浅谈中学数学中最值的求解之函数最值问题的求解

初中数学最值问题解题技巧
在学习数学的过程中，最值问题是我们必须掌握的重要知识点，它涉及到最大值和最小值的概念，跨越初中和高中的层面。

学好最值问题对数学的后续学习也有重要的意义。

下面，我们就来聊聊初中数学最值问题解题技巧。

首先，我们要明确一个最值问题的特征：最值问题会出现在一组数据中，即求解的数值必然属于这一组数据。

有了这一特点，我们就可以运用比较法来解决这些问题。

其次，针对最大值问题，我们可以采用枚举法。

所谓枚举法就是把一组数据中的每一个数据罗列出来，然后逐个进行比较，找出其中最大的数，就是所求的解。

再次，针对最小值问题，我们可以采用反枚举法。

反枚举法与枚举法相似，只是着重于找出最小的数。

同样地，我们可以将一组数据中的每一个数据列举出来，然后逐个进行比较，最后得出最小值即可。

最后，在解决最值问题时，我们应尽量简化解题过程，以减少计算量。

比如，当出现一个较长的数列时，我们可以判断最大值就出现在最后一个数上，那么就可以将这数列缩减为只有一个数，以减少计算过程。

以上就是初中数学最值问题解题技巧，希望大家在以后的数学学习中，能够运用上述解题技巧来更好地解决问题。

解题不仅要有技术，而且还要有思想，在解题时要多思考，多发散，我们将能够更快速地得出正确的答案。

初中数学中最值问题解法的探讨【摘要】仔细斟酌多年中考试题不难发现最值问题是历来各地中考关注的热点，也是初中数学中比较常见的题目。

而此类题目的灵活性较强，有着极为丰富的内涵，它涉及的知识面广，综合性强，解法颇具有技巧性。

纵观近几年的数学中考试卷，“最值”问题不仅出现在解答题中，而且在填空、选择题中也多有涉及，可以说“最值”问题成为了的初中数学学习的热门内容。

为了让学生尽量减少在此类题目的失分率，我认为很有必要研究一下初中数学中最值问题的基本解法和对其的灵活运用。

我通过多年教学经验的积累，总结出最值问题的常用方法有“配方法、运用一次函数的性质、运用二次函数性质、运用基本不等式”。

本文举例介绍初中数学中有关最值问题的一些常用的方法和运用，仅供参考。

【关键词】初中数学最值问题配方法一次函数性质二次函数性质基本不等式求最值问题是一类常见的题型，这类问题没有固定的公式，需要结合图形集体分析后，灵活的运用各种数学思想、方法和解题技巧才能顺利的走出“最值”的问题，找到解题的途径。

而且仔细斟酌多年中考试题不难发现最值问题是历来各地中考关注的热点，此类题目的灵活性较强，有着极为丰富的内涵，它涉及的知识面广，综合性强，解法颇具有技巧性。

纵观近几年的数学中考试卷，“最值”问题不仅出现在解答题中，而且在填空、选择题中也多有涉及，可以说“最值”问题成为了的初中数学学习的热门内容。

为了让学生尽量减少在此类题目的失分率，我认为很有必要研究一下初中数学中最值问题的基本解法和对其的灵活运用。

本文通过我多年教学经验的积累总结，举例介绍出最值问题的一些常用的方法，仅供参考。

１运用配方法来求解最值问题配方法是中学数学解题中一种重要的方法，通常用于解一元二次方程及其演变而来的题型。

再求最值问题中也有着广泛的应用，而学生却经常忘记或者忽视这种方法。

在求最值问题时，通过配方，将代数式变形成“完全平方式”的形式，最后利用完全平方式在实数范围内具有非负性确定最值。

浅谈高中数学中最值问题的教学
最值问题是指，给定一组数据，从中找出最大或最小值，并确定其位置。

以最大值为例，它指在一组数据中，找出最大值，并确定它的位置。

求最值可以使用搜索法，比较法和公式法。

搜索法是指逐个比较，首先将给定的数据作比较，直到找出最大值。

比较法是基于搜索法的改进，它将数据分成两个队列，分别比较，直到最后只剩下一个最大值。

公式法，即采用公式法解决最值问题，计算出最大值。

二、高中数学中最值问题的教学
1、教学目标
（1）理解最值概念，熟悉搜索法、比较法和公式法的基本步骤；
（2）能够根据最值概念设计、实施和总结求解最值的过程；
（3）熟练掌握计算机求解最值的方法；
（4）能够解决实际应用中的最值问题。

2、教学过程
（1）以求一组数据的最大值为例，进行最值概念的讲解，引导学生思考设计求最大值的方法；
（2）以实例教学，给出实例，结合学生提出的问题，引导学生进行练习，并讨论解答；
（3）采用比较法和公式法求最值，并让学生实践，体会比较法求最值的优越性；
（4）设计应用练习，通过实际的案例让学生思考分析，将最值问题运用到实际当中，提高学生应用最值的能力；
（5）检验学生的学习成果，并做总结性反馈。

高中数学函数最值问题的求解思路与实例分析在高中数学中，函数最值问题是一个常见且重要的考点。

解决这类问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。

本文将从求解思路和实例分析两个方面，详细介绍高中数学函数最值问题的解题方法。

一、求解思路要解决函数最值问题，首先需要明确函数的定义域和值域。

在明确了函数的定义域和值域后，我们可以采取以下步骤来求解函数的最值问题。

1. 找出函数的极值点函数的极值点是函数取得最大值或最小值的点。

要找出函数的极值点，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标。

再将这些横坐标代入原函数中，求出对应的纵坐标，即可得到函数的极值点。

2. 检查边界点边界点是函数定义域的端点。

在求解函数的最值问题时，需要检查边界点是否可能成为函数的最值点。

将边界点代入函数中，与已经求得的极值点进行比较，找出最大值或最小值。

3. 比较极值点和边界点的大小将已经求得的极值点和边界点进行比较，找出其中的最大值或最小值。

这个值就是函数的最大值或最小值。

二、实例分析为了更好地理解函数最值问题的解题方法，我们来看一个具体的例子。

例题：求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1的最大值和最小值。

解题步骤：1. 求导数f'(x) = 6x^2 - 6x - 122. 求极值点的横坐标令f'(x) = 0，解方程得到x = -1和x = 3。

3. 求极值点的纵坐标将x = -1和x = 3代入原函数f(x)中，得到f(-1) = -8和f(3) = -32。

4. 检查边界点由于函数没有明确的定义域，我们需要检查函数的值域。

当x趋于正无穷大时，f(x)也趋于正无穷大；当x趋于负无穷大时，f(x)也趋于负无穷大。

因此，函数的边界点为正负无穷大。

5. 比较极值点和边界点的大小将已经求得的极值点和边界点进行比较，发现f(-1) = -8是最小值，f(3) = -32是最大值。

综上所述，函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1的最大值为-32，最小值为-8。

浅谈中学数学中最值的求解之函数最值问题的求解黑龙江省大庆市东城领秀学校教师在科学领域里，实践生活中，我们常会碰到一些有关事件的范围问题，也就是事件的最值问题.当然，在数学的学习当中，也必然会遇到很多最值的求解和研究.它会指导生活中的我们去解决一些实际问题或者说科研问题.特别是在新课程改革的今天，强调学生能自己探索总结、归纳学习规律，对部分最值的求解利用数形结合，不等式的传递性，函数性质等方面进行一些分析、探讨，会有一定帮助的.(一)函数的单调性法求最值(二)配方法主要是运用于二次函数或可转化为二次函数的函数．利用二次函数的性质求最值时，要注意到自变量的取值范围，还有对称轴与区间的相对位置关系.下面我们结合具体的例子来谈谈配方法的操作过程.(三)二次函数图像性质及其判别式法1.二次函数及其图像性质求最值在初中阶段的内容中，最具有代表性的最值的求解莫过于二次函数的内容.因此，利用二次函数变量关系中的最值问题是比较直观具体的．例3、如图，AB= ，P是线段AB上的一点，分别以AP，BP为边作正方形，令AP= ，当然，在此例中要考虑自变量的取值范围（实际情况），比如说实际面积问题，路积问题等等，不能取负值等，这是我们解决实际问题需要考虑到的.总之，应用数形结合（特别是几何体的问题），三角形三边关系，三角形内角和定理（内角和不变而各内角可变），不等式的传递性，二次函数（及图像最低点最高点）等等的性质来解决部分中学数学中的最值求解会有很大的帮助和必要.2.二次函数判别式法求最值这种方法主要适用于可化为关于x的二次方程的函数,当x的范围是R时,仅考虑维塔判别式△即可,当X的范围非R时,还需要结合图形另解不等式.需要注意到，此题在求解的过程中历经平方变形,从而扩大了的取值范围,所以利用判别式求出的范围后，应综合函数的定义域,将扩大部分剔除.以免求出的最值不在原函数的取值范围之内，造成错解！(四)利用三角函数的有界性[参考文献][1]马复.义务教育课程标准实验教科书<数学>八年级下[M].北京:北京师范大学出版社,2005:79-150.[2]游铭钧.义务教育课程标准实验教科书<数学>七年级上、下[M].北京:北京师范大学出版社,2005:112-163.[3]徐全智,杨晋浩.数学建模[M].北京:高等教育出版社,2003:40-53.[4]张明,付景川.例析最值的求解[J].咸宁学院学报,2009,29(3):155-157.[5]吕学燕.新课标同步练习八年级下[M].北京:北京师范大学出版社,2006:23-85.[6]田载今,薛斌.全日制普通高级中学教科书<数学>[M].北京:人民教育出版社,2004:95-116.。

浅谈中学数学中最值问题
最值问题是中学数学中比较常见的一类问题，其是通过寻找一组数中的最大值或最小值来解决问题的。

在中学数学中，最值问题通常涉及到函数的极值、图形的最值、三角函数的最值等。

其中，函数的极值是最常见的最值问题之一。

对于一个函数，其极值可以通过导数为零或不存在来判断。

当导数为零或不存在的点是一个开口向上（或向下）的抛物线顶点时，其为函数的极小值（或极大值）。

当然，也有一些函数的极值需要借助平面几何的知识才能求出，例如三角函数的最值就需要通过画出单位圆来分析。

另外，图形的最值也是一个非常重要的最值问题。

在解决这类问题时，我们需要找到图形中的最高点或最低点，例如求解一个三角形的最大面积或最小周长。

这类问题通常需要运用勾股定理、相似三角形以及平移、旋转等变换知识来解决。

总的来说，最值问题在中学数学中是比较常见的，涉及到的内容也比较广泛。

需要对函数的极值、图形的最值以及三角函数的最值等进行深入的研究和探讨，才能准确地解决这些问题。

函数最值论文：浅析函数最值的七种初等求法函数最值的初等求法在中学数学中既是重点也是难点，其综合性较强，对逻辑思维能力和变形转换能力的要求也较高.若能让学生理解掌握各种求法，则对其分析和解决问题能力的提升大有裨益.现根据本人多年的教学实践，对函数最值的常用初等求法简叙于下.一、配方法配方法在求函数值及值域中应用较为广泛，且比较容易掌握，是求函数最值的基本方法.操作要点是：把函数表达式的一部分或整体配成二次函数y=a(x+m)2+n(a≠0)的形式，再利用二次函数的性质求出最值.【例1】求函数y=x2-2x-5-2x+1x2的最值.解：函数定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).y=(x2+1x2)-2(x+1x)-5=(x+1x)2-2(x+1x)-7=(x+1x-1)2-8.∵当x＞0时，x+1x≥2；当x＜0时，x+1x=-(-x-1x)≤-2.∴当x+1x=2，即x=1时，y min =-7，此函数无最大值.评注：利用配方法求最值时，一定要注意考查变量的取值范围，此题若不注意就会得出错误答案y min =-8.二、基本不等式法利用基本不等式a 1+a 2≥2a 1a 2(a 1、a 2∈r+)求函数最值时要同时满足三个条件：一正、二定、三相等，即（1）a 1、a 2∈r+；（2）a 1+a 2（或a1a 2）为定值：（3）a 1=a 2能成立..上面的基本不等式定理可推广到n(n＞1,n∈n)个正数的情形.【例2】已知a＞b＞0，求a-4+1(a-b)b的最小值.解：∵a＞b＞0,∴a-b＞0，∴a-4+1(a-b)b=(a-b)+b+1(a-b)b-4≥33(a-b)b1(a-b)b-4=-1.∴当且仅当a-b=b=1(a-b)b，即a=2，b=1时，a-4+1(a-b)b 的最小值是-1.【例3】已知｜x｜＜3 ，求y=(x-3)x+5的最小值.解：∵｜x｜＜3,∴0＜3-x＜6.∴y=-(3-x)x+5=-(3-x)2(x+5)=-22(3-x)2(2x+10)=-22(3-x)(3-x)(2x+10)≥-22［(3-x)+(3-x)+(2x+10)3］3=-3296.∴当且仅当3-x=2x+10，即x=-73时，y min =-3296.评注：在变形过程中，配凑技巧是解题的关键，要紧紧围绕基本不等式取得最值的三个条件进行配凑.缺一不可. 如例2中，把a变成(a-b)+b是为了得到常数3. 例3中把x-3变形成-(3-x)是为了使3-x＞0，而把x+5变形成2x+102是为了使(3-x)(3-x)能与2x+10凑成常数.在配凑过程中，不要忽略取等号的条件，否则容易出错.例如这样的变形：x4+5x2=x4+2x2+3x2≥336就没有取等号的条件.三、判别式法此法适合能把函数关系式y=f(x)转化为关于x的二次方程φ 1(y)x2+φ 2(y)x+φ 3(y)=0（其中φ 1(y)≠0）的类型，因为x的值是实数，即该方程有实根，那么由判别式δ≥0，便可能求出函数y的最值.【例4】求函数y=2x-4x2-x+2的最大值和最小值.解：函数定义域为r，由题设可得yx2-(y+2)x+2(y+2)=0.∵x∈r,∴δ=(y+2)2-8y(y+2)≥0.∴-2≤y≤27,∴y max =27,y min =-2.评注：有时函数y=f(x)的定义域不是r，那么δ≥0只是关于x的二次方程有实数解的必要条件，这时求出的y值不一定是函数y=f(x)的最值，需要进一步检验. 若求出的y 值在函数值域内，则此y值才是最值；或者求出与y值对应的x值（在方程中求），求出的x值至少有一个在定义域内，则此y值才是最值.四、函数单调性法如果能够判断函数在某区间［a,b］上是单调增函数，则由单调函数的性质易求得区间［a,b］上函数的最值.【例5】设f(x)是奇函数，对任意x∈r，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x＞0时，f(x)＜0,且f(1)=-2,求f(x)在区间［-3,3］上的最值.分析：审题后，猜测函数f(x)可能具有单调性.解：设-3≤x 1≤x 2≤3,则x 2-x 1＞0，∴f(x 2-x 1)＜0.∵f(x)是奇函数，且恒有f(x+y)＝f(x)+f(y)，∴f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(x 1-x 2)=-f(x 2-x 1）＞0.∴f(x)在［-3,3］上是减函数.在区间［-3，3］上，f（x） max =f(-3)=-f(3)=- ［f(1)+ f(1)+f(1)］=6.f(x) min =f(3)=-f(-3)=-6.五、数形结合法数形结合法是一种重要的解题方法，其核心就是利用函数的几何意义把函数的最值问题转化为几何问题来解决.此法直观性较强，易于理解，有一定的灵活性，且常有化难为易的神奇效果.【例6】已知3x-4y-8=0，求u=(x-1)2+y2的最小值.分析：(x-1)2+y2可看作是原点a(1,0)与点 p(x,y)的距离，即u=｜ap｜，而p点是直线3x-4y-8=0上的动点，所以｜ap｜的最小值就是点a到直线3x-4y-8=0的距离，也就是u的最小值.【例7】如果实数x、y满足方程y=1-x2，求u=x-y的最大值和最小值.分析：如右图，方程y=1-x2的曲线是上半圆，而-u就是平行直线系y=x-u的纵截距，x、y满足方程就是直线与半圆有公共点，这样由几何意义知-1≤-u≤2,∴-2≤u≤1.∴u max =1，u min =-2.评注：由数形结合法求最值时，两点间的距离、点到直线的距离、直线的斜率、截距等是常用的几何意义.六、消元法在求多元函数最值的条件中，若能由条件中的多元关系解出某些变量，则可考虑通过代入消元法，把多元函数问题转化为一元函数来解决，以达到简化的目的.【例8】已知x2+2y2=3x，求u=2x2+y2-x的最大值.分析：由已知得y2=12(-x2+3x).①∵-x2+3x≥0,∴0≤x≤3.将①代入u=2x2+y2-x化为一元函数，再用配方法即可求解.评析：应注意通过条件找到所保留的元的取值范围.七、换元法换元变换是一种重要的数学变换，在数学中有着广泛的应用. 正确而灵活地运用换元法可使问题化繁为简，化难为易.【例9】求函数sinx-1sinx+2的最值.解: ∵y=1-3sinx+2,f(t)=1-3t（其中t=sinx+2)，t∈［1,3］，而f(t)在［1，3］上是增函数，又f(1)=-2,f(3)=0，∴y min =-2,y max =0.评注：换元的方法多、灵活性强，换元的目的是化难为易、化陌生为熟悉.在变换过程中，既要注意等价，又要注意取值范围.三角代换是常用的换元方法，如例7就可用三角换元法（令x=cosθ(0≤θ≤π），则y=sinθ,代入函数式即可求出最值.）函数最大值和最小值求法较多，方法灵活多变，除以上几种常见的初等求法外，导数法亦是目前高中数学常用的方法，这里不再赘述.对一个具体题目往往有多种解法，而优选解法是能否顺利解答的关键.在平时应多练、多思、多总结归纳，力求对这些重要方法融会贯通、灵活选用.要强调的是无论用哪种方法解题都要特别留意函数的定义域.参考文献［1］黄兆全. 最值问题中的几类典型错误例析［j］. 中学生理科应试， 1996（1）.［2］刘桦. 谈运用数形结合法解题的误区［j］. 中学数学（苏州），1995（9）.［3］陈国群. 均值不等式解题教学中逻辑错误的纠正［j］. 中学数学教学参考，2010（11）.。

函数与方程的应用函数的最值与最值问题函数与方程的应用——函数的最值与最值问题函数与方程是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域。

其中，函数的最值与最值问题是一类常见且经典的问题。

本文将介绍函数的最值概念、最值问题的求解方法，并通过实例加以说明。

一、函数的最值概念函数是将一个或多个变量的值映射到另一个变量的值的规则。

函数的最值是指在定义域内函数所能取得的最大值和最小值。

对于一元函数，最大值和最小值通常称为函数的极大值和极小值。

二、最值问题的求解方法1. 寻找开区间内的临界点函数的最大值和最小值一般出现在函数的驻点（导数为零或不存在）和边界点处。

因此，首先需要求出函数的导数，找出导数为零或不存在的点，即函数的驻点。

然后，确定定义域的边界点，并计算这些点处的函数值。

最后，比较所有的函数值，找出最大值和最小值。

2. 求解闭区间上的最值当函数的定义域是一个闭区间时，需要对区间的端点和内部的驻点进行比较，以确定最大值和最小值。

与开区间不同，闭区间还会涉及到边界点的计算。

三、实例分析下面通过一个实例来说明最值问题的求解方法。

例：已知函数$f(x)=3x^2-2x+4$，求其在闭区间$[-1,2]$上的最值。

解：首先，求出函数的导数$f'(x)=6x-2$。

令$f'(x)$为零，得到$x=\frac{1}{3}$，可以看出这是函数的驻点。

接下来，确定闭区间的边界点。

由题目给出，闭区间的端点分别为$x=-1$和$x=2$。

计算 $f(-1)=3(-1)^2-2(-1)+4=10$，$f(2)=3(2)^2-2(2)+4=14$。

将上述计算结果与驻点的函数值进行比较，发现最大值是$f(2)=14$，最小值是$f(-1)=10$。

因此，函数$f(x)=3x^2-2x+4$在闭区间$[-1,2]$上的最值分别为14和10。

四、总结函数的最值与最值问题是数学中常见的问题，解决这类问题需要先找出函数的驻点和边界点，然后计算这些点处的函数值，并进行比较。