需考虑了。

那么"平均次数"到底怎么算呢（加和取平均值？∞咋办？？），且听下⾯分解。

2、平均次数的计算：期望值相加既然我们讲到期望，那么这⾥的分析就肯定不⽌是⼀个⽅法啦。

均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即()1k k k E X x p ∞==∑。

设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。

性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。

2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。

数学期望的计算方法探讨X覃光莲(华中农业大学理学院数学与信息科学系, 湖北武汉430070)摘要本文探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法: 利用一些特殊求和与积分公式、利用数学期望定义的不同形式、利用随机变量分布的对称性、全期望公式以及特征函数等,以期对该内容的学习和教学有所启发。

关键词数学期望全期望公式特征函数中图分类号G642 文献标识码 A随机变量的数学期望是反映随机变量取值的集中位置的一个重要数字特征, 随机变量的其它数字特征都是通过数学期望来定义的, 因此数学期望的计算问题显得非常重要。

求随机变量的数学期望从模型本身来讲, 无非是计算EX = Σ∞i = 1x i P( X = x i) 或EX =∫+ ∞- ∞x p ( x ) dx ,但涉及到随机变量分布的各具体场合,其计算又有很多变化和技巧。

下面结合具体场合, 介绍一些简化计算数学期望的不同方法。

一、利用一些特殊的求和与积分公式(一) X 是离散型随机变量时, EX = Σ∞i =1x i P( X = x i)在计算离散型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的无穷级数的求和公式,如Σ∞k = 0x kk != e x 、Σ∞k =0x k =11 - x(| x | < 1) 等,熟悉这些求和公式以及它们的各种变形往往会使计算变得简单。

例设X 服从参数为P 的几何分布,求EX , E X2 解: EX = Σ∞i =1i P( x = i) = Σ∞i = 1i P(1 - p) i - 1 = PΣ∞i =1i (1 - p) i - 1为了求级数Σ∞i = 1i (1 - p) i - 1 ,可作如下考虑:由于Σ∞k = 0x k =11 - x(| x | < 1)利用和函数的可微性对此级数逐项求导,得ddx(Σ∞k =0x k) = Σ∞k = 0ddx( x k) = Σ∞k = 1k x k - 1 ,因此Σ∞k = 1k x k - 1 =ddx( 11 - x) =1从而EX = PΣ∞i = 1i (1 - p) i - 1 = P ·1[1 - (1 - P) ]2 =1P—41 —高等理科教育数学期望的计算方法探讨X 收稿日期2004 —11 —16资助项目华中农业大学启动项目(项目编号: 52204 - 03046)资助1作者简介覃光莲(1969 - ) 女, 新疆玛纳斯人, 副教授, 主要从事概率统计的教学和科研工作1同理可得,Σ∞k =2k ( k - 1) x k - 2 =ddx( 1(1 - x ) 2 ) =2(1 - x ) 3 ,因此有:EX2 = Σ∞i = 1i2 P( X = i) = Σ∞i = 1i2 P(1 - p) i - 1 = P(1 - P) Σ∞i = 2i ( i - 1) (1 - p) i - 2 + PΣ∞i =1i (1 -p) i - 1 = P(1 - P) 3 2P3 + P 3 1P2 =2 - PP2(二) X 是连续型随机变量,X 的分布密度函数为p (x) , EX =∫+ ∞- ∞在计算连续型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的积分,如∫+ ∞- ∞e-x22 dx = 2π、Γ函数Γ( n) =∫- ∞x n - 1 e- x dx = ( n - 1) ! (其中n E 1) 等。

数学期望公式第一篇：基础概念与定义数学期望是概率论中的一个重要概念，它可以用于描述随机变量的平均值，也可以用于评价随机事件的平均结果。

在现代数学、统计学以及应用科学等领域，数学期望被广泛应用。

本文将介绍数学期望的基础概念与定义。

数学期望，又称为期望值或期望数，是指对于一组数据，分别乘以它们出现的概率后再相加得到的结果。

从数学上来说，对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)可以用下面的公式来表示：E(X) = Σ(x*p(x))其中，x为X的可能取值，p(x)为X取值为x的概率，Σ表示对所有可能取值x的求和操作。

同样的，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)可以用下面的积分形式来表示：E(X) = ∫x*f(x)dx其中，f(x)为X的概率密度函数。

在实际应用中，数学期望可以用来解决很多问题。

例如，对于平均身高为175cm的人群，如果我们想知道某一个个体身高与平均身高的差距有多大，我们可以计算出这个人的身高与平均身高的差值，并将其除以人群总数。

这样，得到的结果就是所有个体身高与平均身高之差的平均值，即身高的数学期望。

通过比较这个差值与标准差，我们可以了解这个人的身材是否比较健康和匀称。

另外，数学期望还可以用于描述随机事件的效果。

例如，当我们掷骰子时，我们可以计算出每个点数和其对应的概率，然后将它们相乘再相加，得到的结果就是掷骰子的数学期望。

如果我们掷了十次骰子，我们可以将每次掷骰子得到的点数的平均值与掷骰子的数学期望相比较，了解我们掷骰子的效果如何。

总之，数学期望是衡量随机变量的均值的一种方法，它可以用于处理多种实际问题。

在实际应用中，要根据实际情况选择相应的数学期望公式进行计算和分析。

在下一篇文章中，我们将继续介绍数学期望的一些重要性质和应用。

第二篇：数学期望的性质和应用数学期望作为概率论中的一个重要概念，其具有多种性质和应用。

通过了解这些性质和应用，我们可以更深入地了解数学期望的本质。

数学期望公式数学期望是概率论中一个重要的概念，它用于描述随机变量的平均数。

数学期望的计算方法有很多种，其中最常见的是离散型随机变量的数学期望公式和连续型随机变量的数学期望公式。

本文将详细介绍这两个公式，并简要介绍一些常见的应用。

首先，我们来介绍离散型随机变量的数学期望公式。

离散型随机变量的取值是有限个或可数个，用概率分布函数来描述。

设随机变量X 的取值为x1、x2、...、xn，对应的概率分布函数是P(X=x1)、P(X=x2)、...、P(X=xn)。

则X的数学期望可以通过以下公式计算：E(X)=x1*P(X=x1)+x2*P(X=x2)+...+xn*P(X=xn)其中，E(X)表示随机变量X的数学期望。

接下来，我们来介绍连续型随机变量的数学期望公式。

连续型随机变量的取值是一个区间上的任意实数，在概率密度函数中描述。

设随机变量X的概率密度函数是f(x)，则X的数学期望可以通过以下公式计算：E(X)=∫xf(x)dx其中，∫表示对x的积分。

数学期望公式的意义在于可以帮助我们计算随机变量的平均值，从而更好地理解和解释概率分布的特征。

数学期望是概率论中的一个核心概念，被广泛应用于统计分析、经济学、工程学等领域。

在统计分析中，数学期望可以用来描述一组数据的平均水平。

比如，我们可以计算一个班级学生的平均成绩，从而了解整个班级的学习情况。

在经济学中，数学期望可以用来衡量风险和收益，从而帮助决策者制定合理的投资策略。

在工程学中，数学期望可以用来评估系统的性能和可靠性，从而指导工程设计和优化。

除了离散型和连续型随机变量的数学期望公式，还有一些常见的概率分布的数学期望公式，如正态分布、泊松分布、指数分布等。

这些分布函数都有特定的形式，可以使用数学期望公式来计算其数学期望。

值得注意的是，数学期望并不是随机变量取值的真实平均值，而是其期望值。

这是因为随机变量的取值是根据概率分布进行随机生成的，不同的取值有不同的概率。