关于梁的正应力强度计算.

§7-2 梁的正应力强度计算
一、最大正应力
在强度计算时，必须算出梁的最大正应力。

产生最大正应力的截面，称为危险截面。

对于等直梁，弯矩最大的截面就是危险截面。

危险截面上的最大应力处称为危险点，它发生在距中性轴最远的上、下边缘处。

对于中性轴是截面对称轴的梁，最大正应力的值为：
max
max max z
M y I σ=
令z
z max
I W y =
，则 max
max z
M W σ=
式中z W 称为抗弯截面系数，是一个与截面形状和尺寸有关的几何量。

常用单位是m 3
或mm 3。

z W 值越大，max σ就越小，它也反映了截面形状及尺寸对梁的强度的影响。

对高为h 、宽为b 的矩形截面，其抗弯截面系数为：
32
z z max /12/26
I bh bh W y h ===
对直径为d 的圆形截面，其抗弯截面系数为：
43
z z max /64/232
I d d W y d ππ===
对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如图7-9所示的T 形截面梁，在正弯矩M 作用下
梁下边缘处产生最大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为：
+1max z My I σ=
2max
z
My I σ-=
令z 11I W y =
、z 22
I
W y =，则有： +
max 1
M W σ=
max
2
M W σ-=
max
σ-
图7-9
二、正应力强度条件
为了保证梁能安全地工作，必须使梁截面上的最大正应力max σ不超过材料的许用应力，这就是梁的正应力强度条件。

现分两种情况表达如下：
1、材料的抗拉和抗压能力相同，其正应力强度条件为：
max
max z
[]M W σσ=
≤ 2、材料的抗拉和抗压能力不同，应分别对拉应力和压应力建立强度条件：
+max
max 1[]M W σσ+=
≤ max max
2
[]M
W σσ--=≤ 根据强度条件可解决有关强度方面的三类问题：
1）强度校核：在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸（即已知[]σ、z W ）以及所受荷载（即已知max M ）的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。

2）设计截面：当已知荷载和所用材料时（即已知max M 、[]σ），可根据强度条件，计算所需的抗弯截面系数
max
z []M W σ≥
然后根据梁的截面形状进一步确定截面的具体尺寸。

3）确定许用荷载：如已知梁的材料和截面形状尺寸（即已知[]σ、z W ），则先根据强度条件算出梁所能承受的最大弯矩，即：
max z []
M W σ≤
然后由max M 与荷载间的关系计算许用荷载。

例7-2 如图7-10所示T 形截面外伸梁。

已知材料的许用拉应力[]32MPa σ+
=，许用
压应力[]70MPa σ-
=。

试校核梁的正应力强度。

2m
2m2m
z
z1200
30
3
1
7
7kN·m
a)
b)
16kN·m
c)
图7-10
解：
（1）绘出弯矩图（图7-10b），可见B截面有最大负弯矩，C截面有最大正弯矩。

（2）确定中性轴位置及计算截面对中性轴的惯性矩
i iC
C
i
301708520030185
139mm
3017020030
A y
y
A
⋅⨯⨯+⨯⨯
===
⨯+⨯
∑
∑
2
c ci i i
33
22
64
()
3017020030
301705420030046
1212
40.310mm
I I a A
=+
⨯⨯
=+⨯⨯++⨯⨯
=⨯
∑
（3）强度校核
B截面的最大拉应力在上边缘点处，最大压应力在下边缘点处，其值为：
6
+B
max6
z
1610
6124.2MPa
40.310
M
y
I
σ
⨯
==⨯=
⨯
上
＜[]
σ+
6
B
max6
z
1610
13955.2MPa
40.310
M
y
I
σ-
⨯
==⨯=
⨯
下
＜[]
σ-
C截面的最大压应力在上边缘点处，最大拉应力在下边缘点处，其值为：
6
C
max6
z
710
6110.6MPa
40.310
M
y
I
σ-
⨯
==⨯=
⨯
上
＜[]
σ-
6
C
max6
z
710
13924.1MPa
40.310
M
y
I
σ+
⨯
==⨯=
⨯
下
＜[]
σ+
正应力分布图如图7-10c所示。

由此例可见，对于中性轴不是对称轴的截面，最大正应力不是发生在弯矩绝对值最大的截面上，这类梁的校核应同时考虑梁的最大正弯矩和最大负弯矩所在截面的强度。

例7-3 如图7-11所示，某简支梁承受两个集中荷载：160kN P =，220kN P =。

梁的许用应力[]170MPa σ=。

试选用工字钢的型号。

B
2m
2m
1m
A
72kN ·m
88kN ·m
a )
b )
C
D P 2P 1
Z
图7-11
解：
（1）绘出弯矩图，如图7-11b 所示，可见C 截面有最大正弯矩。

（2）计算每根工字梁所需的抗弯截面系数为：
6
333max z 881025910mm 259cm 2[]2170
M W σ⨯≥==⨯=⨯
由型钢表查得№22a 工字钢的3z 309cm W =＞3
259cm ，采用两根№22a 工字钢。

例7-4 如图7-12所示悬臂梁，由两根不等边角钢2×∠125×80×10组成，已知材料的许用应力[]160MPa σ=。

试确定许用荷载[]P 。

l =2m
A
B
P
Pl a )
b )
Z
y
图7-12
解：
（1）绘出弯矩图，如图7-12b 所示，可见A 截面有最大负弯矩。

（2）由型钢表查得∠125×80×10的抗弯截面系数为：
3z 37.33cm W '=
（3）计算许用荷载：
max max z z
[]2M Pl
W W σσ=
=≤'
3z 3
2[]237.3310160
5973N 5.97kN 210W P l σ'⨯⨯⨯≤===⨯。