一元方程应用题水箱变高了

北师版-第五章-第三节应用一元一次方程-水箱变高了.doc 一、基础识记1．圆锥的体积=_____________=_____________.（要点一）69352．梯形的面积=____________；圆的面积=_________；圆的周长=__________.（要点一）6937答案：1、13×底面积×高，213r hπ2、12×（上底+下底）×高，2rπ2rπ. 概念：1．三角形的面积=_____________.答案：12×底×高3．圆柱的体积=_________=___________；答案：底面积×高，2r hπ4.正方体的体积___________=_________（新增.张站稳）答案：棱长×棱长×棱长，3a5.长方体的体积____________=________（新增.张站稳）答案：长×宽×高，abc二、基础理解1、用一根铁丝围成一个长为24cm，宽为12cm的长方形，如果将它改制成一个正方形，这个正方形的面积是（）（剖析点二）6941A.81 cm2B. 18 cm2C. 2324cm D. 326 cm2答案：C.解析：先可以长方形求出铁丝的长度，再求出正方形的边长，可得到正方形的面积.铁丝的长度为 ()2241272cm ⨯+= ，则正方形的边长为72÷4=18cm ，面积为18×18=324 cm 2.5、一个长方形的周长为26cm ，这个长方形的长减少1cm ，宽增加2cm ，就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm ，可列方程____________. （题型二）备用7025答案： x −1=26÷2−x +2.解析：让周长除以2减去长方形的长即为长方形的宽，等量关系为：长-1=宽+2，把相关数值代入即可．长方形的长为xcm ，长方形的宽为（26÷2-x ）cm ，∵长减少1cm 为x-1，宽增加2cm ，为26÷2-x+2，∴列的方程为x-1=26÷2-x+2．6、 已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为2：3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4：5，若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最多可装满几个大纸杯（ ）（题型一）7026A. 64B. 100C. 144D. 225 答案： B解析： 根据等量关系“甲桶内果汁装满小纸杯的个数×2=乙桶内果汁装满大纸杯的个数×3”，“甲桶内果汁装满大纸杯的个数：乙桶内果汁装满大纸杯的个数=4：5”可解出此题．个大杯．解得：100x=．∴乙桶内的果汁最多可装满100个大杯．7、有一个底面半径为5 cm的圆柱形储油器，从中捞出546π g钢珠，cm钢珠重7.8 g）（题型一）备用7027液面将下降____cm .（13答案：2.8．解析：储油器中液面下降的体积= 捞出钢珠体积．设液面下降x cm，8、图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体cm．（题型二）7028积是3答案：解：设长方体的高为x cm，然后表示出其宽为()-cm，304x根据题意得：3042-=x x解得：5x=故长方体的宽为10，长为20cm则长方体的体积为5×10×20=1000cm3．故答案为1000．解析：设长方体的高为x cm，然后表示出其宽为()-304xcm，利用宽是高的2倍列出方程求得小长方体的高后计算其体积即可．9、内径为120 cm的圆柱形玻璃杯和内径为300 cm 、内高为32 cm的圆柱形玻璃杯可以盛同样多的水，则内径为120 cm 的圆柱形玻璃杯的内高为____cm ．（题型一）7029答案：200．解析： 设内径为120 cm 的圆柱形玻璃杯的内高为x cm ，根据题意，三、题型认识(新增)题型一：等积变形问题用直径为90mm 的圆钢，铸造一个地面长和宽都是131mm ，高度是81mm 的长方体钢锭.问需要截取多长的一段圆钢？（结果保留π） 答案：设截取圆钢的长度为x mm .根据题意，得290131131802x π⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭ ， 解方程，得686.44x π=. 答：截取圆钢的长度为686.44πmm . 解析：圆钢由圆柱体变为长方体，形状变了，但体积不变. 题型二：等长变形问题用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆.已知正方形的边长比圆的半径长()22π- m ，求这两根铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大.答案：解：设圆的半径为r m ，则正方形的边长为()22r π⎡+-⎤⎣⎦m .根据题意，得()2422r r ππ=⎡+-⎤⎣⎦，解得4r = .所以铁丝的长为28r ππ=（m ）. 圆的面积为216r ππ=（m 2），正方形的面积为()224224ππ⎡+-⎤=⎣⎦（m 2）. 444πππ⋅⋅>⋅，所以圆的面积大 . 答：铁丝的长为8π（m ），圆的面积大.四、综合应用 123（新增.张站稳）解析：设水面高度为x米，依题意得5×5x=5×5×4+3×3×3解得： x=5.08所以选c4，（新增.张站稳）。

一元一次方程-----水箱变高了学习目标：1．了解一元一次方程在解决实际问题中的应用．体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系．2．通过分析图形问题中的基本等量关系，并由此关系列方程解相关的应用题．学习重点：1．寻找图形问题中的等量关系，建立方程．2．根据具体问题列出的方程，掌握其简单的解方程的方法．学习难点：寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化．学习过程一.激趣导入提出问题情境1：成语“朝三暮四”的故事.从前有个叫狙公的人养了一群猴子.每一天他都拿足够的栗子给猴子吃，猴子高兴他也快乐.有一天他发现如果再这样喂猴子的话，等不到下一个栗子的收获季节，他和猴子都会饿死，于是他想了一个办法，并且把这个办法说给猴子听，当猴子听到只能早上吃四个，晚上吃三个栗子的时候很是生气，呲牙咧嘴的.没办法狙公只好说早上三个，晚上四个，没想到猴子一听高兴得直打筋斗.）请回答：猴子为什么高兴了？事实又是怎样的呢？情境2：两瓶矿泉水容量一样，一个短且宽，另一个长且窄.请大家说一说哪瓶矿泉水多？为什么？生：一样多.师：很好！同学们不仅观察的仔细，考虑问题也比较有深度.情境3：用一块橡皮泥先捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖的圆柱，请思考下列几个问题：（1）在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化？还有哪些量改变了？（2）在这个变化过程中，什么量没有变化呢？生1：直径变大.生2：高度变小，底面周长变大、表面积……生3：体积不变（质量不变）.师：本节课我们将利用一元一次方程知识解决与体积变化有关的问题.二、合作探究，展示交流探究1：等体积问题某居民楼顶有一个底面直径和高均为4米的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4米减少为3.2米.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4米增高了多少米？分析：1.在这个问题中水箱的_______不变. ( 体积)根据题意，可以找出如下的等量关系：____________________.( 这个问题的等量关系：旧水箱的体积=新水箱的体积．)2.设水箱的高变为x m,试填写下表：旧水箱新水箱底面半径/m 2 1．6高/m 4 x体积/ m3π×22×4 π×1．62×x3.根据等量关系，列出方程__________________________因此，水箱的高变成了_______米.这个题的解答过程如下：解：设新水箱圆柱的高为x厘米，根据题意，列出方程解得x=答：高变成了254米．练习1 有一块长、宽、高分别为4cm、3cm、cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5的圆柱，若设它的高为x cm，则可列方程为_________________.探究2：周长相等问题教师：用一根铁丝铁丝围成一个四边形，在所有的四边形中他们的周长有什么特点？学生：不变，都相等．教师：所围成的四边形的面积变化吗？动手操作试一试．学生：面积发生变化．例1 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形．(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为()m．根据题意，得解这个方程，得x=x+1.4=此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m．(2)此时长方形的宽为x m，则它的长为() m．根据题意，得．解这个方程，得x=．x+0.8=此时长方形的长为2.9 m，宽为2.1 m，面积为2.1×2.9=6.09(m2)，而(1)中长方形的面积为3．2×1.8=5.76(m 2)．此时长方形的面积比(1)中长方形面积增大6.09－5.76=0.33(m2)．(3)设正方形的边长为x m．根据题意，．解这个方程，得x=正方形的边长为2.5m，正方形的面积为2.5×2.5=6.25(m2)，比(2)中面积增大6.25－6.09=0.16(m2)．教师：我们解答这个题的关键是我们在改变长方形的长和宽的同时，长方形的周长不变，始终是铁丝的长度10米．由此便可建立“等量关系”．但是我们可以发现，虽然长方形的周长不变，改变长方形的长和宽，长方形的面积却在发生变化，而且围成正方形的时候面积达到最大．例2：一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米．你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？教师：这个题目中两人的设计中不变的量是什么？下面通过计算，．你认为谁的设计符合实际？解：根据小王的设计可以设宽为x米，长为()米，根据题意，解这个方程得：x=因此小王设计的长为x+5=10+5=15(米)而墙的长度只有14米，小王的设计是不符合实际的．小赵的设计可以设宽为x米，长为(x+2)米，根据题意，得，2x+(x+2)=35 ，解这个方程得：x=11因此小赵的设计的长为x+2=11+2=13(米)．而墙的长度是14米，显然小赵的设计符合要求．此时，鸡场的面积为11×13=143(米2)．三、训练反馈，应用提升1、墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示（单位：cm）．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为多少？教师：用实物演示图形的变化过程．引导学生思考：⑴问题中的已知量和未知量？⑵在图形的变化过程中哪些量在改变？哪些量没有变？解：四、课堂小结: 通过本节课的学习，你有哪些收获？还有那些困惑？1．通过对“水箱变高了”的了解，我们知道“旧水箱的体积=新水箱的体积”,2.通过对用一根长为10米的铁丝围成一个长方形．“变形前周长等于变形后周长”是解决此类问题的关键．3．解出的数学问题要联系生活实际问题来检验它的结果的合理性．五、达标检测，反馈矫正1、用一根铁丝可围成一个长24厘米、宽12厘米的长方形。

一、概述水箱变高了是一个常见的一元一次方程应用题，它涉及到数学在实际生活中的应用，对于学生来说具有一定的教育意义。

在解决这类问题时，需要运用一元一次方程的知识，通过设立未知数、建立方程式、解方程等步骤来求解问题。

本文将通过具体的例题分析，帮助读者更好地理解并掌握解决这类问题的方法。

二、问题描述某地区的一个水箱的水位原来是30米，后来升高了h米。

经过一段时间，水箱的水位降低到了原来的一半，那么水箱升高了多少米？三、问题分析1. 设定未知数：我们可以设未知数x表示水箱升高的高度。

2. 建立方程式：根据题意，可以列出方程式：30 + x = 2（30 + x - h）。

3. 解方程求解：通过解方程来求解出水箱升高的高度x。

四、具体步骤1. 设定未知数：设水箱升高的高度为x米。

2. 建立方程式：根据题意，可以列出方程式：30 + x = 2（30 + x - h）。

3. 解方程求解：通过解方程求出x的值。

4. 检验答案：将得到的结果代入原方程中进行检验。

五、具体计算1. 设定未知数：设水箱升高的高度为x米。

2. 建立方程式：30 + x = 2(30 + x - h)。

3. 解方程求解：通过解方程30 + x = 60 + 2x - 2h，得到x = 30 - 2h。

4. 检验答案：将x = 30 - 2h代入方程30 + x = 2(30 + x - h)中进行检验：30 + (30 - 2h) = 2 * [30 + (30 - 2h) - h]化简得到：30 + 30 - 2h = 60 + 60 - 4h - 2h化简得到：60 - 2h = 120 - 6h化简得到：4h = 60化简得到：h = 15六、问题解答根据计算，水箱升高了15米。

七、总结通过上述的步骤，我们成功地解决了水箱变高了的一元一次方程应用题。

在解决这类问题时，关键在于正确地建立方程式，然后通过解方程的方法求解未知数。

为了确保解答正确，还需要对得到的结果进行检验。

应用一元一次方程水箱变高了定义一元一次方程是初中数学中的重要内容，它是直线的数学表达方式。

在实际生活中，我们常常会遇到与一元一次方程相关的问题。

水箱变高了定义问题，就是一个典型的应用一元一次方程的例子。

水箱变高了定义问题是指：如果一个正方形底面、高度为H的水箱，如果将水箱的底面变大，那么水箱的高度会如何改变？让我们来看一下水箱变高了定义问题的数学表达式。

假设原来水箱的底面边长为x，底面积即为x*x，高度为H。

那么水箱的容积V=底面积*高度=x*x*H。

现在，如果将水箱的底面变成2x，那么水箱的容积为V'=底面积*高度=2x*2x*H=4x^2*H。

在这个过程中，我们可以发现，水箱的高度发生了变化，由原来的H 变成了H/4。

根据这个过程，我们可以得到水箱变高了定义的一元一次方程：H/4 - H = -3H。

也就是说，水箱的高度减去原来的高度等于-3乘以原来的高度。

这就是这个问题的数学表达方式。

接下来，让我们来探讨一下这个问题，或者说一元一次方程在实际生活中的应用。

在实际生活中，我们可以通过解一元一次方程来计算这个问题。

假设原来水箱的高度为10米，根据上面的一元一次方程，如果水箱的底面变成原来的4倍，那么水箱的高度会变成多少呢？我们可以通过代入原来的高度H=10进行计算，H/4 - H = -3H，得到H=-30。

这就意味着，如果将水箱的底面变成原来的4倍，水箱的高度会变成-30米。

在实际生活中，这是不可能的，因此我们需要对这个问题进行重新审视。

从数学的角度来看，这个问题其实是一个反比例关系。

也就是说，底面积增大，高度减小；底面积减小，高度增大。

这个过程符合数学上的反比例关系，而不是一元一次方程所描述的线性关系。

要解决水箱变高了定义的问题，我们需要转而使用反比例关系的方法进行分析和计算。

通过反比例关系，我们可以得出结论：水箱的底面变大，高度会相应地变小，并且二者的变化是成反比例关系的。

在实际应用中，我们经常会遇到类似的问题。

53应用一元一次方程——水箱变高了
假设有一个水箱，原来的高度为x，突然上升了h，现在的高度为
x+h。

我们知道，水箱的体积等于底面积乘以高度。

假设水箱的底面积为A，则原来的体积为V1=A*x，现在的体积为V2=A*(x+h)。

根据题意，水箱的体积变大了。

即V2-V1>0，即A*(x+h)-A*x>0，即
A*h>0。

由于A是一个正数（底面积不会为负），所以我们可以得到h>0。

这个结果告诉我们，水箱的高度变大了，即增加了一些高度。

现在，我们来解一元一次方程来计算出增加的高度h。

根据上面的推导，我们得到了方程A*h>0，我们可以通过将A*h除以
A来消去A，得到h>0。

这说明增加的高度必须大于0。

这样，我们可以得到结论，水箱的高度上升了。

例如，假设水箱原来的高度为2米，突然上升了1米。

那么现在的高
度就变成了2+1=3米。

通过解一元一次方程，我们可以计算出增加的高度为1米。

总结一下，应用一元一次方程可以帮助我们解决一些与高度变化、体
积变化相关的问题。

在这个例子中，我们解一元一次方程来计算出水箱增
加的高度。

当然，水箱变高了不仅仅可以用一元一次方程来解决，还可以用其他
方法解决，比如直接通过观察得出结论。

但是对于更复杂的问题，一元一次方程就是一种有效的解决方法。

我们可以通过列方程、化简方程、求解方程等步骤，得到问题的答案。

希望这个例子可以帮助你更好地理解应用一元一次方程的方法。