高二数学(下)复习讲义(1)2003

高中数学复习讲义一、代数1.1 一元一次方程1.2 一元二次方程1.3 平面直角坐标系1.4 解析几何与向量1.5 指数与对数1.6 三角函数与三角恒等变换1.7 数列与数学归纳法二、几何2.1 平面与立体几何基本概念2.2 直线与角2.3 三角形与三角形的性质2.4 四边形与四边形的性质2.5 圆与圆的性质2.6 空间几何与立体几何三、概率与统计3.1 随机事件与概率的计算3.2 组合与排列3.3 抽样与统计四、数学思想方法4.1 推理与证明4.2 逻辑与谬误4.3 数学建模与解题策略五、应用题本讲义将针对高中数学涵盖的主要内容进行复习总结，旨在帮助大家全面复习数学知识，掌握解题方法和技巧，为高考做好充分准备。

一、代数1.1 一元一次方程一元一次方程是数学中最基础的方程形式之一，解一元一次方程需要掌握方程的基本性质和求解方法。

我们将重点讲解常见的一元一次方程类型，并提供解题思路和方法。

掌握一元一次方程的求解技巧对于解决实际问题具有重要意义。

1.2 一元二次方程一元二次方程在高中数学中起着重要的作用，解一元二次方程需要掌握配方法、因式分解法以及求根公式等知识点。

我们将介绍一元二次方程的基本概念和解法，并通过大量例题帮助大家提高解题能力。

1.3 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面几何和解析几何的基础，了解坐标系的性质和坐标变换的规律对于解决几何问题至关重要。

我们将详细介绍直角坐标系的相关概念和性质，并结合实例进行讲解，帮助大家掌握平面直角坐标系的应用。

1.4 解析几何与向量解析几何是将代数与几何相结合的重要数学分支，研究空间中点、直线、平面等几何对象的解析表达和性质。

向量是解析几何中的重要工具，学习向量的表示方法和运算规律有助于解决几何问题。

我们将讲解解析几何基本概念和向量的数学性质，并通过练习题提高大家的解题能力。

1.5 指数与对数指数和对数是高中数学中重要的数学工具和运算方法，涉及到数学表达式的简化、方程的求解等。

高二数学下册知识点总结高二数学下册是一个重要的学习阶段，本文将对这一学期的数学知识进行全面总结。

主要内容包括函数与导数、三角函数与解三角形、数列与数学归纳法、概率与统计等。

一、函数与导数函数与导数作为高中数学中的重要内容之一，涉及到函数的性质和变化规律的研究。

具体而言，下册涵盖了以下几个知识点：1.1 函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，将自变量和因变量联系起来。

函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性以及函数图像的绘制等都是需要掌握的概念。

1.2 导数与函数的变化率导数的概念是数学中的重要基础，它描述了函数在某一点处的变化率。

在本学期中，我们学习了导数的定义、导数与函数的关系、导数的运算法则等内容。

1.3 函数的极值与最值极值与最值是函数变化过程中的重要特征，包括函数的最大值、最小值以及极大值、极小值的求解方法等。

1.4 函数与导数的应用函数与导数的应用十分广泛，例如切线与法线的问题、函数的凹凸性与拐点等，这些内容是数学在实际问题中的应用。

二、三角函数与解三角形三角函数是三角学中的重要概念，涵盖了正弦函数、余弦函数、正切函数等。

下册的内容主要包括：2.1 三角函数的定义与性质三角函数是以单位圆上的点表示的，正弦函数、余弦函数、正切函数的周期、奇偶性等都是需要掌握的概念。

2.2 三角函数的图像和性质通过对三角函数图像的分析，我们能够更好地理解函数的性质，并能够解决一些与三角函数相关的方程与不等式。

2.3 解三角形解三角形需要掌握三角函数的应用，如正弦定理、余弦定理、正切定理等。

同时，还需要能够灵活运用这些知识解决实际问题。

三、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是一种重要的数学工具，用于研究数列的性质和数学命题的证明。

下册的内容包括：3.1 等差数列与等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列形式，需要掌握其通项公式、前n项和公式等相关知识。

3.2 数学归纳法与数列证明数学归纳法是一种常见的证明方法，在数列的证明中有着重要应用。

高二数学下第九章复习讲义第1讲平面的根本性质一、典型例题例1、用符号语言写出以下图形应满足的条件图〔1〕图〔2〕分析；根据图形,准确地想象点、线、面这些根本元素的关系,然后用集合的符号语言表示出来.书写的规律一般是：先平面再直线,最后为点.在〔1〕中：平面α∩平面β= ,a∩α=A,b∩α=B在〔2〕中：α∩β= ,a⊂α,b⊂β,a∩ =P, b∩ =P,c∥ .例2、作出满足以下条件的图形：图〔1〕图〔2〕（1）α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∩AB=M；（2）正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为正方形ABCD中央,A1C∩平面C1BD=M,求作点M.分析：〔1〕作图的顺序与读图的顺序相同,先平面再直线再到点.如图〔1〕〔2〕设法把点M放到某两个平面的交线上,∵M∈A1C,A1C⊂平面AA1C1C〔由AA1∥C1C,A1A,CC1是可以确定一个平面的〕,∴M ∈平面AA1C1C.又M∈平面C1BD,∴M为平面AA1C1C与平面C1BD的公共点.观察图象可知,C1、O也为上述两个平面的公共点,即平面AA1C1C∩平面C1BD=C1O.∵M∈C1O,又M∈A1C,∴C1O∩A1C=M,即平面AA1C1C1内,两直线C1O与A1C的公共点就是所求作的点M.评注：题〔2〕首先表达了转化的思想,将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点,确定了交点的位置.其次,将直线A1C放在平面AA1C1C内思考,这是处理直线典型的一种思考方法.借助于平面AA1C1C,点M的位置就越来越具体了.这种类似于平面几何辅助直线的平面,称之为辅助平面.在研究空间图形时,经常要作这样的辅助平面.进一步研究M点性质,还可发现M为A1C的三等分点,M是△C1BD的重心〔中央〕.例3、求证：两两相交且不过同一点的四条直线共面.分析：以文字语言出现的几何证实题,首先要“译〞为符号语言写成、求证的形式,并辅之以正确的图形,然后再进行证实.：四条直线a,b,c,d两两相交,不过同一点.求证：a,b,c,d共面.在正确分析四条直线位置关系时,可利用逐步添加的方法.当在两条直线上添加第三条直线时,可以发现存在以下两种位置关系；三线共点和三线不共点.因此此题需分两种情况证实：（1）当存在三线共点时,如右图：设a,b,c共点于Q,d∩a=M,d∩b=N,d∩c=Q∵ a∩b=P∴ a,b可确定平面α∵ M∈a,N∈b∴ M∈α,N∈α∵ M∈d,N∈d∴ d ⊂α ∴ Q ∈α 又P ∈c,Q ∈c ∴ c ⊂α∴ a,b,c,d 共面于α. （2） 任何三条直线都不共点时 ∵ a,b,c,d 两两不相交且不过同一点∴ a,b,c,d 可确定平面α 设d ∩a=N,d ∩b=M 那么M ∈α,N ∈α 又N ∈d,M ∈d ∴ d ⊂α∴ a,b,c,d 共面于α.评注：在证实几何问题,一忌用直观代替严谨的逻辑证实,如直接看图得出结论.由于直观图仅仅是直观,是对空间真实位置关系的某种“歪曲〞反映,看到的不一定就是实际真实位置；二忌跳步,在结论之前缺乏有序有步骤有层次的推导.三忌程序混乱,不知道应该先说什么,再说什么.当然,还有符号、语言的准确性等等. 二、同步练习（一） 选择题1、 空间四点中“三点共线〞是“四点共面〞的 A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充分且必要 D 、既不充分也不必要2、下面列举了四个关于空间中直线共面的条件：〔1〕三条直线两两相交；〔2〕三条直线两两平行；〔3〕三条直线共点；〔4〕三条直线有两条平行.其中不正确的个数是A 、 1个B 、2个C 、3个D 、4个 3、 直线a,b,c 交于一点,经过这三条直线的平面A 、1个B 、3个C 、无数个D 、可以为0个,可以为1个 4、 三个平面最多可以把空间分成A 、 4个局部B 、6个局部C 、7个局部D 、8个局部5、α∩β= ,M ∈α,N ∈α,P ∈β,P ∉ ,MN ∩ =R,记过M 、N 、P 三点的平面γ,那么β∩γ等于A 、直线MPB 、直线PRC 、直线NPD 、直线MR6、空间四点A 、B 、C 、D 共面但不共线,那么下面结论成立的是 A 、四点中必有三点共线 B 、四点中必有三点不共线C 、AB 、BC 、CD 、DA 四条直线中总有两条平行 D 、AB 与CD 必相交7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4,过点A 、B 1、D 1三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1相交于直线 ,那么点A 到直线 的距离为 A 、62 B 、33 C 、34 D 、64 〔二〕填空题8、不共面的四点可以确定________个平面.9、一条直线过平面内一点与平面外一点,它和这个平面有________个公共点. 10、如图,平面ABC 和平面DEF 的交点有________个.11、P 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱B 1C 1上的点〔异于B 1、C 1〕,那么直线A 1P 必与棱______所在直线相交. 12、如图为水平放置的△ABC 的直观图,由图判定原三角形中AB 、BO 、BD 、OD 由小到大的顺序__________. 13、空间三个平面的交线条数为k,那么k 的可能值是__________.14、α∩β=BC,A ∈α,D ∈β,E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、DB 上的点,假设EF ∩GH=P,那么点P 必在直线________上.15、空间三条直线a,b,c 互相平行,但不共面,它们能确定______个平面；这些平面把空间分成______个局部. 〔三〕解做题16、空间四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 和CB 的中点,G 、H 分别是CD 和AD 上的点,且31DA DH DC DG ==,求证：EF 、FG 、BD 三条直线交于一点.17、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a,M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点,过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线 .〔1〕画出直线 ；〔2〕设 ∩A 1B 1=P,求线段PB 1的长.18、画出满足条件的图形：α∩β= ,AB ⊂α,CD ⊂β,AB ∥ ,CD ∥ .19、如图,△ABC 在平面α外,AB ∩α=P,BC ∩α=Q,AC ∩α=R,求证：P 、Q 、R 三点共线.20、直线a ∥b ∥c, ∩a=A, ∩a=A, ∩b=B, ∩c=C,求证：a,b,c, 四线共面. 该命题可作怎样的推广？第2讲空间的平行直线和异面直线一、典型例题例1、如图,a,b,c 不共面,它们相交于点P,A ∈a,D ∈a,B ∈b,C ∈c,求证BD 和AC 是异面直线. 分析：法一：直接利用判定定理 ∵ AC ⊂平面PAC,D ∈平面PAC,D ∉AC,B ∉平面PAC∴ AC 与BD 是异面直线 法二：用反证法 假设AC 与BD 共面于β∵ A 、D 、C 三点不共线 ① ∴ β与平面ACD 重合 ∴ a ⊂β ∴ P ∈β∵ P 、B 、C 三点不共线∴ β与平面PBC 重合 ② 由①②知平面PAC 与平面PBC 重合 ∴ a,b,c 共面,与矛盾 ∴ AC 与BD 异面说明：在法一中,选平面PAC 为根本面,也可以选平面PBD 为根本面,总之,要习惯把直线放在平面内.例2、空间四边形PABC,连对角线AC 、PB,D 、E 分别是△PAB 和△PBC 的重心,求证：DE 31//==AC. 分析：养成用轨迹的思想看待图形的习惯,即把点放在线上,把线放在面内.如把点D 放在AB 边的中线AM 上,再把PM 、DE 放在平面PEM 内,延长PE 交BC 于N,连MN,那么N 为BC 中点,平面PEM 即为平面PMN.△ PMN 中 ∵32PN PE PM PD == ∴ DE 32//==MN △ ABC 中 ∵ MN 21//==AC ∴ DE 31//==AC 例3、空间四边形DABC 中,P 、Q 为边CD 上两个不同的点,M 、N 为AB 上两个不同的点,连PM 、QN,如图,问图中共有多少对异面直线？分析：为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象,可采用逐步添加的方法.首先考虑空间四边形DABC 的四条边DA 、AB 、BC 、CD 连同对角线AC 、BD,这六条线段可形成三对异面直线DA 与BC,AB 与CD,AC 与BD.其次添加线段PM,那么除去与PM 相交的CD 、AB,又可新形成4对异面直线,即PM 与DA 、BC 、AC 、BD.因QN 与PM 位置等同,当添上QN 时,也同样新增4对异面直线. 最后注意到,PM 与QN 也是异面直线. ∴ 图中共有3+4+4+1=12〔对〕异面直线评注：对于复杂图形,通常用分解等手段转化为根本图形.同时学会从运动的角度观察图形,如此题的逐步添加法. 例4、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=a,BC=b,AA 1=c,求异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值.分析：显然,通过平移在长方体的外表及内部不可能构造出一个BD 1和B 1C 所成的角,但同时又为了使构造出的角便于计算,故可考虑补上一个与长方体相同的长方体DCEF —D 1C 1E 1F 1.具体作法是：延长A 1D 1,使A 1D 1=D 1F 1,延长B 1C 1至E 1,使B 1C 1=C 1E 1,连E 1F 1,分别过E 1、F 1,作E 1E //==C 1C,F 1F //==D 1D,连EF,那么长方体C 1D 1F 1E —CDFE 为所作长方体.∵ BC //==D 1F 1 ∴ BD 1//==CF 1∴ ∠B 1CF 1就是异面直线BD 1与B 1C 所成的角. ∵ BD 2=a 2+b 2∴ Rt △BDD 1中,BD 12=BD 2+DD 12=a 2+b 2+c 2∴ CF 12=BD 12=a 2+b 2+c 2 ∵ B 1C 2=b 2+c 2,B 1F 12=a 2+4b 2∴ △B 1CF 1中cos ∠B 1CF 1=2222222112112121cb c b a b c CB CF 2F BC B CF +⋅++-=⋅-+（1） 当c>b 时, cos ∠B 1CF 1>0∴ ∠B 1CF 1为锐角,∠B 1CF 1就是异面直线BD 1和B 1C 所成的角 （2） 当c<b 时,cos ∠B 1CF 1<0 ∴ ∠B 1CF 1是钝角∴ π-∠B 1CF 1就是异面直线BD 1和B 1C 所成的角 （3） 当c=b 时,∠B 1CF 1=900∴ BD 1⊥B 1C法二：作异面直线所成角的过程,其实就是平移异面直线的过程.借助于三角形中位线的平行性,也可以到达平移的目的. 如图,分别取BC 、BB 1、B 1D 1的中点P 、M 、Q,连PM 、MQ 、PQ 那么 MP ∥B 1C,MQ ∥BD 1∴ ∠PMQ 〔或其补角〕就是异面直线BD 1与B 1C 所成的角 △ PMQ 中,MP=21B 1C=22c b 21+ △ MQ 21=BD 1=222c b a 21++,PQ=4a c 22+利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果注：此题解法一称为补形法,在此题上,还可以在原长方体的上方或下方补一个相同的长方体,同学们可以亲自试一试.解法二称为中位线法.在求异面直线所成角的四步骤中,第一步其实就是平移异面直线,使它们相交,第三步计算的过程主要是解三角形的问题.在写结论时应注意解法一的结论. 二、同步练习（一） 选择题1、异面直线a 与b 满足a ⊂α,b ⊂βα⊂β,α∩β= ,那么直线 与a 、b 的位置关系是 A 、 与a 、b 都相交 B 、 至少与a 、b 中的一条相交 C 、 至多与a 、b 中的一条相交 D 、 至少a 、b 中的一条平行2、平面α与β相交,a ⊂α,b ⊂β,那么在“①a 、b 必为异面直线,②a 、b 必互相平行,③a 、b 必为相交直线〞这三个命题中,不正确的个数是A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 3、 异面直线指的是A 、 没有公共点的两条直线B 、 分别位于两个不同平面内的两条直线C 、 某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D 、 不同在任何一个平面内的两条直线 4、分别和两条异面直线都相交的两直线一定是A 、不平行的直线B 、不相交的直线C 、相交直线或平行直线D 、既不相交也不平行 5、给出四个命题① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ② 四边相等的四边形是菱形③ 四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 ④ 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 其中正确命题的个数是A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 6、正方体ABCD —E ’F ’G ’H ’中,面对角线FG ’与EG 所成的角等于 A 、450B 、600C 、900D 、12007、OA ∥O ’A ’,OB ∥O ’B ’是∠AOB=∠A ’O ’B ’的A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分又不必要条件8、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的外表对角线中,与AD 1成600角的有 A 、4条 B 、6条 C 、8条 D 、10条9、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,设AB 中点为M,DD 1的中点为N,那么异面直线B 1M 与CN 所成角的 A 、300B 、450C 、600D 、90010、给出三个命题① 假设两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线互相平行 ② 假设两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行 ③ 假设两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行 其中不正确的个数是A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 〔二〕填空题11、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中〔1〕假设E 、F 分别是棱A 1B 1、BB 1的中点,那么AE 和CF 所成角的余弦值是________. 〔2〕假设G 为CD 中点,那么异面直线B 1C 与AG 所成的角的正弦值是________. 〔3〕假设F 、G 分别是棱BB 1、DC 的中点,那么AF 与D 1G 所成的角是________.12、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,BB 1=BC=1,AB=3,那么 〔1〕AD 1与BC 所成角是__________. 〔2〕CD 1与AB 所成角是__________.（4） CD 1与A 1D 所成角的正弦值是__________.13、空间四边形ABCD 中,假设AB=CD=2,E 、F 分别是AC 、BD 的中点,EF=3,那么AB 与CD所成的角是________.14、空间四边形ABCD 中,E 、H 分别是AB 、AD 的中点,F 、G 分别是CB 、CD 上的点,且32CD CG CB CF ==,假设BD=6,梯形EFGH 的面积是28,那么平行线EH 、FG 间的距离是______. 15、a 、b 是异面直线,b 、c 是异面直线,那么直线a 、c 的位置关系是________. 〔三〕解做题16、设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,设AC+BD=a,AC ·BD=b,求EG 2+FH 2的值.17、M 、N 分别是空间四边形ABCD 中AB 、CD 中点,求证：MN<21〔AD+BC 〕.18、S 是正三角形ABC 所在平面外一点,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=900,M 、N 分别是AB 和SC 中点,求异面直线SM 与BN 所成的角.19、长方体ABCD —A ’B ’C ’D ’中,AB=2,BC=BB ’=1,M 、N 分别是AD 和BC 中点,求异面直线MN 和BC ’所成角的大小.20、正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,假设E 、M 、N 分别是棱AB 、BC 及B 1D 1的中点,求异面直线DN 与MC 1所成的角.第3讲直线和平面平行与平面和平面平行一、典型例题例1、 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,Q 是PA 中点,求证：PC ∥平面BDQ.分析：为了在平面BDQ 内找到一条与PC 平行的直线,只要设法过PC 作一个与平面BDQ 相交的平面β,那么β与平面BDQ 的交线即为所求直线.∵ PA ∩PC=P∴ PA 、PC 可确定平面PAC 连AC,设AC ∩BD=O 那么 O ∈AC,O ∈BD∴ O ∈平面PAC,O ∈平面QBD 又 Q ∈PA∴ Q ∈平面PAC,Q ∈平面QBD ∴ 平面PAC ∩平面BQD=OQ这就找到了过PC 的辅助平面PAC 与平面BDQ 的交线OQ,下证OQ ∥PC 即可. ∵ O 为平行四边形ABCD 对角线的交点 ∴ O 为BD 中点 又Q 为PA 中点 ∴ OQ ∥PC 又OQ ⊂平面BQD ∴ PC ∥平面BQD注：1、此题通过两条相交直线PA 、PC 构造出了辅助平面PAC ； 1、 在证实PC ∥OQ 时,利用中位线定理；2、 此题还可以通过构造辅助平面,利用面面平行的性质证实. 延长AB 至E,使AB=BE,连PE 、CE ∵ B 为AE 中点 ∴ BQ ∥PE∵ BE //==CD∴ BD ∥EC 又BQ ∩BD=B∴ 平面BDQ ∥平面PCE ∴ PC ∥平面BDQ3、 在3中,假设再延长EC 与AD,设它们的交点为F,那么一定有平面BDQ ∥平面PEF.4、 由上面两种证法可知,构造辅助平面在立体几何证实中的重要性.例2、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB,M ∈AC,N ∈FB,且AM=FM,求证：MN ∥平面BCE.分析：由例1的分析可知,解题的关键是如线在直线MN 的根底上构造辅助平面. 法一：利用线面平行的判断定理根据构造平面的位置差异,又有以下几种途径： 途径一：辅助平面由AC 与MN 确定延长AN 交BE 延长于G,连CG,CG 为辅助平面CAN 与平面BCE 的交线,下证CG ∥MN. ∵ AF ∥BE ∴NGANNB FN =∵ FN=AM,FB=AC ∴ NB=MC ∴MCAMNB FN =∴NGANMC AM =该等式中的线段均在同一平面内 ∴ MN ∥CG途径二：辅助平面与MN 由BF 确定,延长BM 交AD 于H,连FH,下证FH ∥MN.类似于途径一.略途径三：分别过M 、N 作MM 1⊥BC,NN 1⊥BE,M 1、N 1为垂足.辅助平面由MM 1与NN 1构造,M 1N 1为辅助平面MM 1N 1N 与平面BCE 的交线,下证MN ∥M 1N 1.∵ MM 1∥AB ∴AB MM CA CM 1=① ∵ NN 1∥EF ∴EFNN BF BN 1=② ∵ AC=BF,AM=FN ∴ CM=BN 又AB=EF∴ 由①②得MM 1=NN 1 ∴ MM 1N 1N 为平行四边形 ∴ MN ∥M 1N 1 ∴ MN ∥平面BCE法二；利用面面平行的性质此时,同样要在MN 根底上构造与平面BCE 平行的辅助平面 过M 、N 分别作AB 的垂线,设垂足分别为M 2、N 2 ∵ MM 2∥CB ∴AC AMAB AM 2=∵ NN 2∥AF ∴FBFNAB AN 2=∵ AM=FN,AC=FB ∴ AM 2=AN 2 ∴ M 2与N 2重合 ∴ 平面MM 2N ∥平面BCE ∴ MN ∥平面BCE注：平面几何知识是学好立体几何的根底之一,在运用平面几何知识时,应在相关元素在同一平面的前提下进行,否那么可能发生错误.如此题运用的平行线分线段成比例定理.例3、P 是△ABC 所在平面外一点,A ’,B ’,C ’分别是△PBC,△PCA,△PAB 的重心,（1） 求证：平面A ’B ’C ’∥平面ABC ； （2） 求S △A ’B ’C ’ ：S △ABC .分析：根据判定定理,欲证面面平行,应先证线面平行,而线线平行又是线面平行的根底,就此题而言,应沉着易把握的线线平行着手.连PC ’,PA ’,PB ’分别交AB,BC,CA 于D,E,F 那么D,E,F 分别为AB,BC,CA 中点,且A ’,B ’,C ’分别为PE,PF,PD 的三等分点. ∵32PE 'PA PD 'PC == ∴ A ’C ’∥DE∵32PF 'PB PE 'PA == ∴ A ’B ’∥EF∴ 平面A ’B ’C ’D ’∥平面ABC注：此题直接利用面面平行判定定理的推论,不必再将线线平面转化为线面平行. 〔2〕∵32PD 'PC DE 'C 'A == ∴ A ’C ’=32DE 又DE=21AC ∴ A ’C ’=31AC,即31AC 'C 'A =同理：31AB 'B 'A =,31BC 'C 'B = ∴ △A ’B ’C ’∽△ABC∴ 91AC 'C 'A S S 2ABC 'C 'B 'A =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆注：当两个三角形相似时,平移它们的位置到空间时,因三角形形状未变,仍然是相似的.此题在空间中运用了平面几何中的三角形相似定理,是正确的. 二、同步练习 〔一〕选择题1、 a ∥α,那么a 平行于α内的A 、一条确定的直线B 、任意一条直线C 、所有直线D 、无穷多条平行直线2、a,b 是异面直线,以下结论正确的选项是A 、过不在a,b 上的任一点,可作一个平面与a,b 平行B 、过不在a,b 上的任一点,可作一条直线与a,b 相交C 、过不在a,b 上的任一点,可作一条直线与a,b 都平行D 、过a 可以并且只可以作一平面与b 平行3、设α∩β= ,a ∥α,a ∥β,那么a 与 的位置关系是A 、异面B 、平行C 、相交D 、异面或相交 4、a 是平面α外一条直线,以下条件可得出a ∥α的是A 、a 与α内的一条直线不相交B 、a 与α内的两条直线不相交C 、a 与α内的无数条直线不相交D 、a 与α内的所有直线不相交 5、a 是平面α外的一条直线,过a 作平面β,使β∥α,以下结论正确的选项是 A 、这样的β只可以作一个 B 、这样的β至少可作一个 C 、这样的β不存在 D 、这样的β至多有一个 6、α∥β,a ⊂α,B ∈β,那么在β内过点B 的直线中A 、不存在与a 平行的直线B 、不一定存在与a 平行的直线C 、有且只有一条与a 平行的直线D 、有无穷多条与a 平行的直线 〔二〕填空题7、A ∉α,过点A 可作______条直线与α平行.8、ABCD 是梯形,AB ∥CD,AB=a,CD=b,AC 与BD 交于O,过O 作平面α与AB 平行,AD ∩α=M,BC ∩α=N,那么MN=__________.9、a ∥α,A 是α另一侧的点,B,C,D ∈a,线段AB,AC,AD 交α于E,F,G,假设BD=4,CF=4,AF=5,那么EG=__________.10、△ABC 中,AB=5,AC=7,A=600,G 是重心,过G 的平面α与BC 平行,AB ∩α=M,AC ∩α=N,那么MN=__________. 11、设α∥β,A 、C ∈α,B 、D ∈β,直线AC 与CD 交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34. 〔1〕当S 在α,β之间时,CS=__________. 〔2〕当S 不在α,β之间时,CS=___________.12、α∥β,△ABC 在平面β内,P 是α,β间一点,线段PA,PB,PC 分别交α于A ’,B ’,C ’,假设BC=12,AC=5,AB=13,且PA ’∶PA=2∶3,那么△A ’B ’C ’的面积为________.13、假设a ∥b,a ∥α,那么b 与α的位置关系是________. 14、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中（1） BD 与平面AD 1C 的位置关系是__________； （2） BD 与平面CB 1D 1的位置关系是__________； （3） 平面CB 1D 1与平面A 1BD 的位置关系是__________. （三） 解做题15、 a ∥b,a ∥α,b ⊄α,求证b ∥α. 16、 α∩β= ,a ∥α,a ∥β,求证：a ∥ .17、 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 分别为B 1C 1,A 1D 1,A 1B 1的中点, 求证：平面EBD ∥平面FGA18、两条异面直线a,b 分别与三个平行平面α,β,γ相交于点A,B,C 和P,Q,R,又AR,CP 与平面β相交于点M,N,求证：MBNQ 为平行四边形.FDCFEB AE =,19、α∥β,C ∈α,B 、D ∈β,点E 、F 分别在线段AB 、CD 上,且求证：EF ∥β.第4讲直线和平面平行的判定和性质一、典型例题例1、MN⊥a,MN⊥b,a、b为异面直线,a∥α,b∥α,求证：MN⊥α.分析：只要将a、b平移到α内去即可.设MN∩α=0,设a与O确定的平面交α于a’,那么由线面平行的性质定理a∥a’设b与O确定的平面交α于b’,那么b∥b’∵ MN⊥a,a’∥a∴ MN⊥a’同理：MN⊥b’∵ a’∩b’=0,a’⊂α,b’⊂α∴ MN⊥α例2、〔1〕P是△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,H是△ABC的垂心,求证：PH⊥平面ABC.〔2〕P是△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC,H为垂足,求证：H为垂心.分析：从线线垂直与线面垂直的相互转化入手〔1〕∵ PA⊥PB,PA⊥PC∴ PA⊥平面PBC∴ PA⊥BC∵ H为△ABC垂心∴ BC⊥AH∵ PA∩AH=A∴ BC⊥平面PAH∴ BC⊥PH同理：AB⊥PH∵ AB∩BC=B∴ PH⊥平面ABC〔2〕由〔1〕得：PA⊥BC∵ PH⊥平面ABC∴ AH为PA在平面ABC上的射影∵ BC⊂平面ABC,BC⊥PA∴ BC⊥AH同理：AB⊥CH∴ H为△ABC垂心注：此题中的两个小问题可以看成是一对逆命题.在过同一顶点的三条棱PA、PB、PC两两都垂直的条件下,P在平面ABC 上的射影与△ABC的垂心为同一点.例3、a⊄α,a⊥b,b⊥α,求证：a∥α.分析：设法构造经过直线a的辅助平面β,使得β与α相交,那么只要证实a平行于交线即可.∵ b⊥α∴ b垂直于α内任一条直线又 a⊥b由此联想到平面几何中的定理“垂直于同一条直线的两条直线平行〞,从把a、b转移到同一平面内着手.任取点A∈a,过A作b’∥b,设b’∩α=B,那么b’⊥α〔请同学们思考如何证实〕设由a,b’确定的平面β交α于c,那么b’⊥c∵ a ⊥b,b ’∥b ∴ b ’⊥a∵ a,b ’,c 均在平面β内 ∴ a ∥c ∴ a ∥α例4、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中（1） 求证：A 1C ⊥BD,A 1C ⊥C 1D,A 1C ⊥B 1A ； （2） 求证：A 1C ⊥平面BDC 1；（3） 设O 是正方形BCC 1B 1的中央,求证：BC 1⊥DO.分析：〔1〕此题中的三组线线垂直都是异面垂直,假设用定义证实,那么繁顼.考虑用三垂线定理及逆定理.在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,由每一个面都是正方形,利用线面垂直的判定定理,易证：AA 1、BB 1、CC 1、D 1D 都与平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1垂直；AB 、DC 、A 1B 1、D 1C 1都与平面BB 1C 1C 、平面AA 1D 1D 垂直；A 1D 1、AD 、B 1C 1、BC 都与平面AA 1B 1B 、平面CC 1D 1D 垂直.这些垂直关系应熟记,可直接作为结论使用.∵ A 1A ⊥平面ABCD∴ AC 为A 1C 在平面ABCD 上的射影 ∵ BD ⊥AC,BD ⊂平面ABCD ∴ BD ⊥A 1C在这里选取根本平面为ABCD同理,选取平面CC 1D 1D 为根本平面,证A 1C ⊥C 1D 选取AA 1B 1B 为根本平面,证A 1C ⊥B 1A 〔2〕由〔1〕,A 1C ⊥BD,A 1C ⊥C 1D∵ BD ∩C 1D=D ∴ A 1C ⊥平面BDC 1 〔3〕∵ DC ⊥平面BB 1C 1C∴ OC 为DO 在平面BB 1C 1C 上的射影 ∵ BC 1⊂平面BB 1C 1C,BC 1⊥OC ∴ BC 1⊥DO注：在垂直关系的证实中,应有意识地培养线线垂直与线面垂直转化的思想.三垂线定理及逆定理是证实异面直线垂直的重要方法.例5、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为AA 1中点,P 为正方形A 1B 1C 1D 1的中央 （1） 求证：MP ⊥B 1C ；（2） 线段A 1B 1上的点N 满足A 1N=31NB 1,求证：MN ⊥MC. 分析：〔1〕法一：直接利用三垂线定理,选平面BB 1C 1C 为根本面.找MP 在平面BB 1C 1C 上的射影. 作MM 1∥A 1B 1交BB 1于点M 1 作PP 1∥A 1B 1交B 1C 1于点P 1那么MM 1⊥平面BB 1C 1C,PP 1⊥平面BB 1C 1C ∴ M 1P 1为MP 在平面BB 1C 1C 上的射影 ∵ M 为AA 1中点,P 为A 1C 1中点 ∴ M 1、P 1分别为BB 1、B 1C 1的中点 ∴ M 1P 1∥BC 1 又 BC 1⊥B 1C ∴ M 1P 1⊥B 1C由三垂线定理：MP ⊥B 1C法二：把MP 平移,转化利用三垂线定理矩形AA 1C 1C 中,M 、P 分别为AA 1、A 1C 1的中点 ∴ MP ∥AC 1 由上题知AC 1⊥B 1C ∴ MP ⊥B 1C〔2〕选平面AA 1B 1B 为根本面∵ CB ⊥平面AA 1B 1B∴ BM 为CM 在平面AA 1B 1B 上的射影 下面只要证实BM ⊥MN 即可 ∵ BM 与MN 在同一平面内 ∴ 利用勾股定理设正方体棱长为a,那么BM 2=AB 2+AM 2=a 2+22a 452a =⎪⎭⎫⎝⎛MN 2=MA 12+A 1N 2=222a 1654a 2a =⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ BN 2=BB 12+B 1N 2=222a 16254a 3a =⎪⎭⎫⎝⎛+ ∵ BM 2+MN 2=BN 2∴ BM ⊥MN ∴ MC ⊥MN注：利用勾股定理证实线线垂直,表达了数量关系与位置关系的联系. 二、同步练习 （一） 选择题1、 空间四边形ABCFD 的四边相等,那么它的对角线AC 与BD 的关系是 A 、 垂直相交 B 、相交但不一定垂直 C 、垂直但不相交 D 、不垂直不相交2、 矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,PA ⊥平面ABCD,PA=1,那么P 到对角线BD 的距离为 A 、229 B 、513 C 、517 D 、119513、 △ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,那么P 到BC 的距离是 A 、5 B 、52 C 、53 D 、544、P 是△ABC 所在平面α外一点,P 到△ABC 三边的距离相等,PO ⊥α,O 为垂足,O 在△ABC 内部,那么O 是△ABC 的A 、 外心B 、内心C 、垂心D 、重心5、P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,假设P 到ABCD 四边距离相等,那么ABCD 一定是A 、菱形B 、矩形C 、正方形D 、以上都不是 6、异面直线在同一平面上的射影不可能是A 、两平行直线B 、同一直线C 、两相交直线D 、一点与一直线7从平面外一点P 引与α相交的直线,使点P 与交点的距离等于1,那么满足条件 直线条数一定不可能是 A 、0条 B 、1条 C 、2条 D 、无数条8、PH ⊥α,H 为垂足,HE ⊂α,EF ⊂α,HE ⊥EF,连PE 、PF 、HF,那么图中直角三角形的个数是 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、PE 垂直于⊙O 所在平面,EF 是⊙O 的直径,点G 为圆周上异于E 、F 的任一点,那么以下结论不正确的选项是 A 、FG ⊥平面PEG B 、PG ⊥FG C 、EG ⊥PF D 、PE ⊥GF10、如果∠APB=∠BPC=∠CPA=600,PA=a,PA 在平面∠BPC 上的射影为PO,那么cos ∠APO 等于A 、21B 、2626C 、36D 、33〔二〕填空题11、PO ⊥平面AOB,∠AOB=900,AB=a,∠PAO=∠PBO=α, C 是AB 中点,那么PC=__________.12、假设a ∥b,a ⊥α,那么b______α；假设a ⊥b,a ⊥α,那么b______α.13、空间四边形ABCD 中,AB=AD,BC=CD,假设BD=5,AC=4,M 、N 、P 、Q 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,那么MNPQ 的面积是__________.14、△ABC 中,∠ACB=900,P 是平面ABC 外一点,PA=PB=PC,假设AC=12,P 到平面ABC 的距离为8,那么P 到BC 的距离等于__________.15、正三角形ABC 的边长为a,AD ⊥BC,D 为垂足,沿AD 将△ABC 折起,使∠BDC=900,那么B 到AB 的距离为__________. 〔三〕解做题16、四面体ABCD 中,AB ⊥CD,AC ⊥BD,求证：AD ⊥BC.17、Rt △ABC 中,∠ACB=900,AC=3,BC=4,PC ⊥平面ABC,PC=59,求点P 到直线AB 的距离.18、假设直角ABC 的一边BC 平行于平面α,另一边AB 与平面α斜交,求证：∠ABC 在平面α上的射影仍是直角.19、空间四边形PABC 中,PA ⊥平面ABC,假设∠BAC ≠900,求证：A 在平面PBC 上的射影A ’不可能是△PBC 的垂心.20、A 是△ABC 所在平面外一点,∠ABD=∠ACD=900,AB=AC,E 是BC 中点,求证：〔1〕AD ⊥BC ；〔2〕△AED 是钝角三角形.第5讲空间向量及其运算一、典型例题例1、 空间四边形ABCD 中,E 为AD 中点,F 为B 台点,求证：21EF =→--〔→--AB +→--DC 〕. 解题思路分析：法一：利用多边形法那么,找出→--EF 与有关向量的等量关系,再对相关向量进行变换,到达题目要求. 例如：→--EF =→--ED +→--DC +→--CF ,→--EF =→--EA +→--AB +→--BF ∴ 2→--EF =→--ED +→--EA +→--CF +→--BF +→--DC +→--AB ∵ E,F 分别为AD,BC 中点∴→--ED 与→--EA 为相反向量,→--ED +→--EA =→-0同理,→--CF +→--BF =→-0 ∴ 2→--EF =→--DC +→--AB ,21EF =→--〔→--AB +→--DC 〕 法二：构造根本三角形,利用加法定理例如：取AC 中点G,那么EG //==21DC,21EG =→--→--DC ,FG //==AB,21EG =→--→--AB∴→--EF =→--EG +→--GF =21→--DC +21→--AB =21〔→--AB +→--DC 〕 法三：选择适当基底,把问题中的向量转化为基底之间的关系或运算 例如：选基底{→--AB ,→--AC ,→--AD }那么21AE =→--→--AD ,→--AF =21〔→--AB +→--AC 〕∴ →--EF =→--AF -→--AE =21〔→--AB +→--AC -→--AD 〕 =21〔→--AB +→--DC 〕 说明：基底的选法是不唯一的.此题选从同一顶点出发的三条有向线段作为基底是选基底的最常用方法.还有一种常用选法是在空 间任取一点O,以从点O 出发的三条不共面的向量为基底.例2、向量{→-a ,→-b ,→-c }中选哪一个向量,一定可以与向量→-p =→-a +→-b ,→-q =→-a -→-b ,构成空间的另一个基底？ 解题思路分析：由空间向量根本定理可知,空间任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底 ∵ →-a +→-b , →-a -→-b 与→-a ,→-b 构成平行四边形 ∴ →-a +→-b , →-a -→-b , →-a ,→-b 一定共面 ∴ →-a 与→-b 不能与→-a +→-b ,→-a -→-b 构成基底 ∴ →-c 与→-a +→-b ,→-a -→-b 可以构成空间的一个基底例3、平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,→--1AA =→-a ,→--AB =→-b ,→--AD =→-c ,M,N,P,Q 分别是A 1D 1,CC 1,BC,A 1D 的中点,用基底{→-a ,→-b ,→-c }表示以下向量： 〔1〕→--AN 〔2〕→--PQ 〔3〕→--MN解题思路分析：利用多边形法那么,或构造假设干个相关的三角形 〔1〕→--AN =→--AB +→--BC +→--CN =→--AB +→--AD +21→--1CC =+→--AB 21AD +→--21AA 1=→--→-a +→-b +→-c或者：→--AN =→--AC +→--CN =+→--AB →--AD +21CC 211=→--→-a +→-b +→-c 〔2〕→--PQ =-→--AQ 21AP =→--〔→--+1AA →--AD 〕-+→--AB (21→--AC 〕=→--+1AA (21→--AD --→--AB +→--AB →--AD 〕 =2AA (211-→--→--AB 〕=21→-a -→-b 〔3〕=→--MN -→--AN =→--AM -→--AN 〔+→--1AA →--M A 1〕 =-→--AN -→--1AA →--11D A 21 =21→-a +→-b +→-c -→-a -21→-c =21→-a +→-b +21→-c说明：用基向量的线性组合去表示相关向量,是用向量知识研究几何问题的根底.在寻找线性组合的过程中,主要是以向量为边构造三角形或多边形〔包括平行四边形〕.假设M 为→--AB 中点,那么21OM =→--〔+→--OA →--OB 〕是经常用到的重要公式. 例4、四面体ABCD 中,AB ⊥CD,AC ⊥BD,求证：AD ⊥BC. 解题思路分析：首先将几何语言“译〞为向量语言,即→--AB ·→--CD =0,→--AC ·→--BD =0,求证：→--AD ·→--BC =0 其次,选择适当的基底,沟通向量与未知向量之间的关系例如：途径一：选基底{→--AB ,→--AC ,→--AD },设→--AB =→-a ,=→--AC →-b ,=→--AD →-c ,那么：=→--CD -→--AD →--AC =→-c -→-b ,=→--BC →-b -→-a ,=→--BD →-c -→-a∵ →--AB ·0CD =→-- ∴ →-a ·〔→-c -→-b 〕=0∴ →-a ·→-c -→-b ·→-a =0 ① ∵ →--AC ·0BD =→-- ∴ →-b ·〔→-c -→-a 〕=0∴→-b ·→-c -→-b ·→-a =0 ② ①-②得：→-a ·→-c -→-b ·→-c =0 ∴ →-c ·〔→-a -→-b 〕=0 ∴ →--AD ·0CB =→-- ∴ AD ⊥BC途径二：任取空间一点O,其基底{→--OA ,→--OB ,→--OC } 设=→--OA →-a ,=→--BC →-b ,=→--OC →-c 那么→--AB =→-b -→-a ,=→--BC →-c -→-b→--AC =→-c -→-a再设=→--OD →-d那么=→--AD →-d -→-a ,=→--BD →-d -→-b ,=→--CD →-d -→-c ∵ →--AB ·0CD =→--∴〔→-b -→-a 〕·〔→-d -→-c 〕=0∴ →-b ·→-d -→-b ·→-c -→-a ·→-d +→-a ·→-c =0 ① ∵ →--AC ·0BD =→--∴ →-c ·→-d -→-b ·→-c -→-a ·→-d +→-a ·→-b =0 ② ①-②得：→-b ·→-d -→-c ·→-d +→-a ·→-c -→-a ·→-b =0 ∴ →-d ·(→-b -→-c 〕-→-a ·(→-b -→-c 〕=0 ∴〔→-b -→-c 〕·〔→-d -→-a 〕=0 ∴ →--CB ·→--AD =0 ∴ CB ⊥AD说明：由上述两种选基底的方法可知,由于基底的选择不同,向量运算的简繁程度也有所差异,因此,应学会选择适当的基底.例5、P 是正方形ABCD 所在平面外一点,PA=PB=PC=PD=AB=m,假设M,N 分别在PA 、BD 上,且31BD BN PA PM == （1） 求证：MN ∥平面PBC （2） 求证：MN ⊥AD（3） 求MN 与PC 所成角的大小 解题思路分析：〔1〕根据共面向量定理,只需证实→--MN 可以表示为→--PB 、→--PC 、→--BC 中任两个向量的线性组合,为此,必须选基底,再利用三角形法那么,利用基底找到上述向量之间的线性关系.取基底{→--PA ,→--PB ,→--PC },设=→--PA →-a ,→--PB =→-b ,=→--PC →-c ,那么31PM =→--→-a ,=→--BA →-a -→-b ,=→--BC →-c -→-b ∴ =→--BD +→--BA =→--BC →-a +→-c -2→-b∴ =→--PN →--PB +=→--BN →--PB +31BD 31=→--(→-a +→-b +→-c ) 31PM =→--→-a ∴ =→--MN -→--PN 31PM =→--〔→-b +→-c 〕=→--PB 31+→--PC 31∴ →--MN 与→--PB ,→--PC 共面 ∴ →--PB ⊄平面PBC ∴ MN ∥平面PBC〔2〕只需证→--MN ·0AD =→--,=→--AD =→--BC →-c -→-b∵ →--MN ·31AD =→--〔→-b +→-c 〕·〔→-c -→-b 〕=31〔2c →--2b →-〕=31〔|2|c →--2|b |→-〕=0∴ →--MN ⊥→--AD ,MN ⊥AD （4） 利用数量积公式的变形∵ →--MN ·→--PC =|→--MN |·|→--PC | cos<→--MN ,→--PC >∴ cos<→--MN ,→--PC >=〔→--MN ·→--PC 〕/〔|MN |·|→--PC |〕 ∵ 91|MN |2=→--(→-b +→-c )2=91(2b →-+2c →-+2→-b ·→-c ) →-b ·→-c =|→-b ||→-c |cos<→-b ,→-c >=m 2cos 2m 32=π∴ 91|MN |2=→--(m 2+m 2+m 2)=3m 2∴ |→--MN |=m 33又∵ →--MN ·31PC =→--〔→-b +→-c 〕·→-c =31〔→-b ·→-c +2c →-〕 =222m 21)m 2m (31=+∴ cos<→--MN ,→--PC >=〔→--MN ·→--PC 〕/〔|MN |·|→--PC |〕=23m m 33m 212=⋅∵ <→--MN ,→--PC >∈[0,π] ∴ <→--MN ,→--PC >=300∴ MN 与PC 成300角说明：由本例可以看出,用向量解决几何问题,重在问题运算,降低了对空间图形抽象思维的要求,显得简单,易于上手. 例6、PA ⊥平面ABCD,ABCD 为矩形,PA=AD,M 、N 分别是PC 、AB 中点,求证：MN ⊥平面PCD. 解题思路分析：只需证→--MN 与→--PC 、→--PD 、→--CD 中任意两个向量的数量积等于0 选基底{→--AP ,→--AB ,→--AD },设=→--AP →-a ,=→--AB →-b ,=→--AD →-c那么=→--AC +→--AB →--AD =→-b +→-c ,21AM =→--〔→--AP +→--AC 〕=21〔→-a +→-b +→-c 〕∴ =→--MN -→--AN 21AM =→--→-b -21〔→-a +→-b +→-c 〕=-21→-a -21→-c ∵ PA ⊥平面ABCD ∴ PA ⊥AB,PA ⊥AD ∴→-a ·→-b =0,→-a ·→-c =0又AB ⊥AD。

高二数学下学期知识点复习整理高二数学下学期知识点复习1总体和样本①在统计学中,把研究对象的全体叫做总体。

②把每个研究对象叫做个体。

③把总体中个体的总数叫做总体容量。

④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：x1，x2，....，研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量。

简单随机抽样也叫纯随机抽样。

就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随。

机地抽取调查单位。

特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础,高三。

通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

简单随机抽样常用的方法①抽签法②随机数表法③计算机模拟法④使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。

抽签法①给调查对象群体中的每一个对象编号;②准备抽签的工具，实施抽签;③对样本中的每一个个体进行测量或调查。

高二数学下学期知识点复习21、圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。

2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形。

(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有(2)过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、圆与圆的位置关系通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。

高二数学下册课本知识点高二数学下册课本知识点1数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d(1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)以上n均属于正整数。

解释说明：从(1)式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar 为Am，An的等差中项，且为数列的平均数。

且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。

推论公式：从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}若m，n，p，q∈N_，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。

基本公式：和=(首项+末项)×项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项末项=首项+(项数-1)×公差高二数学下册课本知识点21.不等式的定义：a-b>;0a>;b， a-b=0a=b， a-b<;0a① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

高二数学（下）第十章复习讲义（1）排列与组合一、复习目标1．复习分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决简单的应用问题；2．理解排列与组合的意义，掌握排列数和组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质， 并能应用它们解决一些简单的问题。

二、基础训练1．5人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法的种数（D ） ()A 45 ()B 54 ()C 5432⨯⨯⨯ ()D 54324!⨯⨯⨯ 2．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不 同选法的种数是 （B ） ()A 45 ()B 54 ()C 5432⨯⨯⨯ ()D 54324!⨯⨯⨯ 3．正十二边形的对角线的条数是（B ） ()A 12112⨯ ()B 1292⨯ ()C 1211⨯()D 129⨯ 4．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 （D ） ()A 1387C C ()B 48C ()C 486C - ()D 4812C -5．若1121n n C -+=，那么n = 6 ．6．学生可从本年级开设的7门任意选修课中选择3门，从6种课外活动小组中选择2种，不同选法种数是3276525C C =．7．安排6名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，也不是最后出场，不同的演出顺序有1545480C A =种．三．例题分析例1． 4个男同学，3个女同学站成一排，⑴3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？⑵任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？⑶其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？⑷甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？⑸女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（3个女生身高互不相等）答案：⑴3535720A A =； ⑵43451440A A =； ⑶233253720A A A =；⑷251254960A A A =； ⑸7714840A A =。

高二数学下册知识点高二数学下册包含了许多重要的知识点，涵盖了代数、几何、概率与统计等方面。

下面将会逐个介绍这些知识点，帮助大家更好地理解和掌握高二数学下册的内容。

一、代数1. 函数与方程(1) 二次函数：二次函数的标准方程为 y=ax²+bx+c，其中 a、b、c 为常数，a≠0。

二次函数的图像为开口朝上或开口朝下的抛物线。

(2) 一次函数：一次函数用 y=ax+b 表示，其中 a、b 为常数，且a≠0。

一次函数的图像为直线。

(3) 高次函数：高于二次的函数称为高次函数，如三次函数、四次函数等。

(4) 方程：方程是含有未知数的等式，可以通过解方程来求得未知数的值。

2. 数列与数学归纳法(1) 等差数列：数列中每一项与前一项的差值相等。

(2) 等比数列：数列中每一项与前一项的比值相等。

(3) 数学归纳法：数学归纳法是用来证明一般命题的方法，包括基础步骤和归纳步骤。

3. 逻辑与命题(1) 命题：陈述句，可以判断真假的陈述。

(2) 逻辑联结词：包括与、或、非等，用来连接命题构成复合命题。

(3) 命题符号化：将自然语言中的命题用符号表示。

(4) 命题的合取与析取：合取是指将多个命题以“与”连接，构成一个新的命题；析取是指将多个命题以“或”连接，构成一个新的命题。

二、几何1. 平面几何(1) 三角形：三角形的分类、性质与定理。

(2) 相似三角形：相似三角形的性质与判定。

(3) 合同三角形：合同三角形的性质与判定。

(4) 圆：圆的性质、定理与相关的计算。

2. 空间几何(1) 空间中的直线和平面：直线与平面的定义、性质与关系。

(2) 空间中的角：角的性质、类型与相关定理。

(3) 空间直角坐标系：空间直角坐标系的引入与应用。

(4) 空间图形的计算：如长方体、正方体、棱柱、棱锥等图形的体积与表面积计算。

三、概率与统计1. 概率(1) 随机事件与样本空间：事件的定义、种类与概率计算。

(2) 概率的计算规则：包括加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理。

2003年秋季高二数学期末考试复习提纲⑸直线和平面垂直（中）一、基本知识⒈斜线在平面内的射影如图1，过一点向直线引垂线，垂足叫做这点在这条直线上的射影。

同样，过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影。

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的，斜线和平面的交点叫做。

（如图2中直线l）从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过和的直线叫做斜线在这个平面内的射影。

（如图2中直线m）从平面外同一点．．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中：⑴垂线段比任何一条斜线段都短；⑵射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；⑶相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长。

例：点P是ABC∆所在平面外一点，若PCPBPA==，则点P在平面ABC 的射影恰为ABC∆的【A】A、外心B、内心C、重心D、垂心⒉直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影．．所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角。

说明：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是的角；一条直线和平面或，我们说它们所成的角是的角。

因此直线和平面所成的角∈θ。

l αlαlα例：点P 是ABC ∆所在平面外一点，若PA 、PB 、PC 与平面ABC 所成的角相等，则点P 在平面ABC 的射影恰为ABC ∆的【A 】A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心 ⒊三垂线定理及其逆定理在的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和这条斜线垂直。

即：PQ a QR a PR ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥α。

在 的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 垂直。

即：QR a PQ a PR ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥α。

平面ABC 的射影恰为ABC ∆的【C 】⑵点P 是ABC ∆所在平面外一点，若BC PA ⊥、AC PB ⊥，则点P 在平面ABC 的射影恰为ABC ∆的【C 】⑶点P 是ABC ∆所在平面外一点，若点P 到ABC ∆三边的距离相等，则点P 在平面ABC 的射影恰为ABC ∆的【B 】A 、外心B 、内心C 、垂心D 、重心二、经典例题例1：如图，在ABC Rt ∆中，已知︒=∠90C ，1==BC AC ，PA ⊥平面ABC 且2=PA ，求PB 与平面PAC 所成的角。

高二数学复习讲义（1）不等式（1）一．目的要求：1．理解不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的常用方法；2．掌握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值；3．掌握含绝对值的不等式的性质；4．会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式。

学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质. 二．知识要点：2．绝对值不等式的性质：||||||||a b a b a b -≤±≤+；1212||||||||n n a a a a a a +++≤+++．3．常用基本不等式：三．证明不等式的常用方法：比较法，综合法，分析法，换元法，反证法等.四．运用基本不等式求最值的注意点：①常用的不等式：a b +≥，2()2a b ab +≤，222a b ab +≥． ②注意点：和定积最大，积定和最小；一正、二定、三相等.五．常见不等式及其基本解法： 1．一元二次不等式：（1）利用其与一元二次方程，二次函数的关系； （2）含字母系数的一元二次不等式大致分为两类： ①∆的符号不确定，讨论∆的大小；②通过因式分解（或求根公式）得出两根，但根的大小不明确，则讨论根的大小. （3）一元二次不等式的应用：①已知一个不等式的解集，求另一个不等式的解集； ②恒成立问题：通常可结合二次函数图象来考虑. 2.分式不等式：移项，通分，再转化为不等式组或序轴标根；3.含有绝对值的不等式：用绝对值的定义去掉绝对值符号.4.高次不等式：序轴标根法；5.指数、对数不等式：利用指数函数、对数函数的单调性进行等价转化. 六．例题分析：例1．已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e ea cb d>--． 证明：∵0c d <<，∴0c d ->->，又0a b >>，∴0a c b d ->->，∴110a c b d<<--，又0e <，∴e e a c b d>--．例2．已知,,,a b c d 都是实数，求证：22222()()()ac bd a b c d +≤++，并指出""=何时成立.比较法或综合法，""=成立的条件是ad bc =．例3．已知0a >，111ba->，求证：>．证明：∵111ba->，∴111ba>+，又0a >，∴11b>，∴01b <<，>1>，只要证(1)(1)1a b +->，即0a b ab -->， 只要证a b ab ->，∵0ab >，∴只要证1a bab->，即111b a->， ∵111b a ->>．例 4.在ABC ∆中，,,a b c 为三条边的长，S 表示ABC ∆的面积，求证：222a b c ++≥，并说明“=”成立的条件. 证明：由余弦定理，有2222cos c a b ab C =+-，又1sin 2S ab C =，∴22222222cos sin a b c a b a b ab C C ++-=+++--222()2(cos )a b ab C C =+-+44sin()4[1sin()]66ab ab C ab C ππ≥-+=-+，∵sin()16C π+≤， ∴4[1sin()]06ab C π-+≥，∴222a b c ++≥，当且仅当sin()16a b C π=⎧⎪⎨+=⎪⎩，即3a b C π=⎧⎪⎨=⎪⎩，也就是ABC ∆是等边三角形时，“=”成立.七．课后作业： 班级学号 姓名1．已知0x a <<，则下列不等式一定成立的是（ ）2.下列命题中成立的是 （ ）()2x y A yx +≥，当且仅当,x y R *∈时成立；1()||2B a a+≥，当且仅当0a ≠时成立；()tan cot 2C θθ+≥，当且仅当(0,)2πθ∈时成立；()log log 2a b D b a +≥，当且仅当,(1,)a b ∈+∞时成立。

有关高二数学下册知识点归纳高二数学下册知识点第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。

次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。

在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。

第二章：基本初等函数：指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像。

函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。

关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习基本就没多大问题。

函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。

对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考常错点。

另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化问题也要了解清楚。

第三章：函数的应用。

主要就是函数与方程的结合。

其实就是的实根，即函数的零点，也就是函数图像与X轴的交点。

这三者之间的转化关系是这一章的重点，要学会在这三者之间的灵活转化，以求能最简单的解决问题。

关于证明零点的方法，直接计算加得必有零点，连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等，这是这一章的难点，这几种证明方法都要记得，多练习强化。

这二次函数的零点的Δ判别法，这个倒不算难。

高二数学下册知识点归纳1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

高二数学下册知识点复习(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高二数学复习讲义（1） ——《常用逻辑用语》<知识点>1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）（1）四种命题的关系，（2）等价关系（互为逆否命题的等价性） （a ）原命题与其逆否命题同真、同假。

（b ）否命题与逆命题同真、同假。

2. 充分条件、必要条件、充要条件（1）定义：若p 成立，则q 成立，即q p ⇒时，p 是q 的充分条件。

同时q 是p 的必要条件。

若p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立 ，即q p ⇒且p q ⇒，则p 与q 互为充要条件。

（2）判断方法： （i ）定义法，（ii ）集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A ，使q 成立的条件组成的集合为B ，若B A ⊆ 则p 是q 的充分条件。

同时q 是p 的必要条件。

若A=B ，则p 与q 互为充要条件。

（iii ）命题法：假设命题：“若p 则q ”。

当原命题为真时，p 是q 的充分条件。

当其逆命题也为真时，p 与q 互为充要条件。

注意：充分条件与充分非必要条件的区别：用集合法判断看，前者：集合A 是集合B 的子集；后者：集合A 是集合B 的真子集。

3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于4. 逻辑连结词“或”，“且”，“非”。

（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。

p q 非p p 或q p 且q 真 真 假 真 真 真假假真假注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。

<练习题>一、填空题1．命题：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是________． 2.⎩⎪⎨⎪⎧x 1>3x 2>3，是⎩⎨⎧x 1＋x 2>6，x 1x 2>9成立的________条件． 3．命题“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”的逆否命题是________． 4．下列四个命题中，是真命题的序号是________．①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题；②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2－x －6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．5．下列命题是真命题的是________(填序号)．①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0；②∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；③∃x ∈Z ，x 2＝2；④∃x ∈R ，x 2＝2.6．设M 、N 是两个集合，则“M ∪N ≠∅”是“M ∩N ≠∅”的________条件．7．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的________条件．8．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若 p 是 q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．9．命题“偶数能被2整除”的否定形式是________． 10．下列命题中，假命题是________． ①∃α、β∈R ，使sin(α－β)＝sin α－sin β； ②∀a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；③∀x 、y ∈R ，x ＋y2≥xy ；④点(3,4)不在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0上．11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是____________．12．给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题； ④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上)． 13．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为________．14．已知“关于x 的不等式x 2－ax ＋2x 2－x ＋1<3对于∀x ∈R 恒成立”的充要条件是“a ∈(a 1，a 2)”，则a 1＋a 2＝________.二、解答题(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若α＝β，则sinα＝sinβ；(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；(3)已知a，b，c，d都是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.16．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x－3>x；(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．17．命题甲：a∈R，关于x的方程|x|＝ax＋1(a>0)有两个非零实数解，命题乙：a∈R，关于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－2>0的解集为空集．当甲、乙中有且仅有一个为真命题时，求实数a的取值范围．。

1.万能公式令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)2.辅助角公式asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r)cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]si nr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]tanr=b/a3.三倍角公式sin(3a)=3sina-4(sina)^3cos(3a)=4(cosa)^3-3cosatan(3a)=[3tana-(t ana)^3]/[1-3(tana^2)]sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa*sinb=[ sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina*sinb=-[c os(a+b)-cos(a-b)]/2sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sina-sinb= 2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa -cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]向量公式：1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|2.P(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j|向量OP|=根号(x平方+y平方)3.P1(x1,y1)P2(x2,y2)那么向量P1P2={x2-x1,y2-y1｝|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]4.向量a={x1,x2｝向量b={x2,y2｝向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cosα=x1x2+y1y2Cosα=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|(x1x2+y1y2)根号(x1平方+y1平方)*根号(x2平方+y2平方)5.空间向量：同上推论(提示：向量a={x,y,z｝)6.充要条件：如果向量a向量b那么向量a*向量b=0如果向量a//向量b那么向量a*向量b=|向量a|*|向量b|或者x1/x2=y1/y27.|向量a向量b|平方=|向量a|平方+|向量b|平方2向量a*向量b=(向量a向量b)平方。

高二下册数学知识点讲解高二下册是数学学科的重要阶段，这个学期主要涉及了一些重要的数学知识点，包括概率论、向量与立体几何、三角函数、导数与微分以及数列与数学归纳法等。

下面将为大家逐一讲解这些知识点。

一、概率论概率论是数学中的一个重要分支，它主要研究随机现象的发生概率。

在高二下册中，我们将进一步学习概率的计算与应用。

这包括了基本概率公式、条件概率、全概率公式、贝叶斯定理等内容。

通过学习这些内容，可以帮助我们更好地理解和运用概率论知识。

二、向量与立体几何向量与立体几何是高二下册的另一个重要内容。

我们将会学习向量的基本概念与运算、向量的数量积和向量的夹角等。

同时，我们还将学习到空间中点、线、面的相关性质和计算方法，包括点、线之间的位置关系、直线与平面的位置关系、空间中直线的倾斜角和平面的倾斜角等内容。

三、三角函数三角函数是数学中的一个重要分支，也是高中数学的重要内容之一。

在高二下册，我们将学习三角函数的定义、性质和相关计算方法。

这包括正弦、余弦、正切、余切等函数的定义与性质，以及三角函数的图像、周期性、和差化积等重要概念与运用。

四、导数与微分导数与微分是高等数学的基础知识之一，在高二下册我们将学习导数的概念与计算方法，包括基本的导数运算法则、常用函数的导数、高阶导数、隐函数与参数方程的导数等内容。

此外，我们还将学习到微分的概念与应用，包括微分的基本性质、微分中值定理及其应用等。

五、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高中数学中的重要内容之一，也是高二下册的重点内容。

我们将学习数列的概念、通项公式的求解方法、数列的极限性质、等差数列、等比数列以及递推数列等内容。

同时，我们还将学习数学归纳法的原理与应用，通过数学归纳法解决一些与数列相关的问题。

以上就是高二下册数学的重要知识点讲解。

通过对这些知识点的深入学习与理解，我们可以更好地应对高中数学的考试与应用题，为日后的学习打下坚实的基础。

希望大家认真学习，不断提高自己的数学水平。

高二数学寒假讲义一、函数的概念1.1 函数的定义函数是一种特殊的数学关系，它把一个或多个自变量与一个因变量之间的对应关系表示出来，用一个公式来表示。

1.2 函数的表示方法函数可以用函数式、图象、对称性、导数和积分等方法表示。

1.2.1 函数式函数式是指函数的一种表示方法，它用数学语言表示出函数的关系式，如f(x)=ax+b，其中a和b是常数，x是自变量，f(x)是因变量。

1.2.2 图象函数的图象是把函数的自变量和因变量的关系用坐标系表示出来的图形，如把f(x)=ax+b用坐标系表示出来就是一条直线。

1.2.3 对称性函数的对称性是指函数图象关于某一点或某一线的对称性，如函数f(x)=ax+b的图象关于y轴对称，函数f(x)=x2的图象关于y 轴对称，函数f(x)=sin x的图象关于原点对称。

1.2.4 导数函数的导数是指函数的变化率，即函数因变量随自变量的变化率，导数可以用微分的方法来求出，如函数f(x)=ax+b的导数是a，函数f(x)=x2的导数是2x，函数f(x)=sin x的导数是cos x。

1.2.5 积分函数的积分是指函数的积分，即函数因变量随自变量的积分，积分可以用积分的方法来求出，如函数f(x)=ax+b的积分是ax2/2+bx，函数f(x)=x2的积分是x3/3，函数f(x)=sin x的积分是-cos x。

二、函数的分类2.1 一元函数一元函数是指只有一个自变量的函数，如f(x)=ax+b，其中a和b是常数，x是自变量，f(x)是因变量。

2.2 二元函数二元函数是指有两个自变量的函数，如f(x,y)=ax+by+c，其中a、b和c是常数，x 和y是自变量，f(x,y)是因变量。

2.3 奇函数奇函数是指函数图象关于原点对称的函数，如f(x)=x3，其图象关于原点对称。

2.4 偶函数偶函数是指函数图象关于y轴对称的函数，如f(x)=x2，其图象关于y轴对称。

三、函数的应用3.1 在自然科学中的应用在自然科学中，函数可以用来描述物理现象和化学反应，如在物理学中，函数可以用来描述物体的运动轨迹，在化学学中，函数可以用来描述化学反应的速率。

高二数学重点知识点下册第一章分析函数1.1 导数与微分在高中数学学习中，导数与微分是分析函数的重要概念。

导数描述了函数在某一点处的变化率，可以用来研究函数图像的特性和求解最值问题。

微分用于近似计算，将函数在某一点处的变化用线性函数逼近，从而进行简化计算。

1.2 高阶导数与泰勒展开高阶导数扩展了导数的概念，描述了函数变化的更多细节。

泰勒展开是利用高阶导数将函数在某一点附近的值展开成幂级数的形式，可以用于近似计算、函数图像的分析和函数性质的研究。

1.3 极值与最值问题极值与最值问题是分析函数中经常遇到的问题。

通过导数的求解和对函数图像的观察，可以判断函数的极值点和最值点的存在和位置，并进行最值问题的求解。

第二章三角函数与解三角形2.1 三角函数基本概念三角函数是研究三角形与圆的重要工具，在数学中占据重要地位。

正弦函数、余弦函数、正切函数等是最基本的三角函数，它们与角度的关系及其性质是学习的重点。

2.2 三角函数的图像与性质三角函数的图像和性质对于理解三角函数及其应用至关重要。

通过掌握三角函数的图像变化规律和周期性质，可以解决相关的函数方程和不等式。

2.3 解三角形解三角形是指根据给定的一些条件，确定三角形的各边长和角度的问题。

利用三角函数的性质和三角形的几何关系，可以解决各种类型的解三角形问题。

第三章概率与统计3.1 概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学工具。

通过了解概率的基本概念、计算方法以及与事件的关系，可以对各种概率问题进行分析和求解。

3.2 条件概率与独立性条件概率描述了在已知一定条件下发生某一事件的概率，独立性描述了两个事件之间的相互影响关系。

掌握条件概率和独立性的概念和计算方法，可以解决与概率相关的更复杂问题。

3.3 统计与抽样统计学是研究数据的收集、整理、分析和解释的科学。

抽样是统计学中常用的数据收集方法，通过抽取一部分样本数据进行统计分析，可以对总体进行推断和估计。

第四章三角恒等变换与向量4.1 三角恒等变换三角恒等变换是指将一个三角函数表达式变换成另一个等价的三角函数表达式的过程。

高二数学下学期期末复习知识点高二数学下学期期末即将到来，为了帮助同学们进行复习，本文将系统总结数学下学期的重点知识点，并提供相应的解题技巧和方法。

希望通过本文的学习，同学们能够更好地备战期末考试。

1. 函数与导数1.1 定义与性质函数的定义：函数是一个或多个独立变量与因变量之间的关系。

函数的性质：奇偶性、单调性、最值等。

1.2 导数与导数公式导数的定义：函数在某一点上的导数表示函数曲线在该点的切线的斜率。

导数的计算公式：常见导函数的计算、和差积商、复合函数等。

导数的应用：切线与法线、极值问题、函数图像的绘制等。

2. 三角函数2.1 基本概念与性质三角函数的定义：正弦、余弦、正切等。

三角函数的周期性、奇偶性、单调性等。

2.2 三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数的图像与性质：振幅、周期、最值等。

正切函数、余切函数的图像与性质：周期、渐近线等。

2.3 三角函数的常用公式与解题技巧和差化积、倍角、半角、万能公式等。

三角函数方程的解法、满足条件的解等。

3. 几何向量3.1 向量及其性质向量的概念、向量的相等、零向量、单位向量等。

向量的数量积、向量的夹角与垂直条件。

3.2 向量的运算与应用向量的加减、数量积与向量积的计算。

平面向量的共线、垂直等相关问题。

4. 平面解析几何4.1 平面上点的位置关系直线与圆的方程、距离公式等。

4.2 直线的方程与性质直线的一般方程、点斜式、斜截式等。

直线的位置关系、平行与垂直、角平分线等。

4.3 圆的方程与性质圆的标准方程、一般方程、参数方程等。

圆的位置关系、相切与相交条件。

5. 概率与统计5.1 随机事件与概率随机事件的概念与性质、事件间的关系。

概率的定义与性质、计算方法。

5.2 随机变量与概率分布离散型随机变量的概念与性质、概率分布表。

连续型随机变量的概念与性质、概率密度函数。

5.3 统计与抽样调查统计量与总体、样本与抽样调查的概念。

频率分布表与频率分布直方图等。

通过对上述知识点的系统复习，相信同学们在数学下学期期末考试中能够取得好成绩。

高二数学期末复习提纲第九章 立体几何一、知识要点及方法指引1、平面的性质2、平行与垂直：（1）直线与平面：平行的判定：①若不在平面内的直线与平面内一直线平行，则该直线与平面平行；②垂直于同一平面的两直线平行。

平行的性质：若一直线与平面平行，过该直线的平面与该平面相交，则该直线与交线平行。

（2）平面与平面：平行的判定：①一平面内两相交直线平行于另一平面，则两平面平行；②垂直 于同一直线的两平面平行。

平行的性质：一平面与两平行平面相交，则交线平行。

垂直的判定：一平面内有一直线与另一平面垂直，则两平面垂直。

垂直的性质：过两垂直平面中一平面内一点作交线的垂线，垂直于另一平面。

3、空间向量：①共线向量和共面向量定理 ②数量积：><∙=∙,cos ||||③几个公式：212121||z y x a ++==；222222212121212121,cos zy x z y x z z y y x x b a ++∙++++=>=<||b 上的射影为：，点到面的距离公式：222000||CB A D Cz By Ax d +++++= 4、夹角和距离：（1）夹角：①线与线：求法：平移法；向量法 。

②线与面：定义：线与线在面上的射影的夹角；求法：几何法；向量法。

③面与面：定义：略；求法：几何法（垂面法，双垂线法，三垂线法）；向量法；面积法。

（2）距离：①点与线：（略）②点与面，线与面，面与面：求法：几何法；向量法，体积法 ③线与线：定义：两异面直线的公垂线段的长度叫两异面直线的距离。

求法：几何法；向量法。

5、多面体与球（见教材P76表格）二、典型习题：1、三平面两两相交，求证交线互相平行或交于一点。

2、以下四个命题中，不正确的有几个（ ）① 直线a ，b 与平面α成等角，则a ∥b ；② 两直线a ∥b ，直线a ∥平面α，则必有b ∥平面α；③ 一直线与平面的一斜线在平面α内的射影垂直，则必与斜线垂直； ④ 两点A ，B 与平面α的距离相等，则直线AB ∥平面α（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个3、平面给出条件：直线,,,m βα ①α//m ，②,α⊥m③α⊂m ，④βα⊥，⑤βα//，（1）当满足____________时，β//m（2）当满足____________时，β⊥m。