高中数学函数最值问题的常见求解方法

求最值方法 -- 高考数学复习一问一答 -------- 最值问题方法总论1高中数学求最值有哪些方法？答：有 9 种方法： 1）配方法 2）鉴别式法； 3）不等式法； 4）换元法； 5）函数单一性法； 6）三角函数性质法； 7）导数法； 8）数形联合发；9）向量法2如何将恒成立问题转变为最值问题？答：1) a f ( x)恒成立，则a f (x)max 2）a f ( x)恒成立，则 a f (x)min一元整式函数最值1、二次函数张口方向、对称轴、所给区间均确立,如何求最值 ?答：1）确立对称轴与x轴交点的横坐标能否在所给区间。

2）假如在所给区间，一个最值在极点处获得，另一个最值在与极点横坐标较远的端点处获得。

3）若不在所给区间，利用函数的单一性确立其最值。

2、二次函数所给区间确立，对称轴地点变化，如何求最值 ?答： 1）挪动对称轴，将对称轴平移到定区间的左边、右边及区间内议论， 2）在区间内，只考虑对称轴与区间端点的距离即可。

3、二次函数所给区间变化，对称轴地点确立，如何求最值 ?答：分类议论，分为四种状况： 1）对称轴在闭区间左边；2）对称轴在闭区间右边3）对称轴在闭区间内且在中点的左边； 4）对称轴在闭区间内且在中点的右边（或过中点）；4、二次函数所给区间、对称轴地点都不确立，如何求最值 ?答：将此中一个看作是“定”的，另一个看作是“动”的，而后如上分四种状况进行议论。

5、什么状况下运用基本不等式求最值？答：当两个变量的和或积为定值时运用，有时需要变形。

即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

6、对于多项式乘积的最值问题，如何求解答：能够考虑睁开后，利用基本不等式求解7、如何求复合型函数的最值答：若函数f ( x), g( x) 在 [ mn.] 上单调性相同，则h( x) f (x)g(x) 在 [m.n] 上与 f ( x), g( x) 有同样的单一性，可利用单一性求h( x) 在[ mn.] 上的最值。

求函数值域的解题方法总结（16种）一、 观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例:求函数()x 323y -+=的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出()x 3-2的值域。

解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。

点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。

练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。

（答案：{}5,4,3,2,1,0）二、反函数法：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例：求函数2x 1x y ++=的值域。

点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数2x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数x-x -xx 10101010y ++=的值域。

（答案：{}1y 1-y |y 或）。

三、配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。

例：求函数()2x x-y 2++=的值域。

点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。

解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。

此时2x x -2++=4921-x -2+⎪⎭⎫ ⎝⎛()232x x-02≤++≤∴，即原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤23y 0|y点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：x 4-155-x 2y +=的值域。

（答案：{}3y |y ≤）四、判别式法：若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数，可用判别式法求函数的值域。

高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结在高中数学中，求函数的最值问题是经常出现的一类问题，对于这类问题我们可以通过求导数的方法来解决。

下面是一些关于根据导数求函数最值问题的解题技巧的总结。

1. 确定函数的定义域在解决函数的最值问题之前，我们需要确定函数的定义域。

定义域是指函数在实数范围内的取值范围。

确定定义域的同时，我们也要考虑函数是否连续以及是否存在间断点等因素。

2. 求函数的一阶导数为了求函数的最值，我们需要先求出函数的一阶导数。

对于一元函数而言，我们可以使用导数的定义或者常见的求导法则来求出一阶导数。

一阶导数能够反映函数的变化趋势以及函数的增减性质。

3. 找出导数为零的点接下来，我们需要找出函数的一阶导数为零的点，即导数为零的临界点。

这些点也称为函数的驻点。

通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数取得极值的可能点。

4. 判断临界点的性质在找出函数的驻点之后，我们需要进一步判断这些点的性质。

根据导数的符号变化，我们可以判断驻点是极大值点还是极小值点。

通常我们可以通过求解导数的二阶导数，来判断驻点的性质。

5. 极值与最值的关系在有限闭区间上，函数的极大值和极小值统称为最值。

通过比较极值点的函数值，我们可以确定函数的最大值和最小值。

同时，我们还需要考虑函数在定义域的两端是否存在最值。

6. 综合应用求解问题除了在抽象的函数图像上求解最值问题，我们还可以将最值问题与实际问题相结合。

通过建立函数模型，并利用导数的知识来解决实际问题。

这样可以提升我们对于求解最值问题的能力和灵活性。

通过以上的技巧，我们能够更加高效地解决高中数学中根据导数求函数最值问题。

同时，在实际应用中，我们也需要不断的进行练习和思考，熟练掌握这些技巧，从而更好地应对各种求解最值问题的场景。

高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点，在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑，结合函数的定义域，将各种可能出现的结果进行分析，最终求得准确的计算结果。

在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要，它不仅可以改善学习方法，而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧，进而提高解题速度和学习效率。

本文总结了一些求函数最值的常用方法如下：一、利用一次函数的单调性【例题1】 已知 x , y , z 是非负实数，且 x + 3y + 2z = 3 , 3x + 3y + z = 4 ,求函数 w = 2x - 3y + z 的最值 .解：得 y = 5/3 （1 - x）, z = 2x - 1∴ w = 9x - 6又 x , y , z 非负，依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知当 x = 1/2 时，Wmin = -3/2 ,当 x= 1 时，Wmax = 3 .注：再求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消元，转化为一元函数来解决问题.对于一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的最值，关键是指出自变量的取值范围，即函数的定义域，当一次函数的定义域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得 .二、利用二次函数的性质【例题2】 设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx + k + 2 = 0 的两个实数根，当 k 为何值时 α^2 + β^2 有最小值？解：∵ α , β 为方程的两个实数根，∴ α + β = k , αβ = 1/4 ( k + 2 ) ,令 y = α^2 + β^2 , 则有又由原方程由实数根可知，∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .而二次函数的顶点 （1/4，-17/16）不在此范围内，根据二次函数的性质知，y 是以 k = 1/4 为对称轴，开口向上的，定义域为 （-∞，-1]∪[2，+∞）的抛物线，比较 k = -1 及 k = 2 时 y 的值知，当 k = -1 时，有 ymin = 1/2 .注：利用二次函数的性质求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得 . 首先要求出函数的定义域，然后在看顶点是否在函数的定义域内，最后再根据函数的单调性来判定 . 【例题3】 如图所示，抛物线 y = 4 - x^2 与直线 y = 3x 交于 A , B 两点，点 P 在抛物线上由 A 运动到 B，求 △APB 的面积最大时点 P 的坐标 .分析：由于 A , B 为定点，所以 AB 长为定值，欲使 △APB 的面积最大，须使 P 到 AB的距离最大 .解：设 P 点坐标为 （x0 , y0）,∵ A , B 在直线 y = 3x 上，∴联立抛物线与直线方程，可得xA = -4 , xB = 1 ,∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 ,则有∴当 x = -3/2 时，d 取最大值，△APB 面积最大，此时 P 点坐标为 （-3/2 , 7/4）.注：在解决实际问题时要注意确定自变量取值范围的方法，本题是由直线与抛物线的交点来确定的，这样才能确定定义域内的最值 .三、利用二次方程的判别式欲求函数 y = f(x) ( x ∈ R ) 的极值，如果可以把函数式整理成关于 x 的二次方程， 注意到 x 在其定义域内取值，即方程有实根，所以可以通过二次方程的判别式 △ ≥ 0 来探求 y 的极大值与极小值 .【例题4】 已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求的最值 .解： 原式可化为∵ x ∈ R ,∴解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，即函数 y 的值域为 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，∴ y极大 = 1/4，y极小 = 9/16 .当 y = 1/4 时，代入原函数解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ;当 y = 9/16 时，代入原函数解析式得 x = -1 [ 0 , 1 ] .又 x = 0 时 ， y = 2/3 ,∴ 当 x = 0 时，y 取极大值 2/3 .注：① 由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函数的极值而不是最值；② 对有些函数来说，极值与最值相同，而有的函数就不一定，如本题中的极大值比极小值还小，这是因为极值是就某局部而言；③ 若要求函数在给定的定义域内的最值，一定要注意极值是否在此定义域内取得， 即要注意验根 .四、利用重要不等式【例题5】 设 x , y , z ∈ R+ , 且 2x + 4y + 9z = 16 .求 6√x + 4√y + 3√z 的最大值 .解：令 u = 6√x + 4√y + 3√z ,∴ u ≤ 4√23 ,( 其中当 9/x = 1/y = 1/9z 时，即当 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 时取等号) 故注：这里是应用柯西不等式，在应用公式时，如何构造出已知条件等式 2x + 4y + 9z = 16，颇具技巧性和解题意义 .五、利用三角函数的有界性对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求解问题的，如正、余弦函数的最大（小）值很明显：y = asinx + bcosx （a , b ≠ 0）引入辅助角 θ，则其最值也一目了然 . 而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能公式、或用正余弦定理作转化，变为二次函数问题来求解 .【例题6】 求的最值 .解法一： （利用降幂公式）解法二： （用判别式法）注： 本例还可以用万能公式等方法来求解 .六、利用参数换元对于有些函数而言，直接求极值比较复杂或不方便，这时可根据题目的特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解决问题.在换元时，一定要注意新的变量的取值范围 . 【例题7】 求函数 y = x + √( 1 - x ) 的极值 .解：原函数变为∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , +∞ ) ,∴ 当 t = 1/2 ，即 x = 3/4 时，ymax = 5/4 .注： 这种换元虽然十分简单，但具有代表性 .七、利用复数的性质【例题8】 已知复数 z 满足 | z | = 2 , 求 | 1 + √3 i + z | 的极值 . 解法一：设 z = 2（cosθ + isinθ） （∵ | z | = 2）故 | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .解法二：依据 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ,有 | 1 + √3 i | - | z | ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ | 1 + √3 i | + | z | ，即 2 - 2 ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ 2 + 2 ，∴ | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .注：求复数模的最值通常可用代数法，三角法（解法一），复数模的性质及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | , 此外还有数形结合方法等，但以上两种方法最为简捷.八、利用数形结合有些代数和三角问题，若能借助其几何背景，予以几何直观，这时求其最值常能收到直观、明快，化难为易得功效.【例题9】 求的最值 .解： 将函数式变形为其几何意义是在直角坐标系中，动点 P（cosx , sinx）和定点 A（-2 ，-1）连线的斜率，动点 P 的轨迹为单位圆，如下图所示：知 kAB 最小，kAC 最大，显然 kAB = 0 ,又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 ,tg∠A = tg2θ = 2tgθ/（1 - tg^2 θ）= 4/3 ,即 kAC = 4/3 ,故 ymin = 0 , ymax = 4/3 .注：形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式，通常都可视作点 （g(x) ，f(x) ） 与点 （b , a）的连线的斜率 .运用数形结合的思想解题，关键是要进行合理的联想和类比，将代数式通过转化、变形、给予几何解释，通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程，如本例需要挖掘 .。

高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结在高中数学中，根据导数求函数的最值是一个常见的考点。

这类问题要求我们通过求函数的导数，找到函数的极大值或极小值点，从而确定函数的最值。

下面我将总结一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这类问题。

一、寻找函数的极值点在解决根据导数求函数最值问题时，首先需要找到函数的极值点。

一般来说，函数的极值点就是函数的导数等于零的点，即函数的驻点。

我们可以通过以下步骤来找到函数的极值点：1. 求函数的导数。

根据问题给出的函数，我们可以先对其求导数。

例如，对于函数f(x)，我们可以求得它的导函数f'(x)。

2. 解方程f'(x) = 0。

将求得的导函数f'(x)置零，解方程求得函数的驻点。

这些驻点就是函数的极值点。

需要注意的是，有时候函数的极值点可能还存在于函数的定义域的边界处，所以我们还需要将边界处的点也考虑进去。

二、判断极值点的性质找到函数的极值点后，我们需要进一步判断这些点的性质，即确定它们是极大值点还是极小值点。

这里有两种常见的方法：1. 使用导数的符号表。

我们可以通过绘制导数的符号表来判断极值点的性质。

具体做法是，在函数的定义域上选择几个代表性的点，代入导数f'(x)的值，然后根据导数的正负确定函数在这些点附近的增减性。

如果导数从正变负，那么这个点就是极大值点；如果导数从负变正，那么这个点就是极小值点。

2. 使用二阶导数。

二阶导数可以帮助我们更准确地判断极值点的性质。

具体做法是，求得函数的二阶导数f''(x)，然后将极值点代入二阶导数。

如果二阶导数大于零，那么这个点就是极小值点；如果二阶导数小于零，那么这个点就是极大值点。

三、举一反三根据导数求函数的最值问题不仅仅局限于求解极值点，还可以应用到其他类型的函数中。

下面举一个例子来说明。

例题：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的最大值和最小值。

求函数值域（最值）方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域 例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，max ()(2)4232,f x f ==⨯-≠舍去； （2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f()[-2,1][-4,2]f x ⇒在上的值域为：二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，变形为关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。

综上，求出y 的范围。

如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧【理论解析】一个技巧：222a b ab+≥逆用就是222a bab+≤，2a b+≥(0,0)a b>>逆用就是2()2a bab+≤等．两个变形：(1) 2112a ba b+≤≤≤+(,)a b R+∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b=时取等号）(2)222()22a b a bab++≤≤(,)a b R∈（当且仅当a b=时取等号)．三个注意“一正、二定、三相等”的忽视．【解题方法技巧举例】1、添、减项（配常数项）例1 求函数221632y xx=++的最小值.222221620,32163(2)6266x y xxxx+>=++=++-+≥=解：当且仅当22163(2)2xx+=+，即22x=时,等号成立. 所以y的最小值是6.2、配系数（乘、除项）例2 已知0,0x y>>，且满足3212x y+=，求lg lgx y+的最大值.分析lg lg lg()x y xy+=, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y+是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为326x y⋅，再用均值不等式.220,032lg lg lg()lg6132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.3、 裂项例3已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.分析 在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.()()141110,14(1)5519x x x y x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+>=+=+++≥+=解：当且仅当411x x +=+，即1x =时，取等号.所以min 9y =.4、 取倒数例4 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 分析 分母是x 与(12)x -的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.解 由102x <<，得10x +>，120x ->.221(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x x x x x x --==⋅⋅+++-⎡⎤+⎢⎥++≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦当且仅当31211x xxx -=++，即15x =时，取等号. 故y 的最小值是12.5、 平方例5 已知0,0x y >>且22283y x +=求.分析 条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.222222222((62)32(1)32(1)9333()22y x y x y x =+=⋅+⎡⎤++⎢⎥≤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：当且仅当222(1)3y x =+，即32x =，2y =时， 等号成立.故的最大值是评注 本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为.6、 换元（整体思想）例6求函数y =的最大值.分析t =，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.22,0,2,(0)2100;1014212=.23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=≤=+==-则当时，当时，当且仅当，即所以时7、 逆用条件例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .分析 直接利用均值不等式，只能求xy 的最小值，而无法求x y +的最小值.这时可逆用条件，即由191x y =+，得19()()x y x y x y +=++，然后展开即可解决问题.190,0,1199()()1010169,4,12.16.x y x y y xx y x y x y x yy x x y x yx y >>+=+=++=++≥====+解：由，得当且仅当即时，等号成立故的最小值是 评注 若已知0,0,x y >>1x y += (或其他定值)，要求19x y +的最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a b +≥来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值4-，于是就可以利用均值不等式了.,,0,2()()2,,1.2 2.a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为9、 消元例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz 的最小值.分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得32x zy +=，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为【例题解析】 例1 求函数()()yx x x=++49的最值.解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=xx x x y ， 当且仅当xx=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->->xx0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴xx y .当且仅当-=-x x 36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.例2已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时，上式等号成立，又191x y+=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 例3 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.解析：此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.例4 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.例5已知x，y为正实数，且2212yx+=，求的最大值.解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222a bab+≤.12，==下面将x=2212222yx++≤4=当且仅当x=2212yx+=，即2x=，2y=时，等号成立.所以的最大值为4.评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【基本不等式课堂练习】一、选择题1.已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（ ）A ．2 B ．22 C ．4 D ．5 2.当0<x <2π时，函数f (x )=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为（ ）A.2B.23C.4D.433.设y=x 2+2x+5+2125x x ++，则此函数的最小值为（）A ．174B ．2C ．265D ．以上均不对 4，若，下列不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5，若且，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a6. 设x>0,则的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．Ｃ．Ｄ．－1 7，设的最小值是( ) A. 10 B.C.D.8. 若x, y 是正数，且，则xy 有（ ）Ａ最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值9. a,b 是正数，则三个数的大小顺序是（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．10.下列函数中最小值为4的是( )Ａ Ｂ Ｃ Ｄ11、已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)12、已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．913．设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为 ( )A.6 B.9 C.12 D.1514． 已知定义域为R 的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．15．若，则的最小值为（ ）A ．8 B ．C ．2D ．417.若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A. 245 B. 285C.5D.6 18．下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4xx x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+ 19若点(,)A x y 在第一象限且在236x y +=上移动，则3322log log x y + （ ）A 、最大值为1B 、最小值为1C 、最大值为2D 、没有最大、小值 20、 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值.21、已知0,0a b >>，328a b +=，求函数的最大值.。

高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。

因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。

下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。

一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。

我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数∑=+=n i bi x ai y 1的极值。

很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。

例1 设－2≤x≤3，求函数12+++-=x x x y 的最值。

解：若将函数示为分段函数形式。

作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,min y 3=；当x=3,max y 8=,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。

那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。

经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、3min =y 、max y =8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。

max y =max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝, min y =min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。

运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。

1. 转化为求直线斜率的最值。

例2 求函数θθsin 3cos 2-+=y 的最值 分析 函数解析式非我们常见的函数模型。

通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin θ、－cos θ）两点直线的斜率。

常见函数值域或最值的经典求法【考点综述】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：直接法使用情景：函数的不等式中含有一些特殊函数，直接观察即可确定函数的值域或最值. 解题模板：第一步 观察函数中的特殊函数；第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 例1 求函数2()131xf x =++的值域. 【答案】(1，3) 【解析】 解题模板选择：本题中分式的分母部分是一个指数型函数的形式，属于特殊函数，且函数的解析式整体比较简单，故选取解题方法模板一直接法进行解答. 解题模板应用：第一步 观察函数中的特殊函数； 函数31x y=+为指数型函数，易得31(1,)x +∈+∞，第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 由31(1,)x+∈+∞，得2()1(1,3)31x f x =+∈+，故函数2()131x f x =++的值域为(1，3). 【典型例题】1．函数y = A ．[0,)+∞ B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】C 【解析】函数y =(]20,16,x∈所以[)1620,16x-∈.有[)0,4y =. 故选C.2．函数211y x =+的值域是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(0,1]C ．(,1]-∞D ．(0,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数性质求值域. 【详解】因为211x +≥，所以21011x <≤+,选B. 【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．函数21()12f x x =+的值域为（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．[]0,1D ．(]0,1【答案】D 【解析】 【分析】根据20x ≥，求得()f x 的值域. 【详解】由于20x ≥.所以220x ≥，2121x +≥，210112x<≤+，故()f x 的值域为(]0,1. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查不等式的性质，属于基础题.4．函数y A ．[–1，+∞） B ．[0，+∞）C ．（–∞，0]D ．（–∞，–1]【答案】B 【解析】 【分析】由x +1≥0，得x ≥–1，在[–1，+∞）上函数y 0，进而得到结果. 【详解】由x +1≥0，得x ≥–1，在[–1，+∞）上函数y 0，∴函数y [0，+∞）． 故选B ． 【点睛】这个题目考查了函数的值域的求法，关于函数的值域需要注意的有：首先函数值域不能为空集，其次是指的函数值的集合.求函数的值域的问题，最终结果要写成集合或者区间的形式. 5．已知函数()212f x x =+，则f （x ）的值域是 A ．1{|}2y y ≤ B ．1{|}2y y ≥ C ．1{|0}2y y <≤D ．{|0}y y >【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，求得函数的值域. 【详解】由于220,22x x ≥+≥，故211022x <≤+，故函数的值域为1|02y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，故选C. 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查不等式的性质，属于基础题. 6．设函数()()121xf x x R =∈+,则它的值域为( ) A ．(0,1) B ．(0,2)C ．(1,+∞)D ．(2,+∞)【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的值域结合反比例函数值域即可求解. 【详解】由题：x ∈R ，()20,x∈+∞，()211,x+∈+∞，所以()10,121x ∈+()()121xf x x R =∈+的值域为0,1. 故选：A 【点睛】此题考查求函数值域，涉及指数函数值域，反比例型函数值域. 解题方法模板二：配方法使用情景：函数表达式为二次函数或者换元之后为二次函数的类型，即可使用配方法求函数的值域或最值. 解题模板：第一步 将二次函数配方成2()y a x b c =-+；第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 例2 已知函数2()41,[2,5]f x x x x =-+∈-，求函数y =f (x )的值域.【答案】[－3，13] 【解析】 解题模板选择：本题中所给的函数解析式为二次函数的形式，是一个二次函数在给定区间求值域的问题，故选取解题方法模板二配方法进行解答. 解题模板应用：第一步 将二次函数配方成2()y a x b c =-+； 函数的解析式22()41(2)3f x x x x =-+=--.第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 由二次函数的性质可知： 当x =2时，min 3y =-；当x =－2时，max 13y =.因此函数2()41,[2,5]f x x x x =-+∈-的值域为[－3，13].【典型例题】1．函数y =的值域为（ ） A ．RB ．[0,)+∞C ．3(,]2-∞D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得y =21924x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的取值范围结合幂函数的单调性即可得解. 【详解】函数y ==，21990,244x ⎛⎫⎡⎤--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴函数y =的值域为⎡⎢⎣即30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D. 【点睛】本题考查了复合函数值域的求解，考查了二次函数与幂函数性质的应用，属于基础题. 2．函数[]22,0,3y x x x =-∈的值域为（ ）A ．[]0,3B ．[]1,3C ．[]1,0-D ．[]1,3-【答案】D 【解析】分析：利用二次函数的性质即可得出答案. 解析：()22211y x x x =-=--，∴对称轴为1x =，抛物线开口向上，03x ≤≤，∴当1x =时，min 1y =-，1-距离对称轴远，∴当3x =时，max 3y =， ∴13y -≤≤.故选：D.点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 3．函数24y x x =-，([0,4])x ∈的值域是( ) A ．[3,0]- B ．[4,0]- C ．[0,3] D ．[4,)-+∞【答案】B 【解析】 【分析】先将函数配方224(2)4y x x x =-=--，再利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】224(2)4y x x x =-=--又因为[0,4]x ∈ 所以[4,0]y ∈- 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数求值域，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．函数[]()2220,3y x x x =-+∈的值域是（ ）A ．[]1,5B ．[]1,2C ．[]2,5D ．[)1,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，即可得到最值，进而得到值域． 【详解】解：函数()2222(1)1y f x x x x ==-+=-+，对称轴为[]10,3x =∈，()f x ∴在[]0,1上单调递减，在[]1,3上单调递增，()11f =，()02f =，()2332325f =-⨯+=()[]1,5f x ∴∈即函数的值域为[]1,5． 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的值域，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于基础题． 5．函数23622y x x =-+-的值域为（ ） A ．[4,)+∞ B ．(,4]-∞C ．(,10]-∞-D ．[10,)-+∞【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数配成顶点式，即可得解. 【详解】 解：()2233622422y x x x =-+-=--+，(],4y ∴∈-∞.故选：B . 【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题. 解题方法模板三：判别式法使用情景：函数表达式形如22dx ex fy ax bx c++=++类型 解题模板：第一步 观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数； 第二步 将函数式化成关于x 的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域.例3 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【答案】9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 解题模板选择：本题中所给函数的解析式符合利用判别式法求值域的形式，故选取解题方法模板三判别式法进行解答.解题模板应用：第一步，将函数式化成关于x 的方程的形式：因为3274222++-+=x x x x y ，所以()()0732222=++-+-y x y x y ，第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足()0322≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实数根即0≥∆：=∆()[]()()07324222≥+---y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒2,29y当2=y 时，方程化为7=0，显然不能成立，所以2≠y ， 将2=y ，29-=y 分别代入检验的2=y 不符合方程，所以9,22y ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭解题方法模板四：分离常数法 使用情景：函数表达式形如()ax bf x cx d+=+类型解题模板：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d+=+；第二步 对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式； 第三步 求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域. 例4 求函数1(1)1x y x x +=≠-的值域 【答案】{y |y ≠1} 【解析】 解题模板选择：本题中函数的解析式是一个分时形式()ax bf x cx d+=+，故选取解题方法模板四分离常数法进行解答.解题模板应用：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d+=+：1(1)1x y x x +=≠-，其中1,1a b c d ====-； 第二步 对函数()f x 变形成()a e f x c cx d=++形式； 11221111x x y x x x +-+===+---， 第三步 求出函数e y cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域. 函数的定义域为{}|1x x ≠-，则201x ≠-，故2111y x =+≠-， 因此原函数的值域为{y |y ≠1}.【名师点睛】此类型的函数，分子、分母都含有自变量，而通过分离常数法，可以将此类函数的变量只含到分母上，分子化为常数，使函数值y 的范围变化容易确定，从而较为简单地求出函数的值域.【典型例题】1．函数()3452x f x x -+=-的值域是（ ） A ．B ．C ．D ．R【答案】B【解析】试题分析：()344341077252252525x x x f x x x x x -+--+==-=-=-+----()2f x ∴≠-，值域为()(),22,-∞-⋃-+∞考点：函数值域2．函数()3452x f x x -+=-的值域是（ ） A ．()(),22,-∞+∞ B ．()(),22,-∞--+∞C ．55,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．R 【答案】B【解析】【分析】先分离常数，再根据反比例函数单调性求值域.【详解】()344341077252252525x x x f x x x x x -+--+==-=-=-+----，()2f x ∴≠-，值域为()(),22,-∞-⋃-+∞． 【点睛】本题考查分式函数单调性以及值域，考查基本求解能力.3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其命名的“高斯函数”为：设用[]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数，则函数的值域为（ ） A ．{0,1}B ．{0}C ．{-1,0}D ．{-1,0,1}【答案】C【解析】【分析】由题意首先确定函数的值域，然后求解函数的值域即可. 【详解】函数的解析式，由于，故，结合函数的定义可得函数的值域为{-1,0}.本题选择C 选项.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 4．设函数f (x )＝－，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A ．{0}B ．{－1,0}C ．{－1,0,1}D ．{－2,0}【答案】B【解析】【分析】【详解】 依题意()211111122212x x x f x +-=-=-++，由于10121x <<+，所以()11,22f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.当()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()1f x ⎡⎤=-⎣⎦，当()10,2f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x ⎡⎤=⎣⎦，故()f x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}0,1.故选B.【点睛】本小题主要考查指数函数的值域，考查新定义函数的意义，考查了分类讨论的数学思想方法.属于中档题. 5．函数()1212xxf x -=+的值域为（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,1【答案】A【解析】【分析】用分离常数法，并结合指数函数性质求解．【详解】 ()1212xx f x -=+2112x =-++， 因为20x >，所以121x +>，20212x <<+，211112x -<-+<+． ∴()f x 的值域是(1,1)-．故选：A.【点睛】本题考查求函数的值域，方法是分离常数法．对一次分式型函数可以采用分离常数法求函数值域．本题还考查了指数函数的性质．。

高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。

因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。

下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。

一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。

我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数的极值。

很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。

例1设－2≤x≤3，求函数的最值。

解：若将函数示为分段函数形式。

作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,；当x=3,,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。

那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。

经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、、=8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。

=max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝,=min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。

运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。

1.转化为求直线斜率的最值。

例2求函数的最值分析函数解析式非我们常见的函数模型。

通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin 、－cos ）两点直线的斜率。

而动点B的轨迹是y xo 3+=x y 3+-=x y 13+-=x y 13-=x y圆x2+y2=1。

因此我们就将问题转化为了求定点（3、2）与圆x2+y2=10上一点连线的斜率的最大值与最小值。

高中数学求函数值域解题方法大全高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。

例1：求函数y=x+1的值域。

解析：由于x≥-1，所以x+1≥0，因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。

例2：求函数y=1/x的值域。

解析：显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.因此函数的值域是：例3：已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函数的值域。

解析：因为x∈{-1,1,2}，而f(-1)=f(3)=3，f(2)=-1，f(1)=-∞，所以：y∈{-1,3}。

注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为x∈R，则函数的值域为{y|y≥-1}。

二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1：求函数y=x2-2x+5，x∈[-1,2]的值域。

解析：将函数配方得：y=(x-1)2+4，当x=1∈[-1,2]时，y取得最小值4，当x=-1或x=2时，y取得最大值8，因此函数的值域是：[4,8]。

变式：已知f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，且在区间[-1,1]内的最小值为1，求函数在[-2,2]上的最值。

解析：由已知，可得a>0，且f(x)在x=0处取得最小值1，即b=0.又因为在区间[-1,1]内的最小值为1，所以a≤4.将f(x)配方得：f(x)=a(x-1)2+1，当x=-2或x=2时，f(x)取得最大值5a+1；当x=1时，f(x)取得最小值1.因此，当a=4时，函数在[-2,2]上的最值分别为9和17.当a<4时，函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1.三、其他方法：对于一些特殊的函数，可以采用其他方法求解。

例：已知函数f(x)=sinx+cosx，求函数的值域。

高中数学函数最值问题的几种求解方法摘要：在高中数学的课程内容中，函数是占比非常大的部分学习内容。

最值问题，也是函数课程学习中最有难度且在考试中比较常考的一个知识点。

关于最值的求解，在具体的解题方法上有多种不同的类型，不同的解题方法，其应用中的思路和解题的关键要点都是有差异的，本文重点针对几种比较典型且求解效率较高的函数最值求解方法进行探讨，从而为高中阶段数学课程中的函数课程的学习提供参考。

关键词：高中数学；函数问题；最值求解；单调性；配方法引言：对于函数题目的求解而言，解题的思路不同，则具体应用的解题方法与技巧也是有所差别的，不同的题目类型，其最值求解的原理和思路也有细微的差别，在具体的解题方法选择应用的过程中，应当结合题目的已知条件，对于具体的解题方法进行科学的选取。

一、函数最值问题的特征分析（一）题型有多种不同的变化从本质上来讲，题型的多变性也意味着在解题中需要应用多种不同的方法来进行解题，这也符合函数最值求解的基本性质，从具体的题型角度来讲，这一点的具体表现是，虽然在最终的解题目标上，具体的题目都是对函数最值的求解，但从题目本身的呈现形式上，其就具有丰富性比较强的典型特征，另外，随着题目组织形式的变化，实际上也意味着函数最值问题在解答时的切入点和所适应的解题方法会发生变化，这在一定程度上反映出了函数最值问题本身的难度较高的特征[1]。

（二）题型解答涉及多种类型的知识这一点主要是指，在解决一个函数最值问题的过程中，需要涉及的知识内容具有多元性特征。

例如，虽然在形式上是单一的最值问题的解答，但在题目的思考解答过程中，需要学生掌握的思考方法和相关的数学知识是具有多样性的要求的。

这对于学生在解题中的思维灵活性和数学知识掌握的综合性都有很高的要求，这也意味着在具体的题目解答中，需要掌握科学的解题方法，方可切实解决具体的数学问题。

二、不同的最值解题方式的具体阐述（一）利用配方法解题这种函数机制的解题方法在这类问题的整体解答中，属于应用频率比较高，其应用的普遍性较强的一种方法，下文以一个具体的题目实例举例说明这种方法在函数最值求解中的应用。

高中数学函数最值问题的解题思路与举例在高中数学中，函数最值问题是一个常见且重要的考点。

解决这类问题需要运用一定的解题思路和技巧。

本文将介绍一些常见的函数最值问题及其解题思路，并通过具体的例子来说明。

一、函数最值问题的基本概念和解题思路函数最值问题是指在一定的条件下，求函数的最大值或最小值。

解决这类问题的基本思路是找到函数的极值点，然后比较这些极值点的函数值，得出最值。

对于一元函数，我们可以通过求导数的方法来求解极值点。

具体步骤如下：1. 求函数的导数；2. 令导数等于零，解方程得到极值点；3. 比较这些极值点的函数值，得出最值。

对于二元函数，我们可以通过偏导数的方法来求解极值点。

具体步骤如下：1. 求函数的偏导数；2. 令偏导数等于零，解方程得到极值点；3. 比较这些极值点的函数值，得出最值。

二、函数最值问题的举例及解析1. 求函数 y = x^2 在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值。

解析：首先，我们求函数的导数：y' = 2x。

令导数等于零，得到 x = 0。

将 x = 0 代入函数，得到 y = 0。

所以函数在 x = 0 处取得最小值 0。

然后，我们比较区间的两个端点和极值点的函数值。

将 x = 0、x = 2 代入函数，得到 y(0) = 0，y(2) = 4。

所以函数在区间 [0, 2] 上的最大值为 4。

综上所述，函数 y = x^2 在区间 [0, 2] 上的最大值为 4，最小值为 0。

2. 求函数 y = x^3 - 3x 在区间 [-2, 2] 上的最大值和最小值。

解析：首先，我们求函数的导数：y' = 3x^2 - 3。

令导数等于零，解方程得到 x = ±1。

将 x = ±1 代入函数，得到 y(1) = -2，y(-1) = 2。

所以函数在 x = ±1 处取得极值。

然后，我们比较区间的两个端点和极值点的函数值。

将 x = -2、x = 2 代入函数，得到 y(-2) = -14，y(2) = 10。

高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。

因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。

下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。

一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。

我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数∑=+=ni bi x ai y 1的极值。

很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。

例1 设－2≤x≤3，求函数12+++-=x x x y 的最值。

解：若将函数示为分段函数形式。

作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,min y 3=；当x=3,max y 8=,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。

那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。

经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、3min =y 、max y =8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。

max y =max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝, min y =min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。

运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。

1. 转化为求直线斜率的最值。

例2 求函数θθsin 3cos 2-+=y 的最值 分析函数解析式非我们常见的函数模型。

通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin θ、－cos θ）两点直线的斜率。

高中数学中函数的最大值和最小值求解方法
在高中数学中，函数的最大值和最小值是关于函数在定义域内取得的最大和最小值。

为了求解函数的最大值和最小值，我们需要掌握一些方法和技巧，下面将介绍几种常见的方法：
寻找导数为零点
对于连续可导的函数，其极值点通常出现在导数为零的点。

因此，我们可以通过对函数求导并解方程找到函数的最大值和最小值。

具体步骤如下：
1.求出函数的导数。

2.解方程求出导数为零的点。

3.确定这些点中哪些是最大值，哪些是最小值。

利用一元二次函数的性质
当函数为一元二次函数时，可以利用一元二次函数的性质来求得最大值和最小值。

一元二次函数通常具有一个顶点，顶点处即为函数的最大值或最小值。

求解方法如下：
1.将一元二次函数表示为标准形式。

2.根据顶点公式，求出顶点的横坐标。

3.将横坐标代入函数中，求出最大值或最小值。

利用函数的性质
有些函数具有特定的性质，例如指数函数、对数函数等。

针对这些特定函数，我们可以利用其性质来求解最大值和最小值。

以指数函数为例，指数函数具有非负性，因此最小值为0。

对数函数则要求底数大于1才有定义，因此最小值为正数。

综上所述，求解函数的最大值和最小值是高中数学中的一个重要知识点。

通过掌握导数为零点、一元二次函数的性质以及函数的特性，我们可以灵活应用不同的方法来解决函数最大值和最小值的问题。

希望通过这些方法的介绍，读者能够更好地理解和掌握这一知识点。