利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的单调性

一、选择题

1.函数f (x )＝x ln x ，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝

⎛

⎭⎪⎫0，1e 上递增

D.在⎝

⎛

⎭⎪⎫0，1e 上递减

解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0得x >1

e ，

令f ′(x )<0得0

e ，故选D.

答案 D

2.下面为函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2

，3π2

B.(π，2π)

C.⎝

⎛⎭⎪⎫

3π2

，5π2 D.(2π，3π)

解析 y ′＝(x sin x ＋cos x )′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当

x ∈⎝

⎛⎭⎪⎫

3π2，5π2时，恒有x cos x >0. 答案 C

3.已知函数f (x )＝1

2x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的

( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析 f ′(x )＝3

2x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )

在R 上单调递增”的充分不必要条件. 答案 A

4.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )

解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢.

答案 B

5.设函数f(x)＝1

2

x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值

范围是( )

A.(1，2]

B.(4，＋∞]

C.[－∞，2)

D.(0，3]

解析∵f(x)＝1

2

x2－9ln x，∴f′(x)＝x－

9

x

(x>0)，

当x－9

x

≤0时，有0

即在(0，3]上原函数是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0，3]，∴a－1>0且a＋1≤3，解得1

答案 A

二、填空题

6.函数f(x)＝e x

x

的单调递增区间为________.

解析函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝e x（x－1）

x2

，令f′(x)>0得

x>1.

答案(1，＋∞)

7.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)e x，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________.

解析 f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，

由题意当x ∈[－1，1]时，f ′(x )≤0恒成立， 即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在x ∈[－1，1]时恒成立. 令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ， 则有⎩⎨⎧g （－1）≤0，g （1）≤0，

即⎩⎨⎧（－1）2

＋（2－2a ）·（－1）－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，

解得a ≥34.

答案 ⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

34，＋∞

8.(2017·合肥模拟)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫

23，＋∞上存在单调递

增区间，则实数a 的取值范围是________.

解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2

＋x ＋2a ＝－⎝

⎛

⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .

当x ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

23，＋∞时， f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2

9＋2a .

令29＋2a >0，解得a >－19

. 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.

答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－19，＋∞

三、解答题

9.(2016·北京卷)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间.

解 (1)∵f (x )＝x e a －x ＋bx ，∴f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .

由题意得⎩⎨⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩

⎨⎧2e a －2

＋2b ＝2e ＋2，

－e a －2＋b ＝e －1，

解得a ＝2，b ＝e.

(2)由(1)得f (x )＝x e 2－x ＋e x ，

由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号. 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.

当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，1)上递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上递增， ∴g (x )≥g (1)＝1在R 上恒成立， ∴f ′(x )>0在R 上恒成立.

∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞). 10.设函数f (x )＝13x 3－a

2

x 2＋1.

(1)若a >0，求函数f (x )的单调区间；

(2)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围.

解 (1)由已知得，f ′(x )＝x 2

－ax ＝x (x －a )(a >0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.

所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)， 单调递减区间为(0，a ).

(2)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a <⎝ ⎛

⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22， 当且仅当x ＝2

x

即x ＝－2时等号成立.

所以满足要求的实数a 的取值范围是(－∞，－22).

11.(2017·承德调考)已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )