高中数学竞赛辅导讲义第十八章 组合

组合数学培训系列1 排列组合常见题型及解题策略排列组合中的计数问题是组合数学的基本内容也是竞赛的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合计数题的有效途径.一.可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法种数有【例2】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（具体数字作答）【例3】高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【例4】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

组合数学竞赛培训系列2 二项式定理与多项式知识、方法、技能1．二项式定理∑=-∈=+nk k k n k n nn b a C b a 0*)()(N 2．二项展开式的通项)0(1n r b a C T r r n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r+1项.3．二项式系数).0(n r C r n ≤≤4．二项式系数的性质（1）).0(n k C C k n n k n ≤≤=-（2）).10(111-≤≤+=---n k C C C k n k n k n（3）若n 是偶数，有n n n n n n n n C C CC C >>><<<-1210ΛΛ，即中间一项的二项式系数2n n C 最大.若n 是奇数，有n nn n n n n n n n C C C C C C >>>=<<<-+-1212110ΛΛ，即中项二项的二项式系数212+n nnn C C 和相等且最大. （4）.2210n n n n n n C C C C =++++Λ（5）.21531420-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛ（6）.1111----==k n k n k n k n C kn C nC kC 或 （7）).(n k m C C C C C C m m k n m k n m k m n m n m k k n ≤≤=⋅=⋅+----（8）.1121++++++=+++++n k n n k n n n n n n n C C C C C Λ以上组合恒等式（是指组合数m n C 满足的恒等式）是证明一些较复杂的组合恒等式的基本工具.（7）和（8）的证明将在后面给出.5．证明组合恒等式的方法常用的有（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明.（2）利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中.（3）利用数学归纳法.（4）构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法. 赛题精讲例1：求7)11(x x ++的展开式中的常数项.例2：求62)321(x x -+的展开式里x 5的系数.例3：已知数列)0(,,,0210≠a a a a Λ满足 ),,3,2,1(211Λ==++-i a a a i i i 求证：对于任何自然数n ，n n n n n n n n n n n n n n x C a x x C a x x C a x x C a x C a x p +-++-+-+-=-----)1()1()1()1()(111222211100Λ是x 的一次多项式或零次多项式. （1986年全国高中数学联赛试题）例4：已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A b a ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，A n 均为整数.例5：已知y x ,为整数，P 为素数，求证：)(m od )(P y x y x P P P +≡+例6：若)10*,,()25(12<<∈+=++ααN m r m r ，求证：.1)(=+ααm例7：数列}{n a 中，)2(3,311≥==-n a a a n n ，求2001a 的末位数字是多少？例8：求N=1988－1的所有形如b a d ba ,(,32⋅=为自然数）的因子d 之和.例9：设8219)22015()22015(+++=x ，求数x 的个位数字.例10：已知),2,1(8,1,01110Λ=-===-+n a a a a a n n n 试问：在数列}{n a 中是否有无穷多个能被15整除的项？证明你的结论.。

第十八章 组合1．抽屉原理。

例1 设整数n ≥4,a 1,a 2,…,a n 是区间(0,2n)内n 个不同的整数，证明：存在集合{a 1,a 2,…,a n }的一个子集，它的所有元素之和能被2n 整除。

[证明] （1）若n ∉{a 1,a 2,…,a n },则n 个不同的数属于n-1个集合{1,2n-1}，{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。

由抽屉原理知其中必存在两个数a i ,a j (i ≠j)属于同一集合，从而a i +a j =2n 被2n 整除；（2）若n ∈{a 1,a 2,…,a n }，不妨设a n =n ，从a 1,a 2,…,a n -1(n-1≥3)中任意取3个数a i , a j , a k (a i ,<a j < a k )，则a j -a i 与a k -a i 中至少有一个不被n 整除，否则a k -a i =(a k -a j )+(a j -a i )≥2n ，这与a k ∈(0,2n)矛盾，故a 1,a 2,…,a n-1中必有两个数之差不被n 整除；不妨设a 1与a 2之差(a 2-a 1>0)不被n 整除，考虑n 个数a 1,a 2,a 1+a 2,a 1+a 2+a 3,…,a 1+a 2+…+a n-1。

ⅰ）若这n 个数中有一个被n 整除，设此数等于k n ，若k 为偶数，则结论成立；若k 为奇数，则加上a n =n 知结论成立。

ⅱ）若这n 个数中没有一个被n 整除，则它们除以n 的余数只能取1,2,…,n-1这n-1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以n 的余数相同，它们之差被n 整除，而a 2-a 1不被n 整除，故这个差必为a i , a j , a k-1中若干个数之和，同ⅰ）可知结论成立。

2．极端原理。

例2 在n ×n 的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0，那么该行与该列所填的所有数之和不小于n 。

高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二) 高中数学竞赛讲义（十）──直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。

解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

如x2+y2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。

2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。

3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。

规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。

根据直线上一点及斜率可求直线方程。

4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）两点式：；（6）法线式方程：xcosθ+ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。

5．到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。

若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=,tanα=.6．平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。

且两者不重合，则l1//l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。

适用于教育机构高考数学专题辅导讲义2．分式不等式的解法 先通分化为一边为f xg x ，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式．注意A B >0⇔A ·B >0；A B <0⇔A ·B <0；AB≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ·B ≥0B ≠0；A B≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ·B ≤0B ≠0.如果用去分母的方法，一定要考虑分母的符号．3．高次不等式的解法只要求会解可化为一边为0，另一边可分解为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要注意穿根时“奇过偶不过”．如(x －1)(x ＋1)2(x ＋2)3>0穿根时，－2点穿过，－1点返回，故解为x <－2或x >1.4．含绝对值不等式的解法一是令每个绝对值式为0，找出其零点作为分界点，分段讨论，二是平方法．（三）基础自测1．(2010·江西理)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x的解集是( )A ．(0,2)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) [答案] A[解析] 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x得x －2x <0，即x (x －2)<0.解得0<x <2，选A. 2．(2010·全国卷Ⅱ)不等式x －3x ＋2<0的解集为( ) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |x <－2|} C ．{x |x <－2，或x >3} D ．{x |x >3|} [答案] A[解析] 本题考查了分式不等式的解法． 原不等式可化为(x －3)(x ＋2)<0得－2<x <3.3．(2009·安徽理)若集合A ＝{x ||2x －1|<3}，B ＝{x |2x ＋13－x <0}，则A ∩B 是( )A ．{x |－1<x <－12或2<x <3} B ．{x |2<x <3}C ．{x |－12<x <2}D ．{x |－1<x <－12}[答案] D[解析] 本题考查不等式的解法及集合的运算．A ＝{x ||2x －1|<3}＝{x |－3<2x －1<3}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |2x ＋13－x <0}＝{x |(2x ＋1)(x －3)>0}＝{x |x >3或x <－12}， ∴A ∩B ＝{x |－1<x <－12}．[点评] 解本题时，容易将不等式2x ＋13－x <0化为(3－x )(2x ＋1)<0，∴－12<x <3，又A ＝{x |－1<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－12<x <2}，故错选C.即解一元二次不等式时，一定要先将二次项系数化为正数，再写出不等式的解．4．若方程7x 2－(k ＋13)x ＋k 2－k －2＝0有2个不等实根x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2.则实数k 的取值范围是( ) A ．－2<k <－1 B ．3<k <4 C ．－2<k <4 D ．－2<k <－1或3<k <4 [答案] D[解析] 令f (x )＝7x 2－(k ＋13)x ＋k 2－k －2，则⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0，∴－2<k <－1或3<k <4.5．(2008·江西)不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为________．[答案] {x |－3≤x ≤1}[解析] 依题意得，2x 2＋2x －4≤2－1，∴x 2＋2x －4≤－1，解得不等式的解集为{x |－3≤x ≤1}．6．关于x 的不等式axx －1＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则实数a ＝____________.[答案] 12[解析] 原不等式可化为a －1x ＋1x －1＜0.∵解集为{x |x ＜1或x ＞2}， ∴a －1＜0且－1a －1＝2. ∴a ＝12.7．解不等式－1<x 2＋2x －1≤2.[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≤2x 2＋2x －1>－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3≤0x 2＋2x >0①②解①(x ＋3)(x －1)≤0，∴－3≤x ≤1， 解②x (x ＋2)>0，∴x <－2或x >0， ∴－3≤x <－2或0<x ≤1，∴原不等式的解集为{x |－3≤x <－2或0<x ≤1}．（四）典型例题1.命题方向：一元二次不等式的解法 [例1] (文)解下列不等式(1)－x 2＋2x －23＞0；(2)9x 2－6x ＋1≥0.[分析] 结合相应的二次方程的根，一元二次函数的图像可求得解集．[解析] (1)两边都乘以－3，得3x 2－6x ＋2＜0，∵3＞0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的解是x 1＝1－33，x 2＝1＋33，∴原不等式的解集是{x |1－33＜x ＜1＋33}． (2)方法一：∵不等式9x 2－6x ＋1≥0，其相应方程9x 2－6x ＋1＝0，Δ＝(－6)2－4×9＝0，∴上述方程有两相等实根x ＝13.结合二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图像知，原不等式的解集为R. 方法二：9x 2－6x ＋1≥0⇔(3x －1)2≥0， ∴x ∈R.∴不等式解集为R. [点评] 解一元二次不等式的步骤②当a ＝1时，2＝2a所以原不等式的解集为{x |x ≠2且x ∈R }．③当a >1时，两根的大小顺序为2>2a 解集为{x |x >2或x <2a}综上所述，不等式的解集为： a ＝0时，{x |x <2} a ＝1时，{x |x ≠2}a <0时，{x |2a<x <2}0<a <1时，{x |x >2a或x <2}．a >1时，{x |x >2或x <2a}.3.命题方向：分时不等式与高次不等式[例3] (1)解关于x 的不等式ax ＋2x ＋1≥2(a ∈R)．(2)解不等式：2x 2－5x －1x 2－3x ＋2＞1.[解析] (1)原不等式可化为a －2xx ＋1≥0.①当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}． ②当a >2时，原不等式的解集为{x |x ≥0或x <－1}． ③当a <2时，原不等式的解集为{x |－1<x ≤0}．(2)原不等式等价变形为x 2－2x －3x 2－3x ＋2>0，等价变形为(x 2－2x －3)(x 2－3x ＋2)>0， 即(x ＋1)(x －1)(x －2)(x －3)>0.由穿根法可得所求不等式解集为{x |x <－1或1<x <2或x >3}．跟踪练习3：已知函数f (x )＝x 2ax ＋b(a ，b 为常数)且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜k ＋1x －k2－x.[分析] 本题主要考查求函数的解析式及含参分式不等式的解法，f (x )－x ＋12＝0为一元二次方程，可以利用根与系数的关系求出函数f (x )的解析式，这是问题的突破口．[解析] (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b－x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b ＝－9，164a ＋b ＝－8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.所以f (x )＝x 22－x (x ≠2)．(2)不等式即为x 22－x＜k ＋1x －k2－x，可化为x 2－k ＋1x ＋k 2－x＜0，即(x －2)(x －1)(x －k )＞0.①当1＜k ＜2，解集为x ∈(1，k )∪(2，＋∞)；②当k ＝2时，不等式为(x －2)2(x －1)＞0，解集为x ∈(1,2)∪(2，＋∞)； ③当k ＞2时，解集为x ∈(1,2)∪(k ，＋∞)．4.命题方向：恒成立问题[例4] (2011·青岛模拟)函数f (x )＝x 2＋ax ＋3. (1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．[分析] (1)f (x )≥a 可化为x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，即解集为R ，应满足开口向上，Δ≤0. (2)结合二次函数的有关知识，讨论Δ，对称轴，端点值列出不等式组进行求解． [解析] (1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图像恒在x 轴上方时，满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图(2)，g (x )的图像与x 轴有交点，但在x ∈[－2，＋∞]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x ＝－a2＜－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0－a2＜－24－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6a ＞4a ≤73③如图(3)，g (x )的图像与x 轴有交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x ＝－a2＞2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0－a2＞24＋2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6a ＜－4a ≥－7⇔－7≤a ≤－6.[点评] (1)ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R.即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0c ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ≤0(2)ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0c ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ≤0(3)ax 2＋bx ＋c ≥0在(m ，n )上恒成立或ax 2＋bx ＋c ＝0在(m ，n )有根，应画出相应二次函数的图像．从Δ，对称轴，端点值三方面去限制，列出相应的不等式组． 跟踪练习4已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． [解析] 解法1：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图像的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，结合图像知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a ，恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a 解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.解法2：由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0a ＜－1f －1≥0（五）思想方法点拨1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，是将复杂的、生疏的不等式问题转化为简单的、熟悉的不等式问题．不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图像都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化． 2．一元二次不等式的解法技巧 (1)关于一元二次不等式的求解，主要是研究当x 2的系数为正值的一种情形(当x 2的系数为负值时，可先化成正值来解决)．对于一元二次不等式的解集，有的学生因为理解不够而死记硬背，常常将对应的二次不等式应该是空集还是实数集混淆，要解决这个问题，最好的办法就是将二次不等式与对应的二次方程、二次函数的图像真正联系起来，时时注意数形结合，这样就不会出现那样的错误了，要注意真正理解不等式解的含义．(2)对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不要忽视对其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根的大小进行分类讨论．3．一元一次不等式(组)和一元二次不等式(组)的解法是不等式的基础，因为很多不等式的求解最终都是转化为一元一次不等式(组)和一元二次不等式(组)进行的． 4．三个“二次”的关系 二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二[解析] ∵f (x －1)>0， ∴由图知－1<x －1<2， ∴0<x <3.(理)(08·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1 x <0x －1 x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1} [答案] C[解析] 不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x ＋x ＋1[－x ＋1＋1]≤1或(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x ＋x ＋1[x ＋1－1]≤1，解不等式组(1)得x <－1； 解不等式组(2)得－1≤x ≤2－1.因此原不等式的解集是{x |x ≤2－1}，选C.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1x <2log 3x 2－1 x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( )A ．(1,2)∪(3，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(1,2) [答案] C[解析] 解法1：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1x <2log 3x 2－1 x ≥2，∴不等式f (x )>2可化为①⎩⎪⎨⎪⎧x <22e x －1>2或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2log 3x 2－1>2.解①得1<x <2，解②得x >10，综上，不等式f (x )>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)． 解法2：利用特殊值法． ∴f (x )当x ≥2时单调递增，∴当x ∈(10，＋∞)时满足f (x )>2，据此排除A 、D ， 又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2·e 12＝2e >2，也适合f (x )>2，故选C.[答案] 12<a <1[解析] ∵a 2＋1>2a ，log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <12a >1，∴12<a <1.10．函数f (x )是定义在R 上的减函数，A (3，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1是其图像上两点，那么|f (2x－1)|<1的解集为________． [答案] (－1,2)[解析] 不等式|f (2x－1)|<1可化为 －1<f (2x－1)<1，∵f (3)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1， ∴f (3)<f (2x－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，∵f (x )在R 上单调减，∴3>2x－1>－12，解得－1<x <2.11．设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 都成立，则x 的取值范围为____________． [分析] 问题可变成关于m 的一次不等式(x 2－1)m －(2x －1)＜0在m ∈[－2,2]上恒成立． [答案] (7－12，3＋12) [解析] 设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，则⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝2x 2－1－2x －1＜0，f－2＝－2x 2－1－2x －1＜0，.解得x ∈(7－12，3＋12)． [点评] 本题直接求解不好入手，而构造函数，利用函数的单调性解决问题，不失为一个好方法． 三、解答题12．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a ＞0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R. [解析] (1)由题意知1－a ＜0且－3和1是方程 (1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3，∴不等式2x 2＋(2－a )x －a ＞0，即为2x 2－x －3＞0，解得x ＜－1或x ＞32.∴所求不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞32}．(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0 若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.13．(1)解关于x 的不等式(lg x )2－lg x －2>0；(2)若不等式(lg x )2－(2＋m )lg x ＋m －1>0对于|m |≤1恒成立，求x 的取值范围． [解析] (1)∵(lg x )2－lg x －2>0， ∴(lg x ＋1)(lg x －2)>0， ∴lg x <－1或lg x >2， ∴0<x <110或x >100.∴不等式的解集为{x |0<x <110或x >100}．(2)设y ＝lg x ，则y 2－(2＋m )y ＋m －1>0， ∴y 2－2y －my ＋m －1>0， ∴(1－y )m ＋(y 2－2y －1)>0. 当y ＝1时，不等式不成立．设f (m )＝(1－y )m ＋(y 2－2y －1)，则f (m )是m 的一次函数，且一次函数为单调函数． 当－1≤m ≤1时，若要f (m )>0恒成立则⎩⎪⎨⎪⎧f 1>0f －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2－3y >0y 2－y －2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y <0或y >3y <－1或y >2，∴y <－1或y >3， ∴lg x <－1或lg x >3. ∴0<x <110或x >1000.∴x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(1000，＋∞)． 14．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减函数．又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由已知得f ′(0)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝－32a .∴f ′(x )＝3ax 2－3ax ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3a 4－3a 2＝32，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2x 3＋3x 2.(2)令f (x )≤x ，即－2x 3＋3x 2－x ≤0， ∴x (2x －1)(x －1)≥0，∴0≤x ≤12或x ≥1.又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立， ∴0<m ≤12.15．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.80≤x ≤510.2 x >5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ [解析] 依题意，G (x )＝x ＋2 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.80≤x ≤5，8.2－x x >5.(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0， 当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．4．线性规划实质上是“ ”数学思想方法在一个方面的体现，将最值问题借助图形直观、简便地寻找出来，是一种较快地求最值的方法．5．在求解应用问题时要特别注意题意中的 ，不可将范围盲目扩大．6．二元一次不等式表示平面区域的快速判断法不等式区域B >0B <0Ax ＋By ＋C >0 直线Ax ＋By ＋C ＝0上方 直线Ax ＋By ＋C ＝0下方 Ax ＋By ＋C <0直线Ax ＋By ＋C ＝0下方直线Ax ＋By ＋C ＝0上方主要看不等号与B 的符号是否同向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫B 值判断法．一般地说，直线不过原点时用原点判断法或B 值判断法，直线过原点时用B 值判断法或用(1,0)点判断．注意：画不等式Ax ＋By ＋C ≥0(或Ax ＋By ＋C ≤0)所表示的平面区域时，区域包括边界直线Ax ＋By ＋C ＝0上的点，因此应将其画为实线．把等号去掉，则直线为虚线．（三）基础自测1．(2010·全国卷Ⅰ理)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0.则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] B[解析] 画出可行域(如图)，由图可知，当直线l 经过点A (1，－1)时，z 最大， 且最大值为z max ＝1－2×(－1)＝3.2．(2010·福建文)若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．9[答案] B[解析] B 本题主要考查线性规划，求目标函数的最值．不等式组表示的可行域如图所示： 画出l 0：x ＋2y ＝0平行移动l 0到l 的位置，当l 通过M 时，z 能取到最小值． 此时M (1,1)，即z min ＝3.3．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P 、Q 两点，且点P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是( )A.14B.12C ．1D ．2 [答案] A[解析] 由点P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称说明直线y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直．∴k ＝1，又圆心坐标为(－k 2，－m 2)必在直线x ＋y ＝0上，－k 2－m2＝0，∴m ＝－1，则不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，如图，A 坐标为(－1,0)，B 点坐标为(－12，12)，∴S △AOB ＝12|OA |·|y B |＝12×1×12＝14，故选A.4．(2009·陕西)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－4,2)C ．(－4,0]D ．(－2,4) [解析] 本小题主要考查线性规划问题． 作可行域如图，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－12x －y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，∴A (3,4)，由题意得－1<－a2<2， ∴－4<a <2，故选B.5．(2010·陕西理)铁矿石A 和B 的含铁率为a ，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c ，如下表：ab (万吨)c ( 百万元)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．[答案] 15万元[解析] 设购买A，B两种矿石各x万吨和y万吨，最少费用为z万元，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0.5x＋0.7y≥1.9x＋0.5y≤2x≥0，y≥0目标函数为z＝3x＋6y，作出可行域求解可得z min＝15万元．6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x≥1x－y＋1≤02x－y－2≤0，则x2＋y2的最小值为________．[答案] 5[解析] 画出可行域如下图所示，可见可行域中的点A(1,2)到原点距离最小为d＝，∴x2＋y2≥5.[点评] 考查线性规划的基本知识和转化的思想，关键是形式联想，由x2＋y2想到点P(x，y)到原点的距离的平方．7．画出下列不等式或不等式组表示的平面区域：(1)3x＋2y＋6>0；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x<32y≥x3x＋2y≥63y<x＋9[分析] (1)用特殊点，如原点确定不等式表示的平面区域；(2)分别画出每个不等式所表示的平面区域，然后取其公共部分．[解析] (1)先画直线3x＋2y＋6＝0(画成虚线)，取原点(0,0)代入，∵3×0＋2×0＋6>0，∴(0,0)在3x＋2y＋6>0表示的平面区域内，如图所示．(2)不等式x<3表示x＝3左侧点的集合，不等式2y≥x表示x－2y＝0上及其左上方点的集合．不等式3x＋2y≥6表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合．不等式3y<x＋9表示直线3y－x－9＝0右下方点的集合．综上可得：不等式组表示的平面区域如图所示．（四）典型例题1.命题方向：二元一次不等式表示的区域[例1] 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y≥02x＋y≤2y≥0x＋y≤a，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( ) A．a≥43B．0<a≤1 C．1≤a≤43D．0<a≤1或a≥43[解析] 由图形知，要使平面区域为三角形，只需直线l：x＋y＝a在l1、l2之间或在l3上方．[答案] D 跟踪练习1设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则其所表示的平面区域的面积为____________．[分析] 画出可行域，根据图形判断其可行域是什么图形，再根据相应的公式求解．[答案] 92.命题方向：求目标函数的值域[例2] (2010·重庆文)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x －y ≥02x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D ．6[答案] C[解析] 本题考查了线性规划的基本知识，同时考查了学生数形结合的能力．如图可行域为阴影区域，作出直线l 0：3x －2y ＝0，当直线经过A (0，－2)点Z 取得最大值Z max ＝0－2(－2)＝4.故选C.[点评] 1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．2．线性目标函数z ＝ax ＋by 取最大值时的最优解与b 的正负有关，当b >0时，最优解是将直线ax ＋by ＝0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的．当b<0时则是向下方平移．提醒：在移动直线ax＋by＝0时，要注意斜率和边界直线斜率的关系．跟踪练习2(2010·浙江理)若实数x，y满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧x＋3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－my＋1≥0，且x＋y的最大值为9，则实数m＝( )A．－2 B．－1 C．1 D．2[答案] C[解析] 如图作出可行域由⎩⎪⎨⎪⎧x－my＋1＝02x－y－3＝0得A⎝⎛⎭⎪⎫3m＋12m－1，52m－1，平移y＝－x，当其经过点A时，x＋y取最大值，即3m＋12m－1＋52m－1＝9，解得m＝1.3.命题方向：简单线性规划的实际应用[例3] 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？[解析] 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤10，0.3x＋0.1y≤1.8x≥0，y≥0.目标函数z＝x＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8.得x ＝4，y ＝6.此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)∵7>0 ∴当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值．答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大． 跟踪练习32010年世博会在上海举行，一家旅行社开发了A 、B 两类旅游产品，A 类每条旅游线路的利润是0.8万元，B 类每条旅游线路的利润是0.5万元，且A 类旅游线路不能少于5条，B 类旅游线路不能少于8条，两类旅游线路的和不能超过20条，则该旅行社能从这两类旅游产品中获取的最大利润是____________万元． [分析] 线性规划是最优化模型中的一个重要内容，在生产生活中有着广泛的应用，而且在数学领域里也潜藏着深厚的文化底蕴，需要同学们认真体会． [答案] 13.6[解析] 设A 类旅游线路开发x 条，B 类旅游线路开发y 条，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5y ≥8x ＋y ≤20，z ＝0.8x ＋0.5y ，不等式组表示的可行域是以(12,8)，(5,8)，(5,15)为顶点的三角形区域(含边界)，又x ，y ∈N *，易知在点(12,8)处z 取得最大值，所以z max ＝0.8×12＋0.5×8＝13.6(万元) 4.命题方向：线性规划的综合应用问题[例4] 变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，(1)设z ＝4x －3y ，求z 的最大值； (2)设z ＝yx，求z 的最小值； (3)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．[分析] 画出可行域→明确目标函数z 的几何意义→结合图形找最优解→求目标函数的最值．[解析] 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)由z ＝4x －3y ，得y ＝43x －z3.求z ＝4x －3y 的最大值，相当于求直线y ＝43x －z 3在y 轴上的截距－z 3的最小值．平移直线y ＝43x 知，当直线y ＝43x －z 3过点B 时，－z3最小，z 最大．∴z max ＝4×5－3×2＝14. (2)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率． 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(3)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，∴2≤z ≤29.[点评] 本例与常规线性规划不同，主要是目标函数不全是直线形式，此类问题考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；x －a2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．(2)y x表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． 这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键． 跟踪练习4：设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝y ＋3x ＋3的取值范围是____________． [分析] 此题考点为线性规划的可行域、直线的斜率．解题关键是懂得将求z 的取值范围转化为求可行域内的点(x ，y )与点(－3，－3)连线的斜率的取值范围．[解析] 画出可行域如图，z 表示可行域内的点(x ，y )与点E (－3，－3)连线的斜率，则由图像可知，连线过点C 时斜率最小，过点B 时斜率最大．k BC ＝0＋32＋3＝35，k EB ＝3＋3－1＋3＝3， 所以z 的取值范围是[35，3]．[答案] [35，3][点评] 此类题可以归类为求y －ax －b的取值范围，即求点(b ，a )(注：点(b ，a )在可行域外)与可行域内的点(x ，y )的连线的斜率．（五）思想方法点拨：1．用二元一次不等式表示平面区域，是简单线性规划问题的基础．2．直线把平面分成的每一个区域内所有点的坐标各同时满足一个不等式，确定不等式Ax ＋By ＋C ＞0(＜0，≤0，≥0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的哪一侧区域，常用下列的方法确定：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取(x 0，y 0)，把它的坐标代入Ax ＋By ＋C ＞0，若不等式成立，则和(x 0，y 0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一区域为不等式Ax ＋By ＋C ＞0所表示的区域．3．在线性约束条件下，当b ＞0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解程序为： (1)作出可行域；(2)作出直线l 0：ax ＋by ＝0；(3)确定l 0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值． 4．目标函数非线性时，注意目标函数的几何意义，如斜率，距离等．5．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．求最优解时，若没有特殊要求，一般为边界交点．若实际问题要求的最优解是整数解．而我们利用图解法得到的解为非整数解，应作适当调整．其方法应以与线性目标函数直线的距离为依据，在直线附近寻求与直线距离最近的整点，但必须是在可行域内寻找. 但考虑到作图毕竟还是会有误差，假若图上的最优解并不明显易辨时，应将最优解附近的整点都找出来，然后逐一检查，以“验明正身”．（六）课后强化作业一、选择题1．(2010·安徽文)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．4C ．6D ．8 [答案] C[解析] 该题考查线性规划知识，求线性目标函数在线性约束条件下的最值．考查作图、识图能力及计算能力． 先画出可行域，如图作z ＝0时：x ＋y ＝0的直线，在可行域内平移，当移至A (6,0)时，x ＋y －z ＝0的截距最大，此时z 值最大，z ＝6＋0＝6，故选C.2．(2010·山东理)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x －5y ＋10≤0x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 [答案] A[解析] 作出可行域，当直线3x －4y ＝0平移至可行域上的点(3,5)时，z 取最小值－11，平移至点(5,3)取最大值3.3．给出平面区域如下图所示，若使目标函数Z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A.14B.35C．4 D.53[答案] B[解析] 目标函数Z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则l应与AC重合，即－a＝K AC＝225－21－5＝－35，∴a＝35.4．(2008·山东)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－19≥0x－y＋8≥02x＋y－14≤0，所表示的平面区域为M，使函数y＝a x(a>0，a≠1)的图像过区域M的a的取值范围是( )A．[1,3] B．[2，10] C．[2,9] D．[10，9][答案] C[解析] 由二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－19≥0x－y＋8≥02x＋y－14≤0得所表示的平面区域M为图中阴影部分．交点为A(1,9)，B(3,8)，C(2,10)．∴使函数y＝a x(a>0，a≠1)的图像过区域M的a的取值范围为[2,9]．故选C.5．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{ (x＋y，x－y)(x，y)∈A}的面积为( )A．2 B．1 C.12D.14[答案] B[解析] 记x＋y＝m，x－y＝n则x＝m＋n2，y＝m－n2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m＋n2＋m－n2≤1m＋n≥0m－n≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≤1m＋n≥0m－n≥0作出可行域可知面积为1.6．(2011·广东五校期中)当点M(x，y)在如图所示的三角形ABC区域内(含边界)运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k的取值范围是( )A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．[－1,1]C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)[答案] B[解析] 由目标函数z＝kx＋y得y＝－kx＋z，结合图形，要使直线的截距z最大的一个最优解为(1,2)，则0≤－k≤k AC＝1或0≥－k≥k BC＝－1，即k∈[－1,1]．7．已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥1y≤2x－1x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于( ) A．7 B．5 C．4 D．3[答案] B[解析] 由选项知m>0，作出可行域如图．目标函数z＝x－y对应直线y＝x－z经过可行域内的点A时，－z取最大值，从而z取最小值－1.由⎩⎪⎨⎪⎧y＝2x－1x＋y＝m，得A(1＋m3，2m－13)，∴z＝1＋m3－2m－13＝2－m3＝－1，∴m＝5.8．(2010·四川理)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元；乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱[答案] B[解析] 设甲每天加工x箱，乙每天加工y箱，利润为z.则⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤7010x＋6y≤480x∈N*y∈N*，即⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤705x＋3y≤240x∈N*y∈N*且z＝280x＋200y，画出可行域如图所示，作直线l0：7x＋5y＝0，并平移至经过点A(15,55)时，z取最大值，∴选B.二、填空题9．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围是____________．[答案] (－7,24)[解析] ∵点(－3，－1)，和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，∴(－9＋2－a)(12＋12－a)＜0.∴(a＋7)(a－24)＜0.∴－7＜a＜24.10．设D是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤102x＋y≥30≤x≤4y≥1所表示的平面区域，则区域D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是____________．[答案] 4 2[解析] 画出不等式组所表示的平面区域D如图中阴影部分所示(包括边界)，显然直线y＝1与2x＋y＝3的交点(1,1)到直线x＋y＝10的距离最大，根据点到直线的距离公式可以求得最大值为4 2.11．(2011·淮南一中月考)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0y≥02x＋y－4≤0f x，y≤0所表示的平面区域的面积是72，请写出满足条件的一个不等式f(x，y)≤0：____________.[答案] 2x－7y≤0[解析] 如图所示，先画出不等式组中已给出的三个不等式所表示的平面区域，它是一个直角三角形(包括边界)，其面积为4.再过原点作一条直线l：kx－y＝0(k＞0)，l与直线2x＋y－4＝0的交点P的横坐标为4k＋2，由12×4×4k＋2＝72得k＝27，所以满足条件的一个不等式为27x－y≤0，即2x－7y≤0.三、解答题12．设z ＝2y －2x ＋4，式中x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1y ≤22y －x ≥1，求z 的最大值和最小值．[解析] 作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1y ≤22y －x ≥1所表示的平面区域．如图阴影部分及边界．考查z ＝2y －2x ＋4，将它变形为y ＝x ＋12z －2，这是斜率为1随z 变化的一组平行线，12z －2是直线在y 轴的截距，当直线在y 轴上的截距最大时，z 的值最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z ＝2y －2x ＋4取得最大值；当直线在y 轴上的截距最小时，z 的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z ＝2y －2x ＋4取得最小值．由图可知，当直线z ＝2y －2x ＋4经过可行域上的点A时，截距最大，即z 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2得A 的坐标(0,2)，所以z max ＝2y －2x ＋4＝2×2－2×0＋4＝8，当直线z ＝2y －2x ＋4经过可行域上的点B 时，截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0x ＝1得B 点的坐标(1,1)，所以z min ＝2y －2x ＋4＝2×1－2×1＋4＝4.13．已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表，x －2 0 4 f (x )1－11f (x )的导函数f ′(x )的图像如图所示．若两正数a 、b 满足f (2a ＋b )<1，求b ＋3a ＋3的取值范围是多少？[解析] 由y ＝f ′(x )图像知，f (x )在[－2,0]为减函数，在[0,4]上为增函数． ∵f (－2)＝1，f (0)＝－1，f (4)＝1，f (2a ＋b )<1， ∴－2<2a ＋b <4，且a >0，b >0，可行域如图阴影部分．而b ＋3a ＋3可看作(a ，b )与(－3，－3)两点连线的斜率， 记P (－3，－3)，k PA ＝35，k PB ＝73，∴b ＋3a ＋3的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，73.14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2.(1)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值和最小值； (2)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值．[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －y ＋1≥0x ≤2表示的平面区域如图所示．图中阴影部分即为可行域．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，∴A (1,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，∴B (2,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2,3)．(1)过原点(0,0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂足为N ，则直线l 的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在线段AB 上，也在可行域内． 此时可行域内点M 到原点的距离最大，点N 到原点的距离最小．又OM ＝13，ON ＝92， 即92≤x 2＋y 2≤13，∴92≤x 2＋y 2≤13， 所以，z 的最大值为13，z 的最小值为92.(2)由图象可得，原点与可行域内的点A 的连线的斜率值最大，与点B 的连线的斜率值最小， 又k OA ＝2，k OB ＝12，∴12≤yx ≤2.∴z 的最大值为2，z 的最小值为12.15．(2010·广东文)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的。

数学十八章知识点归纳总结第一章直线与平面1. 直线和射线的基本概念2. 直线的相关性质：平行、垂直、重合、交叉等3. 平面的相关性质：平行、垂直、重合、交叉等4. 直线和平面的交点及其性质5. 直线间的夹角关系第二章点、线、面的投影1. 点投影2. 线投影3. 面投影4. 投影的相关性质和应用第三章多边形的性质1. 多边形的定义及相关概念2. 多边形的内角和外角3. 正多边形的性质4. 不规则多边形的性质5. 多边形的判定定理第四章圆的性质1. 圆的定义及相关概念2. 圆的周长和面积3. 圆的切线和切点4. 弧长和扇形面积5. 弧度制和角度制6. 圆心角和弧度关系1. 三角形的定义及相关概念2. 三角形的内角和外角3. 三角形的边长关系4. 三角形的面积公式5. 三角形的中位线、角平分线和高线6. 三角形的相似性质第六章直角三角形1. 直角三角形的定义及相关概念2. 直角三角形的边长关系：毕达哥拉斯定理3. 直角三角形的三边关系及应用4. 直角三角形的三角函数及其性质：正弦、余弦、正切5. 直角三角形的解三角形及应用第七章平行线与三角形1. 平行线的性质2. 平行线的相关定理及应用3. 平行线与三角形内角的关系4. 平行线与三角形边长的关系5. 平行线与三角形面积的关系第八章四边形的性质1. 四边形的定义及相关概念2. 平行四边形的性质3. 矩形的性质4. 菱形的性质5. 平行四边形的性质第九章四边形的判定1. 判定平行四边形的方法2. 判定矩形的方法3. 判定菱形的方法4. 判定正方形的方法5. 判定不规则四边形的方法第十章圆锥与圆柱1. 圆锥的定义及相关概念2. 圆锥的面积和体积公式3. 圆柱的定义及相关概念4. 圆柱的面积和体积公式5. 圆锥体和圆柱体的相关性质第十一章曲线的性质1. 圆的曲率及其性质2. 抛物线的性质3. 椭圆的性质4. 双曲线的性质5. 各种曲线的应用及相关题目解答第十二章向量的基本概念1. 向量的定义及相关概念2. 向量的加减法3. 向量的数乘及数量积4. 向量的运算性质5. 向量的应用及相关题目解答第十三章空间几何1. 空间直线和平面的方程2. 空间中的直线、平面和点的相关性质3. 空间中的投影和投影性质4. 空间中四边形和三角形的性质第十四章解析几何1. 高中解析几何中的常见图形及其相关性质2. 解析几何中的直线与圆3. 解析几何中的反比例函数及其应用4. 解析几何中的一元二次方程及其根的性质5. 解析几何题目和解题方法第十五章立体图形的表面积和体积1. 直角三棱锥的表面积和体积2. 棱柱的表面积和体积3. 圆锥的表面积和体积4. 圆柱的表面积和体积5. 球的表面积和体积第十六章三角恒等变换1. 三角函数定义及性质2. 三角函数的基本关系3. 三角恒等变换及其应用4. 三角方程及其解法5. 三角恒等变换题目及解题方法第十七章数列与数学归纳法1. 数列及其相关概念2. 等差数列的通项公式和求和公式3. 等比数列的通项公式和求和公式4. 数学归纳法的基本概念和方法5. 数列与数学归纳法题目及解题方法第十八章概率与数理统计1. 随机事件及其概率的定义2. 概率的基本性质和概率公式3. 随机变量及其概率分布4. 期望和方差的概念5. 概率与数理统计的应用及相关题目解答以上就是数学十八章知识点的归纳总结。

数学第十八章整体讲解教案教案标题：数学第十八章整体讲解教案教案目标：1. 理解数学第十八章的整体内容和学习目标。

2. 掌握第十八章中涉及的数学概念和技巧。

3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学重点：1. 理解和应用整体讲解中的数学概念。

2. 掌握整体讲解中的解题方法和技巧。

3. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。

教学难点：1. 运用数学概念解决实际问题。

2. 理解和应用整体讲解中的复杂解题方法。

教学准备：1. 教材：数学教材第十八章相关内容。

2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学投影仪等。

3. 学具：学生练习册、作业本等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用黑板或投影仪展示第十八章的标题和学习目标。

2. 引导学生回顾前几章的内容，为本章的学习做铺垫。

二、整体讲解（30分钟）1. 通过示例和图解，引导学生理解第十八章的数学概念和相关知识点。

2. 结合实际问题，解释和演示整体讲解中的解题方法和技巧。

3. 提醒学生注意常见错误和易混淆的概念，帮助他们建立正确的数学思维。

三、练习与巩固（15分钟）1. 分发学生练习册或作业本，让学生进行相关练习。

2. 在学生练习过程中，及时给予指导和解答，帮助他们巩固所学知识。

3. 鼓励学生主动思考和解决问题，提高他们的问题解决能力。

四、拓展与应用（10分钟）1. 给学生提供一些拓展题目，让他们运用所学知识解决更复杂的问题。

2. 引导学生思考数学在日常生活和实际问题中的应用价值。

五、小结与反馈（5分钟）1. 对本节课的内容进行小结，强调重点和难点。

2. 鼓励学生提出问题和意见，及时解答和反馈。

教学延伸：1. 鼓励学生自主学习和思考，提高他们的数学综合能力。

2. 建议学生多做相关的习题和练习，加深对数学概念的理解和掌握。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的表现和参与情况。

2. 检查学生完成的练习册或作业本，评估他们对本章内容的掌握程度。

3. 针对学生的表现和问题，及时给予指导和反馈。

第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。

定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。

组合数学---数学奥赛教练员培训材料第一篇：组合数学---数学奥赛教练员培训材料（一）组合数学1.几个常用的排列公式（1）线排列：从n个不同的元素中任取m(m≤mn)个排成一列，其排列数为An.mAn.m（2）圆排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个排成一圈，其排列数为（3）项链排列：从n粒不同的珍珠中任取m(m≤n)粒用线串成一根项链，得到的不同项链的条数Anm 为.2m（4）可重复排列：从n个不同的元素中任取m(m≤m（可重复取）排成一列，其排列数为n.n)个元素（5）不全相异的元素的全排列：设n个元素可分为k组，每组分别有n1,n2,...,nk个元素，各组内的元素完全相同，不同组的元素互不相同，则这n个元素的全排列数为n!.n1!n2!...nk!2.几个常用的组合公式（1）单组组合：从n个不同的元素中任取m(m≤mn)个并成一组，其组合数为Cn.（2）多组组合：将n个不同的元素分成k组，每组分别有n1,n2,...,nk个元素，则不同的分组方法数为n!.n1!n2!...nk!n-1（3）从n个不同元素中任意取m个元素（可重复取）的组合数为Cn+m-1.3.组合恒等式下面是大家熟知的组合恒等式（1）kkkk-1kn-kCn=Cn-1+Cn-1 , Cn==nk-1Cn-1（n≥k≥1)k （2）Cnnmkkm-k⨯Cm=Cn⨯Cn-k(n≥m≥k).（3）∑Ck=0nkn=2n(n>k≥1)（4）∑(-1)k=0nkkCn=0(n≥1)。

4．二项式定理：设n是正整数，x,y是任意实数，则kkn-k(x+y)=∑Cnxy.k=0n特别有：设n是正整数，x为任意实数，则(1+合恒等式（3），（4））kkx)=∑Cnx.（分别令x=1和x=-1就可得证组nk=0n5.加法原理和乘法原理加法原理：如果完成一件事情的方法可以分成有n个互不相交的类，且第i类中有mi种方法，则完成这件事情一共有m1+m2+Λ+mn 种方法.乘法原理：如果完成一件事情需要分为n个步骤（每个步骤仅完成这件事情的一部分），且第i个步骤有mi种方法，则完成这件事情一共有m1m2⋅Λ⋅mn种方法.6．两个重要定理S的子集，则定理1（容斥原理）设A1,A2,Λ,Am是有限集合|A1Y A2YΛY Am|=∑|Ai|-i=1m1≤i<j≤m∑|Ai I Aj|+1≤i<j<k≤m∑|Ai I Aj I Ak |+Λ+(-1)m-1|A1I A2IΛI Am|.定理2（配对原理）对于两个不具有同类元素的有限集合A与B，如果存在集合A到集合B上的双射（即一一映射）f，则集合A与B的元素个数相等，即|A|=|B|.7.抽屉原则把8件物品任意的放进7个抽屉种，不论怎么放置，则至少有一个抽屉中有两件或两件以上上述物品。

§16排列，组合1．排列组合题的求解策略（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略．（2）分类与分步有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为311C ，这也就是方程12=+++d c b a 的正整数解的个数．2．圆排列（1）由},,,,{321n a a a a A =的n 个元素中，每次取出r 个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列（或叫环状排列）．（2）圆排列有三个特点：（i ）无头无尾；（ii ）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii ）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．（3）定理：在},,,,{321n a a a a A =的n 个元素中，每次取出r 个不同的元素进行圆排列，圆排列数为rP r n ． 3．可重排列允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列．在m 个不同的元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二、…、第n 位是的选取元素的方法都是m 种，所以从m 个不同的元素中，每次取出n 个元素的可重复的排列数为n m ．4．不尽相异元素的全排列如果n 个元素中，有1p 个元素相同，又有2p 个元素相同，…，又有s p 个元素相同（n p p p s ≤+++ 21），这n 个元素全部取的排列叫做不尽相异的n 个元素的全排列，它的排列数是!!!!21s p p p n ⋅⋅⋅ 5．可重组合（1）从n 个元素，每次取出p 个元素，允许所取的元素重复出现p ,,2,1 次的组合叫从n 个元素取出p 个有重复的组合．（2）定理：从n 个元素每次取出p 个元素有重复的组合数为：r p n p n C H )1(-+=．例题讲解1．数1447,1005,1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？2．有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？3．有n 2个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？4．将1+n 个不同的小球放入n 个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放法？5．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少个？6．用8个数字1,1，7,7，8,8，9,9可以组成不同的四位数有多少个？7．用E D C B A ,,,,五种颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面必须涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方式？8．某种产品有4只次品和6只正品（每只产品可区分），每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止．求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？9．在平面上给出5个点，连结这些点的直线互不平行，互不重合，也互不垂直，过每点向其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有多少个？10．位政治家举行圆桌会议，两位互为政敌的政治家不愿相邻，其入坐方法有多少种？11．某城市有6条南北走向的街道，5条东西走向的街道．如果有人从城南北角（图A 点）走到东南角中B 点最短的走法有多少种？12．用4个1号球，3个2号球，2个3号球摇出一个9位的奖号，共有多少种可能的号码？13．将r 个相同的小球，放入n 个不同的盒子（n r ）．（1）有多少种不同的放法？（2）如果不允许空盒应有多少种不同的放法？14．8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站着两个男孩．（只要把圆旋转一下就重合的排列认为是相同的）课后练习1．8次射击，命中3次，其中愉有2次连续命中的情形共有（ ）种（A ）15 （B ）30 （C ）48 （D ）602．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

2021年高考数学一轮复习培优课程讲义（上海专用）专题18 排列组合的经典模型及其应用知识定位排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

（讲师特别提醒：本讲义课时不止2h，不少学校的新高三学生才刚刚学排列组合，估计需要4h，请讲师视不同学生情况安排）知识诊断1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？知识梳理经典方法知识的讲解已结合在下面的例题中。

常见题型和方法解析排列组合中的经典方法（★★☆☆☆）1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3. ,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种B、60种C、90种D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种B、300种C、464种D、600种（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式⋃=+-⋂()()()()n A B n A n B n A B例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。