利用导数研究函数的单调性

第21讲 利用导数研究函数的单调性【基础知识回顾】1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a ，b)内，如果f′(x)≥0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间． 3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围 (1)函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递增，可转化为f ′(x)≥0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆增区间．函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆减区间．(2)函数y ＝f(x)的增区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a ，b)；函数y ＝f(x)的减区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝减区间，也可转化为a ，b 是f′(x)＝0的两根．1、.函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫1e ，e B.⎝⎛⎭⎫0，1e C.⎝⎛⎭⎫－∞，1eD.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞【答案】 B【解析】因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1e，故f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 2、函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )第2题图A . (－∞，－2]B . ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C . [)－2，3 D . ⎣⎡⎭⎫98，＋∞【答案】D【解析】 由题图可知d ＝0. 不妨取a ＝1，∵f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x)＝3x 2＋2bx ＋c. 由图可知f′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18. ∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为[98，＋∞).故选D .3、函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1a B.⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，1a D ．(－∞，a )【答案】A【解析】 由f ′(x )＝1x －a >0，x >0，得0<x <1a .∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a . 4、若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，2ln 2－2)【解析】 ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解.设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得极大值也是最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2.考向一 求函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋3；(2)g(x)＝x 2－2ln x.【解析】 (1)∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，定义域为R ，∴当f ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1. ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)g ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，定义域为(0，＋∞)，令g ′(x )＝0，解得：x ＝1或x ＝－1(舍去)，列表：x (0，1) 1 (1，＋∞) g ′(x ) － 0＋ g (x ) 减 极小值 增变式1、（1）下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.f (x )＝sin 2x B.f (x )＝x e x C.f (x )＝x 3－xD.f (x )＝－x ＋ln x【答案】 B【解析】 由于x ＞0，对于A ，f ′(x )＝2cos 2x ，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－1＜0，不符合题意； 对于B ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ＞0，符合题意；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，f ′⎝⎛⎭⎫13＝－23＜0，不符合题意； 对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ，f ′(2)＝－12＜0，不符合题意.(2)函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】 C【解析】 ∵函数f (x )＝2x 2－ln x ，∴f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝4⎝⎛⎭⎫x －12⎝⎛⎭⎫x ＋12x.由f ′(x )＜0，解得0＜x ＜12，∴函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，12. （3）.已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的递增区间是________. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 【解析】 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2.变式2、（1）函数f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为__ __．（2） 函数f(x)＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是__ __．（3）已知a<0，函数f(x)＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2的单调递减区间是__ ．【解析】（1）由f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x)＝3x 2－30x －33，令f′(x)<0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1<x<11，∴函数f(x)的单调减区间为(－1，11)． （2） f′(x)＝1－cos x>0在(0，2π)上恒成立，∴f(x)单调递增．（3）f′(x)＝3x 2＋2ax －a 2＝(3x －a)(x ＋a)，令f′(x)<0，得a3<x<－a ，∴减区间为⎝⎛⎭⎫a3，－a . 方法总结：1. 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f ′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间． 2. 利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函数的符号．考向二 给定区间求参数的范围例2、设函数()32132a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. (1)求,bc 的值；(2)若0a >，求函数()f x 的单调区间；(3)设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间(2,1)--内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．【解析】：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝1，f ′0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x )max ＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．变式1、已知g (x )＝2x ＋ln x －ax .(1)若函数g (x )在区间[1，2]内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若g (x )在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.【解析】(1)g (x )＝2x ＋ln x －ax (x >0)，g ′(x )＝2＋1x ＋ax2(x >0).∵函数g (x )在[1，2]上单调递增， ∴g ′(x )≥0在[1，2]上恒成立， 即2＋1x ＋ax 2≥0在[1，2]上恒成立，∴a ≥－2x 2－x 在[1，2]上恒成立， ∴a ≥(－2x 2－x )max ，x ∈[1，2]. 在[1，2]上，(－2x 2－x )max ＝－3， 所以a ≥－3.∴实数a 的取值范围是[－3，＋∞). (2)g (x )在[1，2]上存在单调递增区间， 则g ′(x )＞0在[1，2]上有解， 即a ＞－2x 2－x 在[1，2]上有解， ∴a ＞(－2x 2－x )min ，又(－2x 2－x )min ＝－10，∴a ＞－10.变式2、若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A.[－1，1]B.⎣⎡⎦⎤－1，13C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53.由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立. 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]， 则－43t 2＋at ＋53≥0，在t ∈[－1，1]上恒成立.∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝－3a －1≤0，g （－1）＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤13方法总结： 1.明晰导数概念及其几何意义在解题中的应用，强化方程的思想，培养基本运算能力．2. 辨析区间上单调和区间上存在单调区间的本质区别和处理策略的不同，提升参变分离和构造函数等解决问题的方法和技巧，感悟数学解题背后的思维和内涵．考向三 函数单调区间的讨论例3、已知函数．当时，讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为.， 因为，所以， ①当，即时，由得或，由得， 所以在，上是增函数， 在上是减函数； ②当，即时，所以在上是增函数；③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函 综上可知：当时在，上是单调递增，在上是单调递减； 当时，在.上是单调递增；当时在，上是单调递增，在上是单调递减. 变式1、讨论下列函数的单调性． (1)f (x )＝x －a ln x ； (2)g (x )＝13x 3＋ax 2－3a 2x .【解析】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，()()11ln f x x m x m R x x ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭1m ()f x ()f x (0,)+∞'21()1m m f x x x -=+-2221(1)[(1)]x mx m x x m x x -+----==1m 10m ->011m <-<12m <<()0f x '>1x >1x m <-()0f x '<11m x -<<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -11m -=2m =()0f x '≥()f x ()0,∞+11m ->2m >()0f x '>1x m >-1x <()0f x '<11x m <<-()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -12m <<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -2m =()f x ()0,∞+2m >()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． (2)g (x )的定义域为R ，g ′(x )＝x 2＋2ax －3a 2＝(x ＋3a )(x －a )， 当a ＝0时，g ′(x )≥0， ∴g (x )在R 上单调递增． 当a >0时，x ∈(－∞，－3a )∪(a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， x ∈(－3a ，a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 当a <0时，x ∈(－∞，a )∪(－3a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， x ∈(a ，－3a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 综上有a ＝0时，g (x )在R 上单调递增；a <0时，g (x )在(－∞，a )，(－3a ，＋∞)上单调递增，在(a ，－3a )上单调递减； a >0时，g (x )在(－∞，－3a )，(a ，＋∞)上单调递增，在(－3a ，a )上单调递减． 变式2、已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )，a >0.讨论f (x )的单调性．【解析】 由题知，f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2，设g (x )＝x 2－ax ＋2， g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当Δ＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2， 有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根， x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x )单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．方法总结： 对含参函数的合理分类，关键是找到引起分类讨论的原因．2. 会对函数进行准确求导，求导以后进行整理并因式分解，其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根的大小等都是引起分类讨论的原因．考向四 构造函数研究单调性例4、(1)设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则下列不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x(2)已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )<g (1)的解集是( )A ．(－∞，1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－1,0)∪(0,1)【答案】 (1)A (2)D【解析】(1)法一：令g (x )＝x 2f (x )－14x 4，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－x 3＝x [2f (x )＋xf ′(x )－x 2]，当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )>g (0)， 即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x <0时，g ′(x )<0，∴g (x )>g (0)， 即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x ＝0时，由题意可得2f (0)>0，∴f (0)>0. 综上可知，f (x )>0.法二：∵2f (x )＋xf ′(x )>x 2，∴令x ＝0，则f (0)>0，故可排除B 、D ，不妨令f (x )＝x 2＋0.1，则已知条件2f (x )＋xf ′(x )>x 2成立，但f (x )>x 不一定成立，故C 也是错误的，故选A.(2)∵f (x )是定义域为{x |x ≠0}的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )， ∴xf ′(x )＋2f (x )>0. ∵g (x )＝x 2f (x )，∴g (x )也是偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )>0. ∵g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )在(－∞，0)递减． 若g (x )<g (1)，则|x |<1(x ≠0)， 解得0<x <1或－1<x <0.故g (x )<g (1)的解集是(－1,0)∪(0,1)． 变式1、已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】CD 【解析】令，，则， 因为， 所以在上恒成立， 因此函数在上单调递减， 因此，即，即，故A 错；又，所以，所以在上恒成立， 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ()f x '()00f =()cos ()sin 0f x x f x x '+<6624f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln 03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()cos f x g x x =0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x '+'=()cos ()sin 0f x x f x x '+<2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'=<0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()cos f x g x x =0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭64g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭64cos cos64f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>664f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()00f =(0)(0)0cos0f g ==()()0cos f x g x x =≤0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭因为，所以，故B 错； 又，所以，即，故C 正确；又，所以，即，故D 正确；故选：CD.变式2、设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，－1)∪(0，1)【解析】 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0， 所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f （x ）x ，则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0. 则当x ＞0时，g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上单减，在(－∞，0)上单增.所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0，得f （x ）x ＞0，所以f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，由g (x )＜g (－1)＝0，得f （x ）x＜0，所以f (x )＞0. 综上知，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).变式3、设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集为________. 【答案】 (－∞，－3)∪(0，3) 【解析】 f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0⇔ [f (x )g (x )]′＞0，所以函数y ＝f (x )g (x )在(－∞，0)上单调递增. 又由题意知函数y ＝f (x )g (x )为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3，0)，(3，0).ln0,32ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ln 03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭63g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63cos cos 63f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos43f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭数形结合可求得不等式f (x )g (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0，3).方法总结：(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )；(2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式f ′(x )>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . (3)对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； (4)对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xg x(g (x )≠0)；(5)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (6)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xx(x ≠0)．1、函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．2、设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤， 即实数a 的取值范围是(],0-∞.3、（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）已知函数()ln f x x =，()g x x =，则当120x x >>时（ ） A ．1122|()()||()()|f x g x f x g x -<-|B ．1122|()()||()()|f x g x f x g x ->-C ．1221|()()||()()|f x g x f x g x -<- D ．1221|()()||()()|f x g x f x g x ->-【答案】C【解析】令()ln h x x x =-，则()111xh x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 则()()110h x h ≤=-<，则()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，∴()1h x 和()2h x 的大小不确定，故AB 错误；由()0h x <可知221ln x x x <<，即()()210f x g x -<， 令1221|()()||()()|W f x g x f x g x =---， 则1221|()()|()()W f x g x f x g x =-+-，当()()12f x g x ≥时，[][]12211122()()()()()()()()0W f x g x f x g x f x g x f x g x =-+-=-+-<； 当()()12f x g x <，[][]21212211()()()()()()()()W g x f x f x g x f x g x f x g x =-+-=+-+，()()ln y f x g x x x =+=+单调递增，0W ∴<， 综上，1221|()()||()()|f x g x f x g x -<-，故C 正确，D 错误.故选：C.4、（2021·广东高三月考）已知函数()ln f x x ax =+在函数()22g x x x b =-+的递增区间上也单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)0,+∞C ．(][),10,-∞-+∞ D ．(]1,0-【答案】B【解析】因为()g x 的单调递增区间为[)1,+∞， 则由题意()f x 在[)1,+∞递增， 而()1axf x x+'=， 所以当0a ≥时，()0f x '>在 [)1,+∞恒成立，()f x 在区间[)1,+∞单调递增，符合题意； 当0a <时，由()10ax f x x +'=>，解得10x a<<- ()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不合题意.综上，0a ≥. 故选：B5、（2021·广东高三月考）若对任意的1x ，()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 2x x x x x x -<-，则m 的最小值是（ ）（注： 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数） A ．1eB ．eC ．1D ．3e【答案】A【解析】由题意知210x x >>，可得210x x ->， 则122121ln ln 2x x x x x x -<-等价于()122121ln ln 2x x x x x x -<-，即121212ln 2ln 2x x x x x x +<+，所以()()1221ln 2ln 2x x x x +<+， 所以2121ln 2ln 2x x x x ++<， 令()ln 2x f x x+=，可得21f x f x ，又由21x x m >>，所以()f x 在(),m +∞上是减函数， 所以()2ln 10x f x x--'=≤，解得1x e ≥，则1m e ≥，即m 的最小值为1e . 故选：A.6、（2021·深圳市第七高级中学高三月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()0,6f x f x f x f x +-=+=-，且对[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在[]9,6--单调递增C ．3x =是函数()f x 的对称轴D ．函数()f x 的最小正周期是12【答案】BCD【解析】由定义域为R ， ()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，则函数为奇函数，故A 错误；因为()()6f x f x +=-，而()()f x f x -=-，所以()()6f x f x +=-，所以函数的对称轴为6032x +==，故C 选项正确； 因为()()6f x f x +=-，所以()()()126f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期是12，故D 选项正确；因为[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+， 则()()()()12120x x f x f x --<，所以[]3,0x ∈-时，()f x 为减函数. 因为函数为奇函数，所以[]0,3x ∈时，()f x 为减函数，又因为函数()f x 关于3x =对称，所以[]3,6x ∈时，()f x 为增函数.因为()f x 的最小正周期是12，所以[]9,6x ∈--的单调性与[]3,6x ∈时的单调性相同. 故，[]9,6x ∈--时，()f x 单调递增，故B 选项正确. 故选：BCD. 7、()3211232f x x x ax =-++，若()f x 在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______ 【答案】19a >- 【解析】：()'22fx x x a =-++，有已知条件可得：2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭，使得()'0f x ≥，即()212a x x ≥-，只需()2min12a x x ⎡⎤≥-⎢⎥⎣⎦，而()221122122339y x x ⎡⎤⎛⎫=->-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以19a >-。

§3.5 利用导数研究函数(单调性、极值和凸性)一、与函数的单调性有关的一些结论定理 3.11(单调的充分必要条件) 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,则f 在[,]a b 上递增(或递减)当且仅当在(,)a b 上成立0f '≥(或0f '≤).证: “仅当”.假定f 在[,]a b 上递增.(,)x a b ∀∈,当0h b x <<-时,有()()0f x h f x h +-≥,故0()()()lim 0h f x h f x f x h→++-'=≥,即在(,)a b 上成立0f '≥.“当”.假定在(,)a b 上成立0f '≥.12,[,]x x a b ∀∈,12x x <,12(,)x x ξ∃∈,使得2121()()f x f x x x --()f ξ'=0≥.这说明21()()f x f x ≥,即f 在[,]a b 上递增.□定理 3.12(严格单调的充分条件) 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上成立0f '>(或0f '<),则f 在[,]a b 上严格递增(或严格递减).反之,结论可能不正确.证: 12,[,]x x a b ∀∈,12x x <,12(,)x x ξ∃∈,使得2121()()f x f x x x --()f ξ'= 0>.这说明21()()f x f x >,即f 在[,]a b 上严格递增.□定理 3.13(严格单调的充分条件) 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上除去有限个点后成立0f '>(或0f '<),则f 在[,]a b 上严格递增(或严格递减).反之,结论可能不正确.证:设12,,,n x x x ∃ ,12n a x x x b <<<<< ,在112(,),(,),,(,)n a x x x x b上成立0f '>,故f 在112[,],[,],,[,]n a x x x x b 上严格递增,从而f 在[,]a b 上严格递增.□定理 3.14(严格单调的充分必要条件) 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,则f 在[,]a b 上严格递增(或严格递减)当且仅当同时成立(1) 在(,)a b 上有0f '≥(或0f '≤)；(2) ∀开区间(,)I a b ⊂,|0I f '≠.证: “仅当”.假定f 在[,]a b 上严格递增.定理3.11确保了(1)成立；∀开区间(,)I a b ⊂,因为f 在I 上不是常数,故|0I f '≠,即(2)成立. “当”.假定(1)、(2)同时成立.定理3.11确保了f 在[,]a b 上递增,即12,[,]x x a b ∀∈,12x x <,有12()()f x f x ≤.若12()()f x f x =,则12[,]|x x f 是常数,从而12(,)|0x x f '=,与(2)相矛盾,故12()()f x f x <.□ 命题 (有实用价值) 设函数,f g 都在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,并且在(,)a b 上成立f g ''≥(或f g ''>),那么(1) 若()()f a g a =,则(,](,]||a b a b f g ≥(或(,](,]||a b a b f g >)；(2) 若()()f b g b =,则[,)[,)||a b a b f g ≤(或[,)[,)||a b a b f g <).证: 函数f g -在[,]a b 上递增(或严格递增).(1) (,]x a b ∀∈,有()()()()0f x g x f a g a -≥-=(或()()f x g x -()f a > ()0g a -=),故(,](,]||a b a b f g ≥(或(,](,]||a b a b f g >).(2) [,)x a b ∀∈,有()()()()0f x g x f b g b -≤-=(或()()f x g x -()f b < ()0g b -=),故[,)[,)||a b a b f g ≤(或[,)[,)||a b a b f g <).□例1(必须记住) (0,)2x π∀∈,总成立不等式2sin 1x xπ<<.证: 函数1,0;()sin ,02x f x x x xπ=⎧⎪=⎨<≤⎪⎩ 在[0,]2π上连续,在(0,)2π上可导,并且(0,)2x π∀∈,总有2cos sin ()0x x x f x x-'=<.于是, 222(),()(),[0,)22f f f x x πππππ''<=⇒>∀∈.□ 二、与函数的极值有关的一些结论定理 3.15(极值的充分条件)设f 是开区间．．．(,)a b 上的连续函数,0(,)x a b ∈.那么(1) 若在0(,)a x 上成立0f '≥(或0f '>),在0(,)x b 上成立0f '≤(或0f '<),则0()f x 是f 在(,)a b 上的最大值(或严格最大值)；(2) 若在0(,)a x 上成立0f '≤(或0f '<),在0(,)x b 上成立0f '≥(或0f '>),则0()f x 是f 在(,)a b 上的最小值(或严格最小值). 证: 显然.□定理 3.16(简单情形下极值的充分条件) 设0x 是函数f 的驻点,并且0()f x ''存在,那么(1) 若0()0f x ''<,则0()f x 是f 的严格极大值；(2) 若0()0f x ''>,则0()f x 是f 的严格极小值；(3) 若0()0f x ''=,则各种情形都可能出现.证: (1) 000000()()()0()lim lim x x x x f x f x f x f x x x x x →→'''-''>==--,故0δ∃>,使得当00x x δ<-<时成立0()0f x x x '<-.于是,在00(,)x x δ-上成立0f '>；在00(,)x x δ+上成立0f '<.这说明0()f x 是f 在00(,)x x δδ-+上的严格最大值,即是f 的严格极大值.(2) 与(1)的证明类似.(3) 344,,x x x -说明各种情形都可能出现.□求有限闭区间上连续函数的最大值和最小值的方法 设函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导.若f 在(,)a b 上只有有限个驻点12,,,n x x x ,则12max ()max{(),(),(),,(),()}n a x bf x f a f x f x f x f b ≤≤= ； 12min ()min{(),(),(),,(),()}n a x b f x f a f x f x f x f b ≤≤= .练习题3.5(172P ) 2(3,4),3,4,5,6,7,8,9(3),11,13,15.问题3.5(175P ) 4,8,10.三、与函数的凸性有关的一些结论定义 3.6 设f 是区间I 上的函数.若12,x x I ∀∈,12x x <,(0,1)λ∈,总成立不等式1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+≤-+()1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+<-+或,则称f 是区间I 上的凸函数(或严格凸函数).注意 f 是区间I 上的凸函数(或严格凸函数),区间J I ⊂⇒|J f 是区间J 上的凸函数(或严格凸函数).凸函数的几何意义 f 是区间I 上的凸函数(或严格凸函数)⇔ 12,x x I ∀∈,12x x <,以11(,())x f x 和22(,())x f x 为端点的开线段总是位于(或严格位于)12(,)|x x f 的图像的上方.证: 12(0,1),(,)x x x λ∀∈∃∈使得121x x x x λ-=-；反之亦然.于是 1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+≤-+⇔2121121221212121()()x x x x x x x x f x x f x f x x x x x x x x x ⎡⎤----+≤+⇔⎢⎥----⎣⎦ 211121()()()()()f x f x f x x x f x x x -≤-+-.□ 注记 3.6' 函数f 是开区间(,)a b 上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当同时成立(1) f 在(,)a b 上连续；(2) 12,(,)x x a b ∀∈,12x x <,总成立不等式121211()()222x x f f x f x +⎫⎛≤+ ⎪⎝⎭ 121211()()222x x f f x f x +⎫⎛⎫⎛<+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭或. 证: “仅当”.假定f 是开区间(,)a b 上的凸函数.由问题3.5的第1(3)题便知(1)成立；由凸函数的定义便知(2)成立.“当”.假定(1),(2)成立.由(2)的几何意义和f 的连续性,以11(,())x f x 和22(,())x f x 为端点的开线段总是位于12(,)|x x f 的图像的上方.这表明f 是(,)a b 上的凸函数.□注记3.6'' 设I 是以,a b 为左、右端点的区间,那么函数f 是I 上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当同时成立(1) f 是(,)a b 上的凸函数(或严格凸函数)；(2) 当a I ∈时,lim ()()x a f x f a →+≤；当b I ∈时,lim ()()x b f x f b →-≤. 证: “仅当”.假定f 是I 上的凸函数.由凸函数的定义便知(1)成立.由定理 3.19的推论知,lim ()x a f x →+和lim ()x b f x →-都存在.固定0(,)x a b ∈. 0(,)x a x ∀∈,有00()()()()()f x f a f x x a f a x a-≤-+-⇒lim ()()x a f x f a →+≤；0(,)x x b ∀∈,有0000()()()()()f b f x f x x x f x b x -≤-+-⇒lim ()()x b f x f b →-≤. “当”.假定(1),(2)成立.由凸函数的几何意义,12,x x I ∀∈,12x x <,以11(,())x f x 和22(,())x f x 为端点的开线段总是位于12(,)|x x f 的图像的上方.这表明f 是I 上的凸函数.□定理3.17(J ensen 不等式)若f 是区间I 上的凸函数,则1,,n x x ∀ I ∈, 1,,0n λλ> ,11n λλ++= ,总成立不等式1111()()()n n n n f x x f x f x λλλλ++≤++ .当f 是区间I 上的严格凸函数时,上式等号成立当且仅当12n x x x === .证: 不妨设 12n x x x ≤≤≤ ,显然1111n x x x λλ=++ 11x λ≤+n n x λ+ 1n n n n x x x λλ≤++= .这说明不等式的左边有意义.对n *∈ 应用数学归纳法.(1) 当1n =时,11λ=,故1111()()f x f x λλ=.(2) 假定当n k ≤时结论成立,要证当1n k =+时结论也成立.令1μ= 111,,011k k k k λλμλλ++=>-- ,则11k μμ++= ,故由归纳法假定便得到 1111()k k k k f x x x λλλ+++++11111[(1)()]k k k k k f x x x λμμλ+++=-+++11111(1)()()k k k k k f x x f x λμμλ+++≤-+++11111(1)[()()]()k k k k k f x f x f x λμμλ+++≤-+++1111()()()k k k k f x f x f x λλλ++=+++ .当f 是区间I 上的严格凸函数时,上式等号成立当且仅当12k x x x === ,111k k k x x x μμ+++= ,即121k x x x +=== .□定理3.18 (J ensen 不等式的另一形式) 若f 是区间I 上的凸函数,则1,,n x x ∀ I ∈,1,,0n ββ> ,总成立不等式 1111111()[()()]n n n n n nx x f f x f x ββββββββ++≤++++++ . 当f 是区间I 上的严格凸函数时,上式等号成立当且仅当12n x x x === . 定理3.19 f 是区间I 上的凸函数(或严格凸函数)⇔∀固定的0x I ∈,函数00()()()f x f x x x x ϕ-=-在0\{}I x 上递增(或严格递增). 证: ⇒.假定f 是I 上的凸函数.12,x x ∀0\{}I x ∈,12x x <,下述三个不等式120x x x <<,102x x x <<和01x x <2x <恰有一个成立.由凸函数的几何意义即知12()()x x ϕϕ≤.⇐.假定∀固定的x I ∈,函数()()()f y f x y y xϕ-=-在\{}I x 上递增.12,x x I ∀∈,12x x <,当12(,)x x x ∈时,总成立121212()()()()()()f x f x f x f x x x x x x xϕϕ--=≤=--. 这说明以11(,())x f x 和22(,())x f x 为端点的开线段总是位于12(,)|x x f 的图像的上方.故f 是区间I 上的凸函数.□推论 设f 是开区间(,)a b 上的凸函数,那么(1) 若a ≠-∞,则lim (){}x a f x →+∈+∞ ；若a =-∞,则lim ()x f x ∞→-∞∈ . (2) 若b ≠+∞,则lim (){}x b f x →-∈+∞ ；若b =+∞,则lim ()x f x ∞→+∞∈ . 证: 仅证(1).当a ≠-∞时,对固定的0(,)x a b ∈,00()()()f x f x x x x ϕ-=-在0(,)\{}a b x 递增,00()()()()f x x x x f x ϕ=-+,故0lim ()()lim ()x a x a f x a x x ϕ→+→+=-0(){}f x +∈+∞ .当a =-∞时,只需考虑f 不在(,)b -∞上递增的情形.取12,(,)x x b ∈-∞, 12x x <,使得12()()f x f x >.因为22()()()f x f x x x x ϕ-=-在1(,]x -∞上递增,故1lim ()()0x x x ϕϕ→-∞≤<,从而 2lim ()lim ()()x x f x x x x ϕ→-∞→-∞=-2()f x +=+∞.□ 定理 3.20 设I 是以,a b 为左、右端点的区间.若函数f 在I 上连续,在(,)a b 上可导,则f 是I 上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当f '在(,)a b 上递增(或严格递增).证: 仅证严格的情形.“仅当”.假定f 是I 上的严格凸函数.12,x x ∀(,)a b ∈,12x x <和12,(,)x y x x ∈,分别对111()()()f x f x x x x ϕ-=-和222()()()f x f x x x x ϕ-=-应用定理3.19便有 12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f y x x x x x y---<<---. 令12,x x y x →+→-,得到211221()()()()f x f x f x f x x x -''<<-.这说明f '在(,)a b 上严格递增.“当”.假定f '在(,)a b 上严格递增.0x I ∀∈,记00()()()f x f x x x x ϕ-=-.则当0(,),x a b x x ∈>时,0(,)x x ξ∃∈使得00()()f x f x x x --()f ξ'=,故 0000()()()()()()0f x f x f x x x f x f x x x x x ξϕ-'-''--'==>--. 当0(,),x a b x x ∈<时,0(,)x x η∃∈使得00()()f x f x x x--()f η'=,故 0000()()()()()()0f x f x f x x x f f x x x x x xηϕ-'-''--'==>--.这说明ϕ在0\{}I x 上严格递增,从而f 是I 上的严格凸函数. 定理 3.21 设I 是以,a b 为左、右端点的区间.若函数f 在I 上连续,在(,)a b 上2阶可导,则f 是I 上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当在(,)a b 上成立0f ''≥(或在(,)a b 上成立0f ''≥,并且(,)(,)c d a b ∀⊂都有(,)|0c d f ''≠).证: 由定理3.20和定理3.14.□例2(几何平均不大于算术平均) 12,,,0n x x x ∀> ,有不等式11212()n nn x x x x x x n+++≤ . 等号成立当且仅当12,n x x x === . 证: 在(0,)+∞上成立211(ln )()0x x x'''-=-=>,故ln x -是(0,)+∞上的严格凸函数,从而1212ln ln ln ln n n x x x x x x n n +++----⎫⎛-≤ ⎪⎝⎭, 11212ln()ln n n n x x x x x x n +++⎫⎛≤ ⎪⎝⎭.□ 例3(算术平均不大于均方根) 12,,,0n x x x ∀> ,有不等式12n x x x n +++≤ . 等号成立当且仅当12,n x x x === .证: 在(0,)+∞上成立11322211024x x x --'''⎫⎫⎛⎛-=-=>⎪⎪ ⎝⎝⎭⎭,故12x -是(0,)+∞上的严格凸函数,从而122221212n n x x x x x x n n ⎫⎛++++++-≤-⎪ ⎝⎭ .□ 练习题3.5(172P ) 17,19(2,3,4),20,21,22,23.问题3.5(175P ) 1,2,3,9.§3.6 L ’Hospital 法则L ’Hospital 法则可以认为是连续型的Stolz 定理；Stolz 定理也可以认为是离散型的L ’Hospital 法则.定理3.22和3.23(00型)设,f g 在0x ∈ 的去心邻域上可导,并且,g g '在0x 的去心邻域上处处不取零值.若00lim ()lim ()0,x x x x f x g x →→==0()lim ()x x f x g x →'' {}l ∞=∈∞ ,则 0()lim ()x x f x g x →l =. 将“0x x →”换成“0x x →+,0x x →-,x →+∞,x →-∞,x →∞”后,结论仍然成立.证: 设0δ>是足够小的常数.当00(,)x x x δ∈+时,在0[,]x x 上应用Cauchy 中值定理知,0(,)x x ξ∃∈使得 ()()f x g x 00()()()()()()f x f x fg x g x g ξξ'-+=='-+.故0()lim ()x x f x g x →+l =；同理,0()lim ()x x f x g x →-l =. 对于“x →∞”的情形, 有 2002111()lim lim lim 111()x t t f f f x t t t g x g g t t t →∞→→⎫⎫⎫⎛⎛⎛'- ⎪ ⎪⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭==⎫⎫⎫⎛⎛⎛'- ⎪ ⎪⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭ 01()lim lim 1()t x f f x t l g x g t →→∞⎫⎛' ⎪'⎝⎭==='⎫⎛' ⎪⎝⎭.□ 推论1(00型) 设,f g 在0x ∈ 的去心邻域上n 阶可导,并且,,,g g ' ()n g 在0x 的去心邻域上处处不取零值.若 00lim ()lim ()x x x x f x f x →→'=== 0(1)lim ()n x x f x -→0lim ()x x g x →==00(1)lim ()lim ()0n x x x x g x g x -→→'=== ,0()()()lim ()n n x x f x g x →{}l ∞=∈∞ ,则 0()lim ()x x f x g x →l =. 将“0x x →”换成“0x x →+,0x x →-,x →+∞,x →-∞,x →∞”后,结论仍然成立.定理3.24 (?∞型) 设,f g 在0x ∈ 的去心邻域上可导,并且,g g '在0x 的去心邻域上处处不取零值.若0lim ()x x g x →=∞,0()lim ()x x f x g x →''{}l ∞=∈∞ ,则 0()lim ()x x f x g x →l =. 将“0x x →”换成“0x x →+,0x x →-,x →+∞,x →-∞,x →∞”后,结论仍然成立.证: 仅证l ∈ 和l =∞,并且是0x x →的情形.(1)l ∈ . 0,0εδ∀>∃>,使得当002x x δ<-<时成立()()f x l g x ε'-<'.故当 00(,)x x x δ∈+时, 在0[,]x x δ+应用Cauchy 中值定理知,ξ∃∈0(,)x x δ+使得 00()()()()()()f x f x f l lg x g x g δξεδξ'+--=-<'+-,从而 0000()()()limsuplimsup ()()()x x x x f x f x f x l l g x g x g x δεδ→+→++--=-≤+-. 故 0()limsup0()x x f x l g x →+-=,即0()lim ()x x f x l g x →+=；同理,0()lim ()x x f x l g x →-=. (2)l =∞. 0,0A δ∀>∃>,使得当002x x δ<-<时成立()()f x Ag x '>'.故当 00(,)x x x δ∈+时, 在0[,]x x δ+应用Cauchy 中值定理知, ξ∃∈0(,)x x δ+使得00()()()()()()f x f x f Ag x g x g δξδξ'+-=>'+-,从而 0000()()()liminf liminf ()()()x x x x f x f x f x A g x g x g x δδ→+→++-=≥+-. 故 0()liminf ()x x f x g x →+=+∞,即0()lim ()x x f x g x →+=∞；同理,0()lim ()x x f x g x →-=∞.□ 推论2(?∞型) 设,f g 在0x ∈ 的去心邻域上n 阶可导,并且,,,g g ' ()n g 在0x 的去心邻域上处处不取零值.若 0lim ()x x g x →=0lim ()x x g x →'==0(1)lim ()n x x g x -→=∞,0()()()lim ()n n x x f x g x →{}l ∞=∈∞ ,则 0()lim ()x x f x g x →l =. 将“0x x →”换成“0x x →+,0x x →-,x →+∞,x →-∞,x →∞”后,结论仍然成立.注记 易将“0⋅∞型,∞-∞型,00型,0∞型,1∞型”的极限化成“00型”或“?∞型”的极限,再利用L ’Hospital 法则求出来.例1(必须记住) 对于常数0μ>,有0lim ln 0x x x μ→+=；0lim 1x x x →+=. 解: ()10000ln ln 11lim lim lim lim 0()()x x x x x x x x x x x μμμμμμ----→+→+→+→+'===-='-. 00lim ln lim ln 0x x x x x x →+→+==,故0lim 1x x x →+=.□ 例2(一个错误的循环证明) 利用L ’Hospital 法则来证明0sin lim 1x x x→=是错误的.因为在000sin (sin )cos lim lim lim 1()1x x x x x x x x →→→'==='中,(sin )cos x x '=这一步用到了0sin lim 1x x x →=.□ 例3(问题1.12的第4题,52P ) 证: 10sin (0,)2x x π=∈,故数列{}n x 严格递减收敛于0.由Stolz 定理，2221222111111lim lim lim lim (1)sin n n n n n n n n nn x x x nx n n n x x +→∞→∞→∞→∞-⎫⎛===-⎪ +-⎝⎭ 22011lim sin x x x →+⎫⎛=-= ⎪⎝⎭222222400sin (sin )lim lim sin ()x x x x x x x x x →+→+'--=' 30(2sin 2)lim 4()x x x x →+'-='200(22cos2)4sin 21lim lim 12()243x x x x x x →+→+'-==='.□ 练习题3.6(182P ) 1(6,8,10,12,13),2,3,4.。

§3.2导数与函数的单调性、极值、最值1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x) >0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) <0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(6)函数f(x)＝x sin x有无数个极值点．() 2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是() A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)3．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则() A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为() A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)5．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案[－3，＋∞)解析f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.题型一利用导数研究函数的单调性例1 已知α，[,]22βππ∈-，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是 A ．αβ>B ．0αβ+>C ．αβ<D ．22αβ>变式训练⑴已知函数2()2cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是 A ． B ．C ．D ．⑵已知函数384()ln 33f x x x =--，则函数()f x 的零点个数为______________． ⑶．已知函数2()ln f x x x x =--的导函数为()f 'x ． ①解不等式()2f 'x <；②求函数()()4x x g f x =-的单调区间．题型二 利用导数求函数的极值例2 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．例3如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x22等于()A.89B.109C.169D.289变式训练⑴.设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是 ( )⑵.函数y=x 3-3x 2-9x(-2<x<2)有 ( )A.极大值5，极小值-27B.极大值5，极小值-11C.极大值5，无极小值D.极小值-27，无极大值⑶.函数f(x)=mln x-cos x 在x=1处取得极值，则m 的值为 () A.sin 1 B.-sin 1C.cos 1D.-cos 1⑷.设函数f(x)=xe x ，则 ( )A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点⑸.若a>0，b>0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，则+的最小值为( )A. B. C. D.⑹.已知a∈R，且函数y=e x+ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )A.a<-1B.a>-1C.a<-D.a>-⑺.函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点为.⑻.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13，则实数m等于.1.设函数f(x)=e x(sin x-cos x)(0≤x≤2 015π)，则函数f(x)的各极大值之和为( )A. B.C. D.2.已知函数f(x)=x4+9x+5，则f(x)的图象在(-1，3)内与x轴的交点的个数为.3已知函数f(x)＝x ln x ，求函数f(x)的极值点题型三利用导数求函数的最值例3已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．变式训练1.函数f(x)=x2e x+1，x∈[-2，1]的最大值为( )A.4e-1B.1C.e2D.3e2.2.函数f(x)=2+，x∈(0，5]的最小值为( )A.2B.3C.D.2+3 若函数y=x3+x2+m在[-2，1]上的最大值为，则m等于( )A.0B.1C.2D.4.函数f(x)=x3-3ax-a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为( )A.0≤a<1B.0<a<1C.-1<a<1D.0<a<5.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)-g(x)的最大值为( )A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)6.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1，1]上的最大值为.7设函数f(x)=x3-3x+1，x∈[-2，2]的最大值为M，最小值为m，则M+m= .8.已知函数f(x)=+ln x，求f(x)在上的最大值和最小值.9.设f(x)=ln x，g(x)=f(x)+f′(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值.(2)求a的取值范围，使得g(a)-g(x)<对任意x>0恒成立.1.(5分)设动直线x=m与函数f(x)=x3，g(x)=ln x的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为( )A.(1+ln 3)B.ln 3C.1+ln 3D.ln 3-12函数f(x)=x3-3x-1，若对于区间[-3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)-f(x2)|≤t，则实数t的最小值是 ( )A.20B.18C.3D.0。

第10讲 利用导数研究函数单调性5种常见题型总结【考点分析】考点一：利用导数判断函数单调性的方法 ①求函数的定义域（常见的0,ln >x x ）；①求函数的导数，如果是分式尽量通分，能分解因式要分解因式；①令()0='x f ，求出根 ,,,321x x x ，数轴标根，穿针引线，注意x 系数的正负；④判断()x f '的符号，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数． 考点二：已知函数的单调性求参数问题①若()f x 在[]b a ,上单调递增，则()0f x '≥在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）； ①若()f x 在[]b a ,上单调递减，则()0f x '≤在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）．【题型目录】题型一：利用导数求函数的单调区间题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围 题型四：已知含量参函数在区间上不单调求参数范围 题型五：已知含量参函数存在单调区间求参数范围【典型例题】题型一：利用导数求函数的单调区间【例1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数()()2e x f x x =+的单调递减区间是（ ）A ．(),3-∞-B ．()0,3C ．()3,0-D ．()3,-+∞【例2】（2022·北京市第三十五中学高二阶段练习）函数ln xy x=的单调递增区间是（ ） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()e,+∞C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,e【例3】（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)【例4】（2022·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数2()ln 1f x x x =--的单调增区间为_________.【例5】（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数()()ln 1f x x x =+，则（ ） A ．()f x 在()1,-+∞单调递增 B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是偶函数【例6】（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3k ≤-或11k -≤≤或3k ≥ B ．31k -<<-或13k << C ．22k -<<D ．不存在这样的实数【例7】（2022·全国·高二课时练习多选题）设函数()e ln x f x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的定义域是()0,∞+B ．当()0,1x ∈时，()f x 的图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有两个单调区间【例8】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．()0,∞- B ．(1,+∞)C ．()1,∞-D ．(0,+∞)【例9】 （2022·全国·高二专题练习）已知函数()1xlnx f x e +=，（其中e ＝2.71828…是自然对数的底数）．求()x f 的单调区间.【例10】【2020年新课标2卷理科】已知函数()x x x f 2sin sin 2=.（1）讨论()x f 在区间()π,0的单调性；【例11】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数()ln f x x x x =-. (1)求()f x 的单调区间；【例12】（2022·陕西渭南·高二期末（文））函数()()2e x f x x ax b =++，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为：450x y ++=. (1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间.【例13】【2020年新课标1卷理科】已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当1=a 时，讨论()x f 的单调性；【例14】【2019年新课标2卷理科】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论()x f 的单调性，并证明()x f 有且仅有两个零点；【题型专练】1．（2022湖南新邵县教研室高二期末（文））函数()4ln f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．()0,∞+ B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）函数()()3e x f x x =-，则()f x 的单调增区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),3-∞D ．()3,+∞3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））函数()2ln 2x x x f -=的单调递增区间为（ ）A ．()1,-∞-B ．()+∞,1C ．()1,1-D ．()1,04．（2022·广西桂林·高二期末（文））函数()3213f x x x =-的单调递减区间为（ ）A ．()02，B ．()()02∞∞-+，，，C ．()2+∞，D ．()0-∞，5．（2022·重庆长寿·高二期末）函数()65ln f x x x x=--的单调递减区间为（ ）A ．（0，2）B ．（2，3）C ．（1，3）D ．（3，+∞）6．（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 3f x x x =-的单调减区间为__________．7．（2022·全国·高二专题练习）函数2()2x x f x =的单调递增区间为__________.8.（2022·全国·高二专题练习）函数cos y x x =+的单调增区间为_________.9.（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的单调区间(1)()211x f x x +=-；(2)()21ln 2f x x x =-； (3)()3223361f x x x x =+-+；(4)()sin ,0f x x x x π=-<<；(5)()()22e xf x x x -=+；(6)()sin 2cos xf x x=+．10．（2022·全国·高二单元测试）已知函数()()321313x x x f x =-++，求()f x 的单调区间．11.函数()x e x x f -=2的递增区间是（ ） A ．()0,2B ．(),0∞-C ．(),0∞-，()2,+∞D ．()(),02,-∞+∞12.【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=x e ax −e x ． (1)当a =1时，讨论f(x)的单调性；13.（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1m m -+上不单调，则实数m 的取值范围是（ ）A ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.（2020·河北省石家庄二中高二月考）函数1()ln f x x x=的单调递减区间为____________. 15.（2022·全国·高三专题练习（文））函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________．题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））如图为函数()f x （其定义域为[],m m -）的图象，若()f x 的导函数为()f x '，则()y f x '=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【例2】（2022·四川·遂宁中学外国语实验学校高三开学考试（理））设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，其图象如图所示.记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0xf x '≤的解集为（ ）A ．[][)31,0,12,323⎛⎤--⋃⋃ ⎥⎝⎦B ．[]18,01,2,333⎡⎤⎡⎫-⋃⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31148,,,323233⎛⎫⎡⎤⎡⎫--⋃⋃ ⎪⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎣⎦⎣⎭【例4】（2022·全国·高二单元测试）已知函数()f x 的导函数()'f x 图像如图所示，则()f x 的图像是图四个图像中的（ ）．A ．B ．C ．D ．【例5】（2022·广东潮州·高二期末多选题）已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）A ．曲线m 是()f x 的图象，曲线n 是()f x '的图象B ．曲线m 是()f x '的图象，曲线n 是()f x 的图象C ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为()0,1D ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为41,3⎛⎫⎪⎝⎭【题型专练】1．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图是()y f x '=的图像，则函数()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．()2,1-B ．()()2,0,2,-+∞C ．(),1-∞-D ．()(),1,1,-∞-+∞2．（2022·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，则（ ）A ．()()()()12012f f f f ''''-=-<<<B ．()()()()21012f f f f ''''<<<-=-C ．()()()()02112f f f f ''''>>>-=-D ．()()()()21021f f f f ''''<<<-<-3．（2022·福建莆田·高二期末）定义在()1,3-上的函数()y f x =，其导函数()y f x '=图像如图所示，则()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．()1,0-B ．()1,1-C ．()0,2D ．()2,34．（2022·广东广州·高二期末）已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，函数()y f x ='的图象如图所示，则函数()y f x =图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022·北京·牛栏山一中高二阶段练习）设()f x '是函数()f x 的导函数，在同一个直角坐标系中，()y f x =和()y f x '=的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2022·福建宁德·高二期末多选题）设()f x 是定义域为R 的偶函数，其导函数为()f x '，若0x ≥时，()f x 图像如图所示，则可以使()()0f x f x '⋅<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,3题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ax x x x f ++=2ln 的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．(],3a ∈-∞-B ．3a =-C ．3a =D ．(],3a ∈-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．[]1,1- C ．[]1,3 D ．[]1,3-【例3】（2022·浙江·高二开学考试）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≥-【例4】（2022·全国·高二课时练习）若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．(],3-∞C ．23,e 1⎡⎤+⎣⎦ D ．(2,e 1⎤-∞+⎦【例5】（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数1()sin 2cos 2f x x a x =+在区间(0,)π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞-B ．[1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．[1,)+∞【例7】（2022·山东临沂·高二期末）若对任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有121212ln ln 3x x x x x x ->-，则m 的最小值是________.【例8】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()0ln 232>+-=a x x axx f ，若函数()x f 在[]2,1上为单调函数，则实数a 的取值范围是________.【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）若函数2()ln 5f x x ax x =+-在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,3]-∞ B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．253,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．25,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-4.（2022·全国·高三专题练习）若函数()d cx bx x x f +++=23的单调递减区间为()3,1-，则=+c b （ ）A ．－12B ．－10C ．8D ．105.（2022·全国·高三专题练习）若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是_______. 6.函数321()3f x ax x a =-+在[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a ≥C ．2a >D ．2a ≥7.对于任意1x ，2[1,)x ∈+∞，当21x x >时，恒有2211ln 2()x a x x x <-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞C ．(,2]-∞D ．(,3]-∞8.若函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数，则t 的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞题型四：已知含量参函数在区间上不单调，求参数范围【例1】（2022·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））已知函数()3212132a g x x x x =-++．若()g x 在()2,1--内不单调，则实数a 的取值范围是______．【例2】（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()()41xf x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【题型专练】 1.函数()()2244xf x e xx =--在区间()1,1k k -+上不单调，实数k 的范围是 .2.（2022·全国·高三专题练习）若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.题型五：已知含量参函数存在单调区间，求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数()21()ln 12g x x x b x =+--存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞D ．(],3-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．【例3】（2022·河北·高三阶段练习）若函数()2()e xf x x mx =+在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知()2ln ag x x x x=+-. (1)若函数()g x 在区间[]1,2内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若()g x 在区间[]1,2上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习（文））若函数()()0221ln 2≠--=a x ax x x h 在[]4,1上存在单调递减区间”，则实数a 的取值范围为________.2.若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为 .3.故函已知函数32()3()f x ax x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()()3,00,-+∞C ．()(),00,3-∞D ．[)3,-+∞4.已知函数()()R a x ax x x f ∈+++=123在⎪⎭⎫⎝⎛--31,32内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,√3] B ．(−∞,√3]C ．(√3,+∞)D ．(√3,3)。

利用导数求解函数的单调性与最值问题在微积分学中，导数是一个重要的概念，它被应用于许多实际问题的解决中。

本文将重点讨论如何利用导数来求解函数的单调性及最值问题。

1. 导数的定义导数描述了函数f(x)在某一点x处的变化率。

它的定义为：f'(x) = lim Δx→0 [f(x+Δx) - f(x)]/Δx其中Δx表示x的增量，f(x+Δx)-f(x)表示y的增量，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

2. 求解单调性问题当函数f(x)单调递增时，其导数f'(x)>0；当函数f(x)单调递减时，其导数f'(x)<0。

因此，我们可以利用导数的正负性来判断函数的单调性。

例如，对于函数f(x)=x^2，在x>0时它单调递增，而在x<0时它单调递减。

我们可以通过求导得到它的导数：f'(x) = 2x当x>0时，f'(x)>0；当x<0时，f'(x)<0。

因此，函数f(x)=x^2在x>0时单调递增，在x<0时单调递减。

3. 求解最值问题函数f(x)在x处取得最大值或最小值，等价于在点x处的导数为0，或者在点x处的导数不存在。

因此，求解函数f(x)的最值问题，我们需要先求出它的导数f'(x)，然后令f'(x)=0求出x的值，即可得到函数f(x)的极值点。

最后，再对这些极值点进行比较，就可以确定函数f(x)的最大值和最小值。

例如，对于函数f(x)=x^3-3x+5，我们可以先求出它的导数：f'(x) = 3x^2-3令f'(x)=0，解得x=±1。

这两个点即为函数f(x)的极值点。

我们还需要判断它们是否是函数的最值点。

当x=1时，f''(x)=6>0，说明f(x)在x=1处取得极小值；当x=-1时，f''(x)=-6<0，说明f(x)在x=-1处取得极大值。

导数研究函数的单调性用导数证明、划分函数的单调性是导数最基本的应用，其他性质如极值，最值都必须用到单调性，它比用单调性的定义证明简单。

一、利用导数求函数的单调区间例1、研究函数ax x y +=3的单调性解：因为ax x y +=3，所以a x y +=23'，a>0时，0'>>a y ，函数在),(+∞-∞上是增函数；a=0时，3x y =在),(+∞-∞上增函数；a<0时，设)3')(3'(3'3','2a x a x a x y a a -+=-=-=， 当3'a x -<或3'a x >时，函数是增函数；当3'3'a x a <<-时，函数是减函数， 所以ax x y +=3，这时有三个区间。

二、利用导数比较大小例2、已知a ，b 为实数，且b>a>e ，其中e 为自然数对数的底，求证：a b b a >.分析：通过考察函数的单调性来证明不等式也是常用的一种方法。

根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导好判断导数都比较容易的函数，一般地，证明),(),()(b a x x g x f ∈>，可以等价转化为证明0)()()(>-=x g x f x F ，如果0)('>x F ，则函数F （x ）在（a ，b ）上是增函数，如果0)(≥a F ，由增函数的定义可知，当),(b a x ∈时，有0)(>x F ，即).()(x g x f >三、根据单调性求参数例3、已知1)(--=ax e x f x。

（1）求f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a ，使f （x ）在]0,(-∞上单调递减，在),0[+∞上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。

利用导数研究函数的单调性1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0 的根；（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例 1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，1/ 3∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例 2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的t∈[1，2]，函数푔(푥)=푥3+푥2[푓′(푥) +푚2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；푙푛2（Ⅲ）求证：2×푙푛33×푙푛44×⋯×푙푛푛1푛(푛≥2，푛∈푁∗)．＜푛解：（Ⅰ）푓′(푥) =푎(1―푥)푥(푥＞0)（2 分）当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）（Ⅱ）푓′(2) =―푎2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3 푚∴푔(푥)=푥3+(2―2푥，2+2)푥∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣22/ 3∴{푔′(푡3))＜0＞0(8 分)由题意知：对于任意的 t ∈[1，2]，g ′（t ）＜0 恒成立，푔′(1)＜0所以有：{푔′(2)＜0，∴― 푔′(3)＞0 37 3 ＜푚＜ ― 9（10 分）（Ⅲ）令 a ＝﹣1 此时 f （x ）＝﹣lnx +x ﹣3，所以 f （1）＝﹣2，由（Ⅰ）知 f （x ）＝﹣lnx +x ﹣3 在（1，+∞）上单调递增，∴当 x ∈（1，+∞）时 f （x ）＞f （1），即﹣lnx +x ﹣1＞0，∴lnx ＜x ﹣1 对一切 x ∈（1，+∞）成立，（12 分）∵n ≥2，n ∈N *，则有 0＜lnn ＜n ﹣1，푙푛푛 푛 ― 1∴0＜＜푛 푛푙푛2∴ 2 ⋅ 푙푛33 ⋅ 푙푛44 ⋅⋅ 푙푛푛 1 2 ⋅ ＜ 푛2 3 ⋅ 3 4 ⋅⋅ 푛 ― 1 푛 = 1 푛(푛 ≥ 2，푛 ∈ 푁 ∗) 【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使 f ′（x ）＝0，在其余的点恒有 f ′（x ）＞0，则 f （x ）仍为增函数（减函数的情形完 全类似）．即在区间内 f ′（x ）＞0 是 f （x ）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．3/ 3。

利用导数探究函数的单调性一.求单调区间例1:已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.则令()()g x f x '=因为当0,1a a >≠ 所以2()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数, 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+,故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞，变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间解：'()x f x e a =- 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增当0a >时，由'()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增由'()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞，二.函数单调性的判定与逆用例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合 解：2()322f x x ax '=+-因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2()322=0f x x ax '=+-在1132（，）上有解 所以''11()()032f f <又*a N ∈ 解得：5542a << 所以正整数a 的取值集合{2}三.利用单调性求字母取值范围 例3. 已知函数()ln xf x ax x=-，若函数()y f x =在1+?（，）上是减函数，求实数a 的最小值. 解：因为()ln xf x ax x=-在1+?（，）上是减函数 所以'2ln 1()0(ln )x f x a x -=-?在1+?（，）上恒成立 即2ln 1(ln )x a x -³在1+?（，）上恒成立令ln ,(1)t x x =>，则0t >21()(0)t h t t t -=> 则max ()a h t ³因为222111111()=()()24t h t t t t t -=-+=--+ 所以max 1()=(2)4h t h =所以14a ³变式：若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数，试求实数a 的取值范围. 解：2'()=1f x x ax a -+-因为函数()y f x =在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数 所以''()0(1,4)()0,(6,)f x x f x x ìï??ïíï???ïî，恒成立即2210(1,4)10,(6,)x ax a x x ax a x ì-+-??ïïíï-+-???ïî， 所以2211,(1,4)111,(6,)1x a x x x x a x x x ì-ïï?+"?ïï-íï-ï?+"??ïï-ïî所以4161a a ì?ïïíï?ïî所以57a ＃四.比较大小例4. 设a 为实数，当ln 210a x >->且时，比较x e 与221x ax -+的大小关系. 解：令2()21(0)x f x e x ax x =-+-> 则'()=22x f x e x a -+ 令'()()g x f x = 则'()e 2x g x =- 令'()0g x =得：ln 2x =当ln 2x >时，'()0g x >；当ln 2x <时，'()0g x <所以ln2min ()()=(ln2)2ln2222ln22g x g x g e a a ==-+=-+极小值 因为ln 21a >- 所以'()()0g x f x =>所以()f x 在0+?（，）上单调递增所以()(0)0f x f >= 即2210x e x ax -+-> 所以221x e x ax >-+变式：对于R 上的可导函数()y f x =，若满足'(3)()0x f x ->，比较(1)(11)f f +与2(3)f 的大小关系.解：因为'(3)()0x f x ->所以当3x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故(11)(3)f f >当3x <时，'()0f x <，()f x 单调递减，故(1)(3)f f > 所以(1)(11)2(3)f f f +> 五.证明不等式例5.已知函数|ln |)(x x f =，()(1)g x k x =- (R)k ∈.证明：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >. 证明：令()|ln |(1)=ln (1),(1,)G x x k x x k x x =----∈+∞ 则有'11(),(1,)kx G x k x x x-=-=∈+∞ 当01k k ≤≥或时，'()0G x >，故 ()G x 在1+∞（，）上单调递增，()G(1)0G x >=.故任意实数 (1,)x ∈+∞ 均满足题意.当 01k << 时，令'()=0G x ，得11x k=>. 当1(1,)x k ∈时，'()0G x >，故 ()G x 在1(1,)k上单调递增当1()x k∈+∞，时，'()0G x <，故 ()G x 在1()k +∞，上单调递减 取01x k=，对任意0(1,)x x ∈，有'()0G x >，故()G x 在0(1,)x 上单调递增所以()G(1)0G x >= 即()()f x g x >综上所述：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >.变式：已知关于x 的方程2(1)x x e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、.求证：120x x <+ 证明：因为2(1)x x e ax a --=所以2(1)1xx e a x -=+令2(1)()1xx e f x x -=+则222222(23)[(1)2]()11x xx x x e x x e f x x x --+--+'==++（）（）当0x >时()0f x '<，()f x 单调递减 当0x <时()0f x '>，()f x 单调递增因为关于x 的方程2(1)x x e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、所以不妨设12(,0),(0,)x x ∈-∞∈+∞ 要证：120x x <+ 只需证：21x x <-因为210x x -∈+∞（，），且函数()f x 在0+∞（，）上单调递减 所以只需证：21()()f x f x >-，又因为21()=()f x f x 所以只需证：11()()f x f x >-即证：11112211(1)(1)11x x x e x e x x --+>++ 即证：(1)(1)0x x x e x e ---+>对0x ∈-∞（，）恒成立 令g()(1)(1)x x x x e x e -=--+，0x ∈-∞（，）则g ()()x x x x e e -'=-因为0x ∈-∞（，）所以0x x e e -->所以g ()()0x x x x e e -'=-<恒成立所以g()(1)(1)x x x x e x e -=--+在0-∞（，）上单调递减所以g()(0)0x g >= 综上所述：120x x <+ 六.求极值例6.已知函数2()()x f x x ax a e =++，是否存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.解：'22()(2)()[(2)2]=()(2)x x x x f x x a e x ax a e x a x a e x a x e =++++=+++++ 令'()=0f x 得：2x a x =-=-或当2a =时，'()0f x ≥恒成立，无极值，舍去当2a <时，2a ->-由表可知：2()=(2)(42)3f x f a a e --=-+=极大值 解得：2432a e =-< 当2a >时，2a -<-由表可知：22()=()()3a f x f a a a a e --=-+=极大值，即3a ae -= 所以：=3a a e 令()3(2)a g a e a a =-> 则'2()31310a g a e e =->->所以()y g a =在2+∞（，）上单调递增又2(2)320g e =->所以函数()y g a =在2+∞（，）上无零点即方程=3a a e 无解综上所述：存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3，此时243a e =- 七.求最值例7. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，若存在]1,1[,21-∈x x ,使得12()()e 1f x f x -≥-（其中e 是自然对数的底数),求实数a 的取值范围. 解：因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立, 而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值()()m i n 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值.因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++,令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+,所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数.而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-; 当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥;当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a+-≥,函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得10ea <≤.综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ 我变式：已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>在区间0+∞（，）上的最小值为1，求实数a 的值.解：1()=x a f x e x a-'-+ 令()()g x f x '=则21()=0(x a g x e x a -'+>+）所以()y g x =在区间0+∞（，）单调递增所以存在唯一的00x ∈+∞（，），使得0001()0x a g x e x a-=-=+ 即001=x a e x a-+ 所以当0(0,)x x ∈时，()()0g x f x '=<，()y f x =单调递减当0()x x ∈+∞，时，()()0g x f x '=>，()y f x =单调递增 所以0min 00()()ln()x a f x f x e x a -==-+ 由001=x a e x a-+得：00=ln()x a x a --+ 所以0min 00001()()ln()=x a f x f x e x a x a x a-==-++-+001=()2222x a a x aa a++-+≥=- 当且仅当001=x a x a++即0=1x a +，min 0()()22f x f x a ==- 由22=1a -得12a =，此时01=2x ，满足条件 所以12a =八.解不等式例8. 函数2)0())((=∈f R x x f ，，对任意1)()('>+∈x f x f R x ，，解不等式：1)(+>x x e x f e 解：令()()x x g x e f x e =-则()()()(()()1)x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-因为对任意1)()('>+∈x f x f R x ， 所以()0g x '>，所以()y g x =为R 上的单调递增函数 又(0)(0)11g f =-=所以当1)(+>x x e x f e 即()1x x e f x e -> 所以()(0)g x g > 所以0x >即不等式：1)(+>x x e x f e 的解集为0+∞（，）变式：已知定义在R 上的可导函数()y f x =满足'()1f x <，若(12)()13f m f m m -->-，求m 的取值范围.解：令()()g x f x x =- 则()()1g x f x ''=- 因为'()1f x <所以()()10g x f x ''=-<所以()()g x f x x =-为R 上递减函数 由(12)()13f m f m m -->- 得：(12)()f m m f m m ---（1-2)> 即(12)()g m g m -> 所以12m m ->即13m <九.函数零点个数（方程根的个数）例9. 已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值.若关于x 的方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围.解： '2()21f x x x a=--+ 因为2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值 所以'2(0)1=0f a=-， 即2a =，检验知2a =符合题意.令2()()2ln(2)[1,1]g x f x b x x x b x =+=+--+∈-，'52()22()21(11)x x g x x x +=--=--≤≤ 所以()=(0)2ln 2g x g b =+极大值因为方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根所以(1)0(0)0(1)0g g g -≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即02ln 202ln 320b b b ≤⎧⎪+>⎨⎪-+≤⎩解得：2ln 222ln 3b -<≤-所以实数b 的取值范围是：2ln 222ln3]--（， 变式：已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x ¹时，有'()()0f x f x x+>，判断函数13()()F x xf x x=+的零点个数解：当0x ¹时，有'()()0f x f x x+> 即'()()0xf x f x x+> 令()()g x xf x =，则'()()()g x xf x f x ¢=+所以当0x >时，'()()()0g x xf x f x ¢=+>，函数()y g x =在0+∞（，）单调递增 且()g(0)=0g x >所以当0x >时，13()()0F x xf x x=+>恒成立，函数()y F x =无零点 当0x <时，'()()()0g x xf x f x ¢=+<，函数()y g x =在0∞（-，）单调递减 且()g(0)=0g x >恒成立 所以13()()F x xf x x=+在0∞（-，）上为单调递减函数 且当0x →时，()0xf x ®，所以13()0F x x? 当x →-∞时，10x®，所以()()0F x xf x ? 所以13()()F x xf x x=+在0∞（-，）上有唯一零点 综上所述：13()()F x xf x x =+在0∞∞（-，）（0,+）上有唯一零点 十.探究函数图像例10.设函数在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为下列图像的 .解：由()y f x =的图像可判断出：()f x 在(,0)-∞递减，在(0)+∞，上先增后减再增 所以在(,0)-∞上()0f x '<，在(0)+∞，上先有()0f x '>，后有()0f x '<，再有()0f x '>. 所以图（4）符合.变式：已知函数ln(2)()x f x x =，若关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，求实数a 的取值范围. 解：21ln(2)()=x f x x -'，令()=0f x '得2e x = 所以当02e x <<时，()0,()f x f x '>单调递增 当2e x >时，()0,()f x f x '<单调递减 由当12x <时，()0f x <，当12x >时，()0f x >（1）（2）（3）（4）作出()f x 的大致函数图像如图所示： 因为2()()0f x af x +>（1）若0a =，即2()0f x >，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；（2）若0a >，则()()0f x a f x <->或，由图像可知，()0f x >，有无穷多整数解（舍）（3）若0a <则()0()f x f x a <>-或，由图像可知，()0f x <无整数解， 所以()f x a >-有两个整数解因为(1)(2)ln 2f f ==，且()f x 在(,)2e +∞上单调递减 所以()f x a >-的两个整数解为：1,2x x == 又ln 6(3)3f =所以ln 6ln 23a ≤-< 所以ln 6ln 23a -<≤-。

如何利用导数解决函数的单调性问题
利用导数解决函数的单调性问题，是近几年高考考查的重点和热点之一，也是学生感到比较棘手的一类问题.
类型一利用导数判断函数的单调性
依据是：若函数f（x）在某
个区间（a，b）内的导数为f ‘（x），则
（1）若f ‘（x）>0，则函数f（x）在区间（a，b）内递增；
（2）若f ‘（x）0得x>1；由f ‘（x
0得x>1或01时，由f ‘（x）>0得x>a 或00 即a0 得x>
x2；由f ‘（x）0得0x2；由f ‘（x）—.
变式2：已知函数f（x）=x3+ax2+
x+1（a∈R）在区间（-—，-—）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
解析：f ‘（x）=3x2+2ax+1
因为f（x）在区间（-—，-—）内存在单调递减区间，以f ‘（x）=3x2+
2ax+1-—x-—对x∈（-—，-—）有解.
令g（x）=-—x-—，x∈（-—，
-—），则g ‘（x）=-—x+—=—
所以g（x）在区间（-—，-—）内递减，在区间（-—，-—）内递增，故g （x）min=g（-—）=√3，所以实数a的取值范围是a>√3.
由函数在某区间上的单调性，求参数的取值范围问题，可以利用转化与化归的思想，将其转化为“不等式恒成立”问题，也可以利用函数与方程的思想及数形结合的思想，将其转化为“函数图像的交点”问题.。

利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判断函数的单调性，其理论依据如下：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。

如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。

要用导数判断好函数的单调性除掌握以上依据外还须把握好以下两点： 一． 导数与函数的单调性的三个关系我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。

以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(x f y =在某个区间内可导。

1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。

如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。

2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。

∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。

3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。

由前分析，)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。

当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。

∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。

专题4.2 应用导数研究函数的单调性（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）导数与函数的单调性1.在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数．2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f ′(x)；③由f ′(x)>0（或f ′(x)<0）解出相应的x 的取值范围，当f ′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f ′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数.特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．（二）常用结论1．在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．【常考题型剖析】题型一：判断或证明函数的单调性例1.（2017·山东·高考真题（文））若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是（ ）A ．()2xf x -= B ．()2f x x = C ．()-3xf x = D ．()cos f x x =【答案】A 【解析】 【详解】对于A,令()e 2x x g x -=⋅,11()e (22ln )e 2(1ln )022x x x x xg x ---'=+=+>,则()g x 在R 上单调递增,故()f x 具有M 性质,故选A.例2．（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>， 当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.例3.（2021·全国·高考真题（文））已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和()11a ---，. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得：()232f x x x a '=-+，导函数的判别式412a ∆=-，当14120,3a a ∆=-≤≥时，()()0,f x f x '≥在R 上单调递增，当时，的解为：12113113,33a ax x --+-==， 当113,3a x ⎛⎫--∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；当113113,33a a x ⎛⎫--+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递减；当113,3a x ⎛⎫+-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；综上可得：当时，在R 上单调递增，当时，在113,3a ⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭，113,3a⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎣⎦上单调递减. (2)由题意可得：()3200001f x x x ax =-++，()200032f x x x a '=-+，则切线方程为：()()()322000000132y x x ax x x a x x --++=-+-，切线过坐标原点，则：()()()32200000001320x x ax x x a x --++=-+-,整理可得：3200210x x --=，即：()()20001210x x x -++=，解得：，则，()0'()11f x f a '==+切线方程为：()1y a x =+, 与联立得321(1)x x ax a x -++=+，化简得3210x x x --+=,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，()1x ∴-是321x x x --+的一个因式，∴该方程可以分解因式为()()2110,x x --=解得121,1x x ==-,()11f a -=--，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和()11a ---，. 【总结提升】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.2.当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f ′(x )＝0是否有根；(2)若f ′(x )＝0有根，求出的根是否在定义域内； (3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小． 题型二：求函数的单调区间例4．（2012·辽宁·高考真题（文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（ ） A ．（-1,1] B ．（0,1] C ．[1，+∞） D ．（0，+∞）【答案】B 【解析】 【详解】对函数21ln 2y x x =-求导，得211x y x x x='-=-（x>0）,令210{0x x x -≤>解得(0,1]x ∈，因此函数21ln 2y x x =-的单调减区间为(0,1]，故选B例5.（2016·北京·高考真题（理））设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+， （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据(2)22,(2)1f e f e =+=-'求a,b 的值即可；（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断1()1x g x x e -=-+的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.试题解析：（Ⅰ）因为()a x f x xe bx -=+，所以()(1)a x f x x e b -=-+'. 依题设，(2)22,{(2)1,f e f e =+=-'即222222,{1,a a eb e e b e --+=+-+=- 解得2,e a b ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()x f x xe ex -=+. 由21()(1)x x f x e x e --=-+'及20x e ->知，与11x x e --+同号.令1()1x g x x e -=-+，则1()1x g x e -=-+'. 所以，当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增. 故是在区间上的最小值，从而.综上可知，，.故的单调递增区间为.【总结提升】1.利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f ′(x )的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f ′(x )结构特征，利用图象与性质确定f ′(x )的符号，从而确定单调区间．温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．2.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． 题型三： 利用函数的单调性解不等式例6．（2015·全国·高考真题（理））设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】 【详解】构造新函数()()f xg x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =.所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >，又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f xg x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()x g x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()xf xg x e =，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e =，等便于给出导数时联想构造函数.例7．（2017·江苏·高考真题）已知函数()3x x 1f x =x 2x+e -e-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________．【答案】1[1,]2-【解析】 【详解】因为31()2e ()ex x f x x x f x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+，所以数()f x 在R 上单调递增，又2(1)(2)0f a f a -+≤，即2(2)(1)f a f a ≤-，所以221a a ≤-，即2210a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-． 【总结提升】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．题型四：利用函数的单调性比较大小 例8.（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】 由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解. 【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭ 所以11tan 44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>， 故选：A例9．（2007·陕西·高考真题（理））已知f (x )是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( )． A ．af (b )≤bf (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤f (b ) D ．bf (b )≤f (a )【答案】A【解析】 【详解】因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，所以()f x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦′＝2'()()xf x f x x -≤22()f x x -≤0， 则函数()f x x在(0，＋∞)上单调递减．由于0<a <b ，则()()f a f b a b≥，即af (b )≤bf (a ) 例10．（2013·天津·高考真题（文））设函数()2x f x e x =+-，2()ln 3g x x x =+-若实数,a b 满足()0f a =，()0g b =则（ ）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：对函数()2x f x e x =+-求导得()=1x f x e '+，函数单调递增，()()010,110f f e =-=+，由()0f a =知01a <<，同理对函数2()ln 3g x x x =+-求导，知在定义域内单调递增，(1)-20g =<，由()0g b =知1b >，所以()0()g a f b <<.例11．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小. 【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C. 【总结提升】1.在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．2.构造函数解不等式或比较大小一般地，在不等式中若同时含有f (x )与f ′(x )，常需要通过构造含f (x )与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．常见构造的辅助函数形式有：(1)f (x )＞g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )； (2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→()[]'f x x； (4)f ′(x )＋f (x )→[e x f (x )]′； (5)f ′(x )－f (x )→()[]'x f x e. 题型五：根据函数的单调性求参数范围例12．（2014·全国·高考真题（文））若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．例13．（2019·北京·高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】 -1; (],0-∞. 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围. 【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x xf x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞例14．（2014·全国·高考真题（理））若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2a ≤ 【解析】()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫=-+=-+=-+∈ ⎪⎝'⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结提升】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 题型六：利用导数研究函数的图象例15．（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，2102164y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.例16．（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.例17.（2017·浙江·高考真题）函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．【规律方法】函数图象的辨识主要从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 题型七：与函数单调性相关的恒成立问题例18．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知函数 ()e xf x x =-，则 ()f x 的单调递增区间为________； 若对任意的()0,x ∞∈+， 不等式 ln 2e 1xx ax+-≥恒成立， 则实数 a 的取值范围为________．【答案】 (0,)+∞(填[)0,∞+亦可) 1(,]2-∞【解析】 【分析】求出函数导数，利用导数求函数单调区间，不等式恒成立可分离参数后求函数()e ln x g x x x x =⋅--的最小值，令ln t x x =+换元后可根据单调性求最值. 【详解】 ()1x f x e =-',令()0f x '>,可得()f x 的单调递增区间(0,)+∞ (或[)0+∞，亦可); ln 2e 1x x ax+-≥可化为2e ln x a x x x ≤⋅--. 令()e ln x g x x x x =⋅--=ln e e ln x x x x ⋅--=ln e (ln )x x x x +-+， 设ln t x x =+，则()e =-t h t t ，由()e xf x x =-在[)0+∞，上单调递增可知， 0()(0)e 01h t h ≥=-=，则21a ≤， 故解得12a ≤.故答案为：(0,)+∞(填[)0,∞+亦可)；12a ≤例19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()e ln xf x m x m =+∈R ，若对任意正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是______． 【答案】[)0,∞+ 【解析】 【分析】令()()g x f x x =-，进而原题等价于()g x 在()0,∞+单调递增，从而转化为()e 10x mg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，参变分离即可求出结果.【详解】由()()1212f x f x x x ->-得，()()1122f x x f x x ->- 令()()g x f x x =-，∴()()12g x g x > ∴()g x 在()0,∞+单调递增，又∵()()e ln xg x f x x m x x =-=+-∴()e 10xmg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，即()1e x m x ≥- 令()()1e x h x x =-，则()()e 110xh x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减，又因为()()01e 00h =-⨯=，∴0m ≥．故答案为：[)0,∞+.例20．（2010·全国·高考真题（理））设函数()21x f x e x ax =---.(1)若0a =，求()f x 的单调区间；(2)若当0x ≥时()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1) f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2) a 的取值范围为(－∞，12]. 【解析】 【分析】 (1)a ＝0时，()1x f x e x＝－－，()1x f x e '＝－.分别令f ′(x )<0，f ′(x )>0可求()f x 的单调区间；(2求导得到)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立．故问题转化为f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而对1－2a 的符号进行讨论即可得出结果. 【详解】 (1)a ＝0时，()1x f x e x＝－－，()1x f x e '＝－.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加 (2)()12x f x e ax'-＝－.由(1)知1x e x ≥＋，当且仅当x ＝0时等号成立．故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由1x e x ≥＋ (x ≠0)得1x e x -≥- (x ≠0)，从而当a >时，f ′(x )< 1x e -＋2a (1x e --)＝x e - (1x e -)(x e －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时， f ′(x )<0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )<0， 综上可得a 的取值范围为(－∞，]． 【规律方法】处理此类问题，往往利用“构造函数法”、“分离参数法”.。

利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判定函数的单调性，其理论依据如下：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。

如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。

要用导数判定好函数的单调性除把握以上依据外还须把握好以下两点：导数与函数的单调性的三个关系我们在应用导数判定函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判定函数的单调性。

以下以增函数为例作简单的分析，前提条件差不多上函数)(x f y =在某个区间内可导。

1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。

如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。

2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，现在)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。

∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。

3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。

由前分析，)(x f 为增函数，一定能够推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。

当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。

∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。

解：（I）依题意，对一切x∈R有f(-x)=f(x)，即e-xa+∴(a-1解2：f'(x)=x1-a2，f(x)在区间(-∞,1-a2，∵0<a综上，（I）当0<a<1时，所给不等式的解集为：⎨x|0≤x≤2a2x x+a（x>0）x例1设a>0，f(x)=e x利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判断函数的单调性，其理论依据如下：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)>0，则f(x)为增函数；如果f'(x)<0，则f(x)为减函数。

如果f'(x)=0，则f(x)为常数。

要用导数判断好函数的单调性除掌握以上依据外还须把握好以下两点：一．导数与函数的单调性的三个关系我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。

以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数y=f(x)在某个区间内可导。

1．f'(x)>0与f(x)为增函数的关系。

由前知，f'(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。

如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增，但f'(x)≥0，∴f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

2．f'(x)≠0时，f'(x)>0与f(x)为增函数的关系。

a1=+ae x，e-x ae x11a)(e x-e x)=0对一切x∈R成立，由此得到a-a=0，a2=1，又∵a>0，∴a=1。

（II）证明：由f(x)=e x+e-x，得f'(x)=e x-e-x=e-x(e2x-1)，当x∈(0,+∞)时，有e-x(e2x-1)>0，此时f'(x)>0。

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数。

例2设函数f(x)=x2+1-ax，其中a>0。

（2000年全国、天津卷）（I）解不等式f(x)≤1；（II）证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数。

导数研究函数单调性在数学中，函数单调性是一个非常重要的概念。

它描述了函数在定义域内的增减规律，是研究函数导数的一个重要应用。

本文将探讨导数与函数单调性之间的关系，并介绍相关的定理和方法。

一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减规律。

1.1单调递增与单调递减如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)在定义域内是单调递增的；如果对任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在定义域内是单调递减的。

1.2严格单调性与非严格单调性如果对于定义域内任意两个不相等的实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在定义域内是严格单调的；如果对于任意两个实数x1和x2，当x1≤x2时，有f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)，则函数f(x)在定义域内是非严格单调的。

函数的导数是描述函数变化率的重要工具。

导数可以用来研究函数的单调性。

2.1导数与函数增减变化如果函数在其中一区间内的导数始终大于零，那么函数在这个区间内是递增的；如果函数在其中一区间内的导数始终小于零，那么函数在这个区间内是递减的。

2.2导数与函数极值函数在极值点（即导数为零的点）处可能发生函数单调性的转折。

如果函数在极值点的导数发生正负跳变，那么函数在极值点是非严格单调的；如果函数在极值点的导数保持正负不变，那么函数在极值点是严格单调的。

三、函数单调性的判定方法3.1一阶导数法首先求函数的一阶导数，然后根据一阶导数的正负变化情况来判断函数的单调性。

当一阶导数始终大于零时，函数为递增函数；当一阶导数始终小于零时，函数为递减函数。

3.2二阶导数法求函数的二阶导数，然后根据二阶导数的正负来判断函数的单调性。

当二阶导数始终大于零时，函数为凸函数，是严格单调递增的；当二阶导数始终小于零时，函数为凹函数，是严格单调递减的。

14导数:利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系2.确定不含参数的函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．3.确定含参数的函数的单调性的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)，并尽量化为乘积或商的形式．(3)令f′(x)＝0，①若此方程在定义域内无解，考虑f′(x)恒大于等于0(或恒小于等于0)，直接判断单调区间．如举例说明中a≥1时，f′(x)>0，a≤0时，f′(x)<0.②若此方程在定义域内有解，则用之分割定义域，逐个区间分析f′(x)的符号确定单调区间．如举例说明中0<a<1时，f′(x)＝0有一个实根练习1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )答案 C解析由y＝f′(x)的图象易得，当x<0或x＞2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0.所以函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，故选C.2.f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( )A．(0,4) B．(0,2)C．(4，＋∞) D．(－∞，0)答案 A解析f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0得0<x<4，所以f(x)的单调递减区间为(0,4)．3.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案 D解析函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝e x＋(x－3)e x ＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)e x>0，解得x>2.4.函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间是( )A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)答案 D解析 依题意得f ′(x )＝e x －e.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝e x －e>0，解得x >1.5．函数f (x )＝3xx 2＋1的单调递增区间是___________. 解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝31－x 2x 2＋12＝31－x 1＋xx 2＋12.要使f ′(x )>0，只需(1－x )(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．6．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32(x >0)．则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5. 但－1∉(0，＋∞)，舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0,5)．7.已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2解析 因为f (x )＝x sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )>0，得x cos x >0. 又因为－π<x <π，所以－π<x <－π2或0<x <π2， 所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.8.讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x .①当a ≥1时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞时，f ′(x )>0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0<a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增．9.已知函数f (x )＝(x －1)e x －x 2，g (x )＝a e x －2ax ＋a 2－10(a ∈R )．(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)(x>0)的单调性．解(1)由题意，得f′(x)＝x e x－2x，则f′(1)＝e－2.又f(1)＝－1，故所求切线方程为y－(－1)＝(e－2)(x－1)，即y＝(e－2)x＋1－e.(2)由已知，得h(x)＝f(x)－g(x)＝(x－a－1)e x－x2＋2ax－a2＋10.此函数的定义域为(0，＋∞)．则h′(x)＝e x＋(x－a－1)e x－2x＋2a＝(x－a)(e x－2)．①若a≤0，则x－a>0.当0<x<ln 2时，h′(x)<0，当x>ln 2时，h′(x)>0.所以h(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．②若0<a<ln 2，则当0<x<a或x>ln 2时，h′(x)>0.当a<x<ln 2时，h′(x)<0.所以h(x)在(0，a)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．③若a＝ln 2，则h′(x)≥0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．④若a>ln 2，则当0<x<ln 2或x>a时，h′(x)＞0；当ln 2<x<a时，h′(x)<0.所以h(x)在(0，ln 2)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．10．设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是?解析∵f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即[f(x)g(x)]′>0.∴f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(x)g(x)为奇函数，f(0)g(0)＝0，∴f(x)g(x)在(0，＋∞)上也是增函数．∵f(3)g(3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.∴f(x)g(x)>0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x ∈(0，＋∞)时， 1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1. 又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减， 所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ， 而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)． 12．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )答案 D解析 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 项符合题意．13．已知函数f (x )＝x 3＋ax ，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当a ≥0时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0，f (x )在R 上单调递增，“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．故选A.14.已知函数f (x )＝3x ＋2cos x ，若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 D解析 ∵f (x )＝3x ＋2cos x 的定义域为R ，f ′(x )＝3－2sin x >0，∴f (x )为R 上的单调递增函数．又y ＝log 2x 为(0，＋∞)上的单调递增函数，∴2＝log 24<log 27<log 28＝3.∵y ＝3x 为R 上的单调递增函数，∴32>31＝3，∴2<log 27<3 2.∴f (2)<f (log 27)<f (32)，即b <c <a .15．若函数f (x )＝e x －(a －1)x ＋1在(0,1)上单调递减，则a 的取值范围为( )A．(e＋1，＋∞) B．[e＋1，＋∞)C．(e－1，＋∞) D．[e－1，＋∞)答案 B解析由f(x)＝e x－(a－1)x＋1，得f′(x)＝e x－a＋1.因为函数f(x)＝e x －(a－1)x＋1在(0,1)上单调递减，所以f′(x)＝e x－a＋1≤0在(0,1)上恒成立，即a≥e x＋1在(0,1)上恒成立，令g(x)＝e x＋1，x∈(0,1)，则g(x)在(0,1)上单调递增，所以g(x)<g(1)＝e＋1.所以a≥e＋1.所以实数a的取值范围为[e＋1，＋∞)．故选B.16．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数．若2f(m－2019)>(m－2019)f(2)，则实数m的取值范围为( )A．(0,2019) B．(2019，＋∞)C．(2021，＋∞) D．(2019,2021)答案 D解析令h(x)＝f xx，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝xf′x－f xx2.∵xf′(x)－f(x)<0，∴h′(x)<0，∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵2f(m－2019)>(m－2019)f(2)，m－2019>0，∴f m－2019m－2019>f22，即h(m－2019)>h(2)．∴m－2019<2且m－2019>0，解得2019<m<2021.∴实数m的取值范围为(2019,2021)．17．已知f(x)＝1＋ln x2ax(a≠0，且a为常数)，求f(x)的单调区间．解因为f(x)＝1＋ln x2ax(a≠0，且a为常数)，所以f′(x)＝－2a ln x2ax2＝－ln x2ax2，x>0.所以①若a>0，当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.即a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．②若a<0，当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.即a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． 18．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2x －1.(1)若函数f (x )在区间[1,3]上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，求实数a 的取值范围． 解 由f (x )＝x 3＋ax 2＋2x －1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋2.(1)因为函数f (x )在区间[1,3]上单调递增，所以f ′(x )≥0在[1,3]上恒成立．即a ≥－3x 2－22x 在[1,3]上恒成立．令g (x )＝－3x 2－22x ，则g ′(x )＝－3x 2＋22x 2，当x ∈[1,3]时，g ′(x )<0，所以g (x )在[1,3]上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－52，所以a ≥－52.(2)因为函数f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，所以f ′(x )≤0在[－2，－1]上恒成立，即a ≥－3x 2－22x 在[－2，－1]上恒成立，由(1)易知，g (x )＝－3x 2－22x 在[－2，－1]上单调递减，所以a ≥g (－2)，即a ≥72.。