组合数学第四章Pólya定理

polya 定理
Polya定理是一种组合数学定理，它描述了一个物体在旋转，翻转和旋转翻转下的不动点数量。

利用Polya定理，我们可以解决许多计数问题，例如计算一组颜色不同的方块，以不同的方式放置在一个正方体的六个面上，这样每个面都有至少一个方块。

在这个问题中，我们可以使用Polya定理计算不同的方案数。

Polya定理的基本思想是计算一个群在不同置换下的不动点数量。

具体来说，它包括三个步骤：
1.确定置换群：找到代表群的一组置换。

2.计算循环指数：对于每个置换，计算它的循环指数。

3.应用Polya定理：将循环指数代入Polya定理的公式中，以计算不动点的总数。

Polya定理的应用非常广泛，包括颜色方块问题、组合拼图问题、染色问题等。

它是组合数学的基础，对于解决实际问题具有重要意义。

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Pólya原理及其应用Pólya原理是组合数学中，用来计算全部互异的组合状态的个数的一个十分高效、简便的工具。

下面，我就向大家介绍一下什么是P ólya原理以及它的应用。

请先看下面这道例题：【例题1】对2*2的方阵用黑白两种颜色涂色，问能得到多少种不同的图像？经过旋转使之吻合的两种方案，算是同一种方案。

【问题分析】由于该问题规模很小，我们可以先把所有的涂色方案列举出来。

一个2*2的方阵的旋转方法一共有4种：旋转0度、旋转90度、旋转180度和旋转270度。

(注：本文中默认旋转即为顺时针旋转) 我们经过尝试，发现其中互异的一共只有6种：C3、C4、C5、C6是可以通过旋转相互变化而得，算作同一种；C7、C8、C9、C10是同一种；C11、C12是同一种；C13、C14、C15、C16也是同一种；C1和C2是各自独立的两种。

于是，我们得到了下列6种不同的方案。

但是，一旦这个问题由2*2的方阵变成20*20甚至200*200的方阵，我们就不能再一一枚举了，利用Pólya原理成了一个很好的解题方法。

在接触Pólya原理之前，首先简单介绍Pólya原理中要用到的一些概念。

群：给定一个集合G={a,b,c,…}和集合G上的二元运算，并满足:(a) 封闭性：∀a,b∈G, ∃c∈G, a＊b=c。

(b) 结合律：∀a ,b ,c ∈G , (a ＊b )＊c=a ＊(b ＊c )。

(c) 单位元：∃e ∈G , ∀a ∈G , a ＊e =e ＊a =a 。

(d) 逆元：∀a ∈G , ∃b ∈G , a ＊b =b ＊a =e ，记b =a -1。

则称集合G 在运算＊之下是一个群，简称G 是群。

一般a ＊b 简写为ab 。

置换：n 个元素1,2,…,n 之间的一个置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a n2121表示1被1到n 中的某个数a 1取代，2被1到n 中的某个数a 2取代，直到n 被1到n 中的某个数a n 取代，且a 1,a 2,…,a n 互不相同。

离散帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理（Pólya定理）是数学上的一个重要定理，它的英文名称叫做Pólya’s Theorem，也有人叫做离散帕斯瓦尔定理（Discrete Pólya Theorem）。

它是由犹太裔瑞士数学家George Pólya在1945年末发布的，它有助于我们深入地理解数学中的“递推”（Recursively）过程。

帕斯瓦尔定理声称，对于某一系列数学表达式，若计算其值后可达到给定的边界值，则这一系列数学表达式称为“可递推”（Recursive）。

这就是说，如果某一系列数学表达式的值能够从一个“可递推”系列中求出，则这一系列数学表达式的值也可以从“可递推”系列中求出。

迪恩布雷兹科夫（D. B. Kervick）把帕斯瓦尔定理抽象成以下形式：假定有一个可递推系列E，其中E1是一个给定的常数，若存在一个n > 1，使得En = g(En-1,…,E1)，则系列E是可递推的。

在实际应用中，帕斯瓦尔定理可以用来解决一些复杂的问题，其中包括搜索、路径搜索、优化、排序和图论等。

在搜索问题中，帕斯瓦尔定理可以用来求解某一特定的目标状态，比如一个最优的棋局。

在路径搜索问题中，它可以用来找到一条从某一节点到另一节点的最短路径。

另外，在优化问题中，它可以用来解决旅行商问题，在排序问题中，它可以用来求解某一特定的序列。

最后，在图论问题中，它可以用来求解多种图理论问题，比如最小生成树和最短路径等。

总的来说，帕斯瓦尔定理是一个非常强大的数学定理，它可以用来解决一些复杂的问题，并且还可以帮助我们深入理解数学中的问题。

此外，帕斯瓦尔定理同样可以用来解决“时间-复杂度”问题，即如何在更短的时间内完成更多的计算工作，从而节省时间和资源。

帕斯瓦尔定理是非常有价值的，它不仅可以帮助我们解决复杂的数学问题，而且还可以作为一种计算机编程技术，帮助我们更有效地解决实际问题。

希望未来的科学家们能够持续深入研究这一系列数学定理，将它们合理地运用到社会生活中，从而让我们的生活更加便捷和舒适。

习题四4。

1。

若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂,即a= x m，则称这个群为循环群.若群的元素交换律成立，即a , b G满足a b = b a则称这个群为阿贝尔(Abel）群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。

［证］.设循环群（G，)的生成元是x0ÎG。

于是,对任何元素a ，b G，m,nÎN，使得a= x0m , b= x0n，从而a b = x0m x0n= x0m +n (指数律)= x0n +m (数的加法交换律)= x0n x0m(指数律)= b a故运算满足交换律；即(G, )是交换群.4.2。

若x是群G的一个元素,存在一个最小的正整数m，使x m=e，则称m为x的阶，试证：C={e，x，x2, ，x m—1}是G的一个子群。

［证].(1)非空性C ：因为eÎG；（2）包含性C G:因为xÎG，根据群G的封闭性，可知x2, ，x m—1,(x m=)eÎG,故C G；（3)封闭性 a , b C a b C: a , b C，k，lÎN (0k〈m，0l〈m),使a = x k，b = x l，从而a b = x k x l = x(k+l）mod m C(因为0 （k+l) mod m〈m) ；(4)有逆元 a C a —1C： a C，kÎN (0k<m)，使a = x k, 从而a -1= x m—k C（因为0 m-k < m）。

综合（1) (2）(3) (4），可知(C, )是(G, )的一个子群.4.3。

若G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n。

[证］。

对任一元素xÎG，设其阶为m，并令C={e,x，x2，，x m-1},则由习题4.2.可知（C, )是（G, ）的一个子群，故具有包含性C G。

因此有m = ｜C｜£｜G｜= n所以群G的所有元素的阶都不超过n。

波利亚计数定理
波利亚定理（Pólya定理）又称多项式分部定理，由匈牙利数学家George Pólya于1919年提出。

它是一个重要的定理，在许多数学领域都有重要的应用，例如组合数学、统计学、离散数学等等。

波利亚定理的定义：设P(n)为任意个多项式的最高次项的系数，其次数为n，则该多项式的和表示为：
P(n)=A（1+x+x^2 + x^3+...+x^n）
其中，A称为该多项式的均分常数，它也可以用来描述多项式的分部展开结果。

波利亚定理的推导：对于一个多项式P(n)，它的最高项与x^n相乘，因为它们具有同样的次数以及相同的系数，因此形式上可以改写为：
又因为带入x ∞ 后，各项将等于零，并且整个式子只剩下一项，即最高次项系数，因此：
P(n)=A。

易知，A和P(n)之间的关系就是波利亚计数定理：
（1）组合数学中，展开多项式可以用波利亚定理来表示，有助于快速计算。

（2）统计学中，波利亚定理可以用来计算概率，可以用它来计算取得目标的概率。

（3）离散数学中，波利亚方程可以用来求解线性递推关系。

总结：
波利亚定理（Pólya定理）是一个非常重要的定理，它的定义是描述一个多项式P(n)的最高次项系数和均分常数之间的关系；它的推导带来了多项式展开及求和等等的方法，且它在许多数学领域都有重要的应用，比如组合数学、统计学、离散数学等等。

所以，该定理已经被广泛应用于实际问题的解决上。

polya计数定理
Polya计数定理是一种组合数学方法，可以用来计算置换群作用下的不动点数。

它的基本思想是将一个置换分解成若干个置换的乘积，然后计算每个置换下的不动点数，最后用Burnside引理对所有置换
进行加权平均。

这个定理的应用范围非常广泛，可以用来解决组合计数、化学结构计数、色彩填充问题、棋盘游戏问题等许多实际问题。

在应用这个定理时，需要先确定置换群以及每个置换的循环类型，然后计算每个循环类型下的不动点个数。

虽然具体的计算过程可能比较繁琐，但是Polya计数定理本身却是一种非常简单而优美的组合数学思想。

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波利亚定理证明波利亚定理是数论中的重要定理，它对于解决数的分拆问题起着重要的作用。

以下将从引言、前提条件、证明、例子等几个方面来详细讨论波利亚定理。

引言波利亚定理是由意大利数学家波利亚（Giorgi Pólya）于1918年提出的，它是更普遍形式的斯特林公式，用于解决非负整数的分拆问题。

波利亚定理在组合数学、数论和多项式函数方面有着广泛的应用。

前提条件在正式证明波利亚定理之前，我们需要了解一些基本概念和前提条件。

首先，我们定义一个分拆为把一个正整数n表示为若干个正整数的和，这些正整数可以相同也可以不同。

例如，对于正整数4的分拆可以是4=1+1+1+1=1+1+2=2+2=1+3。

其次，我们定义一个分拆的个数为同一个正整数的所有分拆的个数。

例如，对于正整数4，它的分拆个数为4。

最后，波利亚定理的表述如下：对于任意正整数n，其分拆个数可以表示为多项式函数。

即存在多项式函数P(n)，使得n的分拆个数等于P(n)。

证明为了证明波利亚定理，我们需要借助生成函数的概念。

生成函数是一种将多项式序列和数学问题联系起来的数学工具，它在组合数学中广泛应用。

首先，我们定义一个生成函数F(x)，它表示一个正整数的分拆函数。

F(x) = (1 + x + x^2 + x^3 + ...) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + ...) * (1 + x^3 + x^6 + x^9 + ...) * ...其中，每个括号代表一个无穷级数，表示相应正整数的所有分拆个数。

我们可以观察到，F(x)的展开式中，x^n的系数恰好等于正整数n 的分拆个数。

接下来，我们将F(x)进行展开。

F(x) = (1 + x + x^2 + x^3 + ...) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + ...) * (1 + x^3 + x^6 + x^9 + ...) * ...= (1 + x + x^2 + x^3 + ...) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + ...) * (1 + x^3 + x^6 + x^9 + ...) * ...× (1 - x^1) * (1 - x^2) * (1 - x^3) * ...我们可以看到，展开后的表达式中，每一项的系数是用于表示分拆个数的多项式函数。