高中数学选修2-1基础精品讲义

案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一曲线方程概念的理解1.在建立了平面直角坐标系之后,平面内的点和有序实数对之间就建立了一一对应关系,现在要求我们进一步研究平面内的曲线与含有两个变量的方程之间的关系.平面内的曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合(或轨迹)也就是说:(1)曲线上的每一个点都要符合某种条件;(2)每个符合条件的点都要在曲线上既然平面内的点与作为它的坐标的有序实数对之间建立了对应关系,那么对应于符合某种条件的一切点,它的坐标是应该有制约的,也就是说它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约束,所以探求符合某种条件的点的轨迹问题,就变为探求这些点的横坐标与纵坐标应满足怎样的约束条件的问题,含两个变量x、y的方程F(x,y)=0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的约束.2.在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关系(1)和(2)缺一不可,而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的从集合的角度来看,设A是曲线C上的所有点组成的点集,B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点集,则由关系(1)可知A⊆B,由关系(2)可知BCA;同时具有这两个关系,就有A=B.3.从充要条件的角度理解,即“某点在曲线上”与“点的坐标满足曲线的方程”之间是互为充要条件的.知识点二圆系方程1.曲线系:同时具有某一特征的一组曲线叫做一个曲线系;它们的共同方程叫做这个曲线系的曲线系方程2.圆系方程:(1)过两已知圆交点的圆系方程:两相交圆C:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.则过其交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).(2)过直线与圆交点的圆系方程:直线Ax+By+C=0与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交,则过其交点的圆系方程为:x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0. 典型例题分析题型1曲线的方程与方程的曲线 【例1】判断下列命题是否正确:①设点A(2,0)、B(0,2),则线段AB 的方程是x+y-2=0; ②到原点的距离等于5的动点的轨迹是y=x -25; ③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x 2-y 2=0. 解析 根据曲线与方程的定义,逐条检验“两性”答案 命题①中方程x+y-2=0表示一条直线,坐标满足该方程的点如(-1,3)等不在线段AB 上,故命题①错误;命题②中到原点距离等于5的动点的轨迹方程为x 2+y 2=52,方程y=x -25表示的曲线是圆x 2+y 2=25除去x 轴下半部分的曲线,故命题②错误命题③中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=±x,满足x 2-y 2=0,反过来坐标满足方程x 2-y=0的点到两坐标轴的距离相等,故命题③正确规律总结 判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上【变式训练1】下列命题是否正确?若不正确,说明原因 (1)过点A(2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是|x|=2; (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x答案(1)错误,因为以方程|x|=2的解为坐标的点,不都在直线l 上,直线l 只是方程|x|=2所表示的图形的一部分(2) 错误,因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y=x 和y=-x,故y=x 不是所求的轨迹方程题型2曲线的交点【例2】求通过直线2x+y+4=0及圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,并且面积最小的圆的方程 解析 利用圆系公式可求出变圆的半径,参变量取适当值时可使变圆半径最小答案 设圆的方程是(x 2+y 2+2x-4y+1)+λ(2x+y+4)=0,即[x+(1+λ)2+(y+24-λ)=4161652+-λλ.设该圆半径为R,由圆面积公式S=πR 2,得R 2=4161652+-λλ取最小值的面积为最小.而R 2=45（λ-58）2+54,所以当λ=58时,圆面积最小.此时圆的方程是5x 2+5y 2+26x-12y+37=0.规律总结 最值问题要先列出目标函数,再利用合适的方法求最值【变式训练2】已知直线x+y+b=0与曲线x 2-1+y=0有公共点,则b 的取值范围是 .答案 联立两曲线方程,消去y 得x 2-x-(1+b)=0.由题意得△≥0,即1+4(1+b)≥0,解得b ≥-45规律 方法 总结1.判断方程是否是曲线方程,要从两方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上2.判断方程表示什么曲线,要对方程适当变形,变形过程一定要注意与原方程的等价 性,否则变形的方程表示的曲线就不是原方程的曲线,另外,变形的方法还有配方法、因式分 解法等3.在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹方程的问题, 而解决这类问题的解法称为代入法(或相关点法),而此法的关键是如何来表示出相关的点定时 巩固 检测基础训练1.如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C 上”是不正确的,那么下列命题中正确的是 ( ) A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C 上 B.曲线C 上的点的坐标不都满足方程f(x,y)=0C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C 上,有些不在曲线C 上D.至少有一个不在曲线C 上的点,其坐标满足f(x,y)=0 【答案】D(点拨:由简易逻辑推理可得)2.已知圆C 的方程f(x,y)=0,点A(x 0,y 0)在圆外,点B(x ´,y ´)在圆上,则f(x,y)-f(x 0,y 0)+f(x ´,y ´)=0表示的曲线是 ( ) A.就是圆C B.过A 点且与圆C 相交的圆 C.可能不是圆 D.过A 点与圆C 同心的圆 【答案】D(点拨:由点B(x ´,y ´)在圆上, ∴f(x ´,y ´)=0,即方程为f(x,y)-f(x 0,y 0)=0, ∴方程过点A(x 0,y 0) 又f(x 0,y 0)为常数,∴f(x,y)-f(x 0,y 0)=0仍为圆的方程.)3.已知A(1,0),B(-1,0),动点M 满足|MA|-|MB|=2,则点M 的轨迹方程是 ( ) A.y=0(-1≤y ≤1) B.y=0(x ≥1) C.y=0(x ≤-1) D.y=0(|x|≥1) 【答案】C(点拨:由|MA|-|MB|=2可设M(x,y),则()()222211y x y x ++-+-=2整理得:y=0,又|MA|-|MB|>0,∴x ≤-1.)4.点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,则a= . 【答案】31(点拔:将点代入方程中即可.) 5.已知两定点A(-1,0),B(2,0),动点P 满足21=PB PA,则P 点的轨迹方程是 . 【答案】x 2+4x+y 2=0(点披：将|PA|与|PB|用距离公式表示出整理即可,)6.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l ,交x 轴于A 点,2l 交y 轴于B 点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【答案】如下图,设M 点的坐标为(x ，y),则A(2x,0),B(0,2y)∵1l ⊥2l ,2l P(2,4),∴PA ⊥PB,k PA ·k PB =-1,而k PA =x x -=-12224(x ≠1),k PB =2042--y =2-y, ∴x-12·(2-y)=-1,整理得x+2y-5=0(x ≠1). ∵当x=1时,A(2.0),B(0,4∴AB 的中点M(1，2)也满足方程x+2y-5=0,综上所述,点M 的轨迹方程为x+2y-5=07.线段AB 的长度为10.它的两个端点分别在x 轴,y 轴上滑动，则AB 的中点P 的轨迹是什么? 【答案】解法一：由题意可知AB 的中点P 恒满足到原点(0,0）的题离为5,所以点P 的轨迹为以原点为圆心,以5为半径的圆.解法二:设P 点的坐标为(x,y),由中点坐标公式知A(2x ，0),B(0,2y),因为|AB|=10,所以2244y x +=10,即x 2+y 2=25,所以点P 的轨为以原点为圆心,以5为半径的圆能力提升8.如图所示的曲线方程是 （ ）A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.y x =0D.yx -1=0【答案】B(点拔:A 中y ≥0与图形不符,C 、D 中都不满足y= 0,而图形过原点,所以排除C 、D,只有B 符合题意.) 9.(1)方程(x+y-1)1-x =0表示什么曲线?(2)方程2x 2+y 2-4x+2y+3=0表示什么曲线? 【答案】(1)由方程(x+y-1)1-x =0可得⎩⎨⎧=-+≥-010,1y x x 或⎩⎨⎧=-≥-.01,01x x 即x+y-1=0(x ≥1)或x=1,表示直线x=1和射线x+y-1=0(x ≥1).(2)方程左边配方得2(x-1)2+(y+1)2=0,∵2(x-1)2≥0,(y+1)2≥0,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,0)1(,0)1(222y x 得⎩⎨⎧-==,1,1y x∴方程表示的图形是点A(1,-1).10.求经过两圆C 1：x 2+y 2+6x-16=0,C 2:x 2+y 2-4x-5=0的交点,且过点(2,1)的圆的方程. 【答案】 设圆的方为x 2+y 2+6x-16+λ（x 2+y 2-4x-5)=0又因为圆过点(2,1),代入方程得λ=81,所以所求圆的方程为x 2+y 2+6x-16+81(x 2+y 2-4x-5)=0.即9x 2+9y 2+44x-133=0.（点拨:过相交的两个圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0,C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0的交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0(λ≠-1).11.设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为定值a(a>0),试求点P 的轨迹方程,并探求点P 的轨迹 【答案】设动点P 的坐标是(x ，y),由PBPA =a(a>0)得2222)()(yc x y c x +-++=a,简得(1-a 2)x 2+2c(1+a 2)x+c 2(1-a 2)+(1-a 2)y 2=0.当a ≠1时,得x 2+221)1(2aa c -+x+c 2+y 2=0,整理得22211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c a a x +y 2=2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ac ；当a=1时，化简得x=0,所以当a ≠1时,P 点的轨迹是以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+0,1122c a a 为圆心，122-a ac为半径的圆:当a=1时,P 点的轨迹是y 轴.。

案例（二）——精析精练课堂合作研究重点难点突破知识点一 共线向量定理（1）定理内容：对空间两个向量，的充要条件是存在唯一的实数，()0,≠b b a b a //x 使。

此定理可以分解为以下两个命题；①若，则存在唯一实数，使xb a =()0//≠b b a x 。

②存在实数，使，则。

xb a =x ()0≠=b xb a b a // （2）在定理中为什么要规定呢?当时，若，则，也存在实数0≠b 0=b 0=a b a //使；但若，我们知道零向量和任一非零向量共线，但不存在实数，使x xb a =0≠a x ，因此在定理中规定了。

若将定理写成，则应规定。

xb a =0≠b xa b b a =⇔//0≠a 说明：①在功中，对于确定的和，功表示空间与平行或共线且长xb a =x b xb a =b度为的所有向量；②利用共线向量定理可以证明两线平行，xb 或三点共线。

知识点二 共面向量定理（1）共面向量已知向量，作，如果的基线平行于平面，记作a a OA =OA a （右图），通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

α//a 说明：①是指的基线在平面内或平行平面。

②共面向量是指这些向量的α//a a αα基线平行或在同一平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异面。

我们已知，对空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了。

例如，在下图中的长方体，向量、、，无论怎样平移都不能使它们在AB AC AD 同一平面内。

（2）共面向量定理共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量a b c、共面的充要条件是，存在唯一的一对实数，使。

a b y x ,yb xa c +=说明：①在证明充要条件问题时，要证明两个方面即充分性和必要性。

②共面向量的充要条件给出了平面的向量表示，说明任意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此已知共面条件化为向量式，以便我们的向量运算。

抛物线及其标准方程编稿：张林娟责编：孙永钊【学习目标】1．知识与技能：（1）理解抛物线的定义，画出图形，并掌握其标准方程；（2）利用定义求标准方程，焦点，准线；（3）掌握简单运用．2．过程与方法：（1）根据抛物线特征选择不同解决方法；（2）从具体情境中抽象出抛物线模型；（3）用数学的思维和方法解决生活中与抛物线相关的问题．3．情感态度与价值观：在学习抛物线中，体会数形结合处理问题的好处．【要点梳理】要点一：抛物线的定义定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不过F）的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．要点诠释：（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一个顶点，一定直线，一个定值．（2）定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上，若F 在l 上，抛物线变为过F 且垂直与l 的一条直线．（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．要点二：抛物线的标准方程1． 标准方程的推导（1）建系：如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴，垂足为K ，以FK 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xOy ．（2）设点：设|KF |=p (p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-．设点M （x ，y ）是抛物线上任意一点．（3）列式：点M 到l 的距离为d ．由抛物线的定义，抛物线就是集合{|||}P M MF d ==， 即22()||22p p x y x -+=+． （4）化简：将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>． ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p ，其准线方程是2p x =-． 2． 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式。

第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理高中数学选修2-1·精品课件引入课题平面向量中包含哪些基本定理形式？能否将平面向量的定理推广到空间向量？其形式又会有怎样的变化？知识点一：共线向量定理规定：零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a ∥b .2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使 a =λb .推论:如果l 为经过已知点A 且平行已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,满足等式OP =OA +t a ,其中 a 叫做直线l 的方向向量.探究点：三点共线如何利用共线向量定理判定三点共线？AC BOAC=λABOC−OA=λ(OB−OA) OC=(1−λ)OA+λOBA、B、C三点共线⇔OC=xOA+yOB(其中O为空间中任意一点，且x+y=1)特别有：当B为线段AC的中点时OB=12(OA+OC)例1 如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD.利用向量法证明四边形EFGH是梯形．[思路探索]只需证EH∥FG，且EH≠FG即证EH∥FG，且|EH|≠|FG|利用BD构建EH与FG的关系∵E、H分别是边AB、AD的中点，∴AE=12AB，AH=12AD，EH=AH−AE=12AD−12AB＝12(AD−AB)＝12BD＝12(CD−CB)＝12(32CG−32CF)＝34(CG−CF)＝34FG，∴EH∥FG，且|EH|≠|FG|,又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形．证明：跟踪训练1.设两非零向量e1、e2不共线，AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．解:∵BD＝BC＋CD＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1+e2)，∴BD＝5AB又∵B为两向量的公共点，∴A、B、D三点共线．知识点二：共面向量共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.想一想，为什么？说明：空间任意两个向量都是共面向量，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.探究点：共面向量定理1.若 a 与b 为不共线的两个向量， p 、 a 、b 共面，p 能被 a 、b 唯一表示吗？想一想，为什么？存在唯一有序实数对(x , y ) p =x a +y b2.若存在唯一有序实数对(x , y )，使 p =x a +yb ，则 p 、 a 、b 共面吗？ab xayb p 平行四边形的对角线三个向量共面共面向量定理如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与a 、b共面的充要条件是:存在唯一的有序实数对(x , y )使p =x a +y b .知识点四：四点共面类似于共线向量定理可以判定三点共线，利用共面向量定理怎样判定四点共面？AP =mAB +nAC系数和等于1APCBOOP −OA =m(OB −OA)+n(OC −OA )OP =1−m −n OA +mOB +nOCP 、A 、B 、C 四点共面⇔OP =xOA +yOB +zOC (其中O 为空间中任意一点，且x +y +z =1)例2 如图所示，P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连结MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．[思路探索]只需找到EF，EG，EH的线性关系证明：∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有PE=23PM，PF=23PN，PG=23PQ，PH=23PR.∵MNQR为平行四边形，∴EG=PG−PE＝23PQ－23PM＝23MQ＝23(MN＋MR)＝23(PN−PM)＋23(PR−PM)＝23(32PF−32PE)＋23(32PH−32PE)＝EF+EH.∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.2.已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE＝k OA，OF＝k OB，OG＝k OC，OH＝k OD＝k，求证：(1)四点E、F、G、H共面；(2)平面EG∥平面AC.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC=AB+AD，EG=OG−OE＝k OC－k OA＝k AC＝k(AB+AD)＝k(OB−OA+OD−OA)＝OF−OE+OH−OE＝EF+EH.所以E、F、G、H共面．(2)EF＝OF−OE＝k(OB−OA)＝k AB，且由第(1)问的证明中知EG＝k AC，于是EF∥AB，EG∥AC.且EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，所以平面EG∥平面AC.知识点五：空间向量基本定理如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}，使得p=x a+y b+z c.{a, b, c}为空间中的一个基底a, b, c叫做基向量.cabx ay bz c p(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.(2)基底不同，对于向量的分解形式不同.典例分析解：例3 若{a ，b ， c }是空间的一个基底，判断{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }能否作为该空间的一个基底．假设a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 共面，则存在实数λ，μ使得a ＋b ＝λ(b ＋ c )＋μ( c ＋a )，∴a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ) c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面，∴a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }可以作为空间一个基底．∴λ=1，μ=1，λ+μ=0，此方程组无解．是否共面3.以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．【解析】因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．【答案】②③例4空间四边形OABC 中，M ，N 是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝ c ，用向量a ，b ， c 表示向量OM ，ON ，MN .AC BO PNMac b如图，取BC 中点P ，则A 、M 、P ，O 、N 、P 分别共线，连结AP ，OP .AM ＝OA ＋AM ＝a ＋23AP＝a ＋23×12(AB ＋AC )，解：利用线性运算，结合图形，对向量进行分解＝a＋13(OB－OA)＋13(OC－OA)＝a＋13b－13a＋13c－13a＝13a＋13b＋13c.ON＝23OP＝23×12(OB＋OC)＝13b＋13c.MN＝ON－OM＝13b＋13c－13b－13c－13a＝－13a.A CBOPNMa cb4.如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF，BE，AE，EF.解:连结BO，则BF＝12BP＝12(BO＋OP)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.BE＝BC＋CE＝－a＋12CP＝－a＋12(CO＋OP)＝－a－12b＋12c.AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.EF＝12CB＝12OA＝12a.归纳小结1.用好已有的定理及推论：如共线向量定理、共面向量定理及推论等，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题. 2.在解决空间向量问题时，结合图形，以图形为指导不但事半功倍，更是迅速解题的关键！D1．下列命题中正确的个数是()①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb A．1B．2 C．3 D．02.已知三角形ABC中，AB|AB|+AC|AC|=AD|AD|则D点位于( )A.BC边的中线上B.BC边的高线上C.BC边的中垂线上D.∠BAC的平分线上D3.已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()DA．a B．b C．a＋2b D．a＋2c4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝x OA＋y OB＋z OC，则(x，y，z)为()A.(14,14,14) B.(34,34,34)C.(13,13,13) D.(23,23,23)A再见。

第三章 空间向量与立体几何一、坐标运算()()111222,,,,,a x y z b x y z ==()()()()121212121212111121212,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=⋅=⋅⋅⋅则二、共线向量定理(),0,=.a b b a b a b λλ≠←−−→∃充要对于使三、共面向量定理,,.a b p a b x y p xa yb ←−−→∃=+充要若与不共线，则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←−−−→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←−−→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点()()()11,1.P A B C AP xAB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性、、、四点共面，，，，令()()() 1,1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性，，、、、四点共面. 六、空间向量基本定理{},,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ∃若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,,都叫做基向量.七、立体几何中的向量方法121212,,.n n l l v v αβ设平面和的法向量为和直线和的方向向量为11121111121212121212n v l l l n v l l l v v l l v v n n n n αααβαβ⊥⇒⊂⇒⊥⇒⊥⇒⊥⇔⊥⇔⊥①或②若③④⑤⑥八、角、距离()1θ异面直线的夹角，cos cos ,AB CD AB CD AB CD θ⋅==⋅则()2,θ线与面的夹角sin cos a n a n θα⋅==⋅则()3,θ二面角1212cos cos n n n n θα⋅==⋅则θ说明：只能由已知图观察锐钝.()4,d 点到平面的距离cos PA n d PA n θ⋅=⋅=则cos cos d PA n PA n PA nd PA n θθ⋅=⋅⋅⋅∴=⋅=说明：由图可知为在方向上的投影的绝对值，。

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案例（二）----精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 平面的法向量1.平面法向量的定义(1)定义:已知平面a 如果向量n 的基线与平面a 垂直,则向量n 叫做平面a 的法向量或说向量n 与平面a 正交.(2)平面法向量的性质:①平面a 的一个法向量垂直于与平面a 共面的所有向量;②一个平面的法向量有无数个,一个平面的所有法向量互相平行.2.平面的法向量的求法方法一:找到一条与已知平面垂直的直线,则该直线的任意方向向量都是该平面的法向量方法二:待定系数法,即若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:①设出平面的法向量为n=(x,y,x)；②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2)；③根据法向量的定义,建立关于x,y,z 的方程组⎩⎨⎧=∙=∙;0,0b n a n ④解方程组,取其中的一个解,即得法向量.这里需要说明的是:①方法二必须建立空间直角坐标系,而方法一却不一定要建立空间直角坐标系,视具体情况而定;②在求平面的法向量时,要先找有没有和平面垂直的直线,若没有则用待定系数法;③在利用方法二求解平面的法向量时,方程组⎩⎨⎧=∙=∙;0,0b n a n 有无数多个解,只需给x,y,之中的一个变量赋予一个特值,即可确定平面的一个法向量.赋予的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.3.平面法向量的作用详解:设n 1,m 2分别是平面a,β的法向量,m 是直线l 的方向向量,则有:①l ∥a 或l ⊂a ⇔m ⊥n 1⇔m ·n 1=0；②l ⊥a ⇔m ∥n 1；③a ∥β或a 与β重合⇔n 1∥n 2；④a ⊥β⇔=n 1⊥n 2⇔n 1·n 2=0.知识点二 三垂线定理及其逆定理.三垂线定理及逆定理实际上反映的是斜线和射影的关系.①三垂线定理的符号描述如右图,PO 、PA 分别是平面a 的垂线、斜线,OA 是PA 在a 内的射影,a ⊂a,且a ⊥OA,则a ⊥PA.②三垂线定理的逆定理的符号描述如上图,PO 、PA 分别是平面a 的垂线、斜线,OA 是PA 在a 内的射影,a ⊂a,且a ⊥PA,则a ⊥OA.关于定理的应用,首先是找出平面的垂线,至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的,由此,我们可以得出三垂线定理证明a ⊥b 的一个程序:一垂、二射、三证,即:第一:找平面及平面的垂线;第二:找射影线(或斜线),这时a,b 便成为平面内的一条直线及一条斜线(或射影);第三:证明射影(或斜线)与直线a 垂直,从而得出a,b 垂直.典型例题分析题型1 求平面的法向量【例1】已知平面a 经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面a 的一个法向量.解析 用待定系数法求解平面a 的法向量.答案 因为A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),所以=(1,-2,-4),=(2,-4,-3).设平面a 的法向量为n=(x,y,z),依题意,应有n ·=0,n ·=0,即有⎩⎨⎧=--=--,0342,042z y x z y x 解得⎩⎨⎧==.0,2z y x 令y=1,则x=2,所以平面a 的一个法向量为n=(2,1,0 方法指导 用待定系数法求解平面的法向量,关键是在平面内找两个不共线的向量,然后列出方程组,方程组有无数解取其中的一个解即可,但要注意在取方程组的一组解时,不能都取零,否则得到零向量,而零向量的方向不能确定,不能作为法向量.【变式训练1】 已知点A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC 的一个单位法向量 答案 因为A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),所以=(-3,4,0),=(-3,0,5).设平面ABC 的法向量为n=（x,y,z)依题意，应有n ·=0,n ·=0,即有⎩⎨⎧=+-=+-,053,043z x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,53,43x z x y ,即平面A 的法向量为n(x ，43x,53x),所以平面ABC 的单位向量为n 0=n n =(76920,76915,76912)或n 0=-n n =(-76920,-76915,-76912). 【例2】 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求平面ACD 1的法向量n 和单位法向量n 0.解析 首先建立空间直角坐标系,再用待定系数法求解平面的法向量.答案 建立空间直角坐标系,如图,则A(1,0,0),C(0,1,0).设平面ACD1的法向量n=(x,y,1).得AC =(-1,1,0),AD =(-1,0,1).又n ⊥面ACD,得n ⊥,n ⊥,所以有⎩⎨⎧=-∙=-∙,0)1,0,1()1,,(,0)0,1,1()1,,(y x y x 得⎩⎨⎧==,1,1y x ∴n=(1,1,1), n 0=n n =111)1,1,1(++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,33,33. 方法指导 用待定系数法求解平面的法向量,应该说是个基本方法,它具有操作简单的特点,应切实掌握其实,对于本题来说,却未必是一个好的方法,这是因为我们可以利用三垂线定理得出直线DB 1⊥AD 1,DB 1⊥CD 1,从而DB 1⊥平面ACD 1,所以1DB 就是平面ACD 1的一个法向量.【变式训练2】 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在BC,DD 1上是否存在点E,F,使B 1是平面ABF 的法向量?若存在,请证明你的结论,并求出点E,F 满足的条件;若不存在,请说明理由.答案 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),B 1(1,1,0).设F(0,0,h),E(m,1,1),则=(0,1,0),B 1=(m-1,0,1),=(1,0,1-h).∵·E B 1=0,∴AB ⊥B 1E. 若F B 1是平面ABF 的法向量,则F B 1·=m-1+1-h=m-h=0,∴h=m 即E,F 满足D 1F=CE 时,F B 1是平面ABF 的法向量.所以存在,且E,F 满足D 1F=CE.题型2 三垂线定理及其逆定理的应用【例3】 如下图,下列5个正方体图形中,线段l 是正方体的条对角线,点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号)① ② ③④ ⑤ 解析 本题以正方体为依托,主要考查直线与平面垂直的判定,比较深刻地考查了空间想象能力.为了得到本题答案,必须对5个图形逐一进行判别.对于给定的正方体,l 位置固定,截面MNP 变动,l 与面MNP 是否垂直,可以从正、反两方面进行判断,MN 、NP 、MP 三条线中,若有一条不垂直l ,则可断定l 与面MNP 不垂直；若有两条相交直线与l 都垂直,则可断定l ⊥ 面MNP.答案 解法一:如果记正方体对角线l 所在的对角线截面为a,各图可讨论如下:在图①中,MN 、NP 在平面a 上的射影为同一直线,且与l 垂直故l ⊥面MNP.事实上,还可这样考虑:l 在上底面的射影是MP 的垂线,故l ⊥MP ；在左侧的射影是MN 的垂线,故l ⊥MN,从而l ⊥面MNP.在图②中,由MP ⊥面a,可证明MN 在平面a 上的射影不是l 的垂线,故l 不垂直于MN.从而l不垂直于面MNP.在图③中,点M在a上的射影是l的中点,点P在a上的射影是上底面的中点,知MP在a 上的射影不是l的垂线,得l不垂直于面MNP.在图④中,平面a平分线段MN,故l⊥MN,又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直,从而l⊥MP,故l⊥平面MNP.在图⑤中,点N在平面a上的射影是对角线l的中点,故M、P在平面a上的射影分别是下、下底面对角线的4等分点,三个射影在同一条直线上,且l与这一直线垂直从而l⊥面MNP.至此,得①④⑤为本题答案.解法二：建立空间直角坐标系O-xyz,设正方体的棱长为2,则对角线l的方向向量可取为l=(2,2,-2).对图①,有=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),=(0,0,-1)-(1,0,0)=(-1,0,-1),由l·MP=0,l·=0,得l⊥面MNP.对图②,有MN=(2,2,-1)-(1,0,-2)=(1,2,1),由l·≠0知l与面MNP不垂直.对图③,有=(0,1,0)-(2,0,-1)=(-2,1,1),由l·MP≠0知与面MNP不垂直.对图④,有MP=(1,0,-2)-(2,0,-1)=(-1,0,-1),=(0,2,-1)-(2,0,-1)=(-2,2,0),由l·=0,l·=0,得l⊥面MNP.对图⑤,有MP=(2,1,0)-(1,0,-2)=(1,1,2),MN=(0,2,-1)-(1,0,-2)=(-1,2,1),由l·=0,l·=0,得l⊥面MNP综合得本题答案为①④⑤.方法指导从解法二可以看到:应用向量法讨论两直线是否垂直十分方便,操作也比较简单,无须多动脑筋,只需要计算正确即可.【变式训练3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是棱AB、BC、BB1上的点,且BE=BF=BG,求证:BD1⊥平面EFG.答案如下图所示,因为四边形ABCD是正方形,BE=BF,所以EF∥AC,又因为AC⊥BD,所以EF ⊥BD.因为BD 为BD 1在平面AB 上的射影,所以BD 1⊥EF(三垂线定理).同理BD 1⊥EG,故BD 1⊥平面EFG.【例4】 如右图,P 是△ABC 所在平M 面外一点,且PA ⊥平面ABC,若O,Q 分别是△ABC 和△PBC 的垂心,求证:OQ ⊥平面PBC.解析 欲证线面垂直,只须证明OQ 垂直于面PBC中的两条相交线,据重心,结合PA ⊥面ABC,利用三垂线定理其逆定理及求解答案PAE BC PE BC PBC Q AE BC ABC O 平面的垂心是的垂心是⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒∆⊥⇒∆. 因为OQ ⊂平面PAE,所以OQ ⊥BC,因为PA ⊥平面ABC,BFC 平面ABC 所以BF ⊥PA,又因为O 是△ABC 的垂心,所以BF ⊥AC,所以BF ⊥平面PAC,则FM 是BM 在平面PAC 上的射影. 因为BM ⊥PC,根据三垂线定理的逆定理,可得FM ⊥PC,从而PC ⊥平面BFM,又OQ ⊂平面BFM,所以OQ ⊥PC,又PC ∩BC=C,所以OQ ⊥平面PBC.方法指导 三垂线定理及其逆定理是证明线线垂直,特别是异面直线垂直的常用工具. 利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的问题时,解决问题的关键是找准“一面三线”.【变式训练4】如下左图,在正三棱柱ABC=A 1B 1C 1中,AB 1⊥BC 1,求证:A 1C ⊥BC 1.答案 如上右图,取BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1,由正三棱柱的性质知AD ⊥面BCC 1B 1,A 1D 1⊥面BCC 1B 1,所以B 1D 、CD 1分别为AB 1、A 1C 在面BCC 1B 1上的射影.因为AB 1⊥BC 1,所以B 1D ⊥BC 1(三垂线定理的逆定理)又D 、D 1分别为BC 、B 1C 1的中点,所以B 1D ∥CD 1,所以CD 1⊥BC 1,所以BC 1⊥A 1C(三垂线定理).题型3 利用法向量证明平行与垂直【例5】已知正方体OABC-O 1A 1B 1C 1的棱长为1,E 是C 1O 1上的点,且C 1E=21EO 1,F 是CC 1上的点,且C 1F=21FC. (1)求平面A 1BC 1的一个法向量；(2)证明EF ∥平面A1BC1.解析 一建立恰当的空间直角坐标系,用待定系教法求出平面A 1BC 1的一个法向量n,然后证明EF ⊥n.答案 建立如右图所示的空间直角坐标系,则B(1,1,0),A 1(1,0,1),C 1(0,1,1).(1)设n=(x,y,z)是平面A 1BC 1的一个法向量,则n ⊥1,n ⊥1BC ,从而n ·1=0,n ·1BC =0 ∵1=(0,-1,1),1BC =(-1,0,1),∴⎩⎨⎧=+-=+-,0,0z x z y x=z=y.取x=y=z=1,则n=(1,1,1)为平面A 1BC 1的一个法向量.(2) 要证明EF ∥平面A 1BC 1只要证明⊥n.∵E(0,32,1)F(0,1,32),=(0,31,-31).∵n ·EF =31-31=0,∴n ⊥EF ,∴E ∥平面A 1BC 1. 又EF 不在平面A 1BC 1内,∴EF ∥平面A 1BC 1.方法指导 由于有了第(1)小题,所以产生了上面第(2)小题的证明方法对于第(2)小题的证明也可以由EF =F C 1-E C 1=31(C C 1-11O C )=31(B B 1-11A B )=31B A 1,得∥B A 1,∴∥平面A 1BC 1,又EF ⊄平面A 1BC 1,故EF ∥平面A 1BC 1.或由=(0,31,-31),B A 1=(0,1,-1)=3EF 来证明.【变式训练5】 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点,求证:(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F.答案 如下图,建立空间直角坐标系D-xyz,则有D(0,0，0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、C 1(0,2,2)、E(2,2,1)、F(0,0,1),所以1FC =(0,2,1)、=(2,0,0)、=(0,2,1). 设n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2)分别是平面ADE 、平面B 1C 1F 的法向量,则n 1⊥,n 1⊥AE ,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙==∙,02,0211z y n x n∴⎩⎨⎧-==,2,0y z x 取y=1.则n 1=(0,1,-2).同理可求n 2=(0,1,-2).(1) ∵n1·1FC =(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n 1⊥1FC ,又FC 1￠平面ADE,FC 1∥平面ADE.(2) n 1∥n 2,∴平面ADE ∥平面B 1C 1F.【例6】 在正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中,E 是棱BC 的中点,试在棱CC 1上求一点P,使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE.解析 若要在棱CC 1上求一点P,使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE,需建立恰当的空间直角坐标系,并设出点P 的坐标,求出平面A 1B 1P 与平面C 1DE 的法向量,建立方程求出点P 的坐标,确定点P 的位置.答案 如右图,以D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则P(0,1,a),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1)E(21,1,0), C 1(0,1,1)∴11B A =(0,1,0,A 1=(-1,1,a-1) ,DE =(21,1,0)1DC =(0,1,1). 设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1=(x,y,z),则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,011111A n B A n ⇒⎩⎨⎧=-++-=.0)1(,0z a y x y 令z=1,则得x=a-1,所以平面A1BD 的一个法向量为n1=(a-1,0,1).设平面C1DE 的一个法向量为n2=(x,y,z), 则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0122DC n n ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.0,021z y y x 令y=1,则得x=-2,z=-1,所以平面CB 1D 1的一个法向量为n 2=(-2,1,-1).因为平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE,所以n 1·n 2=0,⇒-2(a-1)-1=0,解得a=21,所以当P 为CC 1的中点时,平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE.规律总结 此题是确定点P 的位置,但考查的是两个平面垂直的充要条件,解决本题的关键是建立恰当的空间直角坐标系,求出两个平面的法向量.这里法向量的坐标一个都不能求错,否则将得到错误答案.【变式训练6】 如下图,△ABC 是一个正三角形,EC ⊥平面ABC,BD ∥CE,且CE=CA=2BD,M 是EA 的中点.求证:平面DEA ⊥平面ECA.答案 不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),EA =(3,1,-2),CE =(0,0,2),ED =(0,2,-1),设面CEA 与面DEA 的法向量是n 1=(x 1,y 1,z 1)、n 2=(x 2,y 2,z 3),所以得⎩⎨⎧==-+,02,0231111z z y x ⇒⎩⎨⎧=-=,0,3111z x y ⎩⎨⎧=-=-+,02,02322222z y z y x ⇒⎩⎨⎧==,2,32222y z y x 不妨取n 1=(1,-3,0),n 2=(3,1,2)从而计算得n 1·n 2=0,所以两个法向量相互垂直,两个平面就相互垂直.规律 方法 总结(1)求平面法向量的方法:求一个平面的法向量的坐标的方法步骤:①建立空间直角坐标系,设出平面的法向量为n=(x,y,z)②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a0,b1,c1),b=(a2,b2,c2).③根据法向量的定义建立关于x 、y 、x 的方程组⎩⎨⎧=∙=∙.0,0b n a n ④解方程组,取其中的一个解,即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个,故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.(2)用空间向量证明平行问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关于平行的定理,再通过向量运算来解决.(3)用空间向量证明垂直问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关于垂直的定理,再通过向量运算来解决.定时巩固检测基础训练1. 下列说法中不正确的是（）A.平面a的法向量垂直于与平面a共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直D.如果a,b与平面a共面,且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面a的一个法向量【答案】 D(点拨:a与b所在直线必须为相交直线时,n才是平面a的一个法向量,否则不是.)2. 给定下列命题:①若n1,n2分别是平面a，β的法向量,则n1∥n2⇔a∥β；②若n1,n2分别是平面a,β的法向量,则a∥β⇔n1·n2=0；③若n是平面a的法向量,且向量a与平面a 共面,则a·n=0；④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面定不垂直其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】 C(点拔:①③④正确,②中a∥p=mn∥m,)3. 给定下列命题:①若a是平面a的斜线,直线b垂直于a在平面a内的射影,则a⊥b;②若a是平面a的斜线,平面β内的条直线b垂直于a在平面a内的射影,则a⊥b;③若a是平面a的斜线,直线b⊂a,且b垂直于a在平面β内的射影,则a⊥b；④若a是平面a的斜线,直线b⊂a,且b垂直于a在平面a内的射影,则a⊥b.其中,正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.3【答案】 B(点拨:根据三垂线定理及其逆定理判断只有④正确.)4. Rt△ABC的斜边BCC平面a,顶点A∉a,则△ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边所成的图形只能是 ( )A.一条线段或一个直角三角形B一条线段或一个锐角三角形C.一条线段或一个锐角三角形D.一个锐角三角形或一个直角三角形【答案】 C(点拨:当平面ABC ⊥平面a 时,Rt △ABC 在平面内的射影是一条线段.当平面ABC 与平面a 斜交时,如右图所示,过A 作AO ⊥a,连接BO,CO,在△BOC 中,AB 2一AO 2=BO 2,在Rt △AOC 中,AC 2-AO 2=CO 2,②在Rt △ABC 中,AB2+AC2=BC2,③在Rt △ABC 中,cos ∠BOC=COBO BC CO BQ ∙∙-+2222,④ 将①②③代入④,得cos ∠BOC=COBO AO ∙∙-22<0,所以∠BOC 是钝角,所以△BOC 是钝角三角形.)5. 设A 是空间任意一点,n 为空间任一非零向量,则适合条件·n=0的点M 的轨迹是 .【答案】 过点A 且与向量n 垂直的平面(点拨:AM ·n=0称为一个平面的向量表示式,这里考察的是基本概念.)能力提升6. 已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC 的单位向量是 .【答案】 ±（31，-32，32）(点拨:设单位法向量n=(x,y,z), 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0354,022,1222z y x z y x z y x 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==32,32,31z y x 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=.32,32,31z y x ） 7. 如下图,PA 垂直于⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影,给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC.其中真命题的序号是 .【答案】①②③(点拨:利用三垂线定理及其逆定理判断即可.)8. 如右图所示,在四棱锥P一ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(注:只要填写一个你认为正确的条件即可)【答案】 DM⊥PC(点拨:由三垂线定理可知BD⊥PC,当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面BMD.所以平面MBD⊥平面PCD.)9. 如右图,△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°. (1)求证:BD⊥平面ADC; (2)若H为△ABC的垂心,求证:H是D在平面ABC内的射影【答案】 (1)因为AD=BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°,所以△ADB≌△ADC,AB=AC,∠BAC=60°,所以△ABC为正三角形,所以AB=BC,所以△ABD≌△CBD,所以△BDC为直角三角形,∠BDC=90°,BD⊥CD.又BD⊥AD,所以BD⊥平面ADC.（2）如右图所示,设D在△ABC内的射影为H′,连接CH′并延长交AB于E,因为CD⊥AD,且CD⊥DB,所以CD⊥面ADB,所以CD⊥AB,由三垂线定理的逆定理得CE⊥AB.同理,连接BH′并延长交AC于F,可得BF⊥AC,所以H′为△ABC的垂心,即D在平面ABC内的射影为△ABC的垂心,所以H′与H重合,即H是D在平面ABC内的射影.。

3．3直线的方向向量[读教材·填要点]1．直线的方向向量一般地，如果向量v ≠0与直线l 平行，就称v 为l 的方向向量． 2．直线的方向向量的应用(1)两条直线垂直⇔它们的方向向量垂直．(2)要证明两条直线平行，只要证明这两条直线不重合，并且它们的方向向量AB ―→与CD ―→平行，也就是证明其中一个方向向量是另一个方向向量的实数倍：CD ―→＝k AB ―→(k 是某个实数)．(3)求两条异面直线AB ，CD 所成的角．若两条异面直线AB ，CD 所成的角为α，AB ―→，CD ―→所成的角为α1，则cos α＝|cos_α1|＝|AB ―→·CD ―→||AB ―→|·|CD ―→|.[小问题·大思维]1．直线的方向向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？ 提示：直线的方向向量不是唯一的，直线的不同的方向向量是共线向量． 2．两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系？ 提示：相等或互补．求异面直线所成的角(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32 B.155 C.105D.33[自主解答] 以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知条件知B 1(0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(1,0,0)，A (－1，3，1)，则BC 1―→＝(1,0，－1)，AB 1―→＝(1，－3，－1)． 所以cos 〈AB 1―→，BC 1―→〉＝AB 1―→·BC 1―→|AB 1―→|·|BC 1―→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为105. [答案] C利用向量求异面直线所成角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值；(3)比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；(4)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．1.如图，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4.OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．求异面直线AB 与MD 所成角的大小．解：作AP ⊥CD 于点P .如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，B (1,0,0)， D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0，M (0,0,1)． 设AB 和MD 所成角为θ，∵AB ―→＝(1,0,0)，MD ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－1，∴cos θ＝|AB ―→·MD ―→||AB ―→|·|MD ―→|＝12.∴θ＝π3.∴异面直线AB 与MD 所成角的大小为π3.证明线线垂直已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .[自主解答] 法一：(基向量法)设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·c ＝b ·c ＝0，AB 1―→＝a ＋c ，AM ―→＝12(a ＋b )，AN ―→＝b ＋14c ，MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝－12a ＋12b ＋14c ，∴AB 1―→·MN ―→＝(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋14c ＝－12＋12cos 60°＋14＝0.∴AB 1―→⊥MN ―→.∴AB 1⊥MN .法二：(坐标法)设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1，∵M 为BC 中点，∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0. ∴MN ―→＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1―→＝(1,0,1)，MN ―→·AB 1―→＝－14＋0＋14＝0.∴MN ―→⊥AB 1―→.∴AB 1⊥MN .利用向量法证明空间两条直线互相垂直，其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂直． (1)利用坐标法时要建立适当的空间直角坐标系，并能准确地写出相关点的坐标． (2)利用基向量法证明的关键是能用基向量正确表示出相关的向量．2．直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 是BC 的中点．在DD 1上是否存在一点N ，使MN ⊥DC 1？并说明理由．解：如图所示，建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，则C 1(0,2,3)，M ⎝⎛⎭⎫12，2，0，D (0,0,0)，设存在N (0,0，h )，则MN ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－2，h ， DC 1―→＝(0,2,3)， MN ―→·DC 1―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－2，h ·(0,2,3)＝－4＋3h ， ∴当h ＝43时，MN ―→·DC 1―→＝0，此时MN ―→⊥DC 1―→，∴存在N ∈DD 1，使MN ⊥DC 1.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路 如图，已知空间四边形OABC 各边都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求OE 与BF 所成的角的余弦值．[巧思] 求异面直线OE 与BF 所成的角，由于已知OA ，OB ，OC 的长度及夹角，因此，可以用OA ―→，OB ―→，OC ―→表示OE ―→与BF ―→，然后利用向量的夹角公式计算即可．[妙解] 设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b ＝b·c ＝c·a ＝12.又OE ―→＝12(a ＋b )，BF ―→＝12c －b ，|OE ―→|＝|BF ―→|＝32.所以OE ―→·BF ―→＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫12c －b ＝14a·c －12a·b ＋14b·c －12|b|2＝－12. 所以cos 〈OE ―→，BF ―→〉＝OE ―→·BF ―→|OE ―→|·|BF ―→|＝－23. 所以直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)解析：AB ―→＝(2,4,6)，且(2,4,6)＝2(1,2,3)，∴直线l 的一个方向向量是(1,2,3)． 答案：A2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C.12D ．3解析：l 1⊥l 2⇒a ·b ＝－2＋6－2m ＝0⇒m ＝2. 答案：B3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．A 1A解析：建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1.则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE ―→＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1， AC ―→＝(－1,1,0)， BD ―→＝(－1，－1,0)， A 1D ―→＝(－1,0，－1)， A 1A ―→＝(0,0，－1)．∵CE ―→·BD ―→＝(－1)×⎝⎛⎭⎫12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0， ∴CE ⊥BD . 答案：B4．直线l 1的方向向量v 1＝(1,0，－1)，直线l 2的方向向量为v 2＝(－2,0,2)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．解析：∵v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)， ∴v 2＝－2v 1， ∴v 1∥v 2，∴l 1与l 2平行或重合． 答案：平行或重合5．已知在棱长为a 的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，E 是BC 的中点．则直线A ′C 与DE 所成角的余弦值为________．解析：如图所示建立空间直角坐标系，则A ′(0,0，a )，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0， 则A ′C ―→＝(a ，a ，－a )， DE ―→＝⎝⎛⎭⎫a ，－a 2，0， cos 〈A ′C ―→，DE ―→〉＝A ′C ―→·DE ―→|A ′C ―→|·|DE ―→|＝1515. 答案：15156.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，如图所示．求证：EF ⊥CF .证明：建立如图所示的空间直角坐标系． 则D (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12， C (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0. ∵EF ―→＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12， CF ―→＝⎝⎛⎭⎫12，－12，0. ∴EF ―→·CF ―→＝12×12－12×12＋⎝⎛⎭⎫－12×0＝0. ∴EF ―→⊥CF ―→，即EF ⊥CF .一、选择题1．已知三条直线l 1，l 2，l 3的一个方向向量分别为a ＝(4，－1，0)，b ＝(1,4,5)，c ＝ (－3,12，－9)，则( ) A ．l 1⊥l 2，但l 1与l 3不垂直 B ．l 1⊥l 3，但l 1与l 2不垂直 C ．l 2⊥l 3，但l 2与l 1不垂直 D ．l 1，l 2，l 3两两互相垂直解析：∵a ·b ＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0， a ·c ＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＝－24≠0. b ·c ＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0， ∴a ⊥b ，a 与c 不垂直，b ⊥c . ∴l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，但l 1不垂直于l 3. 答案：A2．已知直线l 1的一个方向向量为a ＝(1，－2,1)，直线l 2的一个方向向量为b ＝(2，－2,0)，则两直线所成角的余弦值为( )A ．1 B.63 C.33D.32解析：cos 〈a ，b 〉＝|a ·b ||a ||b |＝|(1，－2，1)·(2，－2，0)|12＋(－2)2＋12·22＋(－2)2＝|2＋4|6·8＝32. 答案：D3．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝2，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值为( )A ．0 B.37070C ．－37070D.7070解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,3)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)．所以BD 1―→＝(－2，－2,3)，AC ―→＝(－2,2,0)．所以cos 〈BD 1―→，AC ―→〉＝BD 1―→·AC ―→|BD 1―→|·|AC ―→|＝0.答案：A4.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35解析：设CA ＝2，则C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，B 1＝(0,2,1)，可得向量AB 1―→＝(－2,2,1)，BC 1―→＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos 〈AB 1―→，BC 1―→〉＝－2×0＋2×2＋1×(－1)0＋4＋1·4＋4＋1＝15＝55.答案：A 二、填空题5．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.解析：∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，∴32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152.答案：61526．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(x,3，x )，且l 1⊥l 2，则x ＝________. 解析：∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，即a ·b ＝0，∴x －6＋2x ＝3x －6＝0，∴x ＝2. 答案：27．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于________．解析：根据异面直线所成的角与方向向量的夹角之间的关系知，这两条异面直线所成的角等于30°.答案：30°8．在直角坐标系O -xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线O Q 垂直，则x 的值为________．解析：由OP ⊥O Q ，得OP ―→·O Q ―→＝0. 即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π3三、解答题9.如图，在三棱锥V -ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝π3，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值．解：因为AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点， 所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,1,0)．在Rt △VCD 中，CD ＝2，∠VDC ＝π3，故V (0,0，6)．所以AC ―→＝(－2,0,0)，VD ―→＝(1,1，－6)．所以cos 〈AC ―→， VD ―→〉＝AC ―→·VD ―→| AC ―→||VD ―→|＝－22·22＝－24.所以异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24. 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD .应用空间向量方法解决下列问题． (1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知有E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，C (0,1,0)， B 1(1,1,1)，C 1(0，1,1)，G ⎝⎛⎭⎫0，34，0. (1)证明：EF ―→＝⎝⎛⎭⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎫0，0，12＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12， B 1C ―→＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，EF ―→·B 1C ―→＝12×(－1)＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0， 得EF ―→⊥B 1C ―→，∴EF ⊥B 1C .(2) C 1G ―→＝⎝⎛⎭⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝⎛⎭⎫0，－14，－1， |C 1G ―→|＝02＋⎝⎛⎭⎫－142＋(－1)2＝174， 由(1)得|EF ―→|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝32， 且EF ―→·C 1G ―→＝12×0＋12×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝38， ∴cos 〈EF ―→，C 1G ―→〉＝EF ―→·C 1G ―→|EF ―→|·|C 1G ―→|＝5117，∴异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117.。

专题突破二 逻辑用语中的常见误区误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．(1)x ＋2>0；(2)x 2＋2>0；(3)A ∩B ＝A ∪B ；(4)A ⊆(A ∪B )．解 (2)(4)是命题，且都为真命题．点评 判断一个语句是否为命题只需把握住两点：(1)必须是陈述句；(2)能判断真假．并非所有的不等式和集合运算式都不是命题．跟踪训练1 下列语句：①若x ∈R ，则x 2－3x ＋34≥0； ②5x ＋4>2；③(A ∩B )⊆A ；④∅A .其中是命题的为________．(填序号)答案 ①③④误区2 原命题为真，其否命题必为假例2 判断下列命题的否命题的真假：(1)若a ＝0，则ab ＝0；(2)若a 2>b 2，则a >b .解 (1)否命题为：若a ≠0，则ab ≠0，是假命题；(2)否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b ，是假命题．点评 原命题与其逆否命题的真假性相同，否命题与其逆命题的真假性相同，原命题与其否命题的真假性无关．跟踪训练2 已知命题“若q ，则p ”为假命题，则下列命题中一定是假命题的是( )A ．若p ，则qB ．若綈p ，则綈qC ．若綈q ，则綈pD ．若p ，则綈q答案 B误区3 搞不清谁是谁的条件例3 使不等式x －3>0成立的一个充分不必要条件是( )A ．x >3B ．x >4C ．x >2D ．x ∈{1,2,3}答案 B点评 我们知道：①A 是B 的充分不必要条件是指A ⇒B 且B ⇏A ；②A 的充分不必要条件是B 是指B ⇒A 且A ⇏B .这两种说法在充分条件与必要条件推理判断中经常出现且容易混淆，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现判断错误．跟踪训练3 “x >y >0”是下列哪一项的必要不充分条件( )A ．lg x >lg yB.1x <1yC.⎝⎛⎭⎫23x <⎝⎛⎭⎫23yD.x －1>y －1 答案 D误区4 考虑问题不周例4 如果a ，b ，c ∈R ，那么“b 2>4ac ”是“方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B点评 在充分、必要条件的推理判断中，要注意题中隐含的特殊情况，考虑问题要周全，稍不注意就导致答案错误．跟踪训练4 “m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当m ＝12时，两条直线的斜率分别为－53，35，－53×35＝－1，所以两条直线相互垂直； 反之，若两条直线相互垂直，需分三种情况：①当m ＝－2时，两条直线的方程分别为－6y ＋1＝0，－4x －3＝0，显然两直线相互垂直；②当m ≠－2且m ≠0时，由－m ＋23m ×2－m m ＋2＝－1，解得m ＝12； ③当m ＝0时，两条直线的方程分别为2x ＋1＝0，－2x ＋2y －3＝0，两直线不垂直．所以m ＝－2或12. 故“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件．误区5 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例5 (1)已知p ：方程(x －11)(x －2)＝0的根是x ＝11；q ：方程(x －11)(x －2)＝0的根是x ＝2，试写出“p ∨q ”．(2)p ：四条边相等的四边形是正方形；q ：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p ∧q ”． 解 (1)p ∨q ：方程(x －11)(x －2)＝0的根是x ＝11或方程(x －11)(x －2)＝0的根是x ＝2.(2)p ∧q ：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．点评 用“且”“或”联结命题时，应对两个命题用“且”“或”联结，而不应随意省略条件或结论．跟踪训练5 分别写出由下列命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”形式的命题．(1)p ：函数y ＝|x |是奇函数，q ：函数y ＝|x |是分段函数；(2)p ：公比是负数的等比数列中的项是正负项间隔出现的，q ：等比数列中可以存在“0”这一项．解 (1)p ∧q ：函数y ＝|x |是奇函数且是分段函数；p ∨q ：函数y ＝|x |是奇函数或是分段函数．(2)p ∧q ：公比是负数的等比数列中的项是正负项间隔出现的且等比数列中可以存在“0”这一项；p ∨q ：公比是负数的等比数列中的项是正负项间隔出现的或等比数列中可以存在“0”这一项．误区6不能正确否定结论例6p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．解綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．点评常见词语及其否定形式：是→不是，相等→不相等，>→≤，<→≥，都是→不都是，都不是→至少有一个是．跟踪训练6命题“若a，b都是奇数，则ab必为奇数”的等价命题是()A．若ab是奇数，则a，b都是奇数B．若ab不是奇数，则a，b不都是奇数C．若a，b都是奇数，则ab不是奇数D．若a，b不都是奇数，则ab不是奇数答案 B解析等价命题即其逆否命题，“都是”的否定是“不都是”．误区7忽略了隐含的量词例7写出下列命题的否定：(1)不相交的两条直线是平行直线；(2)奇函数的图象关于y轴对称．解(1)存在不相交的两条直线不是平行直线；(2)存在一个奇函数的图象不关于y轴对称．点评由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“∀x∈M，p(x)”的形式，再把它的否定写成“∃x0∈M，綈p(x0)”的形式．要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．跟踪训练7写出下列命题的否定：(1)可以被5整除的数，末位是0；(2)能被3整除的数，也能被4整除．解(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0. (2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．1．下列语句是命题的是()A．今天天气真好啊！B．你怎么又没交作业？C．x>2 D．x∈R，x>2答案 D解析A是一个感叹句，不能判断真假，不是命题；B是问句，不能判断真假，不是命题；C不知道x的值是多少，所以不能判断真假，不是命题；D中x有范围，可以判断真假，因此是命题，且是假命题．2．设p：1<x<2，q：2x>1，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点充分、必要条件的判断题点充分不必要条件的判断答案 A解析当1<x<2时，2<2x<4，∴p⇒q；但由2x>1，得x>0，∴q⇏p，故选A. 3．命题“若a＋b>1，则a，b中至少有一个大于1”的否命题为() A．若a，b中至少有一个大于1，则a＋b>1B．若a＋b≤1，则a，b中至多有一个大于1C．若a＋b≤1，则a，b中至少有一个大于1D．若a＋b≤1，则a，b都不大于1答案 D解析 “a ，b 中至少有一个大于1”表示“a ，b 中只有一个大于1”或“a ，b 中两个都大于1”，故其否定为“a ，b 都不大于1”，所以所给命题的否命题为“若a ＋b ≤1，则a ，b 都不大于1”．4．给出下列命题：①至少有一个x 0，使x 20－2x 0－3＝0成立；②对任意的x ，都有x 2－2x －3＝0成立；③对任意的x ，都有x 2－2x －3＝0不成立；④存在x 0，使x 20－2x 0－3＝0不成立．其中是全称命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点题点答案 B5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当ac >bc 时，a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.解 (1)若ac >bc ，则a >b .∵ac >bc ，c <0时，a <b ，∴该命题是假命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． ∵Δ＝1－4m <0，∴该命题是真命题．(3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，∴该命题是真命题．6．已知p ：(x ＋2)(x －3)≤0，q ：|x ＋1|≥2，若“p ∧q ”为真，求实数x 的取值范围． 解 由(x ＋2)(x －3)≤0，解得－2≤x ≤3.由|x ＋1|≥2，解得x ≥1或x ≤－3.∵“p ∧q ”为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ≥1或x ≤－3，解得1≤x ≤3， 则实数x 的取值范围是[1,3]．一、选择题1．下列语句为命题的是( )A ．求证3是无理数B ．x 2＋4x ＋4≥0，x ∈RC ．你是高一的学生吗D ．x >15考点题点答案 B2．使|x |＝x 成立的一个必要不充分条件是( )A ．x ≥0B ．x 2≥－xC ．log 2(x ＋1)>0D ．2x <1答案 B解析 ∵|x |＝x ⇔x ≥0，∴选项A 是充要条件，选项C ，D 均不符合题意．对于选项B ，由x 2≥－x ，得x (x ＋1)≥0，∴x ≥0或x ≤－1.故x 2≥－x 是使|x |＝x 成立的必要不充分条件．3．设命题p：∀x>0，log2x<2x＋3，则綈p为()A．∀x>0，log2x≥2x＋3B．∃x0>0，log2x0<2x0＋3C．∃x0>0，log2x0≥2x0＋3D．∀x<0，log2x≥2x＋3考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案 C4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中真命题是()A．①②B．①③C．②③D．③④考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假答案 B5．有关下列命题，其中说法错误的是()A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的否命题为“若x2－3x－4≠0，则x≠4”B．“x>0”是“x>5”的必要不充分条件C．若p∨q是真命题，则p，q都是真命题D．命题“若x>1且y<－3，则x－y>4”的等价命题是“若x－y≤4，则x≤1或y≥－3”考点“或”“且”“非”的综合应用题点复合命题与充分、必要条件结合答案 C解析C中p∨q是真命题，则p为真命题或q为真命题或p和q都是真命题．6．下列命题中的真命题是()e x≤0A．∃x0∈R，0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．“a ＋b ＝0”的充要条件是“a b＝－1” D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件考点 充分、必要条件的判断题点 充分、必要条件的判断答案 D解析 ∵∀x ∈R ，e x >0，∴A 错；∵函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象有交点，如点(2,2)，此时2x ＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；∵a >1，b >1，由不等式的性质可知ab >1，∴D 正确．7．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]考点 充分、必要条件的综合应用题点 由充分、必要条件求参数的范围答案 A解析 p ：|x |≤2等价于－2≤x ≤2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以有[－2,2](－∞，a ]，即a ≥2.8．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1<2x 0，命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m ≤0，那么( )A ．“綈p ”是假命题B ．“綈q ”是真命题C ．“p ∧q ”为真命题D ．“p ∨q ”为真命题考点 含有一个量词的命题题点 含有一个量词的命题真假判断答案 D解析 对于命题p ：x 20＋1－2x 0＝(x 0－1)2≥0，即对任意的x ∈R ，都有x 2＋1≥2x ，因此命题p 是假命题．对于命题q ，若mx 2－mx －1<0恒成立， 则当m ＝0时，－1<0恒成立；当m ≠0时，由mx 2－mx －1<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0， 即－4<m <0.故－4<m ≤0，故命题q 是真命题．因此，“綈p ”是真命题，“綈q ”是假命题， “p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，故选D.9．已知p ：x 2＋2x －3>0；q ：13－x >1.若“(綈q )∧p ”为真命题，则x 的取值范围是_____________．考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，所以q 假p 真．而当q 为真命题时，有x －2x －3<0，即2<x <3， 所以当q 为假命题时有x ≥3或x ≤2；当p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2， 解得x <－3或1<x ≤2或x ≥3.10．由命题“存在x 0∈R ，使0|1|ex －－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是________．考点 特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围答案 1解析 其否定为：∀x ∈R ，使e |x －1|－m >0，且为真命题．所以m <e |x－1|， 只需m <(e |x －1|)min ＝1.故a ＝1.11．给出如下三个命题：①“2a >2b ”是“ma >mb ”的充要条件；②命题“若x ≥4且y ≥2，则x ＋y ≥6”的否命题为“若x <4且y <2，则x ＋y <6”； ③在△ABC 中，“A >60°”是“sin A >32”的充要条件． 其中不正确的命题是________．(填序号)考点 对充分条件与必要条件的理解及判断题点 充分条件与必要条件解析 若2a >2b ，则a >b ，而此时ma >mb 不一定成立；若ma >mb ，当m >0时，则a >b ，此时2a >2b ；当m <0时，此时a <b ，此时2a <2b ，所以“2a >2b ”是“ma >mb ”的既不充分也不必要条件，命题①错误；命题“若x ≥4且y ≥2，则x ＋y ≥6”的否命题为“若x <4或y <2，则x ＋y <6”， 故命题②错误；在△ABC 中，A ＝150°时，sin A <32，故命题③错误． 三、解答题12．(1)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？考点 充分、必要条件的综合应用题点 由充分、必要条件求参数的范围解 (1)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件，则只需⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}， 则只需－m 2≤－1，即m ≥2， 故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只需⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊇{x |x <－1或x >3}， 这是不可能的，故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件．13．已知p ：∀x ∈R ，9x －3x －a ≥0，q ：∃x 0∈R ，x 20＋(2a ＋1)x 0＋a 2＋2≤0，若p ∨q 为假命题，求实数a 的取值范围．考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词复合命题的真假求参数的范围解 若p 为真，则对∀x ∈R ，9x －3x －a ≥0恒成立，令t ＝3x (t >0)，则t 2－t －a ≥0(t >0)恒成立，所以a ≤t 2－t (t >0)恒成立，所以当t >0时，a ≤(t 2－t )min ＝－14， 所以a ≤－14. 若q 为真，则x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有解， 则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，所以a ≥74. 又p ∨q 为假，所以p ，q 都为假， 则⎩⎨⎧ a >－14，a <74，可得－14<a <74， 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，74.14．已知函数f (x )＝x －1，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．考点 全称量词与存在量词题点 恒成立求参数范围答案 (－∞，－3]解析 由题意知f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])， 因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝1，g (x )min ＝g (2)＝4＋a ， 所以1≥4＋a ，即a ≤－3.15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围． 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围解 y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716的对称轴为x ＝34， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716在⎣⎡⎦⎤34，2上为增函数， ∴716≤y ≤2，即A ＝⎣⎡⎦⎤716，2. 又B ＝{x |x ＋m 2≥1}＝{x |x ≥1－m 2}， ∵x ∈A ⇒x ∈B ，∴A ⊆B ，∴716≥1－m 2，即m 2≥916，∴m ≥34或m ≤－34. 即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.。

专题突破一充分、必要条件的判断一、应用定义例1(2018·浙江)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点充分、必要条件的判断题点充分不必要条件的判断答案 A解析∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.点评利用定义法判断充分、必要条件应按如下步骤进行：①分清条件与结论，即分清哪一个是条件，哪一个是结论；②判断推式的真假，即判断p⇒q及q⇒p的真假；③下结论，即根据推式及定义下结论．跟踪训练1已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的()A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．无法判断考点充分、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断答案 B解析“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”，∵q⇒p，∴p是q的必要条件．二、利用传递性例2如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 考点充分、必要条件的判断题点必要不充分条件的判断答案 必要不充分解析 依题意，有A ⇐B ⇔C ⇐D 且A ⇏B ⇔C ⇏D ，由命题的传递性可知D ⇒A ，但A ⇏D .于是A 是D 的必要不充分条件．点评 充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即若p ⇒q ，q ⇒r ，则p ⇒r .跟踪训练2 若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)考点 充分、必要条件的判断题点 充分不必要条件的判断答案 充分不必要解析 命题的充分必要性具有传递性，由题意知M ⇒N ⇔P ⇒Q ，但M ⇍N ⇔P ⇍Q ，即M ⇒Q ，Q ⇏M ，故M 是Q 的充分不必要条件．三、利用集合例3 设命题p ：x (x －3)<0，命题q ：2x －3<m ，已知p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________．考点 充分、必要条件的综合应用题点 由充分、必要条件求参数的范围答案 [3，＋∞)解析 设p ，q 分别对应集合P ，Q ，则P ＝{x |x (x －3)<0}＝{x |0<x <3}；Q ＝{x |2x －3<m }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <m ＋32.由题意知p ⇒q ，q ⇏p ，故P Q ，则在数轴上表示不等式如图所示， 则m ＋32≥3，解得m ≥3， 即实数m 的取值范围为[3，＋∞)．点评 当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关或所描述的对象可以用集合表示时，我们可以借助集合间的基本关系进行充要条件的判断，即写出集合A ＝{x |p (x )}及B ＝{x |q (x )}，利用集合间的包含关系加以判断，具体情况如下：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；②若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；④若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；⑤若B A ，则p 是q 的必要不充分条件．跟踪训练3 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪ y ＝2x 2x ＋1，x ∈R ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝13x ＋m ，x ∈[－1，1]，记命题p ：“y ∈A ”，命题q ：“y ∈B ”，若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围为______________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，23解析 由题意知A ＝(0,1)，B ＝⎣⎡⎦⎤m －13，m ＋13，依题意，得B A ， 故⎩⎨⎧ m －13>0，m ＋13<1，∴13<m <23. 四、等价转化例4 已知p ：x ＋y ≠2，q ：x ，y 不都是1，则p 是q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)考点 充分、必要条件的判断题点 充分不必要条件的判断答案 充分不必要解析 因为p ：x ＋y ≠2，q ：x ≠1或y ≠1，所以綈p ：x ＋y ＝2，綈q ：x ＝1且y ＝1.因为綈p ⇏綈q ，但綈q ⇒綈p ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．点评 由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p ⇒q 较困难时，可利用等价转化，先判断由綈q ⇒綈p ，从而得到p ⇒q .跟踪训练4 设p ：2x 2－3x ＋1≤0，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．考点 充分、必要条件的综合应用题点 由充分、必要条件求参数的范围答案 ⎣⎡⎦⎤0，12解析 由题意得，p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a <12，∴0≤a ≤12.故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12.1．在△ABC 中，“AB →·BC →＝0”是“△ABC 是直角三角形”的() A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点题点答案 B解析 AB →·BC →＝0⇒B ＝90°⇒△ABC 是直角三角形．但△ABC 是直角三角形⇏AB →·BC →＝0，故“AB →·BC →＝0”是“△ABC 是直角三角形”的充分不必要条件．2．设x ∈R ，则“1<x <4”是“|x －2|<1”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点题点答案 A解析 |x －2|<1⇔1<x <3，因为{x |1<x <3}{x |1<x <4}，所以“1<x <4”是“|x －2|<1”的必要不充分条件．3．(2018·湖南澧县一中高二期中)“a ≠2或b ≠3”是“a ＋b ≠5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点题点答案 B解析 “若a ≠2或b ≠3，则a ＋b ≠5”的逆否命题是“若a ＋b ＝5，则a ＝2且b ＝3”是假命题，故“若a ≠2或b ≠3，则a ＋b ≠5”为假命题；“若a ＋b ≠5，则a ≠2或b ≠3”的逆否命题是“若a ＝2且b ＝3，则a ＋b ＝5”是真命题，故“若a ＋b ≠5，则a ≠2或b ≠3”是真命题．故选B.4．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[－3，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－3) 考点题点答案 C5．设p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件，s 是r 的充要条件，则s 是p 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点题点答案 B解析由题意可知，p⇒q，q⇏p，r⇏q，q⇒r，r⇔s，则p⇒s，s⇏p，故s是p的必要不充分条件．一、选择题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点题点答案 A解析当c＝0时，a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，说明c≠0，又c2>0，得ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点题点答案 D解析若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．3．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的()A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件考点题点答案 A 解析 f (x )是定义在R 上的奇函数可以推出f (0)＝0，但f (0)＝0不能推出函数f (x )为奇函数，例如f (x )＝x 2.4．(2018·长沙质检)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( )A ．x ∈(0,2)B ．x ∈(0,1)C ．x ∈[－1，＋∞)D ．x ∈(1,3)考点 充分、必要条件的判断题点 必要不充分条件的判断答案 C解析 由x (x －2)<0，得0<x <2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)<0成立”的一个必要不充分条件．5．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别是集合M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 充分条件、必要条件的判断题点 充分、必要条件的判断答案 D解析 若a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ， 即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇏M ＝N ；反之，若M ＝N ＝∅， 即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a 1<0，a 2<0)，而与系数之比无关．6．设a ，b ∈R ，则使a >b 成立的一个充分不必要条件是( )A ．a 3>b 3B ．log 2(a －b )>0C ．a 2>b 2 D.1a <1b考点题点答案 B 解析 选项A 是充要条件；选项B ，log 2(a －b )>0，即a －b >1是充分不必要条件；C ，D 是既不充分也不必要条件．7．设甲、乙、丙是三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件考点 充分、必要条件的判断题点 充分不必要条件的判断答案 A解析 由题意知，甲⇐乙⇐丙且乙⇏丙，∴甲⇐丙且甲⇏丙，∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．8．设条件p ：|x －2|<3，条件q ：0<x <a ，其中a 为正数，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是( )A ．(0,5)B ．(0,5]C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞)考点题点答案 B解析 由|x －2|<3，得－3<x －2<3，即－1<x <5，∴p ：－1<x <5，∵q ：0<x <a ，a 为正数，p 是q 的必要不充分条件，∴0<a ≤5.二、填空题9．下列命题中是假命题的是________．(填序号)①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件；②“A ∩B ≠∅”是“A B ”的充分条件；③“b 2－4ac <0”是“ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ”的充要条件；④“sin α>sin β”是“α>β”的充分不必要条件；⑤“M >N ”是“log 2M >log 2N ”的充要条件．考点 充分、必要条件的判断题点 充分、必要条件的判断答案 ①②③④⑤解析 当x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之，例如x ＝1，y ＝5，x ＋y >5，但x <2，故①为假命题；当A ＝{1,3}，B ＝{1,2}时，A ∩B ＝{1}≠∅，但A ⊈B ，故②为假命题；ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 等价于⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0或a ＝b ＝0，c <0，故③为假命题； 当α＝π3，β＝5π6时，sin α＝32>12＝sin β，但α<β，故④为假命题； 当0>M >N 时，log 2M ，log 2N 无意义，故⑤为假命题．10．设p ：|x |>1，q ：x <－2或x >1，则綈p 是綈q 的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)考点 充分、必要条件的综合应用题点 含有否定性语句的命题处理答案 充分不必要解析 由已知，得p ：x <－1或x >1，则q 是p 的充分不必要条件，所以由互为逆否命题的两个命题等价，得綈p 是綈q 的充分不必要条件．11．设计如图所示的三个电路图，条件p ：“开关S 闭合”；条件q ：“灯泡L 亮”，则p 是q 的充分不必要条件的电路图是________．考点题点答案(1)解析对(1)，p是q的充分不必要条件；对(2)，p是q的充要条件；对(3)，p是q的必要不充分条件．12．“若a≥b⇒c>d”和“a<b⇒e≤f”都是真命题，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．(填“充分”或“必要”)考点题点答案充分解析因为“a≥b⇒c>d”是真命题，所以它的逆否命题“c≤d⇒a<b”也是真命题．又因为“a<b⇒e≤f”是真命题，所以“c≤d⇒a<b⇒e≤f”．故“c≤d”是“e≤f”的充分条件．三、解答题13．已知条件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，当a为何值时：(1)p是q的充分不必要条件；(2)p是q的必要不充分条件；(3)p是q的充要条件．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围解由题意知，p：A＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，q：B＝[1,2]．(1)因为p是q的充分不必要条件，所以A B ，故1≤a <2.(2)因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，故A ＝[1，a ]且a >2⇒a >2.(3)因为p 是q 的充要条件，所以A ＝B ⇒a ＝2.14．(2018·江苏扬州高二检测)若不等式x 2－2x ＋3－a <0成立的一个充分条件是0<x <5，则实数a 的取值范围是________．考点题点答案 [18，＋∞)解析 ∵不等式x 2－2x ＋3－a <0成立的一个充分条件是0<x <5，∴当0<x <5时，不等式x 2－2x ＋3－a <0成立．设f (x )＝x 2－2x ＋3－a ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)≤0，f (5)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≤0，25－10＋3－a ≤0， 解得a ≥18.15．(2018·湖北孝感高二检测)证明：a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca 的充要条件是△ABC 为等边三角形，这里a ，b ，c 是△ABC 的三条边．考点题点证明 充分性：如果△ABC 为等边三角形，那么a ＝b ＝c ，所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，所以a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝0，所以a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca .必要性：如果a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，那么a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，即a＝b＝c.故a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是△ABC为等边三角形．。

1．1命题及其关系1．1.1命题的概念和例子[读教材·填要点]1．命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题．2．命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题．(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．[小问题·大思维]1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？[自主解答](1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)不能判断其是否成立，不是命题．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．[自主解答](1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形．(4)是真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．解：当a ＝5，b ＝－5时，a ，b 都是无理数，但 5×(－5)＝－5是有理数，故该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)形如a ＋6b 的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题，反例：a 是有理数且b ＝0，则a ＋6b 是有理数．(2)假命题．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝－1，q ＝2，则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时，a ，b 满足的条件．[自主解答] 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况： 当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0，只有当b ≠0时，方程有实数解x ＝－1b ； 当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0. 综上知，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则ca >0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题．故选B.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，求实数a 的取值范围．[巧思] “如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集． [妙解] 由5x －1>a ，得x >15(1＋a )．∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题， ∴⎝⎛⎭⎫1＋a 5，＋∞⊆(1，＋∞)． ∴1＋a5≥1，即a ≥4. 即a 的取值范围是[4，＋∞)．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.答案：A2．下列命题中的真命题是( ) A ．互余的两个角不相等 B ．相等的两个角是同位角 C ．若a 2＝b 2，则|a |＝|b |D ．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 解析：由平面几何知识可知A 、B 、D 三项都是错误的． 答案：C3．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．0D ．－3解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．答案：C4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有________(只填序号)．解析：因为a，b，c相互不共线，所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③为假命题，易证②④为真命题．答案：②④5．下列命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题，②③④为假命题．答案：①6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题，求x的取值范围．解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1，∴x的取值范围是(2，＋∞)∪(－∞，1)．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：A选项是疑问句，不是命题，C、D选项中的语句显然不是．答案：B2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3 D．4解析：①③错误；②④正确．答案：B3．下列命题中，为真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C 中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝22<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．答案：B4．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2>x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.答案：C二、填空题5．下列语句：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④若m＞0，a＞b＞0，则b＋ma＋m＞ba.其中真命题的序号为________．解析：①不是命题；②错，可能没交点；③正确，若A⊆B，B⊆A，则A＝B；④显然正确，可以证明．答案：③④6．给出下列命题：①方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； ②对于实数x ，若x －2＝0，则x －2≤0； ③若p ＞0，则p 2＞p ； ④正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p ＝12时，p 2＜p ；④假，正方形是菱形，也是矩形．答案：② ①③④7．函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①为假命题；对于f (x )＝2x，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝x 2”，故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0. 综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边． (3)x ＋y 是有理数，则x ，y 也都是有理数． (4)求证x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根． 解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数． (2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中． (3)是假命题，如x ＝2，y ＝－ 2. (4)祈使句，不是命题．10．判断命题：“若a ＋b ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的真假． 解：由已知a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝22＝2＝r ， 所以直线与圆相切，即命题为真.。

高二数学选修2-1同步讲义高二数学选修2-1同步第1讲 (1) 如果你的文档出现显示不全的问题，请调整页边距，或将图片缩小查看。

第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题第8题第9题第10题试题答案第1题：正确答案:C 答案解析第2题：正确答案:B 答案解析第3题：正确答案:C 答案解析第4题：正确答案:D 答案解析第5题：正确答案:A 答案解析第6题：正确答案:B 答案解析第7题：正确答案:D 答案解析第8题：正确答案:D答案解析第9题：正确答案:B 答案解析第10题：正确答案:C 答案解析高二数学选修2-1同步第1讲 (2) 如果你的文档出现显示不全的问题，请调整页边距，或将图片缩小查看。

第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题第8题第9题第10题试题答案第1题：正确答案:B 答案解析第2题：正确答案:D 答案解析第3题：正确答案:A 答案解析第4题：正确答案:B 答案解析第5题：正确答案:D 答案解析第6题：正确答案:C 答案解析第7题：正确答案:A 答案解析第8题：正确答案:C 答案解析第9题：正确答案:A 答案解析第10题：正确答案:B 答案解析高二数学选修2-1同步第1讲 (3) 如果你的文档出现显示不全的问题，请调整页边距，或将图片缩小查看。

第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题第8题第9题第10题试题答案第1题：正确答案:A 答案解析第2题：正确答案:C 答案解析第3题：正确答案:B 答案解析第4题：正确答案:D 答案解析第5题：正确答案:B 答案解析第6题：正确答案:B 答案解析第7题：正确答案:B 答案解析第8题：正确答案:C 答案解析第9题：正确答案:B 答案解析第10题：正确答案:B 答案解析高二数学选修2-1同步第1讲 (4) 如果你的文档出现显示不全的问题，请调整页边距，或将图片缩小查看。

第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题第8题第9题第10题试题答案第1题：正确答案:D 答案解析第2题：正确答案:B 答案解析第3题：正确答案:B 答案解析第4题：正确答案:D 答案解析第5题：正确答案:B 答案解析第6题：正确答案:B 答案解析第7题：正确答案:C 答案解析第8题：正确答案:B 答案解析第9题：正确答案:B 答案解析第10题：正确答案:A 答案解析高二数学选修2-1同步第1讲 (5) 如果你的文档出现显示不全的问题，请调整页边距，或将图片缩小查看。