随机变量的数学期望课件

xi pij xi pi ,
i1 j1
i 1
E(Y )
y j pij y j p j .
j1 i1
j 1
(2) 若 (X,Y ) 为连续型随机变量,其概率密度为 f (x, y) ,
则有
E(Z ) E[g(X , Y )] g(x, y) f (x, y)dxdy .
特别地,
5
(5 x)
1
dx
25
(25 x)
1
dx
55
(55 x)
1
dx
0
60
5
60
25
60
60
(60 x 5)
1
dx
55
60
11.67 .
思考题:
求随机变量的数学期望与随机变量函 数的数学期望的公式有何联系呢？
谢谢聆听！
随机变量 (X , Y ) 的函数,且 E(Z ) 存在.
(1)若 (X , Y ) 为离散型随机变量,其分布律为
P{X xi , Y y j} pij , i, j 1, 2, ,
则有 E(Z ) E[g( X , Y )]
g(xi , y j ) pij .
i1 j1
特别地,
E(X )
E(Y ) 1 3 2 1 3 3 2 , 8 48
E( X 3Y 2 ) (03 12 ) 1 (03 22 ) 1 (03 32 ) 1 (13 12 ) 1
4
8
4
8.
(13 22 ) 1 (13 32 ) 1 7
8
84
例 4.10 地铁到达某站时间为每个整点的第 5 分, 25 分,55 分钟.设一乘客在早8 点到9 点之间随机到达 该地铁站,求其候车时间（单位：分）的数学期望.

概率论与数理统计
第一节 数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
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2
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
分布为pij , i,j=1,2, …，则
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(xi , y j ) pij
j1 i1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概
率密度为f(x,y)，则
E(Z ) E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy
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24
例4.6 设 ( X , Y ) 的分布律为
概率
1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
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12
解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
X 10 30 50 70 90
pk 3 6
上表中例如
2 11 13 12 6 66 66 66
P{X 70} P(AB) P( A)P(B) 1 3 66
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32
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
f
( x,
y)
Asin( x
y)
0 x
2
0
其它
(1)求系数A, (2)求E( X ), E( XY ).
解：（1）由于
f
( x,
y)dxdy

0
0
xe x e x dx 1 e x 1
0
0

0
概率论
3) 正态分布 N(, 2)
概率论
X ~ f (x)
1
( x )2
e , 2 2 x
2

E( X ) x
1
( x )2

Z是一维随机变量,则
(1) 若( X ,Y )是二维连续型,
概率密度为f ( x, y), 则有:
E(Z ) E[g(X ,Y )] g(x, y) f (x, y)dxdy
(2) 若( X ,Y )是二维离散型,
概率分布为P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1, 2,
一般是比较复杂的 .
概率论
2. 定理: 设Y是随机变量X的函数: Y=g(X) (g是连续函数)
(1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xk)=pk,

(k 1,2,),若 g( xk ) pk绝对收敛，则有
k 1
E( X ) xk pk
k 1
(2) 当X为连续型时,它的密度函数为 f (x), 若
pk (1 p)nk
n!
pk (1 p)nk
k1 k !(n k)!
k1 (k 1)!(n k)!
n
np
(n 1)!
pk1 (1 p)n1(k1)
k1 (k 1)!(n k )!
n1
令l k 1 np
C
l n1
p
l
(1

p)n1l

g( x) f ( x)dx绝对收敛，则有

2 , 0 y 1 f y ( y ) 1 y 2 0, 其它 1 2 2 E (Y ) y dy 0 1 y2
1 , f ( x) 0,

0
法二 依题意X的概率密度为
0 x 其它
E (Y ) sin x
a


甲仪器测量结果

a
乙仪器测量结果
较好
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。
又如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发 炮弹，其落点距目标的位置如图：

中心


中心
乙较好
甲炮射击结果
乙炮射击结果
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 。
如果分别用随机变量X1，X2表示甲、乙品 牌手表日走时误差，则X1，X2的分布律为：
X1 -2 -1 0 1 2 X2 P -2 -1 0 1 2
P 0.03 0.07 0.8 0.07 0.03
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
可以算得两种手表平均日走时误差即数 学期望分别为E(X1)=0， E(X2)=0 问：能否断定两种手表质量一样好？ 衡量办法：求偏离程度的平均值
例5：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分 别为 4e 4 x , x 0, 2e 2 y , y 0, f X ( x) fY ( y ) 其他, 其他. 0, 0,
求 E(XY)。 解： 因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立。
所以，
E[ g ( X , Y )]
i j
有E ( X Y ) ( xi y j ) pij
i j
xi pij y j pij

k 1
10:24
11
2、连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x)
若积分

xf (x)dx

绝对收敛，则称积分 xf (x)dx 的值为
随机变量X的数学期望，记为 ( X )
即

( X ) xf (x)dx
10:24
12
关于定义的几点说明：
则X 所取可能值为: 200
0
其概率分别为:
3
1
4
4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值
等于 200 3 0 1 150(法郎).
4
4
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
10:24
9
二、数学期望的定义
数学期望的分类
数学期望
离散型随机变量的 数学期望
连续型随机变量的 数学期望
10:24
10:24
4
分析：
很容易设想出以下两种分法：
（1）A得200·(1/2) 法郎，B得200·(1/2) 法郎；
（2）A得200·(2/3) 法郎，B得200·(1/3) 法郎。
10:24
5
既然前两种分法都 不合理，那么第（3） 种更合理的办法又该 怎样分呢？
10:24
6
假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:
数学期望在生活中的应用
医学信息工程系
10:24
1
内容提要：
1 数学期望的起源
2 数学期望的定义
3 数学期望的应用
10:24
2
表示随机事件发生可 能性大小的量
表述随机变量取值 的概率规律
随机试验结果的 量的表示

(3) Ef (X) g(X) E[f (X)] E[g(X)]
特别地 E[X Y] E[X] E[Y]
E[aX bY c] aE[X] bE[Y] c
(4) 若X, Y相互独立，则E[XY] E[X] E[Y]
(5) 若a X b,则E[X]存在，且a E[X] b
注：这些性质可以推广到多个随机变量上。
E[X] (1) 125 75 2 15 3 1 17 216 216 216 216 216
由于平均赢利小于0，故这一游戏规则对下注 者是不利的。
离散型随机变量函数的数学期望
已知P( X xk ) pk，当 g( xk ) pk 时，
k
g(X)的数学期望为
E[g(X)] g(xk )P(X xk )
E[ X ] 1 0.910 11（1 - 0.910） 7.513 10
结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数
二、连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在
数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区
间[xi, xi+1)的概率是
阴影面积近似为
9 P(X 9) 10 P(X 10)
由于打出环数的概率不同，所以不 是1到10的算术平均.
1.离散型随机变量的数学期望
设随机变量X的分布律为 P( X xk ) pk ,
若当 xk pk 时，则称 xk pk 为随机
k
k
变量X的数学期望或均值，记作 E[ X ] ，即有
E[ X ] xk pk xk P(X xk )
均匀分布的期望
例7 设X服从均匀分布，其分布密度为
x
b

.
3.若X服从参数为N,M,n的超几何分布,即X~H(N,M,n),则E(X)=


.
过关自诊
1.一名射手每次射击中靶的概率为0.9,则独立射击3次中靶的次数X的数学
2.7
期望是
.
解析 E(X)=3×0.9=2.7.
2.在10件产品中有3件次品,从中不放回地抽5件产品,抽到次品数的数学期
是
3
2
.
C 23 C 01
P(X=0)= C 2
4
B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
=
1
C 13 C 11
,P(X=2)=
2
C 24
=
1
,故
2
X的
4.随机变量ξ的分布列如图所示,则其数学期望E(ξ)=( B )
ξ
1
2
P
a
b
A.1
B.2
C.3
D.不能确定
解析 由题意可知a+b+a=1,即2a+b=1,而
D.E(aX)=44.1
解析 由题意和分布列的性质得0.5+0.1+b=1,且E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,
解得b=0.4,a=7.
∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1,E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52.
故ABD正确.
1.定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…

N
4
kNk
k2
N
4
=k
k2
Nk N
4
kfk
k2
4
定 义 ：设离散型随机变量 的可能的取为ai(i=1,2...)，
其分布列为 P { a i} p i, i 1 ,2 , . 若
aipi
绝对收
i1
敛，则称随机变量 存在数学期望
E = ai pi i 1
思考 ：1、为什么要绝对收敛？
变量，设其可能取值为bj,(j 1,2,...)
则 P(bj)
P(ai)
g(ai )bj
由数学期望的定义有：Eg()EbjP(bj) j1
b j P ( ai ) j1 g (ai )b j
g (ai )Байду номын сангаасP ( ai ) j 1 g ( ai )b j
g(ai)P( ai) i1 16
其 分 布 列 为 ： 1 k 1 1 k
q
k
1 qk
由此可求的每人所需的平均检验次数：
E=a1p1a2p2 1kqk (11k)(1qk)
1qk 1k
每 人 检 验 一 次 ， 所 以 当 1-qk+1k1时 ， 即 q>1kk,
需 要 分 组 ， 若 q已 知 ， 还 可 以 从 E=1-qk+1k
6
例1 谁的技术比较好? 甲,乙两个射,他 手们的射击技术分别为
甲射手
击中环数 概率
8 9 10 0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
7
解 设 甲 ,乙 射 手 击 中 的 环 数 分 别 为 ,.

24.12.2019
24
当X为连续型的随机变量时, 用前面的 办法，假设进行了n次试验, 取值xk的有 nk个, 则从对g(X)进行试验的观点看即取 值为g(xk)的有nk个, 则
E[g(X)]k-g(xk)nnk

g(xk)f
k-
(xk)dx

d x 0 g(x)f(x)dx
解: 产品产值X是一个随机变量, 其分布如下表:
X 6 5.4 5 4 0
P 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04
因此,
E(X)=60.7+5.40.1+50.1+40.06+00.04
=5.48(元)
24.12.2019
14
连续型随机变量
24.12.2019
15
假设连续型的随机变量X的概率
绝对收敛, 则称这级数为X的数学
期望, 简称期望或均值, 记为E(X),
即

E(X) xk pk
k1
24.12.2019
9
例1 若X服从0-1分布, 其概率函数
为P{X=k}=pk(1-p)1-k (k=0,1), 求
E(X)。
解 E(X)=0(1-p)+1p=p
“平均” 的含义
1-p
密度为f(x),
P{xk≤X≤xk+1}近 似P{X=xk}
f(xk)dx
...
...
dx
xk-2 xk-1 xk xk+1 xk+2
24.12.2019
17
在这种情况下我们计算X的数学期
望, 可得

E ( X ) x k f ( x k )d x

1 . (2) E ( X 1) ( x 1) f ( x )dx 20 ( x x )dx 3 1 2 1 1 3 2 x4 1 . ( 3) E ( X ) x f ( x )dx 0 2 x dx 2 0 2
X
例2. 甲、乙两位射手的射击 技术如下：
甲： 环数 8 9 10 乙： 环数 8 9 10
0.4 0.2 0.4 试问哪个射手水平高？
P
P
0.2
0.5
0.3
8 因为甲平均一枪击中的 环数 为： 0.4 9 0.2 10 0.4 9.0(环)， 8 乙平均一枪击中的环数 为： 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环)， 所以乙射击水平比甲高 . 设离散型随机变量 的分布律为： X 1. 数学期望：
X 设X服从0－1分布，其分布律为： P
证明： EX kC p (1 p)
k 1 k n k
n
n k
k
k 1
n
n! p k (1 p) n k k! ( n k )!
np
n
( n 1)! p k 1 (1 p)( n1)( k 1) k 1 ( k 1)![(n 1) ( k 1)]!
EZ E[ g( X , Y )] g( xi , y j ) pij .

特别地，
j 1 i 1
EX xi pij xi pi
j 1 i 1 j 1


EY y j pij y j p j
j 1 i 1 j 1
2. 几个常用的离散型随机变量的数学期望 (1)0-1分布的数学期望
0 1 1 p p 则 EX p. 事实上，EX 0 (1 p) 1 p p. (2) 二项分布B(n, p)的数学期望 设X服从二项分布， 其分布律为： k P{ X k } C n p k (1 p)n k ， k 0，, , n. 则 EX np . 1

Notes
（1）D（X Y） DX DY 2E（[ X EX）(Y EY )].
n
n
(2)当X1, X 2 , X n相互独立时，D( X i ) D( X i )
i 1
i 1
eg6 袋中装有n个结构相同的小球，球面上分别
标有数字1，2，，n，从中任取k次，每次取一个球，
看过数字后放回，若k个数字的和为X，求EX与DX .
k
X Xi i 1
五、几个重要分布的期望与方差 （1）X ~ B(1, p), 则
E( X ) p D(X ) p（1 p）
（2）X ~ B(n, p), 则
E( X ) np D( X ) np(1 p)
（3）X ~ P( ), 则
E( X ) D( X )
（4）R.V .X ~ U(a,b),
Chapter 4
随机变量的数字特征
（numeral character of random var iable）
§4.1 数学期望与方差
一、离散型R.V .的数学期望
1、一维离散型R.V .及其函数的数学期望
Def 1 设R.V .X的分布律为
X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn …
则E( X ) xi pi. （边缘分布）E(Y ) y j p. j
i 1
j1
xi ( pij )（联合分布） y j ( pij )
i 1
j1
j 1
i 1
eg2 已知
X Y -1 0 3
1 0.1 0.2 0.1
2 0 0.2 0.4
求（1）E( X ) (2)E(Y ) (3)E( XY )
EX 9.3 EY 9.1

称
(X1,
X2)
~
N
(1
,
2 1
,
2
,
2 2
,
r
)
（二维正态分布）
第45页
第46页
第47页
7、 Xn×1～N（μn×1,Σn×n）充要条件是 l’X～N（l’μ， l’ Σl）（其中l为n维常向量）
第36页
2、相关系数性质:
（1）| XY | ≤ 1 ; （2）| XY | = 1 充要条件为 X 与 Y 以概
率1线性相关。即存在常数 a、b，a≠0 ，
使 P{Y aX b} 1
第37页
例1、已知随机变量X,Y互相独立，且
X ~ N (2004, 1), Y ~ N (2005, 1),
盼望存在，不然称X数学盼望不存在。若X
数学盼望存在，称积分值 xf (x)为dx X
数学盼望，也记为 EX。
第4页
注1、若
xk pk ,而
xk pk ，仍称X
k 1
k 1
数学盼望不存在。
2、离散型取有限个值，连续型密度函数只在 有限区间上积分，则X盼望一定存在。
3、离散型只取非负值，连续型只在x>0时 f(x)>0，则只需直接计算盼望。
第5页
4.1.2 常见随机变量数学盼望
（1）（0－1）分布
X
0
1
P
1-p
p
E X 0 P ( X 0) 1 P ( X 1) p
第6页
（2）二项分布B(n,p) P( X k) Cnk pk (1 p)nk，k 0,1,, n
第7页
（3）泊松分布P(λ)
P( X k ) k e , k 0,1,2,