高二数学辅导讲义(排列组合二项式定理与概率)

排列组合、二项式定理与概率统计
概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。

它们主要用来解释和计算物理实验的概率，以及理解事件出现的概率统计规律。

排列组合是概率统计的基础，是指在一组数中，每个数字的位置不同的可能的组合数。

它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。

这里的A表示从n个中取出m个的排列数。

二项式定理（亦称二项分布定理）是研究一个随机变量满足二项分布的定理。

它是推导概率统计解决一些问题的重要方法，它通过如下公式来计算事件发生的概率：
C(n,k)=An,m/k!，其中n表示试验次数，m表示成功的次数，k表示重复的次数。

概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。

这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大，并帮助我们更好地解释现象。

概率统计的计算和分析是一个复杂的过程，需要全面的、简易的的方法。

排列组合、二项式定理等工具是进行概率统计分析的有力帮助，它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率，并对现象加以解释和推断。

高二数学辅导讲义（排列组合、二项式定理与概率）07、5、7排列组合试题从解法上看，大致有以下几种：（1）有附加条件的排列组合问题，大多需用分类讨论的方法；（2）排列与组合的混合型问题，需分步骤，要用乘法原理解决；（3）元素不相邻问题常用插空法，相邻问题常用捆绑法；（4）排除法，将不符合条件的排列或组合剔除掉；（5）穷举法，将符合条件的所有排列或组合一一写出来，或写出一部分发现规律；（6）定序问题“缩倍法”，即若某几个元素必须保持一定的顺序，则可按通常排列后再除以这几个元素的排列数；（7）隔板法，例如：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？可将10个C种方法。

球排成一排，再用2块“隔板”将它们分成三个部分，有291、n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？2、同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有种3、某班的10人中恰有班干部和团干部各5名：（1）班干部不全排在一起；（2）任何两名团干部都不相邻；（3）班干部和团干部相间排列。

4、有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数分别为2，3，4。

上述问题各有多少种不同的分法？5、排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？6、一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？7、20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？8、从4名男生和3名女生中选4人参加某座谈会，若这四人中必须既有男生又有女生，则不同选法有 A．140种B．120种C．35种D．34种9、从1、3、5、7中任取两个数字，从0、2、4、6、8中任取两个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有个（数字答）10、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案有（）A.12 种B.24种C.36种D.48种11、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.1．某办公室有8人，现从中选出3人参加A ，B ，C 三项活动，其中甲不得参加A 项活动，则不同的选派方法有 （ ）A ．35种B ．56种C ．294种D ．336种2．A ，B ，C ，D ，E 五种不同商品要在货架上排成一排，其中A ，B 两种商品必须排在一起，而C ，D 两种商品不能排在一起，则不同的排法共有 （ ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种3．某展览会一周（七天）内要接待三所学校的学生参观，每天择安排一所学校，其中甲学校要连续参观两天，则不同的安排方法的种类有（ ）A ．24B ．60C ．120D ． 2104．在如图的1×6矩形长条格中涂上红.黄.兰三种颜色，每种颜色限涂两格，且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有（ ）A ．90种B ．54种C ．45种D ．30种5．在三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，且6可以作9用，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为（ ）A ．12B ．72C ．60D ．406．若n xx )1(23 的展开式中只有第6项的系数最大，则常数项的值为 （ ） A ．462 B ．252 C ．210 D ．107．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是 （ ）A ．1.23B ．1.24C ．1.34D ．1.448．两个同学同时做一道题，他们做对的概率分别为P(A)=0.8, P(B)=0.9，则该题至少被一个同学做对得概率为 （ ）A ．1.7B ．1C ．0.72D ．0.989．一个学生通过一种英语听力测试的概率是21，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是 （ ） A.41 B.31 C.21 D.43 10．已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ） A.51 B.154 C.52 D.1514 11．.如下图，A 、B 、C 、D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有12．某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)，而二班的2位同学没有被排在一起的概率为( )A ．101B ．201C ．401D ．1201A.8种B.12种C.16种D.20种13．6)2||1|(|++x x 展开式中系数最大的项的系数为_________． 14．设二项式n x x )13(3+展开式的各项系数的和为P ；二项式系数的和为S ，且P+S=272，则展开式的常数项为_________．15．5个正四面体小木块表面上，分别标有1，2，3，4，如果把这5块小木块全部掷出，则至多有1块标有4的小木块因贴在桌面上看不见的概率是 .16．将正整数n 表示成k 个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n 分成k 个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n 划分成k 个部分的不同划分的个数记为P （n ，k ），则P （10，3）＝_________．三．解答题17．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，（1）能组成多少个是25的倍数的四位数；（2）能组成多少个比240135大的数；（3）若把所组成的全部六位数从小到大排列起来，第100个数是多少？18．在二项式n x )221(+的展开式中，（1）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；（2）若前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．19.设x 10-3=Q(x )(x -1) 2+ax +b ，其中Q(x )为关于x 的多项式，a ，b ∈R ．（1）求a ，b 的值；（2）若ax +b=28，求x 10－3除以81所得的余数。

排列组合二项式定理和概率一、知识整合二、考试要求：1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.Ⅰ、随机事件的概率例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为6101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101. (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为101. 例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I 1，事件A 是“从m 个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I 1)= 123)(,n m n m C C A Card C ⋅=+，于是P(A)=3121)()(nm n m C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。

专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。

专题 排列组合、二项式定理及概率初步【高考导航】在对口高考中，本单元重点掌握以下两个重点：一、掌握排列数公式、组合数公式、组合数的性质。

二、能运用排列组合及概率论的知识解决有关实际问题（计数问题）。

解计数问题的基本方法如下：第一步，准确理顺完成事件的方式和具体过程。

解决计数问题的关键和难点在于通过分析，准确理顺完成事件的方式和具体过程，确保完成任务的方式和具体过程既不重复也不遗漏。

第二步，计算每一步或每一类的方法数。

第三步，根据分步计数原理或分类计数原理求总的方法数。

第四步，作答：要求用具体数学作答。

求事件发生的概率常用方法有定义法和公式法。

用定义法求等可能性事件的概率关键要对随机现象和所求概率的随机事件进行分析，求出它们所包含的基本事件个数；用公式法求概率关键要找到事件之间的关系，然后选择一种最佳的方法快速准确地解题，基本解题过程如下： 第一步，设简单事件，找出所求事件与所设事件的关系。

第二步，利用有关公式求概率。

第三步，作答：概率常用分数或小数作答。

解题难点是：设简单事件，找出所求事件与所设事件的关系。

【真题回访】1、某学校从6位教师中选派4位教师分别到一年级的4个班听课，不同的安排方法的种数为(D)A) 4C 46 B) 4P 46 C) C 46 D) P 462、2930除以6的余数是(C)A)5 B)0 C)1 D)-13、六名青年起愿者在北京参加2008年奥运会的六个服务项目，若每人只参加其中一项，且学生甲不参加第一个服务项目，则不同的安排方案有(D)A) C 15C 55 B) P 66 C) P 55 D) C 15P 55某校高二年级有8个班，甲、乙两人从外地转到该年级插班，学校让他们各自随机选择班级，他们刚好选在同一个班的概率是(D) A)41 B) 161 C) 641 D)81【仿真题型】【例1】求（2x+y ）10的展开式中，系数最大的项。

【解】设展开式的第r+1项的系数最大，则有k k C --111102≤k k C -10102≥k k C -+91102 )!1()!9(2!109+-⨯-k k k ≤!)!10(2!1010k k k -⨯-≥)!1()!11(2!1011--⨯-k k k∴)1(1+k k ≤k k )10(2-≥)10)(11(4k k -- ∴38≤k ≤311, 又k N ∈且k ≤9 ∴k=3 ∴第4项的系数最大，最大系数为C 31072⨯=15360。

第11讲排列组合和二项式定理,概率(2021高考数学新东方内部第11讲排列、组合和二项式定理,概率(2021高考数学---新东方内部第一一章排列组合与二项式定理1.排列数公式成年男子n（n？1）（n？2）？（n？m？1）？Nn（m？n）；an？Nn（n？1）（n？2）？2.1.(n?m)!如①1！+2！+3！+…+n！（n?4,n?n*）的个位数字为；（答：3）②满足a8x?6a8x?2的x＝（答：8）组合数公式曼恩？（n？1）？？？（n？m？1）n！0c？M（m？n）；指定0！？1，中国？一amm?(m?1)???2?1m!?n?m?!mnmnm如已知cn?cm?1?an?6，求n，m的值.（答：m＝n＝2）(了解)排列数、组合数的性质①cnmcnn？M1②cnm?cnm?1?cnm??1；kk？1.③kcn？ncn？1.1.④crr？crr？1.crr？r？cnr1.⑤NN（n？1）！？Nn11??⑥.(n?1)!n!(n?1)!2.解排列组合问题的依据是：分类和添加（每种方法都可以独立完成这项任务，相互独立，每次都得到最终结果，只有一种方法可以完成这项任务），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序的安排，无序的组合如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35）②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；（答：70）③ 从收集中？1,2,3? 和1,4,5,6? 如果将每个元素作为点的坐标，则它位于直角坐标系中中能确定不同点的个数是_；（答：23）④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12）⑤?a的一边ab上有4个点，另一边ac上有5个点，连同?a的一个顶点总共有10个点。

将这些点作为顶点可以形成三个三角形；（答复：cb90）⑥ 使用六种不同的颜色来分隔右图中的四个区域a、B、C和D，并且允许使用相同的颜色一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有d种不同涂法；（答：480）⑦ 同一个房间里的四个人每人写一张新年贺卡，然后每人拿一张别人寄来的新年贺卡。

排列、组合和概率：课题：二项式定理（第一课）————说课设计今天我说课的内容是高二排列、组合和概率（人教版）第十章第四章节《二项式定理》的第一课时：《二项式定理》.下面我就从教材分析、教学目标、教法和学法、教学过程四个方面对本课的教学设计进行说明.一、说教材：1、知识内容：二项式定理及简单的应用.2、地位及重要性：二项式定理是安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容,其形成过程是组合知识的应用,同时也是自成体系的知识块,为随后学习的概率知识及高三选修概率与统计,作知识上的铺垫.二项展开式与多项式乘法有密切的联系,本节知识的学习,必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识.运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题,例如近似计算、整除问题、不等式的证明等.3 、重点难点分析：重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程,掌握二项式,系数,字母的幂次,展开式项数的规律.（2）能够应用二项式定理对二项式进行展开.难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程.二、说教学目标：A.知识目标：（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程,掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律.（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开.B.能力目标：（1）通过二项式定理的推导过程,培养学生观察,猜想,归纳的能力以及分类讨论的能力.（2）培养学生化归的意识和知识迁移的能力.C. 德育渗透目标 : （1）培养学生“理论源于实践,用于实践”的观点 .（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程,培养学生解决数学问题的兴趣和信心.（3）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程,使学生体会到数学内在的和谐对称美.三、说教法和学法：1、教法为了完成本节课的教学目标,掌握并能正确运用二项式定理,让学生主动探索展开式的由来是关键.“学习任何东西的最好的途径是自己去发现”正所谓“学问之道,问而得,不如求而得之深固也”.本节课的教法贯穿启发式教学原则,采用“多媒体引导点拨”的教学方法以多媒体演示为载体,以“引导思考”为核心,设计课件展示,并引导学生沿着积极的思维方向,逐步达到即定的教学目标,发展学生的 逻辑思维能力；同时,考虑到学生的个体差异,在教学的各个环节进行分层施教,实现“有差异”的发展.另外根据“最近发展区”的教学理论,精心设计问题,调控问题的解决过程,培养这节课内容最佳的“知识增长点”.2、 学法根据学生思维的特点,遵循“教必须以学为主立足点”的教学理念,让每一个学生自主参与整堂课的知识构建.在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移,对照学习.学生在教师营造的“可探索”的环境里,积极参与,生动活泼地获取知识,掌握规律、主动发现、主动发展.3、 教学手段利用电脑,投影仪等多媒体教学展现二项式定理的推导过程,激发学生的的兴趣,增大教学容量,提高课堂效率.四、 教学过程：本节课教学过程总体指导思想是体现教学的阶段序进原则和学生主动性原则,在教学中注意发挥教师的主导作用和学生学习的主体作用.根据班级学生的情况,进行分组合作探究二项式定理.[复习引入新课]思考：如果今天是星期六,那么再经过 68天后是星期几？?)17(866=+=我们知道 ()2222b ab a b a ++=+根据多项式乘法,又可得()=+3b a 322333b ab b a a +++,()=+4b a 432234464b ab b a b a a ++++.问题：按上述方法展开()100b a +、()nb a +实际可行吗？可见应探讨新方法. 引出问题1：将))()((332211b a b a b a +++展开由乘法原理可以得到有8项,由学生写出展开式为：321321321321321321321321b b b a b b b a b a a b b b a a b a b a a a a a +++++++教师提问：问：（1）展开式有多少项？为什么？（2）项是怎样构成的？有规律吗？学生在思考上述问题和观察展开可发现规律,老师引导总结：（1） 从每一个括号任取且只能取一个数；（2） 把取出的数乘在一起,将所有乘式加在一起就得到展开式.引申设疑：引出问题2： 在上式中：如果b b b b a a a a ======321321,则展开式又是什么？ 学生答：是bbb bba bab baa abb aba aab aaa +++++++,仍然有8项,但有同类项,合并同类项得：3223333)(b ab b a a b a +++=+紧接着提出问题3：4)(b a +的展开式是什么？依照规律,展开式应有1624=项,但是有多少同类项？要想知道这个问题,还得从3)(b a +的展开式研究.思考,为什么a b 2的系数是3？除了从一般展开式中数出来,可以从什么角度出发呢？学生根据排列组合的知识,可以发现))()((b a b a b a +++这三个括号中任意两个取b ,剩下的一个括号取a ；利用组合知识得a b 2的系数是31123=C C . 实验猜想：学生对4)(b a +进行分类：四个括号中全取a 得：444a C四个括号中有3个取a ,剩下的1个取b 得：b C a C 11334四个括号中有2个取a ,剩下的2个取b 得： 222224b C a C四个括号中有1个取a ,剩下的3个取b 得：333114b C a C 四个括号中有全取b ,得：444b C其实只要抓住一个字母进行分类即可,可以按a 分类,也可以按b 分类,根据教材提示按b 分类得：在上面四个括号中：每个都不取b 的情况有1种,即04C 种,所以4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种,所以b a 3的系数是14C ；恰有2个取b 的情况有24C 种,所以22b a 的系数是24C ；恰有3个取b 的情况有34C 种,所以22b a 的系数是34C ； 4个都取b 的情况有44C 种,所以4b 的系数是44C ；因此,.)(44433422243144044b C ab C b a C b a C a C b a ++++=+归纳推广：教师提出问题4：()nb a +的展开式又是如何？ 归纳猜想：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+•••++•••++=+-- —————— 二项式定理公式特征：（1） 项数：共有1+n 项.（2） 指数：a 的指数从n 逐项递减到0,是降幂排列；b 的指数从0逐项递增到n,是升幂排列, r r n b a -指数和为n.(3) 二项展开式的通项公式: 式中的r r n r n b a C -叫做二项展开式的通项.用1+r T 表示,即通项为展开式的第1+r 项: 1+r T =r r n r n b a C -(4) 二项式系数:依次为,,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ••••••这里),,1,0(n r C r n ⋅⋅⋅=称为二项式系数.)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+•••++•••++=+--问=-nb a )(?令x b a ==,1,则=+n x )1(? 令x b a -==,1,则=-n x )1(?则,=-4)13(xx ? , =-6)11(x ? [例题分析] 例题1：展开6)12(x x -并求展开式中的常数项？（解答略）例题2:求12)(a x +的展开式中的倒数第4项.（解答略）例题3：求7)21(x +的展开式的第4项的二项式系数和第4项的系数.（解答略）[课堂练习]1.分别求66)23(,)32(a b b a ++的第3项.(解答略)2.写出433)21(x x -的展开式的第3项. (解答略)（把学生的练习进行投影,与同学们一起点评）[课堂小结]（1）二项式定理：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+•••++•••++=+--（2）二项展开式的通项公式：1+r T =r r n r n b a C -（3）应用：求展开式及展开式中的指定项,求二项展开式某一项的二项式系数和系数.（4）科学态度：养成善于观察、归纳、大胆猜想,利用从特殊到一般从而得出结论的学习态度.[课后作业]A. 必做题：1．P 110习题10.4 T 2 、T 3 、T 4(1)(2).B. 选做题： 在n xx )12(23+ 展开式中,若存在常数项,则n 的最小值. 研究性问题：某市在描绘未来五年的蓝图中指出：年人均收入在今后五年都要以10%的速度增长,使每个家庭开开心心奔小康.若今年人均收入为8000元,则5年后人均收入是多少万元？（精确到0.01万元）.课后探究：（1）二项式系数nn n n n C C C C ,,,,210•••有何性质？（2）如何求52)21(x x -+展开式中5x 项的系数？准备这节课,我主要考虑下面几个问题：（1）这节课的教学目的“使学生掌握二项式定理”重要,还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要？我反复斟酌,听取了备课组老师们的意见,认为后者重要.于是,我这节课花了大部分时间是来引导学生探究.（2）学生怎样才能掌握二项式定理？是通过大量的练习来达到目的,还是通过学生对二项式定理的形成过程来记忆？正如前面所说“学问之道,问而得,不如求而得之深固也”.我还是要求学生自主的去探索二项式定理.这样也符合以教师为主导、学生为主体、师生互动的新课程教学理念.（3）准备什么样的例题？例题的目的是为了巩固本节课所学,通过例题加深学生对二项式定理的理解和对通项公式的掌握,区分系数和二项式系数.（4）根据学生的差异,布置选做题和课后探究题,因材施教.教学设计的说明：许多老师上课的着眼点是放在如何“讲”好一堂课,如何把知识“讲”明白上,而我根据我校推行的“以人为本,以学定教”的教学理念,把着眼点放在如何“引导”学生自主探究知识,获取知识上.所以,本节课的教学,我从学生已有的认识基础出发,以学生自主探索,合作交流为为主线,让学生经历数学知识的形成和应用过程,加深对所学知识的理解,从而突破重难点.教师是整个教学活动的组织者.策划者,学生是学习的主人.由于学生的层次不一,教师要全程关注每一位学生的学习状态,进行分层施教,对学有余力并对数学有浓厚兴趣的同学,通过布置选做题去发展他们的数学才能.总之,在整个教学过程中,我始终将“教学反应”型评价和“教学反馈”评价相结合,促进学生的自主评价,努力推行成功教育,愉快教育的理念,把握评价的时机和尺度,实现评价主体和形式的多样化,从而激发学生的学习兴趣,激活课堂气氛,使课堂教学达到最佳状态.。