工程力学第九章梁的应力
及强度计算
-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
课时授课计划
掌握弯曲应力基本概念；
掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；掌握弯曲正应力的强度计算；
掌握弯曲剪应力强度校核。
教学过程：
复习：1、复习刚架的组成及特点。
2、复习平面静定刚架内力图的绘制过程。
新课：
第九章梁的应力及强度计算
第一节纯弯曲梁横截面上的正应力
一、纯弯曲横梁截面上的正应力计算公式
平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
2、假设
（1）平面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面，只是绕某一轴旋转了一个角度，且仍与变形后的梁轴曲线垂直。
中性层：梁纯弯曲变形后，在凸边的纤维伸长，凹边的纤维缩短，纤维层中必有一层既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
中性轴将横截面分为两个区域——拉伸区和压缩区。
注意：中性层是对整个梁而言的；
中性轴是对某个横截面而言的。
中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。
3、推理
纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。
二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律
由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知
ρ
εσy
E
E =⋅=
通过上式可知横截面上正应力的分布规律，即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比，也就是正应力沿截面高度呈线性分布，而中性轴上各点的正应力为零。
三、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式
梁在纯弯曲时的正应力公式：
Z
I My
=
σ 式中：σ——梁横截面上任一点的正应力；
M ——该点所在横截面的弯矩；
Iz ——横截面对其中性轴z 的惯性矩；矩形Z I =123
bh ；圆形Z I =64
4D π
y ——所求正应力点到中性轴的距离。
正应力的单位为：Pa 或MPa ，工程上常用MPa 。
公式表明：梁横截面上任一点的正应力σ与截面上的弯矩M 和该点到中性轴的距离成正比，而与截面对中性轴的惯性矩 IZ 成反比。
在中性轴上（y=0），正应力为零。离中性轴越远，正应力越大。在横截面上、下边缘各点处（y=ymax ），正应力达到最大值。
应力σ的正负号直接由弯矩M 的正负来判断。M 为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M 为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
z
W M max max
=σ
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax 不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
][max max
σσ≤=z
W M
二、常用截面的惯性矩与抗弯截面系数
1、常用截面的惯性矩I Z
惯性矩是截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。
它是与截面的形状及尺寸相关的几何量。
123bh I C
z =12
3hb I C
y =64
4
D I I C C y z π=
=
2、常见截面的抗弯截面系数
(
d D I I
工字型的抗弯截面系数
5mm
3
（2）截面设计
当已知荷载和所用材料（即已知M 和 [σ]）时，可根据强度条件，设计截面尺寸。
]
[max
σM W z ≥
求出W Z 后，进一步根据所用梁的截面形状来确定尺寸。若采用型钢时，则可由型钢表查得所用型钢的型号。
（3）计算许可载荷
若已知梁的材料及截面尺寸（即已知[σ]和W Z ），则可根据强度条件确定梁的许用弯矩[M]。
z W M ⋅≤][][σ
根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。
在进行上列各类计算时，为了保证既安全可靠又节约材料的原则，设计规范还规定梁内的最大正应力允许稍大于[σ]，但以不超过[σ]的5%为限。即
%5%100][]
[max <⨯-σσσ
3、进行强度计算时应遵循的步骤
（1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩
图）。
（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。 （3）确定危险点
（4）依据强度条件，进行强度计算。
第三节 梁的剪应力强度条件
一、概念
梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q 同向且平行； (2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
b
I QS z z
*=
τ
