19.2.3三角形全等的判定(第三课时)课件

B B
本节课我们主要学习了有关 全等三角形的“两角一边” 全等三角形的“两角一边”识别 方法，有两种情况： 方法，有两种情况： 两个角及两角的夹边； 1. 两个角及两角的夹边； 2.两个角及其中一角的对边。 2.两个角及其中一角的对边。 两个角及其中一角的对边 都能够用来识别三角形全等。） （都能够用来识别三角形全等。）
到目前为此， 到目前为此，我们共学了几种 识别三角形全等的方法？ 识别三角形全等的方法？
边角边： 边角边： 有两边和它们 夹角对应相等的两 个三角形全等。
角边角 有两角和它们夹边 对应相等的两个三 角形全等。 角形全等。
角角边
如果两个三角形的两 个角及其中一个角的 对边分别对应相等, 对边分别对应相等,那 么这两个三角形全等. 么这两个三角形全等.
A
A’Bຫໍສະໝຸດ DCB’D’ C’
全等三角形对应边上的高也相等。 全等三角形对应边上的高也相等。
思考题: 思考题:
是等腰三角形， 分别是∠ 5、△ABC是等腰三角形，AD、BE 分别是∠A、 的角平分线， 全等吗？ ∠B 的角平分线，△ABD和△BAE 全等吗？试 说明理由. 说明理由.
解 ∵ △ABC是等腰三角形 ∴ AC=BC ∠ A＝ ∠ B 又∵ AD、BE 分别是 ∠A、∠B 的角平分线 1 BAD＝ ∠A ∴ ∠BAD＝ ∠BAD =∠ABE =∠ 2 AB为公共边 ∵ AB为公共边 1 ABE＝ ∠ABE＝ 2 ∠B EAB=∠ ∠EAB=∠DBA =∠ ∴ ∠BAD =∠ABE ∴△ABD≌△BAE (A.S.A)
怎么办？可以 帮帮我吗？
问题导入 如果知道两个三角形的两个角及一条边分 如果知道两个三角形的两个角及一条边分 两个角 别对应相等，这两个三角形一定全等吗？ 别对应相等，这两个三角形一定全等吗？ 这时应该有两种不同的情况： 这时应该有两种不同的情况： 两个角及两角的夹边； （1）两个角及两角的夹边； （2）两个角及其中一角的对边

步骤： 步骤： 1、画一线段AB,使它等于 、画一线段 使它等于10cm ； 使它等于 2、画∠ BAM= 45° ； 、 ° 3、以B为圆心 6cm长为半径画弧 、 为圆心, 长为半径画弧, 为圆心 长为半径画弧 于点C 交AM于点 和D； 于点 ； 4、连结CB(DB), △ABC和△ABD 、连结 和 即为所求． 即为所求．
在△ABD与△ACD中， 与 中 AB＝AC（已知） ＝ 已知） 图 19.2.4 （已证） ∠BAD＝∠CAD ＝ AD＝AD （公共边） ＝
∵
∴ ABD≌△ACD（ 归纳： △ABD≌△ACD（S.A.S.） 归纳：判定两条线段相等或两个角相等可以 通过从它们所在的两个三角形全等而得到。 通过从它们所在的两个三角形全等而得到。 ） ∴∠B＝∠C BD=CD（全等三角形的性质） ＝ 全等三角形的性质
答:
(1)全等 (1)全等
(2)全等 (2)全等
2.已知：点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点， 求证: △AMD≌△BMC. 证明： ∵ 点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点 ∴ AD=BC （等腰梯形的两腰相等） ∠A＝∠B（等腰梯形的同一底边的两内角相等） AM=BM （线段中点的定义） 在△ADM和△BCM中 AD＝BC (已证) ∠A＝∠B (已证) AM＝BM (已证) ∴△AMD≌△BMC (S.A.S)
D A
边: 则须使得 边:
AB=CB(已知) AB=CB(已知) 已知 BD=BD(公共边) ？
C
角: ∠ABD= ∠CBD(已知) ∠CBD(已知) 已知
２： 已知：如图， AB=CB ，∠ ABD=
∠ CBD ,△ ABD 和△ CBD 全等吗？ 解: 在△ ABD 和△ CBD中

3cm
4cm
45°
步骤： 1、画一线段AB,使它等于4cm ； 2、画∠ BAM= 45° ； 3、以B为圆心, 3cm长为半径画弧,交AM于点C ； 4、连结CB ．
△ABC即为所求．
探究新知⑵
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较， 所有的三角形都全等吗？ M
D
C
A
B
结论：两边及其一边所对的角相等，两 个三角形不一定全等.
实验:观察叶片的结构
目的要求: 1.练习徒手切片 2.认识叶片的结构 3.画叶片的表皮细胞和保卫细胞图
一、练习徒手切片，制作叶片 横切面的临时切片
把新鲜的叶片平放在小木板上
右手捏紧并排的两片刀片，沿着图 中虚线的方向，迅速切割
刀片的夹缝中存有切下的薄片。要多切几 次（每切一次，刀片要蘸一下水）。把切 下的薄片放入水中
利用“SAS”和“全等三角形的对应角相等”这两条公 理证明了“等腰三角形的两个底角相等”这条定理。
若题目的已知条件不变，你还能证得哪些结论？
例题推广
2 、 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， AD 平 分
∠BAC，求证： ABDD⊥=CBDC ．
证明: ∵ AD平分∠BAC
A
∴ ∠BAD＝∠CAD
叶脉：有导管和筛管。导管运输水分和无机盐， 筛管运输有机物。
极 细 光 束
黑暗中
1装片中好氧菌集中在被 光束照射到的部位附近。
光照下
2装片中好氧菌集中在叶 绿体所有受照射的部位。
恩吉尔曼的水绵光合作用实验
为什么好氧细菌集 中在叶绿体所有受 光部位的周围？
实验证明：氧是由叶
绿体释放出来的，叶
绿体是光合作用的场

1 2
C
E A
B
6. 如图，已知AB=AC，AE=AD，那么图中哪两个 三角形全等？并进行证明.
4. 如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，
这时△ADC≌△CBA吗？若不能， 那么还需添加怎样的条件才 A 全等呢？ E B F C
D
小结：
如果两个三角形有 两边 及其 夹角 分别对应相等， 那么这两个三角形全等.简称S.A.S.（或边角边）
§19.2 三角形全等的判定
2.边角边
全等三角形的判定条件：

有一个条件：
有一条边对应相等
的两个三角形不一定全等.
有一个角对应相等 有一条边和一个角对应相等

有两个条件： 有两条边对应相等
有两个角对应相等
的两个三角形 不一定全等.
如果两个三角形有3组对应相等的元素呢？有几 种情况？

有两边及它们的夹角对应相等（边角边） 两边一角： 有两边及其中一边的对角对应相等（边边角）
边-角-边

边-边-角
两角一边：
三个角： 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 三条边：
画一个三角形，使三角形有其中两边长分别为6cm 和8cm，一个内角为45°. 能画出几个?
6cm 45° 8cm 45° 8cm
6cm
8cm 45° 6cm 45° 8cm
6cm
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较， 下列哪种条件的三角形能完全重合（全等）？
作业：
《课时达标》第41页 （其中5、6、7写在作业本上，第8题选做）
A
B′
A′
如果两个三角形有两边和其中一边的对角分别对应 相等，这两个三角形全等吗？说明理由（或举反例 说明）.

小明的设计方案： 小明的设计方案：先在池塘 旁取一个能直接到达A 旁取一个能直接到达A和B处的 连结AC并延长至D AC并延长至 点C，连结AC并延长至D点， AC=DC，连结BC并延长至E BC并延长至 使AC=DC，连结BC并延长至E BC=EC，连结CD CD， 点，使BC=EC，连结CD，用 米尺测出DE的长， DE的长 米尺测出DE的长，这个长度就 等于A 两点的距离。 等于A，B两点的距离。请你说 AC=DC 明理由。 明理由。
问：如图△ABC和△ DEF 中， 如图△ 和 AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， ∠ BC=EF=5 ㎝ 则它们完全重合吗？ 则它们完全重合吗？即 △ABC≌△ DEF ？ ≌
A 3㎝ ㎝
300
D 3㎝ ㎝
300
B
5㎝ ㎝
CE
5㎝ ㎝
F
问：如图△ABC和△ DEF 中， 如图△ 和 AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， ∠ BC=EF=5 ㎝ 则它们完全重合,即 则它们完全重合 即 △ABC≌△ DEF . ≌
∴△ABC≌△DEF（SAS） ABC≌△DEF（SAS）
AB=DE
B
C D
E
F
分别找出各题中的全等三角形
A
40° °
B A D C D (2) C B
F (1)
根据“ △ADC≌△CBA 根据“SAS” ADC≌△
E
根据“ △ABC≌△EFD 根据“SAS” ABC≌△
例1
如图， 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分 ABC中 AB=AC，AD平分 BAC，试说明△ABD≌△ ∠BAC，试说明△ABD≌△ACD
D A 3㎝ ㎝
300

已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/， 使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ： 1、画A/B/＝AB； 画法： 2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/．
△A/B/C/就是所要画的三角形．
问：通过实验可以发现什么事实？
19.2.3三角形全等的条件
复习
1.什么是全等三角形？
2.判定两个三角形全等要具备什么 条件角形全等．
创设情景,实例引入
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图， 你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三 角形的原貌吗？
A
D
C
E
B
探究1 先任意画出一个△ABC，再画一 个△A/B/C/，使A/B/=AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ．把画好的△A/B/C/剪下， 放到△ABC上，它们全等吗？
D
A
1 2
B
C
2.已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D 求证：AC=AD 证明： 在△ABD和△ABC中 ∠1=∠2 （已知） 1 2
D
∠D=∠C（已知）
AB=AB（公共边）
A
B
∴△ABD≌△ABC （AAS） ∴AC=AD （全等三角形对应边相等）
C
（1）学习了角边角、角角边 （2）注意角角边、角边角中两 角与边的区别．
（3）会根据已知两角画三角形
（4）进一步学会用推理证明．
求证： △ABE≌△ACD
A D O B C E
例2.如图，∠1=∠2，∠3=∠4 求证：AC=AD
D
A
1 2
3 B 4
C
探究2 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全 等吗？能利用角边角条件证明你的结论 吗？ D

A
B
C
D
1
2
证明两直线垂直或一个角是直角,可转化为证该角和它的邻补角相等
请说出目前判定三角形全等的4种方法：
S.A.S.，A.S.A.，A.A.S.，S.S.S.
如图,AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE。求证:BE⊥CD
D
A
M
E
证明： ∵AB⊥AC，AD⊥AE， ∴∠BAC=∠DAE=90° ∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+CAE 即：∠BAE=∠CAD 在△BAE和△ CAD中 AB=AC ， ∠BAE=∠CAD AD=AE ∴△BAE≌△ CAD(S.A.S.) ∴∠B=∠C 设AC与BE的交点为O 则：∠BOA=∠COF 在△ COF, △ BOA中：∠B=∠C，∠BOA=∠COF ∴∠CFO=∠BAO=90° ∴BE⊥CD
(2)由（1）知： DE=DF 在△ADE和△CDF中， DE=DF ∠ADE=∠CDF AD=CD， ∴△ADE≌△CDF（A.A.S.）， ∴∠DAE=∠DCF ∴AE ∥ CF
证明：在△ABC和△CDA中， CB＝AD （已知） AB＝CD （已知） AC＝CA （公共边） ∴ △ABC≌△CDA（S．S．S．）．
1、已知:如图，AB = DC , AD = BC。 求证: ∠A = ∠C
A
B
D
全等（S.A.S.）
全等（S.S.S.）
不能判定全等。
全等（S.S.S.等）
2． 如图，四边形ABCD是平行四边形，△ABC和△CDA是否全等？若四边形是菱形、矩形、梯形，是否还有相同的结论？
解：①全等（用S.S.S.或S.A.S.或A.S.A.或A.A.S.都能证得）
②因为菱形和矩形都是平行四边形，所以有相同的结论；而梯形不是平行四边形，所以不有相同的结论。

如图:要测量河两岸相对的两点 的距离, 如图 要测量河两岸相对的两点A,B的距离 要测量河两岸相对的两点 的距离 可以在AB的垂线 上取两点C,D,使BC=CD, 的垂线BF上取两点 可以在 的垂线 上取两点 使 再定出BF的垂线 的垂线DE,使A,C,E在一条直线上 在一条直线上, 再定出 的垂线 使 在一条直线上 这时测得DE的长就是 的长,为什么 的长就是AB的长 为什么? 这时测得 的长就是 的长 为什么
变式练习
如图： ABC是等腰三角形， 如图：△ABC是等腰三角形， 是等腰三角形 AD、BE分别是 分别是∠ AD、BE分别是∠A、∠B的角平 分线， ABD和 BAE全等吗 全等吗？ 分线，△ABD和△BAE全等吗？ 试说明理由. 试说明理由.
若改为：AD、BE分别是两腰上 若改为：AD、BE分别是两腰上 的高， 的中线，ABD和△BAE全等吗？ ABD和 BAE全等吗 全等吗？ 全等吗？ 的高，△ABD和 BAE全等吗 的中线，△ABD和△BAE全等吗？ 试说明理由. 试说明理由.
分析：此题是实际应用题， 分析 此题是实际应用题， 此题是实际应用题 文字语言叙述的内容用符号 语言表示出来即是： 、 语言表示出来即是：AE、BD 相交于C点 相交于 点，且BC=CD， ， AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分 ⊥ ， ⊥ ， 别是B、 ， 别是 、D，则AB=ED，由 ， 分别是△ 于AB、ED分别是△ABC和 、 分别是 和 的边， △EDC的边，可考虑证 的边 △ABC≌△EDC ≌
图 19 。 2 。 7
把你们画的三角形与其他同学画的三角形进行比较， 所有的三角形都全等吗？
仔细观察
在△ABC 与△A'B'C'中,若 中若 AB=A‘B', ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠ ∠ 那么△ABC 与△A'B'C'全等吗 那么△ 全等吗? 全等吗

祝贺你,在学习源自获得了新知识!作业：
课本第79页习题第1题
例1. 如下图，△ABC是一个钢架，
AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。 求证：△ ABD≌ △ ACD 分析：要证明△ ABD≌ △ACD， 证明: ∵D是BC中点， 首先要看这两个三角形的三条边 ∴BD=CD. 是否对应相等。 在△ABD和△ ACD中,
AB=AC,
BD=CD, AD=AD, ∴ △ABD ≌△ ACD（SSS）．
思考：你能用“边边边”解释三角形具 有稳定性吗？
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两 个三角形全等（ 可以简写为“边边边”或 “SSS”）。 三角形的三边长度固定，这个三角形的形状大小就完全 确定，这个性质叫三角形的稳定性。
小结：判定两个三角形全等有四种方法：“SAS”、 “ASA’’、“AAS”、“SSS”。
C
B
D
∴
△ ABC≌ △ FDE (SSS).
E
F
工人师傅常用角尺平分一个任意角， 做法 如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分 别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别 与M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平 分线。为什么？
分析：移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合， 则 CM=CN. 证明：在 △OMC和△ ONC中， OM= ON, OC=OC, CM=CN, ∴ △OMC≌ △ONC (SSS). ∴ ∠MOC=∠NOC (全等三角形的对应角相等) 即 OC 是∠AOB的平分线
D
D
C
C
答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC
证明三角形全等的步骤：
(1)准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好； (2)证明三角形全等书写三步骤： ①写出在哪两个三角形中 ②摆出三个条件用大括号括起来 ③写出全等结论